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ESTUDIO DE LAS CURVAS BSICAS Estudio realizado para una leva
reposo-elevacin-reposo. Y:
VELOCIDAD CONSTANTE
Seguidor: movimiento uniforme, recorriendo distancias iguales en
ngulos barridos
iguales.
Velocidad: constante.
Obtencin del diagrama de desplazamiento: trazando una diagonal
desde el origen
hasta el valor h
MODIFICACIN DEL DIAGRAMA DE MOVIMIENTO UNIFORME
Modificado para evitar el golpe que ocurre en el comienzo y
final del movimiento, y
consiste en empalmar la recta de comienzo y final del movimiento
por un arco de
circunferencia tangente a los periodos de descanso y
elevacin.
Sirve entonces, para mejorar la caracterstica de la aceleracin
de tender a infinito, en el
comienzo y final de la elevacin.
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La velocidad cambia momento a momentneamente y es conveniente
por el paso es
gradual de una fase a la otra.
ACELERACIN CONSTANTE
Un grupo de ecuaciones son vlidas hasta el punto de inflexin y
luego otro, ver
ecuaciones. Las ecuaciones son similares pero de signo
cambiado.
Construccin del diagrama:
El seguidor se mueve con aceleracin uniforme hasta la mitad de
la trayectoria y
cambiando a movimiento uniformemente retardado en la otra mitad.
Tiene una semejanza
con la ley de la gravedad.
Se divide la lnea de ngulos barridos en un cierto nmero de
partes iguales y la lnea de
desplazamiento tambin en 6 partes pero no iguales entre s, sino
obtenidos de la funcin
de posicin (que como sabemos las ecuaciones cambian en la mitad
de la trayectoria), en
donde se intersecan ambos valores se traza la curva de
desplazamiento de la leva.
Diagramas de desplazamiento-velocidad-aceleracin y pulso
El pulso es cero pero presenta valores infinitos al iniciarse el
movimiento en el punto de
transicin, de mxima velocidad y al final del desplazamiento.
Este movimiento tiene la
menor aceleracin terica para un desplazamiento y velocidad dada,
por lo que se emplea
en muchos perfiles de levas a baja velocidad. Porque a alta
velocidad la seleccin del
movimiento del seguidor est basada en el desplazamiento y tambin
en las fuerzas que
operan en el sistema como resultado del movimiento elegido.
Este movimiento parecera ser deseable en base a las fuerzas de
inercia debido a su baja
aceleracin, pero no se puede ignorar, que la aceleracin aumenta
desde cero a su valor
constante casi instantneamente, lo que se refleja en el pulso
que da una indicacin de la
caracterstica de impacto de la carga. El juego y la falta de
rigidez tambin tienden a
aumentar este efecto. El pulso que tiene valor infinito en tres
puntos puede producir
tambin vibraciones o provocar un dao estructural.
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LEVAS CON PULSO FINITO Se disean empleando tres funciones
analticas.
1. Cicloide (y semicicloide)
2. Armnica
3. (Ver nombre)
Estas curvas tienen derivadas continuas en todos los puntos
intermedios, por lo que la
aceleracin cambia gradualmente y el pulso es finito. En los
extremos se evita el pulso
infinito igualando las aceleraciones. Las velocidades tambin se
igualan debido a que no
pueden aparecer discontinuidades en la curva de desplazamiento
tiempo.
LEVA ARMNICA (MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE)
Recomendado para velocidades moderadas.
Grficamente se obtiene: construyendo un semicrculo de dimetro h
sobre el eje de
ordenadas. Dividimos este semicrculo en un numero de partes
iguales y en la misma
cantidad al eje de los tiempos o ngulos barridos y se completa
unido y formando la curva
de desplazamiento. En realidad la curva de desplazamiento es el
desarrollo de una elipse
cuyo eje mayor est en sentido paralelo al eje de los
tiempos.
Diagramas de desplazamiento-velocidad-aceleracin y pulso
Proporciona la ms baja aceleracin pico y el ms pequeo ngulo de
presin. Este
movimiento armnico simple produce una curva de velocidades
senoidal y una curva de
aceleraciones cosenoidal. No hay discontinuidad en el punto de
inflexin.
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Presenta pulso infinito en los extremos, inconveniente para
altas velocidades y entones se
prefiere cuando se puede igual la aceleracin tanto al inicio
como al final de la aceleracin
final de los perfiles adyacentes.
LEVA DE DESPLAZAMIENTO CICLOIDAL
Proporciona aceleracin cero en ambos extremos de la accin y en
consecuencia se puede
acoplar a un reposo en cada extremo. Adems posee valores finitos
de la aceleracin desde
el comienzo al final del movimiento.
Grficamente se obtiene: por el rodar sin resbalar de un crculo
de radio
sobre el
eje de desplazamiento.
El mtodo ms conveniente: tomando O como punto de referencia y
centro del crculo.
Dividimos el crculo en un nmero de partes iguales y lo mismo
hacemos con el eje de los
tiempos (o ngulos). Proyectamos dichos puntos sobre el eje de
los desplazamientos.
Construimos la diagonal OB y proyectamos los puntos proyectados
en forma paralela a la
diagonal hasta cortar las verticales de la lnea de divisin del
eje de los tiempos y
obtenemos puntos de la curva cicloidal.
Diagramas de desplazamiento-velocidad-aceleracin y pulso
Estos diagramas no presentan discontinuidades en los puntos de
inflexin, por lo tanto las
ecuaciones son vlidas para todos los valores de entre 0 y . El
pulso resulta finito en
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todos los puntos lo que constituye una ventaja. Este es uno de
los mejores movimientos
normalizados porque la aceleracin es cero al principio y al
final de la elevacin.
FUNCIN DESPLAZAMIENTO PARA MECANISMOS DE ALTA VELOCIDAD
Pueden utilizarse funciones polinmicas de grado superior. Cuanto
mayor es el nmero de
condiciones de borde que se trata de imponer, tanto ms son los
coeficientes
indeterminados necesarios, y por lo tanto, tanto mayor ser el
grado de polinomios que se
usan.
La ecuacin general es:
Graficando resultan similares a las de movimiento cicloidal, sin
embargo son distintas. En
general este tipo de levas en el final y comienzo del movimiento
pueden ir ms despacio.
FUNCIN DESPLAZAMIENTO PARA EL CASO DE LEVAS ESTACIONARIO-
ELEVACIN-RETORNO-ESTACIONARIO
Luego de la elevacin se produce un retorno sin reposo en este
caso. Modificndose las
condiciones del movimiento, en el punto de mxima elevacin con
respecto al tipo
estacionario-elevacin-estacionario.
Si el ngulo de elevacin coincide con el de retorno pueden usarse
algunas de las curvas
bsicas. Si el proceso es asimtrico, las curvas estudiadas
presentan un salto en el punto
de mxima elevacin que da lugar a un pulso infinito
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La representacin grfica corresponde a una curva cicloidal
simtrica. En el punto de
mxima elevacin, la aceleracin experimenta un cambio grande, que
si bien es finito, su
magnitud puede resultar inadecuada.
En general, problemas de
estacionario-ascenso-retorno-estacionario, se resuelven por
curvas polinmicas de grado elevado.
FUNCIN DESPLAZAMIENTO PARA EL CASO DE ELEVACIN RETORNOS SIN
ESTACIONAMIENTOS DEL SEGUIDOR
Para simtricos se prefiere utilizar biela manivela. En casos de
idas y retornos sin
escalonamientos asimtricos con ngulos desiguales puede emplearse
con resultado
aceptable la armnica simple.
Angulo de presin.
Es el ngulo que forma el eje del seguidor con la normal a las
superficies en contacto en
una posicin determinada. La definicin tiene sentido en caso de
seguidores de rodillos,
porque para seguidores planos es siempre cero.
La importancia del ngulo de presin surge del hecho que las
acciones del seguidor sobre sus guas dependen de la
inclinacin
de la accin de la leva sobre el seguidor, la cual coincide con
el
ngulo de presin.
En la figura se ven las reacciones que sobre el seguidor ejercen
las
guas, cuando actan sobre el la carga Q y la fuerza F.
El valor de F necesario para poner en movimiento el
seguidor,
aumenta con . El ngulo de presin admisible se fija en 30
llegando a valer 47.
Este ngulo es quiz el factor ms importante en la
determinacin
del tamao de la leva.
Una leva grande ocupa mucho espacio, produce
desequilibrio a velocidades ms altas y el
seguidor tiene que recorrer mayor camino. Por
otra parte una leva pequea tendr mucha ms
pendiente y tendera a flexionar lateralmente el
seguidor, sea va a tener un ngulo de presin
grande.
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Si mantenemos el ngulo de presin en diversas levas, el tamao de
la leva depende del
movimiento utilizado. Esta figura da el arco de circunferencia
primitiva necesaria para dar
el mismo ngulo de presin.
A: Movimiento Uniforme.
B: Uniforme modificado.
C: Armnico simple.
D: Cicloidal.
E: Parablico.
Como la longitud del diagrama es el arco de circunferencia
primitivo, el tamao de la
leva para un ngulo de presin dado, depende del movimiento que se
emplee.
En un diagrama de desplazamiento rectilneo, el angulo de presion
sobre el mismo
resulta constante e igual a .
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LEVAS CON PULSO FINITO: derivadas continuas en todos los
puntos
Velocidad constante
Aceleracin Constante Armnica Cicloidal Polinmicas grado
superior
Construccin del diagrama
Trazando una recta desde el origen hasta el valor h.
Divido abscisas en ngulos y la de desplazamiento por medio de la
funcin de posicin, uniendo y trazando
Semicrculo sobre las ordenadas ( ) dividido en partes iguales, y
en la misma cantidad las abscisas, uniendo y trazando
Rodar sin resbalar de un crculo. Divido el crculo, proyecto y
trazo las paralelas a OB, divido abscisas en igual nmero y uniendo
y trazando.
Ventajas Menor aceleracin para h y v, dados.
Proporciona la ms baja aceleracin pico y el ms pequeo ngulo de
presin. Sin discontinuidad en el pto. de inflexin.
Se le puede acoplar reposos, aceleracin cero al principio y fin
(mejor movimiento). Adems, valores finitos de aceleracin en todo
momento. No presenta discontinuidades, desde 0 a . Pulso
finito.
Similares a cicloidal grficamente, pero pueden ir ms despacio al
comienzo y al final.
Inconvenientes Aceleracin infinita al principio y final de la
elevacin.
Pulso infinito al comienzo, en el punto de inflexin y al
final.
Pulso infinito en los extremos. Por ello se prefiere cuando se
puede igualar la aceleracin al final y al comienzo de los perfiles
adyacentes.
Mayor nmero de condiciones, mayor cantidad de coeficientes y por
lo tanto, mayor grado del polinomio.
Uso Para bajas velocidades en el caso que haya sido
modificado.
Baja velocidad, porque este movimiento tiene la menor aceleracin
para un h y v dados.
Velocidades moderadas Alta velocidad.
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CLCULO APROXIMADO PARA DETERMINAR EL ANGULO DE
PRESIN MAXIMO
El valor del ngulo de presin mximo depende de:
Dimensiones de la leva.
Curva adoptada.
Los mtodos analticos que relacionan las dimensiones con el ngulo
de presin mximo
son complicados, por lo que suele usarse mtodos aproximados.
Definamos el coeficiente de la leva como
L=longitud del arco primitivo correspondiente a la elevacin h,
h= elevacin del
seguidor.
El significado del coeficiente de la leva se ve en el grafico
anterior, porque es la longitud de
arco de circunferencia primitiva que corresponde al movimiento
de salida para un ngulo
de presin y tipo de movimiento, dado en mltiplos de la
elevacin.
Tabla: coeficientes de la leva.
La longitud de arco de la circunferencia primitiva y su radio
estn relacionados por
y por lo tanto
. Esta ecuacin se usa con la tabla para determinar el
tamao de la leva.
El ngulo de presin mximo es importante en la etapa de elevacin
cuando el
seguidor est moviendo a la carga.
Tambin existen nomogramas.
CURVATURA DEL PERFIL DE LA LEVA, INTERFERENCIA.
Si el perfil de la leva es muy agudo, puede ser imposible que el
seguidor realice el
movimiento requerido.
Seguidor a rodillo:
Si el desarrollo es de radio grande, no es factible de ser
materializado.
Rodillo pequeo, no presenta inconvenientes el movimiento
resultante.
Queda demostrado que: la posibilidad de ejecucin y la obtencin
del movimiento depende de
la curvatura de la curva primitiva y del radio del rodillo.
Curvas convexas
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La interferencia se produce cuando . Se forma un ngulo agudo y
el
movimiento se aparta de la lnea terica.
Si . El camino del palpador es correcto pero se produce en el
contacto en el
extremo agudo tensiones de contacto elevadas, que reducen la
vida til.
Resumen: para evitar interferencias debe: disminuirse el dimetro
del rodillo, o
aumentar las dimensiones de la leva (mayor radio del crculo base
por ejemplo)
Las tensiones de Hertz se pueden calcular conociendo:
Radios de curvatura del seguidor (en rodillo es constante, y en
seguidor plano es
infinito).
Radio de curvatura de la curva primitiva, que es variable lo
cual constituye un
problema que puede solucionarse:
a. Groseramente: uniendo 3 puntos aproximados con una
circunferencia.
b. Analticamente: mediante el clculo diferencial.
Analicemos dos curvas generadas por dos rodillos
distintos.
1. Rodillo mayor: bucle sobre s mismo, imposible.
Resultado: leva rebajada y desviacin del
movimiento deseado, se puede corregir
agrandando la leva.
2. Rodillo pequeo: genera una curva satisfactoria.
Conclusin: se debe cumplir que .
Seguidor plano:
Puede ocurrir que 3 tangentes consecutivas ocupen posiciones
relativas:
a. No hay dificultad de realizacin.
b. No puede trazarse el perfil de trabajo, se soluciona
aumentando la dimensin.
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LEVAS TANGENTES Y DE ARCOS DE CIRCUNFERENCIA
Los problemas de la fabricacin en serie son importantes, y hacen
que deban aceptarse
compromisos con las relaciones de velocidad y aceleracin. En
estos casos puede ser mas
sensillo usar un procedimiento inverso, es decir, dibujar la
leva primero y luego analizar
el diagrama de desplazamiento. Estas levas se componen de arcos
de circunferencias,
segmentos y otras lneas generadas con facilidad con las mquinas
herramientas.
Se van haciendo aproximaciones sucesivas:
1. Se establece un perfil errneo.
2. Se determinan sus caractersticas cinemticas y
rendimiento.
3. Se modifica la leva y se repite el proceso.
Esta dado como dato la altura que queremos lograr y el ngulo
.
1. Se traza un crculo de base.
2. Medimos h y determinamos B.
3. Trazamos un circulo de radio menor (circulo cspide).
4. Para terminar se traza un arco de circunferencia
tangente a las dos circunferencias. El problema es
determinar R.
DINMICA DE LOS SISTEMAS DE LEVAS
Cuando la velocidad es elevada, los efectos dinmicos se hacen
crticos y factores no
considerados en el diseo convencional deben tenerse en cuenta
para evitar efectos
nocivos o distorciones en el movimiento previsto.
a. Errores del perfil originados por el proceso de
fabricacin.
b. Efectos dinmicos prevenientes de la inercia del palpador,
relacionados con la
magnitud como con la variacin (pulso).
c. Elasticidad de los elementos y los juegos que necesariamente
han de preverse.
Los efectos que estos tienen son las vibraciones, que pueden ser
de ciertos tipos:
1. Vibraciones debidas a la forma del diagrama de aceleracin y
pulso. Un pulso
infinito es indeseable.
2. Vibraciones debidas al juego del palpador. Por ej: sistema de
vlvulas, juego a fin
de permitir el cierre total de las mismas, evitando posibles
dilataciones. En levas
sin resortes, se producen impactos, en los momentos que la
aceleracin cambia de
signo.
3. Vibraciones debidas a las irregularidades del perfil.
4. Vibraciones debidas a la variacin de la fuerza exterior.
5. Desequilibrio de las masas rodantes de la
leva.
Veamos las curvas tericas de la aceleracin para
los tipos de movimientos estudiados:
Las curvas AOB y CDE indican la aceleracin
necesaria para alcanzar una velocidad constante,
pero como la velocidad es
(proporcional al rea limitada), la velocidad del
seguidor no es tan grande como en las otras
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representadas.
Suponiendo que se encuentren el reposo antes comenzar el
movimiento:
Cuando comienzan con un valor finito de aceleracin.
En el movimiento parablico y armnico, el movimiento comienza en
un valor finito de la
aceleracin, con lo que el pulso es elevado. En estas
circunstancias se ha hallado que el
valor de la aceleracin real alcanza un valor mucho
ms elevado que el terico.
Veamos las aceleraciones tericas y reales en una
figura. En el diagrama parablico, la aceleracin es
constante, se produce una discontinuidad al iniciar
y terminarle movimiento y en el intermedio, por lo
tanto un pulso infinito.
El diagrama de fuerzas de inercia es proporcional al
de aceleraciones, pero considerando que en los
puntos a, b y c, es bruscamente aplicada, originar
deformaciones y tensiones en el seguidor que
ampliar a las estticas. El verdadero diagrama de
tensiones y deformaciones originadas por la fuerza
de inercia adoptar la forma de la figura, en la que
existir un factor de magnificacin de las tensiones.
Los valores mximos reales de los movimientos
parablicos y armnicos, son aproximadamente el
doble de los tericos, a causa de que son aplicados sbitamente.
Las vibraciones son
amortiguadas, de modo que la aceleracin real sera igual a la
terica si la duracin fuera
muy larga.
Cuando la aceleracin parte de cero.
Como en la cicloidal, la amplitud de las vibraciones es
suficientemente pequea para que la aceleracin real
sea comparable a la terica.
Tomemos el nmero de ndice 1 como la mxima
aceleracin terica en movimiento parablico.
Entonces los valores tericos para las amnicas son
1,23 y para la cicloidal 1,57. Sin embargo para un
sistema no amortiguado se hall que las aceleraciones
reales en estos casos son ap=1 (valor unidad), y en el
movimiento cicloidal 0,58 y armnico 0,83. Lo que
equivale a decir que en el movimiento cicloidal es solo
un 60% del parablico, aunque tericamente la relacin sea
inversa.
En un proyecto es necesario que se arregle la aceleracin terica,
cuando la fuerza de
inercia sea una parte fundamental de la carga.
Veamos un sistema tpico de leva y seguidor a rodillo. La leva
gira con velocidad angular w
radianes por segundo y gua al seguidor en un movimiento de
traslacin. El seguidor es
retenido contra le leva por un resorte y tambin mediante una
fuerza P (carga exterior)
que puede ser negativa, positiva o nula y una fuerza Q que es el
peso.
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La masa del seguidor completa y una carga combinada puede
considerarse como una
carga concentrada. En el diagrama del seguidor tiene una
aceleracin hacia arriba a,
actuando hacia abajo una fuerza de inercia: m.a La fuerza del
muelle FG depende de la
compresin inicial y del desplazamiento del seguidor FS=k*d (k:
constante del resorte y d:
deformacin de resorte desde su longitud libre). Fi es la fuerza
invertida de inercia con un
coeficiente q que tiene en cuenta la aceleracin real cuando es
la aceleracin terica Fi=-
q.m.a (q: factor de magnificacin dinmica, caso parablico , caso
cicloidal
) .
La fuerza F del rodillo contra el seguidor esta inclinada un
ngulo igual al de presin y
por ello tiene una componente horizontal y vertical. La
horizontal tiende a fletar el
seguidor pero lo resisten las fuerzas normales N1 y N2 y debido
al coeficiente de
rozamiento en los cojinetes, se obtienen fuerzas totales en los
cojinetes Fr1 y Fr2, obtenidas
sumando las normales y las de rozamiento.
La relacin de estas fuerzas se ve en el polgono de fuerzas. El
rodillo ejerce sobre la leva
una fuerza F y el rodillo sobre el eje una fuerza F, siendo
F=-F. El momento torsor Mt para
mover la leva debe ser proporcionado por una fuente de
energa.
Por un diagrama de aceleracin se pueden calcular las fuerzas de
inercia en puntos
suficientes para dibujar un diagrama de fuerzas de inercia. Se
puede representar la fuerza
del resorte, la fuerza de gravedad, la carga P y finamente la
fuerza de contacto F, se
determina en los puntos singulares o principales en que el
esfuerzo de contacto puede ser
mximo.
TENSIONES POR CONTACTO
Los resultados experimentales guardan relacin con la ecuacin de
esfuerzos por contacto
de Hertz, y utilizando un coeficiente de desgaste kc (como en
los engranajes), la fuerza
total correspondiente viene dada por:
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R1: radio del rodillo del seguidor (infinito en seguidor
plano).
R2: radio de curvatura de la superficie de la leva en el punto
de contacto (positivo si es
convexa y negativo si es cncava)
B: anchura efectiva de la cara (longitud de contacto)
N: coeficiente de clculo.
Kc: coeficiente de carga de desgaste para rodillos
cilndricos.
La relacin entre los coeficientes de desgaste para rodillos kc y
para engranajes es:
Donde es el ngulo de presin de los dientes del engranaje.
Ver la tabla de valores de kc, obtenidos en condiciones de
laboratorio, en los que se
observa que la capacidad de carga disminuye cuando aumenta el
deslizamiento, a causa
que el rodamiento aumenta el esfuerzo de contacto. El porcentaje
de deslizamiento viene
definido por.:
Donde v1 es la velocidad perifrica del rodillo impulsor y v2 la
del rodillo impulsado.
