Upload
adiee-buaohita
View
28
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
statistika
Citation preview
Statistika (MMS-1403)Dr. Danardono, [email protected]
Program Studi StatistikaJurusan Matematika FMIPA UGM
Materi dan JadualMingguke-
Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan
1. Pendahuluan 1 Perkuliahan MMS-14032 Kompetensi dan Karir3 Konsep dan Terminologi4 Data, Variabel dan Skala Pengukuran
2. Grafik dan RingkasanNumerik
1 Distribusi Frekuensi dan Grafiknya2 Ukuran Tengah dan Ukuran Dispersi3 Analisis Data Eksploratif
3. Peluang 1 Kejadian dan Peluang2 Peluang Bersyarat
4. Variabel Random 1 Variabel Random dan Distribusinya2 Harga Harapan, Variansi dan
Sifat-Sifatnya
5. Distribusi VariabelRandom Diskret
1 Distribusi Bernoulli dan Binomial2 Distribusi Poisson3 Distribusi Hipergeometrik
MMS-1403 p.1/204
Materi dan Jadual6. Distribusi Variabel
Random Kontinu1 Distribusi Uniform Kontinu2 Distribusi Normal3 Pendekatan Normal untuk Binomial
7. Distribusi Sampling Statistik 1 Sampling Random2 Distribusi Sampling Statistik untuk
Rerata3 Teorema Limit Sentral
8. Review dan Latihan
9. Inferensi Statistik 1 Estimasi Parameter2 Uji Hipotesis
10. Inferensi Statistik SatuPopulasi Sembarang
1 Inferensi untuk Mean2 Inferensi untuk Proporsi
11. Inferensi Statistik SatuPopulasi Normal
1 Inferensi untuk Mean2 Hubungan Interval Konfidensi dan Uji
Hipotesis3 Inferensi untuk Variansi
MMS-1403 p.2/204
Materi dan Jadual12. Inferensi Statistik Dua
Populasi Sembarang1 Inferensi untuk Selisih Mean Dua
Populasi2 Inferensi untuk Selisih Proporsi Dua
populasi
13. Inferensi Statistik DuaPopulasi Normal
1 Inferensi untuk Selisih Mean DuaPopulasi
2 Inferensi untuk Perbandingan VariansiDua Populasi
3 Inferensi untuk Observasi Berpasangan
14. Review dan latihan
MMS-1403 p.3/204
StatistikaStatistika (Statistics)Sekumpulan konsep dan metode yang digunakan untukmengumpulkan dan menginterpretasi data kuantitatif danmengambil kesimpulan dalam situasi dimana ada ketidakpastiandan variasi
MMS-1403 p.4/204
DataPenghasilan mingguan 40 buruh bangunan di suatu kota(dalam ribuan rupiah):58 72 64 65 67 92 55 51 69 7364 59 65 55 75 56 89 60 84 6874 67 55 68 74 43 67 71 72 6662 63 83 64 51 63 49 78 65 75
MMS-1403 p.5/204
DataHasil pengukuran keasaman (PH) dari 35 kolam di suatudaerah:6,4 6,6 6,2 7,2 6,2 8,1 7,07,0 5,9 5,7 7,0 7,4 6,5 6,87,0 7,0 6,0 6,3 5,6 6,3 5,85,9 7,2 7,3 7,7 6,8 5,2 5,26,4 6,3 6,2 7,5 6,7 6,4 7,8
MMS-1403 p.6/204
DataTinggi (cm) dan berat badan (kg) 10 orang mahasiswa:Mahasiswa Tinggi Berat
1 170 702 162 653 169 594 165 625 171 676 170 657 168 608 163 619 166 6310 172 64
MMS-1403 p.7/204
DataBanyaknya penjualan telepon seluler di suatu toko:
Merek Banyak penjualanSony-Ericsson 72
Motorola 60Nokia 85
Samsung 54LG 32
Siemens 64
MMS-1403 p.8/204
Skala PengukuranSkala Yang dapat ditentukan untuk dua
pengamatan sembarangNominal persamaan (klasifikasi)Ordinal persamaan dan urutanInterval persamaan, urutan dan jarak (satuan
pengukuran)Rasio persamaan, urutan, jarak dan rasio
(titik nol yang murni ada)
MMS-1403 p.9/204
Skala PengukuranContoh:
Nominal: jenis pekerjaan, warnaOrdinal: kepangkatan, tingkat pendidikanInterval: tahun kalender (Masehi, Hijriyah), temperatur(Celcius, Fahrenheit)Rasio: berat, panjang, isi
MMS-1403 p.10/204
Statistika DeskriptifMetode atau cara-cara yang digunakan untuk meringkas danmenyajikan data dalam bentuk tabel, grafik atau ringkasannumerik data.
MMS-1403 p.11/204
Grafik Stem-and-leafUntuk menunjukkan bentuk distribusi dataData berupa angka dengan minimal dua digit
Contoh (Data penghasilan buruh):4 3 95 1 1 5 5 5 6 8 96 0 2 3 3 4 4 4 5 5 5 6 7 7 7 8 8 97 1 2 2 3 4 4 5 5 88 3 4 99 2Stem= 10, Leaf = 1
MMS-1403 p.12/204
Distribusi FrekuensiMerupakan suatu tabel menunjukkan frekuensi kemunculandata atau frekuensi relatifnya yang berguna untuk meringkasdata numerik maupun kategori.
Untuk data diskret atau data kategori, banyaknya nilai yangdihitung kemunculannya biasanya sesuai denganbanyaknya nilai data yang berbeda dari data diskret ataukategori tersebutUntuk data kontinu, biasanya dibuat kelas interval 5-20banyaknya.
MMS-1403 p.13/204
Distribusi FrekuensiContoh (Data penghasilan buruh):Kelas Frekuensi Frekuensi Relatif Frekuensi Relatif
Kumulatif[40, 50) 2 0,050 0,050[50, 60) 8 0,200 0,250[60, 70) 17 0,425 0,625[70, 80) 9 0,225 0,900[80, 90) 3 0,075 0,975[90, 100) 1 0,025 1,000
MMS-1403 p.14/204
HistogramRepresentasi grafik dari distribusi frekuensi data kontinu.
Contoh (Data penghasilan buruh):
Penghasilan (ribu rupiah)
F
r
e
k
u
e
n
s
i
40 50 60 70 80 90 100
0
5
1
0
1
5
MMS-1403 p.15/204
Poligon FrekuensiRepresentasi grafik dari distribusi frekuensi data kontinu denganmengambil nilai tengah tiap kelas.
Contoh (Data penghasilan buruh):
40 50 60 70 80 90 100
0
5
1
0
1
5
Penghasilan (ribu rupiah)
F
r
e
k
u
e
n
s
i
MMS-1403 p.16/204
Ogive Frekuensi KumulatifPlot frekuensi kumulatif dengan batas atas interval dari distribusifrekuensi.
Contoh (Data penghasilan buruh):
40 50 60 70 80 90 100
0
1
0
2
0
3
0
4
0
Penghasilan (ribu rupiah)
F
r
e
k
u
e
n
s
i
K
u
m
u
l
a
t
i
f
MMS-1403 p.17/204
Diagram BatangRepresentasi grafik dari distribusi frekuensi data diskret ataukategori.
Contoh (Data telepon seluler):
SonyEricsson Motorola Nokia Samsung LG Siemens
0
2
0
4
0
6
0
8
0
MMS-1403 p.18/204
Diagram LingkaranRepresentasi grafik dari distribusi frekuensi data diskret ataukategori.
Contoh (Data telepon seluler):
SonyEricsson
Motorola
Nokia
SamsungLG
Siemens
MMS-1403 p.19/204
Notasi Himpunan DataData statistik sering dilambangkan dengan huruf X, Ydilengkapi dengan indeks.
MMS-1403 p.20/204
Notasi Himpunan DataData statistik sering dilambangkan dengan huruf X, Ydilengkapi dengan indeks.
Contoh (Data penghasilan buruh):X: penghasilan mingguan buruh (dalam ribuan rupiah)X1 = 58; X2 = 72; X10 = 73; X40 = 75;
MMS-1403 p.20/204
Notasi Himpunan DataData statistik sering dilambangkan dengan huruf X, Ydilengkapi dengan indeks.
Contoh (Data tinggi dan berat mahasiswa):X : tinggi mahasiswa (cm)Y : berat mahasiswa (kg)X1 = 170; Y1 = 70;X7 = 1683; Y7 = 60;
MMS-1403 p.20/204
Notasi Sigman
i=1
Xi = X1 + X2 + . . . + Xn
ni=1
mj=1
Xij = X11 + X12 + . . . + Xnm
MMS-1403 p.21/204
Notasi SigmaBeberapa aturan:
Jika Xi = k, k suatu konstan, makan
i=1
Xi = nk
MMS-1403 p.22/204
Notasi SigmaBeberapa aturan:
Jika Xi = k, k suatu konstan, makan
i=1
Xi = nk
Jika k suatu konstan, makan
i=1
kXi = kn
i=1
Xi
MMS-1403 p.22/204
Notasi SigmaBeberapa aturan:
Jika Xi = k, k suatu konstan, makan
i=1
Xi = nk
Jika k suatu konstan, makan
i=1
kXi = kn
i=1
Xi
ni=1
(Xi + Yi) =n
i=1
Xi +n
i=1
Yi
MMS-1403 p.22/204
Ringkasan NumerikRingkasan Numerik atau statistik:
Data tunggal (tidak dikelompokkan), dengan n observasidinotasikan sebagai
x1, x2, . . . , xn
Data berkelompok (distribusi frekuensi), dengan k nilaitunggal dinotasikan sebagai
x1, x2, . . . , xk
yang masing-masing mempunyai frekuensi
f1, f2, . . . , fk
dengan n =ki=1 fi adalah total observasiMMS-1403 p.23/204
Mean AritmetikData tunggal:
x =1
n
ni=1
xi
Data berkelompok:
x =1
n
ni=1
fixi
MMS-1403 p.24/204
Mean TerbobotMisalkan wi 0 adalah bobot (weight) untuk data tunggal xi
xw =1n
i=1 wi
ni=1
wixi
MMS-1403 p.25/204
VariansiData tunggal:
s2 =1
n 1n
i=1
(xi x)2
atau
s2 =1
n 1n
i=1
(x2i nx2)
MMS-1403 p.26/204
VariansiData berkelompok:
s2 =1
n 1n
i=1
fi(xi x)2
atau
s2 =1
n 1n
i=1
(fix2i nx2)
MMS-1403 p.27/204
Kuis 1Jika xi, i = 1, 2, . . . , n adalah data bernilai sembarang danx =
ni=1 xin
1. Hitungn
i=1
(xi x)
2. Tunjukkann
i=1
(xi x)2 =n
i=1
xi nx2
MMS-1403 p.28/204
Tugas 1 (Kelompok)Carilah suatu masalah nyata yang dapat dibantupenyelesaiannya dengan statistika.
Deskripsikan latar belakang masalah yang saudara pilihSebutkan masalahnyaDefinisikan populasinyaSebutkan variabel-variabel yang diperlukan
MMS-1403 p.29/204
PeluangStatistika Inferensial: Mengambil kesimpulan, inferensi atau
generalisasi tentang suatu populasi berdasarkan informasiyang diperoleh dari sampel.
Peluang (probabilitas): Harga angka yang menunjukkanseberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi.
MMS-1403 p.30/204
PeluangStatistika Inferensial: Mengambil kesimpulan, inferensi atau
generalisasi tentang suatu populasi berdasarkan informasiyang diperoleh dari sampel.
Peluang (probabilitas): Harga angka yang menunjukkanseberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi.
tidak mungkin
sangat tidak mungkin
mungkin ya mungkin tidak
sangat mungkin
pasti
MMS-1403 p.30/204
PeluangStatistika Inferensial: Mengambil kesimpulan, inferensi atau
generalisasi tentang suatu populasi berdasarkan informasiyang diperoleh dari sampel.
Peluang (probabilitas): Harga angka yang menunjukkanseberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi.
0 1tidak mungkin
sangat tidak mungkin
mungkin ya mungkin tidak
sangat mungkin
pasti
MMS-1403 p.30/204
PeluangEksperimen (percobaan, trial): Prosedur yang dijalankan pada
kondisi yang sama dan dapat diamati hasilnya (outcome).Ruang sampel (semesta, universe: Himpunan semua hasil yang
mungkin dari suatu eksperimen.Peristiwa (kejadian, event): Himpunan bagian dari suatu ruang
sampel.
MMS-1403 p.31/204
PeluangContohEksperimen : Pelemparan sebuah mata uang logam
dua kaliHasil : Sisi mata uang yang tampakRuang sampel : S = {MM,MB,BM,BB}
dengan M: sisi muka dan B: sisi belakangPeristiwa : A = paling sedikit muncul satu belakang
= {MB,BM,BB}B = muncul sisi yang sama
= {MM,BB}
MMS-1403 p.32/204
PeluangContohEksperimen : Sebuah biji kedelai ditanamHasil : Tumbuh atau tidak tumbuhRuang sampel : S = {tidak tumbuh, tumbuh}
atau S = {0, 1}Peristiwa : A = biji kedelai tumbuh
= {1}
MMS-1403 p.33/204
PeluangContohEksperimen : Pemilihan seorang mahasiswa secara
random dan dicatat IPnyaHasil : Bilangan antara 0 sampai dengan 4Ruang sampel : S = {0 X 4 | X R}
Himpunan bilangan real antara 0 sampaidengan 4
Peristiwa : A = IP di atas 2= {2 X 4 | X R}
B = IP di bawah 1= {0 X 1 | X R}
MMS-1403 p.34/204
PeluangContohEksperimen : Sebuah dadu dilempar sekaliHasil :Ruang sampel :Peristiwa :
MMS-1403 p.35/204
PeluangContohEksperimen : Sebuah dadu dilempar sekaliHasil : mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6Ruang sampel :Peristiwa :
MMS-1403 p.35/204
PeluangContohEksperimen : Sebuah dadu dilempar sekaliHasil : mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6Ruang sampel : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Peristiwa :
MMS-1403 p.35/204
PeluangContohEksperimen : Sebuah dadu dilempar sekaliHasil : mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6Ruang sampel : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Peristiwa : A = muncul mata dadu genap
MMS-1403 p.35/204
PeluangContohEksperimen : Sebuah dadu dilempar sekaliHasil : mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6Ruang sampel : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Peristiwa : A = muncul mata dadu genap
= {2, 4, 6}
MMS-1403 p.35/204
PeluangContohEksperimen : Sebuah dadu dilempar sekaliHasil : mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, 6Ruang sampel : S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Peristiwa : A = muncul mata dadu genap
= {2, 4, 6}B = muncul mata dadu gasal
= {1, 3, 5}
MMS-1403 p.35/204
PeluangPeluang Suatu PeristiwaDefinisi klasik, dengan menganggap tiap-tiap elemen ruangsampel S mempunyai peluang yang sama untuk terjadi.Peluang terjadinya peristiwa A,
P (A) =n(A)
n(S)
dengan n(A) = banyaknya anggota dalam peristiwa A, dann(S) = banyaknya anggota ruang sampel
MMS-1403 p.36/204
PeluangPeluang Suatu PeristiwaBeberapa ketentuan:
0 P (A) 1P (S) = 1 (peluang dari ruang sampel)P () = 0 (peluang dari peristiwa yang tidak akan pernahterjadi)P (A) = 1 P (Ac) (aturan komplemen)P (AB) = P (A)+P (B)P (AB) (aturan penjumlahan)Bila A dan B adalah kejadian yang saling asing,A B = , maka P (A B) = P (A) + P (B)P (B) = P (A B) + P (Ac B)A B dan Ac B saling asing
MMS-1403 p.37/204
PeluangPeluang Suatu PeristiwaContohSebuah dadu dilempar sekali. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan n(S) = 6.Misal didefinisikan A : muncul mata dadu 3 dan B : munculmata dadu bilangan prima A = {3} dan n(A) = 1 ; B = {2, 3, 5}dan n(B) = 3 dan
P (A) =n(A)
n(S)=
1
6
danP (B) =
n(B)
n(S)=
3
6=
1
2
MMS-1403 p.38/204
PeluangPeluang Bersyarat dan IndependensiDiketahui A dan B dua peristiwa dari ruang sampel S, danP (B) > 0, maka peluang bersyarat terjadinya A jika diketahui Btelah terjadi, ditulis P (A | B), didefinisikan sebagai
P (A | B) = P (A B)P (B)
Dua kejadian A dan B disebut kejadian independen jika
P (A B) = P (A).P (B)
MMS-1403 p.39/204
PeluangPeluang Bersyarat dan IndependensiContoh (Peluang Bersyarat)Sepasang dadu dilempar bersama jika diketahui jumlah keduamata dadu yang keluar adalah 6, hitunglah peluang bahwa satudiantara dua dadu tersebut adalah mata dadu 2.B = {jumlahan mata dadu adalah 6}
= {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} danA = {mata dadu 2 muncul dari salah satu dadu}
= {(2, 4), (4, 2)}
P (A | B) = n(A B)n(B)
=2
5
MMS-1403 p.40/204
PeluangPeluang Bersyarat dan IndependensiContoh (Peluang Bersyarat)Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teraturberangkat tepat waktu adalah P (A) = 0, 83; peluang sampaitepat waktu adalah P (B) = 0, 82; peluang berangkat dansampai tepat waktu adalah P (A B) = 0, 78.
Peluang bahwa suatu pesawat sampai tepat waktu jika diketahuiberangkat tepat waktu adalah
P (B | A) = P (A B)P (A)
=0, 78
0, 83= 0, 94
MMS-1403 p.41/204
PeluangPeluang Bersyarat dan IndependensiContoh (Peluang Bersyarat)Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teraturberangkat tepat waktu adalah P (A) = 0, 83; peluang sampaitepat waktu adalah P (B) = 0, 82; peluang berangkat dansampai tepat waktu adalah P (A B) = 0, 78.
Peluang bahwa suatu pesawat berangkat tepat waktu jikadiketahui sampai tempat waktu adalah
P (A | B) = P (A B)P (B)
=0, 78
0, 82= 0, 95
MMS-1403 p.42/204
PeluangPeluang Bersyarat dan IndependensiContoh (independensi)Suatu kota kecil mempunyai satu unit mobil pemadamkebakaran dan satu ambulans yang bekerja saling independenuntuk keadaan darurat. Peluang mobil kebakaran siap saatdiperlukan adalah 0.98. Peluang ambulans siap waktudiperlukan adalah 0.92. Dalam suatu kejadian kebakarangedung, hitung peluang keduanya siap.Misalkan A dan B menyatakan kejadian mobil pemadamkebakaran dan ambulans siap. Karena A dan B independen,peluang mobil pemadam kebakaran dan ambulans siap :
P (A B) = P (A).P (B) = 0, 98 0, 92 =, 9016
MMS-1403 p.43/204
PeluangTeorema Bayes
P (A | B) = P (A B)P (B)
=P (A).P (B | A)
P (A).P (B | A) + P (Ac).P (B | Ac)
Secara umum jika kejadian A1, A2, . . . , Ak saling asing dangabungannya A1 A2 . . . ,Ak = S dan kejadian B = S B,maka
P (Ai | B) = P (Ai).P (B | Ai)ki=1 P (Ai).P (B | Ai)
MMS-1403 p.44/204
PeluangTeorema BayesContohSebuah pabrik mempunyai 3 mesin A, B dan C yangmemproduksi berturut-turut 60%, 30%, dan 10% dari totalbanyak unit yang diproduksi pabrik. Persentase kerusakanproduk yang dihasilkan dari masing-masing mesin tersebutberturut-turut adalah 2%, 3% dan 4%. Suatu unit dipilih secararandom dan diketahui rusak. Hitung probabilitas bahwa unittersebut berasal dari mesin C.Misal kejadian R adalah unit yang rusak, akan dihitungP (C | R), yaitu probabilitas bahwa suatu unit diproduksi olehmesin C dengan diketahui unit tersebut rusak.
MMS-1403 p.45/204
PeluangTeorema BayesContoh (lanjutan)Dengan teorema Bayes, kejadian P (A), P (B) dan P (C) adalahpeluang (persentase produksi) dari masing-masing mesin;P (R | A), P (R | B) dan P (R | C) adalah peluang (persentasekerusakan) dari masing-masing mesin.
P (C | R) = P (C).P (R | C)P (A).P (R | A) + P (B).P (R | B) + P (C).P (R | C)
=(0, 1)(0, 04)
(0, 6)(0, 02) + (0, 3)(0, 03) + (0, 1)(0, 04)=
4
25
MMS-1403 p.46/204
Variabel RandomVariabel random adalah suatu cara memberi harga angkakepada setiap elemen ruang sampel, atau suatu fungsi bernilaireal yang harganya ditentukan oleh setiap elemen dalam ruangsampel
ContohEksperimen (proses random) melemparkan uang logam tigakali, S = {BBB, BBM, BMB, MBB, BMM, MBM, MMB, MMM}.Didefinisikan variabel random X : banyak M (muka) munculdalam pelemparan uang logam tiga kali.
MMS-1403 p.47/204
Variabel RandomContoh (variabel random)
S R
BBBBBMBMBMBBBMMMBMMMBMMM
0
1
2
3
MMS-1403 p.48/204
Variabel RandomContoh (variabel random)
S RX : S R
BBBBBMBMBMBBBMMMBMMMBMMM
0
1
2
3
MMS-1403 p.49/204
Variabel RandomContoh (variabel random)
S RX : S R
BBBBBMBMBMBBBMMMBMMMBMMM
0
1
2
3
MMS-1403 p.50/204
Variabel RandomContoh (variabel random)
S RX : S R
BBBBBMBMBMBBBMMMBMMMBMMM
0
1
2
3
MMS-1403 p.51/204
Variabel RandomContoh (variabel random)
S RX : S R
BBBBBMBMBMBBBMMMBMMMBMMM
0
1
2
3
MMS-1403 p.52/204
Variabel RandomContoh (variabel random)
S RX : S R
BBBBBMBMBMBBBMMMBMMMBMMM
0
1
2
3
MMS-1403 p.53/204
Variabel RandomVariabel random diskret: Suatu variabel random yang hanya
dapat menjalani harga-harga yang berbeda yangberhingga banyaknya (sama banyaknya dengan bilanganbulat)
Variabel random kontinu: Suatu variabel random yang dapatmenjalani setiap harga dalam suatu interval (tak berhinggabanyaknya)
Distribusi Peluang: Model matematik yang menghubungkansemua nilai variabel random dengan peluang terjadinyanilai tersebut dalam ruang sampel. Distribusi peluangdapat direpresentasikan dalam bentuk fungsi, tabel, ataugrafik. Distribusi peluang dapat dianggap sebagaifrekuensi relatif jangka panjang.
MMS-1403 p.54/204
Peluang dan Variabel RandomDistribusi Peluang DiskretFungsi f(x) disebut sebagai fungsi peluang dari variabelrandom diskret X, jika untuk setiap harga x yang mungkin :
1. f(x) 02.
x f(x) = 1
Peluang untuk nilai x tertentu:
P (X = x) = f(x)
Distribusi kumulatif F (x)
F (x) = P (X x) =tx
f(t)
MMS-1403 p.55/204
Peluang dan Variabel RandomDistribusi Peluang DiskretDistribusi peluang X dalam bentuk tabel:Harga X P (X = x) = f(x)
x1 P1
x2 P2
. . . . . .
xk Pk
MMS-1403 p.56/204
Variabel RandomDistribusi Peluang DiskretContohDistribusi banyaknya sisi muka yang muncul dalam pelemparanmata uang logam tiga kali.Harga X P (X = x) = f(x)
0 1/8
1 3/8
2 3/8
3 1/8P (x) = 1
MMS-1403 p.57/204
Variabel RandomDistribusi Peluang Kontinu (Fungsi Densitas)Distribusi peluang untuk variabel random kontinu.Fungsi f(x) disebut sebagai fungsi densitas peluang darivariabel random kontinu X, jika untuk setiap harga x yangmungkin :
1. f(x) 02. f(x)dx = 1
Nilai peluang untuk interval tertentu
P (a X b) = b
af(x)dx
Distribusi kumulatif F(x)
F (x) = P (X x) = x
f(u)du
MMS-1403 p.58/204
Variabel RandomDistribusi Peluang Kontinu (Fungsi Densitas)ContohFungsi densitas suatu variabel random X
f(x) =
{x2 untuk 0 < x < 20 untuk x yang lain
MMS-1403 p.59/204
Variabel RandomHarga harapan, Variansi dan sifat-sifatnyaHarga Harapan (Ekspektasi, Expected Value)
E(X) =
x xf(x) bila X diskret
xf(x)dx bila X kontinu
E(X) sering ditulis sebagai X atau
Variansi (Variance)
Var(X) = E(X )2= E(X2) 2
MMS-1403 p.60/204
Variabel RandomHarga harapan, Variansi dan sifat-sifatnyaSifat-sifat Harga Harapan
E(aX + b) = aE(X) + b, a, b konstanE [g(X) + h(X)] = E [g(X)] + E [h(X)]
Sifat-sifat VariansiVar(aX + b) = a2Var(X), a, b konstan
Deviasi standar (akar dari variansi):X =
Var(X)
MMS-1403 p.61/204
Variabel RandomDua Variabel Random
Ada dua variabel random yang diamati bersamaan dalam suatueksperimen.
Contoh:Sebuah mata uang logam dilemparkan tiga kali.X: banyaknya M muncul dalam dua lemparan pertamaY : banyaknya M muncul dalam lemparan ketiga
Distribusi peluang untuk dua variabel random disebut sebagaidistribusi peluang bersama
MMS-1403 p.62/204
Peluang dan Variabel RandomContohDistribusi peluang variabel random X :
x P (X = x)
S RX : S R
BBBBBMBMBMBBBMMMBMMMBMMM
X : banyaknya M muncul dalam dua lemparan pertama
MMS-1403 p.63/204
Peluang dan Variabel RandomContohDistribusi peluang variabel random X :
x P (X = x)
012
S RX : S R
BBBBBMBMBMBBBMMMBMMMBMMM
0
1
2
X : banyaknya M muncul dalam dua lemparan pertama
MMS-1403 p.64/204
Peluang dan Variabel RandomContohDistribusi peluang variabel random X :
x P (X = x)
012
S RX : S R
BBBBBMBMBMBBBMMMBMMMBMMM
0
1
2
X : banyaknya M muncul dalam dua lemparan pertama
MMS-1403 p.65/204
Peluang dan Variabel RandomContohDistribusi peluang variabel random X :
x P (X = x)
0 1/41 1/22 1/4
S RX : S R
BBBBBMBMBMBBBMMMBMMMBMMM
0
1
2
X : banyaknya M muncul dalam dua lemparan pertama
MMS-1403 p.66/204
Peluang dan Variabel RandomContohDistribusi peluang variabel random Y :
y
P (Y = y)
S RY : S R
BBBBBMBMBMBBBMMMBMMMBMMM
Y : banyaknya M muncul dalam lemparan ketiga
MMS-1403 p.67/204
Peluang dan Variabel RandomContohDistribusi peluang variabel random Y :
y
0 1P (Y = y)
S RY : S R
BBBBBMBMBMBBBMMMBMMMBMMM
0
1
Y : banyaknya M muncul dalam lemparan ketiga
MMS-1403 p.68/204
Peluang dan Variabel RandomContohDistribusi peluang variabel random Y :
y
0 1P (Y = y) 1/2 1/2
S RY : S R
BBBBBMBMBMBBBMMMBMMMBMMM
0
1
Y : banyaknya M muncul dalam lemparan ketiga
MMS-1403 p.69/204
Peluang dan Variabel RandomContoh (dua variabel random)Distribusi peluang bersama X dan Y , P (X = x, Y = y)::
x y P (X = x)
0 10 1/41 1/22 1/4
P (Y = y) 1/2 1/2 1
MMS-1403 p.70/204
Peluang dan Variabel RandomContoh (dua variabel random)Distribusi peluang bersama X dan Y , P (X = x, Y = y):
x y P (X = x)
0 10 {BBB} {BBM} 1/41 {BMB, MBB} {BMM, MBM} 1/22 {MMB} {MMM} 1/4
P (Y = y) 1/2 1/2 1
MMS-1403 p.71/204
Peluang dan Variabel RandomContoh (dua variabel random)Distribusi peluang bersama X dan Y , P (X = x, Y = y):
x y P (X = x)
0 10 1/8 1/8 1/41 2/8 2/8 1/22 1/8 1/8 1/4
P (Y = y) 1/2 1/2 1
MMS-1403 p.72/204
Peluang dan Variabel RandomContoh (dua variabel random)Distribusi peluang bersama X dan Y , P (X = x, Y = y):
x y P (X = x)
0 10 1/8 1/8 1/41 2/8 2/8 1/22 1/8 1/8 1/4
P (Y = y) 1/2 1/2 1
Jika P (X = x, Y = y) = P (X = x).P (Y = y) untuk setiap nilaidari X dan Y maka dua variabel random tersebut dikatakanindependen
MMS-1403 p.73/204
Variabel RandomKovariansiUkuran numerik untuk variansi bersama dua variabel random
Kov(X, Y ) = E [(X X)(Y Y )]= E(XY ) XY
KorelasiKovariansi dibagi dengan standar deviasi X dan standar deviasiY
Kor(X, Y ) =Kov(X, Y )
X .Y
MMS-1403 p.74/204
Variabel RandomHarga harapan untuk penjumlahan dan pengurangan duavariabel random,
E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
E(X Y ) = E(X) E(Y )
Variansi untuk penjumlahan dan pengurangan dua variabelrandom,
Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2Kov(X, Y )
Var(X Y ) = Var(X) + Var(Y ) 2Kov(X, Y )
MMS-1403 p.75/204
Distribusi Variabel Random DiskretEksperimen BernoulliEksperimen dengan hanya dua hasil yang mungkinContoh
melempar mata uang logam satu kaliMengamati telur ayam, apakah anak ayam itu jantan ataubetinaMengamati kedelai yang ditanam, tumbuh atau tidakReaksi obat pada tikus, positif atau negatif
MMS-1403 p.76/204
Distribusi Variabel Random DiskretSifat-sifat Eksperimen Bernoulli
tiap usaha (trial) menghasilkan satu dari dua hasil yangmungkin, dinamakan sukses (S) dan gagal (G);peluang sukses, P (S) = p dan peluang gagalP (G) = 1 p, atau P (G) = q;usaha-usaha tersebut independen
MMS-1403 p.77/204
Distribusi Variabel Random DiskretDistribusi Bernoulli
P (X = x; p) = px(1 p)1x,dengan x = 0, 1 (gagal, sukses) dan p adalah peluangmendapatkan hasil sukses.
MMS-1403 p.78/204
Distribusi Variabel Random DiskretDistribusi BinomialEksperimen Bernoulli dengan n usaha dan X : banyaknyasukses dalam n usaha tersebut.
P (X = x;n, p) =
(n
x
)px(1 p)nx, x = 0, 1, 2, . . . , n
Mean dan variansiE(X) = np; Var(X) = np(1 p)
MMS-1403 p.79/204
Distribusi Variabel Random Diskret dan KontinuBinomial dengan n = 6, p = 0, 5
0 1 2 3 4 5 6
0
.
0
0
0
.
0
5
0
.
1
0
0
.
1
5
0
.
2
0
0
.
2
5
0
.
3
0
MMS-1403 p.80/204
Distribusi Variabel Random Diskret dan KontinuBinomial dengan n = 6, p = 0, 2
0 1 2 3 4 5 6
0
.
0
0
.
1
0
.
2
0
.
3
MMS-1403 p.81/204
Distribusi Variabel Random Diskret dan KontinuBinomial dengan n = 6, p = 0, 8
0 1 2 3 4 5 6
0
.
0
0
.
1
0
.
2
0
.
3
MMS-1403 p.82/204
Distribusi Variabel Random DiskretContoh (Distribusi Binomial)Suatu uang logam yang baik (seimbang) dilempar 4 kali. X adalahbanyaknya muka muncul dalam 4 kali pelemparan tersebut.Pelemparan dipandang sebagai usaha, dan sukses adalah mukamuncul. X merupakan variabel random binomial dengan n = 4 danp = 1/2 dengan distribusi peluang:
P (X = x; 4,1
2) =
(4
x
)(1
2
)x(1 1
2)4x, x = 0, 1, 2, 3, 4
MMS-1403 p.83/204
Distribusi Variabel Random DiskretContoh (Distribusi Binomial)Suatu uang logam yang baik (seimbang) dilempar 4 kali. X adalahbanyaknya muka muncul dalam 4 kali pelemparan tersebut.Pelemparan dipandang sebagai usaha, dan sukses adalah mukamuncul. X merupakan variabel random binomial dengan n = 4 danp = 1/2 dengan distribusi peluang:
P (X = x; 4,1
2) =
(4
x
)(1
2
)x(1 1
2)4x, x = 0, 1, 2, 3, 4
Peluang muka muncul dua kali, X = 2
P (X = 2; 4,1
2) =
(4
2
)(1
2
)2(1 1
2)42
=3
8
MMS-1403 p.83/204
Distribusi Variabel Random DiskretContoh (Distribusi Binomial)Suatu uang logam yang baik (seimbang) dilempar 4 kali. X adalahbanyaknya muka muncul dalam 4 kali pelemparan tersebut.Pelemparan dipandang sebagai usaha, dan sukses adalah mukamuncul. X merupakan variabel random binomial dengan n = 4 danp = 1/2 dengan distribusi peluang:
P (X = x; 4,1
2) =
(4
x
)(1
2
)x(1 1
2)4x, x = 0, 1, 2, 3, 4
Peluang muka muncul paling tidak dua kali, X 2
P (X 2; 4, 12) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4)
=11
16
MMS-1403 p.83/204
Distribusi Variabel Random DiskretDistribusi Hipergeometrik
Eksperimen hipergeometrik:Dalam populasi berukuran N sebanyak k dinamakansukses sedangkan sisanya N k dinamakan gagalsampel berukuran n diambil dari N bendaCara pengambilan sampel tanpa pengembalian
MMS-1403 p.84/204
Distribusi Variabel Random DiskretDistribusi Hipergeometrik
Distribusi peluang:
P (X = x;N, n, k) =
(kx
)(Nknx)
(Nn
) , x = 0, 1, 2, . . . , min(n, k)
Mean dan VariansiE(X) = n kN ; Var(X) = n
kn
NkN
NnN1
MMS-1403 p.85/204
Distribusi Variabel Random DiskretContoh (Distribusi Hipergeometrik)Suatu kotak berisi 40 suku cadang dengan 3 rusak. Sampel berukuran5 diambil sekaligus dari kotak. Pengambilan sampel ini adalah suatueksperimen hipergeometrik dengan X adalah banyaknya suku cadangrusak, N = 40, n = 5 dan k = 3 dengan distribusi peluang:
P (X = x; 40, 5, 3) =
(3
x
)(37
5x
)(40
5
) , x = 0, 1, 2, 3
MMS-1403 p.86/204
Distribusi Variabel Random DiskretContoh (Distribusi Hipergeometrik)Suatu kotak berisi 40 suku cadang dengan 3 rusak. Sampel berukuran5 diambil sekaligus dari kotak. Pengambilan sampel ini adalah suatueksperimen hipergeometrik dengan X adalah banyaknya suku cadangrusak, N = 40, n = 5 dan k = 3 dengan distribusi peluang:
P (X = x; 40, 5, 3) =
(3
x
)(37
5x
)(40
5
) , x = 0, 1, 2, 3Peluang ditemukan satu suku cadang rusak dalam pengambilansampel tersebut
P (X = 1; 40, 5, 3) =
(3
1
)(37
4
)(40
5
) = 0, 3011
MMS-1403 p.86/204
Distribusi Variabel Random DiskretContoh (Distribusi Hipergeometrik)Suatu kotak berisi 40 suku cadang dengan 3 rusak. Sampel berukuran5 diambil sekaligus dari kotak. Pengambilan sampel ini adalah suatueksperimen hipergeometrik dengan X adalah banyaknya suku cadangrusak, N = 40, n = 5 dan k = 3 dengan distribusi peluang:
P (X = x; 40, 5, 3) =
(3
x
)(37
5x
)(40
5
) , x = 0, 1, 2, 3Peluang ditemukan paling tidak satu suku cadang rusak dalampengambilan sampel tersebut
P (X 1; 40, 5, 3) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)= 0, 301 + 0, 0354 + 0, 0010
= 0, 3376
MMS-1403 p.86/204
Distribusi Variabel Random DiskretDistribusi Poisson
Sifat-sifat eksperimen Poisson:banyaknya sukses terjadi dalam suatu selang waktu ataudaerah tertentu tidak terpengaruh (bebas) dari apa yangterjadi pada interval waktu atau daerah yang lain,peluang terjadinya sukses dalam interval waktu yangsingkat atau daerah yang sempit sebanding denganpanjang interval waktu, atau luas daerah dan tidaktergantung pada banyaknya sukses yang terjadi di luarinterval waktu atau daerah tersebut,peluang terjadinya lebih dari satu sukses dalam intervalwaktu yang singkat atau daerah yang sempit tersebutdapat diabaikan.
MMS-1403 p.87/204
Distribusi Variabel Random DiskretDistribusi Poisson
X adalah banyaknya sukses dalam eksperimen Poisson, yangmempunyai distribusi probabilitas
P (X = x;) =ex
x!, x = 0, 1, 2, . . .
Mean dan VariansiE(X) = ; Var(X) =
MMS-1403 p.88/204
Distribusi Variabel Random Diskret dan KontinuPoisson dengan = 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
.
0
0
0
.
0
5
0
.
1
0
0
.
1
5
0
.
2
0
0
.
2
5
MMS-1403 p.89/204
Distribusi Variabel Random Diskret dan KontinuPoisson dengan = 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 15
0
.
0
0
0
.
0
5
0
.
1
0
0
.
1
5
MMS-1403 p.90/204
Distribusi Variabel Random Diskret dan KontinuPoisson dengan = 8
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
0
.
0
0
0
.
0
2
0
.
0
4
0
.
0
6
0
.
0
8
0
.
1
0
0
.
1
2
MMS-1403 p.91/204
Distribusi Variabel Random DiskretContoh (Distribusi Poisson)Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yang melewati suatucounter selama 1 milidetik dalam suatu percobaan dilaboratorium adalah 4. Peluang 6 partikel melewati counterdalam suatu milidetik tertentu adalah
P (X = 6; = 4) =e44x
6!= 0, 1042
MMS-1403 p.92/204
Distribusi Variabel Random DiskretPendekatan Binomial untuk Hipergeometrik
X Hipergeometrik(N, n, k)Bila n cukup kecil (n/N < 5%)
Hipergeometrik(N, n, k) Binomial(N, p), dengan p = kN
MMS-1403 p.93/204
Distribusi Variabel Random DiskretPendekatan Binomial untuk Hipergeometrik
Hipergeometrik(N = 10000, n = 3, k = 40000)
0 1 2 3
0
.
0
0
.
1
0
.
2
0
.
3
0
.
4
0
.
5
0
.
6
Binomial(n = 3, p = 40000/10000)
0 1 2 30
.
0
0
.
1
0
.
2
0
.
3
0
.
4
0
.
5
0
.
6
MMS-1403 p.94/204
Distribusi Variabel Random Diskret dan KontinuPendekatan Poisson untuk Binomial
X Binomial(n, p)Bila n besar dan n kecil,
Binomial(n, p) Poisson(), dengan = np
MMS-1403 p.95/204
Distribusi Variabel Random Diskret dan KontinuPendekatan Poisson untuk Binomial
Binomial(N = 2000, p = 0, 002)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
.
0
0
0
.
0
5
0
.
1
0
0
.
1
5
0
.
2
0
0
.
2
5
Poisson( = np = 4)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
.
0
0
0
.
0
5
0
.
1
0
0
.
1
5
0
.
2
0
0
.
2
5
MMS-1403 p.96/204
Distribusi Variabel Random KontinuDistribusi Normal
Distribusi Normal dengan mean E(X) = dan variansiVar(X) = 2 mempunyai fungsi peluang,
f(x;, 2) =1
2pi2e
(x)2
22 , < x <
dan < < , 2 > 0
MMS-1403 p.97/204
Distribusi Variabel Random KontinuDistribusi Normal
Distribusi Normal dengan mean E(X) = dan variansiVar(X) = 2 (ditulis N(, 2)) mempunyai fungsi peluang,
f(x;, 2) =1
2pi2e
(x)2
22 , < x <
dengan < < , 2 > 0, pi = 3, 141593 . . . dane = 2, 718282 . . .
Distribusi Normal standar: distribusi Normal dengan mean 0 danvariansi 1, ditulis N(0, 1)
MMS-1403 p.98/204
Distribusi Variabel Random KontinuKurva Normal
- Sumbu x : < x <
MMS-1403 p.99/204
Distribusi Variabel Random KontinuKurva Normal
- Sumbu x : < x < Fungsi peluang (sumbu y):
f(x;, 2) =1
2pi2e
(x)2
22 , < x <
MMS-1403 p.99/204
Distribusi Variabel Random KontinuKurva Normal
- Sifat-sifat:
MMS-1403 p.99/204
Distribusi Variabel Random KontinuKurva Normal
- Sifat-sifat:
simetris terhadap sumbu vertikal melalui ,
MMS-1403 p.99/204
Distribusi Variabel Random KontinuKurva Normal
- - Sifat-sifat:
simetris terhadap sumbu vertikal melalui ,memotong sumbu mendatar (sumbu x) secara asimtotis,
MMS-1403 p.99/204
Distribusi Variabel Random KontinuKurva Normal
- Sifat-sifat:
simetris terhadap sumbu vertikal melalui ,memotong sumbu mendatar (sumbu x) secara asimtotis,harga modus (maksimum) terletak pada x = ,
MMS-1403 p.99/204
Distribusi Variabel Random KontinuKurva Normal
- + Sifat-sifat:
simetris terhadap sumbu vertikal melalui ,memotong sumbu mendatar (sumbu x) secara asimtotis,harga modus (maksimum) terletak pada x = ,mempunyai titik belok pada x = ,
MMS-1403 p.99/204
Distribusi Variabel Random KontinuKurva Normal
- Sifat-sifat:
simetris terhadap sumbu vertikal melalui ,memotong sumbu mendatar (sumbu x) secara asimtotis,harga modus (maksimum) terletak pada x = ,mempunyai titik belok pada x = ,luas kurva Normal sama dengan 1.
MMS-1403 p.99/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
b
L
Luasan kurva di bawah kurva normal sampai batas b:
L =
b
12pi2
e(x)2
22 dx
MMS-1403 p.100/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
b
L
Dapat dihitung menggunakan tabel Normal Standar denganterlebih dahulu mentransformasikan skala X N(, 2) keZ N(0, 1),
Z =X
MMS-1403 p.100/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
Xb
L
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09-3,4-3,3. . .
0,0. . .
3,33,4
MMS-1403 p.100/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
x = 76
L
Contoh 1:Distribusi Normal dengan mean = 60 dan deviasi standar = 12,N(60, 122)
Hitunglah luas kurva Normal mulai ekor paling kiri () sampai 76
MMS-1403 p.101/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
Z = 1, 33
L
Contoh 1:transformasi dari X ke Z,
Z =X
=76 60
12= 1, 33
MMS-1403 p.101/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
Z = 1, 33
L
Contoh 1:z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
. . .
0,0. . .
1,3
MMS-1403 p.101/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
Z = 1, 33
L = 0, 9082
Contoh 1:z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
. . .
0,0. . .
1,3 0,9082
MMS-1403 p.101/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
7660
L
Contoh 2:Distribusi Normal dengan mean = 60 dan deviasi standar = 12,N(60, 122)
Hitunglah luas kurva Normal antara 60 sampai 76
MMS-1403 p.102/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
1, 330
L
Contoh 2:transformasi dari X = 60 ke Z,
Z =X
=60 60
12= 0
transformasi dari X = 76 ke Z,
Z =X
=76 60
12= 1, 33
MMS-1403 p.102/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
1, 330
L2 = 0, 9082
Contoh 2:
L = L2 L1= 0, 9082 L1
MMS-1403 p.102/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
1, 330
L1 = 0, 5
Contoh 2:
L = L2 L1= 0, 9082 0, 5
MMS-1403 p.102/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
L
1, 330
Contoh 2:
L = L2 L1= 0, 9082 0, 5= 0, 4082
MMS-1403 p.102/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
68 84
L
Contoh 3:Distribusi Normal dengan mean = 60 dan deviasi standar = 12,N(60, 122). Hitunglah luas kurva Normal antara 68 sampai 84.
MMS-1403 p.103/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
68 84
L
Contoh 3:Distribusi Normal dengan mean = 60 dan deviasi standar = 12,N(60, 122). Hitunglah luas kurva Normal antara 68 sampai 84.L = P (68 X 84)
MMS-1403 p.103/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
0, 67 2, 00
L
Contoh 3:Distribusi Normal dengan mean = 60 dan deviasi standar = 12,N(60, 122). Hitunglah luas kurva Normal antara 68 sampai 84.L = P (68 X 84)
= P (0, 67 Z 2, 00)
MMS-1403 p.103/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
0, 67 2, 00
L1
Contoh 3:Distribusi Normal dengan mean = 60 dan deviasi standar = 12,N(60, 122). Hitunglah luas kurva Normal antara 68 sampai 84.L = P (68 X 84)
= P (0, 67 Z 2, 00)= P ( < Z 2, 00) P ( < Z 0, 67)
MMS-1403 p.103/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
0, 67 2, 00
L1
Contoh 3:Distribusi Normal dengan mean = 60 dan deviasi standar = 12,N(60, 122). Hitunglah luas kurva Normal antara 68 sampai 84.L = P (68 X 84)
= P (0, 67 Z 2, 00)= 0, 9772 P ( < Z 0, 67)
MMS-1403 p.103/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
0, 67 2, 00
L2
Contoh 3:Distribusi Normal dengan mean = 60 dan deviasi standar = 12,N(60, 122). Hitunglah luas kurva Normal antara 68 sampai 84.L = P (68 X 84)
= P (0, 67 Z 2, 00)= 0, 9772 P ( < Z 0, 67)
MMS-1403 p.103/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
0, 67 2, 00
L2
Contoh 3:Distribusi Normal dengan mean = 60 dan deviasi standar = 12,N(60, 122). Hitunglah luas kurva Normal antara 68 sampai 84.L = P (68 X 84)
= P (0, 67 Z 2, 00)= 0, 9772 0, 7486
MMS-1403 p.103/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
0, 67 2, 00
L
Contoh 3:Distribusi Normal dengan mean = 60 dan deviasi standar = 12,N(60, 122). Hitunglah luas kurva Normal antara 68 sampai 84.L = P (68 X 84)
= P (0, 67 Z 2, 00)= 0, 2286
MMS-1403 p.103/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
1, 5
Contoh 4:Diketahui N(0, 1), hitunglah P (Z 1, 5).
MMS-1403 p.104/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
1, 5
Contoh 4:Diketahui N(0, 1), hitunglah P (Z 1, 5).P (Z 1, 5) = 1 P ( Z 1, 5)
MMS-1403 p.104/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
1, 5
Contoh 4:Diketahui N(0, 1), hitunglah P (Z 1, 5).P (Z 1, 5) = 1 P ( Z 1, 5)
MMS-1403 p.104/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
1, 5
Contoh 4:Diketahui N(0, 1), hitunglah P (Z 1, 5).P (Z 1, 5) = 1 P ( Z 1, 5)
= 1 0, 9332= 0, 0668
MMS-1403 p.104/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
3 2 1 0 1 2 3
X N(, 2)
Z N(0, 1)
MMS-1403 p.105/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
3 2 1 0 1 2 3
X N(, 2)
Z N(0, 1)
MMS-1403 p.105/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
3 2 1 0 1 2 3
X N(, 2)
Z N(0, 1)
+
MMS-1403 p.105/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
3 2 1 0 1 2 3
X N(, 2)
Z N(0, 1)
+ + 2 2
MMS-1403 p.105/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
3 2 1 0 1 2 3
X N(, 2)
Z N(0, 1)
+ + 2 2 + 3 3
MMS-1403 p.105/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
3 2 1 0 1 2 3
X N(, 2)
Z N(0, 1)
+ + 2 2 + 3 3
68%
MMS-1403 p.105/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
3 2 1 0 1 2 3
X N(, 2)
Z N(0, 1)
+ + 2 2 + 3 3
95%
MMS-1403 p.105/204
Distribusi Variabel Random KontinuLuasan di bawah Kurva Normal
3 2 1 0 1 2 3
X N(, 2)
Z N(0, 1)
+ + 2 2 + 3 3
99%
MMS-1403 p.105/204
Distribusi Variabel Random KontinuContoh 5 (Distribusi Normal)Nilai-nilai ujian seleksi penerimaan mahasiswa baru secaranasional dianggap berdistribusi Normal dengan mean 45 dandeviasi standar 13. Jika hanya 32,5% calon mahasiswa yangakan diterima, berapakah nilai terendah calon mahasiswa yangditerima?
MMS-1403 p.106/204
Distribusi Variabel Random KontinuContoh 5 (Distribusi Normal)Nilai-nilai ujian seleksi penerimaan mahasiswa baru secaranasional dianggap berdistribusi Normal dengan mean 45 dandeviasi standar 13. Jika hanya 32,5% calon mahasiswa yangakan diterima, berapakah nilai terendah calon mahasiswa yangditerima?
0,325
MMS-1403 p.106/204
Distribusi Variabel Random KontinuContoh 5 (Distribusi Normal)Nilai-nilai ujian seleksi penerimaan mahasiswa baru secaranasional dianggap berdistribusi Normal dengan mean 45 dandeviasi standar 13. Jika hanya 32,5% calon mahasiswa yangakan diterima, berapakah nilai terendah calon mahasiswa yangditerima?
0,325
X =?X N(45, 132)
X =?
MMS-1403 p.106/204
Distribusi Variabel Random KontinuContoh 5 (Distribusi Normal)Nilai-nilai ujian seleksi penerimaan mahasiswa baru secaranasional dianggap berdistribusi Normal dengan mean 45 dandeviasi standar 13. Jika hanya 32,5% calon mahasiswa yangakan diterima, berapakah nilai terendah calon mahasiswa yangditerima?
0,325
X =?X N(45, 132)
Z N(0, 1)
MMS-1403 p.106/204
Distribusi Variabel Random KontinuContoh 5 (Distribusi Normal)Nilai-nilai ujian seleksi penerimaan mahasiswa baru secaranasional dianggap berdistribusi Normal dengan mean 45 dandeviasi standar 13. Jika hanya 32,5% calon mahasiswa yangakan diterima, berapakah nilai terendah calon mahasiswa yangditerima?
0,325
X =?X N(45, 132)
Z N(0, 1)Z = 0, 45
MMS-1403 p.106/204
Distribusi Variabel Random KontinuContoh 5 (Distribusi Normal)Nilai-nilai ujian seleksi penerimaan mahasiswa baru secaranasional dianggap berdistribusi Normal dengan mean 45 dandeviasi standar 13. Jika hanya 32,5% calon mahasiswa yangakan diterima, berapakah nilai terendah calon mahasiswa yangditerima?
0,325
X N(45, 132)
Z N(0, 1)Z = 0, 45
X = 13 0, 45 + 45
MMS-1403 p.106/204
Distribusi Variabel Random KontinuContoh 5 (Distribusi Normal)Nilai-nilai ujian seleksi penerimaan mahasiswa baru secaranasional dianggap berdistribusi Normal dengan mean 45 dandeviasi standar 13. Jika hanya 32,5% calon mahasiswa yangakan diterima, berapakah nilai terendah calon mahasiswa yangditerima?
0,325
X N(45, 132)
Z N(0, 1)Z = 0, 45
50, 85
MMS-1403 p.106/204
Pendekatan Normal untuk BinomialTeoremaBila X adalah variabel random binomial dengan mean = npdan variansi 2 = npq, maka untuk n besar
Z =X np
npq
merupakan variabel random normal standar.
MMS-1403 p.107/204
Pendekatan Normal untuk BinomialBinomial(n = 10, p = 0, 5) Normal
0 2 4 6 8 10
0
.
0
0
0
.
0
5
0
.
1
0
0
.
1
5
0
.
2
0
0
.
2
5
MMS-1403 p.108/204
Pendekatan Normal untuk BinomialBinomial(n = 10, p = 0, 5) Normal
0 2 4 6 8 10
0
.
0
0
0
.
0
5
0
.
1
0
0
.
1
5
0
.
2
0
0
.
2
5
MMS-1403 p.109/204
Pendekatan Normal untuk BinomialBinomial(n = 100, p = 0, 5) Normal
30 40 50 60 70
0
.
0
0
0
.
0
2
0
.
0
4
0
.
0
6
0
.
0
8
MMS-1403 p.110/204
Pendekatan Normal untuk BinomialBinomial(n = 100, p = 0, 5) Normal
30 40 50 60 70
0
.
0
0
0
.
0
2
0
.
0
4
0
.
0
6
0
.
0
8
MMS-1403 p.111/204
Distribusi Sampling StatistikPopulasi: himpunan keseluruhan obyek yang diamati.Sampel: himpunan bagian dari populasi.Sampel Random: sampel yang diperoleh dengan cara
pengambilan sampel sedemikian sehingga setiap elemenpopulasi mempunyai kemungkinan yang sama untukterambil.
Unit: Anggota (elemen) populasiKerangka sampel: Daftar anggota populasi (unit)Variabel: Karakteristik dari unit yang ingin diamatiParameter: suatu harga (numerik) yang dihitung dari populasi,
memberi deskripsi/karakteristik pada populasi.Statistik: suatu harga (numerik) yang dihitung dari sampel.Distribusi sampling statistik: distribusi peluang suatu statistik.
MMS-1403 p.112/204
Distribusi Sampling Statistik
PopulasiX1, X2, . . . , XN
2
MMS-1403 p.113/204
Distribusi Sampling Statistik
PopulasiX1, X2, . . . , XN
2
Sampel 1X1, X2, . . . , Xn
X1 S21
MMS-1403 p.113/204
Distribusi Sampling Statistik
PopulasiX1, X2, . . . , XN
2
Sampel 1X1, X2, . . . , Xn
X1 S21
Sampel 2X1, X2, . . . , Xn
X2 S22
MMS-1403 p.113/204
Distribusi Sampling Statistik
PopulasiX1, X2, . . . , XN
2
Sampel 1X1, X2, . . . , Xn
X1 S21
Sampel 2X1, X2, . . . , Xn
X2 S22
.......
MMS-1403 p.113/204
Distribusi Sampling Statistik
PopulasiX1, X2, . . . , XN
2
Sampel 1X1, X2, . . . , Xn
X1 S21
Sampel 2X1, X2, . . . , Xn
X2 S22
.......
Sampel MX1, X2, . . . , Xn
XM S2M
MMS-1403 p.113/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3
Sampling dengan pengembalian
MMS-1403 p.114/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3
Distribusi peluang
x P (X = x)
2 1/33 1/34 1/3
E(X) = (2 + 3 + 4) 13
= 3
Var(X) = (22 + 32 + 42) 13 32=2/3
Sampling dengan pengembalian
MMS-1403 p.114/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
Sampel 1{2, 2}, n = 2
X1 = 2
Sampling dengan pengembalian
MMS-1403 p.114/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
Sampel 1{2, 2}, n = 2
X1 = 2
Sampel 2{2, 3}, n = 2
X2 = 2, 5
Sampling dengan pengembalian
MMS-1403 p.114/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
Sampel 1{2, 2}, n = 2
X1 = 2
Sampel 2{2, 3}, n = 2
X2 = 2, 5
Sampel 3{2, 4}, n = 2
X3 = 3
Sampling dengan pengembalian
MMS-1403 p.114/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
Sampel 1{2, 2}, n = 2
X1 = 2
Sampel 2{2, 3}, n = 2
X2 = 2, 5
Sampel 3{2, 4}, n = 2
X3 = 3
Sampel 4{3, 2}, n = 2
X4 = 2, 5
Sampling dengan pengembalian
MMS-1403 p.114/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
Sampel 1{2, 2}, n = 2
X1 = 2
Sampel 2{2, 3}, n = 2
X2 = 2, 5
Sampel 3{2, 4}, n = 2
X3 = 3
Sampel 4{3, 2}, n = 2
X4 = 2, 5
Sampel 5{3, 3}, n = 2
X5 = 3
Sampling dengan pengembalian
MMS-1403 p.114/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
Sampel 1{2, 2}, n = 2
X1 = 2
Sampel 2{2, 3}, n = 2
X2 = 2, 5
Sampel 3{2, 4}, n = 2
X3 = 3
Sampel 4{3, 2}, n = 2
X4 = 2, 5
Sampel 5{3, 3}, n = 2
X5 = 3
Sampel 6{3, 4}, n = 2
X6 = 3, 5
Sampling dengan pengembalian
MMS-1403 p.114/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
Sampel 1{2, 2}, n = 2
X1 = 2
Sampel 2{2, 3}, n = 2
X2 = 2, 5
Sampel 3{2, 4}, n = 2
X3 = 3
Sampel 4{3, 2}, n = 2
X4 = 2, 5
Sampel 5{3, 3}, n = 2
X5 = 3
Sampel 6{3, 4}, n = 2
X6 = 3, 5
Sampel 7{4, 2}, n = 2
X7 = 3
Sampling dengan pengembalian
MMS-1403 p.114/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
Sampel 1{2, 2}, n = 2
X1 = 2
Sampel 2{2, 3}, n = 2
X2 = 2, 5
Sampel 3{2, 4}, n = 2
X3 = 3
Sampel 4{3, 2}, n = 2
X4 = 2, 5
Sampel 5{3, 3}, n = 2
X5 = 3
Sampel 6{3, 4}, n = 2
X6 = 3, 5
Sampel 7{4, 2}, n = 2
X7 = 3
Sampel 8{4, 3}, n = 2
X8 = 3, 5
Sampling dengan pengembalian
MMS-1403 p.114/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
Sampel 1{2, 2}, n = 2
X1 = 2
Sampel 2{2, 3}, n = 2
X2 = 2, 5
Sampel 3{2, 4}, n = 2
X3 = 3
Sampel 4{3, 2}, n = 2
X4 = 2, 5
Sampel 5{3, 3}, n = 2
X5 = 3
Sampel 6{3, 4}, n = 2
X6 = 3, 5
Sampel 7{4, 2}, n = 2
X7 = 3
Sampel 8{4, 3}, n = 2
X8 = 3, 5
Sampel 9{4, 4}, n = 2
X9 = 4
Sampling dengan pengembalian
MMS-1403 p.114/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
Sampel 1{2, 2}, n = 2
X1 = 2
Sampel 2{2, 3}, n = 2
X2 = 2, 5
Sampel 3{2, 4}, n = 2
X3 = 3
Sampel 4{3, 2}, n = 2
X4 = 2, 5
Sampel 5{3, 3}, n = 2
X5 = 3
Sampel 6{3, 4}, n = 2
X6 = 3, 5
Sampel 7{4, 2}, n = 2
X7 = 3
Sampel 8{4, 3}, n = 2
X8 = 3, 5
Sampel 9{4, 4}, n = 2
X9 = 4
Sampling dengan pengembalian M = Nn = 32 = 9
MMS-1403 p.114/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
x P (X = x)
2,0 1/92,5 2/93,0 3/93,5 2/94,0 1/9
Sampling dengan pengembalian
MMS-1403 p.115/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
x P (X = x)
2,0 1/92,5 2/93,0 3/93,5 2/94,0 1/9
X = E(X) = 2(19) + 2, 5( 2
9) + 3( 3
9) + 3, 5( 2
9) + 4( 1
9) = 3
2X
= Var(X) = 22( 19) + 2, 52( 2
9) + 32( 3
9) + 3, 52( 2
9) + 42( 1
9) 32 = 1/3
Sampling dengan pengembalian
MMS-1403 p.115/204
Distribusi Sampling StatistikSampling dengan pengembalianUntuk sampel berukuran n dari populasi berukuran N denganmean dan variansi 2, mean dan variansi dari statistik X:
X = E(X) =
2X = Var(X) =2
n
MMS-1403 p.116/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
Sampling tanpa pengembalian
MMS-1403 p.117/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
Sampel 1{2, 3}, n = 2
X2 = 2, 5
Sampling tanpa pengembalian
MMS-1403 p.117/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
Sampel 1{2, 3}, n = 2
X2 = 2, 5
Sampel 2{2, 4}, n = 2
X2 = 3
Sampling tanpa pengembalian
MMS-1403 p.117/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
Sampel 1{2, 3}, n = 2
X2 = 2, 5
Sampel 2{2, 4}, n = 2
X2 = 3
Sampel 3{3, 4}, n = 2
X3 = 3, 5
Sampling tanpa pengembalian
MMS-1403 p.117/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
Sampel 1{2, 3}, n = 2
X2 = 2, 5
Sampel 2{2, 4}, n = 2
X2 = 3
Sampel 3{3, 4}, n = 2
X3 = 3, 5
Sampling tanpa pengembalian M = (Nn) = (32) = 3MMS-1403 p.117/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
x P (X = x)
2,5 1/33,0 1/33,5 1/3
Sampling tanpa pengembalian
MMS-1403 p.118/204
Distribusi Sampling StatistikContoh:
Populasi{2, 4, 3}, N = 3 = 3, 2 = 2/3
x P (X = x)
2,5 1/33,0 1/33,5 1/3
X = E(X) =) + 2, 5(13) + 3( 1
3) + 3, 5( 1
3) = 3
X = Var(X) =) + 2, 52( 1
3) + 32( 1
3) + 3, 52( 1
3) 32 = 1/6
Sampling tanpa pengembalian
MMS-1403 p.118/204
Distribusi Sampling StatistikSampling tanpa pengembalianUntuk sampel berukuran n dari populasi berukuran N denganmean dan variansi 2, mean dan variansi dari statistik X:
X = E(X) =
2X = Var(X) =2
n
N nN 1
MMS-1403 p.119/204
Distribusi Sampling StatistikSifat-sifat Distribusi Sampling untuk MeanSifat 1: Apabila sampel-sampel random dengan n elemen
masing-masing diambil dari suatu populasi yangmempunyai mean dan variansi 2 , maka distribusisampling mean akan mempunyai mean X = danvariansi 2
X= 2/n.
Sifat 2: Apabila populasi (dalam sifat 1) berdistribusi Normal,maka distribusi sampling untuk mean juga berdistribusiNormal.
MMS-1403 p.120/204
Distribusi Sampling StatistikSifat-sifat Distribusi Sampling untuk MeanSifat 3 (Teorema Limit Pusat): Apabila sampel-sampel random
diambil dari suatu populasi yang berdistribusi sembarang,yang mempunyai mean dan variansi 2, maka untuk nbesar, distribusi sampling untuk mean dapat dianggapmendekati Normal dengan X = dan variansi2
X= 2/n, sehingga
Z =X /
n
mendekati Normal Standar.
MMS-1403 p.121/204
Distribusi Sampling StatistikContoh 1:Seorang peneliti di bidang pertanian akan meneliti hasil dari suatuvarietas padi di Indonesia. Akan diteliti 5 tanah pertanian tersebar diseluruh Indonesia yang dapat ditanami padi tersebut.
MMS-1403 p.122/204
Distribusi Sampling StatistikContoh 1:Seorang peneliti di bidang pertanian akan meneliti hasil dari suatuvarietas padi di Indonesia. Akan diteliti 5 tanah pertanian tersebar diseluruh Indonesia yang dapat ditanami padi tersebut.
Populasi untuk masalah ini adalah hasil padi jenis tersebut yangdiperoleh dari seluruh tanah pertanian di Indonesia.
MMS-1403 p.122/204
Distribusi Sampling StatistikContoh 1:Seorang peneliti di bidang pertanian akan meneliti hasil dari suatuvarietas padi di Indonesia. Akan diteliti 5 tanah pertanian tersebar diseluruh Indonesia yang dapat ditanami padi tersebut.
Sampel untuk masalah ini adalah hasil padi yang diperoleh dari 5tanah pertanian yang terpilih. Sampel ini akan merupakan sampelrandom jika, setiap tanah pertanian di Indonesia mempunyai peluangyang sama untuk terpilih ; dan pemilihan satu tanah pertanian tidakmempengaruhi atau dipengaruhi pemilihan tanah yang lain.
MMS-1403 p.122/204
Distribusi Sampling StatistikContoh 1:Seorang peneliti di bidang pertanian akan meneliti hasil dari suatuvarietas padi di Indonesia. Akan diteliti 5 tanah pertanian tersebar diseluruh Indonesia yang dapat ditanami padi tersebut.
Sampel untuk masalah ini adalah hasil padi yang diperoleh dari 5tanah pertanian yang terpilih. Sampel ini akan merupakan sampelrandom jika, setiap tanah pertanian di Indonesia mempunyai peluangyang sama untuk terpilih ; dan pemilihan satu tanah pertanian tidakmempengaruhi atau dipengaruhi pemilihan tanah yang lain.
Hal ini dapat dilakukan dengan mendaftar terlebih dahulu semua tanahpertanian di Indonesia dan diberi nomor identitas, kemudian dipilih 5tanah pertanian secara random berdasarkan nomor identitas(misalnya dengan tabel bilangan random).
MMS-1403 p.122/204
Distribusi Sampling StatistikContoh 2:Suatu sampel random berukuran 40 diambil dari suatu populasidengan mean 41,4 dan variansi 84,64. Hitung peluang bahwa meansampel itu terletak antara 40 dan 45. Anggap ukuran populasinyasangat besar relatif terhadap ukuran sampel.
MMS-1403 p.123/204
Distribusi Sampling StatistikContoh 2:Suatu sampel random berukuran 40 diambil dari suatu populasidengan mean 41,4 dan variansi 84,64. Hitung peluang bahwa meansampel itu terletak antara 40 dan 45. Anggap ukuran populasinyasangat besar relatif terhadap ukuran sampel.
Berdasarkan Sifat 1, distribusi sampling untuk mean (X) mempunyaimean (E(X), harga harapan): X = = 41, 4 dan variansi (Var(X)):X =
2/n = 84, 64/40 = 2, 116.
MMS-1403 p.123/204
Distribusi Sampling StatistikContoh 2:Suatu sampel random berukuran 40 diambil dari suatu populasidengan mean 41,4 dan variansi 84,64. Hitung peluang bahwa meansampel itu terletak antara 40 dan 45. Anggap ukuran populasinyasangat besar relatif terhadap ukuran sampel.
Berdasarkan Sifat 1, distribusi sampling untuk mean (X) mempunyaimean (E(X), harga harapan): X = = 41, 4 dan variansi (Var(X)):X =
2/n = 84, 64/40 = 2, 116.
Ukuran sampel n = 40 cukup besar untuk berlakunya Sifat 3,
MMS-1403 p.123/204
Distribusi Sampling StatistikContoh 2:Suatu sampel random berukuran 40 diambil dari suatu populasidengan mean 41,4 dan variansi 84,64. Hitung peluang bahwa meansampel itu terletak antara 40 dan 45. Anggap ukuran populasinyasangat besar relatif terhadap ukuran sampel.
Berdasarkan Sifat 1, distribusi sampling untuk mean (X) mempunyaimean (E(X), harga harapan): X = = 41, 4 dan variansi (Var(X)):X =
2/n = 84, 64/40 = 2, 116.
Ukuran sampel n = 40 cukup besar untuk berlakunya Sifat 3,
X N(; 2/n)
Z N(0, 1)40 45
MMS-1403 p.123/204
Distribusi Sampling StatistikContoh 2:Suatu sampel random berukuran 40 diambil dari suatu populasidengan mean 41,4 dan variansi 84,64. Hitung peluang bahwa meansampel itu terletak antara 40 dan 45. Anggap ukuran populasinyasangat besar relatif terhadap ukuran sampel.
Berdasarkan Sifat 1, distribusi sampling untuk mean (X) mempunyaimean (E(X), harga harapan): X = = 41, 4 dan variansi (Var(X)):X =
2/n = 84, 64/40 = 2, 116.
Ukuran sampel n = 40 cukup besar untuk berlakunya Sifat 3,
X N(41, 4; 2, 116)
Z N(0, 1)0, 97 2, 48
40 45
MMS-1403 p.123/204
Distribusi Sampling StatistikContoh 2:Suatu sampel random berukuran 40 diambil dari suatu populasidengan mean 41,4 dan variansi 84,64. Hitung peluang bahwa meansampel itu terletak antara 40 dan 45. Anggap ukuran populasinyasangat besar relatif terhadap ukuran sampel.
Berdasarkan Sifat 1, distribusi sampling untuk mean (X) mempunyaimean (E(X), harga harapan): X = = 41, 4 dan variansi (Var(X)):X =
2/n = 84, 64/40 = 2, 116.
Ukuran sampel n = 40 cukup besar untuk berlakunya Sifat 3,
X N(41, 4; 2, 116)
Z N(0, 1)0, 97 2, 48
40 45
0, 8274
MMS-1403 p.123/204
Distribusi Sampling StatistikContoh 3:Diketahui suatu populasi dengan mean 82 dan deviasi standar 12.
a. Jika suatu sampel random berukuran 64 diambil, berapa peluangbahwa mean sampel akan terletak antara 80,8 dan 83,2 ?
MMS-1403 p.124/204
Distribusi Sampling StatistikContoh 3:Diketahui suatu populasi dengan mean 82 dan deviasi standar 12.
a. Jika suatu sampel random berukuran 64 diambil, berapa peluangbahwa mean sampel akan terletak antara 80,8 dan 83,2 ?Karena n = 64 cukup besar, dapat digunakan Teorema limitpusat (sifat 3). Distribusi X akan mendekati normal denganmean X = 82 dan deviasi standar X = 12/
64 = 1, 5
P (80, 8 X 83, 2) dapat dihitung melalui Z = X821,5
P (80, 8 X 83, 2) = P (80, 8 821, 5
Z 83, 2 821, 5
)
= P (0, 8 Z 0, 8)= 0, 5762
MMS-1403 p.125/204
Distribusi Sampling StatistikContoh 3:Diketahui suatu populasi dengan mean 82 dan deviasi standar 12.
b. Berapa probabilitasnya jika ukuran sampel random 100 ?
MMS-1403 p.126/204
Distribusi Sampling StatistikContoh 3:Diketahui suatu populasi dengan mean 82 dan deviasi standar 12.
b. Berapa probabilitasnya jika ukuran sampel random 100 ? Untukn = 100, X = 12/
100 = 1, 2
P (80, 8 X 83, 2) = P (80, 8 821, 2
Z 83, 2 821, 2
)
= P (1, 0 Z 1, 0)= 0, 6826
MMS-1403 p.127/204
Inferensi StatistikPermasalahan dalam peluang
MMS-1403 p.128/204
Inferensi StatistikPermasalahan dalam peluang
MMS-1403 p.128/204
Inferensi StatistikPermasalahan dalam peluang
?
Berapa peluang mendapatkan satubola hitam dalam satu pengambilan
MMS-1403 p.128/204
Inferensi StatistikPermasalahan dalam inferensi
MMS-1403 p.129/204
Inferensi StatistikPermasalahan dalam inferensi
MMS-1403 p.129/204
Inferensi StatistikPermasalahan dalam inferensi
?
Bagaimana karakteristik populasiberdasarkan sampel
MMS-1403 p.129/204
Inferensi StatistikInferensi statistik: pengambilan kesimpulan tentang parameter
populasi berdasarkan analisis pada sampelKonsep-konsep inferensi statistik: estimasi titik, estimasi interval
dan uji hipotesisEstimasi parameter: Menduga nilai parameter populasi
berdasarkan data/statistik.Estimasi titik: Menduga nilai tunggal parameter populasi.
Misalnya parameter diduga dengan statistik XEstimasi interval: Menduga nilai parameter populasi dalam
bentuk interval. Misalnya diduga dengan suatu intervalA B
MMS-1403 p.130/204
EstimasiContoh: estimator titik untuk mean
rata-rata
X =1
n
ni=1
Xi
Medianrata-rata dua harga ekstrim
Xmin + Xmaks2
MMS-1403 p.131/204
EstimasiContoh: Estimasi IntervalDiketahui variabel random Normal X dengan mean E(X) = dan Var(X) = 1. Maka (X ) akan berdistribusi Normalstandar.
Z N(0, 1)
MMS-1403 p.132/204
EstimasiContoh: Estimasi IntervalDiketahui variabel random Normal X dengan mean E(X) = dan Var(X) = 1. Maka (X ) akan berdistribusi Normalstandar.
Z N(0, 1)X + 0, 99X 0, 99
68%
Interval Konfidensi (estimasi interval) 68%
MMS-1403 p.132/204
EstimasiContoh: Estimasi IntervalDiketahui variabel random Normal X dengan mean E(X) = dan Var(X) = 1. Maka (X ) akan berdistribusi Normalstandar.
Z N(0, 1)X + 1, 96X 1, 96
95%
Interval Konfidensi (estimasi interval) 95%
MMS-1403 p.132/204
EstimasiContoh: Estimasi IntervalDiketahui variabel random Normal X dengan mean E(X) = dan Var(X) = 1. Maka (X ) akan berdistribusi Normalstandar.
Z N(0, 1)X + 2, 58X 2, 58
99%
Interval Konfidensi (estimasi interval) 99%
MMS-1403 p.132/204
EstimasiIngin diketahui lama waktu (dalam jam) yang digunakan dalamseminggu oleh mahasiswa UGM untuk melakukan kegiatanyang berkaitan dengan internet (surfing, chatting, menulise-mail, dst.)
MMS-1403 p.133/204
EstimasiIngin diketahui lama waktu (dalam jam) yang digunakan dalamseminggu oleh mahasiswa UGM untuk melakukan kegiatanyang berkaitan dengan internet (surfing, chatting, menulise-mail, dst.)
Parameter apa yang sebaiknya digunakan?Variabel apa yang seharusnya dikumpulkan datanya?
MMS-1403 p.133/204
Uji HipotesisUji hipotesis: suatu proses untuk menentukan apakah dugaan
tentang nilai parameter/karakteristik populasi didukungkuat oleh data sampel atau tidak
Hipotesis penelitian: hipotesis tentang pernyataan dari hasilpenelitian yang akan dilakukan
Hipotesis Statistik: suatu pernyataan tentang parameterpopulasi
MMS-1403 p.134/204
Uji HipotesisHipotesis nol (H0). Hipotesis yang akan diuji oleh suatu
prosedur statistik, biasanya berupa suatu pernyataan tidakadanya perbedaan atau tidak adanya hubungan.Pernyataan nol dapat diartikan bahwa pernyataan tetangparameter tidak didukung secara kuat oleh data.
Hipotesis alternatif (H1). Hipotesis yang merupakan lawan dariH0, biasanya berupa pernyataan tentang adanyaperbedaan atau adanya hubungan. H1 digunakan untukmenunjukkan bahwa pernyataan mendapat dukungan kuatdari data.
Logika Uji Hipotesis. Tidak dapat dibuktikan bahwa suatuhipotesis itu benar, tapi dapat dibuktikan bahwa suatuhipotesis itu salah.
MMS-1403 p.135/204
Uji HipotesisTipe Kesalahan dalam Uji Hipotesis
Keputusan Uji KenyataanH0 benar H0 salah
H0 tidak ditolak benar salah (Tipe II)H0 ditolak salah (Tipe I) benar
MMS-1403 p.136/204
Uji HipotesisTipe Kesalahan dalam Uji Hipotesis
Keputusan Uji KenyataanH0 benar H0 salah
H0 tidak ditolak benar salah (Tipe II)H0 ditolak salah (Tipe I) benar
Peluang melakukan kesalahan tipe IP (menolak H0 yang benar) =
MMS-1403 p.136/204
Uji HipotesisTipe Kesalahan dalam Uji Hipotesis
Keputusan Uji KenyataanH0 benar H0 salah
H0 tidak ditolak benar salah (Tipe II)H0 ditolak salah (Tipe I) benar
Peluang melakukan kesalahan tipe IP (menolak H0 yang benar) =
Peluang melakukan kesalahan tipe IIP (tidak menolak H0 yang salah) =
MMS-1403 p.136/204
Uji HipotesisContoh (Hipotesis statistik dan statistik penguji)
Ingin diuji secara statistik pernyataan : suatu obat baru lebihbaik dari obat yang selama ini digunakan.
Misalkan p adalah proporsi (prosentase) orang yang sembuhsetelah minum obat tersebut, dan obat dikatakan baik jikaproporsi orang yang sembuh lebih dari 60 %.
Pernyataan H0 dan H1 adalah sebagai berikut :H0 : p 0, 6 (obat baru tidak lebih baik)H1 : p > 0, 6 (obat baru lebih baik)
MMS-1403 p.137/204
Uji HipotesisContoh (Hipotesis statistik dan statistik penguji)
Ingin diuji secara statistik pernyataan : suatu obat baru lebihbaik dari obat yang selama ini digunakan.H0 : p 0, 6 (obat baru tidak lebih baik)H1 : p > 0, 6 (obat baru lebih baik)
Dilakukan eksperimen terhadap 20 pasien.X : banyak pasien yang sembuhX Binomial(n = 20, p = 0, 6)
MMS-1403 p.138/204
Uji HipotesisContoh (Hipotesis statistik dan statistik penguji)
Ingin diuji secara statistik pernyataan : suatu obat baru lebihbaik dari obat yang selama ini digunakan.H0 : p 0, 6 (obat baru tidak lebih baik)H1 : p > 0, 6 (obat baru lebih baik)
Dilakukan eksperimen terhadap 20 pasien.X : banyak pasien yang sembuhX Binomial(n = 20, p = 0, 6)
X besar (banyak yang sembuh) menolak H0,X kecil (banyak yang tidak sembuh) mendukung H0
MMS-1403 p.139/204
Uji HipotesisDaerah penolakan (Daerah kritik): himpunan (daerah)
harga-harga dimana H0 ditolakStatistik Penguji: statistik atau variabel random yang digunakan
untuk menentukan apakah H0 ditolak atau tidak ditolak.Bila statistik penguji masuk dalam daerah penolakan makaH0 ditolak, sebaliknya jika tidak maka H0 tidak ditolak.
MMS-1403 p.140/204
Uji HipotesisDaerah penolakan (Daerah kritik): himpunan (daerah)
harga-harga dimana H0 ditolakStatistik Penguji: statistik atau variabel random yang digunakan
untuk menentukan apakah H0 ditolak atau tidak ditolak.Bila statistik penguji masuk dalam daerah penolakan makaH0 ditolak, sebaliknya jika tidak maka H0 tidak ditolak.
Contoh (lanjutan):Daerah penolakan:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
MMS-1403 p.141/204
Uji HipotesisDaerah penolakan (Daerah kritik): himpunan (daerah)
harga-harga dimana H0 ditolakStatistik Penguji: statistik atau variabel random yang digunakan
untuk menentukan apakah H0 ditolak atau tidak ditolak.Bila statistik penguji masuk dalam daerah penolakan makaH0 ditolak, sebaliknya jika tidak maka H0 tidak ditolak.
Contoh (lanjutan):Daerah penolakan: X 12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
daerahpenolakan
MMS-1403 p.141/204
Uji HipotesisDaerah penolakan (Daerah kritik): himpunan (daerah)
harga-harga dimana H0 ditolakStatistik Penguji: statistik atau variabel random yang digunakan
untuk menentukan apakah H0 ditolak atau tidak ditolak.Bila statistik penguji masuk dalam daerah penolakan makaH0 ditolak, sebaliknya jika tidak maka H0 tidak ditolak.
Contoh (lanjutan):Daerah penolakan: X 15
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
daerahpenolakan
MMS-1403 p.141/204
Uji HipotesisP (Tipe I) = untuk beberapa nilai p dengan menganggap H0benar (p 0, 6) dan daerah penolakan X 12
p di bawah H0P (Tipe I) = 0,2 0,3 0,4 0,6P (X 12) 0,00 0,005 0,057 0,596
MMS-1403 p.142/204
Uji HipotesisHarga peluang untuk p = 0, 6 untuk beberapa kriteria penolakan
X 12 X 14 X 16 X 18Peluang 0,596 0,25 0,051 0,004
p-value: nilai yang terkecil.
MMS-1403 p.143/204
Uji HipotesisTahap-tahap Uji Hipotesis Secara umum
1. Tentukan model probabilitas yang cocok dari data2. Tentukan Hipotesis H0 dan H13. Tentukan Statistik Penguji, yang harus merupakan fungsi
dari data dan tidak memuat parameter yang tidak diketahui4. Tentukan tingkat signifikansi5. Tentukan daerah kritik berdasarkan tingkat signifikansi6. Hitung Statistik Penguji, apakah masuk daerah kritik atau
tidak7. Alternatif: Hitung p-value berdasarkan statistik penguji8. Ambil kesimpulan berdasarkan 6 atau 7
MMS-1403 p.144/204
Inferensi Statistik
Satu Populasi
Dua Populasi
k > 2 Populasi
Populasi sembarang
Populasi Normal
Populasi sembarang
Populasi Normal
p
2
21, 2
2
p21, p2
2
21, 2
2
21, 2
2
MMS-1403 p.145/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangEstimasi interval mean () suatu populasi
Teorema Limit PusatApabila sampel-sampel random diambil dari suatu populasi yangberdistribusi sembarang, yang mempunyai mean dan variansi 2,maka untuk n besar, distribusi sampling untuk mean dapat dianggapmendekati Normal dengan X = dan variansi 2X = 2/n, sehingga
Z =X /
n
mendekati Normal Standar.
MMS-1403 p.146/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangEstimasi interval mean () suatu populasi
X N(, 2/n)
MMS-1403 p.147/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangEstimasi interval mean () suatu populasi
X N(, 2/n)1
MMS-1403 p.147/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangEstimasi interval mean () suatu populasi
X N(, 2/n)1
Z N(0, 1)
MMS-1403 p.147/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangEstimasi interval mean () suatu populasi
Z/2 Z/2
/2 /2
X N(, 2/n)1
Z N(0, 1)
P (Z/2 Z Z/2) 1
MMS-1403 p.147/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangEstimasi interval mean () suatu populasi
Z/2 Z/2
/2 /2
X N(, 2/n)1
Z N(0, 1)
P (Z/2 Z Z/2) 1
P (Z/2 X /
n Z/2) 1
MMS-1403 p.147/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangEstimasi interval mean () suatu populasi
Z/2 Z/2
/2 /2
X N(, 2/n)1
Z N(0, 1)
P (Z/2 Z Z/2) 1
P (Z/2 X /
n Z/2) 1
P (X Z/2n X + Z/2
n
) 1
MMS-1403 p.147/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangEstimasi interval mean () suatu populasi
Z/2 Z/2
/2 /2
X N(, 2/n)1
Z N(0, 1)
Interval Konfidensi (1 )100% untuk mean B AB = X Z/2 nA = X + Z/2
n
MMS-1403 p.148/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangContoh:Suatu sampel random dengan 150 keluarga di suatu kotamenunjukkan penghasilan bulanan rata-rata Rp 325 000,00dengan deviasi standar Rp 25 000,00. Hitung interval konfidensi95% untuk rata-rata penghasilan bulanan seluruh keluarga dikota tersebut.
MMS-1403 p.149/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangContoh:Suatu sampel random dengan 150 keluarga di suatu kotamenunjukkan penghasilan bulanan rata-rata Rp 325 000,00dengan deviasi standar Rp 25 000,00. Hitung interval konfidensi95% untuk rata-rata penghasilan bulanan seluruh keluarga dikota tersebut.Jawab:X : penghasilan bulanan di kota tersebutX = 325.000; s = 25.000; n = 150.Interval konfidensi 95% untuk rata-rata penghasilan bulanan ():B = X Z/2 n = 325.000 1,96 25150 = 324.996A = X + Z/2
n
= 325.000 + 1,96 25150
= 325.004
Interval konfidensi 95%: 324.996 325.004
dapat diganti sMMS-1403 p.150/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangUji Hipotesis Mean () Populasi
1. HipotesisA. H0 : = 0 vs. H1 : 6= 0B. H0 : 0 vs. H1 : > 0C. H0 : 0 vs. H1 : < 0
2. Tingkat signifikansi 3. Statistik Penguji
Z =X 0/
n
atau
Z =X 0s/
n
jika tidak diketahui diganti s. Distribusi dari Z adalahNormal Standar.
MMS-1403 p.151/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangUji Hipotesis Mean () Populasi
4. Daerah penolakan (berdasarkan dan Hipotesis)
A. H0 ditolak apabila Z > Z/2 atauZ < Z/2
B. H0 ditolak apabila Z > Z
C. H0 ditolak apabila Z < Z
MMS-1403 p.152/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangContoh:Ujian standar intelegensia telah diadakan beberapa tahundengan nilai rata-rata 70 dengan deviasi standar 8. Sekelompokmahasiswa terdiri dari 100 orang mahasiswa, diberi pelajarandengan mengutamakan bidang Matematika. Apabila dari 100mahasiswa ini diperoleh hasil ujian dengan nilai rata-rata 75,apakah cukup alasan untuk mempercayai bahwa pengutamaanbidang Matematika menaikkan hasil ujian standar?
MMS-1403 p.153/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangContoh (Ujian standar intelegensia)Diketahui X : ujian standar intelegensia, X = 75, 0 = 70, = 8,n = 100, : mean nilai ujian standar intelegensia:
1. HipotesisH0 : 70H1 : > 70
2. Tingkat signifikansi = 0,053. Statistik Penguji
Z =X 0/
n=
75 708/
100= 6,25
4. Daerah kritik: H0 ditolak apabila Z > 1,645. Kesimpulan: karena Z = 6,25 > 1,64 maka H0 ditolak, cukup
alasan untuk mempercayai bahwa pengutamaan bidangMatematika menaikkan hasil ujian standar (data mendukungditolaknya H0)
MMS-1403 p.154/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangEstimasi interval proporsi (p) suatu populasiJika X Binomial(n, p), maka variabel random xn mempunyaimean p dan variansi p(1p)n
Untuk n besarZ =
xn p
x
n(1 x
n)
n
mendekati Normal Standar (Teorema Limit Pusat)
MMS-1403 p.155/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangEstimasi interval proporsi (p) suatu populasi
Interval Konfidensi (1 )100% untuk pB p A
B = p Z/2
p(1p)n
A = p + Z/2
p(1p)
n
dengan p = xn
MMS-1403 p.156/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangContoh:Jika 610 dari 900 sampel random petani di suatu daerah adalahburuh tani, hitunglah interval konfidensi 90% untuk proporsiburuh tani di daerah itu.
MMS-1403 p.157/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangContoh:Untuk mengetahui apakah pasangan calon walikota dalampilkada pada suatu daerah akan memenangkan pemilihan,dilakukan quick count oleh lembaga independen pengamatpilkada. Ada dua pasangan calon pada pilkada ini, yaitupasangan calon A-B yang juga merupakan walikota periode inidan pasangan calon C-D. Pasangan calon A-B mendapatkansuara 65% pada pemilihan yang lalu. Kandidat dinyatakanmenang jika pemilihnya lebih dari 50%. Dari sampel 1200pemilih dari beberapa TPS, pasangan calon A-B diketahuimendapatkan suara 738.
1. Apakah calon A-B memenangkan pemilihan berdasarkanquick count ini?
2. Diduga dukungan masyarakat terhadap calon A-B tidaksekuat sebelumnya, betulkah pendapat ini?
MMS-1403 p.158/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangUji Hipotesis proporsi (p) Populasi
1. HipotesisA. H0 : p = p0 vs. H1 : p 6= p0B. H0 : p p0 vs. H1 : p > p0C. H0 : p p0 vs. H1 : p < p0
2. Tingkat signifikansi 3. Statistik Penguji
Z =p p0p0(1p0)
n
Distribusi dari Z adalah Normal Standar.
MMS-1403 p.159/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangUji Hipotesis proporsi (p) Populasi
4. Daerah penolakan (berdasarkan dan Hipotesis)
A. H0 ditolak apabila Z > Z/2 atauZ < Z/2
B. H0 ditolak apabila Z > Z
C. H0 ditolak apabila Z < Z
MMS-1403 p.160/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangHubungan antara Interval Konfidensi dan Uji HipotesisInterval Konfidensi (1 )100% untuk mean
X Z/2n X + Z/2
n
Daerah penolakan dengan tingkat signifikansi untukuji hipotesis H0 : = 0 vs. H1 : 6= 0
Z > Z/2 atau Z < Z/2Daerah penerimaan
Z/2 Z Z/2
MMS-1403 p.161/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangHubungan antara Interval Konfidensi dan Uji HipotesisInterval Konfidensi (1 )100% untuk mean
X Z/2n X + Z/2
n
Daerah penolakan dengan tingkat signifikansi untukuji hipotesis H0 : = 0 vs. H1 : 6= 0
Z > Z/2 atau Z < Z/2Daerah penerimaan
Z/2 X0/n Z/2
MMS-1403 p.162/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangHubungan antara Interval Konfidensi dan Uji HipotesisInterval Konfidensi (1 )100% untuk mean
X Z/2n X + Z/2
n
Daerah penolakan dengan tingkat signifikansi untukuji hipotesis H0 : = 0 vs. H1 : 6= 0
Z > Z/2 atau Z < Z/2Daerah penerimaan
X Z/2 n 0 X + Z/2 n
MMS-1403 p.163/204
Interval konfidensi
72 74 76 78
persentase int. konf. memuat parameter: 92.98
MMS-1403 p.164/204
Inferensi Statistik Satu Populasi SembarangRingkasan
Parameter Statistik Interval Konfidensi(1-)100%
Hipotesisalternatif
Daerah Kritik
mean Z =X 0/
n
Z N(0, 1)
B AB = X Z/2 nA = X + Z/2
n
H1 : 6= 0
H1 : > 0
H1 : < 0
Z > Z/2 atauZ < Z/2Z > Z
Z < Zp
proporsi Z = p p0p0(1p0)
n
Z N(0, 1)
B p AB = p Z/2
p(1p)
n
A = p + Z/2
p(1p)
n
H1 : p 6= p0
H1 : p > p0
H1 : p < p0
Z > Z/2 atauZ < Z/2Z > Z
Z < Z
MMS-1403 p.165/204
Inferensi Statistik Satu Populasi NormalData dianggap berdistribusi NormalUkuran sampel tidak harus besarJenis parameter:
mean
variansi 2
Distribusi SamplingNormalt
Chi-kuadrat (Chi-square)
MMS-1403 p.166/204
Inferensi Statistik Satu Populasi NormalNormal StandarJika X1, . . . , Xn adalah sampel random berasal dari populasiNormal dengan mean dan variansi 2 maka variabel random
Z =X /
n
berdistribusi Normal Standar N(0, 1)
MMS-1403 p.167/204
Inferensi Statistik Satu Populasi NormalDistribusi tJika X1, . . . , Xn adalah sampel random berasal dari populasiNormal dengan mean dan variansi 2 maka variabel random
t =X s/
n
berdistribusi t dengan derajad bebas n 1.Untuk n yang semakin besar, distribusi t akan mendekatidistribusi Normal.
MMS-1403 p.168/204
Inferensi Statistik Satu Populasi NormalDistribusi Chi-kuadrat 2kDiketahui X1, . . . , Xk adalah variabel random yang berdistribusiNormal yang independen satu dengan yang lain. Distribusivariabel random
2 = X21 + . . . + X2k
berdistribusi Chi-kuadrat berderajad bebas k dengan meanE(2) = k dan variansi Var(2) = 2k
MMS-1403 p.169/204
Inferensi Statistik Satu Populasi NormalDistribusi Chi-kuadrat n 1Diketahui X1, . . . , Xn adalah variabel random yang berdistribusiNormal dengan mean dan variansi 2 maka variabel random
2 =(n 1)s2
2
berdistribusi Chi-kuadrat dengan derajad bebas n 1
MMS-1403 p.170/204
Inferensi Statistik Satu Populasi NormalDistribusi Normal StandarApabila sampel random berukuran n diambil dari suatu populasiyang berdistribusi Normal dengan mean dan variansi 2,maka variabel random
Z =s2 22
2n1
berdistribusi N(0, 1) untuk n besar.
MMS-1403 p.171/204
Inferensi Statistik Satu Populasi NormalParameter Statistik Interval Konfidensi
(1-)100%Hipotesisalternatif
Daerah Kritik
mean
Bila 2 diketahui
Z =X 0/
n
Z N(0, 1)
B AB = X Z/2 nA = X + Z/2
n
H1 : 6= 0
H1 : > 0
H1 : < 0
Z > Z/2 atauZ < Z/2Z > Z
Z < Z
Bila 2 tidak diketahui
t =X 0s/
n
t distribusi t dgn.derajad bebas n 1
B AB = X t(n1,/2) snA = X + t(n1,/2)
sn
H1 : 6= 0
H1 : > 0
H1 : < 0
t > t(n1,/2) ataut < t(n1,/2)t > t(n1,)t < t(n1,)
MMS-1403 p.172/204
Inferensi Statistik Satu Populasi NormalParameter Statistik Interval Konfidensi
(1-)100%Hipotesisalternatif
Daerah Kritik
2
variansi 2 = (n 1)s2
2
2 chi-square dgn.derajad bebask = n 1
B 2 AB =
(n1)s22(n1,/2)
A =(n1)s2
2(n1,1/2)
H1 : 2 6= 20
H1 : 2 > 20
H1 : 2 < 20
2 > 2(k,/2)
atau2 < 2
(k,1/2)2 > 2
(k,)
2 < 2(k,1)
Untuk n besar,
Z =s2 2
2
2n1
Z N(0, 1)
B 2 AB = s
2
1+Z/2
2
n1
A = s2
1Z/2
2n1
H1 : 2 6= 20
H1 : 2 > 20H1 : 2 < 20
Z > Z/2 atauZ < Z/2Z > Z
Z < Z
MMS-1403 p.173/204
Inferensi Statistik Satu Populasi NormalContoh:Dari sampel dengan 25 kasus, diperoleh dosis obat yang sesuaiuntuk mendapatkan respon yang diinginkan dari pasien sebagaiberikut:1,07 0,79 0,83 1,14 1,22 1,09 1,17 1,10 1,261,10 1,04 1,17 0,94 0,86 1,19 1,01 1,12 0,831,02 1,20 0,85 1,03 0,95 1,13 0,98Dengan asumsi data berdistribusi Normal, hitung intervalkonfidensi 95% untuk rata-rata dosis . Menggunakan intervalini, ujilah (dua sisi, = 5%) bahwa rata-rata dosis adalah 1,00.
MMS-1403 p.174/204
Inferensi Statistik Satu Populasi NormalContoh:Suatu mesin pembuat uang dikatakan masih baik jika mampumemproduksi uang logam dengan standar deviasi berat kurangdari 0,035 gram. Sampel random berukuran 20 uang logammempunyai deviasi standar 0,030 gram.
1. Ujilah apakah mesin tersebut masih baik denganmengasumsikan bahwa berat uang logam berdistribusiNormal ( = 0, 05)
2. Statistik penguji apa yang digunakan jika n = 64?Jelaskan!
MMS-1403 p.175/204
Inferensi Statistik Dua Populasi SembarangDistribusi sampling selisih dua meanMisalkan X11, X12, . . . , X1n1 dan X21, X22, . . . , X2n2 adalah duasampel random independen satu