Curs 1: Sisteme dinamice continue

Noiuni introductiveIsocline, cmpuri de direcie i diagrame n spaiul fazelor.Analiza dinamicii modelelor unidimensionale dinamice continue:Modelul MalthusModelul Harrod DomarModelul Solow

Isocline, cmpuri de direcie i diagrame n spaiul fazelor

-n multe modele economice, putem avea ecuaii difereniale sau cu diferene finite ale cror soluii nu le putem determina explicit, chiar dac avem forma implicit a ecuaiei.

Pentru a avea informaii relative la soluie putem analiza proprietile calitative ale soluiei.

Considerm ecuaia diferenial de ordinul unu: (1)Isocline i cmpuri de direcie:Pentru fiecare pereche (x,y), ecuaia (1) specific panta n acel punct.

Graficul tuturor pantelor duce la cmpul de direcie al ecuaiei difereniale i d fluxul soluiilor.

Cmpul de direcie poate fi asemnat cu pilitura de fier care se orienteaz dup forele magnetice.

Figura 1: Cmp de direcie

Cmp de direcie/fluxul soluiilor: graficul tuturor pantelor traiectoriilor obinute ca soluie a unei ecuaii difereniale.

Nu este posibil s se considere toate perechile (x,y) din plan.

Putem considera numai perechile (x,y) asociate cu o pant fix.

Notm m panta fix a funciei:f (x, y) = m desemneaz toate perechile (x, y) pentru care panta funciei este egal cu m.f (x, y) = m se numete isoclin.Determinarea isoclinei pentru funcia:

.Isoclina este o curb convex.n ecuaia:

Explicitm y:

Diagrama fazelor pentru modelele cu o singur variabilConsiderm x(t) funcie continu de timp.

Considerm ecuaia diferenial, care presupunem c o putem rezolva pentru orice moment de timp t.Mulimea soluiilor cnd t variaz se numete traiectorie.

Cnd cu soluia avem de a face cu punct fix, punct de echilibru, punct critic sau soluie staionar.

Punct fix atractor, x(t) crete pn la i scade dup ,este un punct fix stabil. Traiectoria tinde din orice punct iniial, ctre punctul de echilibru .

Punct fix repelor: x(t) se ndeprteaz de , este un punct fix instabil, traiectoria se ndeprteaz de .Analiza dinamicii pentru modelele dinamice unidimensionale continueExemplul 1:Modelul de cretere a populaiei Malthus:

(3)p(t)= populaia la momentul tk- rata constant de cretere a populaiei, k>0.Ecuaia (3) este ecuaie diferenial de ordinul unu liniar omogen, cu variabile separabile.Cu soluia:

Care satisface condiiile iniiale:

Tem: Determinai traiectoria de evoluie a populaiei pentru p0=20, k=0,03 i k=0,05; p0=50,k=0,03 i k=0,05; p0=100, k=0,03 i k=0,05. Reprezentai graficele cu ajutorul EXCEL.

Figura:Creterea Malthusian a populaiei

Figura: Cmpul de direcie pentru modelul creterii Malthusiene a populaieiPunctul fix, soluia staionar, satisface ecuaia:

Stabilitatea punctului fix este dat de comportarea traiectoriei pentru .

n cazul sistemelor dinamice unidimensionale continue, soluia general a ecuaiei omogene este de forma .

Dac , stabilitatea este asigurat (vezi cursurile de Bazele ciberneticii economice).

n cazul nostru, , deci traiectoria este instabil i:

Cmpul de direcie se va ndeprta de punctul fix.Punctul fix este de tip repelor.Exemplul 2:Modelul de cretere economic Harrod- Domar1939-Roy Harrod1946-Evsey DomarEste un model post Keynesian timpuriu de cretere economic.I s-a reproat instabilitatea soluiei.Controversele academice au dus, dup 1950 la dezvoltarea modelului Solow-Swan.

Notaii, ipoteze:S(t) - economiile sunt proporionale cu venitul Y(t);I(t)-investiiile (modificrile n stocul de capital) sunt proporionale cu modificrile venitului;S(t)=I(t)-la echilibru, economiile sunt egale cu investiiile.s- propensitatea medie (egal cu cea marginal) ctre economisire;v-ponderea investiiilor n sporul total al venitului, sau inversul productivitii marginale a capitalului.

Modelul:

Rezolvarea modelului:

Ecuaie diferenial liniar, de ordinul unu, cu coeficieni constani, omogen.Tem: Determinai soluia ecuaiei de mai sus.Condiiile iniiale:

Soluia (traiectoria venitului):

-warranted rate of growth rata justificat de cretere economic: se justific prin structura economic dat de parametrii modelului: s i Punct fix:

Tipul de punct fix:

Punct fix de tip repelor, sistem global instabil.Se spune global stabil/instabil, dac exist un singur punct fix.

Figura: Cmpul de direcie pentru modelul Harrod-Domar

Tem: Folosind EXCEL; determinai traiectoriile pentru indicatorii: Y(t), I(t), C(t), cunoscnd datele:

Exemplul 3:Modelul de cretere echilibrat al lui SolowIpoteze:

1. funcia de producie macroeconomic, de dou ori difereniabil, omogen de grad unu;

nzestrarea tehnic a muncii;

venitul per capita;Calculul venitului per capita:

2.Fora de munc crete cu o rat constant n, care este independent de variabilele celelalte ale sistemului:

3.Economiile sunt o pondere constant n valoarea venitului, (S=sY), s este rata economiilor.4. Economiile n echilibru, sunt egale cu investiiile: S=I.

5.Investiiile brute sunt egale cu variaia stocului de capital plus nlocuirea capitalului fix uzat:

Unde este rata amortizrii.Modelul:

nlocuind primele dou ecuaii n a treia, obinem:

Ecuaia de dinamic a capitalului sau investiia net.

Transformm modelul n mrimi per capita:

Dar:

Atunci:

Ecuaia de dinamic a nzestrrii tehnice a muncii sau investiia net n mrimi per capita:

Condiia iniial:

Putem rezolva ecuaia dinamic a capitalului per capita dac dm o form analitic funciei de producie per capia.Presupunem c este o funcie Cobb-Douglas omotetic:

Ecuaia de dinamic a capitalului per capita va fi:

Ecuaia diferenial obinut este:

ecuaie BernoulliSeminarRezolvarea ecuaiei Bernoulli:Schimbarea de variabil:

Derivm n raport cu timpul:

Explicitm din relaia de mai sus:

mprim ecuaia de dinamic la :

nlocuim n ecuaia de mai sus:

Adic:

Aceasta este o ecuaie diferenial liniar de ordinul unu, neomogen, n cu soluia:

Sau:

Am considerat condiiile iniiale:

De unde:

Aceasta este traiectoria de evoluie a nzestrrii tehnice a muncii.

Este traiectoria de evoluie a stocului de capital.

Puncte staionare:

Punctele fixe/staionare/de echilibru sunt:

i Modelul Solow are deci dou puncte fixe.Nu poate fi global stabil, ntruct aceasta este o proprietate posibil pentru sistemele cu un singur punct fix.La sistemele cu mai multe puncte fixe stabilitatea/instabilitatea se stabilete pentru fiecare punct fix n parte: este stabilitate/instabilitate local, ntr-o vecintate a punctului fix .

Pentru modelul Solow, primul punct fix este local instabil, iar al doilea este local stabil:

Rezult c:

, deci este atractor

este repelor, ntruct traiectoria se deprteaz de acest punct fix, cnd .

ntruct dintr-o vecintate a lui , traiectoria tinde ctre , sistemul este local stabil.

ntruct traiectoria tinde asimptotic ctre , sistemul este local, asimptotic stabil.

Figura: Traiectoria nzestrrii pentru diferite valori iniiale ale lui k(t).

Figura: Cmpul de direcie pentru modelul lui Solow. Observm pantele pozitive.

Diarama fazelor pentru modelul Solow:

Reprezentm grafic curba , adic , n planul Puncte singulare:

Derivm funcia n raport cu k i egalm derivata cu zero, pentru a afla punctele singulare.

, punct singular.Pentru a afla natura punctului singular, calculm derivata a doua:

, punct de maxim.

k(t)

0 max 0

Rezult la stnga lui i la dreapta lui .

n punctul , investiia brut este egal cu investiia de compensare:

Figura: Investiiile brute i investiiile de compensare

Pentru k= , , respectiv investiiile brute sunt egale cu investiiile de compensare.

Dac , investiiile de compensare sunt mai mici dect investiiile brute i stocul de capital per capita va crete.

Dac k>, investiiile de compensare devin mai mari dect investiiile brute, ceea ce determin scderea stocului de capital per capita, cu valoarea capitalului necesar nzestrrii sporului de for de munc i a capitalului fix uzat.

sf(k) sunt investiiile brute, egale cu economile;

sunt investiiile de compensare: compenseaz capitalul fix uzat i nzestrarea tehnic a sporului populaiei. Am obinut rezultatele:

capitalul crete;

capitalul scade;

capitalul rmne la valoarea staionar, pe temen indefinit.Traiectoria de cretere echilibrat:Pe traiectoria de cretere echilibrat, rata de cretere a capitalului i a venitului sunt constante i egale cu rata de cretere a populaiei, n:

Pe traiectoria de echilibru, .Rezult:

Atunci:

Pentru stocul total de capital:

Efectul creterii ratei economiilor:Presupunem cs crete de la s0 la s1.Creterea lui sva muta curba investiiilor brute (acumularilor) n sus, astfel k2 se va muta la dreapta, va crete.

Figura: Efectul creterii ratei economiilor, asupra echilibrului.

Modificrile ratei economiilor au un efect de nivel asupra capitalului per capita i asupra venitului per capita,nu un efect de cretere, nu afecteaz ritmul de cretere al venitului per capita.Efectul creterii ratei economiilor asupra consumului:Introducem gospodriile n model:bunstarea gospodriilor depinde de consum investiiile sunt privite ca input n producie pentru consumul viitor.

este consumul per capita. Dac considerm propensitile marginale egale cu propensitile medii, funcia de consum este tocmai funcia Keynesian:

Figura: Consumul de echilibru este diferena ntre i

Variaia consumului la creterea ratei economiilor, s, depinde de pantele celor dou curbe: a investiiei brute i a investiiei de compensare.

Panta curbei investiiei brute: este o ponderes din productiviatea marginal a capitalului: ;

Panta investiiei de compensare este .

Dac: , creterea lui s va avea ca efect scderea lui c(t);

Dac creterea lui s va avea ca efect creterea lui c(t);

Dac creterea lui s nu va avea nici un efect asupra lui c.

Tem: Aplicaie numericSe cunosc datele:

Calculai traiectoria nzestrrii tehnice a muncii pentru t=1-10 i facei graficul n EXCEL:

b) Calculai traiectoria stocului total al capitalului pentru t=1-10 i facei graficul n EXCEL.

Calculai venitul per capita i venitul total i facei graficele corespunztoare n EXCEL

Calcuai punctele fixe ale traiectoriei:

Calculai traiectoria de echilibru a stocului total al capitalului i a venitului de echilibru pentru t-1-10, facei graficele n EXCEL:

Calculai investiiile brute i consumul pentru t=1-10, n mrimi per capita, n mrimi totale i facei graficele.

Investiiile per capita i consumul per capita sunt respectiv: in mrimi per capitai

, n mrimi actuale.

Analizai efectele creterii ratei economiilor de la s0=0,3, la s1=0,35.-asupra traiectoriei de echilibru;

-asupra consumului:stabilii numeric c dac , consumul scade, sau dac consumul creste, .

Modelul lui Solow cu funcie de producie Cobb-Douglas cu progres tehnic HarrodAm stabilit c acumulrile execit un efect de nivel asupra venitului, nu un efect de cretere.Pentru investigarea surselor creterii, introducem progresul tehnologic neutral n sens Harrod (acioneaz asupra muncii):

Modelul Solow presupune progresul tehnologic exogen.

Presupunem c A, funcia de progress tehnologic,crete cu o rat constantg:.Se pstreaz celelalte ipoteze ale modelului.Ecuaiile modelului:L(t ) = L(0) e n tA(t) = A(0) e gt

Capitalul per capita este acum:

, capitalul pe o unitate efectiv de munc.

Dinamica modelului:

(t) = sf (k(t)) (n+g+) k(t) Seminar:Determinai ecuaia de dinamic a modelului cu progres tehnologic.

(t)= =

Cu venitul per capita.Puncte staionare:

Pentru a determina punctele staionare, dm o form analitic funciei de producie:considerm funcia Cobb-Douglas:

Atunci punctele critice:

Pentru investiia brut este egal cu investiia de compensare.

Figura: Investiia brut i investiia de compensare pentru modelul cu progres tehnologic.

Tem:

Artai c rata de cretere echilibrat a venitului actual este egal cu rata de cretere a capitalului actual, egale cu (n+g):

Rata de cretere a venitului depinde de rata de cretere a populaiei i a progresului tehnologic.Refacei tema precedent, adugnd la datele numerice g=0,03 (rata de cretere a progresului tehnologic de 3%)i A0=50.Concluzie: n raport cu problematica general a creterii economice, modelul lui Solow relev faptul c diferenele mari ntre ri din punct de vedere al venitului naional pe locuitor nu se pot datora exclusiv acumulrilor ( deci inzestrrii tehnice a muncii).O surs de cretere pe termen lung este progresul tehnologic.

Msurarea creterii economicen modelul lui Solow creterea pe termen lung depinde numai de progresul tehnologiccreterea pe termen scurt depinde att de progresul tehnologic ct i de acumularea capitalului.Considerm :Y(t) =F(K(t),A(t).L(t)) Derivmfuncia de producienraport cu timpul:

mprim la Y(t), mpriminmulimtermenii din membruldreptrespectiv cu K, L, A:

Notm:

k(t)elasticitatea outputului in raport cu capitalulL(t)elasticitatea outputului in raport cu munca.

R(t) =[A(t)/Y(t)][Y(t)/ A(t)][ (t)/A(t)]

Ratele de cretere ale lui K i L ct i elasticitile venitului n raport cu K i L,se msoar direct din datele empirice.

R(t) se numete reziduu Solow reziduul Solow poate fi poate fi interpretat ca o msur a progresului tehologic el reflect toate sursele de cretere altele dect acumularea de capital.Relaia ratei de cretere venitului furnizeaz o decompoziie a creterii economice n contribuia capitalului, a muncii i contributia celorlali factori.

2