Sólidos PlatónicosSólidos Platónicos

Djanyck Loureno Damião Van-Dyck N. 5, Turma BTrabalho de Estudo de Matemática Escola Secundária Inês de Castro Junho 2013

IntroduçãoIntrodução

Este trabalho tem 4 objectivos que são:

Estudar os sólidos geométricos chamados sólidos platónicos; Perceber as características geométricas destes sólidos; Compreender porque são apenas cinco e porque foram estudados por Platão

que lhes deu o nome de platónicos; Importância da figura de Platão para a matemática e outras ciências.

Este trabalho teve como fonte de pesquisa a internet e, foram tidas varias considerações matemáticas sobre o que Platão, relativamente a forma de pensar sobre o significado dos cinco sólidos platónicos. Outros matemáticos também estudaram estes sólidos.

Para melhor compreensão dos sólidos platónicos, ilustrei algumas imagens que encontrei.

Platão foi um filósofo (homem que estuda os problemas da existência humana) e matemático do período clássico da Grécia Antiga (cerca 350 a.C.), fundador da primeira Academia de ensino superior do mundo ocidental. Pensa-se que o seu nome verdadeiro tenha sido Arístocles http://pt.wikipedia.org/wiki/Plat%C3%A3o - cite_note-alexander.diogenes.laertius.3.5-14. Platão era um nome que, provavelmente, fazia referência às suas características físicas, como o porte atlético ou os ombros largos, ou ainda a sua excelente capacidade intelectual para tratar diferentes temas.

Quem foi Platão?Quem foi Platão?

Quem foi Platão?Quem foi Platão?

• Platão nasceu em Atenas, provavelmente em 427 a.C., e morreu em 347 a.C.. Quando tinha cerca de 20 anos, conheceu o filósofo Sócrates e tornou-se seu aluno até ele morrer. A sua vida foi dedicada a estudar e a pensar questões filosóficas e tornou se também ele um mestre o que o levou a fundar uma Academia em Atenas. Escreveu textos (diálogos) que eram usados como ferramenta de ensino nas mais diversas disciplinas, como a filosofia, a lógica, a retórica (arte de usar a linguagem para comunicar) e a matemática, entre outras. De entre estes textos, destaca-se Timeu, obra escrita por volta do ano de 350 a.C., na qual Platão demonstra a existência dos chamados sólidos platónicos.

Sólidos PlatónicosSólidos Platónicos

Há um número infinito de diferentes tipos de poliedros (sólidos com faces planas), mas existem apenas cinco que são regulares e que são chamados sólidos platónicos. A sua designação foi atribuída por Platão, que os descobriu cerca de 400 a.C.. Os sólidos platónicos são poliedros – sólidos cujas faces têm a forma de polígonos – regulares – todas as faces são polígonos geometricamente iguais (chamam-se congruentes) – e todos os seus ângulos são também congruentes. Assim, um poliedro regular tem todas as suas faces congruentes, todas as suas arestas idênticas e todos os seus ângulos iguais. A existência destes sólidos já era conhecida anteriormente pelos pitagóricos (da escola de Pitágoras de Samos que foi um filósofo e matemático grego que nasceu em Samos, entre cerca de 570 a.C. e 571 a.C.) e os egípcios utilizaram alguns deles na arquitectura e noutros objectos que construíram, mas foi Platão quem observou melhor esta característica. Por isso se chamam platónicos. Platão estudou estes sólidos e demonstrou que eram os únicos sólidos com as faces todas iguais.

• Os sólidos platónicos são apenas cinco: o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro.

Sólidos PlatónicosSólidos Platónicos

HistoriaHistoria Estes sólidos foram adquirindo ao longo do tempo significados

místicos. Por exemplo, Kepler sentia uma grande admiração e reverência por eles (Porquê apenas cinco?) e chegou mesmo a explicar os movimentos planetários a partir deles. Além disso, interpretou, no Harmonices Mundi, as associações de Platão da seguinte forma:

Cubo Terra• Tetraedro• Fogo• Octaedro• Ar• Icosaedro• Água• Dodecaedro• O Universo

Modelo de KeplerModelo de Kepler• O modelo de Kepler parte de uma esfera exterior, que representa a órbita de

Saturno dentro da qual vai increvendo sucesivamente: um cubo, a esfera de Júpiter, um tetraedro, a esfera de Marte, um dodecaedro, a esfera da Terra, um octaedro e finalmente a esfera de Mercúrio.

• Também foi Johannes Kepler que procurou extraórdinárias justificações para a associação de Platão entre poliedros e os Elementos. Por exemplo, justifica a associação da terra com o cubo porque, assente sobre qualquer uma das suas bases, é o sólido de maior estabilidade. Atribui a associação entre o Universo e oDodecaedro porque este tem 12 faces tal como Zodiaco tem doze signos!!!.

• • Os cinco elementos • TETRAEDRO (Modelo do Fogo):• Sólido formado por 4 faces, triângulos equiláteros, e em cada vértice concorre 3

faces. O prefixo tetraderiva do grego e significa quatro (quatro faces). Este sólido representa o fogo, porque segundo Platão (séc. IV ac.) o átomo do fogo teria a forma de um poliedro com 4 lados (tetraedro).

• • Cubo (Modelo da Terra):• O cubo o único poliedro regular com faces quadrangulares. O cubo tem 6 faces, pelo

que também se pode chamar de hexaedro (hesa significa seis em grego).Este sólido representa a terra, porque Platão acreditava e afirmava que os átomos de terra seriam cubos, os quais permitiam ser colocados perfeitamente lado a lado, conferindo-lhes solidez.

•

• OCTAEDRO (Modelo do Ar):• As faces deste poliedro os também triângulos equiláteros, mas em cada

vértice reúnem-se quatro triângulos. É formado por 8 faces, pelo que o poliedro se chama octaedro (octa significa oito em grego). Este sólido representa o ar, porque o modelo de Platão para um átomo de ar era um poliedro com 8 faces (octaedro).

• • DODECAEDRO (Modelo do Cosmos):• O dodecaedro o único poliedro regular cujas faces os pentágonos

regulares. É formado por 12 faces, pentágonos regulares, e em cada vértice concorre 3 faces. O prefixo dodeca significa doze em grego. Este sólido representa o universo, porque para Platão o cosmos seria constituído por átomos com a forma de dodecaedros. 

• ICOSAEDRO (Modelo da Água):• Neste poliedro os cinco os triângulos equiláteros que se encontram em

cada vértice, perfazendo vinte faces. Por isso, o poliedro se chama icosaedro (icosa significa 20 em grego).Este sólido representa a água, porque Platão defendia que a água seria constituída por icosaedros.

Modelo de KeplerModelo de Kepler

• Uma curiosidade é que os sólidos platónicos têm a seguinte coincidência quando os agrupamos: o cubo tem seis faces e oito vértices e o octaedro tem oito faces e seis vértices; o dodecaedro tem doze faces e vinte vértices e o icosaedro tem vinte faces e doze vértices; o tetraedro fica sozinho mas tem o mesmo número de faces e de vértices (quatro).

HistoriaHistoria

HistoriaHistoria• Platão tentou encontrar um significado para esta curiosidade e por isso desenvolveu

uma teoria segundo a qual os quatro "elementos" - o fogo, o ar, a água e a terra - eram todos sólidos minúsculos. Platão defendia que, uma vez que o mundo só poderia ter sido feito a partir de corpos perfeitos, estes elementos deveriam ter a forma de sólidos regulares:

o fogo era o mais leve e o mais violento dos elementos, por isso deveria ser um tetraedro;

a terra era o elemento mais estável, deveria ser o cubo;

a água, o elemento mais inconstante e fluído, era um icosaedro, o sólido regular capaz de rolar mais facilmente;

quanto ao ar, Platão observou que "o ar é para a água o que a água é para o ar," e concluiu, de forma um pouco misteriosa, que o ar deve ser um octaedro;

por último e para incluir o quinto sólido regular, atribuiu ao dodecaedro a representação da forma de todo o universo.

HistoriaHistoria

• Segundo Platão, à semelhança do que acontece na ordem universal, em que o mundo inteligível comanda e é por sua vez comandado pela Ideia Suprema de Bem, enquanto tal não se der no mundo, a anarquia estará implantada no centro de cada homem e de cada sociedade. Considerado o melhor prosador grego, Platão como pensador é um dos grandes génios da humanidade. O platonismo exerceu profunda influência em Platino e nos neoplatónicos, e através deles nos Poderes gregos e em Stº Agostinho, sendo uma das constantes não só da Teologia cristã mas também da filosofia europeia.

ConclusãoConclusãoNeste trabalho estudei os sólidos platónicos e descobri como são geometricamente iguais. Estes sólidos, que são apenas cinco, têm todas as suas faces congruentes, todas as suas arestas idênticas e todos os seus ângulos iguais. Platão, que foi um importante filósofo grego, descobriu estes sólidos e demonstrou que eram apenas cinco os que tinham estas características. Por isso, Platão tentou explicar uma teoria através dos elementos da Natureza. Fiquei também a conhecer outros importantes matemáticos e como estudaram os sólidos platónicos, encontrando regras matemáticas e fórmulas para explicar a sua forma.Gostei de encontrar a explicação da existência entre a Natureza e estes sólidos e de ficar a saber um pouco da história de Platão, como por exemplo, a Academia que ele fundou e que foi a primeira escola de ensino superior e que tinha escrito na entrada:

“não entre ninguém que não saiba geometria”.

BibliografiaBibliografia

Dicionário da Língua Portuguesa, 8ª edição, Porto Editora, 1999.

Conceição, Alexandra, Almeida, Matilde, Conceição, Cristina e Costa, Rita, Matemática sob Investigação – 5º ano, parte 1, Areal Editores.Pappas, Theoni, Fascínios da Matemática, A descoberta da matemática que nos rodeia, Editora Replicação, 1995.Pereira, Maria Helena da Rocha, Estudos de História da Cultura Clássica, 5ª edição, Fundação Calouste Gulbenkian, 1980.Wells, David, Dicionário de Geometria Curiosa, Gradiva, 1991.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofiahttp://pt.wikipedia.org/wiki/Johannes_Keplerhttp://http://pt.wikipedia.org/wiki/Platão

Imagenshttp://cmup.fc.up.pt/cmup/pick/Manhas/PoliedrosPlatao2.jpghttp://farm1.static.flickr.com/94/280790074_84adcbed6f.jpg (capa)http://www.lutalivresubmission.com.br/imgs/platao.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_KQaw1cjlRQc/SqpWfPSsaEI/AAAAAAAACTA/z5UhrIdKFLM/s320/elementos+da+natureza.jpg