Slide 2 / 250 7mo Grado Matemática Sistema Numérico

New Jersey Center for Teaching and Learning

Iniciativa de Matemática Progres iva®

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7mo Grado Matemática

Sistema Numérico

www.njctl.org

2013-01-28

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Sistema Numérico- Tabla de contenidos

· Sistema Numérico, Opuestos y Valor Absoluto· Comparar y Ordenar Números Racionales · Sumar Números Racionales· Convertir la Sustracción en Adición· Sumar y Restar Números Racionales - Revisión · Multiplicar Números Racionales· Dividir Números Racionales· Operaciones con Números Racionales· Convertir Números Racionales a Decimales

Common Core Standards: 7.NS.1, 7.NS.2, 7.NS.3

Click en el tema para ir a esa sección

· Glosario

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Vínculos a las preguntas de muestra PARCC

Final del año

Performance en base a las evaluaciones

Calculadora N° 5

Sin calculadora N° 4





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Algunas veces, cuando restas fracciones, encuentras que no puedes hacerlo porque el primer numerador es menor que el segundo! Cuando esto sucede, necesitas reagrupar para formar un número entero.

¿Cuántos tercios es en un entero?

¿Cuántos quintos hay en un entero?

¿Cuántos novenos hay en un entero?

Las palabras del vocabulario están indentificadas con un subrayado de guiones.

El subrayado está vinculado al glosario al final de la presentación. Estas palabras pueden ser impresas para

armar una "pared de palabras".

(Haz click sobre el subrayado.)

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Volver al tema

FactorUn número entero que puede dividir a

otro número sin dejar resto

15 3 5

3 es un factor de 15 3 x 5 = 15

3 y 5 son factores de 15

1635 .1R

3 no es un factor de 16

4

Un número entero que multiplicado con otro número forma un tercer

número

El cuadro tiene 4 partes

Vocabulario1

Su significado 2

Ejemplos/ Contraejemplos Vínculo para volver a la

página del tema.

(Cómo se utiliza en

esta lección)

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Sistema Numérico, Opuestos y Valor

Absoluto

Volver a la tabla de contenidos

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1 ¿Sabes lo que es un número entero?

Sí

No

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Sistema Numérico

0.22Enteros

positivos o

Naturales1,2,3...

Cero

0

Enteros negativos

...-4, -3, -2, -1

Racionales

1/5

5/2

8.3

-2.756

-3/4

1/3

-1/11

Reales

Irracionales

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{...-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}

Definición de Entero:

Es el conjunto de números naturales positivos, sus opuestos y el cero.

Define Entero

Ejemplos de Números Enteros:

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Definición de Racional:

Un número que puede ser escrito como una fracción simple.

(Conjunto de números enteros y decimales que se repiten o finalizan)

Define Racional

0, -5, 8, 0.44, -0.23,

Ejemplos de números racionales:

9 , ½

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entero racional irracional

Clasifica cada número tan específico como sea posible:

Entero, Racional o Irracional

5

-6

0

-21

-65

13.2

-6.32

9

2.34437 x 103

½ ¾

3¾π5

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-1 0-2-3-4-5 1 2 3 4 5

Números Racionales en una Recta Numérica

NúmerosNegativos

Números Positivos

Los números a la izquierda de cero son más chicos que cero

Los números a la derecha del cero son más grandes que el cero

El cero no es ni negativo nipositivo

`

Cero

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-5 0

-3.212

12

4

5

-106

192

5.9

-1.12.9

16

¿Cuáles de los siguientes son ejemplos de enteros?(Tilda todos los enteros)

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2 ¿Cuales son ejemplos de números racionales?

A

B -3C 10D 0.25E 75%

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Los Números en nuestro Mundo

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Puedes escuchar "Y el mariscal de campos es tacleado por una pérdida de 5 yardas ."

Esto puede ser representado por un número entero: -5

O, "El total de nieve caída este año ha sido 6 pulgadas más que lo normal."

Esto puede ser representado por un número entero: +6 o 6

Los números pueden representar situaciones

cotidianas

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¿Puedes pensar alguna más?

Palabras que representan enteros negativos o positivos. ganado

incremento

arriba más

depósito

menos

perder

debajoabajo

disminuciónretirar

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La abuela de Nico le depositó 20 dólares en su cuenta bancaria. ¿Como representaríamos a ese entero?

Un tiburón nada a 30 pies por debajo del nivel del mar. ¿Cómo representaríamos a ese entero?

20

-30

click

click

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1. Gastos $6.75

2. Ganancia de 11 libras

3. Depósito de $700

4. 10 grados bajo cero

5. pies sobre el nivel del mar

Escribe un número que represente cada situación:

Res

pues

ta

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3 ¿Cuál de los siguientes números representa mejor la siguiente situación?

El efecto en tu billetera cuando gastas $10.25.

A -10.25B 10.25C 0D +/- 10.25

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Ganas $50 sacando nieve con la pala.

A -50B 50C 0D +/- 50

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Te sumerges para explorar un barco hundido.

A

B

C 0

D

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Las fracciones y el signo negativo

Cuando tenemos una fracción negativa, el signo negativo puede estar en diferentes lugares.

Todos los siguientes tienen negativa una mitad.

¿Por qué son todos negativos?

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Las fracciones y el signo negativo

Estas dos fracciones son positivas.

¿Por qué ambas son positivas?

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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Los números -4 y 4 son mostrados en la recta numérica.

Los dos números están 4 unidades del 0, pero 4 está a la derecha del 0 y -4 está ala izquierda.

Los números -4 y 4 son opuestos.

Los opuestos son los números que están a la misma distancia del cero.

Opuestos

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9 ¿Cuál es el opuesto de -7?

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10 ¿Cuál es el opuesto de -3/2? Los alumnos escriben sus respuestas aquí

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11 ¿Cuál es el opuesto de 18.2?

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¿qué sucede cuando sumas dos opuestos?

Veamos...

Un número y su opuesto tiene como resultado cero.

Los números y sus opuestos son llamados sumatoria inversa

Mueve para ver la respuesta

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Jeopardy

Los números enteros son usados en programas de juegos.

En el juego Jeopardy tú:· ganas puntos por una respuesta correcta· pierdes puntos por una respuesta incorrecta· puedes tener un puntaje positivo o negativo

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Cuando un participante obtiene $100 por una respuesta correcta: Puntaje = $100

Luego responde de manera incorrecta una pregunta de $50: Puntaje = $50

Luego responde de manera incorrecta una pregunta de $200: Puntaje = -$150

¿Cómo se convierte el puntaje en negativo?

Vamos a ver...

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Organicemos nuestras ideas...

Cuando un participante obtiene

100 $ pregunta correcta

Luego $50 pregunta incorrecta


Preguntas Respondidas

RepresentaciónNúmeros Enteros

Nuevo Puntaje

100 Correcta

50Incorrecta

200 Incorrecta

-50

100 100

50

-150-200

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Pregunta Respondida

Representación Número Entero

Nuevo Puntaje

150 Incorrecta

50Incorrecta

200 Correcta

-50

-150 -150

-200

0200

Ahora lo intentas tú...


150 $ pregunta correcta


Luego $200 pregunta correcta

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Preguntas Respondidas

RepresentaciónNúmeros Enteros

Nuevo Puntaje

Ahora lo intentas tú...


$ 50 pregunta incorrecta

Luego $ 150 pregunta correcta


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12 Después de las 3 respuestas siguientes ¿cuál sería el puntaje obtenido por el participante?

$100 incorrecta $200 correcta$50 incorrecta

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$200 correcta$50 correcta $300 incorrecta

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$150 incorrecta$50 correcta $100 correcta

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$50 incorrecta$50 incorrecta $100 incorrecta

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$200 correcta$50 correcta $100 incorrecta

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· Los números enteros son los positivos, el cero y sus opuestos.

· Un número racional es un número que puede ser escrito como una fracción simple.

· Un número irracional es un número que no puede ser escrito como una fracción simple.

· Una recta numérica tiene números negativos a la izquierda y positivos a la derecha.

· El cero no es ni negativo ni positivo

· Los números pueden representar situaciones cotidianas

Revisión

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Valor Absoluto de los NúmerosEl valor absoluto es la distancia de un número del cero, sin importar su dirección.

La distancia y el valor absoluto son siempre no negativos (positivo o cero)

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

¿Cuál es la distancia desde 0 a 5?

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

¿Cuál es la distancia desde 0 a -5?

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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

El valor absoluto se simboliza con dos barras verticales

4

¿Cuál es el 4 ?

Esto se lee, "el valor absoluto de 4"

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Recuerda

1 2 3 4 50-1-2-3-4-5

La suma de un número y su opuesto es igual a cero. De manera que ....

En la recta numérica, un número y su opuesto están a igual distancia de cero.

(Los números opuestos están en los lados opuestos de cero)

12341 2

34

-4 es 4 "saltos" desde 0 4 es 4 "saltos" desde cero

Tanto -4 como 4 están a la misma distancia de cero

click

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-4 = 4

-9 = 9

= 9.6|9.6|

Usa la recta numérica para encontrar el valor absoluto.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Mueve para

Verificar

Mueve para

verificar

Mueve para

Verificar

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17 Calcula

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-818 Calcula

Slide 51 / 250

19 ¿Cuál es el ?

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20 ¿Cuál es el ?

Res

pues

ta

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21 Calcula

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22 ¿Cuál es el valor absoluto del número que aparece en el generador?

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23 ¿Cuál de estos números tienen al 15 como su valor absoluto?

A -30B -15C 0D 15E 30

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24 ¿Cuál de estos números tienen al 100 como su valor absoluto?

A -100B -50C 0D 50E 100

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Comparar y Ordenar Números Racionales


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Para comparar números racionales, traza los puntos sobre la recta numérica.

Los números que se encuentra a mayor distancia a la derecha son mayores .

Los números que se encuentra a mayor distancia a la izquierda son los más pequeños .

Usa la recta numérica

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

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Coloca los números en el lugar correcto de la recta numérica.

4

-45

-3

-2

30

2 -5

-1

1

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4-4 5-3 -2 30 2-5 -1 1

Ahora:

¿Cuál es el número entero más grande?

¿Cuál es el número entero más pequeño?

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4-4 5-3 -2 30 2-5 -1 1

¿Dónde se colocan los números racionales en la recta numérica?

Pasa a la pizarra y escribe los siguientes números en la recta numérica:

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Ubica estos números en la recta numérica.

-3

¿Qué número es el más grande? Y el más pequeño?

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Comparar Números Positivos

Los números pueden ser igual a; menos que; o más que otro número.

Los símbolos que usamos:

Igual a "=" menos que "<" más grande que ">"

Por ejemplo:

4 = 4 4 < 6 4 > 2

Cuando usamos < o >, recuerda que la parte más pequeña señala al número más pequeño

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25 10.5 es ______ 15.2.

A =B <C >

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26 7.5 es ______ 7.5

A =B <C >

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27 3.2 es ______ 5.7

A =B <C >

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Comparar Números Negativos

Mientras más grande es el valor absoluto de un número negativo, más pequeño es el número. Esto es debido a que está más lejos del cero, pero en una dirección negativa.

Por ejemplo:

-4 = -4 -4 > -6 -4 < -2

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Recuerda que el número que se encuentra más lejos a la derecha de una recta numérica es el más grande.

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Comparar Números Negativos

Una forma de pensar en ellos es en término de dineroPrefieres tener $20 que $10.

Pero prefieres deberle a alguien $10 y no $20.

Deber dinero puede ser pensado como tener una cantidad negativa de dinero, ya que necesitas tener ese dinero de vuelta para estar en cero.

Por lo tanto deber $10 puede ser representado como -$10.

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28 -4.75 ______ -4.75

A =B <C >

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29 -4 ______ -5

A =B <C >

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

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30

A =B <C >

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31 -14.75 es ______ -6.2

A =B <C >

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32 -14.2 es ______ -14.3

A =B <C >

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Comparar todos los números

Cualquier número positivo es mayor que cero o cualquier número negativo.

Cualquier número negativo es menor que cero o cualquier número positivo.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

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Arrastra el símbolo de desigualdad correcta entre los pares de números:

1) -3.2 5.8

3) 63 36

5) -6.7 -3.9

7) -24 -17

9) -8.75 -8.25

2) -237 -259

4) -10.2 -15.4

6) 127 172

8)

10) -10 -7

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35

A =B <C >

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36

A =B <C >

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37

A =B <C >

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Un termómetro puede ser visto como una recta numérica vertical. Los números positivos están sobre el cero y los negativos debajo del cero.

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0

Ans

wer

Si la temperatura leída en un termómetro es 90, ¿cuál será la nueva lectura si la temperatura:

desciende 3 grados?

aumenta 2 grados?

desciende 9 grados?

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39 Si la temperatura que se lee en el termómetro es 10℃, ¿Cuál sería la nueva lectura de la temperatura si la temperatura desciende 5 grados?

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40 Si la temperatura que se lee en el termómetro es 10℃, ¿Cuál sería la nueva lectura de la temperatura si desciende 12 grados?

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41 Si la temperatura que se lee en el termómetro es -3℃, ¿Cuál sería la nueva lectura de la temperatura si desciende 3 grados?

Slide 87 / 250

42 Si la temperatura que se lee en el termómetro es -3℃, ¿Cuál sería la nueva lectura de la temperatura si aumenta 5 grados?

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43 Si la temperatura que se lee en el termómetro es -3℃, ¿Cuál sería la nueva lectura de la temperatura si desciende 12 grados?

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Sumar Números Racionales


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Símbolos

Usaremos "+" para indicar adición y "-" para sustracción.

Los paréntesis son usados para mostrar las cosas más claramente. Por ejemplo, si queremos sumar -3 a 4 escribiremos: 4 + (-3), lo cual es más claro que 4 + -3.

O si queremos restar -4 de -5 escribiremos:-5 - (-4), lo cual es más claro que -5 - -4.

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Mientras que el título de esta sección es "Adición" vamos a aprender aquí como sumar y restar usando la recta numérica.

La adición y la sustracción son operaciones inversas (tienen el efecto opuesto). Si sumas un número y luego le restas el mismo número no has cambiado nada.

La adición deshace a la sustracción y viceversa.

Adición: Un paseo sobre la línea recta.

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1. Comienza en el cero2. Anda el número de pasos indicado para el primer número.3. Anda el número de pasos indicado para el segundo número. 4. Estás parado sobre la respuesta.

Adición: Un paseo sobre la línea recta.

Reglas para la dirección· Ir a la derecha para números positivos.· Ir a la derecha para números negativos.· Ir en la dirección opuesta cuando resta, en vez de sumar, al segundo número.· Restar un número negativo significa que te desplazas a la derecha: ya que es el opuesto de moverse a la izquierda.

Así es como funciona.

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Marquemos 3 + 4 sobre la recta numérica.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

1. Comienza en el cero 2. Anda el número de pasos indicado para el primer número.3. Toma el número de pasos indicado para el segundo número. 4. Estás parado sobre la respuesta.

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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

· Ve a la derecha por números positivos


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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10



Slide 96 / 250

Marquemos -4 + (-5) sobre la recta numérica.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10


Slide 97 / 250

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10


· Ve a la izquierda por números negativos

1. Comienza en el cero 2. Anda el número de pasos indicado para el primer número.3.Toma el número de pasos indicado para el segundo número. 4. Estás parado sobre la respuesta.

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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10




Slide 99 / 250

Marquemos 5 + -7 sobre la recta numérica

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10


Slide 100 / 250

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Marquemos 5 + -7 sobre la recta numérica.



Slide 101 / 250

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Marquemos 5 + -7 sobre la recta numérica.


1. Comienza en el cero 2. Camina el número de pasos indicado para el primer número.3. Toma el número de pasos indicado para el segundo número. 4. Estás parado sobre la respuesta.

Slide 102 / 250

Marquemos -4 + 9.5 sobre la recta numérica

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10


Slide 103 / 250

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10




Slide 104 / 250

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10



1. Comienza en el cero 2. Camina el número de pasos indicado para el primer número.3. Toma el número de pasos indicado para el segundo número. 4. Estás parado sobre la respuesta.

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Adición: Usando el Valor Absoluto

Puedes sumar siempre usando la recta numérica.

Pero si analizamos nuestros resultados, podemos ver como llegamos al mismo resultado sin tener que dibujar la recta numérica.

Logramos las mismas respuestas, pero más fácil.

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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

3 + 4 = 7

-4 + 9.5 = 5.5

5 + (-7) = -2

-4 + (-5) = -9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

Podemos ver algunos patrones que nos permite crear reglas para llegar a este resultado sin tener que graficar.

Adición: Usando Valores Absolutos

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Para sumar enteros con el mismo signo 1. Suma el valor absoluto de los números racionales. 2. El signo permanece igual.

(Igual signo, calcula el resultado)

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-103 + 4 = 7

-4 + (-5) = -9 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

3 + 4 = 7; los dos signos son positivos; por lo tanto 3 + 4 = 7

4 + 5 = 9; los dos signos son negativos; por lo tanto -4 + (-5) = -9

Adición: Usar Valor Absoluto

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Interpretando la estrategia del Valor Absoluto

La razón por la que la estrategia del valor absoluto funciona, si los signos de los números enteros son iguales es:

El valor positivo es la distancia que caminas en una dirección, positiva o negativa.

Si los dos números tienes el mismo signo, las distancias se sumarán, ya que los dos te están pidiendo que viajes por la misma dirección.

Si caminas un kilómetros al oeste y luego dos kilómetros más, estarás a tres kilómetros al oeste de donde comenzaste.

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Para sumar dos números enteros con diferentes signos 1. Encuentra la diferencia del valor absoluto de los números enteros 2. Mantiene el signo del número entero que tenga el mayor valor absoluto.

(Diferente signos, encuentra la diferencia)

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-4 + 9.5 = 5.5

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-105 + (-7) = -2

9.5 - 4 = 5.5; 9.5 > 4, y 9.5 es positivo; por lo tanto -4 + 9.5 = 5.5

7 - 5 = 2; 7 > 5 y 9 es negativo; por lo tanto 5 + (-7) = -2

Adición: Usar Valor Absoluto

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Si los signos de los números enteros son diferentes:

Para el 2do tramo de tu viaje viajarás en la dirección opuesta que en el 1er tramo, deshaciendo alguna parte del viaje original. La distancia total en la que te encuentras del punto del partida será la diferencia entre las dos distancias.

El signo de la respuesta debe ser el mismo que el del número mayor, ya que es la dirección por donde has viajado más.

Si caminas un kilómetro al oeste y luego dos kilómetros al este, estarás una kilómetro al este del punto de partida.

Interpretar la Estrategia del Valor Absoluto

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Sumar Números Racionales:

Para sumar números enteros con el mismo signo: 1. Suma el valor absoluto. 2. El signo permanece igual.

(Mismo signo, calcula la suma)

Para sumar números enteros con diferente signo: 1. Encuentra la diferencia del valor absoluto de los números enteros. 2. Mantén el signo del número entero con el valor absoluto mayor.

(Diferentes signos, calcula la diferencia)

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44

11 + (-4) =

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45

-4 + (-4) =

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46

17 + (-20) =

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47

-15 + (-30) =

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48

-5 + 10 =

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49

-9 + (-2.3) =

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50

5.3 + (-8.4) =

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51

4.8 + (12.6) =

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52

-14.3 + 7.93 =

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53

Res

pues

ta

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54

Res

pues

ta

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55

Res

pues

ta

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Convirtiendo la Sustracción en

AdiciónVolver a la tabla de contenidos

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Restando Números

Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto.

(Suma en una recta,cambia el signo del segundo número)

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Restando NúmerosRestar un número es lo mismo que sumar su opuesto.

Podemos ver esto en la recta numérica, recordando nuestra reglas de direcciones. Compara estos dos problemas: 8 - 5 y 8 + (-5).

Para "8 - 5" nos movemos 8 pasos a la derecha y luego 5 a la izquierda, ya que el signo negativo nos dice que nos movamos en la dirección opuesta que sería para +5.

Para "8 - 5" nos movemos 8 pasos a la derecha y luego 5 a la izquierda, ya que estamos sumando -5.

De cualquier manera terminamos con un resultado de +3.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

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Restando NúmerosCompara estos dos problemas: 8 - (-2) y 8 + 2.

Para "8 - (-2)" nos movemos 8 pasos a la derecha, luego 2 a la derecha, ya que el signo negativo nos dice que nos movamos en la dirección opuesta que sería de -2.

Para "(8 + 2)" nos movemos 8 pasos a la derecha, luego 2 a la derecha, ya que estamos sumando 2.

De cualquier manera terminamos con un resultado de +10.

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

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Restando Números

Cualquier sustracción puede ser transformada en adición:

· Cambiando el signo de sustracción a adición.

· Cambiando el número entero después del signo de sustracción a su opuesto

EJEMPLOS:

5 - (-3) es lo mismo que 5 + 3

-12 - 17 es lo mismo que -12 + (-17)

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56 Convierte el problema de sustracción en uno de adición.

8 – 4

A -8 + 4B 8 + (-4)C -8 + (-4)D 8 + 4

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-3.7 - (-10.1)

A -3.7 + 10.1

B 3.7 + (-10.1)

C -3.7 + (-10.1)

D 3.7 + 10.1

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A

B

C

D

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A

B

C

D

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1 - 9

A -1 + 9B 1 + (-9)C -1 + (-9)D 1 + 9

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61 ¿Qué expresiones son equivalentes a ?

A

B

C

D

E

F

From PARCC sample test

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http://practice.parcc.testnav.com/#

RevisiónSumar y Restar Números

Racionales


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62 Calcula.

-6 – 2

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63 Calcula.

5 + (-5)

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64 Calcula.

-10.5 + 6.2

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65 Calcula.

7.3 – (-4)

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66 Calcula.

Res

pues

ta

B

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67 Calcula.

9.27 + (-8.38)

Slide 142 / 250

68 Calcula.

-4.2 + (-5.9)

Slide 143 / 250

69 Calcula.

-2 – (-3.95)

Slide 144 / 250

70 Calcula.

5 - 6 + (-7)

Slide 145 / 250

71 Calcula.

19 + (-12) - 11

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72 Calcula.

-2.3 + 4.1 + (-12.7)

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73 Calcula.

-8.3 - (-3.7) + 5.2

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74 Calcula.

Res

pues

ta

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75 Se grafica dos números, n y p sobre la recta numérica que se muestra abajo

Los números n-p, n+p y p-n se graficarán sobre la recta. Selecciona una expresión de cada grupo para hacer esta declaración cierta.

El número con el menor valor absoluto es__________

El número con el mayor valor absoluto es__________A n - p B n + p C p - n D n - p

E n + p F p - n


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Multiplicando Números Racionales


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Símbolos

En el pasado, se usaba "x" para indicar multiplicación. Por ejemplo, "3 veces 4" se escribía 3 x 4.

Sin embargo, esto será un problema en el futuro ya que la letra "x" se usa en álgebra como una variable variable.

Hay dos formas para indicar multiplicación: 3 veces 4 será escrito como 3∙4 o 3(4).

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Paréntesis

El segundo método para mostrar multiplicación, 3(4), es poner al segundo número en paréntesis.

Los paréntesis son usados también para otros propósitos. Si queremos sumar -3 a 4 lo escribiremos como 4 + (-3), el cual es más claro que 4 + -3.

Además, cualquier operación que esté en un paréntesis se hace primero. La forma de escribir que queremos restar 4 de 6 y luego dividirlo por 2 sería (6 - 4) ÷ 2 = 1. Sacando el paréntesis quedaría 6 - 4 ÷ 2 = 4, por que trabajamos de izquierda a derecha.

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Multiplicar Números Racionales

La multiplicación es solo una forma rápida de escribir adiciones repetidas.

Estas formas son equivalentes:

3·43 +3 + 3 + 3 4 + 4 + 4

todas son igual a 12.

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Sabemos como sumar en una recta numérica.

Hagamos lo mismo con la multiplicación solo agregando adiciones repetidas.

Para hacer eso, comenzaremos en cero y luego seguir sumando: 3+3+3+3 o 4+4+4.

Deberíamos obtener el mismo resultado de cualquiera de las dos maneras, 12.


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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3

Hagamos 4 x 3 en la recta numérica.

11 1312 14 16 1715

Lo haremos como 3+3+3+3 y como 4+4+4

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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3 11 1312 14 16 1715

Hagamos 5 x 2 en la recta numérica.

Hazlo así 5+5 y así 2+2+2+2+2

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Multiplicar Números Negativos

Usemos la misma estrategia para determinar las reglas para multiplicar números negativos.

Si tenemos 4 x (-3) lo podemos pensar como (-3) sumado a si mismo 4 veces. Pero no sabemos que pensar de sumar 4 a si mismo -3 veces, por lo tanto lleguemos a una respuesta de este modo:

4 x (-3) = (-3)+(-3)+(-3)+(-3)

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10 2 3-17 -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-13-15-16 -14 -12

4 x (-3) Sobre la recta numérica

4 x (-3) = (-3)(-3)(-3)(-3)(-3)

Entonces podemos ver que 4 x (-3) = -12

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4∙34 + 4 + 412

4(-3)(-3) + (-3) + (-3)-12

Multiplicar números positivos tiene un valor positivo.

Multiplicar un número negativo y uno positivo tiene un valor negativo.

¿Qué sucede si multiplicamos dos números negativos?, ¿cuál es el signo de (-4)(-3)?

Reglas de Signos para Multiplicar Números Racionales

?

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No podemos sumarle algo a si mismo un número negativo de veces; no sabríamos lo que significa.

Pero podemos pensar en nuestra regla, en donde un signo (-) nos dice que invirtamos la dirección.

Si pensamos en (-4)(-3) como -(4)(-3) podemos ver que la respuesta será el positivo de (-12):12

Cada signo negativo nos hace invertir la dirección una vez, por lo tanto dos multiplicados negativos nos hace volver a la dirección positiva.

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4∙34 + 4 + 412

4(-3)(-4) + (-4) + (-4)-12

Multiplicar números positivos nos da un resultado positivo.

Multiplicar un número negativo y uno positivo nos da un resultado negativo

Multiplicar dos números negativos nos da un resultado positivo.

(-4)(-3)-((-4) + (-4) + (-4))-(-12)12

Reglas de Signos para Multiplicar Números Racionales

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Cada vez que multiplicas por un número negativo cambias el signo.

Multiplicar por un número negativo hace que la respuesta sea negativa.

Multiplicar dos números negativos vuelve la respuesta positiva.

1(-3) = -3 -3(-4) = 12


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Cuando multiplicamos dos números con el mismo signo (+ ó -), el producto es positivo.

Cuando multiplicamos dos números con diferente signo, el producto es negativo.

Cuando multiplicamos varios números con diferentes signos, cuenta el número de negativos.

Una cantidad par de números negativos = producto positivoUna cantidad impar de números negativos = producto negativo


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Podemos ver también estas reglas si observamos los siguientes patrones:

3(3) = 9 -5(3) = -153(2) = 6 -5(2) = -103(1) = 3 -5(1) = -53(0) = 0 -5(0) = 03(-1) = -3 -5(-1) = 53(-2) = -6 -5(-2) = 103(-3) = -9 -5(-3) = 15

2.5(3) = 7.5 -3.1(3)(-2) = 18.32.5(2) = 5 -3.1(2)(-2) = 12.42.5(1) = 2.5 -3.1(1)(-2) = 6.22.5(0) = 0 -3.1(0)(-2) = 02.5(-1) = -2.5 -3.1(-1)(-2) = -6.22.5(-2) = -5 -3.1(-2)(-2) = -12.42.5(-3) = -7.5 -3.1(-3)(-2) = -18.3


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76 ¿Cuál es el valor de (-3)(-9)?

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77 ¿Cuál es el valor de 5(-4.82)?

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78 ¿Cuál es el valor de (-3.2)(-6.4)?

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79 ¿Cuál es el valor de (-5.12)(-9)?

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80 ¿Cuál es el valor de -2(-7)(-4)?

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81 Calcula

Res

pues

ta

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82 Calcula

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83 Juana entró a un concurso de pastelería. Usa 3.1 onzas de harina para hacer un rollo de canela. ¿Cuántas onzas de harina necesita para hacer 7 rollos de canela? Los alumnos escriben sus respuestas aquí

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84 Tim está enviando 4 cajas de remeras. Cada caja pesa 6.3 libras. Si por cada libra de envío paga 5.20 . ¿Cuánto tiene que gastar? Los alumnos escriben sus respuestas aquí

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Dividiendo Números Racionales


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Símbolos de la División

Quizás la mayoría de las veces has usado el símbolo"÷ " para mostrar una división.

También representaremos a la división como fracción.Recuerda: 9 9÷ 3 = 33

son dos maneras de representar la división.

= 3

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Dividir Números Racionales

La división es el opuesto de la multiplicación, como la sustracción de la adición.

Cuando divides un número, por otro número, estás tratando de averiguar cuántos tendrías que sumar del segundo número para obtener al primer número.

Por ejemplo, 5∙2 = 10, significa que podría dividir 10 en 5 grupos de 2, o 2 grupos de 5.

Estos es lo que hacemos en la recta numérica con la multiplicación, pero para atrás.Tratemos 10 ÷ 2

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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3 11 1312 14 16 1715

Hagamos 10 ÷ 2 sobre la recta numéricaEsto significa cuántas largos de 2 se necesitarían para sumar 10.

La respuesta es 5: el número de flechas rojas de 2 de largo, de punta a punta, nos da un largo total de 10.

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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3 11 1312 14 16 1715

Hagamos 10 ÷ 5 sobre la recta numéricaEsto significa cuántos largos de 5 se necesitarían para sumar 10.

La respuesta es 2: el número de flechas verde de 5 de largo, de punta a punta, da un total de 10.

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10 2 3-17 -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-13-15-16 -14 -12

-12 ÷ 3 sobre la recta numérica

Esto se puede leer como cuántos pasos de 3 necesitaríamos para llegar a -12.

Cada flecha roja representa un paso de 3, entonces podemos ver que -12 ÷ 3 = -4 (la

respuesta es negativa por que los pasos están a la izquierda)

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-15 ÷ 3 = -5

Sabemos que -5(3) = -15, por lo tanto tiene sentido que -15 ÷ 3 = -5.

También sabemos que 3(-5) = -15. Entonces, cuál es el valor de -15 ÷ -5

El valor debe ser 3 positivo, por que 3(-5) = -15

-153 = -5

Dividir Números Racionales

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El cociente de dos números positivos es positivo.

El cociente de un número positivo y uno negativo es negativo.

El cociente de dos números negativos es positivo.

Cuando dividimos varios números con diferentes signos, cuenta el número de negativos. Una cantidad par de números negativos = cociente positivo Una cantidad impar de números negativos = cociente negativo

Dividiendo Números Racionales

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85 Encuentra el resultado de 32 ÷ 4

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86 Encuentra el resultado de:

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Res

pues

ta

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92 Encuentra el valor de

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93 Pedro pone 8 autitos de juguete en una fila. Si la fila mide 16.4 metros de longitud, ¿cuál es la longitud de cada autito? Los alumnos escriben sus respuestas aquí

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94 Olivia exprimió 3/4 de galón de jugo de naranja. Dividió esta cantidad de jugo en 6 tazas. ¿Cuántos galones caben en cada taza? Los alumnos escriben sus respuestas aquí

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95 ¿En que situación el cociente de -24: 3 podría usarse para responder la pregunta?

A La temperatura de una sustancia disminuye a razón de 24 grados por minuto durante 3 minutos, ¿cuál fue el cambio total de temperatura de la sustancia?

B Un equipo de fútbol pierde 24 yardas en un juego, luego gana 3 yardas en el siguiente juego, ¿cuántas yardas en total ganó el equipo en los dos juegos?

C Julia retiro $24 de su cuenta bancaria durante 3 días. Si retiró la misma cantidad cada día, ¿en cuánto cambio la cantidad de dinero en su cuenta bancaria cada día?

D Un frasco tiene 24 galletitas. Cada chico recibe 3 galletitas. ¿Cuántos chicos hay?

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Operaciones con Números Racionales


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Cuando simplificas expresiones con números racionales, debes seguir el orden de las

operaciones mientras recuerdas las reglas para los números positivos y negativos!

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Orden de las Operaciones

ParéntesisExponentesMultiplicaciónDivisiónAdiciónSustracción

Completar al mismo tiempo...cualquiera que sea primeros...de izquierda a derecha

(TODOS los símbolos para agrupar)

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Simplifiquemos esto paso por paso...

¿Qué harías primero?

5 - (-2) = 5 + 2 = 7

¿Qué harías primero después?

(-3)(7) = -21

¿Cuál es el último paso?

-7 + (-21) = -28

-7 + (-3)[5 - (-2)]

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Simplifiquemos paso por paso...

¿Qué harías primero? ¿Qué harías primero luego?

¿Qué harías en tercer lugar? ¿Qué harías al final?

Clickpara

revelar

Clickpara

revelar

Clickpara

revelar

Clickpara

revelar

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96 Simplifica la expresión.

-12÷ 3(-4)

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97 Simplifica la expresión

[-1 - (-5)] + [7(3 - 8)]

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40 - (-5)(-9)(2)

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5.8 - 6.3 + 2.5

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100 Simplifica la expresión.

-3(-4.7)(5-3.2)

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103 Completa el primer paso para simplificar.¿Cuál es la respuesta?

[3.2 + (-15.6)] - 6[4.1 - (-5.3)]

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104 Completa el paso siguiente para simplificar.¿Cuál es la respuesta?[3.2 + (-15.6)] - 6[4.1 - (-5.3)]

-12.4 - 6[4.1 - (-5.3)]click para revelar los pasos de la diapositiva anterior

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105 Completa el siguiente paso para simplificar.¿Cuál es la respuesta?

[3.2 + (-15.6)] - 6[4.1 - (-5.3)]-12.4 - 6[9.4]

-12.4 - 6[4.1 - (-5.3)]

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106 Completa el siguiente paso para simplificar.¿Cuál es la respuesta?

[3.2 + (-15.6)] - 6[4.1 - (-5.3)]

-12.4 - 56.4-12.4 - 6[9.4]-12.4 - 6[4.1 - (-5.3)]

click para revelar los pasos de la diapositiva anterior

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Res

pues

ta

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109

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110

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111

(-4.75)(3) - (-8.3)

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Resuelve en grupo.

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¿Que te parece si resuelves esta?

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112

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113

[(-3.2)(2) + (-5)(4)][4.5 + (-1.2)]

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114

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115

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116

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117 Selecciona el número correcto de pasos para completar la ecuación

A 2B -2C 3/4D -4/3

E 2F -2G 4/3H -3/4

_____ _____


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Convertir Números Racionales en

Decimales


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Definición de Número Racional:

Un número que puede ser escrito como una fracción simple.(Conjunto de números enteros y decimales exactos o periódicos)

Para que un número sea racional, deberías ser capaz de dividir la fracción y tener un decimal exacto o periódico.

¿Te acuerdas de la definición de Número Racional?

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Usa divisiones largas!

Divide el numerador por el denominador.

Si el decimal es exacto o periódico, entonces tienes un número racional.

Si el decimal continúa infinitamente, entonces tienes un número irracional.

¿Cómo puedes convertir Números Racionales en Decimales?

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División larga Revisión

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119 Convertir a decimal

(si el número es periódico, usa la notación de barras en tu notebook pero anota el/los número(s) periódico(s) 3 veces en tu responder)

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Res

pues

ta

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Res

pues

ta

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127 Mike necesitó m de tela para arregar su sofá. ¿Cómo se puede escribir como decimal?

Los alumnos escriben sus respuestas aquí

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128 Hana anduvo en bicicleta hasta llegar a la pileta de sus vecinos. ¿Cómo se escribe esa distancia como decimal?


Slide 237 / 250

129 Kevin Durant hizo shots en el primer cuarto de las finales de la NBA. ¿Cómo se escribe esa fracción en decimal?


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130 La madre de Cora quiere mostrar como decimal. ¿Cómo se escribe en forma decimal esta fracción?


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Glosario


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Valor absoluto

Cuán lejos está un número de la recta numérica.

-2 = 22 = 2

0 1 2-2 -10 1 2-2 -1

0 = 0

0 1 2-2 -1Volver al

tema

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Volver al tema

EnterosEl cero, todos los naturales positivos y sus opuestos.

... -1, 0, 1... 35

2.3

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Volver al tema

Números irracionales

Cualquier número que no pueda formarse dividiendo un entero por

otro.

La forma decimal que un número que continúa para

siempre sin repetirse.

= 3.14159...??

(no razón).75 = 34

= 2.718281...??

(no razón)

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Opuestos

-3 y 3 -5 y 5

Dos números que están a igual distancia de cero.

-(3) = -3 -(-3) = 3

-3 y 3

Volver al tema

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Números racionales

Cualquier número que se puede formar diviendo un entero por otro.

ab .75 = 34

= 3.14159...

= ??

(no razón)

razón

Volver al tema

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Volver al tema

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Volver al tema

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Volver al tema

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Volver al tema

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Documents

Slide 2 / 250 7mo Grado Matemática Sistema Numérico