Resums teòrics.pdf

8/16/2019 Resums teòrics.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/resums-teoricspdf 1/73

Gestio Aeronautica

Resums teorics de l’assignatura de Calcul

Jose Gonzalez Llorente

1



Index

1 Inequacions i valor absolut. Funcions i grafiques 3

2 Funcions exponencials, logarıtmiques i trigonometriques 14

3 Lımits i continuıtat 21

4 Derivades (I) 28

5 Derivades(II) 34

6 Integral indefinida 38

7 Equacions diferencials i aplicacions 50

8 Integral definida i aplicacions 55

9 Funcions de diverses variables 63

2



Capıtol 1

Inequacions i valor absolut. Funcions igrafiques

EQUACIONS I INEQUACIONS

En Matematiques, distingim entre una igualtat i una equacio. Una igualtat es una equivalencia entredues expressions algebraiques, la qual es certa independentment dels valors de les variables. Unaequaci´ o es una igualtat entre dues expressions algebraiques que nomes es certa per a certs valors deles variables; aquests valors s’anomenen solucions . Per exemple,

(x + 1)2 = x2 + 2x + 1

es una igualtat i, en canvi,x2 − 5x + 6 = 0

es una equacio, les solucions de la qual son x = 2 i x = 3.

Una desigualtat es una expressio que compara la mida o la posicio de dos numeros o expressions.Recordeu que escrivim a < b per a dir que a es mes petit que b i si escrivim a > b estem dient que aes mes gran que b. Escrivim a ≤ b per a dir que a es mes petit o igual que b i a ≥ b significa que a esmes gran o igual que b.Una inequaci´ o es una expressio que afirma que dos ob jectes o expressions no son iguals o no representenel mateix valor. Per exemple,

3x − 6 ≤ 0 o be x2 − 5x + 6 ≥ 0.

Com en el cas de les equacions, els valors de les variables pels quals la inequacio es certa s’anomenensolucions . Com podem determinar les solucions d’una inequacio?Abans de resoldre aquesta questio recordem la nocio seguent: un interval es un conjunt de nombresreals entre dos nombres donats. Un interval es obert si no conte els extrems i escrivim (a, b). Percontra, un interval es tancat si conte els extrems i s’escriu [a, b]. Si no es ni obert ni tancat, sovintes parla de semi-obert o semi-tancat. Recordeu que si un dels extrems es ∞, escrivim un parentesi.Noteu tambe que (a, +∞), (−∞, b) i (−∞, +∞) son intervals oberts, mentre que [a, +∞) i (−∞, b]es consideren intervals tancats.

1. Inequacions lineals

Es resolen d’una manera semblant a les equacions lineals, pero cal tenir en compte que:

3



1. Es pot sumar o restar un mateix numero als dos costats d’una inequacio.

2. Si multipliquem (o dividim) una inequacio per un mateix numero positiu, la inequacio es mantepero si el numero es negatiu, la inequacio s’inverteix.

Exemple: resoldre la inequacio

3x + 6 ≤ 5x − 5

Passem totes les x’s a un costat i els numeros a l’altre. Aixo sempre conve fer-ho de manera que elcoeficient de les x’s sigui positiu:

3x + 6 ≤ 4x − 5 ⇔ 6 + 5 ≤ 5x − 3x ⇔ 11 ≤ 2x ⇔ 11/2 ≤ x

Per tant la solucio de la inequacio es l’interval [11/2, +∞).Podrıem haver triat passar les x’s a l’altre costat. En aquest cas el coeficient de la x es negatiu is’ha de tenir en compte que quan multipliquem una inequacio per un numero negatiu, la inequacios’inverteix:

3x

−5x

≤ −5

−6

⇔ −2x

≤ −11

⇔11

≤2x

⇔11/2

≤x

Evidentment, la solucio es la mateixa pero el risc d’error augmenta.

2. Inequacions quadratiques

Son inequacions del tipus ax2 + bx + c > 0 resp. < 0, ≤ 0 o ≥ 0. Les podem resoldre geometricamento analıticament.

1. Metode geometric

Es basa en l’estudi de la grafica de la funcio y = ax2 + bx + c, que es una parabola . Si a > 0, la

parabola es convexa ( te un mınim) i si a < 0 la parabola es concava ( te un maxim). Els puntsde tall de la parabola amb l’eix de les X son justament les arrels de l’equacio ax2 + bx + c = 0.Per tant si α < β son les arrels, la forma de la grafica ens diu que x es solucio de la inequacioax2 + bx + c > 0 si i nomes si x < α o x > β , es a dir, el conjunt solucio sera (−∞, α) ∪ (β + ∞)mentre que si a < 0 , el conjunt solucio es l’interval (α, β ).

Exemple: resoldre la inequacio 2x2 − 4x − 6 > 0.

(a) Resolem l’equacio 2x2 − 4x − 6 = 0. Les arrels son x = −1 i x = 3.

(b) Com que a = 1 > 0, la grafica de y = 2x2 − 4x − 6 es una parabola convexa que talla l’eixde les X als punts x = −1 i x = 3.

(c) El conjunt solucio es (

−∞,

−1)

∪(3, +

∞).

2. Metode analıtic.

Seguim els passos seguents:

(a) Transformem la inequacio de manera que el coeficient de x2 sigui positiu.

Exemple: −2x2 + 4x + 6 < 0 ⇔ 2x2 − 4x − 6 > 0.

(b) Resolem l’equacio ax2 + bx + c = 0. Suposem que α < β son les arrels.

(c) Un cop a > 0, factoritzem el polinomi ax2 + bx + c = a(x − α)(x − β ).

Exemple: resolem 2x2

−4x

−6 > 0. Les arrels son x =

−1 i x = 3. La factoritzacio es

2x2 − 4x − 6 = 2(x + 1)(x − 3).

4



(d) Les arrels α, β divideixen la recta en tres intervals. Construım una taula amb els signesdels factors x − α, x − β , (x − α)(x − β ) als diferents intervals.

Exemple: si les arrels son −1 i 3, tenim els intervals (−∞, −1), (−1, 3) i (3, +∞). Perexemple, a l’interval (−1, 3), −1 < x < 3 per tant x + 1 te signe + i x − 3 te signe -. Lataula quedaria aixı

x + 1 x − 3 (x + 1)(x − 3)

(−∞, −1) - - +

(−1, 3) + - -

(3, +∞) + + +

Observem que el signe de 2x2 − 4x − 6 = 2(x + 1)(x − 3) als tres intervals distingits esexactament el signe de la darrera columna. Per tant, com que volıem resoldre 2x2−4x−6 >0, ens interessen els signes + de la darrera columna que corresponen als intervals (−∞, −1)i (3, +∞). El conjunt solucio es

(−∞, −1) ∪ (3, +∞)

3. Inequacions polinomials

Suposem que p(x) = a0 + a1x + ... + anxn es un polinomi i volem resoldre la inecuacio p(x) > 0 (o p(x) < 0). Seguirem els passos seguents:

1. Dividint la inequacio original per an podem suposar que an = 1. Resolem, analıtica o numericament,l’equacio p(x) = 0 i identifiquem les arrels. Suposem per simplificar que les arrels α1,...,αn sontotes diferents. Les ordenem de manera creixent: α1 < α2 < ... < αn.

Exemple: volem resoldre la inequacio

x5 + 3x4

−23x3

−51x2 + 94x + 120 > 0

Aplicant el metodo de Ruffini o aproximant numericament comprovem que les arrels son −5,−3, −1, 2 i 4.

2. Factoritzem el polinomi com a producte de factors lineals: p(x) = (x − α1)...(x − αn) i escrivimels factors lineals mantenint l’ordre creixent de les arrels.

Exemple:

x5 + 3x4 − 23x3 − 51x2 + 94x + 120 = (x + 5)(x + 3)(x + 1)(x − 2)(x − 4)

3. Les arrels α1,...,αn divideixen la recta real en intervals (−∞, α1), (α1, α2),...,(αn−1, αn), (αn, +∞).Construirem una taula de manera que en cada fila escriurem els signes de tots els factors lineals

x − αi als diferents intervals. A la darrera columna , escriurem el signe del producte ( p(x))d’acord amb la regla dels signes.

Exemple: el signe de x + 1 sera + si x > −1 i − si x < −1. Per tant, el signe de x + 1 a(−5, −3) es − i a (−1, 2) es +. En el cas de l’exemple la taula queda aixı:

x + 5 x + 3 x + 1 x − 2 x − 4 p(x)

(−∞, −5) - - - - - -

(−5, −3) + - - - - +

(−3, −1) + + - - - -

(-1, 2) + + + - - +

(2, 4) + + + + - -

(4, +∞) + + + + + +

5



S’observa que si les arrels ( i els factors lineals) s’han ordenat creixentment, la configuraciode signes te forma triangular i els signes de la darrera columna s’alternen. Els signes de ladarrera columna son els que ens interessen perque ens diuen el signe del polinomi a l’intervalcorresponent.

4. El darrer pas es expressar el conjunt solucio de la inequacio com a combinacio d’intervals.Exemple: en el cas de l’exemple anterior, com que volıem resoldre p(x) > 0, ens interessen elssignes + de la darrera columna i veure a quins intervals corresponen. Observem que els signes+ estan associats als intervals (−5, −3), (−1, 2) i (4, +∞). Qualsevol numero en algun d’aquestintervals es solucio. Per tant el conjunt solucio es

(−5, −3) ∪ (−1, 2) ∪ (4, +∞)

Si la inequacio hagues estat

x5 + 3x4

−23x3

−51x2 + 94x + 120

≥0

haurıem d’afegir-hi els extrems dels intervals, que tambe son solucions. Per tant en aquest cas , elconjunt solucio seria:

[−5, −3] ∪ [−1, 2] ∪ [4, +∞)

4. Inequacions racionals.

Per tal de resoldre aquest tipus d’equacions, cal recordar que (+)/(−) = −, (−)/(+) = −, (+)/(+) =+ i (−)/(−) = +. Per exemple, resolem

5x

x + 1 ≥

2.

1. Primer de tot ho passem tot al mateix canto de la igualtat i fem denominador comu:

5x

x + 1 − 2 ≥ 0 ⇔ 3x − 2

x + 1 ≥ 0 ⇔ x − 2/3

x + 1 ≥ 0.

2. Observem que les arrels del numerador i el denominador son 2/3 i −1, que divideixen la recta enels intervals (−∞, −1), (−1, 2/3) i (2/3, +∞). Ara construım una taula tal i com s’ha explicat

a l’apartat anterior pero a la darrera columna, hi posem el signe de x−2/3x+1 , seguint la regla dels

signes:

x + 1 x − 2/3 x−2/3x+1

(−∞, −1) - - +

(−1, 2/3) + - -

(2/3, +∞) + + +

Com que la inequacio que hem de resoldre es x−2/3x+1 ≥ 0, ens interessen els signes + de la darrera

columna, que proporcionen els intervals (−∞, −1) i (2/3, +∞). Pel que fa als extrems , x = 2/3es solucio de la inequacio pero per x = −1 l’expressio original no te sentit. Per tant el conjuntsolucio es:

(−∞, −1) ∪ [2/3, +∞)

VALOR ABSOLUT

6



Quan es tracta d’aproximar una quantitat per una altra, el mes important a vegades no es sil’aproximacio es per exces o per defecte sino la mida de l’error. Per exemple, si una peca te unalongitud real de 20cm., els mesuraments 19, 6 i 20, 8 son dues aproximacions al valor real. Comque 20

−19, 6 = 0, 4 i 20

−20, 8 =

−0, 8, si prescindim del signe, les mides dels errors s on 0, 4 i

0, 8. Per tant 19, 6 esta mes a prop del valor real i es una millor aproximacio.

El concepte de valor absolut d’un numero quantifica la mida d’un numero independentment delseu signe. Definim |x|, el valor absolut de x com

|x| =

x si x ≥ 0,−x si x < 0.

Les propietats basiques del valor absolut son les seguents:

(a) |x| ≥ 0 i |x| = 0 ⇔ x = 0.

(b)

|x

|=

| −x

|.

(c) Si x, y ∈ R, |xy| = |x||y|. En particular, |xn| = |x|n.

(d) (Significat geometric del valor absolut). Si x, y ∈ R, aleshores |x| es la distancia de x al 0i |x − y| es la distancia entre x i y. Per exemple, | − 7 − 3| = 10 = distancia entre −7 i 3pero |7 − 3| = 4 = distancia entre 7 i 3. En particular,

|x − a| < r ⇔ a − r < x < a + r

(e) (Desigualtat triangular I) |x + y| ≤ |x| + |y|.(f) (Desigualtat triangular II) |x + y| ≥ | |x| − |y| |.

Exemple: Si |x| ≤ 0, 1, aleshores 7, 9 ≤ 8 + x ≤ 8, 1.

FUNCIONS I GRAFIQUES

1. Models matematics. En moltes situacions de les ciencies socials i experimentals interessaestudiar la dependencia d’una variable y respecte d’una altra variable x. N’hi ha nombrososexemples:

(a) y = distancia recorreguda per un objecte , x = temps

(b) y = preu d’un determinat producte , x = temps

(c) y = beneficis anuals d’una empresa, x = inversio anual en publicitat

(d) y = volum d’un cos, x = temperatura

(e) y = nombre d’individus d’una poblacio, x = temps

etc...En tots aquests casos, seria desitjable tenir una relaci o explıcita y = f (x) entre la variableobjecte d’estudi, y, i la variable que generalment es pot controlar, x, mitjancant una funcioconcreta f . Per exemple, si un cos es mou a velocitat constant de 2m/s, la distancia que recorreraen temps x es y = 2x. En aquest cas, la relacio es molt senzilla: f (x) = 2x. Si l’objecte es mouamb acceleracio constant de 3m/s2 partint del repos, la distancia recorreguda en temps x es 3

2 x2.Per tant, en aquest cas f (x) = 3

2 x2. Tanmateix, a la practica son molt poques les situacionsen les quals hi ha a l’abast una relacio explıcita y = f (x) i el maxim al que es pot aspirar eselaborar un model a partir de mesuraments experimentals. La manera estandard de procedir

es triar valors x1,...,xn de la variable que controlem , x , i mesurar els valors corresponents

7



y1,...,yn de la variable objecte d’estudi y. D’aquesta manera obtenim una col.leccio de punts(x1, y1),...,(xn, yn) al pla XY . Si la forma d’quest nuvol de punts del pla s’acosta a la graficad’alguna funcio y = f (x), podem triar la relacio y = f (x) com a model provisional del problema.Disposar d’un bon model es essencial perque permet fer bones prediccions de la variable d’estudimitjancant una formula explıcita.

2. Models lineals. La relacio mes senzilla que pot haver-hi entre dues variables es la lineal . Unavariable y depen linealment de la variable x si el ritme de canvi de y respecte de x es constant.Per exemple, si un objecte es mou a 10Km/h , recorrera 10 Km entre les 3.15 i les 4.15 , 20 Kmentre les 9 i les 11 , 5 Km entre les 7.10 i les 7.40. La proporci o entre el nombre de kilometresrecorreguts i la durada de l’interval de temps ( en hores ) es sempre constant: 10.

Quan representem graficament els valors de les variables x, y en el pla de coordenades XY , lagrafica dels punts (x, y) es una recta . Al pla XY les rectes es caracteritzen , justament, perqueper qualsevol interval de x’s, la proporcio entre el increment de les y’s i el increment de les x’s essempre constant. Aquesta constant es diu pendent de la recta. Exemple: el preu d’un productecreix linealment a rao de 2 e per any. Suposem que a l’any 2000 el preu era de 10 e que xdenota el temps ( en anys ) a partir de l’any 2000 ( x = 0 correspon a l’any 2000) i que y = y(x)es el preu en temps x. Aleshores

y − 10 = 2(x − 0) ⇔ y = 2x + 10

En general, l’equaci´ o d’una recta al pla X Y es

y = mx + n

on m, n son numeros reals; m es el pendent de la recta i n representa el valor de y quan x = 0 (interseccio de la recta amb l’eix Y ).

El pendent d’una recta pot ser positiu ( ritme de creixement constant) o negatiu( ritme dedecreixement constant). Al cas de l’exemple , el preu del producte creix a rao de 2 e per any (pendent 2). Si en comptes de creixer, el preu decreix a rao de 2 e per any, aleshores el pendentseria -2 i l’equacio de la recta y = −2x + 10.

3. Significat geometric del pendent. Quan diem que una carretera te un pendent del 15%volem dir que la carretera puja verticalment 15 m. per cada 100 m. de recorregut horitzontal.En matematiques, pero, els pendents no es donen normalment en forma de percentatges, sin o

com a proporcions: en el cas d’aquesta carretera, matematicament, parlarem d’un pendent de0, 15 = 15

100 = increment verticalincrement horitzontal .

Considerem ara la recta d’equacio y = 2x + 10. Els punts (0, 10) i (1, 12) son punts de la recta i2 = ∆y

∆x = 12−101−0 es el pendent. Si haguessim triat una altra parella de punts, com ara (1, 12) i

(3, 16) i calculessim el quocient d’increments ∆yδx = 16−12

3−1 = 2 el resultat seria el mateix: 2. Engeneral, si (x1, y1), (x2, y2) son dos punts d’una recta de pendent m , aleshores

m = ∆y

∆x =

y2 − y1

x2 − x1

8



Els punts (x1, y1), (x2, y1) i (x2, y1) determinen un triangle rectangle els catets del qual son∆y = y2 − y1 i ∆x = x2 − x1. Per tant

m = ∆y

∆x

Per tant un punt (x, y) pertany a la recta que passa pels punts (x1, y1), (x2, y2) si i nomes si

y − y1

x − x1=

y2 − y1

x2 − x1⇔ y − y1 =

y2 − y1

x2 − x1x − x1)

Exemple: l’equacio de la recta que passa pels punts (1, 3) i (4, 2) sera: y − 3 = 2−34−1 (x − 1) ⇔

y = −13 x + 10

3 .

Donats un punt (x0, y0) del pla i un numero m, l’equacio de la recta de pendent m que passapel punt (x0, y0) es

y−

y0 = m(x−

x0)

i es diu equacio punt-pendent de la recta. Exemple: l’equacio de la recta de pendent −2que passa pel punt (4, 1) es y − 1 = −2(x − 4) ⇔ y = −2x + 9.

L’angle d’inclinaci´ o α d’una recta es l’angle que forma la recta amb el semieix X positiu. Pertant si 0 ≤ α ≤ π es la inclinacio d’una recta de pendent m tenim

m = tan α (1)

Exemple; L’equacio de la recta que passa pel punt (2, 1) i te inclinacio π/3 es y−1 =√

3(x−2) ⇔y =

√ 3x + 1

−2√

3

4. Rectes paral.leles i perpendiculars

Expressar el parale.lisme i la perpendicularitat en termes del pendent es forca directe. En primerlloc, dos rectes son paral.leles si i nomes si tenen el mateix angle d’inclinacio i per tant el mateixpendent. D’altre banda, si una recta te inclinacio α, la inclinacio de la perpendicular es π/2 + α.Per les relacions trigonometriques basiques,

tan(π/2 + α)tan α = −1

Per tant, si m, m son els pendents de dues rectes perpendiculars, tenim mm =−

1. Resumint:

(a) Dos rectes son paral.leles si i nomes si tenen el mateix pendent

(b) Dos rectes de pendents m, m son perpendiculars si i nomes si mm = −1.

Observacio: L’unica excepcio a la caracteritzacio de perpendicularitat es el cas on les rectestenen les direccions dels eixos coordenats ( en aquest cas seria m = 0, m = ∞).

Exemple: L’ equacio de la recta paral.lela a la recta y = −2x + 4 que passa pel punt (3, 7) esy − 7 = −2(x − 3) ⇔ y = −2x + 13. L’equacio de la recta perpendicular a la recta y = −2x + 4que passa pel punt (3, 7) es y − 7 = 1

2 (x − 3) ⇔ y = 12 x + 11

2 .

9



5. Paraboles i circumferencies

La grafica d’una funcio quadratica y = ax2 + bx + c es una parabola la forma de la qual te aveure amb els parametres a, b, c.

(a) Si a > 0, la parabola es convexa ( la parabola te un mınim). Si a < 0, es concava ( te un

maxim).(b) L’amplitud de la parabola depen de |a|. Quan mes petit es |a|, mes ampla es la parabola.

(c) Si l’equacio y = ax2 + bx + c = 0 te arrels x1, x2, els punts (x1, 0) i (x2, 0) son els puntsde tall de la parabola y = ax2 + bx + c amb l’eix X . Si l’equacio no te solucions reals, laparabola no talla l’eix de les X .

Donat un punt (a, b) del pla i r > 0, l’equacio de la circumferencia de centre (a, b) i radi r es

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

Exemple: l’equacio de la circumferencia de centre (2, −1) i radi 4 es (x − 2)2 + (y + 1)2 = 16 ⇔x2 − 4x + y2 + 2y − 11 = 0. Recıprocament, si partim de l’equacio x2 − 4x + y2 + 2y − 11 = 0 ,la manera de determinar el centre i el radi de la circumferencia es el metode de completar elquadrat. Aquest metode consisteix en transformar una expressio quadratica en x, y introduintfactors de la forma (x − a)2, (y − b)2 i esta basat en la identitat (x − a)2 = x2 − 2ax + a2. Elspassos son els seguents:

(a) Primer, ens fixem en la part amb x’s a l’equacio , triem a de manera que −2a sigui elcoeficient de x i restem la constant necessaria per conservar la igualtat:

x2 − 4x = (x − 2)2 − 4

(b) Fem el mateix amb la variable y :

y2 + 2y = (y + 1)2 − 1

(c) Substituım:

x2−4x+y2−2y−11 = 0 ⇔ (x−2)2−4+(y +1)2−1−11 = 0 ⇔ (x−2)2 +(y +1)2 = 16 = 42

Un cop completats els quadrats ja podem deduir que el centre es (2, −1) i el radi es 4.

6. Domini d’una funcio

A vegades, una funcio y = f (x) nomes esta definida per cert valors de x. Per exemple , si lavariable x fos el temps no tindria sentit considerar valors negatius de x. En altres situacions larestriccio es algebraica. Per exemple, la funcio f (x) =

√ 1 − x2 nomes esta definida si 1 − x2 ≥

0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Geometricament, y = f (x) representa l’alcada, sobre el punt x, de lasemicircumferencia centrada al (0, 0) i de radi 1. En aquest cas direm que el domini de la funcio

f (x) = √ 1 − x2 es [−1, 1].

En general, el domini d’una funcio y = f (x) es el subconjunt de la recta real R on f estadefinida. Com a regla general, si la funcio conte una arrel quadrada, n’hem de treure els valorsde x on l’expressio que hi ha dintre de l’arrel es fa negativa. Si la funcio conte una fraccio,n’hem de treure els zeros del denominador. Exemple: el domini de la funcio f (x) = x+1

x2−5x+6sera tota la recta real tret dels zeros del denominador , que s on 2 i 3. Per tant el domini de f es R \ {2, 3} = (−∞, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3, +∞).

Generalment, el domini de les funcions amb les quals treballarem en el curs seran intervals ounions d’intervals.

10



7. Funcions i grafiques

A l’apartat ”Models matematicscomentavem que en molts problemes cientıfics nomes hi ha al’abast una col.leccio finita de punts {(xi, yi)} de la qual s’hauria d’extreure un model explıcity = f (x). Quan es disposa d’una relacio explıcita y = f (x) ( una funcio), la col.leccio depunts esdeve una corba en el pla, la grafica de la funcio f . Formalment la grafica d’una funcio

f : D → R, es defineix com el subconjunt

{(x, f (x)) : x ∈ D} ⊂ R2

La grafica es un element caracterıstic essencial, una mena de radiografia visual de la funcio. Acada expressio algebraica y = f (x) li correspon una grafica que identifica la funcio. La graficad’una funcio pot tallar cada recta vertical com a maxim una vegada. Exemples:

(a) La grafica d’una funcio lineal y = mx + n es una recta de pendent m.

(b) La grafica d’una funcio quadratica y = ax2 + bx + c es una parabola .

(c) La grafica de y =√

r2 − x2, (r > 0) es la semicircumferencia superior centrada al (0, 0) de

radi r.(d) La grafica de y = |x| esta formada per les dues semirectes y = x si x ≥ 0 i y = −x si x < 0.

Hi ha situacions on una funcio s’ha de definir a trossos. Per exemple, suposem que una operadoratelefonica factura les trucades de manera que el preu per minut es de 0,01 e si la distancia ala destinacio de la trucada es inferior a 100Km, de 0,02 e si la distancia es mes gran o igualque 100 i inferior a 800 Km. i de 0,05 esi la distancia es superior o igual a 800Km. Sigui f (x)el preu per minut a una destinacio a distancia x. Aleshores, f : [0, +∞) → R, i

f (x) =

0, 01 si 0

≤x < 100

0, 02 si 100 ≤ x < 8000, 05 si x ≥ 800

En aquest cas, la grafica de f esta formada per tres trossos horitzontals corresponents als intervals[0, 100), [100, 800) i [800, +∞).

8. Transformacions amb funcions

Suposem que un determinat mecanisme electric s’engega i f (x) es la intensitat del corrent despresde x segons. Si el circuit s’engega 2 segons mes tard, el comportament del circuit sera exactamentel mateix, pero el que passa ara en temps x es el que passava abans en temps x − 2. Per tant laintensitat del nou corrent (retardat 2 segons) en temps x sera f (x−2). Si, pel contrari, el circuit

s’hagues engegat 2 segons abans la intensitat del circuit avancat en temps x coincidiria amb laintensitat del corrent original en temps x + 2, es a dir, f (x + 2). En definitiva, podem expressarfacilment les intensitats dels circuits retardat i avancat ( f (x − 2), f (x + 2) resp. ) mitjancanttransformacions senzilles de la funcio d’intensitat original f (x). Pel que fa a les grafiques, lagrafica de f (x + 2) es la grafica de f (x) desplacada 2 unitats cap a l’esquerra i la grafica def (x − 2) es la grafica de f (x) pero desplacada 2 unitats cap a la dreta.

Donada una funcio f (x) i c > 0, a continuacio donem una llista amb noves funcions obtingudescom a transformacions de f i la relacio entre les seves grafiques i la de f :

(a) f (x + c)

→ translacio horitzontal de c unitats a la esquerra.

(b) f (x − c) → translacio horitzontal de c unitats a la dreta.

11



(c) f (x) + c → translacio vertical de c unitats cap amunt.

(d) f (x) − c → translacio vertical de c unitats cap avall.

(e) f (cx) → compressio horitzontal (c > 1) o dilatacio horitzontal ( 0 < c < 1).

Apendix: breu repas de trigonometria

En matematiques, la mesura natural d’un angle son els radians . Com que la longitud d’unacircumferencia de radi 1 es 2π, una volta sencera( 360o) equival a 2π radians. Mitja volta (180o) son π radians , un quart de volta (90o) π/2 radians, etc...

Donat un triangle rectangle qualsevol i un angle α del triangle, recordem les definicions de lesfuncions trigonometriques basiques:

sin α = c.o.

h cos α =

c.c.

h tan α =

sin α

cos α =

c.o.

c.c.

on c.o , c.c, h son, respectivament, el catet oposat, catet contigu i la hipotenusa. Del Teorema

de Pitagoras es dedueix la identitat basica:

sin2 α + cos2 α = 1

Hi ha, pero, una forma mes convenient de visualitzar les funcions trigonometriques. Consideremuna circumferencia al pla XY de centre O = (0, 0) i radi 1. Cada punt P = (x, y) de lacircumferencia unitat origina un triangle rectangle de vertexos P = (x, y), O = (0, 0) i (x, 0) is’identifica amb un angle α, 0 ≤< 2π, l’angle que forma el radi OP amb el semieix X positiu.Aleshores

sin α = y , cos α = x , tan α = y

x =

sin α

cos α

La circumferencia queda dividida en quatre parts o quadrants : 1er. quadrant: y > 0, x > 0, 2n

quadrant: x > 0, y > 0, 3er quadrant: x < 0, y < 0 i 4rt quadrant: x > 0, y < 0. La taulaseguent recull la configuracio de signes de les funcions trigonometriques als diferents quadrants:

sin cos tan

Quadrant 1 + + +

Quadrant 2 + - -

Quadrant 3 - - +

Quadrant 4 - + -

La taula seguent recull els valors de sin α , cos α i tan α en alguns angles especials del primerquadrant:

α sin α cos α tan α

0 0 1 0

π/6 1/2√

3/2 1/√

3

π/4 1/√

2 1/√

2 1

π/3√

3/2 1/2√

3

π/2 1 0 ∞Pel que fa als angles dels quadrants restants, podem reduir-nos als angles del primer quadranta partir de les identitats:

sin(π − α) = sin α sin(π + α) = − sin α sin(2π − α) = − sin α sin(π/2 + α) = cos αcos(π

−α) =

−cos α cos(π + α) =

−cos α cos(2π

−α) = cos α cos(π/2 + α) =

−sin α

tan(π − α) = − tan α tan(π + α) = tan α tan(2π − α) = − tan α tan(π/2 + α) = − 1tan α

12



Exemple:

sin(2π/3) = cos(π/6) cos(2π/3) = − sin(π/6) tan(2π/3) = − 1tan(π/6)

sin(3π/4) = sin(π/4) cos(3π/4) = − cos(π/4) tan(3π/4) = − tan(π/4)sin(7π/6) = − sin(π/6) cos(7π/6) = − cos(π/6) tan(7π/6) = tan(π/6)

13



Capıtol 2

Funcions exponencials, logarıtmiques itrigonometriques

FUNCIONS EXPONENCIALS

Matematicament, l’expressio ”creixement exponencial ”significa que una certa quantitat creix odecreix de manera que l’increment ( o disminucio) de la quantitat en un interval de temps fix es unafraccio constant de la quantitat existent inicialment.

Exemple 1. Quan diem que una poblacio creix a un 1% anual, aixo vol dir que si inicialment lapoblacio es N 0 aleshores despres d’un any sera N 0 + (0.01)N 0 = 1.01N 0. Per tant, despres de dosanys, sera (1.01)N 0 + (0.01)(1.01)N 0 = (1.01)2N 0, despres de 3, (1.01)3N 0 i en general, despres de nanys, (1.01)nN 0. Si en comptes d’un 1% de creixement fos un 1% de decreixement anual, aleshores lapoblacio despres de n anys seria (0.99)nN 0.

Sembla natural, per tant considerar, per a > 0 la funcio f (x) = ax, que es diu funci´ o exponencial de base a.

Propietats basiques de les funcions exponencials.

1. El domini de la funcio exponencial es R, tota la recta real. A mes, la funcio exponencial escreixent si a > 1 i decreixent si 0 < a < 1.

2. a0 = 1, a1 = a i ax > 0 per tot x ∈ R.

3. a−x = 1ax

4. ax+y

= (ax

)(ay

), ax−y

= ax

ay .

5. (ax)y = axy.

6. (ax)(bx) = (ab)x, (ab )x = ax

bx .

Interes compost. El numero e. Interes continu.

Suposem que invertim 1 e a un 100% d’interes anual. Despres d’un any la inversio s’haura duplicat itindrem 2 e. Si el banc ens ofereix la possibilitat d’amortitzar semestralmemt ( dues amortitzacionsper any), aixo vol dir que cada semestre s’aplica un interes 100/2 = 50% i en un semestre el capital

es multiplica per un factor 1 + 12 . Per tant, al final del primer semestre tindrem 1 +

12 e i al final

14



del segon semestre, aquests 1 + 12 e es transformen en (1 + 1

2 )2 = 2.25 e. Podrıem aconseguir delbanc que les amortitzacions fossin quadrimestrals ( 3 amortitzacions, factor 1 + 1

3 per quadrimestre) otrimestrals ( 4 amortitzacions, factor 1+ 1

4 per trimestre) i obtindrıem, respectivament 2.37 e i 2.44 e.Com que sembla que obtenim mes rendibilitat a mida que el nombre d’amortitzacions augmenta, perque no ser mes ambiciosos i demanar al banc una amortitzacio per mes ( 12 amortitzacions ) o per

setmana (52 amortitzacions ) o per dia ( 365 amortitzacions)...? La taula seguent recull el capitalC n que obtindrıem a partir d’una inversio de 1 e al 100% d’interes compost depenent del nombre nd’amortitzacions.

n C n1 2

2 2.25

3 2.37

4 2.44

12 2.613

52 2.693365 2.715

Que passaria si, en un atac d’ambicio compulsiva, aconseguıssim que el banc ens amortitzes cadaminut, o fins i tot cada segon... Despres d’un any, obtindrıem una rendibilitat infinita o pel contrariel capital s’acostaria a un valor finit i concret? La resposta a aquesta pregunta te a veure amb dosdels conceptes fonamentals del Calcul: la nocio de lımit i el n´ umero e . De fet, si l’amortitzacioes fa en perıodes cada vegada mes curts, en el lımit obtindrıem el valor 2.71828 = e , que seriael capital obtingut a interes continu de 100% durant 1 any a partir d’un capital inicial de 1 e.Matematicament:

limn→∞ 1 +

1

nn

= e = 2.71828...

Analogament es pot demostrar que 1 e invertit al r% d’interes continu anual produiria en un any uncapital

limn→∞

1 +

r

100 · n

n= e

r

100

Com que 1 e invertit a un interes continu de r% anual produeix e r

100 en 1 any, el factor multiplicadoren un any es e

r

100 i en t anys el capital inicial es multiplicara per et· r

100 . Aixı , N 0 e al r% d’interescontinu produeixen

N 0 · et r

100 (∗)

en t anys.

Exemple 2. Calculeu el capital obtingut a partir d’una inversio inicial de 1000 e al 2% d’interescontinu anual despres de 10 anys. Aquı r = 2, t = 10, N 0 = 1000. D’acord amb (∗), el capital despres

de 10 anys sera 1000 · e10 2

100 = 1000 · e0.2 = 1221.4 e.

Per tant , la funcio exponencial de base e sorgeix de forma totalment natural relacionada amb elproblema de l’interes continu. A mes, hi ha altres raons per les quals resulta mes natural treballaramb la base e en comptes d’altres bases com ara 2, 10 o qualsevol altra.

FUNCIONS LOGARITMIQUES

15



Si a > 0, la inversa de la funcio exponencial de base a es diu funci´ o logaritme de base a i es denotaper logax. Per tant

logax = y ⇔ ay = x

Quan prenem com a base el numero e, denotem ln x = loge x i en direm logaritme neperia de x enhonor al descobridor dels logaritmes, el matematic John Napier . Un calcul senzill mostra que

loga x = ln x

ln a

per tant treballar amb logaritmes de base arbitraria es equivalent a fer-ho amb logaritmes neperians.A banda del neperia, el logaritme mes utilitzat es el de base 10. A continuacio es resumeixen lespropietats basiques de la funcio ln x:

1. ln x es una funcio creixent i el seu domini es (0, +∞).

2. eln x = x = ln(ex)

3. ln 1 = 0, ln e = 1.

4. ln x + ln y = ln(xy), ln x − ln y = ln(xy ).

5. ln(xy) = y ln x.

L’EQUACIO DEL CREIXEMENT EXPONENCIAL. TEMPS DE DUPLICACIO

Es diu que una certa magnitud N creix ( o decreix) exponencialment respecte del temps t si l’equacioque governa N es de la forma:

N (t) = N 0 · ebt

(∗∗)on N 0 representa el valor de N a l’instant t = 0 i b es un parametre que ens informa del rapidesadel creixement ( o decreixement). Si b > 0, N creix exponencialment i si b < 0 , N decreix

exponencialment . Quan un model de creixement exponencial condueix a una equacio del tipus

N (t) = N 0 · act (∗ ∗ ∗)

(com a l’exemple 1), podem reescriue l’equacio (***) en funcio de la base e: com que a = elna,tenimact = ec(lna)t i qualsevol creixement exponencial es pot expressar en la forma (∗∗) amb b = c ln a. Espot utilitzar qualsevol de les dues formes segons convingui.

Exemple 2. Una poblacio de microorganismes creix a rao del 5% per hora. Si inicialment n’hiha 400, quants n’hi ha despres de 18 hores? En aquest cas, el factor de multiplicacio per hora es1 + 0.0 5 = 1.05 i el nombre de microorganismes despres de t hores es N (t) = 400 · (1.05)t. Enel cas t = 18 tenim N 18 = 400 · (1.05)18 ≈ 963. Si escrivim l’equacio del creixement en base e,N (t) = 400 · et ln(1.05) = 400 · e0.0488·t. Es tracta de dues maneres diferents d’escriure la mateixaexpressio.

Suposem que una poblacio creix exponencialment. El temps necessari per tal que la poblacio esdupliqui es diu temps de duplicaci´ o. Si la poblacio decreix exponencialment, el temps neces sariper que la poblacio es redueixi a la meitat es diu semivida o temps de semidesintegraci´ o( laterminologia s’explica perque el terme s’aplica sovint a substancies radiactives). Una caracterıstica

important del model exponencial es que el temps de duplicacio es fix i no depen del moment on

16



comencem a comptar. Per exemple, si una poblacio creix al 3% anual i en un determinat moment lapobla cio es N , despres de t anys sera N (1, 03)t. Per tant si s’ha duplicat en t anys hem de tenir:

2N = N (1, 03)t

Si simplifiquem i prenem logaritmes N se’n va i obtenim t ln(1.03) = ln2 per tant t =

ln2

ln(1.03) ≈23, 45. La conclusio es que el temps de duplicacio es, aproximadament 23 anys. S’observa que N s’hasimplificat i no juga cap paper en el calcul: el moment inicial no afecta el temps de duplicacio.Sigui quin sigui el moment quan mesurem la poblacio, despres de 23, 45 anys s’haura duplicat. Lesmateixes consideracions es poden fer sobre la semivida.

Exemple 3. Calculeu en quantes hores es duplica la poblacio de l’exemple 2. Vam veure que despresde t hores la poblacio es multiplica per un factor (1.05)t. Per tant busquem t tal que

(1.05)t = 2 ⇔ t · ln(1.05) = ln 2 ⇔ t = ln 2

ln(1.05) = 14.21

De manera que la poblacio es duplica cada 14.21 hores. Si la pregunta es quantes hores calen per talque la poblacio es multipliqui per 5, farıem el mateix:

(1.05)t = 5 ⇔ t = ln 5

ln(1.05) = 32.99

Per tant cada 32.99 hores la poblacio es multiplica per 5.

Exemple 4. Calculeu els temps de semidesintegracio d’una substancia radiactiva que es desintegraa rao del 0, 4% per any. En aquest cas si partim d’una quantitat de substancia N , despres de t anysn’hi haura N (0.996)t per tant si N es redueix a la meitat en t anys hem de tenir

N

2 = N (0.996)t

Simplificant i prenent logaritmes:

1

0.996

t= 2 ⇒ t =

ln 2

ln( 10.996 )

≈ 172.94

La conclusio es que el temps de semidesintegracio de la substancia es, aproximadament, 173 anys.

L’ORDRE DE MAGNITUD DEL CREIXEMENT EXPONENCIAL

Suposem que agafem un full de paper i l’anem doblegant successivament. Com que el gruix d’un paperconvencional es de 0.1 m.m , al cap de n doblegaments obtindrem un gruix de 2n(0.1) m.m. Quantsdoblegaments caldrien per tal que el gruix fos de l’alcada d’una persona? I de l’alcada d’un edificide dos pisos? I de la distancia de la Terra al Sol? Com que la nostra intuıcio esta mes acostumadaals creixements lineals, les respostes son forca sorprenents i il.lustren perfectament el creixementextraordinariament rapid de les funcions exponencials: amb n = 7 obtenim 12.8 m.m., el gruix d’unquadern. Amb n = 14 s’obte 1638.4 m.m = 163.84 c.m, l’alcada d’una persona , amb n = 17 arribema 13.1072 m. , aproximadament l’alcada d’un edifici de dos pisos i amb nomes n = 50, el resultat es1.126 · 108 Km. , aproximadament la distancia de la terra al Sol.

El seguent exemple il.lustra una altra propietat caracterıstica dels creixements exponencials. Suposem

que en una habitacio de 12 × 6 × 4 m. es deixa caure una gota d’aigua. Al cap d’un minut, la gota

17



es duplica i origina dues gotes iguals, que , al cap d’un minut tambe es dupliquen i originen 4 gotesiguals... i aixı successivament. Suposant que el volum d’una gota d’aigua es de 0.05 cm3 ens plantegemla seguent pregunta: quan de temps passara fins que l’habitacio s’ompli d’aigua? La resposta es elprimer n tal que 2n · 5 · 10−8 ≥ 12 · 6 · 4 = 288 m3. La resposta es n = 33. Encara mes sorprenent esel fet que, al minut 28, tan sols 5 minuts abans, l’aigua acumulada a l’habitacio ocupa un volum de

13.42 m3

i per tant el nivell al qual arriba seria de tan sol 18.6 cm. Aixo expressa un fet caracterısticde les magnituds que creixen exponencialment: pot passar bastant de temps sense que els efectesdel creixement siguin apreciables pero arriba un moment en que tot es succeeix de manera moltrapida. Graficament, aquest fet es tradueix en la forma caracterıstica de ”pal de hockey ”de les corbesexponencials.

LOGARITMES A LA VIDA REAL

Historicament, la introduccio dels logaritmes en matematiques per John Napier esta relacionada ambun problema molt elemental: la multiplicacio de dos numeros. Suposem que x, y son dos numerosgrossos, possiblement amb decimals, de manera que el producte xy suposa un calcul tedios. Napier

va observar que l’equacio ln(xy) = ln x + ln y permet convertir un producte en una suma, en el sentitseguent: si coneixem els logaritmes de x i de y, l’equacio anterior ens proporciona el logaritme delproducte xy i a partir d’aquı, amb l’ajut de taules de logaritmes, Napier va calcular xy. Per tant ferservir logaritmes va permetre transformar productes en sumes.

En general, si en un determinat problema una magnitud es mou en una escala exponencial, el logaritmela transformara en una escala lineal, molt mes facil per treballar-hi. Per exemple, si l’ ordre demagnitud de certa variable x es troba entre 103 i 108, aleshores log10 x es mou entre 3 i 8. Cada copque x es multiplica per 10, log10 x augmenta una unitat. El mateix per a potencies negatives: si x esmou entre 10−8 i 10−3, aleshores log10 x es mou entre −8 i −3 i dividir x per 10 significa que log10 xdisminueix en una unitat.

x log10 x103 3

102 2

10 1

1 0

10−1 −1

10−2 −2

10−3 −3

A continuacio comentem algunes situacions de la vida real on els logaritmes apareixen de maneranatural.

Escala de pH.

Les concentracions d’io hidrogen [H +] i d’hidroxid [OH −] en una solucio es mesuren en mols/litrei estan relacionades per la formula [H +][OH −] = 10−14 (mol/l)2. En el cas de l’aigua, [H +] =[OH −] = 10−7. Quan domina la concentracio [H +] , la solucio es diu acida mentre que si domina laconcentracio [OH −] es diu basica . Es defineix el pH de la solucio com

pH = log10

1

[H +]

Per exemple, el pH de l’aigua es 7. Si [H +] augmenta, 1

[H +] decreix, pH decreix i la solucio es acida.

Si [H +] disminueix, 1[H +] creix , pH creix i la solucio es basica.

18



substancia [H +] (mol/l.) pH

acid sulfuric 10−1 1

suc llimona 10−2 2

suc taronja 10−3 3

cafe 10−5 5

llet 10−6

6aigua pura 10−7 7

aigua mar 10−8 8

llevat 10−9 9

llexiu 10−13 13

Terratremols. Escala Richter.

La Magnitud d’un terratremol a l’escala Richter es defineix per

R = log10 I

I 0 on I es la intensitat del terratremol, mesurada pel sismograf i I 0 es una certa amplitud estandard.Per exemple, un terratremol de magnitud 8 en l’escala de Richter, quantes vegades es mes intens queun altre de magnitud 6? Com que l’escala Richter fa servir logaritmes amb base 10, cada incrementde 10 vegades en la intensitat es tradueix en un increment d’una unitat en la magnitud. per tant unterratremol de magnitud 8 es 100 vegades mes intense que un de magnitud 6. Mes quantitativament,si aıllem I en la formula anterior: I = I 0 · (10)R.

Escala de sons.

La relacio entre la intensitat I d’un so ( en watts /cm2) i la magnitud M en decibels (db) es

M = 10 · log10

I

10−16

= 10 · log10(1016 · I )

Per exemple, un so d’intensitat I = 10−10 watts/cm2 correspon a 60 db. Cada cop que la intensitates multiplica( o es divideix) en un factor de 10, la magnitud s’incrementa ( o disminueix ) en 10 db.Aixı, un so 20 decibels mes sorollos que un altre es 100 vegades mes intens.

FUNCIONS TRIGONOMETRIQUES I LES SEVES INVERSES

Les funcions sin x i cos x.

Al mon fısic ens trobem molts fenomens que son periodics, o sigui, exhibeixen patrons que es repe-teixen despres d’un interval de temps fix. La rao de la importancia de les funcions trigonometriqueses el fet que serveixen per modelitzar aquestes situacions. Diem que una funcio f : R → R es pe-riodica si existeix un numero a > 0 tal que f (x + a) = f (x) per tot x ∈ R. Aixo vol dis que, quanavancem a unitats en la variable, el comportament de la funcio es repeteix, o tambe que la graficade f es repeteix despres d’un interval de longitud a. El prototipus de funcions periodiques son lesfuncions trigonometriques sin x i cos x, que tenen perıode 2π. Aixo vol dir que sin(x + 2π) = sin x icos(x+2π) = cos x. Per tant les funcions trigonometriques son molt convenients per estudiar fenomensque varien periodicament en el temps. Per tenir una idea de com es la grafica de sin x i cos x, n’hiha prou amb representar-les a l’interval [0, 2π], a [−π, π] o a qualsevol altre interval de longitud 2πperque la grafica es repetira de forma periodica. Si b > 0, la funcio sin(bx) te perıode 2π

b per tant

funcions d’aquest tipus ens serviran per modelitzar fenomens perıodics de perıode arbitrari.

19



La funcio tan x.

Com que tan x = sin x

cos x i els zeros de cos x son {(2n + 1)π

2 } , el domini de tan x sera R \ {(2n + 1)π2 }.

Ara la funcio tan x es periodica de perıode π ( per que? ) i per tant, n’hi ha prou amb analitzar-la

en un interval de longitud π . Normalment es tria l’interval (−π/2, π/2). En aquest interval, tan x esuna funcio creixent, i , a mes limx→π/2− tan x = +∞ i limx→−π/2+ tan x = −∞.

Funcions trigonometriques inverses.

Per definir les funcions trigonometriques inverses de les funcions sin x, cos x i tan x, primer de tots’han de triar intervals on aquestes funcions tinguin inversa (siguin injectives). Per exemple, en elcas de sin x podem trial l’interval [−π/2, π/2]. La inversa de la funcio sin : [−π/2, π/2] → [−1, 1]es diu arcsinus i es denota arcsin. La funcio arcsin fa correspondre, a cada numero t de l’interval[−1, 1], l’unic angle x ∈ [−π/2, π/2] tal que sin x = t. Per exemple, arcsin 0 = 0, arcsin(1

2 ) = π6 ,

arcsin(

− 1√

2) =

−π4 . El domini de la funcio arcsin es [

−1, 1], i es tracta d’una funcio creixent, amb

arcsin(−1) = −π2 , arcsin 1 = π

2 .

En el cas de cos x triem [0, π] com a interval on cos x te inversa. La funcio inversa es diu arccosinus,es denota per arccos, el seu domini es [−1, 1] i es decreixent, amb arccos(−1) = π, arccos 0 = π

2 iarccos 1 = 0.

La inversa de tan x : (−π/2, π/2) → R es diu arctangent , es denota per arctan. El seu dominies R , es una funcio creixent i, per exemple, arctan 0 = 0, arctan 1 = π

4 , limx→−∞ arctanx = − π2 ,

limx→+∞ arctan x = π2 .

20



Capıtol 3

Lımits i continuıtat

LIMITS

Una idea intuıtiva de lımit.

La introduccio del concepte de lımit va ser el punt d’inflexio per tal que el Calcul esdevingues l’einamatematica potent que ha estat durant els darrers tres segles. Tot i que actualment treballem amblımits de forma natural i fins i tot mecanica, el concepte que hi ha al darrere es forca profund i subtil.

L’exemple seguent ens pot ajudar a tenir una idea intuıtiva del concepte de lımit. Un llancador d’arcpractica llancaments davant una diana. Disposa de molt de temps i , successivament, va afinant cadacop mes la punteria. Potser no encerta mai el centre de la diana pero a mida que fa mes llancaments,s’hi acosta cada cop mes. En algun moment som conscients de que , si li donessim prou temps, potserno encertaria mai el centre pero sı s’acostaria al centre tant com volguessim. En aquest cas, el fetd’encertar exactament el centre es secundari. El fet important es que la tendencia es acostar-se alcentre mes i mes. Aquest exemple mostra un dels trets fonamentals del concepte de lımit: el fet que

l’important es la tendencia a acostar-se a un valor i no pas prendre exactament aquest valor.

Lımit d’una funcio en un punt. Lımits laterals.

Suposem que I ⊂ R es un interval, a ∈ I , f : I \ {a} → R i l ∈ R. Direm que f te lımit l al punt asi els valors de f (x) s’acosten tant com vulguem a l sempre que x s’acosti prou al punt a pero x = a.La notacio en aquest cas sera

limx→a

f (x) = l

Observacio important: per poder estudiar l’existencia de limx→a

f (x) no cal que f estigui definida en

a. Nomes es rellevant el comportament de f quan x es a prop de a.

Si, en la definicio de lımit, imposem x > a (resp. x < a) , aleshores parlarem del lımit lateral per ladreta (resp. per l’esquerra). La notacio, en aquests casos, es:

limx→a+

f (x) = l (resp. limx→a−

f (x) = l)

La relacio entre lımit i lımits laterals es la seguent:

limx→a

f (x) = l ⇔ limx→a+

f (x) = limx→a−

f (x) = l

21



en el sentit que el lımit existeix si i nomes si els dos lımits laterals existeixen i son iguals. Per tantl’estudi del lımit d’una funcio en un punt es equivalent a l’estudi dels dos lımits laterals.

Exemples. Raons per les quals no hi ha lımit.

1. Sigui f : R \ {0} → R definida per

f (x) =

0, si x < 0

x + 1, si x > 0

Aleshores limx→0−

f (x) = 0 pero limx→0+ f (x) = 1 per tant els dos lımits laterals son diferents i

limx→0

f (x) no existeix.

2. Sigui f : R → R definida per

f (x) =

1, si x < 0

4, si x = 01x , si x > 0

En aquest cas limx→0−

f (x) = 1 pero limx→0+

f (x) no existeix ( de fet , direm que limx→0+

f (x) = +∞ )

per tant tampoc no existeix limx→0

f (x). S’observara que el fet que f estigui definida en x = 0 es

totalment irrellevant.

3. Sigui f : R \ {0} → R definida per

f (x) =

0, si x < 0

sin( 1x), si x > 0

Ara limx→0−

f (x) = 0 pero limx→0+

f (x) no existeix perque els valors de f (x) quan x > 0 i x s’acosta

a 0 oscil.len entre +1 i −1. Per tant, tampoc no existeix limx→0

f (x).

Resumint, les raons per les quals no existeix limx→a f (x) son:

1. Els dos lımits laterals existeixen pero son diferents

2. Alguns dels dos lımits laterals no existeix perque

i) els valors de f es fan molt grans

ii) els valors de f oscil.len molt

Propietats dels lımits.

Suposem que l, m ∈ R, limx→a

f (x) = l , limx→a

g(x) = m. Aleshores,

1. limx→a

(f (x) + g(x)) = l + m , limx→a

(λ · f (x)) = λ · l (λ ∈ R).

2. limx→a

f (x) · g(x) = l · m

3. Si m= 0, lim

x→a

f (x)

g(x) =

l

m.

22



Exemples:

1. limx→a

xn = an. En general, si p(x) es un polinomi, limx→a

p(x) = p(a).

2. Si a

≥0, α > 0, lim

x→a

xα = aα.

3. limx→a

ex = ea, i si a > 0, limx→a

ln x = ln a.

4. limx→a

sin x = sin a, limx→a

cos x = cos a i limx→a

tan x = tan a si a = (2n + 1)π/2.

Indeterminacions. Calcul analıtic de lımits.

Sovint un lımit es presenta sota la forma d’indeterminaci´ o 0

0, ∞∞ o 0 ·∞. En aquests casos normalment

s’ha de trencar la indeterminacio mitjancant alguna simplificacio algebraica. Vegem dos exemples:

limx→2

x2 + x − 6

x − 2

Es tracta d’una indeterminacio 00 . Per trencar-la, escrivim x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3). Per tant

x2 + x − 6

x − 2 =

(x − 2)(x + 3)

x − 2 = x + 3

I

limx→2

x2 + x − 6

x − 2 = lim

x→2(x + 3) = 5

Un altre exemple:

limx→0

√ x + 1

−1

x2 + x

Tambe es tracta d’una indeterminacio 0

0. En aquest cas, multipliquem numerador i denominador per

l’expressio conjugada del numerador:√

x + 1 + 1:

√ x + 1 − 1

x2 + x =

√ x + 1 − 1

√ x + 1 + 1

(x2 + x)

√ x + 1 + 1

= x + 1 − 1

x(x + 1)√

x + 1 + 1 =

1

(x + 1)√

x + 1 + 1

Per tant hem trencat la indeterminacio i

limx→

0

√ x + 1 − 1

x2 + x =

1

2.

Principi del ”sandvitx”. Un lımit important.

Suposem quelimx→a

g(x) = limx→a

h(x) = l i g ≤ f ≤ h

Aleshores (Principi del sandvitx ):limx→a

f (x) = l

El seguent lımit es important i es pot obtenir com a aplicacio del Principi del sandvitx:

limx→0 sin xx = 1

23



Observeu que es tracta d’una indeterminacio 0

0. Abans de justificar el lımit anterior farem algunes

observacions geometriques. Considerem un cercle de radi 1 centrat a l’origen. Sigui x petit i denotemO = (0, 0), A = (1, 0), B = (cos x, sin x), C = (cos x, 0), i D = (1, tan x) es a dir, si ens movem sobrela circumferencia unitat partint del punt A un angle x arribarem al punt B. C es la projeccio de

B en l’eix X i D es el punt d’interseccio del raig OB amb la recta x = 1. Observem que l’area deltriangle circular OAB es proporcional a x. Com que l’area del cercle sencer es π i la longitud de lacircumferencia sencera es 2π, tenim que l’area del triangle circular OAB es x/2. D’altra banda, l’areadel triangle OCB es 1

2 sin x cos x i l’area del triangle OAD es 12 tan x. Per comparacio d’arees:

1

2 sin x cos x ≤ x

2 ≤ tan x

2

d’on es dedueix

cos x ≤ sin x

x ≤ 1

cos x

Com que cos 0 = 1 el Principi del sandvitx implica que

limx→0

sin x

x = 1

A la practica, hem de pensar que sin x es del mateix ordre de magnitud que x si x es petit ( sin x ∼ xsi x → 0). Per tant , per exemple

limx→0

sin(3x)

x = 3, lim

x→0

sin2(4x)

x2 = 16, lim

x→0

sin(5x)

sin(2x) =

5

2

Un altre lımit trigonometric important es

limx→0

1−

cos x

x2 = 1

2

De fet , aquest lımit es pot deduir de l’anterior a partir de les formules de l’angle doble: cos(x) =cos2(x/2) − sin2(x/2) = 1 − 2sin2(x/2) de manera que

1 − cos(2x)

2 = sin2(

x

2)

Per tant

limx→0

1 − cos x

x2 = lim

x→0

2sin2(x2 )

x2 =

1

2

Lımits infinits i lımits a l’infinit. Asımptotes

1. Lımits infinits. Asımptotes verticals.

La mateixa idea de lımit d’una funcio en un punt serveix per tractar lımits infinits o lımits al’infinit. Per exemple, sigui

f (x) = 1

x − 3

com que 1/0 = ∞, si x s’acosta molt a 3, x − 3 tendeix a 0 i per tant 1x−3 → ∞ si x → 3. Direm

que

limx→

3

1

x − 3

=

∞

24





Aleshoresf (x)

x =

2x2 − 5x − 11

x2 − 4x , f (x) − 2x =

3x − 11

x − 4

Per tant

limx

→∞

f (x)

x = 2 , lim

x

→∞(f (x) − 2x) = 3

de manera que la recta y = 2x + 3 es asımptota obliqua de f .

CONTINUITAT

Una funcio f definida en un interval que conte el punt a es contınua en a si limx→a

f (x) existeix i

limx→a

f (x) = f (a)

S’ha d’observar que ara f sı ha d’estar definida en a i el valor f (a) es rellevant per estudiar lacontinuıtat.

Exemples.

1. Sigui

f (x) =

0, si x < 0

1, six = 0

x, si x > 0

En aquest exemple limx→0

f (x) = 0 = 1 = f (0). Direm que f te una discontinuıtat evitable en

x = 0 perque redefinint f (0) = 0 podrıem eliminar la discontinuıtat.

2. Si

f (x) =

0, si x < 0

x + 1, si x ≥ 0

aleshores f no es contınua en 0 perque limx→0

f (x) no existeix i la discontinuıtat no es evitable.

Si I ⊂ R es un interval, direm que f : I → R es contınua en I si f es contınua en cada punt de I .

Exemples de funcions contınues.

1. Qualsevol polinomi es una funcio contınua en R.

2. La funcio n√

x es contınua en [0, +∞) si n es parell i en R si n es senar.

3. ex es contınua en R.

4. ln x es contınua en (0, +∞).

5. sin x i cos x son contınues en R. tan x es contınua en R \ {(2n + 1)π/2}.

Propietats basiques de les funcions contınues.

1. Si f , g son contınues en a , aleshores f

±g, λf ( λ

∈ R ) i f

·g son contınues en a. Si, a mes,

g(a) = 0 aleshores f /g tambe es contınua en a.

26



2. Si g es contınua en a i f es contınua en g (a) aleshores f ◦ g es contınua en a.

Per exemple, la funcio

f (x) = e3x3+2cosx + ln(1 + x4) x2 + sin2 x + 4

es contınua a R perque s’escriu com a suma, producte i composicio de funcions contınues.

TRES TEOREMES IMPORTANTS SOBRE FUNCIONS CONTINUES EN INTER-VALS TANCATS

Extrems absoluts. Teorema de Weierstrass.Sigui f : [a, b] → R contınua. Aleshores f assoleix el maxim i el mınim absolut en [a, b], es a dir,existeixen x1 , x2 ∈ [a, b] tals que

f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2) (x ∈ [a, b])

Si la funcio no es contınua o l’interval no es tancat, aleshores el teorema no es cert. D’altra banda, elTeorema de Weierstrass es un teorema d’existencia : diu que el maxim i el mınim existeixen pero nodiu res sobre com es calculen.

Teorema dels valors intermedis.Sigui f : [a, b] → R contınua. Si m es un valor entre f (a) i f (b) aleshores existeix c ∈ [a, b] tal quef (c) = m.

Consequencia: Teorema de Bolzano. Si f : [a, b] → R i f (a), f (b) tenen signes diferents aleshoresexisteix c ∈ [a, b] tal que f (c) = 0.

La idea que hi ha al darrere del Teorema de Bolzano es el metode de bisecci o: suposem per exempleque f (x) = x3 + 2x − 1. Aleshores f (0) = −1, f (1) = 2. Per tant, pel Teorema de Bolzano, f te unzero en (0, 1). Ara avaluem f (1/2) = 1/8 > 0. Aplicant Bolzano una altra vegada podem dir que f te un zero en (0, 1/2). Com que f (1/4) = −31/64 < 0, f te un zero en (1/4, 1/2) i ara continuarıemd’aquesta manera , dividint l’interval en dos successivament i aplicant Bolzano a l’interval on hi hagicanvi de signe. Aixı, podem aconseguir aproximar el zero tant con vulguem.

Si f, g : [a, b] → R son contınues i f (a) > g(a) pero f (b) < g(b) aleshores el Teorema de Bolzanoaplicat a la funcio contınua f − g implica que existeix c ∈ (a, b) tal que f (c) = g(c). Per exemple,suposem que les temperatures de dues ciutats entre les 7 i les 14 h. s on funcions contınues del temps.Suposem que a les 7h. la ciutat A es a 8oC i la ciutat B a 13oC pero a les 14 h. la ciutat A es a 25oC

i la ciutat B a 20oC . Aleshores el resultat anterior diu que hi ha com a mınim un instant, entre les 7i les 14 h. en el qual les dues ciutats tenen la mateixa temperatura.

27



Capıtol 4

Derivades (I)

INTRODUCCIO A LES DERIVADES

Una idea intuıtiva de la derivada. El problema de la velocitat instantania.

El concepte de derivada apareix estretament relacionat amb el concepte de lımit. De fet, els lımits vancomencar a ser formalitzats de d’un punt de vista matematic un cop va sorgir la necessitat de definirderivades.

En termes intuıtius, una derivada es un ritme de canvi instantani o una taxa de variacio instantania.Comencarem amb l’exemple fısic responsable de la introduccio de la derivada: el concepte de velocitat

instantania . Suposem que un mobil es desplaca en lınia recta i coneixem la seva posicio en funciodel temps. Calcular la velocitat mitjana en un interval de temps es, matematicament, una operaciotrivial: es redueix a calcular un quocient: el de la distancia recorreguda en aquest interval de tempsdividit per la durada de l’interval. Per exemple, si despres d’una hora un cotxe es troba a 200 Km.

del punt de sortida i despres de tres hores se’n troba a 300, la velocitat mitjana entre la segona i latercera hora de trajecte es

300 − 200

3 − 2 = 100 Km/h

Les velocitats mitjanes son utils pero hi ha problemes on no son suficients. Per exemple, com contestarla pregunta: quina es la velocitat del mobil quan han passat exactament 1 hora , 3 minuts i 2 segonsde la sortida? En aquesta pregunta ja no tenim un interval de temps sino un instant , es a dir, uninterval de longitud 0. Per tant , no podem contestar com abans perque en un interval de temps delongitud 0 la distancia recorreguda pel mobil tambe es 0 i , com sabem, 0/0 en principi no significa res,es una indeterminacio. Per tant cal un esforc d’imaginacio d’un nivell superior per poder interpretarla pregunta ”quina es la velocitat del mobil en un instant donat? ”

Suposem, per concretar, que la posicio del mobil despres de t segons es s(t) = t2, on x es mesura enmetres. Com podem definir la velocitat instantania d’aquest mobil en un instant donat, per exemplet = 1 ? Abans de res, comencem per calcular algunes velocitats mitjanes en intervals de la forma[1, 1 + h] per exemple [1, 2], [1, 1, 5], [1, 1, 1] i [1, 1, 01]. La taula seguent recull els resultats):

h vel. mitj.

1 3

0, 5 2, 5

0, 1 2, 1

0, 01 2, 01

28



Els resultats de la taula anterior semblen suggerir que les velocitats mitjanes s’costen al valor 2 quanla longitud de l’interval de temps s’acosta a 0. Com expressar aquesta idea? Amb el llenguatge delımits: com que la velocitat mitjana a l’interval [1, 1 + h] es

s(1 + h) − s(1)

h

= (1 + h)2 − 1

hens preguntem si

limh→0

(1 + h)2 − 1

h = 2 (∗)

Pero un calcul senzill mostra que

(1 + h)2 − 1

h =

2h + h2

h = 2 + h

per tant aquesta simplificacio permet trencar la indeterminacio 0/0 i el lımit de l’esquerra de (*) es2. D’aquesta manera arribem a la conclusio que el valor ”natural”de la velocitat instantania a t = 1es 2. A mes, una velocitat instantania resulta ser un lımit de velocitats mitjanes , quan els intervals detemps tendeixen a 0.

La derivada. La funcio derivada.

Sigui f : I → R on I ⊂ R es un interval i a ∈ I . Diem que f es derivable en a si el lımit

limh→0

f (a + h) − f (a)

h

existeix , i si en aquest cas , el valor del lımit es denota f (a) i es diu la derivada de f en a. Perexemple, acabem de comprovar que si f (x) = x2 aleshores f (1) = 2. De fet podem calcular la derivada

de f (x) = x2

en un punt arbitrari a:

f (a + h) − f (a)

h =

(a + h)2 − a2

h = 2a + h

Per tant

limh→0

f (a + h) − f (a)

h = 2a = f (a)

Aixo vol dir que a partir de la funcio f (x) podem definir una altra funcio f (x) que es diu funcioderivada de f i que a cada punt x li assigna la derivada de f en x.

Si y = f (x), la derivada es pot entendre com un lımit infinitesimal d’increments :

y = f (a+h)

−f (a)

correspon a la variacio de la variable y en un interval de longitud h = x en la variable x. Hi hadiverses notacions per designar la derivada : donada la funcio y = f (x) , podem designar la derivadacom f ( notacio de Newton) o tambe

dy

dx (notacio de Leibniz)

Si volem particularitzar la derivada de y = f (x) en un punt x = a, escriurem f (a) en notacio deNewton o be

dy

dx

x=a

en notacio de Leibniz. Quan treballem amb derivades, les lletres que utilitzem per les variables no

son rellevants sempre que siguem consistents amb la notacio. Per exemple, podem denotar la derivada

29





mantenim fixa la base i augmentem l’alcada, l’increment d’area es el producte de la base per l’incrementd’alcada. per tant l’increment total sera la suma d’aquests dos increments:

A = (b)a + b(a)

i

At = bt

a + bat

que correspon a la regla del producte.

Observacio: Si f es derivable en a aleshores f es contınua en a. El recıproc no es cert: f potser contınua en a sense ser derivable en a ( l’exemple mes senzill es f (x) = |x|, a = 0). Per tant”derivable ”es mes fort que ”contınua ”.

Derivades de les funcions elementals.

La taula seguent recull les derivades de les funcions elementals.

f (x) f (x)

const. 0

x 1

xα αxα−1

ex ex

ax ln a · ax

ln x 1/x

sin x cos x

cos x − sin x

tan x 1 + tan2 x = 1cos2 x

arcsin 1√ 1−x2

arccos −1√ 1−x2

arctan 11+x2

Les justificacions requereixen la definicio de derivada i alguna informacio extra sobre les funcionsinvolucrades. Per exemple, per demostrar que (sin x) = cos x, es necessita la formula del sinus de lasuma:

sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a

Per tant,

sin(x + h)

−sin x

h =

sin x cos h + sin h cos x

−sin x

h = sin x

cos h

−1

h + cos x

sin h

h

Pero

limh→0

cos h − 1

h = 0 , lim

h→0

sin h

h = 1

de manera que

limh→0

sin(x + h) − sin x

h = cos x

Regla de la cadena.

Si un cotxe va a 80 Km /h i gasta 0, 1 litres de benzina per Km, el consum de benzina per hora sera

de 80 · 0, 1 = 8 litres per hora. En aquest calcul trivial hi ha dos ritmes de canvi que es succeeixen

31



, un darrera l’altre: la distancia respecte del temps (80 Km/h) i el consum de benzina respecte dela distancia (0, 1 l/Km). Finalment el tercer ritme de canvi, 8 = 80 · 0, 1 es el ritme de canvi de ladarrera variable ( consum de benzina) respecte de la primer (temps). De fet, aquest exemple senzillil.lustra la regla de derivacio mes important, la Regla de la cadena o formula de la derivada d’unacomposicio: si y = g(x), z = f (y),

(f ◦ g)(x) = g (x)f (g(x))

En notacio de Leibniz abreviada:

dz

dx =

dz

dy · dy

dx

Exemples:

1. Si h(x) = ex2+3x+1, aleshores h = f ◦ g on f (y) = ey i g(x) = x2 + 3x + 1 per tant

h(x) = (2x + 3)ex2+3x+1

.

2. Si f (x) = sin(x2) + ln(1 + 2ex),

f (x) = 2x cos x + 2ex

1 + 2ex

3. Si y = x4 + 1 , z = sin y + tan y , aleshores

dz

dx =

dz

dy · dy

dx = (cos y + 1 + tan2 y)(4x3) =

cos(x4 + 1) + 1 + tan2(x4 + 1)

(4x3)

S’observa que al tercer exemple, dzdy ha de ser finalment escrit en funcio de la variable original,x.

Extrems relatius

Sigui I

⊂R un interval, f : I

→R i a

∈I . Diem que a es un maxim relatiu o maxim local ( resp.

mınim relatiu o local ) de f si existeix un interval J centrat en a , amb J ⊂ I tal que f (x) ≤ f (a)per a cada x ∈ J ( resp. f (x) ≥ f (a) ). Si f te un maxim o un mınim relatiu en a direm simplementque a es un extrem relatiu de f .

Criteri basic d’extrems relatius: si f es derivable i a es extrem relatiu de f , aleshores f (a) = 0 .

Observacio: El recıproc del criteri no es cert en general: si f (x) = x3 , f (0) = 0 pero 0 no es extremrelatiu de f .La importancia del criteri basic d’extrems relatius es que ens proporciona un metode practic per buscarcandidats a extrems relatius: els punts amb derivada 0.

Extrems absoluts en un interval tancat.

32



Suposem que f : [a, b] → R es derivable ( per tant contınua) i ens plantegem el problema de calcular elspunts x1, x2 on f assoleix el valor mınim i el valor maxim ( que existeixen pel teorema de Weierstrass).Concretament, volem calcular els punts x1, x2 ∈ [a, b] ( no necessariament unics) tals que

f (x1)≤

f (x)≤

f (x2)

per cada x ∈ [a, b]. En aquest cas direm que x1 es un mınim absolut de f en [a, b] i x2 es un maximabsolut de f en [a, b]. Un punt que es un maxim o mınim absolut es diu extrem absolut. Els valorsf (x1) i f (x2) es diuen, respectivament, valor maxim de f en [a, b] i valor mınim de f en [a, b].S’ha d’insistir en el fet que x1, x2 no son necessariament unics.Es evident que , a banda dels extrems a, b , si un punt x0 ∈ (a, b) es un extrem absolut de f , aleshoresha de ser en particular un extrem relatiu i per tant, f (x0) = 0 , o sigui que x0 ha de ser un puntcrıtic. Per tant el procediment per determinar els extrems absoluts de f en [a, b] es:

• Calcular els punts crıtics de f en (a, b).

• Avaluar f als punts obtinguts a l’apartat anterior mes els extrems a, b.

• Els punts x1 corresponents al valor mes petit dels calculats a l’apartat anterior seran els mınimsabsoluts. Els punts x2 corresponents al valor mes gran dels calculats a l’apartat anterior seranels maxims absoluts.

Exemple: Calculeu els extrems absoluts de f : [−3, 4] → R , f (x) = x3 − 12x.f (x) = 3x2 − 12 = 3(x +2)(x − 2). Els punts crıtics son −2, 2. Ara avaluem: f (−3) = 9, f (−2) = 16,f (2) = −16, f (4) = 16. Per tant el mınim absolut es −2 i els maxims absoluts son 2 i 4. El valormınim es f (−2) = −16 i el valor maxim f (−2) = f (4) = 16.

El Teorema de Rolle. El teorema del Valor Mitja.

Teorema de Rolle. Si f : [a, b] → R es derivable i f (a) = f (b) , aleshores existeix c ∈ (a, b) tal quef (c) = 0.

Exemple: Sigui f (x) = x3 − 3x + 1. Com que f (−1) = 3, f (1) = −1, pel Teorema de Bolzano, f tecom a mınim una arrel a (−1, 1). Pero f (x) = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1) < 0 si x ∈ (−1, 1) per tant, pelTeorema de Rolle, f no pot tenir mes d’una arrel a (−1, 1).

Teorema del Valor Mitja. Sigui f : [a, b] → R derivable. Aleshores existeix c ∈ (a, b) tal que

f (c) = f (b) − f (a)

b−

a

Consequencies:

1. Geometricament, el Teorema de Rolle diu que existeix un punt on la corda que uneix els punts(a, f (a)), (b, f (b)) es paral.lela a la tangent al punt (c, f (c)).

2. El teorema de Rolle diu que el ritme de canvi mitja de f a l’interval sencer coincideix amb elritme de canvi instantani de f en algun punt a dintre de l’interval.

3. Per exemple, si un vehicle entra en un tram d’autopista de 260 Km. de longitud a les 11h i surta les 13 h., podem assegurar que en algun moment entre les 11 i les 13 la seva velocitat era de130 Km/h.

33



Capıtol 5

Derivades(II)

CREIXEMENT I DECREIXEMENT

Com a consequencia del teorema del valor Mitja es poden determinar facilment els intervals d creixe-

ment i decreixement d’una funcio. Direm que f es creixent( resp. decreixent) en un interval I ⊂ Rsi per cada a, b ∈ I , amb a < b tenim f (a) ≤ f (b) ( resp. f (a) ≥ f (b)).

Suposem ara que f es derivable en un interval I i a, b ∈ I , a < b. Aleshores , pel teorema del valorMitja f (b) − f (a) = f (c)(b − a) per un cert c, a < c < b. Per tant si f ≥ 0 en I , aleshores f escreixent en I . El recıproc tambe es cert: si f es creixent en I aleshores f ≥ 0 perque si fos f (c) < 0per algun c ∈ I , de la definicio de derivada deduirıem que hi ha h > 0 tal que f (c + h) < f (c) i f noseria creixent. Per tant arribem al seguent criteri:

Criteri de creixement i decreixement Sigui f : I → R derivable. Aleshores:

f es creixent en I ⇔ f ≥ 0 en I

f es decreixent en I ⇔ f ≤ 0 en I

Exemple: Determineu els intervals de creixement i decreixement de f (x) = x3 − 3x + 2. Calculem:f = 3x2 − 3 = 3(x2 − 1). El problema es equivalent a estudiar el signe de x2 − 1 = (x +1)(x − 1). Pertant f > 0 en (−∞, −1) ∪ (1, +∞) i f < 0 en (−1, 1). Per tant f es creixent en (−∞, −1) ∪ (1, +∞)i f es decreixent en (−1, 1).

Criteri d’extrems relatius amb creixement/decreixement

1. Si f passa de creixent a decreixent en x = a aleshores a es un maxim relatiu.

2. Si f passa de decreixent a creixent en x = a aleshores a es un mınim relatiu.

Exemple: Si f (x) = x3 −3x +2, com abans aleshores −1 es un maxim relatiu i 1 es un mınim relatiu.

LA SEGONA DERIVADA. CONVEXITAT I CONCAVITAT

Donada una funcio f (x) podem definir una nova funcio f (x) assignant-li a cada x la derivada de f en x. Si fem el mateix amb la funcio f (x) en comptes de f obtindrem la segona derivada de f

que es denota per f . Des del punt de vista fısic, si la variable x es el temps i f la posicio , aleshores

34



f representa la velocitat i f correspon a l’acceleracio. Aquest proces de fet es pot repetir i aixı, percada n ∈ N arribarıem a la derivada n-esima de f , que es denota f n).

Suposem que f , g : (0, +∞) → R, f (x) = x2 i g (x) =√

x. f i g son creixents pero mentre que f creixcada cop mes , g creix cada cop menys. Dit d’una altra manera, f (x) = 2x (el ritme de creixement

de f ) creix amb x pero g (x) = 1

2√ x (el ritme de creixement de g) decreix amb x.

Direm que f es convexa en I si f es creixent en I i f es concava en I si f es decreixent en I . teninten compte la seccio anterior obtenim el seguent criteri practic de concavitat i convexitat:

Criteri de concavitat i convexitat. Sigui f : I → R dues vegades derivable. Aleshores:

f es convexa en I ⇔ f ≥ 0 en I

f es concava en I ⇔ f ≤ 0 en I

Com a criteri geometric practic, les tangents d’una funcio convexa queden per sota de la grafica mentreque en el cas d’una funcio concava queden per sobre. Si f passa de ser convexa a concava o de concavaa convexa en x = a , direm que a es un punt d’inflexio de f . Si a es un punt d’inflexio, aleshoresf (a) = 0 pero el recıproc no es cert en general; per exemple si f (x) = x4, f (0) = 0 pero 0 no espunt d’inflexio ( f sempre es convexa).

Exemple: Determineu els intervals de concavitat i convexitat i els punts d’inflexio de f (x) = x3 + x4.Tenim f = 6x(1 + 2x) per tant f > 0 ⇔ f creixent en (−∞, −1/2) ∪ (0, +∞) i f < 0 ⇔ f

decreixent en (−1/2, 0). Per tant f es convexa en (−∞, −1/2) ∪ (0, +∞) , f es concava en (−1/2, 0)i −1/2, 0 son punts d’inflexio.

Extrems relatius: criteri de la segona derivada.

Sigui f : I → R dues vegades derivable i f (a) = 0. Aleshores

1. f (a) > 0 ⇒ a es un mınim relatiu.

2. f (a) < 0 ⇒ a es un maxim relatiu.

Exemple: f (x) = x3 − 3x + 2. Aleshores f (x) = 3x2 − 3, f (x) = 6x. Els punts crıtics son ±1,f (1) > 0 i f (−1) < 0 per tant 1 es mınim local i −1 es maxim local.

Observacio: Les implicacions en sentit contrari son falses en general( f (x) = x4, f (x) = −x4).

REGLA DE L’HOPITAL

La regla de L’Hopital es un metode practic de calcul de lımits indeterminats.Regla de L’Hopital. Suposem que el lımit

limx→a

f (x)

g(x)

es una indeterminacio 0

0 o ∞∞ . Aleshores

35



limx→a

f (x)

g(x) = l ⇒ lim

x→a

f (x)

g(x) = l

Observacions.

1. L’aplicacio correcta de la regla de L’Hopital requereix que el lımit inicial sigui una indeterminacio.Si no es una indeterminacio i apliquem la regla de L’Hopital (incorrectament), la conclusio potser absurda. Per exemple,

limx→0

cos x

x = ∞ = lim

x→0

− sin x

1 = 0

i aixo no contradiu la regla de L’Hopital perque el primer lımit no es una indeterminacio.

2. A l’enunciat, tant a com l podrien ser ∞.

METODE DE NEWTON

El metode de Newton es un metode iteratiu d’aproximacio numerica de les arrels que consisteixen aproximar successivament el zero d’una funcio pels punts de tall de les tangents amb l’eix X .Concretament, suposem que f (x) te una arrel α que volem aproximar. Partim de x0 i definim x1 comel punt de tall de la tangent a y = f (x) al punt (x0, f (x0)) i l’eix de les X ’s. Com que l’equacio de latangent es

y − f (x0) = f (x0)(x − x0)

tenim

y = 0 ⇔ x = x1 = x0 − f (x0)

f (x0)

Podrıem continuar aixı i calcular xn+1 a partir de xn :

xn+1 = xn − f (xn)

f (xn) (Metode de Newton)

D’aquesta manera obtenim una successio {xn} de punts que , esperem , tendeixi cap a l’arrel α.

L’aproximacio d’α per {xn} pot tenir basicament dos obstruccions: que f sigui 0 o que f sigui 0.En el primer cas , ens podrıem trobar que, aplicant el metode de Newton, el pendent d’alguna deles rectes tangents sigui 0 o practicament 0 amb la qual cosa el metode de Newton no te sentit oproporcionaria un punt molt llunya del punt anterior. Si f es 0 , podria passar el seguent fenomen

patologic: per exemple, sigui f (x) = x1+x2 . S’ha d’observar que f te un punt d’inflexio a x = 0 (f passa de sr convexa a concava en 0). Suposem que comencem per x0 = 1/

√ 3. Aleshores es pot

comprovar que el metode de Newton donaria x1 = −1/√

3, x2 = 1/√

3, x3 = −1/√

3... etc... Per tantels xn sempre oscil.len entre ±1/

√ 3 i el metode no diu res. Aixo ha passat perque f era 0 en algun

punt. Per tant hem d’evitar que f i que f puguin ser 0 i aixo ho aconseguirem si exigim que el signede f i el de f sigui constant a l’interval on apliquem el metode de Newton. Mes concretament:

Exemple: Calculem quatre aproximacions de 3√

2 aplicant el metode de Newton a f (x) = x3 − 2 al’interval [1, 2] amb x0 = 2.

36



n xn

0 2

1 1, 5

2 1, 296

3 1, 26

Condicions per aplicar el metode de Newton en un interval. Suposem que f : [a, b] → R esdues vegades derivable i satisfa les condicions seguents:

1. f (a)f (b) < 0 ( f canvia de signe als extrems de l’interval).

2. Tant f com f tenen signe constant en [a, b].

Aleshores:

1. Hi ha un unic α ∈ (a, b) tal que f (α) = 0.

2. Si es tria x0 = a o x0 = b de manera que signef (x0) = signef (x0), la successio {xn} obtingudapel metode de Newton es monotona ( es a dir, o be xn+1 ≤ xn per tot n o be xn+1 ≥ xn per totn).

3. xn → α quan n → ∞.

Estimacio de l’error en el metode de Newton. Assumint que les condicions anteriors escompleixen, voldrıem obtenir una estimacio de l’error de l’aproximacio n-esima |xn − α|del metode deNewton. De fet l’estimacio es una consequencia senzilla del Teorema del Valor Mitja: si f (α) = 0 ,aleshores

f (xn) − f (α) = f (xn) = f (c)(xn − α)

per algun c entre xn i α. Suposem que m es una fita inferior de |f | en [a, b] :

m

≤ |f (x)

| per a cada x

∈[a, b]

Aleshores:

|xn − α| ≤ |f (xn)|m

(Estimacio de l’error)

Exemple: Tornem a l’exemple f (x) = x3 − 2 , a l’interval [1, 2]. Aleshores f (x) = 3x2. Per tant

min[1,2]

|f (x)| = min[1,2]

3x2 = 3

i podem triar m = 3. Aixı, una estimacio de l’error al pas n sera

|xn − 3√

2| ≤ x2n − 3

3

i podem afegir a les dues columnes anteriors una tercera E n, on

E n = x2

n − 3

3

es una estimacio superior de l’error al pas n:

n xn E n0 2 2

1 1, 5 0, 458

2 1, 296 0, 0589

3 1, 26 1, 253 · 10−4

La darrera columna E n s’ha d’interpretar en el sentit que E n es una estimacio per sobre de l’error que

es comet en aproximar 3√ s per xn. Per exemple, 1, 26 dista de 3√ 2 com a maxim 1, 253 · 10−4.

37



Capıtol 6

Integral indefinida

PRIMITIVES

Donada una funcio f (x), anomenarem primitiva (o integral indefinida) de f a qualsevol funcio F tal que F (x) = f (x). Per exemple, si f (x) = 2x + cos x, les funcions

x2 + sin x , x2 + sin x − 3 , x2 + sin x + 8

son primitives de f . De fet, dues primitives F 1, F 2 d’una mateixa funcio f es diferencien unicamenten una constant aditiva. En efecte, si F 1 = F 2 = f aleshores (F 1 − F 2) = 0 i per tant F 1 − F 2 es

constant. La notacio usual per denotar una primitiva de f (x) es el sımbol

f (x)dx. Aixı, escriurem

(2x + cos x)dx = x2 + sin x + C

per indicar totes les primitives de 2x +cos x. Sempre que no hi hagi possibilitat de confusio, a vegades

escriurem directament

f (x)dx = F (x) entenent que hem de sumar una constant per obtenir la

famılia de totes les primitives de f .

La taula seguent conte primitives

f (x)dx d’algunes funcions f (x).

f (x) c x x2 xα (α = −1) 1x sin x cos x

1

1 + x2

1√ 1 − x2

1 + tan2 x f (x)dx cx x2/2 x3/3 xα+1

α+1 ln x − cos x sin x arctan x arcsin x tan x

METODES D’INTEGRACIO

1. Canvi de variable

Com que la derivada de sin(x2 + 4) es 2x cos(x2 + 4) tenim x cos(x2 + 4)dx =

1

2 sin(x2 + 4)

Formalment, el canvi de variable u = x2 + 4, du = 2xdx transforma la primitiva

x cos(x2 + 4)dx enla variable x en la primitiva 1

2 cos udu = 12 sin u en la variable u. Tornant a la x tenim el resultat.

Tanmateix aquest canvi de variable es ”trivial”en el sentit que apareix la derivada d’una expressio que

38



surt tambe a la primitiva ( a l’exemple anterior x es gairebe la derivada de x2 + 4). Altra primitivad’aquest estil podria ser

e√ x

√ x

dx = 2e√ x

Tanmateix , considerem per exemple la primitiva e2x

√ ex + 1

dx

Hi ha diferents canvis de variable que podem triar u = ex, u = ex + 1 , u2 = ex + 1. Si triemu = ex necessitarem expressar x en funcio de u per tal d’escriure dx en funcio de du. Aleshoresu = ex ⇒ x = ln u i per tant dx = 1

udu. Ara transformem la primitiva inicial en una primitiva en lavariable u:

u2

√ u + 1

1

udu =

u√

u + 1du

que no sembla facil de calcular. Pero si provem amb el canvi mes ambicios u =√

ex + 1 ⇒ x =

ln(u2

− 1) aleshores dx =

2u

u2−1 du i la primitiva es transforma en 2u(u2 − 1)2

u(u2 − 1) du = 2

(u2 − 1)du =

2

3u3 − 2u

Per tant, tornant a la x: e2x

√ ex + 1

dx = 2

3(ex + 1)3/2 − 2(ex + 1)1/2

Hem partit d’un canvi de variable u = f (x) i hem capgirat l’equacio per escriure-la com x = g(u) perdespres poder expressar dx = g (u)du en funcio de du, i per tant transformar la primitiva en x en unaprimitiva en u. Aixo es caracterıstic dels canvis de variable ”no trivials”.

2. Integracio per parts

La formula d’integracio per parts esta basada en la formula de la derivada d’un producte:

(f g) = f g + f g

per tant, integrant arribem a la formula d’integracio per parts:A vegades fem u = f , v = g, du = f dx, dv = gdx i escrivim la formula d’integracio per parts demanera mes concisa:

udv = uv − vdu

Normalment s’aplica el metode d’integracio per parts quan en una primitiva apareixen el producted’una expressio facil de derivar i una altra facil d’integrar.Exemples La primitiva

xexdx es un exemple tıpic. Fem u = x, dv = exdx, du = dx, v = ex i tenim

xexdx = xex −

exdx = xex − ex

Si tenim

x2exdx, integrem per parts dues vegades per tal de reduir el grau de x:

x2exdx = x2ex − 2

xexdx = x2ex − 2(xex − ex)

39



Quan en la integral apareixen sin o cos, a vegades tambe necessitem integrar dues vegades per parts:primer fem u = sin x, dv = ex, du = cos x, v = ex

sin xexdx = sin xex −

cos xexdx

Ara tornem a integrar per parts respectant el canvi anterior: u = cos x, dv = ex, du = − sin x, v = ex: cos xexdx = cos xex −

(− sin x)exdx

Per tant sin xex = (sin x − cos x)ex −

sin xexdx

i finalment obtenim sin xexdx =

1

2ex(sin x − cos x)

3. Primitives racionalsUna fraccio racional es un quocient de polinomis f (x) = p(x)

q(x) on p i q son polinomis. Les primiti-

ves racionals formen una classe important de primitives que requereixen una tecnica especıfica: ladescomposicio en fraccions simples.Descomposicio en fraccions simples d’una fraccio racionalDirem que una fraccio racional es simple si es de una de les dues formes seguents:

A

(x − a)n o

Bx + C

(x2 + px + q )m

on A, B, C , p, q

∈R, n, m

∈N i x2 + px + q es un polinomi sense arrels reals.

La tecnica de descomposicio en fraccions simples, com indica el seu nom, consisteix en expressar unafraccio racional p(x)

q(x) com a suma de fraccions simples amb coeficients indeterminats que s’hauran decalcular al final. Seguirem els passos seguents:

1. Reduccio al cas grau ( p) < grau (q ).

En primer lloc, si grau( p) ≥ grau (q ), dividim els polinomis com si fossin numeros enters , per obtenir p(x) = c(x)q (x) + r(x) on grau (r) < grau (q ) i c(x), r(x) son polinomis. D’aquesta manera

p(x)

q (x) = c(x) +

r(x)

q (x)

i , tret d’un polinomi, podem suposar que el grau del numerador es inferior al grau del denominador.Exemple. Donada la fraccio

3x4 + x3 − 4x2 + 5x + 2

x3 + 2x2 + x − 1

Dividim el numerador pel denominador:

3x4 + x3 − 4x2 + 5x + 2 = (3x − 5)(x3 + 2x2 + x − 1) + 3x2 + 13x − 3

Per tant3x4 + x3 − 4x2 + 5x + 2

x3 + 2x2 + x−

1 = 3x − 5 +

3x2 + 13x − 3

x3 + 2x2 + x−

1

40



2. Factoritzacio de q .

Assumim que la nostra fraccio racional pq ja verifica que grau ( p) < grau (q ). Aquest pas consisteixen factoritzar q en el sentit d’expressar-lo com a producte de factors d’algun dels dos tipus seg uents:

(x−

a)n o (x2 + px + q )m (x2 + px + q sense arrels reals)

es a dir, potencies d’arrels de q o potencies de polinomis quadratics sense arrels reals.Exemples:

1. Si q (x) = (x2 − 1)2(x2 + 5), les arrels de q son ±1 (dobles) i la factoritzacio de q en el sentitanterior es

q (x) = (x − 1)2(x + 1)2(x2 + 5)

Per tant hi ha dues arrels amb multiplicitat 2 i un factor quadratric sense arrels reals ambmultiplicitat 1.

2. Si q (x) = (x2

−3x +2)(x2

−5x +4), aleshores les arrels de q son 1 (doble), 2 (simple) i 4 (simple)

i la factoritzacio de q esq (x) = (x − 1)2(x − 2)(x − 4)

duna arrel doble, dues simples i ni hi ha factors quadratics sense arrels.

3. Si (x2 − 9)(x2 + x + 1), les arrels de q son ±3 (simples) i

q (x) = (x − 3)(x + 3)(x2 + x + 1)

dues arrels de multiplicitat 1 i un factor quadratic sense arrels de multiplicitat 1.

3. Plantejament de la descomposicio en fraccions simples

Un cop q ha estat factoritzat en el sentit de l’apartat anterior, el seguent pas es escriure la fraccio pq

com una suma de fraccions simples tenint en compte les regles seguents:

1. Cada factor del tipus (x − a)n en la factoritzacio de q ( potencia d’una arrel) origina n fraccionssimples

A1

x − a +

A2

(x − a)2 + ... +

An

(x − a)n

on A1,...,An ∈ R son coeficients indeterminats que s’hauran de calcular.

2. Cada factor del tipus (x2 + px + q )m en la factoritzacio de q , on x2 + px + q no te arrels reals

origina m fraccions simples

B1x + C 1x2 + px + q

+ B2x + C 2

(x2 + px + q )2 + ... +

Bmx + C m(x2 + px + q )m

on B1, C 1,...,Bm, C m ∈ R son coeficients indeterminats que s’hauran de calcular.

Exemples:

1. p(x)

q (x) =

3x + 1

x2 − 5x + 6 . Com que x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), la descomposicio sera

3x + 1

x2 − 5x + 6 =

A

x − 2 +

B

x − 3

41



2. p(x)

q (x) =

x2 − 2x + 9

x(x2 − 6x + 9) . Aleshores x(x2 − 6x + 9) = x(x − 3)2 i tindrem:

x2 − 2x + 9

x(x2 − 6x + 9) =

A

x +

B

x − 3 +

C

(x − 3)2

3. p(x)

q (x) =

2x3 − 4x + 8

(x2 − x)(x2 + 4) . La descomposicio tindra la forma:

x3 − 2x − 4

(x2 − x)(x2 + 4) =

A

x +

B

x − 1 +

C x + D

x2 + 4

4. Calcul dels coeficients indeterminats.

Un cop plantejada la descomposicio en fraccions simples de p(x)q(x) , operem la suma de fraccions simples,

reduım a comu denominador i identifiquem numeradors. D’aquesta manera obtindrem que p(x) =

cert polinomi amb coeficients indeterminats. En aquest punt, la manera mes rapida de calcular elscoeficients consisteix en donar a la x els valors de les arrels i substituir el la igualtat de polinomisanterior. Aixo ens permetra calcular alguns coeficients indeterminats. Per obtenir la resta, triemles potencies de x mes properes als extrems i igualem coeficients fins determinar-los tots. El metodes’enten millor amb exemples:

Exemples.

1. Calculem A, B en la descomposicio

3x + 1

(x − 2)(x − 3) =

A

x − 2 +

B

x − 3

Sumem les fraccions simples :

3x + 1

(x − 2)(x − 3) =

A(x − 3) + B(x − 2

(x − 2)(x − 3)

Per tant 3x + 1 = A(x − 3) + B(x − 2). Ara x = 2 ⇒ 7 = A(2 − 3) ⇒ A = −7 i x = 3 ⇒ 10 = B.La descomposicio queda aixı

3x + 1

(x − 2)(x − 3) =

−7

x − 2 +

10

x − 3

2. Calculem A, B , C en la descomposicio

x2 − 2x + 9x(x2 − 6x + 9)

= Ax

+ Bx − 3

+ C

(x − 3)2

Com abans, sumem les fraccions simples i arribem a la identitat

x2 − 2x + 9 = A(x − 3)2 + Bx(x − 3) + Cx

Fent x = 3 ⇒ C = 4 i x = 0 ⇒ A = 1 pero com que ja hem esgotat les arrels, haurem d’identificaralgun coeficient. Triem el coeficient de x2 en les dues bandes de la identitat anterior: en el costatesquerre es 1 i en el costat dret A + B per tant A + B = 1 ⇒ B = 0. Aixı:

x2

−2x + 9

x(x2 − 6x + 9) =

1

x +

4

(x − 3)2

42



3. Calculem A, B , C en la descomposicio

4x2 + 5x + 3

(x − 1)(x2 + x + 1) =

A

x − 1 +

Bx + C

x2 + x + 1

Tenim

4x2 + 5x + 3 = A(x2 + x + 1) + (Bx + c)(x − 1)

Fent x = 1 i identificant els coeficients de x2 i el terme independent arribem a A = 4,C = 1,B = 0, per tant

4x2 + 5x + 3

(x − 1)(x2 + x + 1) = A(x2 + x + 1) + (Bx + C )(x − 1) =

4

x − 1 +

1

x2 + x + 1

4. Calculem A, B , C , D en la descomposicio

x3 − 2x − 4

(x2

−x)(x2 + 4)

= A

x +

B

x

−1

+ C x + D

x2 + 4

Despres d’operar , la identitat de polinomis queda aixı

x3 − 2x − 4 = A(x − 1)(x2 + 4) + Bx(x2 + 4) + (Cx + D)x(x − 1)

Ara x = 0 ⇒ A = 1, x = 1 ⇒ B = −1 pero com que ja no tenim mes arrels , identifiquem elscoeficients de x3 i de x i obtenim 1 = A + B + C i −2 = 4A + 4B − D ⇒ C = 1, D = 2. Ladescomposicio final es

x3 − 2x − 4

(x2 − x)(x2 + 4) =

1

x − 1

x − 1 +

x + 2

x2 + 4

5. Aplicacio: primitives racionals

La principal aplicacio de la descomposicio en fraccions simples es el calcul de primitives racionals.Aquı hi ha alguns exemples:

1.

x2 − 2x + 9

x(x2 − 6x + 9)dx

Ja hem trobat abans quex2 − 2x + 9

x(x2 − 6x + 9) =

1

x +

4

(x − 3)2

Per tant x2 − 2x + 9x(x2 − 6x + 9)

dx = ln x − 4x − 3

2.

x3 − 2x − 4

(x2 − x)(x2 + 4)dx

Tambe havıem calculatx3 − 2x − 4

(x2 − x)(x2 + 4) =

1

x − 1

x − 1 +

x + 2

x2 + 4

Per tant

x2

−2x + 9

x(x2 − 6x + 9) dx = ln x − 4

x − 3 = ln x − ln(x − 1) + x + 2

x2 + 4 dx

43



i el problema es redueix a calcular la darrera primitiva. Separant: x + 2

x2 + 4dx =

1

2

2x

x2 + 4dx + 2

dx

x2 + 4

Ara la primera primitiva de la dreta es immediata: ln(x2 + 4). Per calcular la segona , escrivim 2

x2 + 4 dx =

2

4

1 + ( x2 )2 dx =

1/2

1 + ( x2 )2

dx = arctan(x

2)

En resum: x2 − 2x + 9

x(x2 − 6x + 9)dx = ln x − ln(x − 1) +

1

2 ln(x2 + 4) + arctan(

x

2)

3. De la descomposicio4x2 + 5x + 3

(x

−1)(x2 + x + 1)

= 4

x

−1

+ 1

x2 + x + 1

deduım que 4x2 + 5x + 3

(x − 1)(x2 + x + 1) dx = ln(x − 1) +

1

x2 + x + 1 dx

Per calcular la darrera primitiva completem el quadrat:

x2 + x + 1 = (x + 1

2)2 +

3

4 =

3

4

1 +

2(x + 1/2)√ 3

2=

3

4

1 +

2x + 1√ 3

2

de manera que

1

x2 + x + 1 dx =

4

3 dx

1 +

2x+1√ 3

2

= 2

√ 3

3 arctan 2x + 1

√ 3

4. Primitives trigonometriques

Considerem nomes alguns exemples del tipus

cosn x sinm xdx.

1.

cos3 x sin2 xdx.

Aquı separem un cos i escrivim

cos3 x sin2 x = cos x cos2 x sin2 x = cos x(1 − sin2 x)sin2 x

i el canvi de variable u = sin x, du = cos xdx transforma la primitiva en

(1 − u2)u2du =u3/3 − u5/5 , per tant

cos3 x sin2 xdx = sin3 x

3 − sin5 x

5

Aquest procediment funciona quan algun dels exponents de sin x o de cos x es senar. En el cason els exponents de sin i de cos son parells, necessitarem la f´ ormula de l’angle doble cos(2x) =cos2 x − sin2 x de la qual es dedueix

sin2

x =

1

−cos(2x)

2 , cos2

x =

1 + cos(2x)

2

44



2.

sin4 xdx

Utilitzem la formula anterior dues vegades:

sin

4

x =1

−cos(2x)

22

=

1

4 − 1

2 cos(2x) +

1

4 cos

2

(2x)

= 1

4 − 1

2 cos(2x) +

1 + cos(4x)

8

Ara totes les primitives son immediates: sin4 xdx =

x

4 − sin(2x)

4 +

x

8 +

sin(4x)

32

3.

dx

cos xdx

Aquı escrivim 1

cos x =

cos x

cos2 x =

cos x

1 − sin2 x

i en aquest punt la situacio es semblant a la del primer exemple: el canvi de variable u = sin x,du = cos xdx transforma la primitiva en

du

1 − u2

que es una primitiva racional senzilla. La descomposicio 11−u2

= 12

11−u + 1

1+u

implica

du

1 − u2

= 1

2 ln(1 + u)

−ln(1

−u) =

1

2

ln 1 + u

1 − uPer tant

dx

cos x =

1

2 ln

1 + cos x

1 − cos x

5. Canvis de variable trigonometrics

Les substitucions x = a sin t, x = a cos t, x = a tan t, x = a sec t serveixen per calcular primitives quecontenen els factors

√ a2 − x2,

√ a2 + x2 i

√ x2 − a2.

1. Integrals que contenen√

a2 − x2.

La substitucio

x = a sin t ⇒

a2 − x2 = a cos t , d x = a cos tdt

transforma√

a2 − x2 en a cos t. Poden ser utils les formules:

cos2 t = 1 + cos(2t)

2

, sin2 t = 1 − cos(2t)

2

(1)

45



que es poden deduir de les formules de l’angle doble:

cos(2t) = cos2 t − sin2 t , sin(2t) = 2 sin t cos t

Per exemple, de la primera identitat anterior i la identitat basica sin2 t + cos2 t = 1 tenim:

cos(2t) = 2 cos2 t − 1 = 1 − 2sin2 t

d’on es dedueixen les formules (1).

Exemple.

x2

√ 4 − x2

dx

Fem el canvi x = 2 sin t, dx = 2 cos tdt. Per tant la integral es transforma en

sin2 t dt. Aplicantla formula (1) i la segona formula de l’angle doble:

sin

2

t dt = 1

−cos(2t)

2 dt =

1

2

t − 1

2 sin(2t)

=

t

2 − sin t cos t

2

Tornem a la primitiva original:

x2

√ 4 − x2

dx = arcsin(x/2)

2 − x

4

1 − x2

4

Podrıem haver fet igualment el canvi x = cos t.


a2 + x2.

En aquest cas farem la substitucio x = a tan t

x = a tan t ⇒

a2 + x2 = a

cos t , dx =

a

cos2 t dt

que transforma

a2 + x2 en a

cos t.

Exemple.

x

3

√ 1 + x2 dx

Fem x = tan t, dx = dt

cos2 t,

1 + x2 = 1

cos t . Per tant la integral es transforma en

sin3 t cos t

cos3 t cos2 t dt =

sin3 t

cos4 t dt =

(1 − cos2 t)sin t

cos4 t dt =

sin t

cos4 tdt −

sin t

cos2 tdt

Les dues darreres primitives son gairebe directes. Finalment:

sin3 t

cos4

t

dt =

−

cos−4+1(t)

−4 + 1

+ cos−2+1(t)

−2 + 1

= 1

3cos3

t −

1

cos t

46



Per tant x3

√ 1 + x2

dx = 1

3(1 + x2)3/2 − (1 + x2)1/2


x2

−a2.

Fem x = a sec t = 1

cos t. Aleshores

x = a sec t ⇒

x2 − a2 = a tan t , d x = a sin t

cos2 t dt

i√

x2 − a2 es transforma en a tan t.

Exemple.

dx

x2√

x2 − 4dx

Fem x = 2 sec t. La integral es transforma en

1

4

sin t

cos2 t

cos2 t

tan t dt =

1

4

cos tdt =

1

4 sin t

Per tant dx

x2√

x2 − 4dx =

1

4

1 − 4

x2 =

√ x2 − 4

4x

6. Aplicacio: la integral de la secant i el mapa de Mercator

La integral de la secant

dx

cos x apareix en molts problemes; potser el mes famos historicament es el

del mapa de navegacio de Mercator. Hi ha diverses maneres de tractar aquesta integral. Una opci o esla seguent:

1

cos x =

cos x

cos2 x =

cos x

1 − sin2 x

Ara descomponem en fraccions simples:

11 − sin2 x

= 12

1

1 + sin x + 1

1 − sin x

Per tant obtenim primitives directes:

dx

cos x =

1

2

ln(1 + sin x) − ln(1 − sin x)

=

1

2 ln1 + sin x

1 − sin x

A vegades aquest resultat apareix sota una aparenca lleugerament diferent:

= 1

2 ln (1 + sin x)2

1 − sin2 x

= ln

1 + sin x

cos x

= ln(tan x + sec x)

En definitiva:

47



dx

cos x =

1

2 ln1 + sin x

1 − sin x

= ln(tan x + sec x)

La integral de la secant te una rica historia, directament relacionada amb els mapes de navegacio.Quan es vol representar la superfıcie d’una esfera en un mapa, sempre es produeix una distorsio pero,depenent de les necessitats, es pot aconseguir conservar algunes magnituds geometriques. Per exemplepodem optar per conservar els angles i per tant les formes de les figures. Aquesta va ser la idea deMercator, quan va desenvolupar el famos mapa de Mercator, un dels mes usats en navegacio.

Una trajectoria de rumb constant a la superfıcie de la terra es una trajectoria que forma un angleconstant amb tots els paral.lels (o tots els meridians). El mapa de Mercator transforma trajectoriesde rumb constant en la superfıcie de la terra (que suposem una esfera) en lınies rectes en el mapa.En particular transforma paral.lels i meridians en lınies horitzontals i verticals respectivament. Al’equador el mapa no produeix cap distorsio (nomes el canvi d’escala). Suposem que el factor de canvi

d’escala es k; aixo vol dir que l’equador de la terra (de longitud 2πR) es transforma al mapa en unsegment horitzontal de longitud k2πR. El mapa de Mercator compleix dos requisits previs:

1. Els paral.lels es transformen en lınees horitzontals al mapa i els meridians en lınies verticals.L’equador es transforma en la recta y = 0 i el meridia de referencia es transforma en la rectax = 0.

2. El meridia a longitud θ es transforma en la recta x = kRθ i el paral.lel a latitud φ es transformaen la recta y = y(φ).

La segona figura compara, en un mapa de Mercator, una trajectoria de rumb constant (la lınia blava)i una geodesica (la vermella) de la superfıcie de la terra, connectant els mateixos punts. A la superfıcie

de la terra, la geodesica es mes curta pero obliga a canvis de rumb contınuament, cosa que fa uns seglessuposava una enorme complicacio practica. Els avions actuals segueixen, evidentment, les geodesiques,que s’aprecien forca be a les pantalles que mostren els avions, especialment als vols transoceanics.S’observa tambe a la figura que conservar els angles obliga a una gran distorsio de distancies quan ensacostem als pols.Ara s’ha de triar convenientment la funcio y(φ) per tal que es compleixi la condicio que trajectoriesde rumb constant es transformin en rectes al mapa. Fixem un punt P a longitud θ i latitud φ dela superfıcie de l’esfera i considerem el ”rectangle” infinitesimal PQRS amb longituds θ, θ + dθ ilatituds φ, φ + dφ. Denotem per P QRS el corresponent rectangle infinitesimal transformat almapa (observeu que es tracta d’un rectangle ”de debo”) que tindra costats dx i dy. Per construcciodx = kRdθ. El paral.lel que passa per P te longitud 2πR cos φ per tant la distorsio en P sobre el

paral.lel sera dx

kR cos φdθ = k

cos φ . La distorsio en P sobre el meridia sera dy

Rdφ .

48









on T = T (t) es la temperatura de l’ob jecte a temps t, T a es la temperatura ambient i k > 0 esuna certa constant depenent de l’objecte i les condicions ambientals.

(Observacio: si l’objecte esta inicialment a temperatura inferior a l’ambient, es aconsellableescriure l’equacio de Newton en la forma (3) i continuar integrant. Si, al contrari, l’objecte estainicialment a temperatura superior a l’ambient, es aconsellable escriure l’equacio de Newton des

del principi comdT

dt = −k(T − T a)

Tot i que l’equacio (3) contempla els dos casos, es convenient modificar-la des del principi segonsT > T a o T < T a d’acord amb les indicacions anteriors. Aixı s’evitaran problemes de signe en laintegracio).

Exemple. Suposem que un aliment a 98◦ C es treu del foc i es deixa refredar a la cuina, on latemperatura es de 18◦C. Si despres de cinc minuts esta a 38◦C, determineu la temparatura enfuncio del temps.

Primer de tot, resolem l’equacio (4) separant variables:

dT

T − 18 = −kdt ⇒ ln(T − 18) = −kt + C ⇒ T − 18 = ae−kt

Per tant la solucio general es

T (t) = 18 + ae−kt (7.4)

La solucio particular que busquem ha de complir T (0) = 98, T (5) = 38. Substituint en (4)obtenim a = 80, k = −0, 28. Per tant la solucio particular que busquem es

T (t) = 18 + 80e−0,28t

S’observa que si t → ∞ la temperatura tendeix a la temperatura ambient.

Exemple. Un aliment es treu del congelador , a −16◦ C i es deixa a la cuina, a 22◦. S’observa quedespres de 10 minuts esta a −2◦C . Calculeu la seva temperatura 20 minuts despres d’khaver-lotret del congelador.

Plantegem l’equacio de Newton, tenint en compte que, T < T a:

dT

dt = k(22 − T )

Separem variables i integrem:

dT

22 − T = kdt ⇒ − ln(22 − T ) = kt + C ⇒ 22 − T = ae−kt

Per tant la solucio general esT = 22 − ae−kt

Imposem T (0) = −16, T (4) = −2 i obtenim a = 38, k = 0, 046. La solucio particular es

T (t) = 22 − 38e−0,046t

d’on podem calcular T (20) simplement substituint.

52



• Un refinament del model exponencial: el mo del logıstic.

El model de creixement exponencial te una limitacio important: implica un creixement il.limitat

de la poblacio, la qual cosa no es evidentment gaire realista. Pot ser util i acurat en segmentsconcrets de temps pero no sempre. El matematic belga Pierre F. Vershult(1804-1849) va inventarun model que corregia aquesta deficiencia. Suposem per exemple que s’esta estudiant l’evoluciod’una poblacio d’animals. Al principi, quan n’hi ha pocs, el model exponencial funcionara cor-rectament pero a mida que la poblacio va creixent, l’experiencia diu que el ritme de reproducciobaixa. Per raons practiques, es natural assumir que la poblacio te un llindar superior M al qualno pot arribar. En aquest cas sembla natural que el ritme de creixement sigui proporcional no

nomes a la mida de la poblacio P (model exponencial) sino tambe al factor 1 − P

M que mesura

la diferencia entre la poblacio i el valor llindar. D’aquesta manera arribem al model logıstic:

dP

dt = kP

1 − P

M

(7.5)

S’observa que quan P es petita, el factor de correccio 1 − P

M es practicament 1 i el model se

sembla molt a l’exponencial. A mida que P augmenta, el factor de correccio disminueix i quanP = M es fa 0 quan P = M , expressant el fet que quan la poblacio arriba al maxim permes, elritme de creixement es 0. D’altra banda, el model no requereix que P < M .

Resolem l’equacio logıstica. Primer de tot, kP (1 − P

M ) =

k

M P (M − P ) i a continuacio separem

variables: dP

P (M − P ) =

k

M dt

Ara observem que la descomposicio en fraccions simples de la fraccio de l’esquerra es

1

P (M − P ) =

1

M

1

P +

1

M − P

Per tant1

M

ln P − ln(M − P )

=

k

M t + C

i operant, obtenim finalment la solucio general

53



P (t) = M aekt

1 + aekt (7.6)

S’observa a partir de (6) que P (0) = M a1 + a i que P (t) → M quan t → ∞.

L’equacio (6) proporciona una famılia de corbes logıstiques . La figura en proporciona un exemple.

54



Capıtol 8

Integral definida i aplicacions

El problema basic: el calcul de l’area d’una regio plana

Cap de nosaltres discutiria la definicio de l’area d’un rectangle com el producte de la base per l’alcada.A partir d’aquı, podrien obtenir la formula ben coneguda de l’area d’un triangle i, com que qualsevolpolıgon es pot descompondre en triangles, podrıem calcular de manera elemental l’area de qualsevolpolıgon.

Tanmateix el problema es presenta quan volem calcular l’area de regions planes mes complicades, perexemple l’area compresa entre l’arc de parabola y = x2, l’eix de les X ’s i les rectes x = 0 i x = 1.Aquest es un problema que ja va resoldre Arquımedes i constitueix l’origen del Calcul Integral de lamateixa manera que el problema de la velocitat instantania va suposar l’origen del Calcul Diferencial .

La idea basica que hi ha al darrera d’aquests dos problemes aparentment tan diferents te, pero, el

mateix sabor: 1) dividir l’interval de parametre (en el cas de l’arc de parabola, l’interval [0, 1] ) ensubintervals molt petits, 2) en cada subinterval, aproximar la funcio per una constant de manera quel’area de l’arc de parabola s’aproxima per una suma d’arees de rectangles i 3) passar al lımit.

Particions. Sumes de Riemann.

Sigui f : [a, b] → R. Comencem amb algunes definicions.

• Una particio P de [a, b] es una divisio

P = {a = x0 < x1 < ... < xn = b}

• La norma de P es ||P || = max{xi − xi−1 : i = 1,..n}.

• La suma superior S S (f, P ) associada a f i la particio P es defineix

SS (f, P ) =n

i=1

M i(xi − xi−1)

on M i = max{f (x) : x ∈ [xi−1, xi]}.

• Analogament definim la suma inferior SI (f, P ).

55





L’exemple de la seccio anterior anterior confirma que a mida que la particio conte mes punts i elssubintervals es van fent mes i mes petits, l’aproximacio a l’area real es cada cop millor. De fet, podemaplicar l’observacio b) anterior per calcular la integral

10 x2dx: considerem ara la particio P n que

consisteix en dividir [0, 1] en n parts iguals:

P n

={

0, 1/n, ..., n−

1/n, 1}

Aleshores, un calcul senzill diu:

SS (f, P n) = I n = 12 + 22 + ... + n2

n3

SI (f, P n) = S n = 12 + 22 + ... + (n − 1)2

n3

Exercici: Comproveu que

12 + 22 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

(Indicacio: demostreu la formula per induccio; suposeu que es certa per n i comproveu que tambe escerta per n + 1. )Tenint en compte l’exercici i els valors de S n i I n obtinguts abans obtenim:

I n = n(2n − 1)

6(n − 1)2 ≤ 1

0x2dx ≤ S n =

(n + 1)(2n + 1)

6n2

i per tant 1

0x2dx =

1

3

1. Una analisi analoga demostraria que per qualsevol a > 0, a

0x2dx =

a3

3

i en general ba

x2dx = b3

3 − a3

3

2. En el cas, mes senzill, que f (x) = x, podrıem repetir tot el procediment analıtic anterior i arribara la conclusio que

b

axdx =

b2

2 − a2

2

tot i que geometricament el resultat es obvi a partir de la formula de l’area d’un triangle rectangle.

3. En el cas, encara mes senzill que f (x) = c, constant

ba

cdx = c(b − a)

Propietats de la integral

1. Si a < c < b ,

ba f =

ca f +

bc f .

2. ba (αf + βg) = α

ba f + β

ba g , (α, β ∈ R).

57



3. La integral respecta el signe de la funcio: si f ≥ 0 en [a, b], aleshores ba f ≥ 0 i el valor de la

integral correspon a l’area compresa per la grafica i l’eix X . Si f ≤ 0 en [a, b], aleshores ba f ≤ 0

i el valor de la integral correspon a l’area compresa pentre la grafica i l’eix X pero canviada designe. I si la funcio canvia de signe en [a, b], aleshores el valor de la integral correspondra a lasuma de les arees comptades amb signe + on la funcio sigui positiva i comptades amb signe −on la funcio sigui negativa , per tant el resultat final dependra de la cancel.lacio. Per exemple,si f (x) = x − x2, tenim

a0 f (x)dx > 0 si 0 < a < 3/2 pero

a0 f (x)dx < 0 si a > 3/2. A mes, 3/2

0 f (x)dx = 0.

Un exemple important: velocitat, posicio i distancia total

Considerem un mobil que es desplaca en lınia recta, diguem l’eix de les X ’s amb velocitat v(t) enfuncio del temps. Inicialment, el mobil es troba en la posicio x(0). Ens plantegem la pregunta inversaal problema de la velocitat instantania: com obtenir la posicio del mobil en temps t en termes de lafuncio de velocitat v?Si considerem un interval de temps fix [0, T ] i el dividim en intervals molt petits ( la qual cosa , en

el llenguatge que hem introduıt vol dir que triem una particio P = {0 < t1 < ... < tn = T } de[0, T ] de norma molt petita ), aleshores en cada interval [ti−1, ti] podem assumir que la velocitat esaproximadament constant , diguem v(ti) i per tant la diferencia de posicions entre els instants ti−1 il’instant ti es,

x(ti) − x(ti−1) ≈ v(ti)(ti − ti−1)

Per tant, la variacio de posicio total en [0, T ] sera , aproximadament

ni=1

v(ti)(ti − ti−1)

que es una suma de Riemann per la funcio v en [0, T ]. A mida que hi afegim mes i mes punts a laparticio , la suma de Riemann tendeaix cap a la integral, per tant

x(T ) − x(0) =

T 0

v(t)dt

Una manera intuıtiva de recordar la formula anterior es observar que en un temps infinitesimal dt,el mobil ha canviat de posicio v(t)dt i la variacio total de posicio es el lımit d’aquestes quantitats, o

sigui, la integral T

0 v.

Observacio: tecnicament, la integral T

0 v(t)dt NO es la distancia recorreguda pel mobil a l’interval[0, T ] ja que potser hi ha hagut canvis de sentit del moviment ( canvis de signe de v). De fet ladistancia total recorreguda pel mobil en [0, T ] seria

T 0

|v(t)|dt

El Teorema Fonamental del Calcul

Calcular integrals a partir de sumes de Riemann no es, evidentment, un metode gaire operatiu. Lamanera habitual de calcular integrals depen d’un dels resultats mes importants de la Matematica: elTeorema Fonamental del Calcul, que proporciona amb total generalitat la connexio entre derivades iintegrals que esta present en l’exemple anterior.Suposem que f : [a, b]

→ R es contınua i definim F (x) = xa f (t)dt. Per exemple, si pensem que t es

el temps i f (t) es la velocitat d’un mobil en temps t, F (x) correspon a la posicio en temps x. En un

58



interval molt petit [x, x + h] la diferencia F (x + h) − F (x) = x+hx f (t)dt es , aproximadament, f (x)h

per tant, com que f es contınua:

limh→0

F (x + h) − F (x)

h = f (x)

Aixı, tenim el

Teorema Fonamental del Calcul. Si f : [a, b] → R es contınua i F : [a, b] → R es la integralindefinida de f definida per

F (x) =

xa

f (t)dt

aleshores

F (x) = f (x)

per a ≤ x ≤ b.En general , donades f , F : [a, b] → R, direm que F es una primitiva de f si F = f . El TeoremaFonamental del Calcul diu que la integral indefinida de f es una primitiva de F .

La seguent consequencia del TFC assegura que calcular integrals es redueix a calcular primitives.

Regla de Barrow. Suposem que G = f en [a, b] (G es una primitiva de f ). Aleshores

ba

f (t)dt = G(b) − G(a)

En efecte, sabem pel TFC que F (x) = xa f (t)dt es una primitiva de f . Com que F i G son dues

primitives, tenim (G−F ) = f −f = 0 i per tant G−F = C , constant. Pero per construccio F (a) = 0,

G(a) = C , F (b) = ba f i G(b) − F (b) = C = G(a) de manera que

G(b) − G(a) =

ba

f (t)dt

Un cop coneixem la relacio entre integrals i derivades podrem calcular explıcitament la integral dequalsevol funcio de la qual puguem calcular una primitiva, per exemple

π/4

0cos xdx = sin(π/4)−sin 0 =

√ 2/2,

2

1exdx = e2−e,

1

0

1

1 + x2dx = arctan(1)−arctan(0) = π/4

etc...

Aplicacions Geometriques de la integral

A banda de l’aplicacio original de calcular arees la flexibilitat de la integral ofereix tot un ventalld’aplicacions geometriques o fısiques. La idea clau es que qualsevol magnitud geometrica o fısica ques’obtingui com un lımit de sumes es una integral.

59



1. Massa d’una vara no homogenia.

Suposem que un filferro recte te longitud L i esta fet d’un material no homogeni, amb densitatlineal variable. Per comoditat, suposem que el filferro correspon a l’interval [0, L] i per 0 ≤ x ≤ L,la densitat lineal al punt del filferro amb coordenada x, es ρ(x). La pregunta que esns plantegemes : quina es la massa total del filferro? Triem un petit interval de filferro [x, x + dx]. La massa

d’aquest interval es , aproximadament, ρ(x)dx. per tant la massa total sera el lımit de la sumad’aquestes masses infinitesimals, o sigui, la integral de ρ:

Massa =

L0

ρ(x) dx

2. Volum de revolucio d’una grafica.

Suposem que la grafica de y = f (x), x ∈ [a, b] gira al voltant de l’eix de les X ’s per produirun solid ( que es diu solid de revoluci´ o ). Ens preguntem pel volum d’aquest solid. Consideren

un interval molt petit [x, x + dx] de l’interval de parametres on f es essencialment constant. Elsolid de revolucio que origina aquest petit interval es essencialment un cilindre de radi f (x) ialcada dx. Com que el volum d’un cilindre de radi r i alcada h es πr2h, el volum del cilindreinfinitesimal sera dV = πf 2(x)dx i el volum total que busquem sera la suma d’aquests volumsinfinitesimals, es a dir, la integral

Volum = π

ba

f 2(x) dx

3. Longitud d’un arc de corba.

El mateix principi serveix per expressar la longitud de l’arc de corba y = f (x), [a, b] com unaintegral. Ara observem que la longitud de l’arc infinitesimal de la grafica corresponent a l’interval[x, x + dx] es , aproximadament, la hipotenusa del triangle rectangle que te catet horitzontal dxi tal que el pendent de la hipotenusa es f (x), per tant

dL =

(dx)2 + (f (x))2(dx)2 =

1 + (f (x))2 dx

i la longitud total de la corba y = f (x), x ∈ [a, b] sera

Longitud =

b

a 1 + (f (x))2 dx

4. Area lateral de revolucio.

Ara ens plantegem calcular l’area lateral del solid de revolucio obtingut quan la corba y = f (x)gira al voltant de l’eix de les X ’s. En aquest cas, farem servir la formula seguent de l’area laterald’un tronc de con amb radis r ≤ R i alcada h:

π(r + R)

h2 + (R − r)2

Ara considerem un petit interval de parametres [x, x + dx] i aproximem la superfıcie lateralinfinitesimal del solid corresponent a aquest interval per un tronc de con de radis r = f (x),R = f (x + dx) ∼ f (x) + f (x)dx i alcada h = dx de manera que

dA ∼ 2πf (x)

(dx)2 + (f (x))2(dx)2 = 2πf (x)

1 + (f (x))2 dx

60



i l’area lateral sera

Area lateral =

ba

2πf (x)

1 + (f (x))2 dx

5. Centre de masses de regions planes homogenies.

Suposem que (x1, y1) · · · (xn, yn) es un sistema de n punts del pla amb masses respectivesm1 · · · mn. El centre de masses del sistema es el punt de coordenades (xM , yM ) on

xM =

ni=1 mixini=1 mi

, yM =

ni=1 miyini=1 mi

Suposem ara que tenim una placa plana feta d’un material homogeni. De quin punt l’haurıemde penjar del sostre per tal que s’aguantes en equilibri? La resposta es el centre de masses(o centre de gravetat) de la regio. El centre de masses d’una regio plana compleix duespropietats:

• El centre de masses respecta les simetries de la figura. Per exemple, el centre de massesd’un rectangle es el centre geometric del rectangle. El centre de masses d’una regio del plaXY simetrica respecte de l’eix X esta situat a l’eix X . El centre de masses d’una regiosimerica respecte l’eix Y esta situat a l’eix Y .

• Si descomponem una regio R en regions disjuntes R1 · · · Rn i (xi, yi) es el centre de massesde Ri aleshores el centre de masses de R es el centre de masses del sistema de punts(x1, y1) · · · (xn, yn). Aixo redueix el calcul d’un centre de masses continua (una regio plana)al centre de masses d’un sistema discret ( una col.leccio finita de punts). Per exemple, si

desconponem un polıgon en triangles, podem calcular el centre de masses del polıgon apartir dels centres de masses dels triangles.

Nomes considerarem aquı el cas d’una regio R de densitat superficial ρ constant (per comoditatsuposem ρ = 1) limitada per les grafiques de dues funcions f , g definides a [a, b] i amb g ≤ f :

R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b , g(x) ≤ y ≤ f (x)}

Primer de tot dividirem [a, b] en intervals molt petits, per exemple [xi−1, xi]. Aquest inter-val origina una banda vertical en R que es pot aproximar per un rectangle de base xi − xi−1

i alcada f (xi) − g(xi). El centre de masses d’aquest rectangle es, aproximadament, el punt

(xi,

f (xi) + g(xi)

2 i la seva massa mi = (f (xi) − g(xi))(xi − xi−1). Per tant el centre de massesdel sistema (x1, y1) · · · (xn, yn) tindra coordenades

x =

ni=1 xi(f (xi) − g(xi))(xi − xi−1)ni=1(f (xi) − g(xi))(xi − xi−1)

, y =

ni=1(f 2(xi) − g2(xi))(xi − xi−1)

2n

i=1(f (xi) − g(xi))(xi − xi−1)

Quan passem al lımit obtenim les coordenades xM , yM de la regio R en forma d’integrals:

xM =

ba x(f (x) − g(x))dx

ba (f (x) − g(x))dx

, yM =

ba (f 2(x) − g2(x))dx

2 ba (f (x) − g(x))dx

61



Exemple 1. Calculeu el centre de masses d’un semicercle de radi R.

Suposem que es tracta del semicercle superior de radi R centrat a l’origen. Per tant podem triarg(x) = 0, f (x) =

√ R2 − x2. Per simetria xM = 0. Nomes s’ha de calcular yM :

yM = R−R(R2

−x2)dx

2 R−R

√ R2 − x2dx =

4R

3π

Exemple 2. Calculeu el centre de masses de la figura formada per la uni o d’un quadrat decostat 2R i un semicercle de radi R recolzat en el costat superior del quadrat.

Si posem l’origen de coordenades al centre del quadrat, aleshores el centre del cercle te coorde-

nades (0, R). Per l’exemple anterior el centre de masses del semicercle es el punt (0, R + 4R

3π). La

massa del quadrat i la del semicercle son proporcionals a les seves arees (el factor de proporciona-litat seria la densitat superficial, que se suposa constant i no influeix en el problema). L’area del

quadrat es 4R2

i la del semicercle

πR2

2 . Per tant tenim el sistema de dos punts de coordenades

(0, 0), (0, R + 4R

3π) amb masses (proporcionals a) 4R2,

πR2

2 respectivament. El centre de masses

d’aquest sistema es

xM = 0

4R2 + πR2

2

= 0 , yM = 4R2(0) + πR2

2 (R + 4R3π )

4R2 + πR2

2

= 3π + 4

3π + 24R

Per tant el centre de masses de la figura es el punt (0, 3π + 4

3π + 24R).

62



Capıtol 9

Funcions de diverses variables

Introduccio

En la major part de problemes de la tecnologia o les ciencies naturals la magnitud que es vol estudiar

depen de diversos factors. Per tant es natural considerar funcions que depenen no nomes d’una sinode diverses variables.

Exemples

1. La ma joria de magnituds geometriques depenen de dues o mes variables. Per exemple si x i yson els costats d’un rectangle, A(x, y) = xy es larea del rectangle. Si r, h son el radi i l’alcadad’un cilindre, V (r, h) = πr2h es el volum del cilindre.

2. La distancia d(x,y ,z)del punt de l’espai amb coordenades (x,y ,z) a un punt donat amb coor-denades (a,b,c) es una funcio de les variables x, y , z :

(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2.

3. El volum d’un gas es funcio de la pressio i la temperatura: V = f (P, T ).

4. Una empresa fabrica un producte a partir de dos components. El cost de fabricacio C (x, y)depen de les quantitats x, y dels dos components utilitzats.

5. La temperatura T (x,y ,z) en un indret de l’espai es funcio de les coordenades (x,y ,z). Latemperatura d’una placa metal·lica plana T (x, y) es funcio de les coordenades (x, y).

6. Donat un circuit electric amb dues resistencies en paral.lel, R1 i R2 la resistencia equivalent R

del circuit ve donada per 1

R =

1

R1+

1

R2, o equivalentment

R(R1, R2) = R1R2

R1 + R2

7. L’alcada d’un terreny respecte a un pla de referencia es pot descriure amb una funcio de duesvariables: z = f (x, y) es l’alcada del terreny sobre el punt (x, y) del pla XY (que se suposa anivell 0). (Veure fig. 1).

A partir d’aquı ens concentrarem, per simplicitat, en el cas de funcions z = f (x, y) de dues variablesx i y.

Grafiques i conjunts de nivell

63



Donada una funcio de dues variables f : R ⊂ R2 → R definida en una regio R del pla XY la grafica

de f esGf = {(x,y ,f (x, y)) : (x, y) ∈ R} ⊂ R

3

Dit d’una altra manera, la grafica de f es la superfıcie z = f (x, y) aixecada sobre la regio R. Un altreconcepte geometric es el de conjunt de nivell. Si c

∈R, el conjunt de nivell c de f es el conjunt

N c = {(x, y) ∈ R : f (x, y) = c}

Observacio: Els conjunt de nivell N c es la pro jeccio sobre el pla XY de la seccio de nivell c de lasuperfıcie: la interseccio del pla z = c i la superfıcie z = f (x, y) (la grafica de f ).

Exemples

1. Si f (x, y) = x, la grafica de f es el pla d’equacio z = x en R3. Es tracta del pla que conte lesrectes z = x, y = 0 i z = 0, x=0. Els conjunts de nivell de f son rectes: N c es la recta d’equaciox = c al pla X Y . En general , si f (x, y) = ax + by la grafica de f es el pla d’equacio z = ax + by.

El conjunt de nivell N c es la recta ax + by = c del pla X Y .

2. Si f (x, y) = x2 + y2 la grafica es la superfıcie z = x2 + y2 a R3 (paraboloide). Com que nomeshi ha grafica per z ≥ 0, nomes hi ha conjunt de nivell si c ≥ 0. N 0 = (0, 0) ( el punt mes baix) isi c > 0, N c es la circumferencia x2 + y2 = c. per tant els conjunts de nivell son circumferenciescentrades al (0, 0) que tendeixen al (0, 0) quan c ↓ 0.

3. Si f (x, y) = 1 − x2 − y2 la grafica es el paraboloide z = 1 − x2 − y2. Ara els conjunts de nivellexisteixen per c ≤ 1. N 1 es el punt (0, 0) (correspon al cim de la superfıcie) i si c < 1, N c esla circumferencia x2 + y2 = 1 − c. Per tant els conjunts de nivell tambe son circumferenciescentrades al (0, 0) que tendeixen a (0, 0) quan c ↑ 1.

4. Si f (x, y) = x2

+ 4y2

, la grafica de f es el paraboloide z = x2

+ 4y2

. Aquest exemple es semblantal 2 amb la diferencia que els conjunts de nivell ara son el.lipses: si c > 0, N c es l’el.lipse d’equaciox2 + 4y2 = c. Quan c ↓ 0, N c tendeix a (0, 0) = N 0.

5. Si f (x, y) = x2−y2, la grafica de f es la superfıcie z = x2−y2 que es diu ”sella de muntar”perquerecorda la forma d’una sella de muntar a cavall (veure figura 3). La geometria dels conjunts denivell es una mica mes complicada que en els exemples anteriors ( fig. 4):

(a) Si c = 0, N c es la hiperbola d’equacio x2 − y2 = c. ( Observeu que l’orientacio de leshiperboles es diferent si c > 0 i si c < 0).

(b) Si c = 0, N 0 esta format per les rectes x − y = 0 i x + y = 0.

Derivades parcials, gradient i derivades direccionals

Donada f : R2 → R, podem fixar la variable y i derivar respecte de x o fixar la x i derivar respecte de

y. Obtenim aixı les derivades parcials de f respecte de x i de y, denotades ∂f

∂x, ∂f

∂y respectivament.

Per exemple, si f (x, y) = x2y + e3y sin x,

∂f

∂x = 2xy + e3y cos x ,

∂f

∂y = x2 + 3e3y sin x

64





Figura 9.3: grafica i seccions de nivell de f (x, y) = x2 − y2

Figura 9.4: conjunts de nivell de f (x, y) = x2 − y2

66



Figura 9.5: derivada parcial

Si ens interessa avaluar les derivades parcials en un punt concret (x0, y0) escriurem ∂f

∂x(x0, y0) i

∂f ∂y

(x0, y0). Per exemple:

∂f

∂x(π, 1) = 2π − e3 ,

∂f

∂y(π, 1) = π2

Observacio. A vegades s’utilitza tambe la notacio

∂f

∂x = f x ,

∂f

∂y = f y

El vector de R2 format per les dues derivades parcials de f en (x0, y0) es diu gradient de f en (x0, y0)

i es denota per ∇

f (x0

, y0

):

∇f (x0, y0) =∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0)

Per exemple, si f (x, y) = x2y + e3y sin x, hem comprovat que ∇f (π, 1) = (2π − e3, π2).

Les derivades parcials de f en un punt (x0, y0) son de fet derivades ordinaries de les funcions d’unavariable que s’obtenen quan es fixa una de les variables i es fa variar l’altra: la derivada parcial∂f

∂x(x0, y0) no es mes que la derivada de la funcio d’una variable x → f (x, y0) al punt x = x0.

Analogament la derivada parcial ∂f ∂y

(x0, y0) es la derivada de la funcio d’una variable y → f (x0, y)

al punt y = y0. Geometricament la derivada parcial ∂f

∂x(x0, y0) representa el pendent de la grafica

z = f (x, y0) , y = y0 en x = x0. Analogament per la derivada parcial respecte de y .(Vegeu figura 5).

Per tant les derivades parcials, com que son derivades convencionals en les direccions dels eixos co-ordenats, representen taxes de canvi de la funcio respecte de dues direccions especials( les dels eixoscoordenats). Suposem per exemple que f (x, y) es la temperatura (en graus) al punt (x, y) del pla (x,

y es mesuren en centımetres). Si ∂f

∂x(1, 2) = 4, i

∂f

∂y(1, 2) = −3, aixo vol dir que la temperatura al

voltant del punt (1, 2) creix a un ritme de 4 graus/cm quan es fixa la y = 2 i augmenta la x i decreix

a un ritme de 3 graus/cm quan es fixa la x = 1 i augmenta la y .

67



Exemple. El volum d’un cilindre en funcio del radi r i l’alcada h es V (r, h) = πr2h. Per tant

∂V

∂r = 2πrh,

∂V

∂h = πr 2

Suposem que partim d’un cilindre de 4 cm. de radi i 6 cm. d’al cada i el modifiquem lleugerament dedues formes diferents: i) variant el radi i mantenint l’alcada, ii) variant l’alcada i mantenint el radi.En tots dos casos el volum variara pero ens preguntem si el volum es mes sensible respecte de petitesvariacions del radi o de l’alcada. La resposta, quantitativament, ve donada per les derivades parcials:∂V

∂r (4, 6) = 48π,

∂V

∂h(4, 6) = 16π. Aixo vol dir que, fixada l’alcada ( 6 cm.), si variem lleugerament el

radi, el volum del cilindre creix a rao de 48π cm3 per cm. Si, fixat el radi( 4 cm. ), variem lleugeramentl’alcada, el volum varia a rao de 16π cm3 per cm. Per tant el volum es 3 vegades mes sensible respectede petites variacions del radi que de l’alcada!

Ens podem preguntar si es possible determinar la taxa de canvi d’una funcio f (x, y) en un punt (x0, y0)

respecte d’una direccio arbitraria. Precisem: una direccio al pla es simplement un vector v = (v1, v2)unitari (v21 + v2

2 = 1). Per exemple, (1, 0), (√ 2/2 , −√ 2/2), (1/√ 5 , 2/√ 5) son exemples de direccions.Denotem per Dvf (x0, y0) la derivada de f en (x0, y0) segons la direccio v. Per exemple si consideremles direccions dels eixos coordenats recuperem les derivades parcials:

D(1,0)f (x0, y0) = ∂f

∂x(x0, y0) , D(0,1)f (x0, y0) =

∂f

∂y(x0, y0)

La propietat seguent resol el problema de calcular derivades direccionals:

Per cada direccio v ∈ R2 , Dvf (x0, y0) = ∇f (x0, y0) · v

(Recordem que si w = (w1, w2), v = (v1, v2) ∈ R2 el producte escalar de w i v ve donat per

w · v = w1v1 + w2v2. La propietat basica del producte escalar es

w · v = |w| |v| cos θ(w, v)

on θ(w, v) es l’angle que formen w i v i |w| =

w21 + w2

2 es la longitud de w. En particular w i v son

perpendiculars si i nomes si w · v = 0. Si |v| = 1 ( v es una direccio) i w te la mateixa direccio que valeshores w · v = |w|. Al contrari, si w te la direccio oposada a v aleshores w · v = −|w|).

Propietats del gradient i les derivades direccionals

1. La derivada direccional Dvf (x0, y0) es 0 si v es ortogonal a ∇f (x0, y0). En particular el gradientes sempre ortogonal a les corbes de nivell.

2. Dvf (x0, y0) es maxima quan v te la direccio del gradient ( v = ∇f (x0, y0)

|∇f (x0, y0)|) i en aquest

cas Dvf (x0, y0) = |∇f (x0, y0)|. Per tant la direccio del gradient en (x0, y0) es la de maximcreixement de f en (x0, y0).

3. Dvf (x0, y0) es mınima quan v te la direccio oposada al gradient ( v = − ∇f (x0, y0)

|∇f (x0, y0)|) i en

aquest cas Dvf (x0, y0) = −|∇f (x0, y0)|. Per tant la direccio posada al gradient en (x0, y0) es la

de maxim decreixement de f en (x0, y0).

68



Exemple. Considerem la funcio f (x, y) = x2 + y2. Ja hem vist que les corbes de nivell son circum-ferencies centrades al (0, 0). ( Concretament, si c > 0, N c es la circumferencia d’equacio x2 + y2 = c).Observem que ∇f (x, y) = ( 2x, 2y). Aixo vol dir que el gradient es radial: la direccio del gradi-ent en cada punt coincideix amb la direccio del punt. Triem per exemple el punt (1, 2). Aleshores∇f (1, 2) = (2, 4). Com que f (1, 2) = 5, la corba de nivell que passa per (1, 2) es N 5 : x2 + y2 = 5, o

sigui, la circumferencia de centre (0, 0) i radi √ 5. Evidentment, ∇f (1, 2) = (2, 4) es ortogonal a N 5.

Pla tangent i recta normal a una superfıcie en un punt

Suposem que z = f (x, y) es l’equacio d’una superfıcie a R3 i (x0, y0, z0) un punt de la superfıcie, onz0 = f (x0, y0). Observem que segons les discussions precedents sobre el significat geometric de les

derivades parcials, les corbes x → f (x, y0) i y → f (x0, y) tenen, respectivament, pendents ∂f

∂x(x0, y0) i

∂f

∂y(x0, y0) a x0, y0. Per analogia amb el cas de la recta tangent a una corba, definim el pla tangent

de f a (x0, y0, z0) com el pla d’equacio

z − z0 = ∂f

∂x(x0, y0)(x − x0) +

∂ f

∂y(x0, y0)(y − y0)

Efectivament, aquest pla verifica que la seva interseccio amb el pla y = y0 es la recta d’equacioz − z0 = ∂f

∂x (x0, y0)(x − x0)

y − y0 = 0

continguda al pla XZ , que te pendent ∂f

∂x(x0, y0) al punt x0. Analogament, la interseccio amb el pla

x = x0 es la recta d’equacio z − z0 = ∂f

∂y (x0, y0)(y − y0)

x − x0 = 0

continguda al pla Y Z , que te pendent ∂f

∂x(x0, y0) al punt y0.

Recordem aquest fet de geometria lineal a l’espai: si ax + by + cz = d es l’equacio d’un pla, aleshoresel vector v = (a,b,c) es normal al pla.

Exemple. El pla 2x + 3y − z = 2 conte el punt (1, 1, 3) i com que el vector (2, 3, −1) es normal alpla, l’equacio de la recta que passa pel punt (1, 1, 3) i es normal al pla es, en forma parametrica

(x − 1, y − 1, z − 3) = λ(2, 3, −1)

i, en forma implıcita:

x − 1

2 =

y − 1

3 =

z − 3

−1

Punts crıtics. Maxims i mınims locals. Criteri de la matriu hessiana

Definicions. Sigui f : R2 → R.

69



1. (x0, y0) es un punt crıtic de f si ∇f (x0, y0) = (0, 0) o, equivalentment, f x(x0, y0) = f y(x0, y0) =0.

2. (x0, y0) es un maxim local de f si f (x, y) ≤ f (x0, y0) sempre que (x, y) sigui suficientment aprop de (x0, y0).

3. (x0, y0) es un mınim local de f si f (x, y) ≥ f (x0, y0) sempre que (x, y) sigui suficientment aprop de (x0, y0).

4. (x0, y0) es un extrem local de f si es maxim o mınim local de f .

5. (x0, y0) es punt de sella de f si es un punt crıtic que no es extrem local.

Exemples.

1. Si f (x, y) = x2 + y2, (0, 0) es un mınim local de f .

2. Si f (x, y) = 1 − x2

− y2

, (0, 0) es un maxim local de f .3. Si f (x, y) = x2 − y2, (0, 0) es un punt de sella de f .

La propietat seguent (Criteri de les primeres derivades ) ens dona una condicio necessaria pertrobar punts crıtics que es analoga a la d’una variable:

Criteri de les primeres derivades: tot extrem local es un punt crıtic

El criteri de les primeres derivades ens proporciona un criteri practic molt important: hem de buscarels possibles extrems locals de f entre els punts crıtics de f . Un cop determinats els punts crıtics

d’una funcio necessitem mes informacio per saber quin tipus de punt crıtic es (maxim local, mınimlocal o punt de sella). Per aixo utilitzarem el Criteri de les segones derivades. De la mateixamanera que en el cas d’una variable, podem calcular les derivades parcials de segon ordre d’una funciode dues variables.Exemple. Sigui f (x, y) = x2y + e3y sin x. ja havıem calculat les derivades parcials de primer ordre:

f x = ∂f

∂x = 2xy + e3y cos x , f y =

∂f

∂y = x2 + 3e3y sin x

Ara podem tornar a derivar f x i f y respecte de x o y i obtenim:

f xx =∂ 2f

∂x2 = 2xy + e3y cos x

f yy =∂ 2f

∂y 2 = 9e3y sin x

f yx = ∂ 2f

∂y∂x = 2x + 3e3y cos x =

∂ 2f

∂x∂y = f xy

A l’exemple anterior s’observa que les segones derivades creuades coincideixen: f yx = f xy. Aixo esun fet general per totes les funcions que tractarem aquı. En general, per f : R2 → R, la matriuhessiana de f es la matriu formada per les segones derivades:

70



Hf =

f xx f xyf yx f yy

Com que f yx = f xy, la matriu hessiana H F es simetrica.

Exemple. Si f (x, y) = x2y + e3y sin x, la matriu hessiana en un punt (x, y) es

Hf =

2xy + e3y cos x 2x + 3e3y cos x2x + 3e3y cos x 9e3y sin x

Si volem particularitzar en un punt concret nomes hem d’avaluar la matriu hessiana en aquest punt;per exemple

Hf (π, 1) =

2 2π − 3e3

2π − 3e3 0

El criteri seguent juga el paper del criteri de les segones derivades d’una variable.

Criteri de la matriu hessiana per classificar punts crıtics.

Suposem que (x0, y0) es un punt crıtic de f : R2 → R ( f x(x0, y0) = f y(x0, y0) = 0) i siguin a =f xx(x0, y0), b = f yx(x0, y0) = f xy(x0, y0), c = f yy(x0, y0) de manera que

Hf (x0, y0) =

a bb c

es la matri hessiana de f en (x0, y0). Aleshores

1. ac − b2 > 0 , a > 0 ⇒ (x0, y0) es mınim local.

2. ac − b2 > 0 , a < 0 ⇒ (x0, y0) es maxim local.

3. ac − b2 < 0 ⇒ (x0, y0) es punt de sella.

4. Si ac − b2 = 0, el criteri no diu res.

Exemple. Classificarem els punts crıtics de f (x, y) = x2y + y2 − 4y.

Calculem les primeres derivades parcials:

f x = 2xy , f y = x2 + 2y − 4

Per tant els punts crıtics son les solucions del sistema2xy = 0

x2 + 2y

−4 = 0

71



La primera equacio diu que o be x = 0 o be y = 0. Si x = 0, la segona equacio implica y = 2 i siy = 0, x2 = 4 per tant x = ±2. Per tant hi ha 3 punts crıtics: (2, 0), (−2, 0) i (0, 2). Ara calculem lessegones derivades:

f xx = 2y f xy = 2x , f yy = 2

i les matrius hessianes als punts crıtics son:

Hf (2, 0) =

0 44 2

, Hf (−2, 0) =

0 −4−4 2

, Hf (0, 2) =

4 00 2

El criteri de la matri hessiana diu que (2, 0) i (−2, 0) son punts de sella i (0, 2) es mınim local.

Extrems condicionats

En moltes situacions de la vida real s’ha de maximitzar o minimitzar una funci o de dues o mesvariables quan les variables estan sotmeses a certes restriccions. Aixo es diu un problema d’extremscondicionats.

Exemple 1. Una empresa fabrica simultaniament dos models de cotxe A i B. El cost total de

produccio ve donat per la funcio f (x, y) = x2 + 1

3x3 + y2 on x, y mesuren els milers de cotxes de tipus

A i B que es fabriquen anualment. Se sap que l’emprese necessita fabricar un total de 6000 cotxes.Com podem triar el nombre de cotxes que s’ha de fabricar de cada tipus per tal que el cost total siguimınim? En aquest exemple, f (x, y) es la funcio que s’ha de minimitzar, amb la condicio que x + y = 6.L’anomenat metode de Lagrange ens proporciona una condicio necessaria:

Metode de Lagrange per determinar extrems condicionats

Siguin f , g : R2

→R. Suposem que (x0, y0) es un extrem de f condicionat a que g(x, y) = 0. Aleshores

existeix λ ∈ R tal que es verifica la identitat de Lagrange:

∇f (x0, y0) = λ ∇g(x0, y0)

Per tant els possibles extrems de f condicionats a g(x, y) = 0 es troben entre els punts (x, y) queverifiquen la condicio g(x, y) = 0 i tambe la identitat de Lagrange, per algun λ ∈ R. A l’exempleanterior, tenim f (x, y) = x2 + 1

3 x3 + y2, g (x, y) = x + y − 6. Per tant:

∇f (x, y) = (2x + x2, y) , ∇g(x, y) = (1, 1)

I la identitat de Lagrange conjuntament amb la condici o x + y = 6 proporcionen el sistema 3×

3

2x + x2 = λ

2y = λ

x + y = 6

En aquests casos, el que s’ha de fer es eliminar el parametre λ el mes aviat possible. Aquı, eliminantλ obtenim

2x + x2 = 2y

x + y = 6

Ara eliminem y i arribem a x2 + 4x

−12 = 0 que te les solucions x = 2, x =

−6. Evidentment una

solucio negativa no te sentit aquı per tant ens quedem amb x = 2 que implica y = 4. Com Per tant

72



l’unic candidat a extrem condicionat es (2, 4) que a mes ha de ser un mınim. Aixı, el mes economices fabricar 2000 cotxes de tipus A i 4000 de tipus B.

Exemple 2. El mateix metode funciona igual per funcions de tres variables. Per exemple, suposemque la temperatura a cada punt (x,y ,z) de l’espai ve donada per T (x,y ,z) = 10 + xy + z. Determineu

els punts mes calent i mes fred de l’esfera unitat x2

+ y2

+ z2

= 1.

En aquest cas la condicio es g(x,y ,z) = x2 + y2 + z2 − 1 i la identitat de Lagrange ∇f (x,y ,z) =λ∇g(x,y ,z) juntament amb la condicio g(x,y ,z) = 0 proporcionen el sistema

y = λ 2x

x = λ 2y

1 = λ 2z

x2 + y2 + z2 = 1

Eliminant λ del sistema obtenim les dues possibles solucions: (0, 0, 1) i (0, 0, −1). Avaluem: T (0, 0, 1) =

11, T (0, 0, −1) = 9. per tant les temperatures maxima i mınima a la superfıcie de l’esfera unitat son11 i 9.

Documents

Resums teòrics.pdf