Razones Propo Porcent

7/16/2019 Razones Propo Porcent

http://slidepdf.com/reader/full/razones-propo-porcent 1/59

VARIACIONESPROPORCIONALES

RAZONESPROPORCIONES

PORCENTAJES

Presentación realizada por Roberto Muñoz illa!r"nra#$%

RAM% &



RAZONES'na razón es una co#paración (ue seestablece #ediante Cuociente o )i$isión

'na razón la pode#os escribir de dos *or#as+

o ta#bi,n

En a#bos casos se lee -a. es a -b.

RAM% /

b

a

ba :



T,r#inos de una razón0os t,r#inos de una razón se deno#inan+

Antecedente Consecuente

RAM% 1

b

a



Si!ni2cado)ecir (ue en un curso los 3o#bres 4 las#u5eres est"n en la razón -)OS ES A TRES.6/+17 respecti$a#ente8 si!ni2ca (ue+

Por cada dos 9o#bres 3a4 tres #u5eres en elcurso%

RAM% :



Co#o resol$er un proble#a relati$o

a razonesProble#a+)on 0uis tiene tres nietos+ ;n!el8 Juan 4

Mario8 cu4as edades son &/8 < 4 = añosrespecti$a#ente%Ade#"s posee una bolsa con &1> dulces8 los

cuales $a a repartir entre sus nietos%

0a repartición no la 3ar" en partes i!uales8sino en la #is#a razón (ue est"n las edadesde sus nietos%Al repartirlos de esta #anera% ?Cu"ntos

dulces recibe cada uno@%RAM%



SO0'CIBNCo#o los dulces ser"n repartidos en la razón&/+<+= 6razón entre las edades de cada nieto78debe#os *or#ar /= !rupos o -#ontoncitos.de dulces6&/<=D/=7A3ora $ere#os cu"ntos dulces debe tener

cada -#ontoncito. 8 para ello di$idi#os eltotal de dulces por la cantidad de !rupos (ue*or#a#os &1>+/=D

Esto (uiere decir (ue cada !rupo tendr" RAM% =



A9ORA IFN;n!el tiene &/ años8 por lo tanto recibir"+ &/GD=> dulces

Juan tiene < años8 por lo tanto recibir"+ <GD:> dulces Mario tiene = años8 por lo tanto recibir" =GD1> dulces

Si co#pruebas =>:>1>D&1> dulces (uetenHa la bolsa

RAM%



Razones E(ui$alentes)os razones son e(ui$alentes8 cuando

epresan la #is#a co#paraciónAsH por e5e#plo8 las razones son

e(ui$alentesA#bas epresan la #is#a co#paración

Cada 1 Azules Cada =

Azules

9a4 : ro5os 9a4 < Ro5os

RAM% <

y..........4

3

8

6



Co#o encontrar razones

e(ui$alentesPara encontrar razones e(ui$alentes a una

razón dada8 pode#os 3acerlo por+

A7 A#pli2cación

7 Si#pli2cación

RAM% K



A7 POR AMP0ILICACIBN Amplifcando por 2

Amplifcando por 3

Amplifcando por 4

RAM% &>

5

2

10

4

15

6

20

8



7 Por Si#pli2cación Si#pli2cando por /

Si#pli2cando por 1

Si#pli2cando por :

RAM% &&

2412

12

6

8

4

6

3



PROPORCIONES'na proporción es una i!ualdad de dosrazones e(ui$alentes

'na proporción la pode#os anotar de dos#aneras+

o ta#bi,n+

En a#bos casos de lee -a. es a -b. co#o -c. esa -d. RAM% &/

d

c

b

a=

d cba :: =



TFRMINOS )E 'NA PROPORCIBN0os t,r#inos de una proporción se deno#inan

de la si!uiente #anera+

Etre#os

Medios

RAM% &1

d cba :: =



PROPIE)A) L'N)AMENTA0 )E 0AS

PROPORCIONESEn toda proporción se cu#ple (ue8 el

producto de los etre#os es i!ual al productode los #edios%

Por e5e#plo8 en la proporción+Se cu#ple+

RAM% &:

d

c

b

a= ⇔ cbd a ** =

610

35 =

10*36*5 =

3030 =



Aplicando la propiedad*unda#ental8 se puedeencontrar el t,r#ino

desconocido de una proporción

RAM% &

8,4

8

3=

x

x

3

88,4

=

* ______

=

24

______

8,4 x

=

5



Al!unas propiedades de las

proporcionesPara una proporción se cu#plen las si!uientes

propiedades8 entre otras+

&7 Interca#biar los etre#os

D

RAM% &=

d

c

b

a= ⇒

a

b

c

d






/7 Interca#biar los #edios

D

RAM% &

d

c

b

a= ⇒

a

b

c

d






1a7 Co#poner

D

RAM% &<

d

c

b

a= ⇒

a

b

c

d

+

b

a

c+






1b7 Co#poner

D

RAM% &K

d

c

b

a= ⇒

a

b

c

d

+

b

a

c+

d






:a7 )esco#poner

D

RAM% />

d

c

b

a= ⇒

a

b

c

d

−

b

a

c−






:b7 )esco#poner

D

RAM% /&

d

c

b

a= ⇒

a

b

c

d

−

b

a

c−

d






7 Co#poner 4 )esco#poner a la $ez

D

RAM% //

d

c

b

a= ⇒

a

b

c

d

+

b

a

c+

d −

−



Aplicare#os todas las propiedades

$istas8 para la si!uiente proporción

RAM% /1

12

20

3

5=



&7 Interca#biar los etre#osPara una proporción se cu#plen las si!uientes


&7 Interca#biar los etre#os

D

RAM% /:

12

20

3

5= ⇒

5

3

20

12

3*2012*5 =

6060=



Intercalar los #ediosPara una proporción se cu#plen las si!uientespropiedades8 entre otras+

/7 Interca#biar los #edios

D

RAM% /

12

20

3

5= ⇒

5

3

20

12

3*2012*5 =

6060=






1a7 Co#poner

D

RAM% /=

12

20

3

5= ⇒

5

3

20

12

+

3

5

20+

20

32

5

8=

32*520*8 =

160160=






1b7 Co#poner

D

RAM% /

12

20

3

5= ⇒

5

3

20

12

+

3

520+

12

12

32

3

8=

32*312*8 =

9696 =






:a7 )esco#poner

D

RAM% /<

12

20

3

5= ⇒

5

3

20

12

−

3

5

20−

20

8

5

2=

8*520*2 =

4040=






:b7 )esco#poner

D

RAM% /K

12

20

3

5= ⇒

5

3

20

12

−

3

520

−

1212

8

3

2=

8*312*2 =

2424 =






7 Co#poner 4 )esco#poner a la $ez

D

RAM% 1>

12

20

3

5= ⇒

5

320

12

+

3

520

+

12−

−

8

32

2

8=

32*28*8 =

6464 =



PROPORCIBN )IRECTAObser$e#os la si!uiente tabla de $alores

En pri#er lu!ar8 cuando la $ariable au#enta8 la $ariable ta#bi,n au#enta%Se!undo8 si e*ectua#os los cuocientes entre

los $alores de con los respecti$os $alores de8 obtene#os+

Sie#pre se obtiene un #is#o $alor

6CONSTANTE7

X 2 3 5 6 7 8

1 :8 8 K &>8 &/

RAM% 1&

5,12

3= 5,1

3

5,4= 5,1

5

5,7= 5,1

6

9= 5,1

7

5,10= 5,1

8

12=



Cuando esto ocurre8 es

decir+&7 Si al au#entar la $ariable 8 la $ariable 8ta#bi,n au#enta%/7 0os cuocientes entre los respecti$os

$alores de las $ariables es sie#pre el #is#o%)ire#os (ue las $ariables son+

)IRECTAMENTE PROPORCIONA0ES%

Al $alor de los cuocientes8 se le lla#aCONSTANTE )E PROPORCIONA0I)A)

RAM% 1/



r"2ca de una

proporción directaSi e*ectua#os la !r"2ca de los $alores de latabla8 tene#os+

X 2 3 5 6 7 8

1 :8 8 K &>8 &/

RAM% 11

•

•

•

•

•

•



Pode#os concluir (ue+

0a !r"2ca de una Proporción directa8 es una0Hnea recta (ue pasa por el ori!en%

RAM% 1:



PROPORCIBN INERSAObser$e#os la si!uiente tabla de $alores

En pri#er lu!ar8 cuando la $ariable au#enta8 la $ariable dis#inu4e%Se!undo8 si e*ectua#os los productos entre

los $alores de con los respecti$os $alores de8 obtene#os+

Sie#pre se obtiene un #is#o $alor

6CONSTANTE7

X 2 4 5 8 ! 6

: / &8= & >8< >8

RAM% 1

82*4 = 84*2 = 85*6,1 = 88*1 = 810*8,0 = 816*5,0 =



Cuando esto ocurre8 es

decir+&7 Si al au#entar la $ariable 8 la $ariable 8dis#inu4e%/7 0os productos entre los respecti$os $alores

de las $ariables es sie#pre el #is#o%)ire#os (ue las $ariables son+

INERSAMENTE PROPORCIONA0ES%

Al $alor de los PRO)'CTOS8 se le lla#aCONSTANTE )E PROPORCIONA0I)A)

RAM% 1=



r"2ca de una

proporción in$ersaSi e*ectua#os la !r"2ca de los $alores de latabla8 tene#os+

X 2 4 5 8 ! 6

: / &8= & >8< >8

RAM% 1

•

•

•

•

••



Pode#os concluir (ue+

0a !r"2ca de una Proporción in$ersa8 es unaCur$a lla#ada 9ip,rbola8 con los e5es co#oAsHntotas%

RAM% 1<



Co#o Resol$er un proble#a relati$o

a ProporcionesPara resol$er un proble#a relati$o a

proporciones si!a los si!uientes pasos+&7 0ea co#prensi$a#ente el proble#a e

identi2(ue los datos rele$antes%/7 Anote los datos en colu#nas8 de #odo (ue

cada colu#na posea sólo datos del #is#o tipo%17 Represente con una 8 el dato desconocido%:7 )eter#ine si las $ariables est"n relacionadas

#ediante proporción directa8 o in$ersa%

RAM% 1K



Co#o Resol$er un proble#a relati$o

a Proporcionesa7 Si los datos est"n relacionados

directa#ente8 plantee una proporción conellos tal co#o se encuentran en las colu#nas%b7 Si los datos est"n relacionados

in$ersa#ente8 pri#ero in$ierta una de las

colu#nas 4 lue!o plantee la proporción %=7 Encuentre el t,r#ino desconocido de laproporción%7 ), la respuesta en *or#a escrita

RAM% :>



E5e#plo &

)oña Juanita8 el S"bado se le$antó te#prano4 a las K de la #añana estaba ca#ino a la*eria con su a#i!a Marta8 doña Juanita8 entreotras cosas co#pró tres Qilos 4 #edio de

li#ones 4 !astó en esta co#pra K<>%?Cu"nto pa!ó la señora Marta si co#pró tresQilos de los #is#os li#ones@%

RAM% :&



)oña Juanita8 el S"bado se le$antó te#prano 4 a las K de la #añanaestaba ca#ino a la *eria con su a#i!a Marta8 doña Juanita8 entre otrascosas co#pró tres Qilos 4 #edio de li#ones 4 !astó en esta co#pra K<>%

?Cu"nto pa!ó la señora Marta si co#pró tres Qilos de los #is#os li#ones@%

0as $ariables in$olucradas en el proble#a sonilos de li#ones 4 )inero !astado en los li#ones%Con lo anterior tene#os (ue co#pletar nuestra

tabla de $alores%

Pode#os deducir (ue si co#pro #enos li#ones%asto #enos dinero%Por lo tanto es una proporción )irecta%

"ILOS #in$ro

18 K<>

1

RAM% :/



)oña Juanita8 el S"bado se le$antó te#prano 4 a las K de la #añanaestaba ca#ino a la *eria con su a#i!a Marta8 doña Juanita8 entre otrascosas co#pró tres Qilos 4 #edio de li#ones 4 !astó en esta co#pra K<>%

?Cu"nto pa!ó la señora Marta si co#pró tres Qilos de los #is#os li#ones@%

Por lo tanto8 con los datos tal co#o est"n en latabla8 *or#a#os la proporción%

El $alor de 8 se obtiene al resol$er+Es decir8 el $alor de es+0a señora Marta pa!ó <:> por los 1 ilos de

li#ones%

"ILOS #in$r

o18 K<>

1

RAM% :1

x

980

3

5,3=

5,3

3*980= x

5,32940=

3529400=

840= x



E5e#plo /

Carlos 4 )aniel est"n pintando un dor#itorio8cuando ter#inan se dan cuenta (uede#oraron = 3oras eactas en realizar eltraba5o8 Carlos pre!unta a )aniel ?Cu"nto3abrHa#os de#orado si nos 3ubiera a4udadonuestro a#i!o Esteban@% Para responder aesta pre!unta procede#os de la si!uiente#anera+

RAM% ::



Carlos 4 )aniel est"n pintando un dor#itorio8 cuando ter#inan se dan cuenta (uede#oraron = 3oras eactas en realizar el traba5o8 Carlos pre!unta a )aniel ?Cu"nto3abrHa#os de#orado si nos 3ubiera a4udado nuestro a#i!o Esteban@% Para responder aesta pre!unta procede#os de la si!uiente #anera+

0as $ariables in$olucradas en el proble#a son nU#erode personas (ue pintan el dor#itorio 4 tie#po (uede#oran en pintarlo%

Con lo anterior tene#os (ue co#pletar nuestra tabla de$alores%

Pode#os deducir (ue si 3a4 #"s personas a4udando arealizar el traba5o%)e#ora#os #enos tie#po en realizarlo%Por lo tanto es una proporción In$ersa%

N%P$r&on

a&

'i$mpo

/ =

1

RAM% :



Carlos 4 )aniel est"n pintando un dor#itorio8 cuando ter#inan se dan cuenta (uede#oraron = 3oras eactas en realizar el traba5o8 Carlos pre!unta a )aniel ?Cu"nto3abrHa#os de#orado si nos 3ubiera a4udado nuestro a#i!o Esteban@% Para responder aesta pre!unta procede#os de la si!uiente #anera+

Por lo tanto8 in$erti#os una de las colu#nas dela tabla8 4 *or#a#os la proporción%

El $alor de 8 se obtiene al resol$er+Es decir8 el $alor de es+Si les 3ubiera a4udado su a#i!o Esteban 3abrHan

de#orado : 3oras en pintar el dor#itorio%

N%

P$r&ona&

'i$mp

o()r&*+

/ =

1

RAM% :=

632

x=

3

2*6= x

3

12=

4= x



PORCENTAJES'n porcenta5e es una razón de consecuente&oo%

Esto (uiere decir (ue un porcenta5e es unaco#paración (ue se establece en relación acada &>> unidades%

El sH#bolo utilizado para porcenta5e es V%

RAM% :



PORCENTAJESSe!Un lo anterior pode#os a2r#ar (ue+

V D Si!ni2ca de cada &>>

&/ V D

Si!ni2ca &/ de cada &>>

RAM% :<

100

5

10012



Porcenta5es'n porcenta5e lo pode#os epresar dedistintas *or#as+

Co#o una razón

Co#o una *racción irreductible

Co#o un deci#al

RAM% :K

%12

100

12

100

12 4:

4: 25

3=

100:12=

100

12 12,0=



Porcenta5esEisten al!unos porcenta5es (ue se puedencalcular r"pida#ente8 en *or#a #ental

El >VPara calcular el >V de un nU#ero basta con

calcular la #itad del nU#eroEl >V de 1: es

El >V de &< esEl >V de / esEl >V de es

RAM% >

17

936

5,2




El /VPara calcular el /V de un nU#ero debe#os

calcular la #itad8 de la #itad del nU#eroEl /V de => es

El /V de &< esEl /V de / esEl /V de <: es

RAM% &

15

5,45,0

21




El VPara calcular el V de un nU#ero debe#os

calcular pri#ero el /V 4 lue!o el resultado#ultiplicarlo por 1

El V de :> esEl V de < esEl V de &/> esEl V de = es

RAM% /

30

690

5,4



EN eneralSi (uiero calcular el tV de n8 procedo+

RAM% 1

nt

*100 100

*nt =



Co#o resol$er un proble#a (ue

in$olucre porcenta5es Todo proble#a relati$o a porcenta5es8 se le

debe dar un trata#iento de proporcionalidaddirecta8 por lo tanto se debe proceder co#o

eplica#os anterior#ente8 pero ade#"sdebe#os tener presente la si!uienteconsideración+

Al anotar los datos en colu#nas8 al total delos casos8 debe#os 3acerle coincidir el &>>V

RAM% :



E5e#plo &En un cole!io el V de los alu#nos tiene

beca% Si los alu#nos becados son :1%?Cu"ntos alu#nos tiene el cole!io@

RAM%



En un cole!io el V de los alu#nos tiene beca% Si los alu#nos becadosson :1%?Cu"ntos alu#nos tiene el cole!io@

Anota#os los datos en colu#nas8 de #odo deasi!nar al total8 el &>>VEn este caso8 no conoce#os el total de alu#nos8

678 por lo cual a la 8 le asi!na#os el &>>V

Al plantear la proporción 4 resol$erla tene#os+

Por lo tanto el cole!io tiene <=> alu#nos

Al,mno& -

:1

&>>

RAM% =

100543 =

x 5100*43= x

54300= x 860= x



E5e#plo /En una *"brica en la (ue traba5an &/>

operarios8 &< de ellos presentaron licencias#,dicas en el pri#er se#estre% ?Wu,porcenta5e de los operarios presentó licencia#,dica@

RAM%



En una *"brica en la (ue traba5an &/> operarios8 &< de ellospresentaron licencias #,dicas en el pri#er se#estre% ?Wu, porcenta5ede los operarios presentó licencia #,dica@

Co#o se obser$a al leer co#prensi$a#ente elproble#a8 el total de los casos corresponden alos &/> operarios8 por lo cual a dic3a cantidad8

debe#os asociarle el &>>V% )e esta #anera8tene#os la si!uiente tabla%

Con dic3os datos plantea#os 4 resol$e#os laproporción+

RAM% <

Op$rario&

-

&/> &>>

&<



En una *"brica en la (ue traba5an &/> operarios8 &< de ellospresentaron licencias #,dicas en el pri#er se#estre% ?Wu, porcenta5ede los operarios presentó licencia #,dica@

Por lo tanto8 los &< operarios8 representan el

&V de los &/> traba5adores%

Op$rario&

-

&/> &>>

&<

x

10018120

=

120100*18

= x

1201800

= x

12180

= x 15= x

Documents

Razones Propo Porcent