Prova Modelo 4 Soluções.docx

8/20/2019 Prova Modelo 4 Soluções.docx

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PROVA MODELO 4

1. Na escola do Rui há uma equipa de basquetebol com 13 atletas. A distribuição donúmero de jogos em que cada atleta participou, no último ano letivo, está

representada no seguinte gráfico de barras.

Um dos atletas é escolhido

ao acaso para dar uma entrevista ao jornal da escola. Determina a probabilidade

de ser escolhido um elemento com um número de participações inferior à média

das participações dos atletas da equipa.

Apresenta o resultado arredondado às milésimas.

Mostra como chegaste à tua resposta.

2. O hectare (ha) é uma unidade de medida de área e sabe-se que 1 hectare equivale

a 4 210 m .

Em 2010, um incêndio consumiu 725 ha de floresta. Neste momento, 20% dessa

área ardida foi recuperada. Representa, em metros quadrados e em notação

científica, a área que falta recuperar.

Indica todos os cálculos que tiveres de efetuar.

3. Os segmentos de reta [ AB] e [ BC ] representam dois lados

consecutivos de um polígono regular inscrito na

circunferência de centro O, representada na figura.

Sabe-se que ˆ 140CBA .

Determina o número de lados do polígono.


1

34

23

0

2

4

6

13 14 15 16 17

N .

o

d e a t l e t a s

N.o de jogos

Número de participações

140

C

B

A

O

Caderno 1

Nas respostas aos itens deste caderno é permitido o uso da calculadora.


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4. Construiu-se um cubo com volume igual ao de uma esfera com 7 cm de raio.

Qual é a medida da aresta do cubo, em centímetros, arredondada às décimas?

Transcreve a opção correta.

(A) 11,4 (B) 11,2 (C) 11,3 (D) 11,1

5. Uma peça utilizada em mecânica está representada na figura A e um seu esquema,

com as dimensões em centímetros, na figura B.

Figura A Figura B

A peça é constituída por um prisma hexagonal regular e por um cilindro em que a

base superior do cilindro está inscrita na base inferior do prisma.

Sabe-se que:

• a altura da peça é 7 cm;

• a altura do prisma é 2 cm;

• o comprimento do lado do hexágono é 6 cm.

Determina, em centímetros cúbicos, o volume do sólido representado no esquema,

começando por mostrar que o comprimento do raio da base do cilindro é 27 cm

.

Apresenta o resultado arredondado às décimas.

Nota: Sempre que em cálculos intermédios procederes a arredondamentos,conserva, no mínimo, três casas decimais.


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1. O Pedro está a fazer um conjunto de sete lançamentos de um dado cúbico com asfaces numeradas de 1 a 6.

Nos seis primeiros lançamentos as pontuações obtidas foram as seguintes:

5 2 4 6 6 2

O dado vai ser lançado a última vez. Qual é a probabilidade de ocorrer, no sétimo

lançamento, uma pontuação de modo que a mediana das sete pontuações seja 4?


(A)

2

3 (B)

1

6 (C)

1

3 (D) 1

2. Considera um número racional a representado por

53

14

.

Qual das seguintes representações corresponde ao número a ?


(A)10

2

(B)5

4 (C)

5

1

4

(D)5

2

3. No quadriculado da figura estão representados quatros quadriláteros, A, B, C e D,

geometricamente iguais.

3.1. Dos quatro quadriláteros dados, identifica

dois em que um seja a imagem do outro por

uma reflexão em relação a um eixo.

3.2. Considera a translação que aplica oquadrilátero C no quadrilátero D.

Quantos vértices do quadrilátero B são

aplicados em vértices do quadrilátero A por

essa translação?

4. Resolve a equação seguinte.

2

2 7 1 x x x

Caderno 2

Nas respostas aos itens deste caderno não é permitido o uso da calculadora.


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5. Num refeitório há mesas de quatro lugares e de seis lugares.

5.1. O número de mesas de quatro lugares e o número de mesasde seis lugares representam-se, respetivamente, por x e y .

Sabe-se que o par ordenado , x y é solução do seguinte sistema de equações:

2 1

2 6

2 1 13

y x x

y x y

Resolve o sistema e determina o número máximo de lugares que há no refeitório.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

5.2. Admite que é possível utilizar qualquer número de mesas de quatro ou de seis

lugares.

Na figura estão representados os quatros primeiros termos de uma sequência que

resulta da disposição das mesas seguindo a lei de formação sugerida.

No 1.º termo da sequência há 10 lugares, no 2.º termo há 18 lugares, no 3.º termo

há 26 lugares, no 4.º termo há 43 lugares, e assim sucessivamente.

Qual dos seguintes números pode ser o número de lugares de um dos termos da

sequência?


(A) 240 (B) 274 (C) 286 (D) 305

6. No referencial da figura abaixo estão representadas duas retas paralelas r e s.

4 lugares6 lugares


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Qual dos seguintes sistemas de equações pode corresponder à representação

gráfica apresentada?

(A) (B)

2 1

3 4

y x

y x

3 2

3 1

y x

y x

(C) (D)

2 2

2 4

y x

y x

3 2

3 4

y x

y x

7. Na figura está representada uma circunferência, de centro O, em que:

• A, B, C e D são pontos da circunferência;

•ˆ

36 ACB e 38CD ;

• AC é um diâmetro da circunferência;

• V é o ponto de interseção das retas AC e BD.

7.1. Como classificas, quanto aos ângulos, o triângulo [ ABC ]?

Justifica.

7.2. Numa rotação de centro O e amplitude , com

0 360 , o ponto A é transformado no ponto B. Determina o valor de .

7.3. Determina, em graus, a amplitude do ângulo AVB.

8. No referencial da figura estão representados dois retângulos, [OABC ] e [ODEF ],

e parte do gráfico de uma função f de proporcionalidade inversa.

Sabe-se que:

• os pontos B e E pertencem ao gráfico da

função f ;

•

os pontos A e D pertencem ao semieixo positivo das abcissas;

• os pontos C e F pertencem ao semieixo

positivo das ordenadas;

• a área do retângulo [OABC ] é 2,5.

Determina o perímetro do retângulo [ODEF ], sabendo que a abcissa do ponto D é

igual a 5.

9. Na figura estão representadas, num referencial cartesiano, as retas r e s.

V

36

D

C

B

O A38


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Sabe-se que:

• A reta r é definida por 0,5 4 y x .

• A reta r interseta os eixos Ox e Oy nos pontos A e B,

respetivamente.

• A reta s é a mediatriz de [ AB].

• As retas r e s intersetam-se no ponto P .

• A reta s interseta os eixos os eixosOx eOy nos pontos

C e D, respetivamente.

9.1. Determina as coordenadas dos pontos A e B.

9.2. Os triângulos [OAB] e [ PCA] são semelhantes. Justifica.

9.3. Os triângulos [ PCA] e [ODC ] são semelhantes.

Sejam p e a , respetivamente, o perímetro e a área do triângulo [ODC ] e p’ e a’ o

perímetro e a área do triângulo [ PCA]. Sabe-se que2 11

' 5

p

p .

Qual é o valor da razãoa

a? Transcreve a opção correta.

(A)5

2 11 (B)

44

25 (C)

44

5 (D)

22

25

10. No referencial cartesiano da figura estão representados parte de duas parábolas,

gráficos de duas funções f e g , e um trapézio [ ABCD].

Sabe-se que:

• os pontos A e B têm ordenada igual, pertencem

a uma das parábolas e a abcissa de B é 1;

• os pontos C e D pertencem à outra parábola e

têm ordenada 8.

• a função f é definida por 20,5 f x x ;

• a função g é definida por 23 g x x .

Determina a medida da área do trapézio [ ABCD].


11. Na figura está representado um mapa de uma zona florestal onde vai ser instalada

uma antena.

A localização da antena deve obedecer às seguintes condições:


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• ficar na zona representada pelo mapa;

• a distância ao ponto B não deve ultrapassar 4 km;

• as distâncias aos pontos A e C devem ser iguais.

Faz as construções geométricas rigorosas que te permitam representar no mapa as

possíveis localizações para a instalação da antena.

FIM


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Proposta de Resolução

Caderno 1

1. Seja x a média das participações:13 3 14 4 15 2 16 3 17 198

13 13 x

15,231 x

Há oito atletas com um número de participações inferior à média.

Assim, a probabilidade pedida é8

13.

O valor da probabilidade arredondado às milésimas é 0,615.

2. A área não recuperada corresponde a 80% da área ardida, ou seja, 0,8 725 580 ha 4 2

580 ha 580 10 m 4 2 2 4 2 6 2

580 10 m 5,8 10 10 m 5,8 10 m

Assim, falta recuperar 6 25,8 10 m .

3.360

1402

AC pelo que 360 280 AC , ou seja, 80 AC .

Como AB BC e 80 AC , então 40 AB .

A cada lado do polígono corresponde um arco de amplitude 40 .

Seja n o número de lado do polígono,360

940

n , ou seja, o polígono tem nove lados

(eneágono).

4. O volume de uma esfera de raio r é 34

π3

r . Como 7r , então o volume da esfera

é1372π

3. Sendo o volume do cubo igual a

1372π

3, então o comprimento da aresta do

cubo é dado por 31372π

3

.

O valor do comprimento da aresta arredondado às décimas é 11,3.

A opção correta é a (C).


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5. Para determinar o valor do raio da base do cilindro, recorre-se ao Teorema de Pitágoras.Tal como é sugerido na figura, tem-se:

2 2 2 23 6 27r r

Como 0r , então 27r .A altura do prisma hexagonal é 7 5 2 cm .O hexágono regular pode ser decomposto em seis triângulosequiláteros iguais.

Área da base do prisma:6 27

6 18 272

Volume do prisma: 18 27 2 36 27 Volume do cilindro:

2

π 27 5 5 27 π 135π

Volume da peça: 36 27 135π O volume da peça, em centímetros cúbicos,arredondado às décimas, é 611,2 cm3

Caderno 2

1. As seis primeiras pontuações ordenadas:

2 2 4 5 6 6

Ao introduzir um novo dado a mediana do conjunto dos sete dados ordenados é igualao que ocupa a posição de ordem 4.Se a sétima pontuação for 1, 2, 3, ou 4, então a mediana é 4.Se a sétima pontuação for 5 ou 6, então a mediana é 6.Assim, em seis resultados possíveis há quatro favoráveis.

A probabilidade pedida é4

6, ou seja,

2

3.

A opção correta é a (A).

2. 5 5 5 5

52 10

2

3 4 3 1 11 2 2

4 4 4 4 2

A opção correta é a (A).

3.

3.1 As figuras B e D. Reflexão de eixo r (ver figura ao lado).

r

3

6


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3.2 Há dois vértices da figura B que são aplicados em vértices da figura

A pela translação de vetor u que aplica a figura C na figura D (verfigura ao lado).

4. 2

2 7 1 x x x

2 2 2 2

2 7 1 4 4 7 2 5 3 0 x x x x x x x x x

5 25 24 5 7 5 7 13

4 4 4 2 x x x x x

Conjunto-solução:1

3,2

5.

5.1

2 13 6 1

7 3 1 7 3 12 62

3 6 2 3 3 3 92 12 1 1 3

3

y x x y x x

x y x y y

y x y y x y x y x y

7 3 3 9 1 7 9 27 1 13

3 9 303 9

x x x x x

y x y y x

Há 13 mesas de quatro lugares e 30 mesas de seis lugares.

O número máximo de lugares no refeitório é 4 6 x y , ou seja, 4 13 6 30 232 .Existem 232 lugares no refeitório.

5.2 No termo de ordem n há n mesas com 4 lugares e 2 mesas com 3 lugares.

O número de lugares no termo de ordem n é dado pela expressão 8 2n (é um múltiplode 8 mais 2).

240 8

00 30

0

274 8

34 34

2

Repara que 274 8 34 2 , ou seja, ao termo de ordem 34 corresponde 274 lugares.A opção correta é a (B).

6. As retas representadas graficamente são estritamente paralelas, logo têm igual declive(negativo) e as suas ordenadas na origem são diferentes, uma positiva e outra negativa.A opção correta é a (D).

7.


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7.1 [ ABC ] é um triângulo retângulo porque180

ˆ 902 2

CA ABC .

7.2 ˆ 36 2 72 AOB AB

O valor de

é 72º.

7.372 38

ˆ 552 2

AB CD AVB

A amplitude do ângulo AVB é 55º.

8. Sejam , x y as coordenadas do ponto B.

A área do retângulo [OABC ] é 2,5. Então,2,5

2,5 x y y x

.

Como y f x , tem-se que 2,5 f x x

.

Repara que 2,5

5 0,55

DE f .

O perímetro do retângulo [ODEF ] é: 2 5 2 0,5 10 1 11 .

Logo, o perímetro do retângulo [ODEF ] é 11.

9.

9.1 O ponto A pertence à reta de equação 0,5 4 y x e tem ordenada 0.

0 0,5 4 0,5 4 8 x x x .

Logo, 8, 0 A . O ponto B pertence à reta de equação 0,5 4 y x e tem abcissa 0.

0,5 0 4 4 y y

Logo, 0,4 B .

9.2 Os triângulos [OAB] e [PCA] são semelhantes. A justificação pode ser feita recorrendoao critério AA de semelhança de triângulos.ˆ ˆ PAC BAO e ˆˆCPA AOB . Repara que a mediatriz de um segmento de reta é

perpendicular à reta que contém esse segmento de reta.

9.3 Se2 11

5

p

p

(razão de semelhança), então

2

2 11 4 11 44

5 25 25

a

a

.

A opção correta é a (B).

10. A parábola que contém os pontos C e D corresponde ao gráfico da função f e a parábolaque contém os pontos A e B corresponde ao gráfico da função g.


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Repara que para o mesmo valor de x a imagem y por f é menor do que a imagem y porg (0,5 e 3 são ambos positivos, as parábolas têm “concavidades voltadas para cima” e0,5 < 3).Seja x a abcissa do ponto C .

2 28 0,5 8 16 4 4 f x x x x x

4, 8C e 4, 8 D

Então, 4 4 8CD .

Em relação aos pontos A e B, tem-se:

21 3 1 3 g

1,3 A e 1, 3 B . Então 1 1 2 AB .

Altura do trapézio: 4 1 8 3 5 f g

Área do trapézio [ ABCD]:8 2

5 5 25

2 2

AB CD

A área do trapézio [ ABCD] é 25.

11. Considerando a escala apresentada, a abertura do compasso é feita para que sejatraçada uma circunferência de centro em B e raio correspondente a 4 km. Todos os pontos da região limitada por essa circunferência distam de B no máximo 4km.De seguida, traça-se a reta r , mediatriz de [ AC ]. Todos os pontos da reta r estão a igual

distância de A e de C .Os possíveis pontos parainstalar a antenacorrespondem aosegmento de reta [PQ].

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