REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIORINSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA DEL ESTADO BOLIVAR

PNF- ELECTRICIDAD - MATEMATICA VISECCIÒN ELEC-10-N

SERIE DE FOURIERProf: Bachilleres:Wuilmer Colmenares Ríos Yessica: CI:19.871.499 Mariño Luis: CI:19.535.715 González Israel: CI:20.774.176 Rivas Alexander: CI:19.475.249

CIUDAD BOLIVAR ABRIL DEL 2010

Jean-Baptiste-Joseph Fourier

(Auxerre, Francia, 1768-París, 1830) Ingeniero y matemático francés. Era hijo de un sastre, y fue educado por los benedictinos. Los puestos en el cuerpo científico del ejército estaban reservados para familias de estatus reconocido, así que aceptó una cátedra militar de matemáticas. Tuvo un papel destacado durante la revolución en su propio distrito, y fue recompensado con una candidatura para una cátedra en la École Polytechnique. Fourier acompañó a Napoleón en su expedición oriental de 1798, y fue nombrado gobernador del Bajo Egipto. Aislado de Francia por la flota británica, organizó los talleres con los que el ejército francés debía contar para sus suministros de munición. También aportó numerosos escritos sobre matemáticas al Instituto Egipcio que Napoleón fundó en El Cairo.

Tras las victorias británicas y la capitulación de los franceses al mando del general Menou en 1801, Fourier volvió a Francia, donde fue nombrado prefecto del departamento de Isère, y empezó sus experimentos sobre la propagación del calor. Se trasladó a París en 1816, y en 1822 publicó Teoría analítica del calor, basándose en parte en la ley del enfriamiento de Newton.

A partir de esta teoría desarrolló la denominada «serie de Fourier», de notable importancia en el posterior desarrollo del análisis matemático, y con interesantes aplicaciones a la resolución de numerosos problemas de física (más tarde, Dirichlet consiguió una demostración rigurosa de diversos teoremas que Fourier dejó planteados). Dejó inacabado su trabajo sobre resolución de ecuaciones, que se publicó en 1831 y que contenía una demostración de su teorema sobre el cálculo de las raíces de una ecuación algebraica.

Fourier vivió en la pobreza y trabajo de empleado de comercio y viajante. Vivió soltero y fue considerado por sus biógrafos como excéntrico y fantasioso. Tenia como habito frecuentar salas de lectura.

En 1803, Fourier publico un articulo titulado "armonía universal" en donde manifiesta que es preciso completar el trabajo de los sabios, ya que han descubierto las leyes del movimiento material, pero no las leyes del movimiento social. Luego en 1808 publica su primera obra llamada "teoría de los cuatro movimientos capitalista" en donde realiza una denuncia sobre el sistema capitalista.

Uno de los problemas del que se ocuparon los matemáticos del siglo XVIII es el "problema de la cuerda vibrante". Éste fue estudiado por D¿Alembert, Euler y un poco más tarde, en 1753, por Daniel Bernoulli. La solución dada por éste consistió en expresarla como superposición de ondas sencillas. Sus ideas fueron aplicadas y perfeccionadas por Fourier, en 1807, en el estudio de la conducción del calor. Quedaron escritas en la obra "Théorie analytique de la Chaleur", publicada en 1822.

Los razonamientos de Fourier plantearon controversias y cuestiones que han influido en la historia de la Matemática. Aquí comentamos algunas de ellas, tales como la existencia de funciones continuas no derivables, teoría de conjuntos de Cantor y nociones de la integral de Cauchy, Riemann y Lebesgue. Tratamos además la presentación actual de las series de Fourier. Finalmente comentamos el papel jugado en este siglo por el Análisis Funcional para situar a las series de Fourier en su marco abstracto

Pensamiento y propuestas de Fourier:La base de su doctrina consistía en un hombre natural en donde las pasiones son buenas, por lo que rechazaba el mundo social tal como estaba organizado en su tiempo. Fourier consideraba que había que acabar con las reglas de la moral aceptada y dejar fluir a los instintos como la mentira y la hipocresía. El abandono general de la moral convencional significara el establecimiento del reino de la armonía social.Para Fourier "existe una unidad del sistema de movimiento para el mundo material y el mundo espiritual". Así la historia humana no es mas que un aspecto del movimiento universal que se fragmenta en cuatro ramas: lo social, lo animal, lo orgánico y lo material. Fourier creía que la civilización pasaba por determinadas etapas de desarrollo en la que se destacan la confusión, el salvajismo, el patriarcado, la barbarie, luego la etapa por la que pasaba Francia, por ultimo y luego de pasar por una sexta etapa se llegaría "a la pendiente que subía hasta la armonía" que era la ultima etapa de absoluta felicidad y que duraría ocho mil años, después de la cual la historia se invertiría, y la sociedad volvería a transitar nuevamente por el mismo camino de etapas recorrido ya anteriormente. Luego Fourier detalla los cambios que en el mundo acompañarían a la armonía: La tierra será coronada por el polo norte, con un anillo semejante al de Saturno, y el mar se potabilizara, y adquirirá un sabor a limonada; nuestro pálido e ineficiente satélite será sustituida por seis lunas y una nueva fauna de dóciles bestias medrara sobre la tierra. En los asuntos humanos reinara la armonía universal, estado que se caracteriza por la ausencia de derroche de energía que son típicos de la corrompida sociedad moderna. Por ende, no habrá ni criados, ni burócratas, ni ejércitos, y ni siquiera un buen numero de industria que absorben mucho esfuerzo y que son totalmente inútiles para las necesidades del hombre. La armonía general significara también que la fragmentación del trabajo social moderno será superada: los hombres trabajaran menos, pero trabajaran solidariamente, bajo el signo de la cooperación y la libertad.(Giner, S; 1975).

Serie de Fourier

Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iníciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.

Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos.

En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refiérase al uso de un analizador de espectros.

Forma exponencial

Por la identidad de Euler para la exponencial compleja, operando adecuadamente, si

la serie de Fourier se la puede expresar como la suma de dos series:

En forma más compacta:

Las series de Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función f(x).

Definición:Si es una función (o señal) periódica y su período es 2T, la serie de Fourier asociada es:

Donde y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:

Los coeficientes ahora serían:

Formulación Moderna

Realmente el desarrollo en serie de Fourier se hace para funciones de cuadrado integrable, es decir, para funciones que cumplan que:

El conjunto de todas las funciones integrables definidas en el intervalo se denota con L2 ([ − π,π]). Este conjunto, tiene definido un producto interno dado por:

que lo dota de estructura de espacio de Hilbert. De este modo, que todas las funciones de L2([ − π,π]) puedan desarrollarse en series de Fourier. Así, el conjunto de funciones exponenciales es una base ortonormal del espacio L2([ − π,π].

El desarrollo de Fourier se puede expresar como:

Donde son los coeficientes del desarrollo de Fourier.

Por último, la identidad de Parseval dice que dada una función f de cuadrado integrable y los

coeficientes de Fourier cn, se verifica que:

Formulas ion General

Las propiedades útiles de las series de Fourier se deben principalmente a la ortogonalidad y a la propiedad de homomorfismo de las funciones ei n x.Otras sucesiones de funciones ortogonales tienen propiedades similares, aunque algunas identidades útiles, concerniendo por ejemplo a las convoluciones, no seguirán cumpliéndose si se pierde la "propiedad de homomorfismo".Algunos ejemplos son las secuencias de funciones de Bessel y lo polinomios ortogonales Tales sucesiones se obtienen normalmente como soluciones de una ecuación diferencial; una gran clase de tales sucesiones útiles son soluciones de los llamados problemas de Sturm-Liouville.

Teorema de Dirichlet: Convergencia a una función periódica

Supongamos que f(x) es una función periódica, continua a trozos y acotada, que en un periodo tiene un número finito de máximos y mínimos locales y un número finito de discontinuidades, de período 2p. Sean

entonces la serie converge a

en donde y

Ejemplos de series de Fourier

Grafico de una función periódica.

Animación de las 5 primeras series de fourier

Formulario sobre como hacer una serie de Fourier en expansión muy simplificada.

En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:

Si la serie de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒ es diferenciable:

LA TRANSFORMADA DE FOURIER EN INGENIERÍA

La transformada de Fourier se utiliza para pasar al «dominio frecuencia» una señal para así obtener información que no es evidente en el «dominio temporal». Se demuestra matemáticamente que una señal periódica se puede descomponer en una suma de senos y cosenos formando una base ortogonal, de esta forma, señales como la voz o las ondas se pueden descomponer en un sumatorio de señales trigonométricas. El conjunto de constantes que multiplican a cada frecuencia forman el espectro de frecuencias. De esta forma se pueden llegar a diversos experimentos muy interesantes:

La voz humana recorre el espectro de los 100Hz a los 5.000Hz y el oído humano se encuentra entre los 20 Hz y los 20.000 Hz.

Si conocemos la densidad espectral de un sistema y la entrada podemos conocer la densidad espectral de la salida. Esto es muy útil para el diseño de filtros de radio transistores.

La transformada de Fourier también es utilizada en el ámbito del tratamiento digital de imágenes, como por ejemplo para mejorar o definir más ciertas zonas de una imagen fotográfica o tomada con una computadora.

SERIES DE FOURIER DE SENOS Y COSENOS

Dada una función en el intervalo (0, pi), se pueden definir muchas funciones en (−pi, pi) que coincidan con ella en (0, pi); cada una de las extensiones tendrá una serie de Fourier propia. Pero algunas extensiones tienen especial interés.

Teniendo en cuenta las propiedades se puede elegir la extensión de manera que tengamos una función par y, en ese caso, la serie de Fourier sólo tiene cosenos. Se llama serie de Fourier de cosenos de la función original y sus coeficientes se calculan por la fórmula (en la que sólo interviene la función dada en el intervalo original).

Del mismo modo, si elegimos una extensión impar, la serie que resulta es la serie de Fourier de senos de la función dada y sus coeficientes vienen determinados. Se pueden hacer construcciones semejantes a partir de cualquier intervalo.

Si f es una función par en (-p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9),(10) y (11) se transforman en:

Resumen de las constantes de la series de Fourier

•La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos

en que

•La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie de senos

en donde

Serie de Fourier en forma compleja

Ejemplos 1Calcular la serie compleja de fourier para :

f (t+2) = f (t) Û T=2 Û w 0= p rad/s

Solución:

Aplicaciones de la Serie de FourierEjemplo 1:

Aplicaciones en circuitos, de forma senoidal

La serie de fourier tiene el siguiente aspecto:

a0 / 2 ® valor medioa1, a2, b1, b2, ... ® coeficientes de Fourierw 0 ... ® frecuencia (2·p /T)n · w 0 ... ® harmónicos

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Entonces; tenemos el siguiente procedimiento:

Analíticamente tenemos:

Propiedades de la transformada de Fourier

Linearidad Transformada de la conjugada

Dualidad Derivación en el tiempo

Cambio de escala Transformada de la integral