Odredjivanje pomaka

ODREĐIVANJE POMAKA NA STATIČKI ODREĐENIM SUSTAVIMA

x

z

y

h

bL

Za svaki presjek treba naći: tri unutrašnje sile - M, T, N tri deformacijske veličine - κ, ε, γ tri pomaka - u, v, ϕ Pomaci: Unutrašnje sile:

L

M

T

Nx

z L

Ax

z

u ϕvA’

Deformacijske veličine:

1

ε

1

h

κ

ds

hhγ

Vedrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 136

Jednadžbe ravnoteže - diferencijalne veze između unutrašnjih sila i opterećenja

xx ndx

dN−=

x

z

n = const.x

Nx

xx pdx

dT−=

Tx

Mx

x

p = const.x

z

xx Tdx

dM=

ili

x2x

2p

dxMd

−=


Veze deformacijskih veličina s unutrašnjim silama i temperaturnim promjenama

Pretpostavka da vrijedi Hookeov zakon:

tE tα+σ=ε ;

Gτ=γ

Ved

M MT

TN

NR

dϕ

-

a)

N

rela

ε − relativno produljenje tj. skraćenje γ − klizanje (posmična deformacija) σ − normalno naprezanje τ − posmično naprezanje E − modul elastičnosti G − modul posmika αt − temperaturni koeficijent

Bernoullieva pretpostavka o ravnim presjecima

rana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 138

Utjecaj uzdužne sile

NR

dϕ

d dϕ+∆ ϕR

ydsdsy

ds1

ds2

∆dsy

2

Promjena duljine osi elementa ( )ds∆ :

Eσ=ε ;

AN=σ →

AEdsNds

EdsdsN =σ=ε=∆

Relativna promjena duljine: EAN

N =ε

Promjena kuta ( : )dϕ∆

dsR

yRd)yR(dsy+=ϕ+=

ϕ∆+=∆ d)yR(dsy

tivno produljenje:

EdsdR

dsds

y

y σ=ϕ∆⋅=∆

=ε ⇒ AN

dsdRE =ϕ∆⋅=σ →

RAEdsNd N =ϕ∆

Relativna promjena kuta: EAN

R1

dsd

N =ϕ∆=κ

b) Utjecaj momenta savijanja

R1

dϕ

d dϕ+∆ ϕ


R

ydsdsy

e

M M

Izraz za naprezanje:

ϕ+ϕ∆⋅=

∆=ε

d)yR(dy

dsds

1y

y

ϕ+ϕ∆⋅⋅=ε⋅=σd)yR(

dyEE1

Promjena duljine osi određuje se korištenjem dva uvjeta ravnoteže: suma projekcija sila ( ) i suma momenata (

0X =∑0M =∑ ).

0dAyR

yyR

dAyd

dE0dA0X11

=+

→+ϕ

ϕ∆⋅==σ⇒= ∫∫∫∑

dAyR

yd

dEMdAy0M1

2

∫∫∑ +ϕϕ∆⋅==σ⇒=

43421321

01

11

1

1

2dA

yRyRdAydA

yRyRydA

yRy

=

∫∫∫∫ +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

+

osneutralnu naobzirom spovršine

moment staticki

Aed

dEMAedAydAyR

y1

2⋅

ϕϕ∆⋅=⇒==

+→ ∫∫

RAeEdsM

AeEdMd M =ϕ=ϕ∆

ϕ∆=∆ dedsM → RAE

dsMdsM =∆

Relativna promjena duljine: EAM

R1

M =ε

Promjena kuta : )d( ϕ∆

dAyR

yd

dEM1

2

∫ +⋅

ϕϕ∆⋅=

e – mala veličina (uslijed male zakrivljenosti) → RyR1 =+

→ IR1dAy

R1dA

yRy 2

1

2==

+ ∫∫

⇒ IR1

ddEM ⋅ϕϕ∆⋅= →

IEdsMd M =ϕ∆

Relativna promjena kuta: IEM

M =κ

c) Utjecaj poprečne sile

Gτ=γ ;

IbST=τ →

IGbST=γ

T - poprečna sila S - stat. moment s obzirom na težište presjeka površine iznad ili ispod ordinate y=konst. I - moment tromosti poprečnog presjeka b - širina presjeka na mjestu y = konst.

b

τ

γ

..

..

ds ds

γ w = ds γ

Da bi vrijedila hipoteza o ravnim presjecima, raspodjela klizanja zamijeni se s prosječnim klizanjem kod kojega je .konstds =⋅γ

Rad posmičnih naprezanja pri stvarnoj deformaciji:

∫∫∫ =τ=γτ=)A(

2

2

2

2

)A(

2

)A(dA

bS

IA

AGdsTdA

GdsdsdAW

∫=)A(

2

2

2 dAbS

IAk →

AGdsTkW

2= ; k – karakteristika oblika poprečnog presjeka


Rad posmičnih naprezanja uz pretpostavljenu raspodjelu deformacija:

dsTdAdsdsdAW)A()A(

γ=τγ=γτ= ∫∫

AGdsTkdsTWW

2=γ⇒=

Deformacija uslijed posmika: GATk=γ

d) Utjecaj temperature Jednolika promjena temperature:

dstds st ⋅⋅α=∆

N

P

V

ts

ds ∆ds

Relativna promjena duljine: stt t⋅α=ε

ejednolika promjena temperature:

∆t

∆t/2

h

+

+

dϕ

d dϕ+∆ ϕ

ds1

ds2

+

romjena duljine gornjeg, odnosno donjeg vlakanca:

1t1 ds2tds ⋅∆⋅α=∆ ; 2t2 ds

2tds ⋅∆⋅α−=∆

hdsdsd 21

t∆−∆

=ϕ∆ → h

dstd tt

∆α=ϕ∆

Relativna promjena kuta: h

ttt

∆⋅α=κ

edrana Kozulić Građevinska statika 1 – Određivanje pomaka 141

Ako se uzmu u obzir svi utjecaji, izrazi za relativne deformacije na jedinicu duljine su:

tEAM

R1

EAN

t ⋅α++=ε ; h

tEAN

R1

EIM t ∆⋅α

++=κ ; GATk=γ

VEZE DEFORMACIJSKIH VELIČINA I POMAKA Promatra se deformacija grede u ravnini:

o

b’

b

a’

a

x

y

Pomak točke: )v,u(δ=δrr

ili ),( ηξδ=δrr

x

y

O

α

a

b

a’

b’i’

δi

i u

v

ξ

η

δa

δb

Veze između komponenti pomaka:

αη+αξ−=

αη+αξ=

cossinv

sincosu

α+α=η

α−α=ξ

cosvsinu

sinvcosu


Pomaci i deformacija jednog diferencijalnog elementa osi:

O

u

v

dy

u + du

v + dv

dy + dv

dx + du

dx

(1+ ε) ds

ds

α+ϕ

α

x

y

Projekcije diferencijalnog elementa na koordinatne osi:

α= cosdsdx ; α= sindsdy Promjena duljine elementa: dsds ε=∆ Promjena kuta nagiba: α∆=α∆=ϕϕ=α∆ ddd;

ε − relativna promjena duljine osi štapa

ϕ − kut za koji se zaokrene tangenta na os štapa Projekcije deformiranog elementa osi grede: dudx + i dvdy + Veze pomaka u i v, kuta zaokreta ϕ i relativnog produljenja ε:

)(sinds)1(dvdy

)(cosds)1(dudx

ϕ+αε+=+

ϕ+αε+=+ teorija velikih deformacija →

Veličine ε i ϕ se mogu izraziti pomoću pomaka:

( ) ( ) 2222 ds)1(dvdydudx ε+=+++

1ds

dvdyds

dudx 22−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=ε

dudxdvdy)(tg

++=ϕ+α → α−

++=ϕ

dudxdvdytgarc


Pretpostavka o malim deformacijama (geometrijska linearizacija): 1cos ≈ϕ ; ϕ≈ϕ≈ϕ tgsin

αϕ+α=ϕα+ϕα=ϕ+ααϕ−α=ϕα−ϕα=ϕ+α

cossinsincoscossin)(sinsincossinsincoscos)(cos

Slijedi:

( )

( )αϕ+αε+=+

αϕ−αε+=+

cossinds)1(dvdy

sincosds)1(dudx

⇒ linearna ovisnost pomaka i deformacija:

dxdydvdydxdu

ϕ+ε=ϕ−ε=

α−α=ϕα+α=ε

sinducosdvdssindvcosduds

- geometrijska linearnost

O

u

v

dy

u + du

v + dv

dx

(1+ ε) ds

dsα

x

y

du

dv

ϕ ds

ε ds

α

dvcosdssindsdusindscosds

=αϕ+αε=αϕ−αε

Veze između deformacijskih veličina i komponenti pomaka ξ i η:

η+αξ=ϕαη−ξ=εddds

ddds


Pomaci uslijed promjene kuta zaokreta Za :0=ε

αϕ=ϕ=

αϕ−=ϕ−=

cosdsdxdv

sindsdydu ili ϕ=ϕ−=

dxdv ;

dydu

Slijede diferencijalne jednadžbe pomaka:

ακ

=α

⋅ϕ

=ϕ

=

ακ

−=α

⋅ϕ

−=ϕ

−=

coscos1

dsd

dxd

dxvd

sinsin1

dsd

dyd

dyud

2

2

2

2

PRIMJER:

x

y

L

s

hM

M

α

.konstIE = Vertikalni pomaci

α⋅=cos

1IE

Mdx

vd2

2 ;

sLcos =α

Ls

IEM

dxvd 2

2⋅=→

Uzastopnom integracijom se dobiva: 21

2CxC

2x

LIEsMv ++⋅=

Rubni uvjeti: 0 vLxZa

0 v0x Za

==

== 0C ;

IE2sMC 21 =−=⇒ ( )xLx

LIE2sMv 2 −=→

Horizontalni pomaci

43

2CyC

2y

hIEsMu ++⋅−=→

hs

IEM

dyud2

2⋅−=

Rubni uvjeti: 0u hZa y

0u 0 yZa

==

==0C ; IE2

sMC 43 ==⇒ ( )yhyhIE2sMu 2 −−=→


Određivanje progibne linije ravnog nosača - progib v(x); kut zaokreta ϕ(x) Progibna linija – neprekinuta i glatka krivulja Za slučaj čistog savijanja zakrivljenost nosača je:

IEM1 =

ρ (za utjecaj poprečne sile se može zanemariti) Lh <<

Zakrivljenost krivulje određena je izrazom:

23

2

2

2

dxdv1

dxvd

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+

±=ρ

Za male progibe: ⇒ ( ) 1v 2 <<′ diferencijalna jednadžba elastične linije ravnog nosača za slučaj čistog savijanja:

IEM

dxvd2

2±=

Analitička metoda određivanja elastične linije nosača v(x)→

→=ϕdxdvtg pretpostavka malih progiba: →ϕ≈ϕtg

dx)x(dv)x( =ϕ

⇒ .konstIE =dxdv=ϕ

2

2

dxvdIEM −=

3

3

dxvdIE

dxdMT −==

4

4

dxvdIE

dxdTq =−=

• Uzastopno neposredno integriranje diferencijalne jednadžbe elastične linije • M(x) izraziti kao funkciju opterećenja q i apscise presjeka x • Konstante inegracije odrediti iz rubnih uvjeta


PRIMJER: Elastična linija nosača sa zglobom u polju U presjeku u kojemu se nalazi zglob elastična linija nije glatka krivulja.

- progibi spojenih dijelova nosača su jednaki: dvv =l

- kutovi zaokreta presjeka lijevo i desno od zgloba su različiti: dϕ≠ϕl

A C

I II

BM

x

y

ϕlC

ϕdC

ϕB

x

a b

MA

FA FB

vC

MA

M

−+

Mx

∑ =→=bMF0M BC ; ∑ =→=

bMF0F Ay

∑ =++−=→=bAM)ba(FMM0M BAA

Moment savijanja u presjeku x:

)ba(x0baM

bxMMxF)x(M AA +≤≤−=−=

Diferencijalna jednadžba elastične linije za dio I, ax0 ≤≤ :

baM

bxM)x(M

dxvdIE 2

2

z +−=−=

Dvostrukim integriranjem dobiva se:

1

2

z CxbaM

b2xM

dxdvIE ++−=

11

23

z DxCb2xaM

b6xM)x(vIE +++−=

Diferencijalna jednadžba elastične linije za dio II, )ba(xa +≤≤ :

baM

bxM)x(M

dxvdIE 2

2

z +−=−=


Dvostrukim integriranjem dobiva se:

2

2

z CxbaM

b2xM

dxdvIE ++−=

22

23

z DxCb2xaM

b6xM)x(vIE +++−=

Konstante integracije određuju se iz četiri uvjeta:

Za presjek A, : 0x =

0dx

)0(dv)0(A ==ϕ=ϕ

0)0(vvA ==

⇒ 0C1 = , 0D1 =

Za presjek C, : ax =

)a(v)a(v III =

⇒ 22

3333DaC

b2aM

b6aM

b2aM

b6aM +++−=+− → aCD 22 −=

Slijedi jednadžba elastične linije za dio II:

)ax(Cb2xaM

b6xM)x(vIE 2

23

z −++−=

Za presjek B, : bax +=

0)ba(vII =+

⇒ )aba(Cb2

)ba(aMb6

)ba(M0)ba(vv 2

23

B −+++++−==+=

→ 2

2

2

2

2

3

2 b6)a2b()ba(M

b2)ba(aM

b6)ba(MC −+=+−+=

Jednadžba elastične linije nosača:

( )32

zxxa3

IEb6M)x(v −= , ax0 ≤≤

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−++−= )ax(

b)a2b()ba(xxa3

IEb6M)x(v

232

z , )ba(xa +≤≤


Opća jednadžba elastične linije za čitav nosač:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−++−=

<4444 34444 21

0a)-(x je ako seispušta

)ax(b

)a2b()ba(xxa3IEb6

M)x(v2

32

z

Npr. progib u točki C:

( )z

332

zC IEb3

aMaaa3IEb6

M)a(vv =−⋅==

Deriviranjem opće jednadžbe elastične linije dobiva se:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++−==ϕb

)a2b()ba(x3xa6IEb6

Mdxdv)x(

22

z

Kut zaokreta presjeka lijevo od zgloba C:

z

2

IC IEb2aM)a( =ϕ=ϕ l

Kut zaokreta presjeka desno od zgloba C:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++=ϕ=ϕb

)a2b()ba(a3IEb6

M)a(2

2

zIIC d

Kut zaokreta u osloncu B:

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −++−=+ϕ=ϕb

)a2b()ba(ba3IEb6

M)ba(2

22

zB


Grafoanalitička metoda određivanja pomaka nosača Zasniva se na matematičkoj analogiji:

qdx

MdMdx

vdIE 2

2

2

2−=↔−=

Fiktivni nosač – jednake duljine i krutosti kao stvarni nosač Fiktivno opterećenje:

Mq = , M - dijagram momenta savijanja konstruiran na stvarnom nosaču

- fiktivni moment savijanja M , fiktivna poprečna sila T Pozitivni dijagram momenata savijanja na stvarnome nosaču – pozitivno fiktivno opterećenje na fiktivnom nosaču usmjereno prema dolje Za fiktivni nosač:

Mdx

Mdqdx

Md2

2

2

2−=→−=

2

2

2

2

dxMd

dxvdIE =⇒ ili MvIE ′′=′′

Integracijom jednadžbe dobiva se:

CdxMd

dxdvIE +=

CTdxdvIET

dxMd +=→=

DxCMvIE ++= Konstante integracije ovise o rubnim uvjetima. Ako je na fiktivnom nosaču 0T = i 0M = u istim presjecima u kojima je i 0=ϕ 0v = na stvarnom nosaču ⇒ i 0C = 0D = Slijedi:

IEMv

IET

dxdv

=

==ϕ


Odabir fiktivnog nosača:

FIKTIVNI NOSAČ

0TT0M

dl ≠≠≠

0T0M

≠≠

0T0M

≠=

0T0M

==

STVARNI NOSAČ

00v

dl ≠ϕ≠ϕ≠

00v

≠ϕ= 0

0v≠ϕ≠

00v

=ϕ=

FIKTIVNI NOSAČ

0T0M

≠≠

0T0M

==

00v

≠ϕ≠

00v

=ϕ=

0T0M

≠=

0T0M

≠=

00v

≠ϕ=

00v

≠ϕ=

FIKTIVNI NOSAČ

STVARNI NOSAČ

STVARNI NOSAČ

Postupak određivanja progiba i kutova zaokreta grafoanalitičkom metodom:

• konstruiranje dijagrama momenata savijanja stvarnog nosača M • odabir fiktivnog nosača; kontinuirano fiktivno opterećenje u obliku dijagrama

momenta savijanja stvarnog nosača zamjenjuje se koncentriranim silama u težištu pojedinih dijelova dijagrama M

• određivanje M i T u zadanom presjeku • određivanje traženog progiba i kuta zaokreta na stvarnom nosaču


Primjeri rastavljanja dijagrama momenata savijanja stvarnog nosača na jednostavnije likove za koje znamo površinu i položaj težišta:

a

h1h2

bl

h2

h2

T

2/3l 1/3l

T

2/3b 1/3b

h1

h2

l

T

2/3l1/3l

T

h1

h2

2/3l 1/3l

h

l

3/4l1/4l

T

kvadratna parabolapovršina A = 1/3 hl

h1 h2

l

T

2/3l1/3l

T

h1

2/3l 1/3l

h2


h1 h2

T

2/3l1/3l

T

h1

2/3l 1/3l

h2

l/2 l/2

h3

h3T

kvadratna parabolapovršina A = 2/3 h3l

l/2 l/2

h1

h2

1/3l 1/3l 1/3l

TT

l/2 l/2

h3T

l/2 l/2

h1

h3 h2


PRIMJER: Za nosač prikazan na slici treba odrediti progib i kut zaokreta u presjeku B.

2L/3 L/32L/3L/3CFBF 2Φ

1Φ

+

BdϕBlϕ L L

M

M

M

y

x

B

C

C

B

A

Bv A

2LM

21 =Φ=Φ

Fiktivne ležajne reakcije:

3LM2

34L

322

L1FF 11BC =Φ=⋅⋅Φ=−=

Fiktivne poprečne sile u presjeku B:

2LMT 1lijevoB =Φ=

6LMLM

32

2LMFT B1desnoB −=−=−Φ=

Kutovi zaokreta u presjeku B:

IE6LM

IET

IE2LM

IET

dBdesnoB

lBlijevoB

−==ϕ

==ϕ

Fiktivni moment savijanja u presjeku B:

3LML

32

2LML

32M

2

1 =⋅=⋅Φ=

Progib u presjeku B:

IE3LM

IEMv

2

B ==


Određivanje pomaka korištenjem energetskih teorema

ENERGETSKI TEOREMI

Rad vanjskih i unutrašnjih sila

W - rad vanjskih sila ; Wu - rad unutrašnjih sila

- stvarni rad vanjskih i unutrašnjih sila - virtualni rad vanjskih i unutrašnjih sila

Stvarni rad vanjskih i unutrašnjih sila

Pri opterećenju vanjske sile vrše pozitivan rad a unutrašnje sile negativan.

U - potencijalna energija deformacije

Zakon o održanju energije pri statičkom opterećenju elastičnog tijela:

uWWU −==

sila F(δ) ↔ pomak δ(F)

F

δ

F

F( )δ

dF

δ

dδ

W* ili U*

F

δ(F)δ

W ili U

F

δ

F

δ

W*

W

Rad sile F na pomaku δ: ∫ δ=δ

0dFW

Komplementarni rad: WFdFWF

0−δ=∫ δ=∗

Za linearno elastično tijelo: ; a – koeficijent proporcionalnosti Fa=δ

2

Fa22

FadFFaW22F

0

δ=δ==∫= →=δ dFad

2FWW δ==⇒ ∗


Ako djeluje više sila na linearno elastično tijelo:

F1 F2 Fi Fn

δ1 δ2 δiδn

Pomak δk u smjeru djelovanja sile Fk:

∑ δ=δ++δ++δ+δ=δ=

n

1iikinknkkk22k11kk FFFFF . . . . . . . . . .

kjδ - pomak na mjestu i u smjeru sile Fk uzrokovan djelovanjem sile 1Fj =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δ++δ+δ=δ

k

nkn

k

22k

k

11kkk F

FFF

FF

F . . . . .

Rad svih sila koje djeluju na tijelo:

→δ=δ++δ+δ= ∑=

n

1kkknn2211 F

21F

21F

21F

21W K Clapeyronov teorem

Potencijalna energija deformacije izražena kao rad unutrašnjih sila Rad uzdužne sile:


2dsN

2dsNdWdU uNN

ε=∆==

N

N

ds ds+∆ds

Rad momenta:

2dsM

2dMdWdU uMM

κ=ϕ∆==

dϕ

d dϕ+∆ ϕ

ds

M M

Rad poprečne sile:

2dsTdWdU uTT

γ== T

T

γ

ds

M MT

TN

N

dϕ

ds

Ukupan deformacijski rad u elementu grede duljine ds:

( )dsTNM21dU γ+ε+κ=

Ukupan deformacijski rad sistema:

( )∫∫ γ+ε+κ==s

dsTNM21dUU

Ako se deformacijske veličine izraze kao funkcije sila:

∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

s

222ds

AGTk

AEN

IEM

21)T,N,M(U

Ako se sile izraze kao funkcije deformacijskih veličina:

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ γ+ε+κ=γεκ

s

222 dskAGAEIE

21),,(U

Stvarni rad vanjskih sila i potencijalna energija deformacije sistema uvijek su pozitivni.

Potencijalna energija deformacije (deformacijski rad) može se izraziti i kao funkcija vanjskih sila – aktivnih (Fi) i reaktivnih (Ri):

∑∑ +=i

ii

i

ii

2rR

2sF

U


Virtualni rad vanjskih i unutrašnjih sila Virtualni rad vanjskih sila:

∑ δ= ikiik FW - rad sila stanja i na pomacima stanja k

Virtualni rad unutrašnjih sila na elementu grede duljine ds: dsTdsNdMdW kikiki)ik(u γ−∆−ϕ∆−=

Virtualni rad unutrašnjih sila na čitavom sistemu: ( ) dsTNMW

skikiki)ik(u ∫ γ+ε+κ−=

Deformacijske veličine:

IEMk

k =κ ; AE

Nkk =ε ; k

AGTk

k =γ

∫∫∫ −−−=s

ki

s

ki

s

ki)ik(u ds

AGTT

kdsAENN

dsIEMM

W

Rad svih sila na virtualnim pomacima je jednak nuli:

)ik(uik)ik(uik WW0WW −=⇒=+ Dva međusobno neovisna stanja sistema:

1. moguće stanje ravnoteže (Fi, Ri, M, N, T) 2. moguće stanje deformacije (si, ri, κ, ε, γ)

Veza između mogućih stanja ravnoteže i mogućih stanja deformacije sistema:

( )∫∑∑ γ+ε+κ=+s

iiii dsTNMrRsF

Princip virtualnih pomaka:

( )∫∑∑ γ+ε+κ=+s

iiii dsTNMrRsF

Princip virtualnih sila:

( )∫∑∑ γ+ε+κ=+s

iiii dsTNMrRsF


POMACI REŠETKASTIH KONSTRUKCIJA a) Grafička konstrukcija - Williotov plan pomaka Pomaci se određuju postupkom čvor po čvor.

Produljenje (skraćenje) svakog štapa: i

ii EAS ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∆

ll

1

2

3

4

1

2


2’

1’

F

O

1’

2’

p1p2

∆l 2 ∆l1∆l3

∆l4

b) Analitički postupak - diskretni pomaci prema načelu virtualnog rada − u odabranom čvoru i na odabranom pravcu na rešetki postavi se jedinična sila 1F =

− u svim štapovima se odrede sile usljed jediničnog opterećenja 1is

− nepoznati pomak promatranog čvora na odabranom pravcu usljed zadanog opterećenja: pj

− za virtualne pomake se odaberu pomaci koje daje jedinična sila

F = 1

virtualni pomaci

Rad vanjske sile nad nepoznatim pomakom p1F = j: jp1W ⋅=

Rad unutrašnjih sila Si nad virtualnim pomacima: ( )∑=

=š

1iiiiu sEASW l

Uvjet ravnoteže prema načelu virtualnog rada:

uWW = ( )∑=

=⇒š

1iiiij sEASp l

Primjer: Traži se vertikalni pomak čvora 4 koji nastaje usljed opterećenja silama V1 i V2.

V2V1

F = 1

1

2 4 6

3 57

1

2 6 10

3 7

115 9

4 8

x

yl

2

2

1

m001.0A

MPa210000E

m5

kN10V

kN10V

=

=

=

=

=

l

štap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Si −11.55 5.78 −11.55 11.55 0 11.55 −11.55 0 11.55 5.78 −11.55

si −0.577 0.289 −0.577 0.577 −0.577 0.866 −0.577 −0.577 0.577 0.289 −0.577

Vertikalni pomak čvora 4:

mm 2698.1p

32924.5302381.0sS02381.0sEA

Sp

V

11

1iii

š

1ii

iiV

−=

⋅=⋅⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑∑

==

l


TEOREM O UZAJAMNOSTI RADOVA

Dva stanja ravnoteže: , , M, T, N , , κ, ε, γ - stvarno stanje iF iR is ir

iF , iR , M , T , N is , ir , κ , ε , γ - virtualno stanje 44 344 21

4434421

moguće stanje ravnoteže moguće stanje deformacije Princip virtualnih pomaka i princip virtualnih sila za ova dva stanja:

( )∫∑∑ γ+ε+κ=+s

iiii dsTNMrRsF

( )∫∑∑ γ+ε+κ=+s

iiii dsTNMrRsF

Izrazi za deformacijske veličine:

EIM=κ ,

EAN=ε ,

GATk=γ ;

EIM=κ ,

EAN=ε ,

GATk=γ

Dobiva se:

∫∑∑ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=+s

iiii dsGA

TTkAENN

IEMMrRsF

∫∑∑ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=+s

iiii dsGA

TTkAENN

IEMMrRsF

⇒ ( ) ( )∑∑ +=+ iiiiiiii rRsFrRsF Teorem o uzajamnosti radova za dva stanja opterećenja:

opterećenje silama - prvo stanje opterećenja iFopterećenje silama - drugo stanje opterećenja kF

Pomaci: i ikδ kiδ

∑∑ δ=δ→ kikiki FF − Bettijev teorem o uzajamnosti radova

Rad vanjskih sila jednog stanja opterećenja na pomacima izazvanim drugim stanjem opterećenja jednak je radu vanjskih sila drugog stanja opterećenja na pomacima izazvanim prvim stanjem opterećenja.


PRIMJER: Za nosač opterećen momentom M primjenom teorema o uzajamnosti radova treba odrediti progib u sredini raspona.

M

F

δFM = f

l/2 l/2

δMF

F /4l

M

Sistem I

Sistem II

+

prvo stanje opterećenja - opterećenje zadanim momentom M (sistem I) drugo stanje opterećenja - opterećenje silom F u sredini raspona (sistem II)

Teorem o uzajamnosti radova:

FMMF FM δ⋅=δ⋅ → F

M MFFM

δ⋅=δ

(IE

T=ϕ ) ⇒

IE16F

24F

21

IE1 2

MFlll =⋅⋅⋅=δ

IE16Mf

2

FMl=δ=⇒


TEOREM O UZAJAMNOSTI POMAKA

Dva stanja opterećenja:

Fi

i kA Bδki

A Bi kFk

δik

Prema teoremu o uzajamnosti radova:

kikiki FF δ=δ Korištenjem principa superpozicije:

kiiki

ikkik

'F

'F

δ=δ

δ=δ

ik'δ - pomak na mjestu i u smjeru sile Fi izazvan silom 1Fk =

ki'δ - pomak na mjestu i u smjeru sile Fk izazvan silom 1Fi =

kiikikki 'FF'FF δ⋅⋅=δ⋅⋅

⇒ kiik '' δ=δ - Maxwellov teorem o uzajamnosti pomaka

“Pomak generalizirane sile Fi izazvan jediničnom generaliziranom silom Fk jednak je pomaku generalizirane sile Fk izazvanom jediničnom silom Fi.”

Fi = 1

δ’ki

δ’ii

Fk = 1

δ’ik

δ’kk

δ’ki = δ’ik

F = 1

M = 1

δ’11

δ’21

stanje 1

stanje 2δ’12

δ’22

δ’12 = δ’21


CASTIGLIANOVI TEOREMI - sistem sila F1, F2, ..., Fn - generalizirane sile koje djeluju na elastično tijelo - odgovarajući pomaci δ1, δ2, ..., δn - generalizirani pomaci a) b)

F1

F2

Fk

Fn

δ1

δ2

δk

δn

dδk

dFk

dδk

dδn

dδ1

dδ2

F1

F2

Fk

Fn

δ1

δ2

δk

δn

a) Potencijalna energija deformacije izražena kao funkcija pomaka: ),,,(UU n21 δδδ= K

Totalni diferencijal funkcije U:

nn

22

11

dUdUdUdU δδ∂

∂++δδ∂

∂+δδ∂

∂= . . . . .

kk dδ→δ :

kk

dUdU δδ∂

∂=

Na prirastu pomaka rad obavlja samo odgovarajuća sila Fkdδ k : kk dF δ

kkkk

dFdUdU δ=δδ∂

∂=

kk

UFδ∂

∂=⇒ - prvi Castiglianov teorem

b) Potencijalna energija deformacije izražena kao funkcija sila: )F,,F,F(UU n21 K=

Totalni diferencijal funkcije U:

nn

22

11

dFFUdF

FUdF

FUdU

∂∂++

∂∂+

∂∂= . . . . .

kk dFF → :

kk

dFFUdU

∂∂=


n21 F,,F,F K − sistem sila I, − sistem sila II kdF kkn

1iii

Bettijev dFdF δ=δ⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯ ∑=

teorem

Prirast potencijalne energije deformacije nastao zbog djelovanja sile dFk :

kkkkn

1iiikk dFddF

21dFddF

21dU δ+δ=δ+δ= ∑

=

kkkkkk

dFddF21dF

FU δ+δ=

∂∂

kk F

U∂∂=δ⇒ - drugi Castiglianov teorem

PRIMJER: Treba odrediti vertikalni pomak čvora D čelične rešetke zadane i opterećene prema slici ako su površine poprečnih presjeka štapova jednake.

FF/2 F/2

2

5

3

4

1

A B

C

D

3 m 3 m

4 m

Iz uvjeta ravnoteže čvorova → sile u štapovima:

F85NN 21 −== , F

83NN 54 == , FN3 =

LFNN

AE1

FU ;

AE2LNds

AEN

21U

2L

0

2

∂∂=

∂∂== ∫

Prema drugom Castiglianovu teoremu:

∑= ∂

∂=

∂∂=δ

5

1ii

iiD L

FNN

AE1

FU

AE4F353

83F

83241F5

85F

852

AE1

D =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⋅=δ


Ako u točki konstrukcije u kojoj treba odrediti pomak ne djeluje generalizirana sila, u toj točki se nanosi zamišljena sila F0 ili moment M0 u smjeru traženog pomaka. Potencijalna energija deformacije U izražava se kao funkcija zadanog opterećenja i zamišljenih generaliziranih sila (F0 ili M0).

0F0k

0FU

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂=δ ;

0M0k

0MU

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂=ϕ

PRIMJER: Treba odrediti kut zaokreta na ležaju B nosača prikazanog na slici. Utjecaj poprečne sile zanemariti!

A B

M0

x

y

x

q

ϕB

A Bl

Ležajne reakcije od stvarnog i fiktivnog opterećenja:

ll 0M

2qA += ,

ll 0M

2qB −=

Moment savijanja u presjeku x:

2qxxM

2qM

20 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

ll ,

lx

MM

0=

∂∂

Kut zaokreta na ležaju B:

IE24qdxx

2qxx

2q

IE1dx

MMM

IE1

MU 3

0

2

0 00M0B

0

ll

lll=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂=ϕ ∫∫

=


METODA JEDINIČNOG OPTEREĆENJA Princip virtualnih sila: ( )∫∑∑ γ+ε+κ=+

siiii dsTNMrRsF

Za virtualno stanje usvoji se opterećenje jednom jediničnom silom na mjestu i u smjeru pomaka koji se želi odrediti (δ):

( ) ∑∫ −γ+ε+κ=δ→ iis

rRdsTNM

∑∫∫∫ −+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α+++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆α++=δ ii

sst

st rRds

AGTTkdst

RAEM

AENNds

ht

RAEN

IEMM

∑∫∫∫∫∫∫∫ −⋅α+∆⋅α

+++++=δ iis

ts

t

sssssrRdstNds

htMds

RAEMNds

RAENMds

AGTTkds

AENNds

IEMM

Reducirani izraz za pomak kod punostjenih nosača:

dstNdsh

tMdsAGTTkds

AENNds

IEMM

st

s

t

sss∫∫∫∫∫ ⋅α+

∆⋅α+++=δ

Pomaci kod rešetkastih nosača:

∑∑ ⋅⋅α+=δi

itii

ii

ii tSAESS ll

Postupak: • određivanje unutrašnjih sila M, T, N od zadanog opterećenja • zadavanje jedinične generalizirane sile na mjestu i u smjeru traženog pomaka

• određivanje unutrašnjih sila M , T , N od jediničnog opterećenja • integracija po čitavoj konstrukciji

Generalizirana jedinična sila - virtualno opterećenje:

traženi pomak virtualno opterećenje

linijski pomak jedinična sila u smjeru traženog pomaka

kut zaokreta jedinični moment

relativni pomak dviju točaka uzduž pravca koji prolazi kroz te točke

dvije kolinearne jedinične sile suprotnog smjera nanesene u promatranim točkama


Kod proračuna punostjenih nosača -

dstNIEdsh

tMIEdsAGIETTkds

AINNds

IIMMIE

st0

s

t0

s

0

s

0

s

0*0 ∫∫∫∫∫ ⋅α+

∆⋅α+++=δ=δ

Kod proračuna rešetkastih nosača:

∑∑ ⋅⋅α+=δ=δi

iti0i

ii

0ii

*0 tSAE

AASSAE ll

Promjene unutrašnjih sila najčešće se prikazuju dijagramima koji se crtaju po pojedinim segmentima sistema. Npr. utjecaj momenta savijanja na pomak:

∑ ∫∫ =s

j

isds

IEMMds

IEMM - proračun se svodi na proračun integrala po

pojedinim gredama sistema Izračunavanje vrijednosti integrala u izrazu za pomake: npr. ∫

sds

IEMM

T

x dxi j

dA

AM M

M

xT

O

O

xj

M

M

Mi

MT

Mj

→=j

j xxMM

∫∫ =j

i dAj

jj

idxMx

xM

IE1dxMM

IE1

321

Statički moment površine dijagrama momenata s obzirom na os O-O:

MT

j

iAxdAx ⋅=∫

- apscisa težišta dijagrama M Tx - površina dijagrama M MA

MTj

jj

iAx

xM

IE1dxMM

IE1 ⋅⋅=∫

MT

j

iAMdxMM ⋅=∫


Ako dijagram momenata M ima složeni oblik:

i j

T1

T2

T3

M

MT1MT2 MT3

M

∑∫=

⋅=n

1kMT

j

ikk

AMdxMM

M

a

b

x

b

x a x

= +

cd

x

=e cx

d

x xe

+ +

M M1 M2

M1 M2 M3

L

L

( ) ( )[ ]∫∫ ++⋅+=⋅ dxMMMMMdx)x(M)x(M 32121

( )2b

2a

3Le2

3a

3b2

2Ld

3a2

3b

2Lcdx)x(M)x(M

L

0−⋅+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⋅+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −⋅=⋅∫

Utjecaj temperature na pomake (ako su veličine t i ∆t konstantne za pojedine elemente nosača):

∫∫ ⋅α=⋅αj

it

j

it dsNtdstN

∫∫ ∆⋅α=∆⋅α j

it

j

i

t dshMtds

htM


PRIMJER 1: Treba odrediti ukupan pomak čvora B rešetkastog nosača ako svi štapovi imaju jednaku aksijalnu krutost EA.

2FA B

C D

l

F

l

A B

C D

l

l

A B

C D

l

δBH

F = 1BH

F = 1BV

B’’

B’

B1

δBV

Štap Duljina FN FHN l⋅⋅ FHF NN FVN l⋅⋅ FVF NN

AB l F 0 0 0 0

AC l F2− 0 0 0 0

BD l F 1− lF− 1 lF

CD l 0 0 0 0 0

CB l2 F2− 2 lF828.2− 0 0

Σ lF828.3− lF

∑∑==

==δn

1iikii

n

1ii

i

kiik NN

AE1

AENN ll

AEF828.3BHl−=δ ,

AEF

BVl=δ ,

AEF956.32

BV2BHB

l=δ+δ=δ


PRIMJER 2: Treba odrediti promjenu razmaka između točaka AB okvirnog nosača.

A B

l/2

a

F

l/2

A B

T

F /4l

M

A BF = 1A F = 1B

MAB

a

aa

IE8aFa

4F

21

IE1dx

IEMM 2

0

ABAB

llll=⋅⋅⋅⋅==δ ∫

PRIMJER 3: Treba odrediti vertikalni pomak točke D okvirne konstrukcije koja se na vanjskoj površini ohladi za , a na unutrašnjoj površini zagrije za . Poprečni presjek je konstantan pravokutnog oblika visine h.

C20T 01 = C10T 0

2 =


A

B

l

C

Dl

l/2

T 20 C1 = − 0

T 10 C2 = 0

T1

T1

l

F = 1D

ND

1 1

+

l

MD

l

F = 1D

M12

tN21

t

L

0

12tD

L

0

21tDD A

hTTA

2TTdx

hTTMdx

2TTN ⋅

−⋅α+⋅

+⋅α=

−⋅α+

+⋅α=δ ∫∫

lll 5.05.011AN −=⋅+⋅−= ; 2M 5.1

21A lllll =⋅+⋅⋅=

⇒ h

455.22

ttD

ll α−⋅α=δ

PRIMJER 4: Treba odrediti horizontalni pomak točke A nosača konstantne krutosti EI prikazanog na slici.

ABC

D

R R R

ϕ

F

xABC

D

R 2R

ϕF = 1AH

Virtualno jedinično opterećenje je horizontalna jedinična sila 1FAH = . Izraz za pomak : Aδ

∫∫∫⋅+⋅+

⋅=δ

s

0

As

0

As

0

AA ds

AGTTkds

AENNds

IEMM

Utjecaj uzdužne i poprečne sile na pomak Aδ je zanemariv u odnosu na utjecaj momenta savijanja →

∫⋅

=δs

0

AA ds

IEMM

Moment savijanja:

Područje BA: , 0M = 0MA =

Područje BC: , xFM = 0MA = ; Rx0 ≤≤

Područje CD: )sin1(RFM ϕ+= , )cos1(R1MA ϕ−⋅−= ; 2

0 π≤ϕ≤

ϕ= dRds →

IERF

21d)cos1()sin1(

IERF 32

0

3

A ⋅−π−=ϕϕ−ϕ+−=δ ∫

π


PRIMJER 5: Treba odrediti progib i kut zaokreta presjeka C konzolnog nosača opterećenog prema slici.

A B

q

l

l/2 l/2

CϕC

δC

ϕC

l/4 l/4

ql 2/2 M

l/6 l/6

T

T

T

F = 1Cl/2 l/4

l/6l/3

MFC

1MMC

ql 2/32

ql 2/81

2

3

M = 1C

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=

⋅=δ ∫ 628

q21

4232q

32

322q

21

IE1dx

IEMM 222

0

CC

llllllllll

IEq

38417 4

Cl⋅=δ

IEq

4871

28q

211

232q

321

22q

21

IE1 3222

Clllllll ⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=ϕ


Documents

Odredjivanje pomaka