Perdidad en Bifurcación

7/25/2019 Perdidad en Bifurcacin

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INGENIERA HIDRULICA Y AMBIENTAL, VOL. XXX, No. 3, 2009

Jos G. Morales-Nava, e-mail: [email protected]

Pablo A. Rousseau-Figueroa, e-mail: [email protected]

Jos R. Campos-Gaytn, e-mail: [email protected]

Universidad Autnoma de Baja California, Facultad de Ingeniera Ensenada, Ensenada, BC, Mxico.

Ecuaciones analticas para prdidas

de energa en bifurcaciones comunes

en conductos hidrulicos con circulacin

forzada

Resumen / Abstract INTRODUCCIN

Durante siglos la humanidad consider sobradas lasfuentes de agua dulce para las necesidades existentes yello condujo a no cuidar su utilizacin, sin pensar si perju-dicara o no ms delante. Desde fines del siglo XIX y

principios del XX con base al gran desarrollo logrado du-rante la era Industrial, el consumo y los diversos usos delagua iniciaron etapas de escasez y contaminacin en al-gunos lugares de nuestro planeta, obligando a prever yordenar su uso para una optimizacin del recurso hidruli-co mediante la construccin de grandes obras hidruli-cas. Un tipo de estas obras determinantes para el bienes-tar y desarrollo de la humanidad, son las presas paraembalsar y/o desviar cursos de agua, haciendo su poste-rior aprovechamiento o proteccin de zonas, incluyendolas conducciones y entrega del agua a usar.

En etapas posteriores a la construccin de presas,cuando en algunas regiones se excedi la utilizacin de

recursos naturales hasta cerca de 90%, fue necesarioponderar an ms la regulacin de usos del agua y coordi-narlos con los recursos disponibles, porque se lleg allmite de posibilidades. En este periodo designado sper-almacenamiento aprovechamiento integral conjunto(Balairn, 2002), se reforman las obras hidrulicas y cui-dados operativos en el uso del agua. Adems, como algu-nas cuencas hidrolgicas llegan al lmite del recurso, serecapacita sobre el problema hidrulico no slo por cuen-cas, sino por totales en la regin, dando lugar al trasvasede unas cuencas a otras para equilibrarlas; tambin seintenta ampliar los recursos naturales desalando agua delmar, previendo el momento en que el consumo supere el

100% del agua dulce natural; finalmente, en esta etapatambin se reutiliza el agua despus de someterla a trata-mientos de saneamiento.

En su mayora, los pases en vas de desarrollo conti-nan la etapa de construccin de obras hidrulicas para

Se obtienen ecuaciones analticas que permiten determinar,

con rapidez y precisin, las prdidas de energa en este tipo

de obra hidrulica. Existen diversas publicaciones que arro-

jan informacin valiosa sobre el tema y seleccionando entreellas algunos trabajos que contienen tablas y grficos con

valores de coeficientes confiables, stos son revisados, ana-

lizados y tratados matemticamente para su actualizacin y

uso. El principio bsico del presente trabajo consiste en ob-

tener expresiones matemticas que representen fielmente los

valores numricos contenidos en las tablas y grficos de

origen. Las ecuaciones obtenidas fueron validadas por los

autores del presente artculo y por su confiabilidad, se reco-

mienda integrarlas a un programa de computacin que per-

mita el procesamiento de datos en forma rpida y segura,

para el diseo de estas obras hidrulicas.Palabras clave: bifurcaciones, conductos hidrulicos, prdidas de

energa, ecuaciones analticas.

Analytic equations are presented to make fast and accurate

calculations of energy loss in this type of hydraulic works.

Various publications give valuable information on the subject

and after selecting several ones containing tables and graphs

with reliable coefficient values, the values are reviewed,

analyzed and treated mathematically for their update and

use. The main purpose of this work is to obtain mathematical

expressions faithfully representing the numerical values

contained in the original tables and graphs. Every proposed

equation has been carefully validated by the authors and

due to their trustability, they are recommended to be

integrated into a computer program for fast and safe data

processing in the design of these hydraulic works.

Keywords: bifurcation, hydraulic conduit, energy loss, analytic

equations.

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mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


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aprovechar sus recursos naturales, mientras los pasesdesarrollados estn optimizando sus recursos mediantemodificaciones a sus leyes y obras. Por tal motivo ade-ms de las represas, otras obras hidrulicas de importan-cia son las conducciones hidrulicas con rgimen de cir-culacin forzado.

Entre los elementos de una presa se tienen las obras

de toma, conjunto de estructuras que permiten el controly regulacin de las extracciones de agua en forma efi-ciente, satisfaciendo necesidades de cantidad, calidad ycaractersticas para los diversos usos. Parte importantede la obra de toma son los conductos que transportan elagua desde la bocatoma (aguas arriba de la cortina), has-ta la zona de disposicin y pueden tener rgimen de circu-lacin libre, forzada o mixta por tramos, adems de ser unsolo conducto o ramificarse para su disposicin; el casode estudio es referido a la conduccin con rgimen decirculacin forzado y la bifurcacin de los mismos. Res-pecto al tema existen diversas publicaciones que aportanconocimientos valiosos, siendo seleccionados algunos de

ellos y como aporte del presente documento, despus deser analizados y tratados matemticamente para su ac-tualizacin, son presentados aqu para un uso eficiente,seguro y exacto, que permite ahorros en el proceso dediseo o revisin de este tipo de obras.

MATERIALES Y MTODOSEn las conducciones con rgimen de circulacin for-

zado, los cambios de direccin del flujo originadas por lasramificaciones producen prdidas de energa (CFE, 1983),(Sotelo, 2003), ya que los filetes lquidos al tratar de con-tinuar una trayectoria rectilnea (debido a su propia iner-

cia), modifican su distribucin de velocidades provocan-do separacin por el lado interior y aumento de presin enel lado exterior, induciendo un movimiento espiral haciaaguas abajo desde el cambio de direccin, y que debidoal rozamiento causa prdidas en la energa disponible quelleva el flujo. Por tanto resulta primordial lograr la menorprdida de energa hidrulica en los sistemas, principal-mente donde es de gran importancia la conservacin dela misma como sucede donde se tiene que aadir energamecnica (sistemas de bombeo), en donde se aprove-cha la energa hidrulica para transformarla a otro tipo deenerga (sistemas de produccin hidroelctrica). Las pr-didas de energa en bifurcaciones se deben al ngulo queforman la tubera principal con sus ramificaciones, la rela-cin de dimensiones en la seccin transversal de los con-ductos y la direccin del flujo en los mismos.

Adquiere importancia el presente trabajo porque al ex-presar mediante frmulas matemticas los valores conte-nidos en grficos y tablas de consulta existentes en ma-nuales y libros de consulta, es factible determinar rpida-mente el ngulo y tipo de bifurcacin ms convenientepara cada proyecto, permitiendo el cambio de direccinde los filetes hidrulicos en forma suave, con la menor

alteracin del flujo dentro de los conductos, disminuyen-do las prdidas de energa y finalmente proporcionandomayor eficiencia al diseo o revisin.

En la bibliografa consultada, existe coincidencia encuanto a que dichas prdidas son debidas principalmenteal rozamiento y estn en funcin del ngulo entre el con-ducto principal y sus ramificaciones, as como del dime-

tro o dimensiones de los conductos y la relacin entre elcaudal principal y el de las bifurcaciones; tambin es coin-cidente en que al tratarse de las denominadas "prdidasmenores" "prdidas locales", ellas se determinan me-diante la expresin general siguiente:

(1)

Donde h es la prdida de energa (m); Kes un coefi-ciente dependiente del tipo de prdida que se trate(adimensional); V2/2g es la carga de velocidad (m), parala cual Ves la velocidad del flujo (m/s) antes o despusde la alteracin (como especifique el anlisis) y ges ace-

leracin de la gravedad (m/s2).Por tratarse de una prdida menor debido a la bifurca-cin, el coeficiente de prdidas es denominado KB, lavelocidad del flujo V debe considerarse aguas arriba de laramificacin y la ecuacin (1) toma la siguiente forma:

(2)

Estas prdidas de energa han sido posible cuantificar-las mediante pruebas experimentales de laboratorio (CFE,1983), existiendo tablas y grficos elaborados por diver-sos investigadores para diferentes condiciones y entre lagran variedad de condiciones existentes para bifurcacin

de conductos forzados, fueron identificados y analizadoslos casos siguientes:

1.Bifurcaciones canto afilado con ngulo = 45ode-terminando el coeficiente KB-31, siendo las reas de sec-

cin transversal A2= A3 A1.

2.Bifurcaciones canto afilado con ngulo = 60o, de-terminando el coeficiente KB-31, siendo las reas de sec-



cin transversal A2= A3 A1.4.Bifurcaciones canto afilado con ngulo = 120o,

determinando el coeficiente KB-31, siendo las reas de

seccin transversal A2= A3 A1.5.Bifurcaciones canto afilado con ngulos comprendi-

dos entre = 45o y 90o, determinando el coeficienteKB-32, siendo las reas de seccin transversal A2 =

A3 A1.6.Bifurcaciones canto redondeado de radio r = 0.1 D1,

Ecuaciones analticas para prdidas de energa en bifurcaciones comunes en conductos hidrulicos con circulacin forzada

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Jos G. Morales-Nava, Pablo A. Rousseau-Figueroa y Jos R. Campos-Gaytn

con ngulo = 90o, determinando el coeficiente CB-31,

siendo las reas de seccin transversal A2= A3 A1.7.Bifurcaciones con reduccin en el ramal secundario

y ngulo = 45o, determinando el coeficiente KB-31,siendo las reas de seccin transversal A1+ A2= A3.

8.Bifurcaciones en Y simtricas con ngulo = va-

riable, determinando el coeficiente KB-31, siendo las reasde seccin transversal A1+ A2= A3.9.Bifurcaciones en Y simtricas con ngulo = varia-

ble, determinando el coeficiente KB-31, siendo las reasde seccin transversal A1= A2= A3.

10.Bifurcaciones para conductos cuadrados, canto afi-lado, con ngulo =90o, determinando el coeficienteKB-31, siendo las reas de seccin transversal A1= A2=A3.

11.Bifurcaciones para conductos cuadrados, canto afi-lado, con ngulo = 90o, determinando el coeficienteKB-23, siendo las reas de seccin transversal A1= A2=A3.

A continuacin se presenta el anlisis y propuesta paracada uno de los casos indicados.

ECUACIONES


cin transversal A2= A3 A1

En este caso el conducto principal tiene una rea A3,el ramal que se deriva a 45otiene una rea A1 diferente alprincipal y la continuacin del conducto principal es deuna rea A

2= A

3; el coeficiente de prdidas K

B-31se

obtiene en base a la relacin de reas A1/A3y la relacinde caudales Q1/Q3, tal como se muestra en la grficaoriginal de la Fig. 1.

Del grfico de la Fig. 1 se obtuvieron pares de valoresusando como abscisas la relacin A1/A3y como ordena-das los valores del coeficiente K31correspondientes alas curvas graficadas, con lo cual se obtuvo a su vez, unacurva representativa de todos valores, cuya ecuacin ana-ltica obtenida mediante uno de los mtodos de ajuste decurvas, se muestra a continuacin:

(3)

Por tenerse dos variables al mismo tiempo como sonla relacin de reas A1/A3y la relacin de caudales Q1/Q3, fue necesario obtener una ecuacin particular paracada constante (a, b, c, d) de la ecuacin (3) y as repre-sentar la variacin de valores en funcin de los caudales;

considerando lo anterior, la ecuacin final para todo elconjunto de valores del grfico analizado, queda repre-sentada por la composicin de la ecuacin (3), substitu-yendo en ella a su vez, las ecuaciones que dan valores alas constantes (a, b, c, d) mediante las expresiones si-guientes:

(3a)

Figura 1. Bifurcaciones canto afila-

do con ngulo = 45o, determinan-

do el coeficiente KB-31, siendo las

r eas de secci n transvers al

A2 = A3 A1 (CFE, 1983).


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(3b)

(3c)

(3d)

2.Bifurcaciones canto afilado con ngulo = 60o, de

terminando el coeficiente KB-31, siendo las reas de sec


Al igual que en el caso 1, el grfico original se muestraen la Fig. 2 y posteriormente las ecuaciones que lo repre-sentan, las cuales se obtuvieron en la forma ya descritadel caso anterior. De aqu en adelante y con fines de ahorrar espacio por la limitacin del mismo, se presentarnicamente el grfico original y las ecuaciones que lo simbolizan. As se tiene para el caso presente:

La ecuacin (4) mostrada a continuacin, es la base ysus complementarias que se muestran despus de stason las (4a), (4b), (4c) y (4d).

(4

(4a

Figura 2. Bifurcaciones canto afilado con

ngulo = 60o, determinando el coeficiente

KB-31, siendo las reas de seccin transversalA2 = A3 A1 (CFE, 1983).


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(4b)

(4c)

(4d)

Figura 3. Bifurcaciones canto afilado con ngulo = 90o, determinando el coeficiente KB-31, siendo las reas de seccin transversal

A2= A3 A1(CFE, 1983).



En la Fig. 3 se muestra el grfico original.

La ecuacin (5) es la base con sus complementarias(5a), (5b), (5c), (5d) y (5e), que se muestran a continua-cin:

(5)

(5a)

(5b)


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(5c)

(5d)

(5e)

NOTA:La ecuacin resultante tiene validez en la rela-cin Q1/Q3, para todos los intervalos de valores desde 0hasta 1.0; pero la relacin A1/A3, nicamente tiene vali-dez en los intervalos de valores de 0.3hasta 1.0.

4.Bifurcaciones canto afilado con ngulo = 120o,determinando el coeficiente KB-31, siendo las reas de

seccin transversal A2 = A3 A1.



(6

(6a

(6b

Figura 4. Bifurcaciones canto afi-

lado con ngulo = 120o, determi-

nando el coeficienteKB-31, siendo las reas de seccin

transversal A2= A3 A1(CFE,

1983).


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(6c)

(6d)

(6e)

5.Bifurcaciones canto afilado con ngulos comprendi-dos entre = 45oy 90o, determinando el coeficienteKB-32, siendo las reas de seccin transversal

A2= A3 A1.


La ecuacin (7) es representativa de la curva, y semuestra a continuacin:

(7)

6.Bifurcaciones canto redondeado de radio r = 0.1 D1,con ngulo = 90o, determinando el coeficiente CB-31,

siendo las reas de seccin transversal A2= A3 A1.



(8)

(8a)

(8b)

Figura 5. Bifurcaciones canto afilado con

ngulo entre = 45oy 90o, determinando

el coeficiente KB-32, siendo las reas de

seccin transversal A2= A3 A1(CFE,

1983).


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(8c)

(8d)

(8e)

7.Bifurcaciones con reduccin en el ramal secundarioy ngulo = 45o, determinando el coeficiente KB-31, sien-do las reas de seccin transversal A1+ A2= A3.


La ecuacin (9) es la base con sus complementarias(9a), (9b), (9c), (9d) y (9e), (9f), (9g), (9h), que se mues-tran a continuacin:

(9)

(9a

(9b

Figura 6. Bifurcaciones canto re-dondeado de radio r = 0.1 D1con

ngulo = 90o, determinando el

coeficiente CB-31, siendo las reas

de seccin transversal

A2= A3 A1(CFE, 1983).


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(9c)

(9d)

(9e)

(9f)

(9g)

Figura 7. Bifurcaciones con reduccin en el ramal secundario y ngulo = 45o, determinando el coeficiente K

B-31, siendo las reas de

seccin transversal A1+ A2= A3(CFE, 1983).


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(9h)

NOTA:La ecuacin resultante tiene validez en la rela-cin Q1/Q3, para todos los intervalos de valores desde 0hasta 1.0; pero la relacin A1/A3, nicamente tiene vali-dez en los intervalos de valores de 0.3hasta 0.6.

8.Bifurcaciones en Y simtricas con ngulo = varia-ble0,determinando el coeficienteKB-31, siendo las reasde seccin transversal A1+ A2= A3.


La ecuacin (10) es la base con sus complementarias(10a), (10b), (10c), (10d) y (10e), que se muestran a con-tinuacin:

(10a

(10b

(10c

(10d

(10e

NOTA:La ecuacin resultante tiene validez en la relacin Q1/Q3, para todos los intervalos de valores desde 0hasta 1.0; pero para el ngulo de la bifurcacin , nicamente tiene validez en los intervalos de valores de 30o60o, 90oy 105o.

9.Bifurcaciones en Y simtricas con ngulo = variable0, determinando el coeficiente KB-31, siendo las reasde seccin transversal A1= A2= A3.


La ecuacin (11) es la base con sus complementarias(11a), (11b), (11c), (11d) y (11e), que se muestran a conti-nuacin:

(11

a =

(11a

Figura 8. Bifurcaciones en Y simtricas con ngulo = variable,

determinando el coeficiente KB-31, siendo las reas de seccin trans-

versal A1+ A2= A3(CFE, 1983).

(10)


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Figura 9. Bifurcaciones en Y simtricas con ngulo = variable,

determinando el coeficiente KB-31, siendo las reas de seccin trans-

versal A1= A2= A3(CFE, 1983).

(11b)

(11c)

(11d)

(11e)

NOTA:La ecuacin resultante tiene validez en la rela-cin Q1/Q3, para todos los intervalos de valores desde 0hasta 1.0; pero para el ngulo de la bifurcacin , nica-mente tiene validez en los intervalos de valores de 45o,60o, 90o, 120o, 150oy 180o.

10. Bifurcaciones para conductos cuadrados, cantoafilado, con ngulo = 90o, determinando el coeficiente

KB-31, siendo las reas de seccin transversal A1= A2=A3.



Figura 10. Bifurcaciones para conductos cuadrados, canto

afilado, con ngulo = 90o, determinando el coeficiente KB-31,

siendo las reas de seccin transversal A1= A2= A3(CFE, 1983).

(12)


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Recibido: Septiembre del 2009Aprobado: Octubre del 2009

11. Bifurcaciones para conductos cuadrados, canto

afilado, con ngulo = 90o, determinando el coeficiente

KB-23, siendo las reas de seccin transversal A1= A2=

A3.



Figura 11. Bifurcaciones para conductos cuadrados, canto

afilado, con ngulo = 90o, determinando el coeficiente KB-32,

siendo las reas de seccin transversal A1= A2= A3(CFE, 1983).

(13)

RESULTADOSConsiderando que no existe una recopilacin y trata-

miento de la informacin, similar al presente trabajo, lasexpresiones matemticas aqu obtenidas, son de gran valapor su exactitud para constituirlas en un programa de com-

putacin que permita la mecanizacin y rpida solucinde problemas de diseo para este tipo de obras hidruli-cas.

Cada una de las ecuaciones indicadas en el presentetrabajo fueron probadas y comparados los resultados ob-tenidos con ellas, contra los obtenidos directamente delos grficos originales, resultando con precisiones quevaran desde un 95% hasta un 99.99%.

CONCLUSIONES De las grficas con curvas que presentan los inves

tigadores mencionados en la bibliografa consultada, losautores las analizaron y posteriormente expresaron enforma de ecuaciones usando mtodos para ajuste de curvas, tenindose gran exactitud al comparar los resultadosobtenidos con los grficos y tablas de valores originales

contra los calculados con las ecuaciones de los Autorespor tanto resulta totalmente confiable lo expuesto en epresente artculo.

Complemento ventajoso al presente trabajo ser laelaboracin de un programa para computadora, que maneje una metodologa de clculo usando las expresionesmatemticas aqu indicadas, que resuma la informacin ypermita el procesamiento de datos.

Bajo cualquier circunstancia, las bifurcaciones enconductos con circulacin forzada tienen una cantidad considerable de prdidas de energa en su trayecto, y el pro

yectista normalmente requiere estar consultando diferentes manuales y documentos para tratar de optimizar esistema. Respecto al tema existen diversas publicacio-nes que aportan conocimientos valiosos, pero se ocupatiempo para seleccionar y evaluar estos en el proceso dediseo; con el aporte del presente trabajo fueron seleccionados algunos de ellos y despus de ser analizados ytratados matemticamente para su actualizacin, son presentados aqu para un uso eficiente, seguro y exacto, quepermite ahorros en el proceso de diseo y revisin deestas obras.

REFERENCIAS1.Balairn, P.L. (2002). Gestin de Recursos Hdricos

Universitat Politcnica Catalunya. Edicin UPC, Espaa. Disponible en World Wide Web: http:/b o o k s . g o o g l e . c o m . m x /books?id=wPe4Hay95wUC&pg=RA1-PA342&lpg=RA1PA342&dq=estudios +de+obras+hidr%C3%A1ulicas&source=web&ots=02L16DZE5T&sig=rdsfGSx0WKdWHcwNEHFjz1jAJQ&hl=es

2. CFE (1983). Conducciones a Presin, Tomo 2.3Hidrotecnia. Comisin Federal de Electricidad, Institu-to de Investigaciones Elctricas, Manual de Diseo deObras Civiles. Mxico, DF.

3.Sotelo, A.G. (2003). Hidrulica General. Volumen I. Vigsimo sptima reimpresin. Editorial LIMUSA, Mxi-co, DF.

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