'

&

$

%The Vatican ExhibitionElementi

Razvoj matematikein ra cunalnistvaGrcija, 2. del

Vladimir Batagelj

Univerza v Ljubljani

FMF, matematika

Zapiski, Ljubljana, 20. marec 2005

razlicica: 5. april 2005 / 13 : 24

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 1'

&

$

%

Kazalo1 Evklid iz Aleksandrije,∼325 –∼265 pns . . . . . . . . . . . . 1

17 Arhimed iz Sirakuz, 287 – 212 pns . . . . . . . . . . . . . . . . 17

21 Apolonij iz Perge,∼262 –∼190 pns . . . . . . . . . . . . . . . 21

22 Trigonometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

23 Heron,∼10 –∼75, Ptolomej,∼85 –∼165 . . . . . . . . . . . 23

25 Diofant Aleksandrijski,∼200 –∼284 . . . . . . . . . . . . . . 25

27 Papus iz Aleksandrije,∼290 –∼350 . . . . . . . . . . . . . . . 27

30 Zaton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

33 Vzhodno rimsko cesarstvo – Bizanc. . . . . . . . . . . . . . . 33

34 Viri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 1'

&

$

%

Evklid iz Aleksandrije, ∼325 –∼265 pns

Ni Evklid iz Megare. Evklidov rojstni

kraj ni znan.

Cas po Aleksandrovi smrti:

• boj za prevlado med generali

• Egipcanski del imperijacvrsto v

rokah Ptolomej I

• ustanovitevsole/instituta v Alek-

sandriji (Museum)

• povabljeni ucitelji

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 2'

&

$

%

Evklid

Na soli v Aleksandriji so bili: raziskovalci, administratorji, ucitelji.

Evklid sodi meducitelje, dela so ucbeniki, ne originalna dela, ne enciklo-

pedije.

Kakih 12 del (Matematika, Optika, Mehanika, Glasba, Astronomija),

vsi izvirniki izgubljeni (edino delo, ki se je ohranilo iz tistegacasa so

Autolycusove Krogle).

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 3'

&

$

%

Evklid – dela

Povsem izgubljena dela

• Trdne krivulje (stoznice)

• Pseudaria (zmote)

• Porizmi – morda zacetki analiticne geometrije

Dela (deloma) ohranjena v prepisih

• Podatki: Kako se lotimo problemov na osnovi razpolozljivih podatkov,dodatni ucbenik k Elementom

• Delitev likovohranjena skozi arabski prevod

• Fenomenisfericna geometrija za astronome, skupni viri z Autolycusom,najbrz velja to tudi za Elemente

• Optikageometrija direktnega pogleda (vs. catoptrika – odboji, diop-trika – lomi), zarek iz ocesa, matematicni opis perspektive

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 4'

&

$

%

Evklid – Elementi

Elementi, prvi natis Erhard Ratdolt, Benetke:1482

• Ucbenik, najbrz napisan na osnovi drugih

ucbenikov in tekstov. Najbolj vpliven (in

uspesen) ucbenik vsehcasov.• Ni zbirka vsega znanja, prej uvodni

ucbenik elementarne matematike teda-

njegacasa• Izvirnost: Evklidova je sistematika, nekaj

dokazov, ostalo verjetno ne• Prvi tiskan izvod 1482, od tedaj vsaj tisoc

izdaj• Zgradba: 13 knjig - poglavij : ni uvoda,

1-6 osnovna ravninska geometrija; 7-9

teorija stevil; 10 nesoizmerljivost; 11-13

geometrija teles.

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 5'

&

$

%

Evklid – Elementi / Kako so se ohranili?

• prvi izvod na papirusovem zvitku (cca 10m× 30cm)

• papirus razpada z uporabo in s staranjem⇒ prepisovanje

• prepisovanje je naporno⇒ prepisovali so samo najboljse/najpomembnejse

tekste – to je najbrz razlog, da so se ohranili Elementi in nic starejsega

• prepisovanje: napake in dodajanje

• najstarejsi celovit prepis je iz leta +888, Arethasskof iz Kapadokije

je naredil knjiznico, Elementi so eno od osmih del iz te knjiznice,

prepisovalec je bil Stephanus, prepisovanje je delo za okrog 3 mesece

• prepis iz +888 je blizje nam kot izvirniku (300 pns)

• obstajajo starejsi fragmenti (sest fragmentov iz leta 225 pns nasli leta

1906)

• nekateri mlajsi prepisi izhajajo iz prepisa pred 888

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 6'

&

$

%

Evklid – Elementi / Kako so se ohranili?

• prepis 888 vsebuje opombe prejsnjih avtorjev in kasnejse opombe

(dopisane)

• vecina ohranjenih prepisov temelji na prepisu Theona iz Aleksandrije

iz +400 (tudi 888)

• prve razlicice Elementov, ki so se pojavile v srednjeveski Evropi, so

bili prevodi iz Arabscine

• arabski prevodi so bili narejeni v 9 stoletju, iz arabscine v latinscino v

12. stoletju; vsi arabski prevodi so osnovani na Theonovem prepisu

• z metodo primerjav napak in dodatkov je Heiberg ugotovil, da vsi

ohranjeni izvodi razen enega temeljijo na Theonovem prepisu

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 7'

&

$

%

Evklid – Elementi / Definicije, aksiomi in postulati

Prva knjiga se zacne s 23definicijami , npr. (verjetno Platonske definicije)

• tocka je tisto, kar nima delov

• daljica (crta) je dolzina brezsirine

• ploskev je tisto, kar ima samosirino in dolzino

• meji daljice sta tocki

• ravnacrta jecrta, ki tece enakomerno med tockami na njej

• meje ploskve so daljice (crte)

postulati in aksiomi (po Aristotelu, v razlicnih prepisih razlicno)

• aksiomi morajo biti prepricljivi sami zase

• postulati se nanasajo na temo, ki jo obravnavamo

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 8'

&

$

%

Evklid – Elementi / Definicije, aksiomi in postulati

Postulati:

1. med dvama tockama lahko konstriuramo daljico2. daljico lahko podaljsamo v premico3. konstruiramo lahko krog z danim srediscem in polmerom4. vsi pravi koti so enaki5. tri premice, vsota notranjih kotov dveh glede na tretjo manjsi od 2R⇒

premici se sekata na tisti strani, kjer sta manjsa notranja kota

Aksiomi(splosni pojmi):

1. stvari, ki so enake isti stvari, so enake med seboj2. ce enake stvari dodamo enakim stvarem, so celote (vsote) tudi enake3. ce enake stvari odvzamemo enakim stvarem, so ostanki tudi enaki4. stvari, ki med seboj sovpadajo, so med seboj enake5. celota je vecja od njenih delov

Po Aristotelu je boljsi tisti dokaz, ki izhaja iz manj postulatov.

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 9'

&

$

%

Evklid – Elementi / Vsebina

Prva knjiga

Primer dokaza: konstrukcije, ki jih lahko delamo s sklopljivimsestilom so

enake kot tiste, ki jih delamo s klasicnim sestilom.

Dokazi so sicer navidez zelo pedantni, vendar vsebujejo tudi implicitne

postulate (npr. dve kroznici se sekata v tocki, enolicnost premice skozi dve

tocki, ...); ne glede na to je strogost dotedaj najboljsa

• skladnost trikotnikov

• lastnosti vzporednic

• paralelogrami

• pitagorov izrek in njegov obrat (!)

• brez razmerij (izogibanje najbrz zaradi nesoizmerljivosti)

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 10'

&

$

%

Evklid – Elementi / Vsebina

Druga knjiga

• geometrijska algebra

– distributivnosta · (b + c + d) = a · b + a · c + a · d

– (a + b)2 = a2 + 2a · b + b2

– a2 − b2 = (a + b) · (a− b)

– x2 = ab

• zametki trigonometrije

• izreka 12, 13 (locena, saj niso poznali negativnihstevil):

– v topokotnem trikotnikua2 + b2 = c2− dvakrat pravokotnikva× a

– v ostrokotnem trikotnikua2 + b2 = c2+ dvakrat pravokotnikva×a

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 11'

&

$

%

Evklid – Elementi / Vsebina

Tretja in cetrta knjiga

Prvi dve knjigi vsebujeta ’pitagorejsko’ znanje, tretja incetrta pa geometrijo

kroga (verjetno po Hipokratu). Stvar je precej podobna vsebini v danasnjih

geometrijskih ucbenikih.

Med drugim je podana konstrukcija pravilnega petkotnika. Problem, katere

vse je mogoce konstruirati, je resil sele Gauss: leta 1796 je nasel konstruk-

cijo pravilnega 17-kotnika, kasneje pa tudi pokazal, da je mogoce kon-

struirati natanko2mp1p2 · · · pk - kotnike, kjer sopji Fermatova prastevila

(oblike22n

+ 1). Euler (1730) je pokazal, da je225+ 1 = 641 · 6700417.

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 12'

&

$

%

Evklid – Elementi / Vsebina

Peta knjiga

Nesoizmerljivost je postavila uporabnost razmerij ’pod vprasaj’ (Pitagore-

jci). Problem razmerij nesoizmerljivih kolicin je razresil Eudoks, po

katerem je najbrz narejena peta knjiga.

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 13'

&

$

%

Evklid – Elementi / Vsebina

Sesta knjiga

Vsebuje:

• podobni trikotniki

• konstrukcijo zlatega reza

• dokaz pitagorjevega izreka s podobnostjo

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 14'

&

$

%

Evklid – Elementi / Vsebina

Sedma, osma in deveta knjiga

So o teorijistevil:

• ponovljene so mnogeze dokazane trditve za dolzine• stevilo je celo pozitivnostevilo• stevilo je predstavljeno kot daljica• zaveda se, da niso vse daljicestevila• deljivost= soizmerljivost• evklidov algoritem• prastevila, dokaz o neskoncnosti• verizno sorazmerjea1 : a2 = a2 : a3 = . . . – geometrijsko zaporedje• popolnastevila: ce je2n − 1 prastevilo, je2n−1(2n − 1) popolno

stevilo (ta obrazec da vsa soda popolnastevila (6, 28, 496, 8128, ...))• ali so vsa soda taka, ali obstajajo liha: neodgovorjeno vprasanje• morda vsa vsebina 9 knjige izvira od pitagorejcev

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 15'

&

$

%

Evklid – Elementi / Vsebina

Deseta knjigaNeizmerljivost - neracionalna razmerja

• najbrz najbolj obcudovano delo pred moderno algebro

• 115 trditev

• klasifikacija dolzin oblikea±√

b,√

a±√

b,√

a±√

b,√√

a±√

b,

a in b imata racionalno razmerje

• odprava korenov iz imenovalcevab±√

c, a√

b±√

c

• geometrijsko resevanje kvadratnih enacb

• nekatere trditve kazejo, da so poleg teorije tudi dobro uporabljali

priblizno racunstvo (bolj kot je ohranjeno)

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 16'

&

$

%

Evklid – Elementi / Vsebina

Enajsta, dvanajsta in trinajsta knjiga

• definicije teles in osnovne lastnosti

• izracuni ploscin in prostornin (Evdoks)

• pet pravilnih teles (zadnja knjiga)

• razmerja stranic / polmer opisane krogle

nekateri Evklidu pripisujejose 14 in 15 knjigo (dodatki prepisovalcev)

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 17'

&

$

%

Arhimed iz Sirakuz, 287 – 212 pns

• rojen inzivel v Sirakuzah, prijatelj

kralja Hierona II• oce astronom Fidija• v Aleksandriji se je ucil pri

Evklidovih naslednikih (Konon s

Samosa, Eratosten)• obleganje Sirakuz (2. punska vo-

jna) 214-212 pns• izvrsten inzenir – vzvodi,

skripcevja, oce matematicne

fizike• verjetno najpomembnejsi grski

matematik

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 18'

&

$

%

Arhimed – Dela

Njegova dela smo dobili preko latinskih prevodov (13. stol), izvirniki

izginili. Nekaj tudi iz arabscine in grscine.

Vzvod

• za razliko od Aristotela staticen dokaz

• 2 knjigi O ravnotezju likov(Aristotel stoletje prejFizika)

• tezisce

• tezisce parabolicnih odsekov

Hidrostatika

• vzgon je enak tezi izpodrinjene tekocine

• Eureka (nasel sem), ponarejena krona?

• 2 knjigi O plavajocih telesih

• stabilnost paraboloidov

• teorija ladjedeljnistva

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 19'

&

$

%

Arhimed – Dela

Aritmetika velikih stevil

• kako zapisatistevilo zrn v vesolju – razvil mestni zapis z osnovo108

• vsebuje opis Aristarhovega heliocentricnega sistema

Merjenja kroga

• najznamenitejse delo• ocena3 10

71 < π < 3 17 . Uporabil je zaporedje krogu vpisanih in opisanih

pravilnih6 · 2n-kotnikov. Oceno izpeljal iz 96-kotnikov.

Spirala

• knjiga o spiralah, obcudovana, redko brana,

tezka• ploscina spirale• trisekcija kota: uporaba spirale,

metoda ssestilom in ravnilom z merilom

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 20'

&

$

%

Arhimed – Dela

Kvadratura Parabole

• 34× trikotnik

• nacelo izcrpavanja= dvojna redukcija na absurd (ni vec, ni manj)

• ploscina elipse

• prostornina paraboloida

O krogli in valju

• povrsina krogle= 2× vpisan stozec nad glavnim krogom

• prostornina krogle= 23× opisanega valja

Metoda: Opis metode odkritja nekaterih izrekov – uravnotezanje daljic.

Heronov obrazec:P =√

s(s− a)(s− b)(s− c), s = 12 (a + b + c)

Pripisujejo mu ga arabski pisci.

Arhimedova telesa:Pripisuje mu jih Papus.

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 21'

&

$

%

Apolonij iz Perge,∼262 –∼190 pns

• malo se ve o njem; tekmec Arhimedu – podobna

vprasanja

• dela ohranjena v Papusovih delih

• delocil boljsi priblizek zaπ: 3.1416

• Apolonijev problem: dane tri stvari (tocke, pre-

mice, kroznice) doloci kroznico, ki je tangentna

na vse tri

• njegov najvecji prispevek je teorija stoznic; uporabljeni pristop

podoben Descartesovi analiticni geometriji (koordinatni sistem)

• v knjigah o odsekih v bistvu obravnava geometrijsko resevanje kvadrat-

nih enacbax− x2 = bc in ax + x2 = bc; razdela vprasanje resljivosti

in stevila resitev

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 22'

&

$

%

Trigonometrija

• v Elementih vec trigonometrijskih izrekov v geometrijski

preobleki; pojavlja se potreba po povezavi med koti in teti-

vami

• Aristarh s Samosa je (∼260 pns) je napisal razpravo o ve-

likosti in oddaljenosti Sonca in Lune – dolocil razmerja

glede na velikost Zemlje; Eratosten iz Kirene (276 – 194

pns) je iz razlik v sencah dolocil obseg Zemlje. Znan je

tudi po svojem prastevilskem situ (resetu)

• Hiparh iz Nikeje (∼180 – ∼125 pns) je sestavil prve

trigonometricne tablice, krog je 360 stopinj (Babilonci);

uredil je tudi astronomsko znanje dobljeno od Babiloncev

– katalog zvezd, konstante, precesija enakonocij

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 23'

&

$

%

Heron,∼10 –∼75, Ptolomej,∼85 –∼165Heron je znan predvsem po ’svojem’

obrazcu. Pomembno je tudi nacelo na-

jkrajse poti – utemeljitev zakaj sta pri

odboju svetlobe kota enaka.

Ptolomej je ustvaril veliko zbirko vsega

grskega matematicnega znanja, ki se jo je

kasneje pod arabskim vplivom oprijelo ime

Almagest. V njem je opisan tudi geocen-

tricni sistem –ceprav je Zemljo obravnaval

kot kroglo.

Za π uporablja (najbrz Apolonijevo) vred-

nost 377120 .

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 24'

&

$

%

. . . Ptolomej,∼85 –∼165Uvedel je 360 stopinj (Babilonci) za polni krog. Pripravil ’trigonometricne’

tabele – Almagest je bil dolgocasa osnovna knjiga za astronome.

Napisal je tudi Zemljepis. V njem je med drugim uvedel zemljepisne ’ko-

ordinate’. Opisal je tudi stereografsko projekcijo pri izdelavi zemljevidov.

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 25'

&

$

%

Diofant Aleksandrijski, ∼200 –∼284

• o zivljenju le malo znanega

• omenja se ga kot oceta algebre

• glavno delo Aritmetika (teorijastevil); od 13 knjig se jih je ohranilo le prvih

6; vsebina ima le malo skupnega s prejsnjo grsko matematiko; 150 konkretnih

problemov, problem polnosti resitev – reseval jenalogein ne enacbe

• resevanje enacb: dolocene in nedolocene – Diofantska analiza, danes bolj

teorijastevil; mnozica resitev: cela ali racionalnastevila

• algebra (besedno, vmesno (okrajsave za posamezne sestavine), simbolicno);

Diofant je vpeljal poseben simbol za neznanko in njene potence (do 6) – recimo

X, S ≡ X2, C ≡ X2, . . . ,U enota terM za odstevanje

2x4 + 3x3 − 4x2 + 5x− 6 → SS2C3X5MS4U6

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 26'

&

$

%

. . . Diofant Aleksandrijski, ∼200 –∼284

• poznal je zvezo

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + bd)2 + (ad− bc)2 = (ac− bd)2 + (ad + bc)2

• probleme z vecimi neznankami je prevedel na eno

x + y = 20, x2 + y2 = 208 → (10 + z)2 + (10− z)2 = 208

• reseval je naloge (oblike Pellova enacba):x2 = 1 + 30y2 in x2 = 1 + 26y2

• ima velik vpliv na kasnejsi razvoj algebre in teorijestevil – Fermatov izrek

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 27'

&

$

%

Papus iz Aleksandrije,∼290 –∼350

• sestavil Zbirko 8 knjig (izgubljena prva in del druge)

• v tretji knjigi: razlika med problemi: ravninski (ravnilo insestilo),

prostorski (stoznice – podvojitev, raztretjinjenje), linearni (druge

krivulje) - nekaj ’resitev’ treh problemov

• teorija sredin SLIKA

• v cetrti knjigi zahteva, da se problemi posameznega razreda resujejo z

ustreznimi (minimalnimi) sredstvi;

• raztretjinjenje z uporabo hiperbole

• posploseni Pitagorov izrek SLIKA

• peta knjiga (Modrostcebel) – izoperimetricni problemi; npr. med

pravilnimi mnogokotniki z enakim obsegom ima vecjo ploscino tisti

z vec stranicami→ krog, krogla

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 28'

&

$

%

. . . Papus iz Aleksandrije,∼290 –∼350

• sesta in osma knjiga: uporaba matematike v astronomiji, optiki in

mehaniki

• sedma knjiga je zelo blizu analiticni geometriji: definicija krivulj z

gibanjem ali preseki ravnine in ploskev; problemn premic

• metoda vzvratnega resevanja – od rezultata do podatkov (razgradnja)

• Guldimovo pravilo: prostornina vrtenineje enaka produktu ploscine

lika in poti, ki jo opravi tezisce lika; podobno za povrsine ploskev.

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 29'

&

$

%

ZatonNaslednji zahodni matematiki (skoraj tisoc let) niso vec dosegali grskih

visin. Vecinoma se le komentirali stara dela. V komentarjih ohranjeni po-

datki o izgubljenih delih inzivljenju.

Theon iz Aleksandrije (∼365), Proclus (410-485) – veliko podatkov o grski

geometriji.

Leta 476 Goti, Odoaker odstrani rimskega cesarja.

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 30'

&

$

%

Boetij – Anicius Manlius Severinus Boethius, 480

–∼524

Boetij je izhajal iz patricijske druzine.

Po drugih virih napisal 4 knjige:

aritmetika, geometrija, astronomija,

glasba. Osnova srednjeveskega

meniskegasolstva. Bil je svetovalec

Teodorika. Padel je v nemilost in

bil usmrcen. Njegova smrt je dober

mejnik za konec zahodnega rimskega

cesarstva.

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 31'

&

$

%

Vzhodno rimsko cesarstvo – Bizanc

• vzdrzalo do padca pod Turki

• Simplicius (∼520) ohranil koscke Eudemija

• Antemij (∼534), arhitekt Sv. Sofije v Bizancu. Opisal konstrukcijo elipse z

vrvico. V deluZgoca zrcala podalzariscne lastnosti parabole.

• Izidor iz Mileta, kostrukcija parabole z vrvico.

• Leta 529 je Justinjan (zascita pravoslavja pred poganstvom) zaprl Platonsko

Akademijo. Filozofi so se umaknili v Perzijo (Atenska Akademija v izg-

nanstvu). Konec evropske anticne matematike. Sredisce se preseli na (daljni

in bliznji) vzhod.

• leta 529 je bil ustanovljen samostan na Monte Cassinu.

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija, 2. del 32'

&

$

%

Viri1. MacTutor History of Mathematics Archive:Evklid

2. David Joyce’s History of Mathematics, Clark UniversityElementi(v

Javi)

3. Perseus Project, Tuft’s UniversityEvklid

4. Alex Pearson / MathForumEvklid

5. Chris Rorres:Archimedes

6. Henrietta Midonick: The treasury of mathematics. Pelican Book.

Penguin Books, Harmondsworth, 1968.

7. Nuremberg chronicle

Ljubljana, 20. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖