C2 Sisreme Dinamice Continue 2

8/17/2019 C2 Sisreme Dinamice Continue 2

1/29

Curs 2

Efectul creșterii ratei economiilor :

Problematica cre terii economiceș : care este sursa ratelor de cre tere a ărilor ș țdezvoltate, care este cauza diferen elor mari între ări i zone geografice dinț ț ș

punctul de vedere al venitului per capita, indicatorul esen ial care reflectățcre terea economică.ș

Presupunem că s crește de la s0 la s1.

Creșterea lui s va muta curba investițiilor brute (acumularilor) în sus, astfel k 2∗ se va muta la dreapta, va crește.

Figura: Efectul creșterii ratei economiilor, asupra ecilibrului.

!odificările ratei economiilor au un efect de nivel asupra capitalului per capita și asupra venitului per capita, nu au un efect de creștere, nu afectează

ritmul de creștere al venitului per capita . "ezultă că nu acumulărilesunt sursa ratelor crescătoare de cre tere ale ărilor dezvoltate.ș ț

Efectul creșterii ratei economiilor asupra consumului:

#ntroducem gospodăriile în model:

1


2/29

$ bunăstarea gospodăriilor depinde de consum % investițiile sunt privite ca

input în producție pentru consumul viitor.

este consumul per capita. &acă

considerăm propensitățile marginale egale cu propensitățile medii adică

, funcția de consum este tocmai funcția

'enesiană:

Figura: Consumul de ecilibru este diferen a între produc ie i acumulăriț ț ș

care în ecilibru sunt:

&eci consumul de ecilibru este:

2


3/29

&erivăm în raport cu s func ia de consum scrisă ca:ț

Considerăm:

Folosim formula derivatei func iilor compuse:ț

Cnd s cre te, cre terea luiș ș c depinde de semnul rela iei din parantezaț

dreaptă.

&acă: , respectiv productivitatea marginală este mai

mare dect suma dintre rata de cre tere a popula iei i rata amortizăriiș ț ș

(cre terea produc iei la o unitate de capital per capita suplimentar,ș ț

depă e te acumularea necesară compensării amortizării i dotării teniceș ș ș

a sporului popula iei), creț șterea lui s va avea ca efect cre terea luiș c(t) *

&acă , respectiv productivitatea marginală este

mai mică dect suma ratelor, creșterea lui s va avea ca efect scăderea lui

c(t);

&acă , respectiv productivitatea marginală este

egală cu suma ratelor, creșterea lui s nu va avea nici un efect asupra lui c.

+ariația consumului la creșterea ratei economiilor, s, depinde de pantele

celor două curbe: a venitului per capita i a investiș ției de compensare.

3


4/29

Panta curbei venitului (sau productivitatea marginală a capitalului):

*

Panta investiției de compensare este: .

emă: -plicație numericăe cunosc datele:

a) &educe i i calculaț ș ți traiectoria înzestrării tenice a muncii pentru

t/0$01 și faceți graficul în E2CE3:

b) &educe i i calculaț ș ți traiectoria stocului total al capitalului pentru t=1-10 șifaceți graficul în E2CE3.

c) Calculați venitul per capita și venitul total și faceți graficelecorespunzătoare în E2CE3

4


5/29

d) &educe i i calcuaț ș ți punctele fi4e ale traiectoriei, cu dateleconsiderate:

e) Calculați traiectoria de ecilibru a stocului total al capitalului și avenitului de ecilibru pentru t$0$01, faceți graficele în E2CE3:

f) Calculați investițiile brute și consumul pentru t/0$01, în mărimi per capita, în mărimi totale și faceți graficele.

#nvesti5iile per capita 6i consumul per capita sunt respectiv: 6i

.

, sunt investi iile i respectiv consumul, înț șmărimi actuale.

g) -nalizați efectele creșterii ratei economiilor de la s1/1,7, la s0/1,78.$asupra traiectoriei de ecilibru*

5


6/29

$asupra consumului: stabiliți numeric că dacă iș

consumul cre te , sau dacăș i consumul scade.șTemă:Considerăm datele:

tind că e4presia punctului fi4:Ș

,

tabili i dacă pentruț , cre terea ratei economiilor duce lașcre terea9scăderea sau men inerea consumului per capita.ș ț

Modelul lui Solow cu funcț ie de producț ie Cobb-Douglas cu

progres tehnic Harrod

-m stabilit că acumulările e4ecită un efect de nivel asupra venitului,nu un efect de creștere.Pentru investigarea surselor creșterii economice, introducem progresultenologic neutral în sens arrod (acționează asupra muncii):

Func ie de produc ie Cobb$&ouglas omotetică, cu progres tenologicț țîn sens arrod.

; !odelul olo< presupune progresul tenologic e4ogen.

6


7/29

; Presupunem că -, funcția de progres tenologic, cre6te cu o rată

constantă: .

e păstrează celelalte ipoteze ale modelului.Ecuațiile modelului:

L(t ) = L(0) ⋅ e n t

A(t) = A(0) ⋅ e gt

Capitalul per capita este acum:

, capitalul pe o unitate efectivă de muncă.

&inamica modelului:

(t) = sf (k(t)) – (ngδ ) k(t)

Cu venitul per capita.

Seminar:

!eterminaț i ec"aț ia #e #inamică a mo#el"l"i c" $rogres te%nologic&

7


8/29

(t)/ /

P"ncte staț ionare:

Pentru a determina punctele sta5ionare, dăm o formă analitică func5iei de produc5ie: considerăm funcția Cobb$&ouglas:

8


9/29

Pentru investiția brută este egală cu investiția de compensare.

Figura: #nvestiția brută și investiția de compensare pentru modelul cu progrestenologic.

'ata #e creștere ec%ilibrată a enit"l"i total este egală c" rata #e creștere aca$ital"l"i total egală c" (ng):

"ata de creștere a venitului depinde de rata de creștere a populației șia progresului tenologic.Temă"efaceți tema precedentă, adăugnd la datele numerice g/1,17 (ratade creștere a progresului tenologic de 7=) și -1/81.

Concluzie: *n ra$ort c" $roblematica generală a creșterii economice mo#el"l

l"i +olo, releă fa$t"l că #iferenț ele mari ntre ț ări #in $"nct #e e#ere al

enit"l"i naț ional $e loc"itor i al ritm"l"i #e cre tere economică (res$ecti al ș ș

enit"l"i $er ca$ita) n" se $ot #atora e.cl"si ac"m"lărilor ( #eci in/estrării

te%nice a m"ncii)&

9


10/29

s"rsă #e cretere $e termen l"ng este $rogres"l te%nologic&

Msurarea creș

terii economice:

!e"iduul Solow

>n modelul lui olo< →creșterea pe termen lung depinde numai de progresul

tenologic

→creșterea pe termen scurt depinde att de progresul

tenologic ct și de acumularea capitalului.

onsi#erăm :3(t) =4(5(t)A(t)&L(t))

&erivăm funcția de producție în raport cu timpul:

>mpăr țim la ?(t) cei doi membrii ai ecua iei* împăr ț țim și înmulțim termenii din

membrul drept respectiv cu 5 L A:

10


11/29

@otăm:

α k (t)→ elasticitatea outputului in raport cu capitalul

α L(t)→ elasticitatea outputului in raport cu munca.

"atele de creștere ale lui 5 și L ct 6i elasticită5ile venitului în raport cu ' 6i 3,se măsoară direct din datele empirice.

'(t) se numește re/i#"" +olo, % reziduul olo< poate fi poate fi interpretatca o măsură a progresului teologic % el reflectă toate sursele de creșterealtele dect acumularea de capital.

"elația ratei de creștere venitului furnizează o decompoziție a creșteriieconomice în contribuția capitalului, a muncii și contributia celorlalți

factori.#em:

Considerăm func ia de produc ie Cobb$&ouglas cu progres tenologicț țarrod din e4erci iul precedent. Calcula i reziduul olo< i reprezenta iț ț ș țgrafic.

Ecua ii diferen iale neliniareț ț

$pro%imrile liniare ale ecua iilor diferen iale neliniareț ț

Considerăm ecua ia:ț

11


12/29

f(.) este neliniară dar continuă i diferen iabilă.ș ț

>n general, aceste ecua ii nu se pot rezolva analitic.ț

rebuie să găsim punctele fi4e pentru , deci pentru

.

Presupunem f(&) este continuă diferen iabilă într$un interval descis care$lțcon ine peț . / .∗ (punctul fx).

-pro4imăm f(&) folosind dezvoltarea alor:

este restul.

-pro4imarea liniară de ordinul unu are forma:

&acă punctul în care se face apro4imarea este suficient de aproape de punctul

fi4 , atunci , iar princonstrucție

!ac" este punctul fx, atunci

putem apro4ima f(4) în punctul prin:

12


13/29

E%emplu:

!odelul de cre tere economică al lui olo< cu func ia de produc ie Cobb$ș ț ț&ouglas, rezolvat prin apro4imare liniară.

Ecua ia de evolu ie a stocului de capital per capita, func ia de produc ie Cobb$ț ț ț ț&ouglas per capita:

Punctele fi4e sunt:

,

&ezvoltarea alor de ordinul unu în punctul fi4 :

Cu:

Considerăm acum :

-tunci :

13


14/29

"ezultă că panta curbei pentru este

14


15/29

"ezultă apro4imarea liniară:

>ntruct iar n iș 6 sunt pozitive, atunci func iaț

în i deciș sistem"l este local stabil , punctul fi4 este detip atractor (condi ia ca punctul fi4 să fie stabil este satisfăcută).ț

Determinarea traiectoriei &n"estrrii tehnice a muncii pe ba"a ecua iei ț

diferen iale liniare re"ultat din apro%imarea liniarț

-pro4imarea de ordinul unu în Aurul ecilibrului este:

Este ecua ie diferen ială liniară de ordinul unu.ț ț

Ecua ia omogenă:ț

+erifică ecua ia neomogenă:ț

15


16/29

-plicăm condi iile Cauc:ț

olu ia:ț

Pentru apro4imarea liniară , respectiv este punct fi4 localasimptotic stabil.

9999

emă:

Cunoscnd datele din e4erci iile precedente, folosind apro4imarea liniară ațecua iei de dinamică a înzestrării tenice a muncii, calcula i traiectoriaț țînzestrării tenice a muncii, a venitului per capita, a investi iilor i consumuluiț ș

per capita, ct i a indicatorilor corespunzători în mărimi actuale. Face iș țgraficele traiectoriilor.

Calcula i devia iile absolute i relative ale celor două solu ii (traiectoria B(t) prinț ț ș țrezolvarea ecua iei ernoulli i prin apro4imarea liniară).ț ș

9999

Dinamica modelelor repre"entate prin ecua ii diferen iale de ordin superior ț ț

Cazul general

Ecua ie diferen ială de ordinul n, liniară, cu coeficien i constan i, neomogenă:ț ț ț ț

16


17/29

"ezolvăm ecua ia omogenă:ț

Facem ipoteza că solu ia are formaț i o punem să verifice ecua iaș țomogenă:

>mpăr im laț , ob inem ecua ia caracteristică:ț ț

Ecua ia caracteristică este o ecua ie algebrică liniară, de gradț ț n, care are n

solu ii care pot fi reale (diferite sau multiple) i comple4e conAugate.ț șolu ia generală a ecua iei omogene: Cazulț ț ră#ăcinilor reale #istincte:

unde -0 ,-D ,-n sunt constante generalizate arbitrare.

Cazul rădăcinilor multiple de ordin mn:

Gnde sunt k rădăcini distincte, fiecare cu ordinul său de multiplicitate,

iar sunt polinoame de tipul:

17


18/29

Cu A constante generalizate arbitrare, iar ordinul de multiplicitate alcelei de a A$a rădăcină.

k $ numărul de rădăcini distincte.

>n cazul rădăcinilor comple4e conAugate avem, pentru fiecare perece avem:

Cu respectiv partea reală i imaginară a numărului comple4.ș

olu ia particulară o putem determina cu aAutorulț metodei coeficien ilorț nedetermina i ț :

Facem ipoteza că solu ia particularăț este de forma termenului liber iș punem condi ia ca aceasta să verifice ecua ia neomogenă.ț ț

olu ia ecua iei neomogene este suma între solu ia generală a ecua iei omogeneț ț ț ți solu ia particulară:ț ț

E%emplu:

Modelul politicilor de stabili"are &ntre cerere agregat i oferta agregat al lui ș

'hillips

@otăm:

cererea agregată

18


19/29

oferta agregată

&acă e4istă cerere e4cedentară, oferta cre te* dacă e4istă ofertă e4cedentară,ș

oferta scade:

coeficient de reac ie care arată viteza de aAustare între cerereațagregată i oferta agregată.ș

Gnde s este propensitatea9înclina ia marginală i medie spre economisire,ț ș

.Presupunem că cererea agregată este afectată de o perturba ie adversă u/0.ț

!eterminarea ec"a iei #e #inamică a enit"l"i n aceste i$ote/eț

>nlocuim în ecua ia de dinamică a venitului:ț

Gltima rela ie este o ecua ie diferen ială de ordinul unu, neomogenă.ț ț ț

"ezolvarea ecua iei liniare de ordinul unu, neomogenă:ț

Ecua ia omogenă:ț

19


20/29

Este ecua ie cu variabile separabile.ț

olu ia generală a ecua iei omogene:ț ț

olu ia particulară:ț

solu ia particulară are forma termenului liber, o constantă.ț

Punem condi ia caț să verifice ecua ia neomogenă:ț

"ezultă traiectoria venitului:

Condi ia ini ială:ț ț

tabilitatea:

20


21/29

istemul este stabil.

P"nct fi. sta ionar #e ec%ilibr"ț :

>n cazul e4isten ei unei perturba ii e4ogene asupra cererii agregate,ț ț aloarea #eec%ilibr" este negatiă, ceea ce, pe termen lung înseamnă că traiectoriavenitului va conduce la valori negative ale venitului.

Pentru înlăturarea acestei situa ii, Pillips propuneț trei $olitici #e stabili/arentre cerere i ofertăș , prin intermediul celtuielilor guvernamentale

:

0. Politica de stabilizare propor ională:țCeltuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu ofertașagregată:

este coeficientul de propor ionalitate.ț

D. Politica de stabilizare diferen ială:țCeltuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu varia ia oferteiș țagregate:

7. Politica de stabilizare integrală:

21


22/29

Celtuielile guvernamentale sunt egale i de semn contrar cu suma întreșmomentul ini ial i momentul curent al ofertelor agregate:ț ș

!eterminarea ec"a iei #e #inamică a enit"l"i:ț

>ntre nivelul teoretic i cel actualș 7(t) al celtuielilor

guvernamentale e4istă o întrziere (obs. >ntrzieri interne i e4terne înș politicile macroeconomice, vezi cursul de H!acroeconomie cantitativăI):

-Austarea diferen ei întreț iș 7(t) este dată de ecua ia:ț

este coeficient de reac ie i indică viteza de aAustare.ț șa. Pornim de la ecua ia cererii agregate, care va include celtuielileț

guvernamentale, întruct în model s$a introdus guvernul:

&erivăm în raport cu timpul:

>nmul im ecua ia cererii agregate cuț ț :

22


23/29

-dunăm cele două rela ii:ț

"escriem ca:

i înlocuim în ecua ia de mai sus,ș țob inem:ț

(a)

b. Pornim acum de la varia ia venitului:ț

E4plicităm pe &(t):

>nmul im cuț :

23


24/29

&erivăm:

-dunăm ultimele rela ii:ț

(b)

Egalăm membrii drep i din ecua iile (a) i (b):ț ț ș

Jb inem ecua ia de dinamică a venitului:ț ț

Politica de stabilizare propor ională:ț

Ecua ia omogenă:ț

Căutăm solu ie de forma:ț

24


25/29

Ecua ia caracteristică:ț

&iscriminantul:

rădăcini reale, egale,

rădăcini reale, diferite,

rădăcini comple4e conAugat

25


26/29

olu ia particulară, de forma termenului liber: o constantă.ț

Punem condi ia să verifice ecua ia neomogenă:ț ț

olu ia:ț

&acă traiectoria este stabilă: , atunci:

Jbservăm că traiectoria de ecilibru este tot negativă, dar mai mică în valoareabsolută:

26


27/29

ceea ce relevă faptul că politica

propor ională are o anumită eficien ă, dar nu reu e te să transforme valoareaț ț ș șnegativă a ecilibrului într$o valoare pozitivă.

eminar

-plica ie numerică:ț

Considerăm următoarele valori:

a) &etermina i consecin ele unei perturba ii unitare negative a cereriiț ț țagregate.

b) &etermina i în raport cu situa ia de la punctul (a), efectele politicii deț țstabilizare propor ionale.ț

(a)

27


28/29

(b)

(Jbs: )

28


29/29

Jbs:

"eface i calculele cndț , . Ce pute i să spune i despreț țnoile valori de ecilibru în cazul ini ial i după aplicarea politicii de stabilizareKț ș

Documents

C2 Sisreme Dinamice Continue 2