Función Cuadrática

Las funciones cuadráticas permiten construir modelos de situaciones referidas a distintas áreas como la Física , la biología, la economía, etc. En la antigüedad los griegos, desde antes de Euclides (330-275 AC) resolvían ecuaciones cuadráticas basándose en un método geométricos donde hacían intervenir cuadrados y rectángulos.

En este caso nos dedicaremos al estudio de la función cuadrática, por medio de la cual es posible modelizar el comportamiento de fenómenos, tales como las curvas que describen las siguientes figuras:

Modelos en la vida cotidiana

La Función cuadrática es una función Polinómica que

se define mediante un polinomio de segundo grado

Tiene la forma:

Donde a, b y c son números reales cuales quieras y a distinto de cero

f (x) = a x ² + b x + c

Grafico de la función cuadrática

En la ecuación cuadrática sus términos llaman:

Su forma depende del coeficiente a Los coeficientes b y c trasladan la parábola a izquierda, derecha, arriba o abajo.Si a > 0 la parábola es cóncava o con sus ramas hacia arriba.Si a < 0 la parábola es convexa o con sus ramas hacia abajo.Cuanto mas grande sea el valor absoluto de a, mas cerrada es la parábola. Existe un único punto de corte con el eje 0Y, que es el (o, c).

Concavidad y Convexidad

En las funciones cuadráticas podemos distinguir entre las que tienen concavidad positiva y las que tienen concavidad negativa.

En ambas encontramos un punto extremo, llamado vértice, que puede ser el máximo o el mínimo de la función.

Partes del grafico : Raíces

Las raíces( o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores de x  para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x.  Podemos ver a continuación que existen parábolas que cortan al eje x en:

Es la coordenada en donde la parábola corta el eje y. Para encontrarlo hay que calcular la función cuando x=0

Ejemplos

Ordenada al origen:

Eje de Simetría

Es la recta que divide simétricamente a la curva, es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Puede ser entendido como un espejo que refleja la mitad de la parábola.Este eje atraviesa el vértice.

Para poder graficar será necesario calcular las raíces y su vértice.

Fórmula para calcular raíces

Fórmula para calcular el vértice.

o

a

cabbXX

2

4,

2

21

Para calcular Y del vértice reemplazo X vértice en la función original

221 xx

Xv

a

bXv

.2

)( vXFYv Volver

Como dijimos anteriormente estas funciones pueden tener, o no, raíces. Veamos los diferentes casos:

Para resolver ecuaciones de segundo grado y saber si este tiene raíces hay un método que fue descubierto Bháskara matemático Hindú, que veremos a continuación.

En la fórmula aparece la raíz cuadrada del término b²-4.a.c . A este término se le llama discriminante, porque nos ayuda a discriminar si la función cuadrática tendrá o no raíces reales.

Ejemplos:

Observamos el discriminante

Crecimiento de una función cuadrática

Alumnos:

Rodríguez Guillermo Damián Romano Zulma Viviana