Statica Delle Murature 06 2012

7/23/2019 Statica Delle Murature 06 2012

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Statica delle murature

Universit degli Studi di Cagliari

Corso di Laurea Magistrale in

Conservazione dei Beni Architettonici e Ambientali

A.A. 2011-2012

Statica delle murature - A. Cazzani - Lezione 6

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Prof. ing. Antonio Cazzani

[email protected]

http://people.unica.it/antoniocazzani/sdm/

Lezione 6 Instabilit dellequilibrio di pareti murarie


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Sommario

Premessa: il collasso per instabilit

Il collasso per instabilit dovuta a parzializzazione della sezione (modello discreto conillimitata resistenza a compressione)

Effetti delleccentricit di carico

Discussione delle curve di carico P-v

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Il collasso per instabilit dovuta a parzializzazione della sezione (modello discreto conlimitata resistenza a compressione)

Le equazioni governanti

Diagramma del carico di collasso in funzione della snellezza

Il collasso per instabilit di un pilastro in muratura (modello continuo con parzializzazione

della sezione e illimitata resistenza a compressione)

Il collasso per instabilit di un pilastro in muratura (modello continuo con parzializzazionedella sezione e limitata resistenza a compressione)



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PremessaPremessa

La resistenza a trazione della muratura trascurabile rispetto a quella a compressione, e ci rende la

muratura incapace di resistere a forti momenti flettenti.

Le azioni esterne che possono indurre momenti flettenti sulle pareti sono sia i carichi orizzontali (ventoe sisma) sia, soprattutto, le eccentricit.

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Queste eccentricit sono ricorrenti e frequenti (per esempio quelle legate alla trasmissione dei carichiprovenienti dagli impalcati orizzontali) e inducono nella muratura un regime di pressoflessione che pucondurre alla crisi.

La pressoflessione, abbinata alla scarsa resistenza a trazione della muratura, produce parzializzazionedella sezione reagente con conseguente riduzione della parte attiva e un corrispondente incremento

dello stato di sollecitazione, che pu portare al collasso per instabilit della parete muraria anche sottovalori di carico inferiore a quelli previsti se si trascura questo fenomeno.

Il problema delle eccentricit particolarmente rilevante nel caso di pilastri in muratura, presenti inquasi tutte le costruzioni murarie storiche.



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Il collasso per instabilit dovuto a parzializzazione

della sezione: un modello discreto con illimitataresistenza a compressione (1/8)

Modello discreto (1 g.d.l.) costituito da:

Elemento rigido di lunghezza l;

Concio deformabile di altezza a= l (< 1), sezionerettangolare b t (con t= 1);

Materiale Non Resistente a Trazione (NRT), ma conillimitata resistenza a compressione;

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Elemento rigido verticale, e su esso agisce la forza Pcon eccentricit e;

Si vuole determinare la curva carico- spostamento, P - v


Legame sforzo deformazione per unmateriale elastico NRT dotato diillimitata resistenza a compressione.

Modello a 1 g.d.l. di un pilastro inmateriale NRT: il concio di base

lunico elemento deformabile.(Immagini tratte da Olivito, op. cit.)


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Caso 1: v/b 1/6 sezione del concio interamente reagente (non parzializzata)

La retta dazione del carico P interna al nocciolo centrale dinerzia della sezione del conciodeformabile e tutta la sezione risulta sollecitata a compressione.

Deformazioni e tensioni nel concio sono quelle indicate.

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Per piccoli spostamenti si assume tan sin ; cos 1, come segue da uno sviluppo in serietroncato ai termini del primo ordine in .


Diagramma delle deformazioni e degli sforzi per un concio con sezione interamente reagente.(Immagine tratta da Olivito, op. cit.)


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Da considerazioni geometriche si ricava:

= a (1-2)/b = 1/E(1 -2)l/be tenendo conto degli spostamenti piccoli si trova:

v= ecos + lsin = e+ l = e + (/E)(l 2/b)(1 -2).

Le uilibrio nella confi urazione deformata dellelemento ri ido richiede che il momento instabilizzante

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dovuto al carico P e quello stabilizzante prodotto dal concio deformabile si bilancino; ne segue:Pv= (1 -2)(b

2t/12)

e se si elimina il termine (1 -2) si perviene allequazione:

Pv= (v e)[b 3E/(12 l 2)]. [1]

Per eccentricit nulla, la [1] pu essere scritta nella forma equivalente:

[P (b 3E/(12 l 2))]v= 0,

dove, se si definisce

PE= b3E/(12 l 2), [*]

si ottiene:

(P PE )v= 0,



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Cio PE risulta essere il carico critico di Eulero della struttura: per P < PE deve essere v= 0, mentre

quando si ha P=PE lo spostamento v diviene illimitato.

In presenza di eccentricit enon nulla, la [1] fornisce:

Pv= PE(v e),

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P/ PE = 1 e/v [2]significativa solo quando v/b 1/6.

La [2] fornisce la riduzione della capacit portante nei confronti del carico critico al variare dellaeccentricit iniziale equando il concio deformabile interamente reagente.



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Caso 2: v/b 1/6 sezione del concio non interamente reagente (parzializzata)

La retta dazione del carico P esterna al nocciolo centrale dinerzia della sezione del concio deformabile per un materiale NRT la sezione si parzializza: a deformazioni di dilatazione corrispondono sforzi nulli,mentre a deformazioni di contrazione corrispondono sforzi di compressione.

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Deformazioni e tensioni nel concio sono quelle indicate.

Le condizioni di equilibrio delle forze verticali e dei momenti permettono

di valutare lampiezza della sezione reagente:

= 3 (b/2 v).

Con considerazioni di tipo geometrico si ottiene:

= a1/=l 1/= (/E) 1l/[3 (b/2 v)]

e tenendo conto degli spostamenti piccoli si trova:

v= ecos + lsin = e+ l = e + (/E) 1l2/[3 (b/2 v)].

mentre per equilibrio si ricava:

P = (3/2)1(b/2 v). [3]


Diagramma delle deformazionie degli sforzi per un concio consezione parzializzata.

(Immagine tratta da Olivito, op. cit.)


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Dallequazione [3], se si tiene conto della definizione [*], si

pu ottenere:P/ PE = (27/2) (v/b e/b)[1 (2v/b)]2 [4]

che fornisce la riduzione della capacit portante dellastruttura nei confronti del carico critico al variare dellaeccentricit iniziale equando il concio deformabile

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La [2] e la [4] consentono di tracciare le curve caricospostamento P v (che conviene tracciare in una formaadimensionale, P/PE v/b) per diversi valori dellaeccentricit iniziale, e, a sua volta adimensionalizzata nellaforma e/b .


Curve carico-spostamento (informa adimensionalizzata) peril modello a 1 g.d.l. del pilastroin muratura.



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Osservazioni:

Se e/b 1/6, la [2] e la [4] si raccordano con regolarit (funzione continua con la derivata prima)per v/b= 1/6.

Se e/b 1/6 vale sempre e solo la [4].

In ogni caso il valore di v non pu mai superare il valore b/2, in corrispondenza del quale P = 0,in quanto, diversamente, non sussisterebbe pi lequilibrio.

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Se e= 0 si in presenza di carico centratoe il modello resta inizialmente indeformato; per per

P = PEsi ha sbandamento laterale a carico costante di ampiezza qualsiasi (ma non superiore alvalore v= b/6, raggiunto il quale si ha parzializzazione della sezione e conseguente riduzione delcarico massimo sopportabile).

Se e 0 le curve presentano un massimo (sempre laddove vale la [4]) in corrispondenza delvalore:

v/b = 1/6[1+ 4 (e/b)],che fornisce questo valore di carico critico effettivo:

Pcr/PE= [1 2 (e/b)]3,

corrispondente al carico critico del modello, tanto minore di PE quanto maggiore leccentricitiniziale del carico.



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Se il materiale possedesse anche resistenza a trazione non si avrebbe mai parzializzazione della

sezione, la risposta sarebbe sempre fornita dalla [2], che varrebbe anche per valori di v > b/2.Le curve non presenterebbero un massimo ma tenderebbero asintoticamente al valore PE..

Loccorrenza del fenomeno dellinstabilit per valori inferiori al carico critico originato dallaparzializzazione della sezione dovuta al fatto che si adottata lipotesi di materiale NRT.

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Curve carico-spostamento (in

forma adimensionalizzata) per ilmodello a 1 g.d.l. del pilastro inmuratura: confronto fra il casodi materiale NRT e il caso dimateriale resistente a trazione.(Immagine tratta da Olivito, op. cit.)


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della sezione: un modello discreto con resistenza acompressione limitata (1/6)

Lipotesi di materiale con illimitata resistenza a compressionenon realistica.

Si considera quindi che il materiale abbia una resistenza acompressione limitata, individuata dalla tensione * checorrisponde alla rottura fragile del materiale.

Si pu allora definire un carico di schiacciamento, P* come:* = * = *

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e introdurre il rapporto adimensionale fra azione assiale dischiacciamento e carico critico euleriano:

= P*/PE .


Legame sforzodeformazione

per un materiale elastico NRTdotato di limitataresistenza acompressione.

Modello a 1 g.d.l. di un pilastro inmateriale NRT: il concio di base

lunico elemento deformabile.

(Immagini tratte da Olivito, op. cit.)


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Il collasso per instabilit dovuto a parzializzazioneIl collasso per instabilit dovuto a parzializzazione

della sezione: un modello discreto con resistenza adella sezione: un modello discreto con resistenza acompressione limitata (2/6)compressione limitata (2/6)

La rottura per compressione del concio deformabile pu in alcuni

casi precedere il collasso per instabilit.

Occorre distinguere ancora i due casi di sezione interamentereagente a compressione e di sezione parzializzata.

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Nel primo caso, v b/6, tenendo conto che al lembo pisollecitato risulta 1 = * e facendo uso delle condizione

v= M/N,

dove M = (1/2)(* - 2)(b2/6); N = (1/2)(* + 2)b.

Si pu cos eliminare il valore di 2, ottenendo in condizioni dicollasso:

P = P*/[1+(6v/b)]ovvero

P/PE= /[1+(6v/b)] [5]

Lequazione [5] individua la condizione di rottura a compressionecon sezione interamente reagente, laddove la [2] ne definisce lacondizione di collasso per instabilit.


Diagramma delle deformazioni e deglisforzi per un concio con sezione nonparzializzata (interamente reagente).



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Nel secondo caso, v b/6, tenendo conto che al lembo pi

sollecitato risulta 1 = *

e facendo uso delle condizionev= M/N,

dove M = (1/2)*(3b - 2)/6; N = (1/2)*.

Si pu cos eliminare il valore di , ottenendo in condizioni dicollasso:

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P = (3/4) P*[1-(2v/b)]

ovvero

P/PE= (3/4)[1-(2v/b)] [6]

Lequazione [6] individua la condizione di rottura a compressionecon sezione parzializzata, laddove la [4] definisce la condizione dicollasso per instabilit.

Si osserva che = P*/PE =*b/ [b 3E/(12 l 2)] ovvero che

= 12(*/E)(l/b)2

pertanto questo parametro pu essere interpretato come unadefinizione della snellezza del modello.


Diagramma delle deformazioni e degli sforziper un concio con sezione parzializzata.



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Per vari valori delleccentricit iniziale si possono costruire diagrammi che forniscono il carico dicollasso, Pc (nella forma adimensionale Pc/P

*), in funzione della snellezza,.

La zona A corrisponde a rottura per compressione con la sezione interamente reagente (v b/6);la zona B corrisponde a rottura per compressione con la sezione parzializzata (v b/6);

la zona C corrisponde alla crisi per instabilit senza raggiungimento dello sforzo limite di compressione.

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Curve adimensionali carico dicollasso - snellezza per il modello a1 g.d.l. del pilastro in muratura:caso di materiale NRT aventelimitata resistenza a compressione.



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Il carico di collasso, Pc , pu corrispondere a P*, ovvero a Pcr, a seconda che il collasso

avvenga per rottura a compressione o per instabilit.

In questultimo caso si trova, come gi visto, che

Pcr/PE= [1 2 (e/b)]3.

In termini di snellezza si possono avere questi casi:

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. -

b. 2 [1 - 6(e/b)] 2 [1 - 2(e/b)]2:



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c. 2 [1 - 2(e/b)]2:

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Nel caso a.) si ha collasso per rottura a compressione quando la sezione interamente reagente;nel caso b.) il collasso per instabilit si verifica per un valore della tensione< *.

Le curve Pc/P*-hanno lo stesso significato delle curve di stabilit di aste (metalliche o di c.a.)

compresse; il rapporto Pc/P* misura la riduzione della capacit portante dovuta agli effetti

instabilizzanti associati alleccentricit di carico.



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Il collasso per instabilit di un pilastro dovuto alla

parzializzazione della sezione: un modello continuocon illimitata resistenza a compressione (1/10)

Lapproccio discreto fin qui seguito ha consentito di

determinare in modo semplice il valore numerico del caricodi collasso e di altre quantit di interesse come losbandamento in sommit di un modello di muraturaincastrato al piede.

Per avere un modello pi realistico della muratura non

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da un concio deformabile, ma occorre prendere in esame unelemento continuo nel quale tutte le sezioni si possonodeformare e parzializzare.

Il problema concettualmente analogo, ma ora governatoda equazioni differenziali (e non pi algebriche) e presentamaggiori difficolt analitiche.

Il modello costituito da una colonna incastrata al piede, diluce l, sezione trasversale rettangolare b t, costituito daun materiale elastico NRT e illimitatamente resistente acompressione, soggetto a un carico P che agisce conuneccentricit iniziale e.


Modello continuo di un pilastro in materialeNRT, nel quale tutti i conci sono deformabili.



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Considerando la configurazione deformata (inflessa) delpilastro, si possono distinguere due zone:

a. una zona (inferiore) parzialmente reagente, nellaquale le sezioni sono fessurate, di altezza h, con0 x h ;

b. una zona (superiore) interamente reagente, nellauale le sezioni sono inte re caratterizzata dalla

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condizione h x l. In questa zona leffettivaeccentricit del carico, (x), deve fornire b/6per garantire che la sezione sia interamentereagente.

Nella zona b.) lo spostamento (x) deve soddisfare laequazione della linea elastica con effetti del secondo ordine:

EI (d 2/d x 2) + P= 0 [7]dove EI la rigidezza flessionale della colonna (I= b 3t/12)e il termine (d 2/d x 2) rappresenta la curvatura della lineadasse del pilastro.





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Per ottenere lequazione differenziale che governa ilcomportamento della zona a.) si osserva che, nella zona

fessurata, la curvatura pu essere cos espressa:

(d 2/d x 2) = 1/,

dove la larghezza della parte reagente della sezione.

In base al legame elastico 1 = E1 e per lequilibrio delle

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1 t/2= P.Lequilibrio dei momenti fornisce invece = 3 (b/2 -).

Il momento dinerzia della sezione effettivamente reagentevale dunque:

I = 3t/12 = I(/b)3= I[3(b/2 -)/b]3 .

Il momento flettente riferito allasse neutro della sezione

reagente vale M = P/6 = P (b/2 -)/2.Nella zona a.) lo spostamento (x) deve soddisfare laequazione della linea elastica con effetti del secondo ordinecos modificata:

EI (d 2/d x 2) + P/6 = 0.





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Sostituendo si trova:

EI (d 2/d x 2) + Pb3/[54 (b/2 -)2] = 0. [8]

Per ogni valore del carico la deformata del pilastro, che completamente individuata dalla funzione (x) si ottieneintegrando le equazioni differenziali [7] e [8], ognuna nel suocampo di validit, soggetta alle condizioni al contorno

l = e

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(d/d x)|x=0 = 0;(0) = v.

e alle condizioni di continuit, su e su (d/d x) al confinefra la zona fessurata e la zona integra.

Se si introducono le quantit adimensionali:

p = 3 (v/b) 1/2 (spostamento massimo per x= 0);

m= 6 (e/b) (eccentricit iniziale);

l= [(Pl2)/(EI )]1/2 (intensit del carico),

e tenendo conto che, poich e v b/2 deve sempre essereverificata leguaglianza (m 1)/2 p 1, si ottengono i trecasi seguenti.





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1 m 3, cio b/6 e b/2

la retta dazione del carico P esterna al nocciolo centrale dinerzia della sezione di sommit:anche per valori di carico piccoli, tutte le sezioni risultano fessurate e vale sempre la [8].

In queste condizioni integrando lequazione differenziale e imponendo tutte le condizioni alcontorno la soluzione del tipo:

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[9]

0 m 1, cio 0 e b/6

la retta dazione del carico interna al nocciolo centrale dinerzia della sezione di sommit e vi un tratto (superiore) di pilastro interamente reagente. Per piccoli valori del carico si avr v b/6e tutto il pilastro sar reagente; al crescere del carico le fessurazioni si diffondono a partire dallabase del pilastro.



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Il collasso per instabilit di un pilastro dovuto allaIl collasso per instabilit di un pilastro dovuto alla

parzializzazione della sezione: un modello continuoparzializzazione della sezione: un modello continuocon illimitata resistenza a compressione (6/10)con illimitata resistenza a compressione (6/10)

Si distinguono due fasi:

1. (m-1)/2 p 0, cio e v b/6In queste condizioni si hanno piccoli valori del carico e la colonna risulta interamentereagente: lequazione differenziale [7] vale per 0 x l e se la si integra con lecondizioni al contorno si trova la soluzione:

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[10]

2. 0 p 1, cio b/6 v b/2

In queste condizioni si hanno valori del carico che producono fino a una quota hdalla base la parzializzazione della sezione reagente.

Pertanto per 0 x h vale lequazione differenziale [8] e per h x l vale la [7].Il valore della quota h incognito e lo si determina imponendo le condizioni alcontorno e quelle di continuit su e su (d/d x) in corrispondenza di x= h.



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La soluzione allora data dallespressione seguente:

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[11]

Le equazioni [9], [10], [11] possono essere riassunte in ununica relazione del tipo:

l= f(p, m) [12]

dove f si identifica con f1 , f2 , f3 a seconda dei valori delle variabili mep.



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Le equazioni [9], [10], [11] possono essere riportate in

grafico fornendo, in forma adimensionalizzata, il valoredel carico (l) in funzione della massima freccia (p) alvariare delleccentricit iniziale (m).

Le curve sono simili a quelle (a tratto pieno) ottenute

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.

Infatti il termine lsi pu scrivere come segue:

l= (/2)(P/PE)1/2

dove appare il valore PE= (2/4)(EI/l 2).

Questo rappresenta il carico critico Euleriano del pilastrosoggetto a carico perfettamente centrato, e dunque conle sezioni trasversali interamente reagenti per 0 x l.


Curve carico-spostamento (in forma adimensionalizzata)per il modello continuo del pilastro in muratura NRT.



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Conviene a volte utilizzare come parametro della deformazione del pilastro non la freccia massima

adimensionalizzata (p) ma la rotazione della sezione libera, definita come:= (d/d x)|x= l .

Se si valuta derivando le appropriate soluzioni delle equazioni differenziali [7] e [8] si ricavano, inluo o delle 9 10 11 le se uenti es ressioni:

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1 m 3, cio b/6 e b/2:

[13]

0 m 1, cio 0 e b/6 :

[14]

[15]



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Le equazioni [13], [14], [15], analogamente alle[9], [10], [11] possono essere riportate in graficofornendo, in forma adimensionalizzata, il valore delcarico (l) in funzione della rotazione dellestremolibero () al variare delleccentricit iniziale (m).

Il valore del carico di collasso per instabilit del

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raggiungono un massimo.

Per condizioni di vincolo alle estremit differenti daquelli qui considerati, i risultati ottenuti possonoessere ancora utilizzati pur di riferirsi aunopportuna lunghezza li (di libera inflessione ) incorrispondenza della quale la deformata del pilastrosi identifica con quella del caso considerato.

Identificata la lunghezza li corrispondente al casoda studiare, gli angoli di rotazione alle estremitsono poi ottenibili dalle equazioni [13], [14], [15].


Curve adimensionali carico-rotazione in sommit per ilmodello continuo del pilastro in muratura NRT.



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parzializzazione della sezione: un modello continuocon resistenza a compressione limitata (1/2)

Se la resistenza a compressione della muratura limitata, in analogia con quanto visto nel caso delmodello discreto, occorre tenere conto che il collasso per instabilit dovuto a parzializzazione della

sezione pu essere preceduto da una rottura fragile, quando la fibra pi sollecitata a compressioneraggiunge il valore di sforzo *.

Il collasso per rottura a compressione pu essere studiato valutando lo sforzo massimo nella muraturanella generica configurazione deformata, individuata dalla massima freccia v oppure dalla rotazione a un estremo.

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Se si eguaglia lo sforzo massimo al valore della resistenza a compressione,*, si ottengono dellecurve, esprimibili in funzione di un parametro di snellezzadefinito, in analogia con il caso discreto,come

= P*/PE =*bt/(2EI/li

2) = (12/2) (*/E) (li/b)2,

dove P*= *bt il carico di rottura a compressione della muratura soggetta a un carico centrato e

PE= 2EI/li

2 = (2/12) E b 3t/li2 il carico critico Euleriano di unasta equivalente avente

lunghezza di libera inflessione li .Il parametro proporzionale al quadrato della snellezza li/b e dipende dalle propriet meccanichedel materiale attraverso il fattore */E.



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parzializzazione della sezione: un modello continuocon resistenza a compressione limitata (2/2)

Se le curve tratteggiate intercettano le curve a tratto pienoprima che queste raggiungano il massimo, il collasso per

rottura a compressione precede quello per instabilit.Non peraltro agevole, a differenza del caso discreto,ottenere espressioni esplicite di Pc().

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in modo agevole il carico di collasso Pc nelle varie situazioni,ma le ipotesi sulle quali si basano (linearit del materiale,per esempio, o la schematizzazione dei vincoli), sono soloapprossimativamente soddisfatte nelle situazioni reali.

La trattazione rigorosa qui sviluppata consente comunque di

sviluppare per casi reali curve di stabilit opportunamentemodificate per tenere conto dei fenomeni non lineari sopraaccennati.


Curve adimensionali carico-rotazione in sommit per ilmodello continuo del pilastro in muratura NRT, nel casodi resistenza a compressione limitata.



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Riferimenti bibliografici e iconografici

L. Corradi, Problemi di stabilit dellequilibrio in strutture in muratura, in Comportamento Statico eSismico delle Strutture Murarie, CLUP: Milano, 1982.

L. Corradi, Meccanica delle Strutture vol. III La valutazione delle capacita portante , McGraw-Hill:Milano, 1994.

. e ero, e cos ruz on n ura ura, : ne, .

R. S. Olivito, Statica e Stabilit delle Costruzioni Murarie, Pitagora: Bologna, 20092.

30Statica delle murature - A. Cazzani - Lezione 6

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