S 12 MECHANIKA I. Statika

2015

S 12 Segédlet

12. GYAKORLAT

SÚRLÓDÁS

Tartalom 1. ELMÉLET ........................................................................................................................................... 1

2. FELADATOK ...................................................................................................................................... 1

2.1. Hasáb elmozdításához szükséges erő ............................................................................................. 1

2.2. Lejtőn álló tömeg megtartása .......................................................................................................... 3

2.3. Falnak támasztott korong megforgatása ......................................................................................... 4

2.4. Létra ................................................................................................................................................ 5

2.5. Félör alakú idom egyensúlyban tartása ........................................................................................... 6

2.6. Kötéllel megfogott súly alatti hasáb elmozdítása ........................................................................... 7

2.7. Szalagfék ......................................................................................................................................... 9

2.8. Rögzített korongon átvetett kötél .................................................................................................. 10

2.9. Dobfék .......................................................................................................................................... 11

2.10. Lejtőn csúszó, csigán átvetett kötélen megfogott tömegek ....................................................... 13

3. TOVÁBBI FELADATOK ................................................................................................................ 14

3.1. Szalagfék különböző forgásiránnyal ............................................................................................. 14

4. VIZSGAPÉLDÁK ............................................................................................................................. 16

1. ELMÉLET

Kötélsúrlódás: Eytelwein-reláció

2. FELADATOK

Gyakorlatokon tárgyalt feladatok.

2.1. Hasáb elmozdításához szükséges erő

Mekkora F erővel lehet elmozdítani a testet?

2

A vizsgált szerkezet két merev testből áll. Mindkét merev testre írjuk fel a ráható erőket és azok

egyensúlyát. Vegyük figyelembe a súrlódó erőket, melyek mindig az elmozdulás irányával ellentétesen

hatnak.

A súrlódó erőkre vonatkozó összefüggések:

Az elmozdulás határhelyzetében

11 NS (1)

22 NS (2)

Rúd „A” pontjára a nyomatéki egyensúlyi egyenlet:

0 AM 02,18,04,0 11 SNG (3)

Hasábra vonatkozó egyensúlyi egyenletek:

0 xF 021 FSS (4)

0 yF 0221 NGN (5)

Ismeretlenek: 1S , 2S , 1N , 2N , F . Egyenletek

száma:5.

Az egyenletrendszer megoldása érdekében először (1) és (2) alapján a (3), (4) egyenletekben a súrlódó

erőt helyettesítsük a súrlódási tényezővel kifejezett alakjával!

02,18,04,0 11 NNG (6)

021 FNN (7)

A (6) egyenletből 1N -et kifejezve:

4,02,18,0

11

GN

. (8)

Az (5) egyenletből 2N -t kifejezve:

2212 4,02,18,0

1GGGNN

. (8)

Végül (8)-at és (9)-et (7)-be helyettesítve majd F -et kifejezve:

2

221 4,02,18,0

14,0

2,18,0

1

N

GGGNNF

Behelyettesítve a megadott számértékeket:

NF 120603

1

2,13

18,0

4,04503

12

3

2.2. Lejtőn álló tömeg megtartása

Mekkora az a legkisebb F erő, amivel a lejtőn lévő test egyensúlyban (nyugalomban) tartható? Rajzolja

fel a hasábot a rá ható erőkkel.

A feladatot kétféleképpen oldjuk meg.

I. Először a koordinátarendszert a vízszintes és a függőleges irányokhoz rendeljük. Ekkor az N és S

erőknek a koordinátairányú vetületeit kell képeznünk és ezekkel a vetületekkel írjuk fel az egyensúlyi

egyenleteket.

II. A második megoldásban az x tengelyt a súrlódó felülettel párhuzamos irányban, az y tengelyt a

felületre merőleges irányban rajzoljuk (vesszük fel). Ekkor az F és G erőknek kell a lejtő irányával

megegyező és arra merőleges összetevőit számítani.

I. Koordinátatengelyek vízszintes-függőleges irányban

A hasábra ható erők egyensúlyi egyenletei:

0 xF 0cossin SNF (1)

0 yF 0sincos SNG (2)

NS (3)

A (3) egyenletből S kifejezését behelyettesítjük az (1) és (2)

egyenletekbe:

0cossin NNF (4)

0sincos NNG (5)

(5) egyenletből N -et kifejezzük:

GN )sin(cos sincos

G

N ,

majd behelyettesítjük (4)-be.

)cos(sinsincos

)cos(sincossin

G

NNNF .

F értékének kiszámításához:

2/130sinsin 0 2/330coscos 0

NF 63,270327,0966,0

800

2

32,05,0

5,02,02

3

800

NF 63,270

II. Koordinátatengelyek a felületttel párhuzamos és arra merőleges irányban

A hasábra ható erők egyensúlyi egyenletei:

0 xF 0sincos GSF (1)

0 yF 0cossin GNF (2)

NS (3)

Ismeretlenek: F , N , S .

A (3) egyenlet alapján S kifejezését behelyettesítjük (1)-be.

0sincos GNF (4)

A (2) egyenletből N -et kifejezve:

4

cossin GFN ,

majd ezt (4)-be helyettesítve:

0sin)cossin(cos GGFF .

Felbontva a zárójelet és átrendezve a tagokat:

)cos(sin)sin(cos GF

Ebből F kifejezhető:

NG

F 63,270

2

12,0

2

3

2

32,0

2

1800

)sin(cos

)cos(sin

2.3. Falnak támasztott korong megforgatása

Mekkora lehet az M nyomaték maximális értéke, hogy a

korong ne csússzon meg?

1,01

25,02

NG 1025

mR 5,0

0 xF 012 SN (1)

0 yF 012 GNS (2)

0 OM 0)( 12 MRSS (3)

111 NS (4)

222 NS (5)

Ismeretlenek: M , 1S , 2S , 1N , 2N .

Feladat az M nyomaték meghatározása, ezért az (1)-(5)

egyenletekből a többi változót kiküszöböljük.

Az (1), (2), (3) egyenletekben a (4) és (5) figyelembevételével kiküszöböljük a súrlódó erőket:

012 NN (6)

0122 GNN (7)

0)( 1122 MRNN (8)

Következő lépésben a felületeket összeszorító erőket fejezzük ki. (6)-ból 2N -t kifejezve és

behelyettesítve (7)-be és (8)-ba:

012 NN (9)

01112 GNN (10)

0)( 11112 MRNN (11)

(10) egyenletből 1N -et kifejezve,

GN )1( 211 21

11

G

N ,

és behelyettesítve (11)-be:

0)1( 112 MRN 01

)1(21

12

MRG

.

A kapott egyenletből a nyomaték megengedett maximális értéke:

5

NmRG

M 5,625,025,01,01

10251,0)125,0(

1)1(

21

12

. NmM 5,62

A feladatnak egy speciális esete található [2,378. old]-ben, amikor a két súrlódási tényező értéke

megegyezik, 210 , ekkor a nyomaték

RG

M20

001

)1(

.

2.4. Létra

Adott méretű, NGlétra 400 ( lG ) súlyú létra alsó része az érdes ( 3,02 ) talajon, felső része a

függőleges falnak támaszkodik, itt 01 . Milyen magasra mászhat fel a NGember 800 ( eG ) súlyú

ember a létrára, hogy az éppen ne csússzon meg? [1], [3,155.old]

A létrára felírt egyensúlyi egyenletek:

0 xF 021 SN (1)

0 yF 021 le GGNS (2)

0)2( M 0125 11 le GxGSN (3)

111 NS 222 NS (4)

Az (1), (2), (3) egyenletekben a súrlódó erőt (4)-ben kifejezett alakjukkal helyettesítjük:

0221 NN (5)

0211 le GGNN (6)

0125 111 le GxGNN (7)

Az egyenletrendszer megoldásával x értékét keressük. (5) egyenletből kifejezzük 2N -t:

2

12

NN .

Ezt behelyettesítjük (6)-ba és abból kifejezzük 1N -et.

02

111 le GG

NN

ler GGN

2

11

1

2

1

1 1

le GG

N .

Ezt behelyettesítjük (7) egyenletbe, melyből x -et kifejezzük:

01)25( 11 le GxGN 01)25(1 1

2

1

le

le GxGGG

1)25(1

11

2

1

l

le

e

GGG

Gx

Az x -re kapott kifejezésbe behelyettesítve a megadott adatokat:

6

mx 75,11400)205(

3,0

10

400800

800

1

.

Meghatároztuk a eG erő hatásvonalának vízszintes koordinátáját. A feladat kérdése a eG

támadáspontjára vonatkozott, ezt hasonló háromszögek alapján számíthatjuk:

2

5

x

h mxh 375,4

4

7

2

5

2

5

Tehát mh 375,4 magasra mászhat fel a N800 súlyú ember a létrára, anélkül, hogy kicsúszna.

2.5. Félör alakú idom egyensúlyban tartása

7

2.6. Kötéllel megfogott súly alatti hasáb elmozdítása

8

9

2.7. Szalagfék

10

2.8. Rögzített korongon átvetett kötél

11

2.9. Dobfék

12

13

2.10. Lejtőn csúszó, csigán átvetett kötélen megfogott tömegek

14

3. TOVÁBBI FELADATOK

3.1. Szalagfék különböző forgásiránnyal

15

16

4. VIZSGAPÉLDÁK

4.1 ____________________________________________________________________________ (2007)

Mekkora F erővel tartható egyensúlyban a Q súlyú test? A két korong ),( Rr egymáshoz képest nem tud

elfordulni.

NQ 1000

1,0

m4,01

m8,02

m2,03

mm 1,0

mmr 100

mmR 500

4.2 ____________________________________________________________________________ (2007)

4.3 _______________________________________________________________________ (2014.12.16.)

4.4 _______________________________________________________________________ (2014.12.22.)

17

Irodalomjegyzék

[1] Csizmadia Béla - Nándori Ernő: Mechanika mérnököknek. Statika. Nemzeti tankönyvkiadó. Budapest, 1999.

[2] Galambosi Frigyes: Mechanika I. gyakorlatokon egységesen tárgyalandó példák. 2014. BME KJK.

Járműelemek és Járműszerkezetanalízis Tanszék.

[3] Galambosi Frigyes: Mechanika I. Statika. Bsc hallgatók számára. 2011. PDF.

[5] Hajósné Temesi Eszter: Mechanika I. Statika. PMMK (00_Mechanika_1_jegyzet.pdf)

-.-