Popis trigonometrijskih identiteta

Popis trigonometrijskih identiteta 1

Popis trigonometrijskih identiteta

Sinusi i kosinusi u jedininoj krunici

Trigonometrijski identiteti su izrazijednakosti koji pokazuju povezniceizmeu pojedinih trigonometrijskihfunkcija. Ti izrazi su istiniti za svakuodabranu vrijednost odreene varijable(kuta ili nekog drugog broja). Kako sutrigonometrijske funkcije meusobnopovezane pomou vrijednosti jedne,mogue je izraziti neku drugu funkciju.Identiteti se koriste kada je potrebnopojednostaviti izraze koji ukljuujutrigonometrijske funkcije.

Nazivlje

Kutovi

Podrobniji lanak o temi: KutImena kutova se daju prema slovimagrkog alfabeta kao to su alfa (),beta (), gama (), delta () i theta ().Mjerne jedinice za mjerenje kutova sustupnjevi, radijani i gradi:

1 puni krug =360stupnjeva=2 radijana = 400 gradi.Slijedea tablica prikazuje pretvorbu mjernih jedinica za odreene veliine kuteva:

Stupnjevi 30 60 120 150 210 240 300 330

Radijani

Gradi 33 66 133 166 233 266 333 366

Stupnjevi 45 90 135 180 225 270 315 360

Radijani

Gradi 50 100 150 200 250 300 350 400

Kutovi se u trigonometriji najee izraavaju u radijanima i to bez mjerne jedinice, stupnjevi s oznakom se manjekoriste, a gradi izrazito rijetko.


Trigonometrijske funkcije

Podrobniji lanak o temi: Trigonometrijske funkcijePrimarne trigonometrijske funkcije su sinus i kosinus kuta. Sinus se oznaava sa sin, a kosinus sa cos pri emu je naziv kuta.Tangens (tg, tan) kuta je omjer sinusa i kosinusa:

S druge strane, imamo i reciprone funkcije pri emu je kosinusu reciproan sekans (sec), sinusu kosekans(csc,cosec), a tangensu kotangens (ctg, cot):

Inverzne funkcije

Podrobniji lanak o temi: Inverzne trigonometrijske funkcijeInverzne trigonometrijske funkcije ili arkus funkcije su inverzne funkcije trigonometrijskim funkcijama. Prema tomeimamo, arkus sinus (arcsin, asin) je inverzna funkcija sinusnoj funkciji , pri emu vrijedi da je

i

U slijedeoj tablici su prikazane i druge komplementarne inverzne funkcije i kratice:

Trigonometrijska funkcija Sinus Kosinus Tangens Sekans Kosekans Kotangens

Kratica

Inverzna trigonometrijska funkcija Arkus sinus Arkus kosinus Arkus tangens Arkus sekans Arkus kosekans Arkus kotangens

Kratica

Pitagorin trigonometrijski identitetPitagorin trigonometrijski identitet je jedan od osnovnih trigonometrijskih identiteta i prikazuje odnos izmeu sinusai kosinusa:

gdje cos2 znai (cos())2 i sin2 znai (sin())2.

Izraz je u biti izvedenica Pitagorinog pouka i proizilazi iz jednakosti koja vrijedi za jedininukrunicu. Ova jednadba moe biti rjeena za sinus i za kosinus:


Povezani identitetiPodijelivi Pitagorin identitet sa cos2 ili sa sin2 dobivamo slijedea dva identiteta:

Koristei navedene identitete te omjere koji su koriteni pri definiranju trigonometrijskih funkcija, mogu se izvestitrigonometrijski identiteti gdje je jedna trigonometrijska funkcija prikazana pomou druge:

Svaka trigonometrijska funkcija prikazana pomou druge trigonometrijske funkcije[1]

in terms of

Ostale funkcije koritene u prolosti

Sve trigonometrijske funkcije kuta mogu biti geometrijski konstruirane s obzirom najedininu krunicu sa sreditem u O. Pojedine se vise ne koriste.

Pojedine trigonometrijske fukcije vienisu u uporabi. Versinus, koversinus,haversinus i eksekans su se koristile prinavigaciji, a haversinusna formula sekoristila za raunanje udaljenosti dvijutoaka na sferi.


Ime Kratica Vrijednost[2]

Versinus

Verkosinus

Koversinus

Koverkosinus

Haversinus

Haverkosinus

Hakoversinus

Hakoverkosinus

Eksekans

Ekskosekans

Tetiva

Simetrija, pomak i periodinostProuavajui jedininu krunicu mogu se uvidjeti pojedina svojstva trigonometrijske krunice kao to su simetrija,razni pomaci i periodinost funkcija. Formule u slijedee dvije tablice se esto nazivaju formule redukcije.

SimetrijaKada neku trigonometrijsku funkciju odbijemo za odreeni kut (npr. ,/2) rezultat esto bude neka drugatrigonometrijska funkcija.

Odbitak za [3]

Odbitak za [4]

Odbitak za


Pomaci i periodinostPomicanjem funkcije za odreeni kut takoer se kao rezultat dobije neka druga trigonometrijska funkcija kojarezultat prikae jednostavnije. To moemo vidjeti u primjerima pomaka za /2, i 2 radijana. S obzirom da sutrigonomterijeske funkcije periodine, ovisno o funkciji za (tangens i kotangens funkcija) ili 2 (sinus i kosinusfunkcija), tada nova funkcija poprima istu vrijednost.

Pomak za /2 Pomak za Period for tan and cot

[5]Pomak za 2

Period for sin, cos, csc and sec[6]

Zbroj i razlika kutovaOvi trigonometrijski identiteti se nazivaju adicijske formule. Otkrio ih je prezijski matematiar Ab al-Waf' Bzjnu 10. stoljeu. Eulerova formula moe pomoi pri dokazivanju ovih identiteta.

Sinus [7]

Kosinus [8]

Tangens[9]

Arkus sinus [10]

Arkus kosinus [11]

Arkus tangens[12]

Matrini oblik

Podrobniji lanak o temi: Mnoenje matricaTrigonometrijske formule zbroja i razlike za sinus i kosinus mogu biti zapisani u obliku matrice.


Sinus i kosinus zbroja beskonano mnogo veliina

Tangens zbroja konano mnogo veliinaNeka je (za k{0,...,n}) k-ti stupanj osnovnog simetrinog polinoma pri emu je

za i{0,...,n} pa slijedi

Tada vrijedi da je

u ovisnosti o broju n.Na primjer:

i tako dalje. Naveden identitet se moe dokazati matematikom indukcijom.[13]


Sekans i kosekans zbroja konano mnogo veliina

gdje je k-ti stupanj osnovnog simetrinog polinoma za n varijabla xi=tani, i=1,...,n, a broj veliina unazivniku ovisi o n.Na primjer,

Identiteti za viestruke kutove

Tn

je n-ti Chebyshevljev polinom

Sn

je n-ti polinom irine

De Moivreova formula, je imaginarna jedinica [14]

Trigonomterijski identiteti dvostrukih, trostrukih i polovinih kutova

Podrobniji lanak o temi: Formula tangensa polovinih kutova

Formule dvostrukog kuta[15]

Formule trostrukog kuta

Formule polovinog kuta[16]


Sinus, kosinus i tangens viestrukih kutova

Chebyshevljeva metodaChebyshevljeva metoda je rekurzivni algoritam za nalaenje formula n-tih viestrukih kutova poznavajui (n1)-tei (n2)-te formule.[17]

gdje je H/K=tan(n1)x.

Tangens prosjeka

Ako su ili jednaki 0 tada dobivamo formulu za tangens polovinog kuta.

Viteov beskonani produkt


Identiteti potenciranih trigonometrijskih funkcija

Sinus Kosinus Druge

Za izvode potencija sinus i kosinusa kuta se koriste De Moivreova formula, Eulerov pouak i binomni pouak.

Kosinus Sinus

Formule pretvorbi umnoka u zbroj i zbroja u umnoak

Umnoak u zbroj[18]

Zbroj u umnoak[19]


Drugi povezani identitetiAko su x, y i z bilo kojeg trokuta, tada vrijedi

odnosno

Hermiteov kotangensov identitet

Podrobniji lanak o temi: Hermiteov kotangensov identitetCharles Hermite je pokazao da vrijedi odreena jednakost[20] gdje su varijable a1,...,an kompleksni brojevi. Neka je

te u sluaju kada je A1,1, dobiva se prazan produkt, koji je jednak 1. Openito se dobiva slijedea vrijednost:

U najjednostavnijem sluaju za n=2 vrijedi:

Ptolemejev teoremOve jednakosti predstavljaju trigonometrijski oblik ptolomejevog teorema.

Linearne kombinacije Podrobniji lanak o temi: Fazni vektor

Bilo koja linearna kombinacija sinusnih valova istih perioda ili frekvencija s razliitim faznim pomacima je takoersinusni val sa istom periodom ili frekvencijom s razliitim faznim pomakom. Kod nenulte linearne kombinacijesinusnog i kosinusnog vala [21], se dobiva

gdje je

to je ekvivalentno s

ili ak s


Openito za proizvoljan fazni pomak vrijedi

gdje je

i

Lagrangeovi trigonometrijski identitetiOvi identiteti su ime dobili po Josephu Louisu Lagrangeu.[][22]

S njima je povezana funkcija koja se naziva Dirichletova jezgra.

Ostali oblici zbrojeva trigonometrijskih funkcijaZbroj sinusa i kosinusa sa varijablama u aritmetikom nizu [23]:

Za bilo koji a i b vrijedi:

gdje je atan2(y, x) poopenje funkcije arctan(y/x) koja pokriva cijeli kruni opseg.Koristei Gudermannovu funkciju koja povezuje cirkularne i hiperbolne trigonometrijske funkcije bez koritenjakompleksnih brojeva moe se iskoristiti slijedei izraz:

Ako su x, y i z ako su kutovi bilo kojeg trokuta odnosno x+y+z=, tada je


Odreene linearne frakcionalne transformacije Podrobniji lanak o temi: Mbiusova transformacija

Ako je (x) dan linearnom frakcionalnom transformacijom

i slino tome

tada vrijedi

Krae reeno, ako je za sve funkcija ba ta gore prikazana funkcija tada vrijedi da je

Identiteti s inverznim trigonometrijskim funkcijama

Kompozicija trigonometrijskih i inverznih trigonometrijskih funkcija

Povezanost sa kompleksnom eksponencijalnom funkcijom[24] Ovaj se izraz naziva Eulerova formula,

Ovaj se izraz naziva Eulerov identitet,

[25]

[26]

odnosno

gdje je .


Povezanost s beskonanim produktima Podrobniji lanak o temi: Beskonani produkti

Pri rjeavanju specijalnih funkcija, razliite koristimo formule koje povezuju beskonani produkt i trigonometrijskefunkcije:[27][28]

Identiteti bez varijabliIdentitet bez varijabli

je poseban sluaj identiteta s jednom varijablom:

Nadalje, takoer vrijedi da je

Mnogo jednakosti ima osnovu u izrazima kao to su[29]:

i


Njihovom kombinacijom dobivamo:

Ako je n neparan broj(n=2m+1) koritenjem simetrije dobivamo

Odreivanje broja

Mnemoniki zapis za neke vrijednosti sinusa i kosinusa

Zlatni rez

Podrobniji lanci o temama: Zlatni rez i Trigonometrijske konstante

Euklidov identitet

Infinitezimalni raun

Derivacije

Podrobniji lanci o temama: Derivacija i Popis derivacija trigonometrijskih funkcijaKoristei infinitezimalni raun, kutovi pri raunanju moraju biti u radijanima. Derivacije trigonometrijskih funkcijamogu se odrediti pomou dva limesa:


Deriviranjem trigonometrijskih funkcija dobivaju se slijedei identiteti i pravila:[30][31][32]

Integrali

Podrobniji lanci o temama: Integrali i Popis integrala trigonometrijskih funkcija

Eksponencijalne definicije trigonometrijskih funkcija

Funkcija Inverzna funkcija[33]


Weierstrassova supstitucija Podrobniji lanak o temi: Weierstrassova supstitucija

Ako je

tada vrijedi [34]

gdje je eix = cos(x) + i sin(x), to ponekad skraeno piemo kao cis(x).

Vidi jo Trigonometrija Dokazi trigonometrijskih identiteta Pitagorin trigonometrijski identitet Jedinina krunica Trigonometrijske konstante Primjena trigonometrije Formula tangensa polovinih kutova Pitagorin pouak Kosinusov pouak Sinusov pouak Tangensov pouak Mollweideova formula Popis derivacija trigonometrijskih funkcija Popis integrala trigonometrijskih funkcija Hiperbolna funkcija Versinus

Biljeke[1][1] Abramowitz and Stegun, p.73, 4.3.45[2][2] Abramowitz and Stegun, p.78, 4.3.147[3] Abramowitz and Stegun, p.72, 4.3.1315[4] The Elementary Identities (http:/ / jwbales. home. mindspring. com/ precal/ part5/ part5. 1. html)[5][5] Abramowitz and Stegun, p.72, 4.3.9[6] Abramowitz and Stegun, p.72, 4.3.78[7][7] Abramowitz and Stegun, p.72, 4.3.16[8][8] Abramowitz and Stegun, p.72, 4.3.17[9][9] Abramowitz and Stegun, p.72, 4.3.18[10][10] Abramowitz and Stegun, p.80, 4.4.42[11][11] Abramowitz and Stegun, p.80, 4.4.43[12][12] Abramowitz and Stegun, p.80, 4.4.36[14][14] Abramowitz and Stegun, p.74, 4.3.48[15] Abramowitz and Stegun, p.72, 4.3.2426[16] Abramowitz and Stegun, p.72, 4.3.2022


[17] Ken Ward's Mathematics Pages, http:/ / www. trans4mind. com/ personal_development/ mathematics/ trigonometry/multipleAnglesRecursiveFormula. htm

[18] Abramowitz and Stegun, p.72, 4.3.3133[19] Abramowitz and Stegun, p.72, 4.3.3439[20] Warren P. Johnson, "Trigonometric Identities la Hermite", American Mathematical Monthly, volume 117, number 4, April 2010, pages

311327[21] Proof at http:/ / pages. pacificcoast. net/ ~cazelais/ 252/ lc-trig. pdf[23] Michael P. Knapp, Sines and Cosines of Angles in Arithmetic Progression (http:/ / evergreen. loyola. edu/ mpknapp/ www/ papers/

knapp-sv. pdf)[24][24] Abramowitz and Stegun, p.74, 4.3.47[25][25] Abramowitz and Stegun, p.71, 4.3.2[26][26] Abramowitz and Stegun, p.71, 4.3.1[27] Abramowitz and Stegun, p.75, 4.3.8990[28] Abramowitz and Stegun, p.85, 4.5.6869[29] Weisstein, Eric W., " Sine (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Sine. html)" from MathWorld[30] Abramowitz and Stegun, p.77, 4.3.105110[31] Abramowitz and Stegun, p.82, 4.4.5257[33] Abramowitz and Stegun, p.80, 4.4.2631[34][34] Abramowitz and Stegun, p.72, 4.3.23

Izvori (1972) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York:

Dover Publications.ISBN 978-0-486-61272-0

Vanjske poveznice Values of Sin and Cos, expressed in surds, for integer multiples of 3 and of 5 (http:/ / www. jdawiseman.

com/ papers/ easymath/ surds_sin_cos. html), Csc and Sec (http:/ / www. jdawiseman. com/ papers/ easymath/surds_csc_sec. html), Tan (http:/ / www. jdawiseman. com/ papers/ easymath/ surds_tan. html).

Izvori rabljeni u lanku i suradnici 18

Izvori rabljeni u lanku i suradniciPopis trigonometrijskih identiteta Izvor: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?oldid=4017481 Doprinositelji: Jure Grm, Marin.vip

Izvori, licencije i suautori slikaSlika:Unit circle angles color.svg Izvor: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Unit_circle_angles_color.svg Licencija: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0Doprinositelji: Jim.belkSlika:Vista-xmag.png Izvor: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Vista-xmag.png Licencija: GNU General Public License Doprinositelji: Cpro, Rocket000, Romaine, SasaStefanovic, Trijnstel, 1 anonimne izmjeneImage:Circle-trig6.svg Izvor: http://hr.wikipedia.org/w/index.php?title=Datoteka:Circle-trig6.svg Licencija: GNU Free Documentation License Doprinositelji: This is a vector graphic versionof Image:Circle-trig6.png by user:Tttrung which was licensed under the GNU Free Documentation LicenseGFDL. Based on en:Image:Circle-trig6.png, which was donated to Wikipedia underGFDL by Steven G. Johnson.

LicencijaCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/

Popis trigonometrijskih identitetaNazivljeKutoviTrigonometrijske funkcijeInverzne funkcije

Pitagorin trigonometrijski identitetPovezani identiteti

Ostale funkcije koritene u prolostiSimetrija, pomak i periodinostSimetrijaPomaci i periodinost

Zbroj i razlika kutovaMatrini oblik Sinus i kosinus zbroja beskonano mnogo veliina Tangens zbroja konano mnogo veliina Sekans i kosekans zbroja konano mnogo veliina

Identiteti za viestruke kutoveTrigonomterijski identiteti dvostrukih, trostrukih i polovinih kutovaSinus, kosinus i tangens viestrukih kutova Chebyshevljeva metoda Tangens prosjeka Viteov beskonani produkt

Identiteti potenciranih trigonometrijskih funkcija Formule pretvorbi umnoka u zbroj i zbroja u umnoakDrugi povezani identitetiHermiteov kotangensov identitet Ptolemejev teorem

Linearne kombinacijeLagrangeovi trigonometrijski identitetiOstali oblici zbrojeva trigonometrijskih funkcijaOdreene linearne frakcionalne transformacije Identiteti s inverznim trigonometrijskim funkcijamaKompozicija trigonometrijskih i inverznih trigonometrijskih funkcija

Povezanost sa kompleksnom eksponencijalnom funkcijomPovezanost s beskonanim produktimaIdentiteti bez varijabliOdreivanje broja Mnemoniki zapis za neke vrijednosti sinusa i kosinusa Zlatni rez Euklidov identitet

Infinitezimalni raunDerivacijeIntegrali

Eksponencijalne definicije trigonometrijskih funkcija Weierstrassova supstitucija Vidi joBiljekeIzvoriVanjske poveznice

Licencija

Documents

Popis trigonometrijskih identiteta