René Descartes Gottfried Wilhelm von Leibniz Karl Friedrich Gauss

René Descartes

Gottfried Wilhelm von Leibniz

Karl Friedrich Gauss

Niels Henrik Abel

George Boole

George F. B. Riemann

David Hilbert

Euclides Roxo

Jacob Palis

Nicolaus Bernoulli II

Matemática - Álgebra2

SUMÁRIO DO VOLUMEMATEMÁTICA

ÁLGEBRA 51. Noções sobre conjuntos 5

1.1 Introdução 51.2 Como e quando surgiu o processo de contagem? 81.3 Representação de conjunto 101.4 Igualdade de conjuntos 111.5 Quantidade de elementos de um conjunto 121.6 Tipos de conjuntos 121.7 Relação de inclusão 151.8 Partes de um conjunto 161.9 Operações com conjuntos 191.10 Cálculo proposicional 29

2. Conjuntos numéricos 492.1 Introdução 492.2 Números naturais () 492.3 Números inteiros () 512.4 Números racionais () 532.5 Números irracionais (Ir) 612.6 Números reais () 632.7 Números Complexos () 67

3. Noções sobre funções 753.1 Introdução 753.2 Texto e Contexto 773.3 Defi nição 813.4 Representação 833.5 Variação 93

4. Função afi m 1034.1 Introdução 1034.2 Defi nição 1054.3 Zero 1054.4 Gráfi co da função afi m 1054.5 Proporcionalidade e taxa de variação 1094.6 Sinal da função afi m 1204.7 Inequações 121

TRIGONOMETRIA 1291. Semelhança 129

1.1 Semelhanças de triângulos 1301.2 Casos de semelhança 1311.3 Relações métricas no triângulo retângulo 132

2. Trigonometria 1392.1 Trigonometria no triângulo retângulo 1392.2 Razões trigonométricas 1402.3 Tabela de razões trigonométricas 1412.4 Ângulos Notáveis 143

3. Relações entre Seno, Cosseno e Tangente 1534. Noções sobre a circunferência trigonométrica 158

4.1 Introdução 1584.2 Circunferência 1584.3 Comprimento da circunferência 1584.4 Arco de circunferência 1584.5 Medida do Arco 1584.6 Circunferência Trigonométrica 1594.7 A ideia da Razão Seno na circunferência trigonométrica 1594.8 A ideia da Razão Cosseno na circunferência trigonométrica 160

Matemática - Álgebra 3

SUMÁRIO DO VOLUME5. Triângulos Quaisquer 166

5.1 Introdução 1665.2 Lei dos senos 1665.3 Lei dos cossenos 167

6. Trigonometria nos Polígonos Regulares 1756.1 Polígono Regular 1756.2 Uso da a trigonometria para calcular o lado, o raio e o apótema de um polígono regular 1766.3 Área do triângulo em função de dois lados e do seno do ângulo compreendido 1786.4 Área do triângulo equilátero 1786.5 Área de um polígono regular 179


VOLUME 1

ÁLGEBRA I1. Noções sobre conjuntos2. Conjuntos numéricos 3. Noções sobre funções4. Função afi m

TRIGONOMETRIA

1. Semelhança2. Trigonometria3. Relações entre Seno, Cosseno e Tangente4. Noções sobre a circunferência trigonométrica5. Triângulos Quaisquer6. Trigonometria nos Polígonos Regulares

VOLUME 2

ÁLGEBRA I5. Função Quadrática6. Composição de funções7. Funções defi nidas por várias sentenças8. Função Modular9. Outras classifi cações de funções10. Função inversa11. Potências e radicais

ÁLGEBRA II1. Noções sobre sequências2. Progressões aritméticas (P.A.)3. Progressões geométricas (P.G.)

VOLUME 3

ÁLGEBRA I12. Função exponencial13. Noções sobre logaritmo14. Função logarítmica15. Logaritmos decimais

ÁLGEBRA II4. Noções de estatística5. Noções de matemática fi nanceira

SUMÁRIO COMPLETO

Noções sobre conjuntos


ÁLGEBRA

1. NOÇÕES SOBRE CONJUNTOS

1.1 Introdução

Acervo Sistemade Ensino

DIVISÃO POLÍTICA DO BRASIL

O Brasil é um conjunto formado por 26 Estados e pelo Distrito Federal, em que cada Estado é também um conjunto de municípios. Por sua vez, cada município é constituído por um perímetro urbano (cidade) e áreas rurais, as quais contêm os distritos. No parágrafo anterior, podemos notar, em vários momentos, a utilização do termo conjunto para identi� car a divisão política de nosso país. Mas qual o real signi� cado e de� nição de conjuntos no contexto matemático? O conceito básico de conjuntos é, sem dúvida, um dos mais importantes e fundamentais do estudo da matemática. A partir dessa linguagem, formula-se toda a matemática atual. E, ao iniciarmos o estudo dessas noções básicas, devemos aceitar alguns conceitos matemáticos (noções primitivas) sem de� ni-los. Assim, temos a ideia de noção de conjunto como uma coleção, uma classe, um agrupamento ou uma reunião qualquer de objetos bem de� nidos. A cada um desses objetos que compõem essa coleção (conjunto) chamamos de elemento. Em geral, indicaremos os conjuntos por letras maiúsculas do alfabeto latino A, B, C, ..., enquanto indicaremos por letras minúsculas a, b, c, ... os elementos desses conjuntos.



Texto e contextoTexto e contexto

Texto IO DESEMPREGO TECNOLÓGICO

O problema mais grave destes primeiros anos do terceiro milênio talvez seja a ameaça do chamado desemprego tecnológico – o desemprego gerado pela combinação da utilização em grande escala da tecnologia de informática e telecomunicações, aliada às novas técnicas, como meio de aumentar a produtividade das empresas, com a consequente redução da mão de obra. Os estudiosos do problema costumam se dividir em dois grupos com opiniões divergentes. De um lado, os pessimistas que pensam que a automação eliminará rapidamente os empregos industriais e os de serviços. Consideram que o desemprego global atingiu seu nível mais alto desde a década de 1930, com mais de 800 milhões de pessoas no mundo desempregadas ou subempregadas. Essas idéias costumam ser refutadas pelos otimistas, que acreditam que a atividade econômica mudaria da produção de bens para a prestação de serviços. O fi m do emprego rural seria seguido pelo fi m do emprego industrial, em benefício do emprego do setor de serviços. E este constituiria a maioria esmagadora das ofertas de emprego. A nova economia aumentaria a importância das profi ssões com grande conteúdo de informação e conhecimentos em suas atividades. As profi ssões administrativas, especializadas e técnicas, cresceriam mais rápido que qualquer outra, e constituiriam o cerne da nova estrutura social. Assim, de acordo com o partido “otimista”, não há nada com o que se preocupar: depois de um período de ajustes, o fi m de empregos nos setores convencionais seria compensado por uma grande oferta de colocações. Essas colocações, no entanto, exigiriam alta qualifi cação profi ssional. A solução, portanto, seria simples: aumentar o nível de escolaridade e a capacitação técnica da população.

Lauro A. Monteclaro César Jr.

Texto II

SETOR TERCIÁRIO (SETOR DE SERVIÇOS)

Podemos defi nir o Setor Terciário (Serviços) como o responsável pela prestação de serviços (bens intangíveis) a empresas e consumidores em geral. Como exemplo, pode-se destacar o chamado serviço de pós-venda, em que é prestada assistência ao cliente após a venda do produto, que o valoriza, pela garantia da assistência. Os vários tipos de serviços podem envolver setores de transporte, distribuição e venda de mercadorias (do produtor para um consumidor) que pode acontecer no comércio atacadista ou varejista, ou podem envolver a prestação de um serviço, como o antiparasitas ou entretenimento. Os produtos podem ser transformados no processo de prestação de um serviço, como acontece no restaurante ou em equipamentos da indústria de reparação. No entanto, o foco é sobre pessoas interagindo com as pessoas e servindo ao consumidor, mais do que a transformação de bens físicos. A heterogeneidade dos serviços e, consequentemente, as especifi cidades de suas questões têm sido potencializadas por este processo de transformação introduzido pelo novo paradigma econômico-tecnológico, no centro do qual está a revolução microeletrônica introdutora de novos produtos e geradora de um processo de reestruturação industrial caracterizado por avanços signifi cativos de produtividade e pela globalização das atividades econômicas. O uso de novas tecnologias vem exigindo o aparecimento de novos serviços e fazendo de muitos deles insumos fundamentais para os demais setores econômicos, particularmente para a indústria. Este processo trouxe consigo novas exigências para a sociedade no campo da educação, do treinamento/conhecimento e da saúde.

Disponível em: <http://pt.wikipedia.org>. Acesso em: 20 de jul. 2012.Imagem disponível em: <www.rct-systems.com>. Acesso em: 15 dez. 2012.

O problema mais grave destes primeiros anos do terceiro milênio talvez seja a ameaça do chamado desemprego tecnológico – o desemprego gerado pela combinação da utilização em grande escala da tecnologia de informática e telecomunicações, aliada às novas técnicas, como meio de aumentar a produtividade das empresas, com a consequente redução da mão de obra. Os estudiosos do problema costumam se dividir em dois grupos com opiniões divergentes. De um lado, os pessimistas que pensam que a automação eliminará rapidamente os empregos industriais e os de serviços. Consideram que o desemprego global atingiu seu nível mais alto desde a década de 1930, com mais de 800 milhões de pessoas no mundo

Essas idéias costumam ser refutadas pelos otimistas, que acreditam que a atividade econômica mudaria da produção de bens para a prestação de serviços. O fi m do emprego rural seria seguido pelo fi m do emprego industrial, em benefício do emprego do setor de serviços. E este constituiria a maioria esmagadora das ofertas de emprego. A

conteúdo de informação e conhecimentos em suas atividades. As profi ssões administrativas, especializadas e técnicas, cresceriam mais rápido que qualquer outra, e constituiriam o

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2.



Minhas ideias, nossas ideiasMinhas ideias, nossas ideias

Na sua opinião, o avanço tecnológico é realmente uma potencial ameaça à geração e à manutenção de postos de trabalho? Se sua resposta for afi rmativa, como é possível resolver essa grave questão do desemprego tecnológico?

Assim, baseando-se nos textos apresentados, discuta com seus colegas e formalize sua opinião sobre os benefícios e possíveis problemas gerados pelo desenvolvimento tecnológico.

De acordo com o exposto nos textos anteriores, bem como o que observamos no contexto mundial atual, o mercado de trabalho exige cada vez mais habilidades e capacidades melhores. Quanto mais autônomo e criativo e quanto maior for a aptidão e a competência para resolver problemas, maiores serão as possibilidades de sucesso no mercado de trabalho. Assim, se faz necessário um ensino voltado para o desenvolvimento dessas habilidades e competências.

Na matemática moderna, uma importante ferramenta utilizada para estes fi ns é a Teoria dos Conjuntos, a qual será alvo de nossos estudos neste capítulo. Em momento oportuno, ela será relacionada com a Álgebra Booleana muito utilizada em aplicações na eletrônica, como, por exemplo, na informática.

• <portal.mec.gov.br/secad/arquivos/pdf/12_cd_al.pdf>• <www.novidadesdeinformatica.com.br>• <www.ime.usp.br/~is/ddt/mac333/projetos/fi m-dos.../revolucoes.htm>• <http://geografi agloball.blogspot.com.br/>

Vamos analisar as seguintes situações-problema:

Situação-problema 1

Uma pesquisa foi realizada para estimar a utilização, por parte da população, de uma determinada cidade em relação aos serviços do terceiro setor. Foram pesquisados serviços relacionados a transportes (A), varejo (B) e entretenimento (C), como podemos ver na tabela a seguir.

Serviço utilizado Quantidade

Transportes 200

Varejo 180

Entretenimento 200

Transporte e varejo 70

Transporte e entretenimento 60

Varejo e entretenimento 50

Transportes, varejo e entretenimento 20

Nenhum 100

a) Qual o número de pessoas que utilizam apenas os serviços relacionados a transportes?b) Quantas pessoas indicaram utilizar apenas o serviço de varejo ou apenas o serviço de entretenimento?c) Quantas pessoas utilizam exatamente dois tipos de serviços?d) Qual a diferença entre o número de pessoas que utilizam apenas o serviço de entretenimento e as pessoas que utilizam apenas o serviço de varejo?e) Qual o número total de pessoas entrevistadas?



Situação-problema 2

Nos últimos anos, temos presenciado um aumento considerável da aplicação da Teoria de Conjuntos em problemas e novas tecnologias relacionados à Ciência da Computação. Um fato que merece destaque é o processamento das informações em qualquer circuito eletrônico (fotônico ou até mesmo os protótipos dos computadores quânticos) que seguem a lógica de conjuntos, as quais ocorrem através de várias combinações de circuitos elétricos do tipo E, OU, NÃO. Um exemplo é o circuito do tipo E, cujo esquema é mostrado na imagem anterior. Baseado na fi gura, elabore uma “tabela verdade” que represente este circuito lógico.

Para respondermos a questões como as das situações anteriores, e em várias outras situações cotidianas, utilizamos às noções de conjuntos.

Observação: No que diz respeito ao exercício de circuitos elétricos, tal assunto será abordado ainda neste capítulo.

Em qualquer lugar do mundo, a sentença 4 + 2 = 6, escrita na linguagem matemática, é compreendida até por uma criança. No entanto, no estudo da matemática, deparamo-nos, muitas vezes, com símbolos que, aparentemente, “complicam” nosso entendimento. Isso ocorre porque estamos acostumados com a linguagem usual do cotidiano, menos sintetizada e menos simbólica. No estudo dos conjuntos, teremos a oportunidade de nos familiarizar com alguns símbolos bastante usados na linguagem matemática. Além disso, o estudo dos conjuntos numéricos nos possibilitará analisar algumas a� rmações que, aparentemente, sempre nos pareceram verdadeiras, mas que, dependendo do conjunto ao qual estiverem inseridas, nem sempre sua veracidade poderá ser provada. Vejamos um exemplo disso a seguir.

Dois é um número primo, pois possui apenas dois divisores, o número 1 e ele mesmo.

Então, esta a� rmação é sempre verdadeira? Numa primeira análise, aparentemente, esta é uma pergunta muito simples, cuja resposta da maioria das pessoas deveria ser “sim, a a� rmação é verdadeira”. Mas contrariando a opinião de todas elas, a resposta correta seria “depende”! Muitos devem estar se perguntando: Como assim, depende do quê? Depende de qual conjunto numérico estamos inserindo esta a� rmação. Isto é:• se 2 ∈ , a resposta é verdadeira, pois realmente terá apenas dois divisores;• se 2 ∈ , a resposta é falsa, pois terá mais do que dois divisores;• se 2 ∈ , a resposta é falsa, pois terá mais do que dois divisores;• se 2 ∈ , a resposta é falsa, pois terá mais do que dois divisores;

Texto e contextoTexto e contexto

1.2 Como e quando surgiu o processo de contagem?

Há milhares de anos, em civilizações primitivas, seus indivíduos não possuíam necessidades relativas à contagem. Contudo, com o surgimento das primeiras cidades sumérias e egípcias por volta de 4000 a.C., e o desenvolvimento das atividades humanas, como comércio e agricultura, o homem sentiu a necessidade de organização, planejamento e divisão de terras, quanti� cação de sementes e contabilização

ch1 ch2



de sua produção agrícola, assim como quanti� cação de suas trocas comerciais. Neste mesmo período, o homem também iniciou o processo de construção de moradias, forti� cações e domesticação de animais. Com a domesticação de animais, o homem dá início a uma forma de correspondência um a um (biunívoca), em que cada animal correspondia a uma pedrinha armazenada em um saco. Assim, ao � m do dia, fazia-se uma correspondência inversa e se analisava se algum animal havia se perdido ou sido acrescido ao seu rebanho. Além da correspondência por pedras, as primeiras civilizações utilizavam nós em cordas, marcas em paredes, talhes em ossos e outros tipos de marcação. Era o início do processo de contagem. Um dos primeiros povos a desenvolverem um sistema de numeração foram os egípcios,por volta de 3 mil anos a.C., baseando-se em agrupamentos de 10 elementos.

Um traço vertical = 1 unidade

Um osso de calcanhar invertido = 10

Um laço (rolo de corda) = 100

Uma flor de lótus = 1.000

Um dedo dobrado = 10.000

Um girino = 100.000

Uma figura ajoelhada = 1 milhão

Todos os outros números eram escritos, combinando-se osnúmeros-chave. Por exemplo:

322 = (100 + 100 + 10 + 10 + 1 +1 = 322)

Disponível em:<www.jornaldocarol.blogspot.com>. Acesso em: 20 de jul.2012.

No primeiro milênio a.C., os babilônios incorporaram grande parte da cultura matemática egípcia, acrescentando novos conhecimentos como o amplo desenvolvimento da Álgebra Elementar e a invenção de um sistema posicional.

1 11 21 31 41 51

2 12 22 32 42 52

3 13 23 33 43 53

4 14 24 34 44 54

5 15 25 35 45 55

6 16 26 36 46 56

7 17 27 37 47 57

8 18 28 38 48 58

9 19 29 39 49 59

10 20 30 40 50 60



Por volta de 500 a.C., os chineses criaram um sistema de numeração em barras de bambu, mar� m ou ferro, o qual era formado por 18 símbolos, em que nove deles eram utilizados para representar unidades, centenas e dezenas de milhar, e os demais representavam as dezenas e os milhares. Finalmente, os indianos desenvolveram o sistema de numeração de base decimal com notação posicional e dez símbolos (algarismos), utilizado até hoje por nós, e que representa uma síntese dos sistemas desenvolvidos pelos povos da Antiguidade. Contudo, os indianos, inicialmente, utilizaram nove símbolos para indicar os números de 1 a 9. Somente cerca de dois séculos depois sentiram a necessidade de criar algo que representasse o nada, representasse uma casa vazia. Assim, surgiu o sunya, cujo signi� cado é “vazio”, “espaço em branco” que, mais tarde, os árabes, por volta do século X, ao adotarem o sistema hindu, traduziram para sifr. E foram justamente os árabes, através de seu comércio, os responsáveis por divulgar no Ocidente o sistema decimal posicional até hoje conhecido como o sistema de numeração indo-arábico. Já no século XIII, na região atual da Itália, houve uma latinalização do termo sifr para zephirum, que após outras modi� cações, � nalmente chegou ao termo italiano zero.

Disponível em:<www.criandonumeros.blogspot.com.>. Acesso em 20 de jul. 2012

De forma geral, muitos pesquisadores, ao analisarem os vestígios sobre a vida dessas civilizações, creem que a ideia inicial da contagem dos sitemas de numeração se deu a partir da experiência com conjuntos em correspondência biunívoca. Mais adiante, no capítulo sobre função, veremos que, ainda hoje, utilizamos a correspondência unidade a unidade.

Noções primitivas Sabemos que o conjunto das vogais minúsculas do nosso alfabeto é composto pelos seguintes elementos: a, e, i, o, u. Intuitivamente, dizemos que a é um elemento que pertence ao conjunto das vogais, enquanto r é um elemento que não pertence a ele. Sendo V o conjunto das vogais, essas sentenças podem ser escritas como:

• a ∈V (a pertence a V)

• r ∉V (r não pertence a V) As noções de conjunto, elemento e pertinência são adquiridas pela experiência, intuitivamente. Por isso, não é necessário estabelecer uma de� nição matemática para elas.

1.3 Representação de conjunto

Podemos fazer a representação de um conjunto por meio de:• enumeração (escrevendo os elementos entre chaves e separados por vírgulas);• propriedade característica (por meio de uma sentença matemática que caracteriza seus elementos);• diagrama (recurso grá� co chamado de Diagrama de Venn).

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Exemplo: Representando o conjunto V das vogais minúsculas, temos:• enumeração: V = {a, e, i, o, u}; • propriedade comum: V = {x| x é vogal do alfabeto latino};• Diagrama de Venn

Saiba maisSaiba mais

Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor, matemático de origem russa, nasceu na cidade de St. Petersburg em 3 de março de 1845. Mudou-se com a família, ainda menino para a Alemanha. Sua formação acadêmica feita na Alemanha e na Suíça, na Universidade de Zurich até 1862, posteriormente, na de Universidade Berlim, onde foi aluno de notáveis matemáticos, como Ernst Kummer, Karl Weierstrass e Leopold Kronecker, e, fi nalmente, em Göttingen. Para muitos, a teoria dos conjuntos de Cantor é uma das mais notáveis inovações matemáticas dos últimos séculos, na qual ele apresenta demonstrações novas de fatos conhecidos, bem como inúmeros fatos novos. Essa teoria contribuiu decisivamente para que se passasse a encarar, sob outra perspectiva, os problemas da matemática, desde os que surgem nos fundamentos da disciplina até os que são típicos de ramos especializados da álgebra, da análise e da geometria.

John Venn

John Venn, matemático inglês, nasceu em Hull, em 4 de agosto de 1834. Estudou na Universidade de Cambridge entre 1853 e 1857, sendo ordenado padre em 1859. Voltou à Universidade de Cambridge em 1862 como professor de Ciência Moral, onde leccionou e estudou Teoria das Probabilidades e Lógica Pedagógica. Viveu em Cambridge até ao fi nal da sua vida. A lógica de Boole (a qual dedicaremos maior atenção ao fi nal desse capítulo) foi bastante desenvolvida por ele. Tornou-se conhecido pela representação de intersecções e uniões de conjuntos através de diagramas esquemáticos (região limitada por uma linha fechada e não entrelaçada), que vieram a tomar o seu nome (diagramas de Venn). Venn, em 1866 escreveu Logic of Chance, infl uenciando o desenvolvimento da teoria estatística. Em 1870, deixa a Igreja e publica Symbolic Logic em1881 e The Principles of Empirical Logic, em 1889. Em 1883, é eleito fellow da Royal Society, começa a interessar-se por História vindo a publicar, nesta área, The Biographical History of Gonville and Caius College, em 1897. Morreu em Cambridge no dia 4 de abril de 1923.

Para saber mais sobre a história destes célebres matemáticos e suas contribuições à matemática, acesse:

• www.cneconline.com.br/blogs/matematica• www.joseferreira.com.br/blog/matematica

1.4 Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e vice-versa, não importando a ordem ou a repetição dos elementos. A esta maneira de veri� car se dois conjuntos são iguais chamamos de princípio da extensão.

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Assim, por exemplo, são iguais estes conjuntos:• A = {a, b, c, d, e} • B = {a, b, b, c, d, d, d, e, e} • C = { a, d, b, e, c}

Notemos que os três conjuntos têm os mesmos elementos. Dizemos, nesse caso, que esses conjuntos são iguais, independentemente da ordem em que os elementos são enumerados. Consideremos, agora, as iniciais A, B e C dos nomes dos jogadores de um time de futebol, e a ordem em que ocorreram os gols que � zeram num certo jogo, de acordo com a tabela a seguir:

1o gol 2o gol 3o gol 4o gol 5o gol

A x xB x xC x

Formemos o conjunto das iniciais dos nomes desses jogadores que � zeram gol. Se enumerarmos o conjunto dessas iniciais em ordem alfabética e na ordem em que ocorreram os gols, teremos, respectivamente, os conjuntos N e G, tais que:

N = {A, B, C} e G = {A, B, A, C, B}

Novamente, os conjuntos têm os mesmos elementos, embora em G haja repetições. Nesse caso, dizemos, também, que os conjuntos são iguais. Se A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 1, 4, 2}, então A = B, isto é {1, 2, 3, 4} = {3, 1, 4, 2}, pois cada um dos elementos, 1, 2, 3 e 4, de A, pertence a B e cada um dos elementos, 3, 1, 4 e 2, de B, pertence ao conjunto A. Note, portanto, que um conjunto não muda se ordenarmos seus elementos de modo diferente. Se C = {5, 6, 5, 7} e D = {7, 5, 7, 6}, então C = D, isto é, {5, 6, 5, 7} = {7, 5, 7, 6}, pois cada elemento de C pertence a D e cada elemento de D pertence a C. Note que um conjunto não se altera quando seus elementos são repetidos. Assim, também temos {5, 6, 7} = C = D.

1.5 Quantidade de elementos de um conjunto

A quantidade n(A) de elementos de um conjunto A é obtida considerando-se o número de elementos distintos que ele apresenta.

Exemplos:• A = {x, y, z} ⇒ n (A) = 3

• B = {1, 1, 2, 3, 4, 4}⇒ n(B) = 4

• O conjunto S dos dias da semana: S = {domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado} Note que este conjunto tem exatamente 7 elementos distintos, e indicaremos isso usando a seguinte notação: n(S) = 7

1.6 Tipos de conjuntos

Alguns tipos de conjuntos, por serem de grande aplicação na teoria de conjuntos, merecem uma citação à parte.



1.6.1 Conjunto unitário

Consideremos a seguinte questão: Qual o nome do satélite natural do planeta Terra? Obviamente, sabemos que a resposta é Lua. Assim, o conjunto que fornece essa resposta tem um único elemento. Logo, podemos então dizer que, nesse caso, temos como resposta um conjunto unitário. Formalmente, dizemos que conjunto unitário é todo conjunto formado por um único elemento, caracterizando um evento elementar. Desse modo, são unitários os conjuntos:• P dos números primos pares.

P = {2} ⇒ n(P) = 1

• C das capitais da República Federativa do Brasil.

C = {Brasília}⇒ n(C) = 1

1.6.2 Conjunto vazio

Inicialmente, considere a seguinte questão:

Qual Estado da região Norte do Brasil faz fronteira com Minas Gerais?

OCEANO

PACÍFICO

OCEANO

ATLÂNTICO

BoaVistaRORAIMA

Manus

Macapá

RioBranco

PortoVelho

Belém São LuísFortaleza

TeresinaNatal

JoãoPessoaRecife

MaceióAracaju

Salvador

Vitória

Rio deJaneiroSão

Paulo

Belo Horizonte

Curitiba

Florianópolis

Porto Alegre

CampoGrande

Cuiabá

Goiânia

AMAZONAS PARÁ

AMAPÁ

ACRE

RONDÔNIA

MATO GROSSO

MATO GROSSODO SUL

GOIÁSBrasília-DF

MINAS GERAIS

SÃO PAULO

RIO GRANDEDO SUL

SANTA CATARINA

PARANÁ

RIO DE JANEIRO

ESPÍRITO SANTO

BAHIA

MARANHÃOCEARÁ

RIOGRANDEDONORTE

PARAÍBA

PERNAMBUCOALAGOAS

SERGIPEPalmas

TOCANTINS

ARGENTINA

URUGUAI

PARAGUAI

CH

ILE

BOLÍVIA

PERU

COLÔMBIA

VENEZUELA GUIANA

SURINAME

GUIANAFRANCESA

60º65º 70º75º35º

30º

25º

20º

15º

10º

5º

0º

5º

55º 50º 45º 40º 35º 30º

É evidente que a resposta é: “Não existe”!



Portanto, o conjunto que representa essa resposta não possui elemento. Nesse caso, dizemos então que, a resposta é um conjunto vazio. Formalmente, dizemos que conjunto vazio é todo conjunto que não apresenta elemento e cuja representação é feita, geralmente, por { }, ∅ ou por uma propriedade falsa, caracterizando um evento impossível. Desse modo, são vazios os conjuntos:• P de palavras proparoxítonas da Língua Portuguesa não acentuadas:

P = ∅ ou P ={ } ⇒ n(P) = 0

• A dos animais que realizam fotossíntese:

A = ∅ ou A = { }⇒ n(A) = 0

1 O que signifi ca a representação {∅}?

1.6.3 Conjunto finito Um conjunto é � nito se possuir um número especí� co de elementos distintos, isto é, se ao contarmos um a um os seus diferentes elementos, o processo de contagem tiver um � m. Logo, esse tipo de conjunto é utilizado para representar quantidades limitadas de elementos.

Exemplos:• O conjunto P dos números pares compreendidos entre 1 e 15:

P = {x é par/ 1 < x < 15} ou P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

• Seja M o conjunto dos dias do mês de maio.

n(M) = 31

Como M tem 31 elementos, M é � nito.

• O conjunto V das vogais do alfabeto latino:

V = {a, e, i, o, u}

Como o conjunto das vogais possui apenas cinco elementos, dizemos que V é um conjunto � nito.

1.6.4 Conjunto infinito

Se um conjunto não é � nito, ou seja, a contagem de seus elementos não tem � m, então ele é chamado conjunto in� nito e possui uma quantidade ilimitada de elementos.

Exemplo: O conjunto dos números naturais pares, P = {0, 2, 4, 6, 8, ...}, é um conjunto in� nito, pois possui uma quantidade ilimitada de elementos.

Curiosidade Os conjuntos in� nitos possuem propriedades magní� cas, diferentes do que você está acostumado.



Exemplo: O conjunto dos números pares P = {0, 2, 4, 6, 8...} que está contido no conjunto dos números naturais, por mais incrível e estranho que possa parecer, possui a mesma quantidade de elementos que o Conjunto dos Números Naturais. Isso ocorre pelo fato de que quando se trata de conjuntos in� nitos, Cantor demonstrou que a ideia usual que temos de que o todo é maior do que as partes não vale. Nesse caso, ambos os conjuntos possuem a mesma cardinalidade.

Saiba maisSaiba maisCardinalidade de conjuntos

Dizemos que dois conjuntos A e B têm a mesma cardinalidade, ou seja, o mesmo número de elementos quando é possível defi nir uma correspondência biunívoca entre seus elementos.Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8}. Se defi nirmos uma relação f: A → Β pela regra f(x) = 2x, determinaremos uma correspondência biunívoca, tal que f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 6 e f(4) = 8, como podemos visualizar no diagrama ao lado. Logo, podemos afi rmar que os conjuntos A e B possuem a mesma cardinalidade.

Os números transfi nitos de Cantor

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1.6.5 Conjunto universo

Quando se faz um estudo em matemática, admite-se um conjunto U, ao qual todos os elementos envolvidos pertençam. Esse conjunto recebe o nome de conjunto universo. Deve-se notar que, para uma mesma descrição de um conjunto, é possível ter várias soluções, dependendo do conjunto universo em questão.

Exemplo: O conjunto das vogais das palavras BRASIL, PATRIOTA e POVO são, nessa ordem:• V1 = {A, I}• V2 = {A, I, O}• V3 = {O}

cujos universos são, respectivamente:• U1 = {B, R, A, S, I, L} • U2 = {P, A, T, R, I, O} • U3 = {P, O, V}.

1.7 Relação de inclusão

Em Biologia, a classi� cação zoológica utiliza de 10 a 20 conjuntos representando vários níveis hierárquicos. Especi� camente no caso dos mamíferos, ao qual o homem pertence, por exemplo, a classi� cação adotada é composta de 16 conjuntos.

A B1

2

3

4 8

6

4

2

f(x) = 2x

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