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P i í i d S b i ã• Princípio da Sobreposição• Teoremas de Norton e Thévenin• Método da Transformação de Fontes• Máxima Transferência de PotênciaMáxima Transferência de Potência
Teoria dos Circuitos Eléctricos2003-2004
Arnaldo Batista
TCE_3 1
TCE_3 2
+ -VSPrincípio da Sobreposição
+
VL
IL
LinearidadeCircuitocircuit L
_
2121 LLSSL VVIaVaV +=+=
Circuito
I
Contribuição de VS Contribuição de IS
V IS2LV1LV
Calcula-se anulado a fonte de corrente ( “abre-se” a ligação) e obtendo o potencial aos
terminais de VL . A fonte de tensão mantem-se.
Calcula-se anulado a fonte de tensão (“fecha-se” a ligação, retirando a fonte) e obtendo o potencial aos terminais de VL
A fonte de corrente mantêm-se.
TCE_3 3
Sobreposição de Fontes
I 2LI1LI
+ 2LV= +1LVCircuito
CircuitoCircuito
Circuito com a fonte de corrente anulada (aberto)
Circuito com a fonte de tensão anulada
VVVIII ++
(fechada)Princípio da Sobreposição
TCE_3 42121 LLLLLL VVVIII +=+=
12V6KΩ
6KΩ6KΩ ?=oIUsar o teorema da sobreposição
Exemplo 1-Sobreposição
6KΩ6KΩ6mA
Io
Solução:Solução:
6KΩ
6KΩ
6KΩ
6mAI'o
6KΩ
6mAI'o
9KΩ6KΩ
I o I o
Anula-se a fonte de tensão (curto-circuito) 9 189 6 5' 0.006( )Ko K KI mA+= − = −
Paralelo
61256 6 (6 6 )
6 26 12 5'' ( )
K K K K
Ko K K
I mA
I I mA+ +
+
= =
= =6KΩ
6KΩ
6KΩ12V
6KΩ
I
6 12 5
18 162( 5 5 5
( )
' '' )K K
o o oI I I mA mA+
= + = − + = −6KΩ6KΩ
I''o
12V
Anula-se a fonte de corrente (circuito aberto ) 12//6=4
TCE_3 5
( ) 12//6=4
6KΩ
Exemplo 2-Sobreposição
Calcular I0 por sobreposição
6V
6KΩ
6KΩ5mA
6KΩ
IoIo
6KΩ
6KΩ
6KΩ6 6
6 6 ||(6 6 ) 10' K K K K KI o A− −+ += =
6V 6KΩ5mA
Io
6KΩ
6KΩ
6KΩ6KΩ
6KΩ
6KΩ
5mA
5mA6KΩ 6KΩ
I''o
I''o 6 16 6 6 ||6 2
3 25 5
'' 5 ( )( ) 1
' '' 1
KK K K KI o m mA
Io I o I o mA mA mA+ += =
= + = + =
TCE_3 6
Exemplo 3-Sobreposição
Calcular Vo usando o princípio da sobreposiçãoda sobreposição
Anulando a fonte de tensão:Divisor de Corrente
Anulando a fonte de corrente:Divisor de Tensão
][2 V=
+-
V0"6k
3V ][6"0
'00 VVVV =+=
][2 V
TCE_3 7
3k
]000
Teoremas de Norton e Thévenin
Circuito A
Circuito A
Circuito b
(Linear) (Linear)(Linear)
Oi
=SCi
thRCircuito A (Linear)
Circuito A (Linear)
Todas as fontes de corrente e tensão anuladas no circuito A
= +(Linear)
tensão anuladas no circuito A
SCO iii +=TH
OO R
vi −= OSCTH
O viRvi ∀+−= ;
SCTH
OCOCO i
Rvvv
i
+−=⇒=
=
0
)0(CIRCUIT OPENCASE: SPECIAL
TH
OCSC R
vi =
TCE_3 8iRvv THOCO −=
iRvv THOCO −=OCO vv =
RTH
Thé i
0s =iei +
_OvOCv +
_
OSCTH
O viRvi ∀+−= ;
Thévenin
THSCOCO Rivv == OCSC R
vi =
i THR
mAk
I 313==SCi THR
−
+
Ov
i
Nortonk1
THR
TCE_3 9
VmAkV 331 =×=
Regras para obtenção do Equivalente de Thevenin entre dois pontos A e B de um circuito.RTH
+i +
_OvOCv +
_OCv
v
é a tensão entre os pontos A e B
É a razão entre e , a corrente que passa entre A e B
OCv SCiTHR
SC
OCTH i
vR = quando estes terminais são “curto-circuitados”.
Regras para obtenção do Equivalente de Norton entreRegras para obtenção do Equivalente de Norton entre dois pontos A e B de um circuito
R+
v
ié a corrente que passa entre A e B quando
estes terminais são “curto circuitados”SCi
SCi THR−
Ov estes terminais são curto-circuitados
É a razão entre e , a corrente que passa entre A e B
d t t i i ã “ t
OCv SCiTHR
quando estes terminais são “curto-circuitados”.
TCE_3 10
Os circuitos de Norton e Thevenin são equivalentes entre si
Regras Práticas para obtenção do Equivalente de Thevenin entre dois pontos A e B de um circuito.
R i tê i d Th i ( )
Tensão de Thevenin entre A e B ( ): calcula-se usando qualquer dos métodosdisponíveis : KCL, KVL, sobreposição etç.
OCv
RResistência de Thevenin ( ): • Circuitos c\ fontes dependentes e independentes: Calcula-se a corrente
que passa no curto-circuito entre A e B . Tira-se:
THR
SCi
Nota: Se o circuito contiver apenas fontes independentes obtém-se mais facilmente calculando a resistência vista ente A e B após se terem
SC
OCTH i
vR =
THRmais facilmente calculando a resistência vista ente A e B após se terem anulado essas fontes (fontes de tensão “fechadas” e fontes de corrente “abertas”)
• Circuitos só c\ fontes dependentes: Aplica se entre A e B uma fonte de• Circuitos só c\ fontes dependentes: Aplica-se, entre A e B, uma fonte de tensão Vg ‘ou uma fonte de corrente Ig para excitação da(s) fonte(s) dependente(s). é obtida através da relação entre a corrente e a tensão entre A e B (ver exemplo). Neste caso pode verificar-se que
THR0=OCv
TCE_3 11
Obter os Equivalentes de Thevenin e Norton, entre A e BResolução:
Exemplo 1-Thévenin
Resolução:A tensão entre A e B pode calcular-se dediversos modos. Aplicamos p. ex. KVL para obtenção datensão de Thevenin:
( ) ( )IkIk 044412 =−++−I ( ) ( )
VmAkVvmAI
IkIk
ABoc 44)2(42
044412
=−===
=++I
Para calcular a Resistência de Thevenin vamos obter ISC,a corrente de curto-circuito entre A e B. Por exemplopodemos aplicar KVL às duas malhas para obter ISC1I
SCI SCI( ) ( )IIkIk 044412⎧ ++SC ( ) ( )
( )
kVvRemAIdonde
IIkIIkIk
OC
SC
SC
242
044044412
1
11
⎩⎨⎧
=−+
=−−++−
kmAI
RemAIdondeSC
THSC 22
2 ====
TCE_3 12Thevenin
Norton
Como o circuito anterior apenas tem fontes independentes poderiaser calculada anulando (“curto-circuitando”) as fontes de tensão e
THR
calculando a resistência vista entre A e B
kkkRTH 24//4 ==
A tensão de Thévenin poderia também serA tensão de Thévenin poderia também ser usando o método de sobreposição de fontes. Fazer este exercício em casa!
TCE_3 13
Obter o Equivalente de Thevenin, entre A e BOCv
Resolução:
Exemplo 2-Thévenin
A
OC Resolução:A tensão entre A e B pode calcular-se dediversos modos. Aplicamos p. ex. KCL para obtenção da tensão de Thevenin:
V ⎞⎛
B( )
Vlt
vVmask
vk
Vv
kv
OCx
OC
xOC
OC
3612
064
24
12
−−=
=+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
+−
Vvresulta OC 1336=
A
1I SCIPara calcular a Resistência de Thevenin vamos obter ISC,a corrente de curto-circuito entre A e B. Por exemplopodemos aplicar KVL às duas malhas para obter ISC
Bpodemos aplicar KVL às duas malhas para obter ISC
( )
( )V
VIIkkI xSC 0
24412 11
⎪⎪⎪
⎨
⎧ =−−++−
( )
v
kIV
IIkV
x
SCx
24
4
042
1
1
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎨
=
=−+
TCE_3 14
kIvRmAI
SC
OCTHSC 13
242
3 ==⇒=
Simulação do circuíto anterior, usandoPSPICE.
A
B“Clicando” en EPOLY insere-seo coeficiente 0.5
TCE_3 15
Obter os Equivalente de Thevenin, entre A e BComo o circuito apenas contem fontes dependentes deverá ser excitadoCom uma fonte de tensão arbitrária (1V).
Exemplo 3-Thévenin
Única incógnita
kV
kVV
kVVKCL X 0
11
22
1:@ 111
1 =−
+−
+ VVIAKCL XX211:@ 0 +−
+=
VV
VVX
741
1
1
=
−=
mAI
VVV
kkkC
X
1415
73
7411
112:@
0
1
0
=
=−=−=
Verificar que v =0 (só existem fontes
kIVR
OTH 15
141140
==
Verificar que vOC=0 (só existem fontesdependentes).
14/15 k
TCE_3 16
Exemplo 4-Thévenin
Obter o equivalente de Thévenin do circuito entre
Vo+ -
A e B
A B
3KΩ
2KΩ
4KΩ
6KΩ 2mA12V
Vo=6VRth=2k
TCE_3 17
Exemplo 5-Thévenin
Obter o equivalente de Thévenin do circuito entreObter o equivalente de Thévenin do circuito entreA e B
1000 Ix ASuper NóVx
VT t
1KΩ 2KΩ2KΩ
1KΩ
Ix
A
ITest
VTest
Apply a test source, VTest
RAB = VTest / ITest
Aplicar uma tensão de teste, VTest
VTest
BFigure P4.49
400 k
⎪
⎪⎪⎨
⎧ =−++ 0222 Test
Testxx
VV
Ik
Vk
Vk
V
Ω==⇒=
=
⎪⎪⎩
=⇒===−
4002
5:eq primeira na 2 doSubstituin
222
11
ThéveninTest
TestTest
Testx
Testxxx
xTestx
RIVI
kV
VV
VVVk
VkkIVV
TCE_3 18
2 TestIk
Verificar que VThévenin=0
Método da Transformação de Fontes
Baseia-se na equivalência entre o equivalente de Thévenin e o equivalente de Norton
+ Vth
Ith
th
thThThthth R
VIIRV == ⇔
TCE_3 19
Calcular Vo usando o método da transformação de fontes
Exemplo 1 de Método de Transformação de Fontes
o ç
2KΩ
2KΩ
2KΩ
2KΩ 4mA6V
+
Vo2KΩ 2KΩ 4mA6V
-
2KΩ 2KΩ
2KΩ 2KΩ 2KΩ 4mA
+
-
Vo 2KΩ
4mA
+
-
Vo
3mA 3mA
1KΩ
2KΩ
2KΩ
4mA
+
-
Vo
1KΩ
3V 2KΩ
+
-
Vo3KΩ1mA3KΩ 4mA
3K||2K=1.2K
+ Vo = (5m)(1.2K) = 6V
TCE_3 20
Vo
_
5mA 1.2K Vo = 6V
6KΩ 3KΩ
Exemplo 2 de Método de Transformação de Fontes
Calcular I0 por Transformação de Fontes
2mA 3KΩ2KΩ
Io
6V
6KΩ 3KΩ 6KΩ 3K+3K=6KΩ
6V
2mA 3KΩ2KΩ
Io
2mA
Io6V
6V
6V
3KΩ 2KΩ
Io
I
I=6/6K + 6/6K = 2mA3K = 6K || 6K
Io = I(3K/(2K+3K)) = 1.2mA
TCE_3 21
12 kΩ+
Exemplo 3 de Método de Transformação de Fontes
2 mA 6 kΩ6 V
4 kΩ
12 kΩ
24 VVo
−Calcular V0 por Transformação de Fontes
6 kΩ6 V
4 kΩ
12 kΩ
24 V
+
Vo
−
12 V
6 kΩ
4 kΩ
12 kΩ
24 V
+
Vo
−
18 V
6 kΩ 4 kΩ 12 kΩ
+
Vo3 mA 2 mA
−
1 mA 2 kΩ
+
Vo( )( )2 k 1 mA 2 VoV = Ω =
TCE_3 22
−
Fazer em casa usando KVL ou KCL
4KΩ
6mA
3k Preservar
Exemplo 4 de Método de Transformação de Fontes
Calcular I0 por Transformação de Fontes2mA 6KΩ 18KΩ 1mA
Io
4KΩ6K 5K 18K3k
18KΩ 1mA
4KΩ
12V
Io
6K 5K
12V
3k
18KΩ 1mA
4KΩIo9K
6V6V
1 A
4KΩ Io
1mA2/3mA 9K 18K
4V
Io 6K 4K Io
TCE_3 23
1/3mA 6K 12V2 12 Io = -14/10K=-7/5mA
Máxima Transferência de Potência
ADo Pré-Amplificador
Alti-FalantesOs Alti Falantes são
B
Os Alti-Falantes são representados por uma resistência RL
RTHEquivalente de Thévenin do Amplificador
+
RTH
VTH
+-
VTH SPEAKERMODEL
A RL
Alti-Falante
TCE_3 24
-TH
B Amplificador
2L VRP =LL VRVVP == ;2
( )2 THLTH
L VRR
P+
=
Qual é o valor de RL para qual a ê ê
RTH
THLTH
LL
L VRR
VR
P+
== ;
transferência de potência do amplificador para os alti-falantes é máxima?
+-
(LOAD)VTH
RL+
LVAlti Falante ( ) ( )⎞⎛ ++ 2 2 RRRRRdP
3SOURCE
(LOAD)−
Amplif.
Alti_Falante ( ) ( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++−+
= 4
22 2
LTH
LTHLLTHTH
L
L
RRRRRRRV
dRdP
L RRdP d0
THL
THLL
L
RR
RRdRdP
=
==
quando potência de transf. Máxima
quando 0
THL RR
( ) TH
TH
thRLRTH
LTH
LL R
VVRR
RP4
22
2 =+
==
TCE_3 25TH
THL R
VP4
(max)2
=
Exemplo 1 (Máxima Transferência de PotênciaEquivalentesq
RLA B
A
RTH
BA
VTH+ -
Calculamos o equivalente de Thévenin do circuito, entre A e B
mAI 2:1 malha 1 =
0][3*6)(*32 ++ VIkIIklh 0][3*6)(*3:2 212 =++− VIkIIkmalha
][31
31
9][3
12 mAIkVI =+−=
kkkkR 6||63||4 =+=
TCE_3 26kRR
kkkkR
THL
TH
6 Logo6||6,3||4
==
=+=
