Predavanja Metoda Pomaka

METODA POMAKA Metoda pomaka je metoda proračuna statički neodređenih sustava u kojoj su nepoznanice translacijski i rotacijski pomaci odabranih točaka nosača koje nazivamo čvorovima. Čvor - točka u kojoj se spajaju dva ili više štapova, ili kraj štapa

4

5

qF1 F21

6

32

Y

X Svaki čvor u ravnini ima tri neovisna pomaka:

iU - pomak čvora i na pravcu osi X

iV - pomak čvora i na pravcu osi Y

iΦ - zaokret poprečnog presjeka u čvoru i oko osi Z Svi štapovi koji su kruto spojeni u jednom čvoru imaju u njemu jednake pomake.

ij

k

lϕij

ϕik

ϕil

iilikij Φ=ϕ=ϕ=ϕ

− Točna metoda pomaka: sva tri pomaka čvora uzimaju se kao nepoznanice

− Inženjerska metoda pomaka (približna metoda pomaka): broj nepoznanica se smanjuje jer se zanemaruju uzdužne deformacije ravnih grednih elemenata. Metoda je pogodna za konstrukcije kod kojih deformacije nastaju dominantno od savijanja.

Stupanj kinematičke neodređenosti sustava: ukupan broj međusobno neovisnih pomaka U inženjerskoj metodi pomaka nepoznanice su:

− kutovi zaokreta slobodnih (nepridržanih) čvorova − neovisni translacijski pomaci (ako ih ima)

Vedrana Kozulić Tehnička mehanika 2 – Metoda pomaka 1

Oblik deformirane konstrukcije Prije početka analize statički neodređenih sustava metodom pomaka, potrebno je imati predodžbu o očekivanom ponašanju konstrukcije pod djelovanjem zadanog opterećenja.

Primjer: Deformacijski oblici i momentni dijagrami za portalni okvir sa zglobnim osloncima

a)

M

b)

M

c)

M

slučajevi opterećenja a) i b): - simetrični deformacijski oblici i dijagrami momenata

- za analizu su potrebne četiri varijable pomaka: zaokreti u oslonačkim točkama i na svakom kraju horizontalne grede

slučaj opterećenja c): - antisimetrični deformacijski oblik i dijagram momenata

- za analizu je potrebno pet varijabli pomaka: četiri zaokreta čvorova i horizontalni pomak gornje grede


Primjer: Deformacijski oblici i momentni dijagrami za portalni okvir s upetim osloncima

a)

M

b)

M

c)

M

Osnovne razlike u odnosu na nosač sa zglobnim osloncima:

• Budući da nema zaokreta u osloncima, broj nepoznatih pomaka se reducira za dva

• Kako bi bio ispunjen uvjet da je zaokret u osloncu jednak nuli, na svakom stupu se javlja promjena zakrivljenosti odnosno točka infleksije

• Dodatno ograničenje pomaka na osloncima povećava cjelokupnu krutost konstrukcije, te su općenito pomaci točaka manji


Princip metode pomaka Razmatra se konstrukcija na crtežu a).

PA B

C

A B

C

A B

C

P PM M M1

M2(c)(b)(a)

svi čvorovi su upeti čvor B se otpušta

− Zamislimo da su postavljene veze koje spriječavaju zaokrete u svim čvorovima (crtež b) → svaki element sustava se ponaša kao obostrano upeta greda.

− Javljaju se momenti upetosti M

− Otpušta se veza u čvoru B koja spriječava zaokret

− U čvoru B javlja se neravnoteža momenata

− Čvor B se zaokreće sve dok se ne postigne ravnotežni položaj (crtež c)

− Zaokretom čvora B postignuta je ravnoteža momenata u tom čvoru, ali se istovremeno javljaju dodatni momenti u čvorovima A i C. Time je neuravnoteženi moment u čvoru B preraspodijeljen na ostale dijelove konstrukcije.

Konačne vrijednosti momenata dobivaju se superpozicijom momenata za stanje spriječenih pomaka čvorova (stanje pune upetosti) i momenata za stanje slobodnih pomaka:

mMM +=

Postupak proračuna statički neodređenih sustava metodom pomaka:

1) razmatranjem geometrije konstrukcije i opterećenja koje na nju djeluje, identificiraju se nepoznati pomaci čvorova koji će biti osnovne varijable u analizi;

2) korištenjem svojstava krutosti pojedinih elemenata konstrukcije, formuliraju se jednadžbe koje povezuju djelujuće opterećenje i pomake čvorova s momentima na krajevima štapova;

3) iz uvjeta ravnoteže momenata u čvorovima dobiva se sustav jednadžbi čije rješenje predstavlja tražene pomake čvorova;

4) uvrštavanjem vrijednosti pomaka čvorova u jednadžbe krutosti formirane u 2), određuju se momenti na krajevima štapova;

5) reakcije, poprečne sile i uzdužne sile nalaze se korištenjem uvjeta ravnoteže pojedinih elemenata ili dijelova konstrukcije.


Konvencija o predznacima i označavanje

Identifikacija štapova kao elemenata konstrukcije koji spajaju čvorove: i jm

Konvencija o predznacima:

Momenti savijanja na krajevima štapa, kutovi zaokreta krajeva štapa i relativni pomak jednog kraja štapa u odnosu na drugi kraj uzimaju se kao pozitivni ako imaju smjer suprotno od kretanja kazaljke na satu.

KUT ZAOKRETA ČVORA

x

y

ji ϕi

ϕj

+

POMACI KRAJEVA ŠTAPA

δj

ji

δiψ

+

ij

ψ

+

MOMENTI SAVIJANJA NA KRAJEVIMA ŠTAPA POPREČNE SILE NA KRAJEVIMA ŠTAPA

i

Mij Mji

j

i

Tij

Tjij

+ +

LijLij

ij

jiijjiij L

MMTT

+==

MOMENTI SAVIJANJA U ČVORU i

j

k

lMij

Mik

Mil

+

Sile na kraju štapa – sile kojima čvor djeluje na kraj štapa; Sile u čvoru – sile kojima kraj štapa djeluje na čvor. Označavanje momenata:

ijM označava moment na štapu ij u čvoru i

jiM označava moment na štapu ij u čvoru j


Proračun unutarnjih sila Ukupne sile na krajevima štapa mogu se dobiti superpozicijom partikularnih rješenja. Prvo partikularno rješenje: određivanje momenata savijanja na obostrano upetom štapu za zadano opterećenje (momenti upetosti ABM i BAM , crtež b) Drugo partikularno rješenje: određivanje sila na krajevima neopterećenog štapa koji na krajevima ima pomake - zaokrete krajeva štapa ( Aϕ i Bϕ ) i njihov relativni pomak (δ) (crtež c).

ϕA

ϕB

δA B

P1 P2

MAB

TAB

MBA

TBA

ϕA

ϕB

δA B

mAB

tAB

mBA

tBA

A BMAB

MBAP1 P2

a)

b)

c)

Konačne vrijednosti momenata na krajevima štapa (crtež a) dobivaju se:

ABABAB mMM += ; BABABA mMM += Pomaci krajeva štapa su nepoznate veličine koje će se naknadno odrediti.


Sile na krajevima štapa od pomaka čvorova. Koeficijenti krutosti. Sile na krajevima neopterećenog štapa za stanje slobodnih pomaka čvorova su poprečne sile ( i ) i momenti savijanja ( i ). ABt BAt ABm BAm

ϕA

ϕB

δA B

mAB

tAB

mBA

tBA

L

x

Štap između čvorova A i B za ravnotežno stanje zadovoljava diferencijalnu jednadžbu:

Mdx

vdIE 2

2=

Moment na udaljenosti x od kraja A može se napisati kao: xtmM ABAB −−=

Rješavanjem jednadžbe xtmdx

vdIE ABAB2

2−−= dobiva se veza između momenta savijanja na

kraju štapa ( ) i pomaka na krajevima štapa (ABm Aϕ , Bϕ i δ):

δ+ϕ+ϕ= 2BAAB LEI6

LEI2

LEI4m

Analognim postupkom se dobiva izraz i za moment na drugom kraju štapa:

δ+ϕ+ϕ= 2ABBA LEI6

LEI2

LEI4m

Općenito, za štap koji spaja čvorove i i j, analitički izrazi za momente na krajevima štapa su:

δ⋅+ϕ⋅+ϕ⋅=

δ⋅+ϕ⋅+ϕ⋅=

jijjiijiji

ijjijiijij

cabm

cbam

Relativni pomak krajeva štapa:

jiij vv −=δ - razlika apsolutnih pomaka krajeva štapa okomitih na os štapa Koeficijenti koji uspostavljaju vezu između momenata na krajevima štapa i pomaka zovu se koeficijenti krutosti:

LIE4aa jiij == ;

LIE2bb jiij == ; 2jiij L

IE6cc ==

ija → moment u čvoru i štapa ij koji se javlja usljed djelovanja jediničnog kuta zaokreta u

čvoru i dok je istovremeno spriječen zaokret čvora j


ijb → moment u čvoru i štapa ij koji se javlja usljed djelovanja jediničnog kuta zaokreta u

čvoru j dok je istovremeno spriječen zaokret čvora i

Štap koji je na jednom kraju kruto, a na drugom zglobno vezan

Za zglobnu vezu na kraju (i) štapa (i)-(j):

( )ij

ijjiji

ijjijiijij

acb

0cbam

δ⋅+ϕ⋅−=ϕ→

=δ⋅+ϕ⋅+ϕ⋅=

ji

Uvrštavanjem izraza za iϕ u izraz za dobiva se: jim

δ⋅+ϕ⋅=

−=−=

δ⋅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−+ϕ⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

cjij

cjiji

ij

ijijji

cji

ij

2ij

jicji

ij

ijijjij

ij

2ij

jiji

cam

acb

cc ; ab

aa

acb

cab

am

Koeficijenti krutosti: 2cji

cji L

IE3c ; LIE3a ==

δ⋅+ϕ⋅=→ 2jji LIE3

LIE3m


Momenti upetosti To su momenti koji se javljaju na upetim krajevima štapa usljed zadanog opterećenja. Mogu se odrediti pomoću diferencijalne jednadžbe elastične linije nosača:

Mdx

vdEI 2

2=

Npr. greda opterećena koncentriranom silom na udaljenosti a od kraja A.

A B

a b

P

L

MABMBA

VA VBx

PMAB

M

VA

Diferencijalna jednadžba elastične linije nosača je:

)ax(PxVMdx

vdEI AAB2

2−−+−=

Rješavanjem jednadžbe dobiva se: 2

2AB

LbaPM +=

Sličnim postupkom dobilo bi se:

x

M

BP MBA

VB

2

2BA

LbaPM −=

Za djelovanje koncentrirane sile u sredini raspona:

2Lba == →

8LPMAB += ;

8LPMBA −=

Analognim postupkom, za jednoliko distribuirano opterećenje q:

12LqM

2AB += ;

12LqM

2BA −=

Greda koja je na jednom kraju upeta a na drugom slobodno oslonjena

A BMab Mba

Za poznatu veličinu aktivnog krajnjeg momenta abMmoment na upetom kraju iznosi:

abba M21M =→ (prijenosni moment)


Momenti upetosti usljed pomaka oslonaca Usljed pomicanja oslonca, greda se rotira kao kruto tijelo (rotacija ψ ). Ako se oslonac A slegne za veličinu δ:

δ ψ

Mab MbaA B

L

Lδ=ψ

slijedi:

ψ−=δ

−== LIE6

LIE6MM 2baab

Ako se oslonac B slegne za veličinu δ:

A BMab Mba

δψ

L

Lδ=ψ

slijedi:

ψ=δ

== LIE6

LIE6MM 2baab

Momenti upetosti za štap koji je na jednom kraju kruto, a na drugom zglobno vezan

ji q

ij

jiijjiji

uiji

cji

ij

ijuiij

uiij

cij

abM

MMbM

aM

0MaM

⋅−=+ϕ⋅=

−=ϕ⇒=+ϕ⋅=

Za štap konstantnog poprečnog presjeka:

LIE4aij = ;

LIE2bij = ; jiij bb = →

21

ab

ij

ji = ⇒ ijjicji M

21MM −=

Npr. za jednoliko raspodjeljeno opterećenje q:

A B

q Mbac

L

Momenti upetosti za obostrano upeti štap:

12LqM

2ab += ;

12LqM

2ba −=

12Lq

21

12LqM

22cba −−=

8LqM

2cba −=→


Za opterećenje koncentriranom silom u polovini raspona:

A BL/2

P

L/2

Mbac

Momenti upetosti za obostrano upeti štap:

8LPMab += ;

8LPMba −=

8LP

21

8LPM c

ba −−=

16LP3M c

ba −=→

Pomaci oslonaca:

A B

δψ

L

Mbac

ψ=δ

=L

IE3L

IE3M 2c

ba

A B

δ ψ

L

Mbac

ψ−=δ

−= LIE3

LIE3M 2

cba


TABLICA MOMENATA UPETOSTI

L

jiq

Mij

q L /8 2

Mji

Mij Mji

12LqM

2ij = ;

12LqM

2ji −=

L

jiq

qL /8 2

Mij

Mij

8LqM

2ij = ; 0M ji =

L/2

ji

P

P L/4

L/2

Mij

Mij Mji

Mji

8LPMij = ;

8LPM ji −=

ji

P

L/2 L/2

P L/4

Mij

Mij

16LP3Mij = ; 0M ji =


Uvjeti ravnoteže Izrazi za ukupne veličine momenata savijanja na krajevima štapa (i)-(j):

jiij

ij

iji

ijj

ijji

ijij

ij

ijj

iji

ijij

MLLIE6

LIE2

LIE4M

MLLIE6

LIE2

LIE4M

+δ

+ϕ+ϕ=

+δ

+ϕ+ϕ=

Uvodeći oznaku za fleksijsku krutost štapa i zaokret štapa kao krutog tijela : ijk ijψ

ijij L

IEk = ; ij

ijij L

δ−=ψ

može se pisati:

jiijijiijjijji

ijijijjijiijij

Mk6k2k4M

Mk6k2k4M

+ψ−ϕ+ϕ=

+ψ−ϕ+ϕ=

Nepomični sustavi: translacijski pomaci imaju zanemariv utjecaj na rezne sile

Pomični sustavi: translacijski pomaci su bitni; oni su funkcija neovisnih translacijskih pomaka Uvjeti ravnoteže momenata u čvorovima nepomičnog konstruktivnog sustava Za svaki slobodni čvor postavlja se po jedan uvjet ravnoteže momenata. Za čvor (i):

0)Mm(0M)j(

ijij)j(

ij =+→= ∑∑

ijm − moment na kraju (i) štapa (i)-(j) za stanje slobodnih pomaka

ijM − moment upetosti na kraju (i) štapa (i)-(j)

∑∑ −=δ⋅+ϕ⋅+ϕ⋅→)j(

ij)j(

ijijjijiij M)cba(

Rješenje sustava jednadžbi ravnoteže su vrijednosti zaokreta čvorova. Momenti na krajevima štapova su: ijijij MmM +=

Konačne poprečne sile na krajevima štapova:

ij

jiij0ijij L

MMTT

++=

ij

jiij0jiji L

MMTT

++=

ji

Tij0 Tji

0

Uzdužne sile - određuju se iz uvjeta ravnoteže čvorova ili dijelova konstrukcije. ijN


Primjer: GREDNI NOSAČ PREKO TRI OSLONCA

- jedan neovisni kut zaokreta

Momenti upetosti:

L

1

q

L

2

3EI EIϕ2

12LqM

12LqM

12LqM

12LqM

2

32

2

23

2

21

2

12

−==

−==

Momenti na krajevima štapova:

12Lq

LIE4M

12Lq

LIE2M

2

223

2

212

+ϕ⋅=

+ϕ⋅=

12Lq

LIE2M

12Lq

LIE4M

2

232

2

221

−ϕ⋅=

−ϕ⋅=

Jednadžba ravnoteže čvora (2): 0MM0M 23212 =+→=∑

12Lq

12Lq

LIE4L

IE422

22 −=ϕ⋅+ϕ⋅

Jednadžba ravnoteže cijelog sistema ima oblik:

00LIE8 22 =ϕ⇒=ϕ⋅

Slijedi: 12LqM ,

12LqM ,

12LqM ,

12LqM

2

32

2

23

2

21

2

12 −==−==

Poprečne sile: 012

211212 T

LMM

T ++

= 2Lq

2Lq

L12Lq

12Lq

T

22

12 =+−

=

Dijagrami unutrašnjih sila:

qL/2qL /122

qL /242

qL /122

qL /122

qL /242M12

M21 M23 M32

Mx

+− −

+qL/2

qL/2

qL/2

Tx


Primjer: GREDNI NOSAČ OPTEREĆEN POMAKOM OSLONCA

Nosač ima konstantnu fleksijsku krutost . Usljed diferencijalnog slijeganja tla nastaje pomak oslonca 4 u odnosu na oslonce 1, 2 i 3 za 30 mm.

23 kNm100.25EI ⋅=

6.0 m 6.0 m 6.0 m

1

2

4

EI

3

δ4 = 30 mm

Momenti upetosti:

kNm125)03.0(0.6

100.256MM

0M , 0M , 0M , 0M

2

34334

32232112

=−⋅⋅⋅−==

====


125LIE4ML

IE4M

LIE2L

IE4M

LIE2M

334

34334

34

323

223

23

212

12

+ϕ⋅=+ϕ⋅=

ϕ⋅+ϕ⋅=

ϕ⋅=

125LIE2ML

IE2M

LIE2L

IE4M

LIE4M

334

43334

43

223

323

32

212

21

+ϕ⋅=+ϕ⋅=

ϕ⋅+ϕ⋅=

ϕ⋅=


0LIE2

LIE8 32 =ϕ⋅+ϕ⋅


125LIE8L

IE2 32 −=ϕ⋅+ϕ⋅

Rješenje sustava jednadžbi:

004.0;001.0IE30L500;IE30

L1253232 −=ϕ=ϕ⇒−=ϕ=ϕ


Slijedi:

kNm6.91M , kNm3.58M

kNm3.58M , kNm7.16M , kNm7.16M , kNm3.8M

4334

32232112

==

−=−===

6.0 m 6.0 m 6.0 m

1

2

4

EI

3

δ4 = 30 mm

Mx

8.3 16.7 58.3 91.6

vx


Jednadžbe ravnoteže kod pomičnih konstruktivnih sustava Pomični sustavi - sustavi s neovisnim translatornim pomacima 1) Uvjeti ravnoteže momenata Za svaki slobodni čvor postavlja se po jedan uvjet ravnoteže momenata. Za čvor (i):

0)Mm(0M)j(

ijij)j(

ij =+→= ∑∑

2) Dodatne jednadžbe ravnoteže broj dodatnih jednadžbi ravnoteže = broj neovisnih translatornih pomaka čvorova Dodatne jednadžbe dobivaju se iz uvjeta ravnoteže pogodno odabranih dijelova konstrukcije.

Npr., za portalni okvir opterećen horizontalnim opterećenjem:

A

B C

MABD

P

h

HA

VA

MBA HB

VB

MDC HD

VD

MCD HC

VC

iz uvjeta ravnoteže momenata oko točke B na stupu AB i oko točke C na stupu CD dobiva se:

BAABA MMhH += , DCCDD MMhH +=

Iz uvjeta ravnoteže horizontalnih sila za cijeli okvir slijedi jednadžba:

hMM

hMM

HHP DCCDBAABDA

++

+=+=

Ista jednadžba bi se dobila i iz uvjeta ravnoteže sila u horizontalnom smjeru dijela konstrukcije prikazanog na crtežu (jednadžba posmičnih sila):

B CP

TBA TCD

hMM

hMM

TTP DCCDBAABCDBA

++

+=+=


Umjesto jednadžbi posmičnih sila, dodatne jednadžbe formiraju se i korištenjem principa virtualnih pomaka. Primjena principa virtualnih pomaka za kruto tijelo:

• spriječe se svi neovisni translatorni pomaci

• na spojevima štapova i čvorova ubacuju se zglobovi

• oslobađa se pojedina veza koja spriječava translatorne pomake - dio konstrukcije pretvara se u mehanizam

• dobivenom mehanizmu daje se virtualni pomak , čvorovi se pomiču translatorno 1W =∗

• formira se jednadžba virtualnog rada; rad vrši vanjsko opterećenje i momenti na krajevima štapova

Jednadžba virtualnog rada predstavlja uvjet ravnoteže dijela konstrukcije.

Za k-ti neovisni translatorni pomak jednadžba virtualnog rada glasi:

[ ] 0Pdx)k()x(q)k(F)k()MM( iixmmijjiij =δ⋅+⋅δ⋅+δ⋅+ψ⋅+∑ ∫

)k(ijψ − zaokret štapa (i)-(j) pri virtualnom pomaku

mF − koncentrirana sila na štapu )k(mδ − pomak točke na pravcu sile

iP − koncentrirana sila u čvoru

∫ ⋅δ⋅ dx)k()x(q x − rad kontinuiranog opterećenja na štapu

Sumacija se vrši preko svih štapova i čvorova koji imaju pomake uzrokovane virtualnim pomakom . 1Wk =∗

Rješenje sustava jednadžbi ravnoteže su:

- vrijednosti zaokreta čvorova ϕ - vrijednosti neovisnih translatornih pomaka čvorova W


Primjer ravninskog pomičnog sustava bez kutova zaokreta (nema nepoznanica ϕ, samo translatorni pomak W)

Jednokatni okvir s krutom prečkom izložen djelovanju horizontalne sile

→ ∞

kruta prečka

1

2 3

4

L

EI EI h

H

EI

W=1

hψ12 ψ34

Nema savijanja prečke (nema rotacijskih pomaka); jedan nezavisni translatorni pomak W horizontalni pomak čvora 2 = horizontalni pomak čvora 3 ⇒ ψ=ψ=ψ 3412

Za pomak W u pozitivnom smjeru globalne osi X je: Wh1

⋅−=ψ

Momenti upetosti su jednaki nuli.


Wh

IE6hIE6MMMM 243342112 ⋅+=ψ⋅−====

Jednadžba virtualnog rada na pomacima koji nastaju pri virtualnom pomaku glasi: 1W =∗

Hh1W

hIE64

01H)MM()MM(

2

344334122112

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⋅⋅

=⋅+ψ⋅++ψ⋅+ ∗∗

Jednadžba ravnoteže sustava ima oblik:

IE24hHWHWIE

h24 3

3⋅=⇒=⋅

4hHMMMM 43342112

⋅====⇒

H h/4

Mx Txh/2

H h/4

H h/4

H h/4

H h/4

+

−

H/2 H/2

H h 2 L

+


Pomični sustavi s kutovima zaokreta Primjer 1: Odrediti dijagram momenata za F = 100 kN.

1

2

3

4

3.0

EI

3.0

4.0

EI

2EI

F

Nepoznanice su: - kut zaokreta čvora 2, 2ϕ - horizontalni translacijski pomak grede 1-2-3, W Svi momenti upetosti su jednaki nuli ijij mM =⇒ Veza između momenata na krajevima štapa i pomaka za obostrano upetu gredu:

ijijiijjijji

ijijjijiijij

k6k2k4m

k6k2k4m

ψ−ϕ+ϕ=

ψ−ϕ+ϕ=

gdje je ij

ijij L

δ−=ψ kut zaokreta grednog elementa kao krutog tijela; jiijij vv −=δ

ijv i su komponente pomaka čvorova (i) i (j) elementa (i)-(j) na pravcima okomitim na njegovu os.

jiv

Za jednostrano upetu gredu sa zglobom u čvoru (j) je:

ijijiijij k3k3m ψ−ϕ=


Plan pomaka zglobne sheme za : 1W =∗

3/4.

ψ12 ψ32

ψ42

W=1 1 15/4

0)W(v12 =∗ 43)W(v21 −=∗

41

3)43(0

L)W(v)W(v

)W(12

211212 −=

−−−=

−−=ψ

∗∗∗

43)W(v23 −=∗ 0)W(v32 =∗

41

3043

L)W(v)W(v

)W(23

322323 =

−−−=

−−=ψ

∗∗∗

0)W(v42 =∗ 45)W(v24 −=∗

41

5)45(0

L)W(v)W(v

)W(24

244224 −=

−−−=

−−=ψ

∗∗∗

Pomak i kut zaokreta pri translacijskom pomaku : i 1W =∗ )W(vij∗ )W(ij

∗ψ

Pomak i kut zaokreta pri općem pomaku W: i W)W(vv ijij ⋅= ∗ W)W(ijij ⋅ψ=ψ ∗

Proračunski koeficijenti fleksijske krutosti:

52

IE1

LIE2k ,

31

IE1

LIEk ,

31

IE1

LIEk

2424

2323

1212 ======

Momenti na krajevima grednih elemenata kao funkcije kuta zaokreta ϕ2 i pomaka W:

WWkk2k6k2M

WWkk4k6k4M

WWkk3k3k3M

WWkk3k3k3M

53

254

2423

224242422442

53

258

2423

224242422424

41

22343

223232322323

41

21243

212121221221

+ϕ=+ϕ=ψ−ϕ=

+ϕ=+ϕ=ψ−ϕ=

−ϕ=−ϕ=ψ−ϕ=

+ϕ=+ϕ=ψ−ϕ=

Uvjet ravnoteže momenata u čvoru 2:

0MMMM 242321)j(

j2 =++=∑ ⇒ 0W53

518

2 =+ϕ

Druga jednadžba - jednadžba virtualnog rada na pomacima pri virtualnom pomaku : 1W =∗

{ } 043F)W(M

)ik(ikik =⋅+ψ∑ ∗

( ){ } 043F)W(MM)W(M)W(M 24422423231221 =⋅+ψ++ψ+ψ ∗∗∗


→ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ } 0FWWWW43

41

53

254

53

258

41

41

241

41

2 =⋅+−⋅+ϕ++ϕ+⋅−ϕ+−⋅+ϕ

⇒ 075W4017

53

2 =+−ϕ−

Sustav jednadžbi za određivanje 2ϕ i W je:

0W53

2518 =+ϕ

75W4017

253 =+ϕ

Rješenje sustava:

462.3813500

2 −=−=ϕ 769.230W13

3000 ==

Veličine momenata na krajevima grednih elemenata:

kNm69.107WM

kNm92.76WM

kNm15.96WM

kNm23.19WM

53

254

42

53

258

24

41

223

41

221

=+ϕ=

=+ϕ=

−=−ϕ=

=+ϕ=

Momentni dijagram:

107.69

Mx

76.92

96.15

19.23


Primjer 2: Odrediti dijagram momenata savijanja za okvirnu konstrukciju. .konstEI =

L

L/2 L/2

P

A

B C

D

P

A

B C

D

W W

ψAB ψCD

Nepoznanice su: - kutovi zaokreta čvorova B i C, Bϕ i Cϕ - horizontalni translacijski pomak grede B-C, W

Usljed translacijskog pomaka W, vertikalni elementi imaju zaokrete: LW

CDAB −=ψ=ψ

Momenti upetosti:

8LPM , 8

LPM

0M , 0M , 0M , 0M

CBBC

DCCDBAAB

−==

====


WL

IE3L

IE3M

8LP

LIE2

LIE4M

WL

IE6L

IE2M

2CCD

CBBC

2BAB

⋅+ϕ⋅=

+ϕ⋅+ϕ⋅=

⋅+ϕ⋅=

0M

8LP

LIE2

LIE4M

WL

IE6L

IE4M

DC

BCCB

2BBA

=

−ϕ⋅+ϕ⋅=

⋅+ϕ⋅=

Jednadžba ravnoteže čvora B: 0MM0M BCBAB =+→=∑

08LPW

LIE6

LIE2

LIE8

2CB =+⋅+ϕ⋅+ϕ⋅ (1)

Jednadžba ravnoteže čvora C: 0MM0M CDCBC =+→=∑

08LPW

LIE3

LIE7

LIE2

2CB =−⋅+ϕ⋅+ϕ⋅ (2)

Jednadžba virtualnog rada na pomacima koji nastaju pri virtualnom pomaku : 1W =∗

0M)MM( CDCDABBAAB =ψ⋅+ψ⋅+ ∗∗


0LM

LMM

L1 CDBAAB

CDAB =−+

−→−=ψ=ψ ∗∗

Ili, iz uvjeta ravnoteže sila u smjeru pomaka:

B C

TBA TCD 0L

ML

MM0TT:0F CDBAAB

CDBAx =++

→=+=∑

⇒ 0WL

IE15L

IE3L

IE63C2B2 =⋅+ϕ⋅+ϕ⋅ (3)

Rješenje sustava jednadžbi (1)-(2)-(3) je:

IELP0256.0IE352

LP9 22

B −=−=ϕ ; IELP0227.0IE44

LP 22

C ==ϕ ; IELP00568.0IE176

LPW33

==

Uvrštavanjem dobivenih vrijednosti pomaka u izraze za momente na krajevima greda, slijedi:

LP017.0176LP3MAB −=−= ; LP068.0176

LP12MBA −=−= ; LP068.0176LP12MBC ==

LP085.0176LP15MCB −=−= ; LP085.0176

LP15MCD == ; 0MDC =

M

0.085 PLP

0.068 PL

0.017 PL 0.017 PL

Msr

0.085 P

0.483 P

HA

VA

HD

VD

0.085 PL0.068 PL

0.173 PL

0.017 PL

Reakcije oslonaca

Uvjet ravnoteže momenata oko točke B na stupu AB:

P085.0LMM

HMMLH BAABABAABA =

+=→+=

Uvjet ravnoteže momenata oko točke D za cijeli okvir:

P483.0LM

2PV02

LPMLV ABAABA =−=→=−+

Moment u sredini raspona:

LP173.0MLHM2LVM srAABAsr =→−+=


Documents

Predavanja Metoda Pomaka