Upload
others
View
71
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Statik Ders Notları Sınav Soru ve Çözümleri Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
STATİK
Behcet DAĞHAN
İÇİNDEKİLER
1. GİRİŞ - Skalerler ve Vektörler - Newton Kanunları
2. KUVVET SİSTEMLERİ - İki Boyutlu Kuvvet Sistemleri - Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri
3. DENGE - Düzlemde Denge - Üç Boyutta Denge
4. YAPILAR - Düzlem Kafes Sistemler - Çerçeveler ve Makinalar
5. SÜRTÜNME
6. KÜTLE MERKEZLERİ ve GEOMETRİK MERKEZLER
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
STATİK
STATİK
KUVVET SİSTEMLERİ
Behcet DAĞHAN
2Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHAN
Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri
2.2STATİK
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 1
Dik Bileşenler
x
y
z
O
i
jk→
→
→
F→
F
Fx
Fx→
Fy→
Fz→
Fz
Fy
u // F→ →
θx
θyθz
F = Fx i + Fy j + Fz k
→ →F = Fx + Fy + Fz
→ →
→ → → →
F 2 = Fx2 + Fy
2 + Fz2
Fx = F cosθx = F l
Fy = F cosθy = F m
Fz = F cosθz = F nF = F (l i + m j + n k )→ → → →
l = cosθx
m = cosθy
n = cosθz
→F ile aynıyöndekibirim vektör
l 2 + m2 + n2 = 1
F = F u→ →
}
= u→
Kuvvetin tesir çizgisi üzerindeki A ve B gibi iki noktanın koordinatları biliniyorsa:
x
y
z
O
F→
F
u→
A
B
A (xA , yA , zA)
B (xB , yB , zB)
AB = (xB − xA) i + (yB − yA) j + (zB − zA) k→ → → →
AB vektörü,uç noktasının koordinatlarındanbaşlangıç noktasının koordinatları çıkarılarak yazılır.u = ––––
AB
AB
→→
AB2 = (xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2F = F ––––AB
AB
→→
Doğrultmankosinüsleri
u // F // AB→ → →→
u→
Behcet DAĞHANBehcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 2
Başlangıç ve uç noktasının koordinatları bilinen bir vektörün birim vektörler cinsinden yazılması için pratik bir yol
x
y
z
O
A (xA , yA , zA)
B (xB , yB , zB)
Başlangıçnoktası
Uçnoktası
x
y
z
O
B
A dan B ye giderken
x-eksenine paralel olarak
ne kadar ve ne yönde gittiğimize bakarak
i nin katsayısını buluruz.→
AB = (xB − xA) i + (yB − yA) j + (zB − zA) k→ → → →
A dan B ye giderken
z-eksenine paralel olarak
ne kadar ve ne yönde gittiğimize bakarak
k nın katsayısını buluruz.→
A dan B ye giderken
y-eksenine paralel olarak
ne kadar ve ne yönde gittiğimize bakarak
j nin katsayısını buluruz.→
AB = (xB − xA) i + (yB − yA) j + (zB − zA) k→ → → →
AB = (xB − xA) i + (yB − yA) j + (zB − zA) k→ → → →
AB = (xB − xA) i + (yB − yA) j + (zB − zA) k→ → → →
AB→
AB→
A
B
A
A dan B ye giderken hangi sırayla gidildiğinin önemi yoktur.
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 3
Bir kuvvetin herhangi bir doğrultuya dik izdüşümünün skaler çarpım ile bulunması
Örnek olarak F kuvvetinin x-eksenine izdüşümünü bulalım.F • i = F (1) cosθx
→ →
Fx = F cosθx
F
F
Fa = Fa e
a
a
e
→
→
Fa
→
Fa
→
Fa = F • e→ →
→
} Fa = F • e e→ → →→
} Fx = F • i→ →
Fx = F • i i→ →→ →
Fx = Fx i→ →
Benzer şekilde:
a-a doğrultusundakibirim vektör
Bir kuvvetin herhangi bir doğrultuya dik izdüşümünün şiddeti,kuvvet ile doğrultu üzerindeki birim vektörün skaler çarpımı ile bulunur.
F = F (l i + m j + n k )→ → → →
e = α i + β j + γ k→ → → →
e = α i + β j + γ k→ → → →
Fa = F • e→ →
} Fa = F (l α + m β + n γ)
Herhangi iki vektör arasındaki açının bulunması
cosθ = –––––– = l1 l2 + m1m2 + n1n2
P1 • P2
→ →
P1 P2
θ = 90o ↔ l1 l2 + m1m2 + n1n2 = 0P1 = P1 (l1 i + m1 j + n1 k )→ → → →
P2 = P2 (l2 i + m2 j + n2 k )→ → → →
F e ise:
Fa = 0
→ →
→
→
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 4
Örnek Problem 2/16
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki CD kablosunun, direğin C noktasına uyguladığı 1.2 kN şiddetindeki çekme kuvveti T yi,
x, y, z eksenlerindeki birim vektörler cinsinden yazınız.
Çözüm
T = 1.2 kN
T = Tx i + Ty j + Tz k→ → → →
C (−1.5,0,4.5)
D (0,3,0)
T = T ––––CD
CD
→→
CD = (xD − xC) i + (yD − yC) j + (zD − zC) k→ → → →
CD2 = (xD − xC)2 + (yD − yC)2 + (zD − zC)2
CD = [0 − (−1.5)] i + (3 − 0) j + (0 − 4.5) k m→ → → →
CD = 1.5 i + 3 j − 4.5 k m→ → → →
CD2 = (1.5)2 + 32 + (− 4.5)2 m2
CD = 5.61 m
T = 1.2 –––– i + 1.2 –––– j + 1.2 ––––– k kN→→ 1.5
5.61 5.61 5.61
3 − 4.5→ →T = 0.32 i + 0.64 j − 0.96 k kN
→→ → →
T = 1.2 –––––––––––––––––– kN →
5.61
1.5 i + 3 j − 4.5 k→ → →
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 5
Örnek Problem 2/17
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki CD kablosunun, direğin C noktasına uyguladığı 1.2 kN şiddetindeki çekme kuvveti T nin,
AE doğrultusuna dik izdüşümünün şiddetini bulunuz. Bir önceki problemin sonucunu kullanınız.
Çözüm
TAE = ?
AE = (xE − xA) i + (yE − yA) j + (zE − zA) k→ → → →
AE2 = (xE − xA)2 + (yE − yA)2 + (zE − zA)2
AE = (−1.5 − 0) i + (0 − 0) j + (0 − 3) k m→ → → →
AE = −1.5 i − 3 k m
→
→ →
AE2 = (−1.5)2 + 02 + (−3)2 m2
T = 0.32 i + 0.64 j − 0.96 k kN→→ → →
TAE = T • uAE
→
A (0,0,3)
E (−1.5,0,0)
uAE = α i + β j + γ k→ → → → } TAE = Tx α + Ty β + Tz γ
uAE = ––––AE
AE
→→
T = Tx i + Ty j + Tz k→ → → →
→
AE = 3.35 m
uAE = −0.45 i − 0.9 k→ →→
TAE = 0.32(−0.45) + 0 + (−0.96)(−0.9) kN
TAE = 0.72 kNT = 0.32 i + 0.64 j − 0.96 k kN→→ → →
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 6
Örnek Problem 2/18
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki gerdirme tertibatı OA kablosundaki çekme kuvveti 5 kN oluncaya kadar sıkılmıştır.
Kablonun O noktasına uyguladığı F kuvvetini i, j, k birim vektörleri cinsinden yazınız.
Ayrıca F kuvvetinin OB doğrultusuna dik izdüşümünün şiddetini bulunuz.
OB ve OC doğruları x-y düzlemi içinde yer almaktadır.
Çözüm
F
z
yx 30o
A
CB
O
Fxy
FyFx
FzF = 5 kN
F = Fx i + Fy j + Fz k→ → → →
FB = ?
F = Fx i + Fy j + Fz k→ → → →
→→→→
→
Fxy = F cos50o
Fx = Fxy cos65o = F cos50o cos65o
Fy = Fxy sin65o = F cos50o sin65o
Fz = F sin50o
F = 1.36 i + 2.91 j + 3.83 k kN→ → → →
FB = F • uB→ →
uB = cos30o i + sin30o j
uB→
→ →Fx = 5 cos50o cos65o
Fy = 5 cos50o sin65o
Fz = 5 sin50o
FB = 1.36 cos30o + 2.91 sin30o
FB = 2.63 kN
FB →
→
50o
65o
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 7
Örnek Problem 2/19
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki F kuvvetinin şiddeti 2 kN dur ve A dan B ye doğru yönelmiştir. F nin CD doğrultusuna dik
izdüşümünü hesaplayınız ve F ile CD arasındaki açı θ yı bulunuz.
Çözüm
F
x
y
z
A
C
B
D
0.2 m
0.2
m
0.4 m
CD→
F = 2 kN
A (0.2,0,0)
B (0,0.4,0.2)
C (0.4,0,0.2)
D (0.4,0.4,0)
FCD = ?
θ = ?
FCD = Fx α + Fy β + Fz γ
uCD = α i + β j + γ k→ → → →
= ––––CD
CD
→
→FCD = F • uCD
→
AB2 = (−0.2)2 + 0.42 + 0.22 m2
AB = 0.49 m
= F ––––AB
AB
→
F = − 2 –––– i + 2 –––– j + 2 –––– k kN0.20.49
0.40.49
0.20.49
→ → →→
F = − 0.82 i + 1.63 j + 0.82 k kN→→ →→
AB = − 0.2 i + 0.4 j + 0.2 k m→ →→ →
CD2 = 0.42 + (−0.2)2 m2
CD = 0.447 m
CD = 0.4 j − 0.2 k m→→ →
F = Fx i + Fy j + Fz k→ → → →
uCD = 0.894 j − 0.447 k→ → →
FCD = 1.63(0.894) + 0.82(−0.447) kN
FCD = 1.09 kN
→FCD = F • uCD = F cosθ
→
cosθ = –––––FCD
Fθ = 56.8o
0.2 m
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 8
Moment
F
Moment, bir kuvvetin herhangi bir eksene göre döndürme etkisidir.
Bir kuvvetin kendi tesir çizgisi ile kesişen bir eksene göre momenti yoktur.
Tesir çizgisine paralel olan bir eksene göre de momenti yoktur.
Moment vektörel bir büyüklüktür.
Moment vektörünü M ile göstereceğiz.
Moment vektörünün yönü sağ el kuralı ile bulunur.
Sağ elimizin dört parmağını kuvvet yönünde tutup avucumuzun içini moment alınan eksenedöndürüp avucumuzu kapattığımız zaman baş parmağımız moment vektörünün yönünü gösterir.
→
A ∟d
MA∟
MA = F d
Momentalınaneksen
Momentalınannokta
Bir noktaya göre moment
Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti, kuvvet ile noktanın içinde bulunduğu düzleme dik olan ve moment alınan noktadan geçen bir eksene göre döndürme etkisidir.
Bir noktaya göre alınan momentin şiddeti:
Momentkolu
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 9
F
A
∟
d
MA
İki boyutlu kuvvet sistemini oluşturan kuvvetlerin momentleri genellikle içinde bulundukları düzlemde yer alan bir noktaya göre alındığı için, momentvektörlerinin tamamı birbirine paraleldir. Dolayısı ile sadece şiddetleri ile ilgilenmek ve yönlerini de pozitif-negatif işaretle belirtmek yeterli olmaktadır.
Fakat üç boyutlu kuvvet sistemini oluşturan kuvvetlerin herhangi bir noktaya göre momentlerinin oluşturduğu sistem de üç boyutludur.Yani moment vektörleri birbirine paralel değildir.
r α
∟
MA = r × F→ → →
MA = r F sinα MA = F d
MA = F r sinα
d = r sinα→
r vektörü, moment alınan noktadan başlar,kuvvetin tesir çizgisi üzerinde herhangi bir noktada biter.
MA ≠ F × r→ → →
MA = r × F =→ →
→ →i j k
rx ry rz
Fx Fy Fz
→→
MA = MAx + MAy + MAz
→ → → →
MA = MAx i + MAy j + MAz k → → → →
Bir kuvvetin bir noktaya göre momentini vektörel çarpımla bulabiliriz.
O
x
y
z
∟
!
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 10
A
MA
r∟
Moment alınan noktadan geçen herhangi bir eksene göre moment
O
x
y
z
F∟ ∟
d
e
Mλ = MAλ
→ →
→
λ A dan geçen herhangi bir eksen
Mλ
: A dan geçen λ eksenine göre moment e = α i + β j + γ k→ → → →
: λ ekseni üzerindeki birim vektör
Mλ = MAλ = MA • e→ →
Mλ = Mλ e→ →
} Mλ = r × F • e→ →
MA = r × F→ → →
→
Mλ =
α β γ
rx ry rz
Fx Fy Fz ∟
Yani bir kuvvetin, moment alınan nokta ile kuvvetin içinde bulunduğu düzlemde yer alan bir eksene göre momenti yoktur.
Moment alınan eksen, A noktasına göre alınan momente dik ise:
A noktası ile kuvvetiniçinde bulunduğu düzleme
dik olan eksen
→ →MA e → Mλ = 0
Mλ =
α β γ
rx ry rz
l m nF
F = F (l i + m j + n k )→ → → →
r = rx i + ry j + rz k→ → → →
F = Fx i + Fy j + Fz k→ → → →
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 11
A
MA
r∟
MA = MAx + MAy + MAz
→ → → →
MA = MAx i + MAy j + MAz k → → → →
O
x
y
z
MAx
→: A dan geçen ve x-eksenine paralel olan eksene göre moment
A dan geçen vex-eksenine paralel olan eksenx'
MAy
→: A dan geçen ve y-eksenine paralel olan eksene göre moment
MAz
→: A dan geçen ve z-eksenine paralel olan eksene göre moment
MAx
→
MAy
→
MAz
→
= MAx'
→
= MAy'
→
= MAz'
→ y'
z'
F
∟ ∟
dMO = MOx + MOy + MOz
→ → → →
MO = MOx i + MOy j + MOz k → → → →
MO = Mx i + My j + Mz k → → → →
MA = Mx' i + My' j + Mz' k → → → →
A dan geçen vey-eksenine paralel olan eksen
A dan geçen vez-eksenine paralel olan eksen
= Mx'
→
= My'
→
= Mz'
→
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 12
Varignon Teoremi
r
MAR = r × R
→ → →
F2
F1
MAF1 = r × F1
→ → →
MAFn = r × Fn
→ → →
R = F1 + ··· + Fn
→ → →
r × R = r × (F1 + ··· + Fn ) = r × F1 + ··· + r × Fn→ → → → → → → → →
MAR = MA
F1 + ··· + MAFn
→ → →
Bir noktada kesişen kuvvetlerin bileşkesinin herhangi bir noktaya (veya eksene) göre momenti,kuvvetlerin o noktaya (veya eksene) göre momentleri toplamına eşittir.
Fn
···
BMAx
R = MAxF1 + ··· + MAx
Fn
MAyR = MAy
F1 + ··· + MAyFn
MAzR = MAz
F1 + ··· + MAzFn
···
A
r
B
R
A
MAR
MAF2
MAFnMA
F1
≡
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 13
A
r
F
C
d
−F
B
Kuvvet çifti
Kuvvet çifti, birbirine paralel, eşit şiddette ve zıt yönde olan iki kuvvetten oluşan bir sistemdir (d ≠ 0).
Kuvvet çiftinin momenti, moment alınan noktadan bağımsızdır.
Kuvvet çiftinin bileşkesi sıfırdır.
Kuvvet çiftinin nereye uygulandığı önemli değildir.
R = F + (− F )→ → →
R = 0→ →
Kuvvet çiftinin sadece döndürme etkisi vardır.
Kuvvet çiftinin herhangi bir A noktasına göre momentini alalım.
Kuvvet çiftinin momenti serbest vektördür.
M = r × F→ → →
MA = AB × F + AC × (−F ) = (AB − AC ) × F = r × F→ → →→
→
→ → → → → → →
AB = AC + r→ → →
→ → →r = AB − AC
F
d
−F→
→
M = F d
≡
Kuvvet çiftini,çoğunlukla,kuvvetler düzlemine dik olan birmoment vektörü ile gösteririz.
Kuvvet çiftinin sadece momenti önemli olduğu için, momentleri eşit olan kuvvet çiftlerine denk kuvvet çiftleri denir.
AC→ AB
→
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 14
F
d
→F
d
F→
→
M = F d
≡
Bir kuvvetin tesir çizgisinin değiştirilmesi
Bir kuvvet, tesir çizgisi üzerinde kaydırıldığı zaman etkisi değişmez. Ama tesir çizgisinin dışına çıkarılırsa etkisi değişir.Kuvvetin tesir çizgisini değiştirmek istediğimiz zaman, etkisinin değişmemesi için kuvvete ilaveten bir de kuvvet çifti uygulamak gerekir.
−F→
≡F→
Bu moment,kuvvetin momenti değildir.Kuvvete ilavetendışarıdan uygulananbir kuvvet çiftidir.
Bazen de bir kuvvet ile kuvvet çiftinden oluşan bir sistemin yerine geçecek bir tek kuvvet yerleştiririz.
F
d
→F
d
F→
→
M = F d
≡ −F→
≡F→
Bir kuvveti, başka bir tesir çizgisine taşırken kuvvetin yönünü ve şiddetini bozmadan aynen taşırız. Ayrıca yanına bir de kuvvet çifti ilave ederiz.Bu kuvvet çiftinin momenti, kuvvetin, yeni tesir çizgisi üzerindeki herhangi bir noktaya göre momentine eşittir.
www.makina.selcuk.edu.tr
!
←
40o
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 15
Örnek Problem 2/20
Verilenler:
İstenenler:
50 N-luk bir kuvvet, endüstriyel bir su vanasının koluna şekildeki gibi uygulanmıştır.Kuvvet yataydır ve OA koluna diktir. Kuvvetin, O noktasına göre momentini kartezyenkoordinatlardaki birim vektörler cinsinden yazınız.
1. Çözüm
F = 50 N
MO = Mx i + My j + Mz k→ → → →
x y
z
OF
MO
A125 mm
40o
x
y
z
O
A125 mm
40o
Fy
20 mm
20 mm
F = Fx i + Fy j = − 50 cos40o i − 50 sin40o j N→ → →
Fx 40o
→ →
Mx = |Fy | (20) = 50 sin40o (20) = 643 N·mm
My = − |Fx | (20) = − 50 cos40o (20) = − 766 N·mm
Mz = F (125) = 50 (125) = 6250 N·mm
MO = Mx i + My j + Mz k→ → → →
MO = 643 i − 766 j + 6250 k N·mm→ → → →
Momentin yönünü bozmaması içinFx ve Fy nin işaretini atarız.
Momentin yönünübelirten işaretleribiz yerleştiririz.
F
→
Düşeydüzlem
→
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 16
Örnek Problem 2/20
Verilenler:
İstenenler:
50 N-luk bir kuvvet, endüstriyel bir su vanasının koluna şekildeki gibi uygulanmıştır.Kuvvet yataydır ve OA koluna diktir. Kuvvetin, O noktasına göre momentini kartezyenkoordinatlardaki birim vektörler cinsinden yazınız.
2. Çözüm
F = 50 N
MO = Mx i + My j + Mz k→ → → →
x
y
z
O
A125 mmFy
20 mm
F = Fx i + Fy j + Fz k→ → → →
F = − 50 cos40o i − 50 sin40o j N→
F
Fx
→ →
− 50 sin40o− 50 cos40o
MO = 643 i − 766 j + 6250 k N·mm→ → → →
MO = r × F =→ →
→ →i j k
rx ry rz
Fx Fy Fz
→→
r
− 125 sin40o 125 cos40o 20
0
i j k
MO = →
→ → →r = OA→ →
r = rx i + ry j + rz k→ → → →
r = − 125 sin40o i + 125 cos40o j + 20 k mm→ →→ →
Vektörel çarpım ile moment hesaplanıncamomentin yönünü belirten işaretler kendiliğinden gelir.
40o40o
→
∟
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 17
Örnek Problem 2/20
Verilenler:
İstenenler:
50 N-luk bir kuvvet, endüstriyel bir su vanasının koluna şekildeki gibi uygulanmıştır.Kuvvet yataydır ve OA koluna diktir. Kuvvetin, O noktasına göre momentini kartezyenkoordinatlardaki birim vektörler cinsinden yazınız.
3. Çözüm
F = 50 N
MO = Mx i + My j + Mz k→ → → →
MO = 643 i − 766 j + 6250 k N·mm→ → → →
x-eksenine göre moment:
z
yO
x-ekseni
20 mm
A Fy = − 50 sin40o
Mx = |Fy | (20) = 50 sin40o (20) = 643 N·mm
My = − |Fx | (20) = − 50 cos40o (20) = − 766 N·mm
Mz = 50 (125) = 6250 N·mm
Mx
y-eksenine göre moment: z
O
y-ekseni
20 mmA
Fx = − 50 cos40o
My
x
125 cos40o
125 sin40o
z-eksenine göre moment:
Oz-ekseni
x
Mz
y
A
F = 50 N125 mm
40o
Momentin yönünü bozmaması içinFx ve Fy nin işaretini atarız.
Momentin yönünü belirtenişaretleri biz yerleştiriz.
→
→
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 18
Örnek Problem 2/21
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki 600 N-luk kuvveti, O noktasından geçen bir tesir çizgisine taşıyınız.
Çözüm
MO = ?
F = 600 N
F = Fxy + Fz = Fx + Fy + Fz
→ → →
Fxy = F cos45o
Fz = F sin45o
Fx = Fxy sin60o = F cos45o sin60o
→ → →
Fy = − Fxy cos60o = − F cos45o cos60o
F = 367 i − 212 j + 424 k N
Bir kuvveti, başka bir tesir çizgisine taşırken, kuvvetin yönünü ve şiddetini bozmadanaynen taşırız. Ayrıca yanına bir de kuvvet çifti ilave ederiz. Bu kuvvet çiftinin momenti,kuvvetin, yeni tesir çizgisi üzerindeki herhangi bir noktaya göre momentine eşittir.
→ → → →
r = OA = (50 + 130 sin60o) i − (140 + 130 cos60o) j + 150 k mm→ → → → →
r = 162.6 i − 205 j + 150 k mm→ → → →
MO = r × F =→ →
→ →i j k
rx ry rz
Fx Fy Fz
→→
− 205162.6
367 − 212 424
150
i j k
MO = →
→ → →
MO = − 55.2 i − 13.9 j + 40.8 k N·m→ → → →
F = Fx i + Fy j + Fz k→ → → →
r = rx i + ry j + rz k→ → → →
A
F =
Fz Fxy
r
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 19
Örnek Problem 2/22
Verilenler:
İstenenler:
150 N-luk iki kuvvetten oluşan şekildeki kuvvet çiftinin momentini birim vektörlercinsinden yazınız.
Çözüm
M = ?
F = 150 N
M
F
F
150 mm
500 mm
M = F d
M = 150 (522) N·mm
M = 78.3 N·m
16.7o
Mx = − M cos16.7o
My = M sin16.7o
M = Mx i + My j→ → →
M = − 75 i + 22.5 j N·m→ → →
16.7o
Kuvvet çiftinin momenti, moment alınan noktadan bağımsızdır. Yani serbest vektördür.Kuvvetlerin bulunduğu düzleme diktir ve yönü sağ el kuralı ile bulunur.
d 2 = 1502 + 5002→
522 mm
Düşey düzlem
Yatay düzlem
Mx = − 150 (250) − 150 (250) N·mm
My = 150 (150) N·mmveya
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 20
Örnek Problem 2/23
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki F kuvvetinin CD çizgisine göre momentinin şiddeti 50 N·m ise F nin şiddetini bulunuz.
Çözüm
F
x
y
z
A
C
B
D
0.2 m
0.2
m
0.4 m
CD→
Mλ = 50 N·m
A (0.2,0,0)
B (0,0.4,0.2)
C (0.4,0,0.2)
D (0.4,0.4,0)
F = ?uCD = α i + β j + γ k→ → → →
= ––––CD
CD
→
AB2 = (−0.2)2 + 0.42 + 0.22 m2
AB = 0.49 m
AB = − 0.2 i + 0.4 j + 0.2 k m→ →→ →
CD2 = 0.42 + (−0.2)2 m2
CD = 0.447 m
CD = 0.4 j − 0.2 k m→→ →
uCD = 0.894 j − 0.447 k→ → →
0.2 m
r = CA→ →
r
r = rx i + ry j + rz k→ → → →
r = − 0.2 i − 0.2 k m→ →→
F = F (l i + m j + n k )→ → → →
= F ––––AB
AB
→Mλ =
α β γ
rx ry rz
l m nF
F = F (− 0.41 i + 0.82 j + 0.41 k )→ → → →
Mλ = F
− 0.2 0 − 0.2
− 0.41 0.82 0.41
0 0.894 − 0.447
= 50
F = 228 N
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 21
Bir kuvvet sisteminin bileşkeleri
Bazen göz önüne alınan kuvvet sisteminin yerine geçecek bir tek kuvvet aranır.
Bu bileşke kuvvetin yönü, şiddeti ve tesir çizgisinin nereden geçtiği bulunmalıdır.
Üç boyutlu kuvvet sistemleri her zaman bir tek kuvvete indirgenemeyebilir.
Onun yerine, çoğunlukla, kuvvetleri keyfi olarak seçilen bir noktaya indirgemek ile yetinilir.
Kuvvet sistemini herhangi bir noktaya indirgediğimiz zaman sistem, çoğunlukla,bir kuvvet ve bir kuvvet çiftinden meydana gelen bir sisteme dönüşür.
R = F1 + F2 + ··· + Fn =→ → →
(F1x i + F1y j + F1z k ) + (F2x i + F2y j + F2z k ) + ··· + (Fnx i + Fny j + Fnz k ) = ΣF→ → → →
R = (F1x + F2x + ··· + Fnx) i + (F1y + F2y + ··· + Fny) j + (F1z + F2z + ··· + Fnz) k→ → →} }
= ΣFx= ΣFy
→ → →
R = Rx i + Ry j + Rz k = R (lR i + mR j + nR k )→ → →
Rx = ΣFx
Ry = ΣFy
R 2 = Rx2+ Ry
2 + Rz2
Bileşke kuvvetin yönünü ve şiddetini bulmak için:
→
→ → →
→}
= ΣFz
Rz = ΣFz
Rx = R lR
Ry = R mR
Rz = R nR
F2
F1
Fn
O
x
z
yF3
M1
→
M = Mx i + My j + Mz k = M (lM i + mM j + nM k ) = ΣM → → → →
→ → →
→ → →
Benzer şekilde, bileşke kuvvet çiftinin yönünü ve şiddetini bulmak için:
Mx = ΣMx
My = ΣMy
M 2 = Mx2+ My
2 + Mz2
Mz = ΣMz
Mx = M lM
My = M mM
Mz = M nM
l2 + m2 + n2 = 1
Bileşke kuvvet
Bileşke kuvvet çifti→
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 22
R = ΣF
F2
F1
Fn
F3
M1
Bir kuvvet sisteminin keyfi olarak seçilen bir noktaya indirgenmesi
F2
F1
FnF3
M1MF1
A
MF2MF3
MFn
≡
M = ΣM
A≡
Kuvvet çiftlerinin toplamı
Kuvvetlerin toplamı
Fn kuvvetini A noktasına taşırkensisteme ilave edilmesi gereken kuvvet çifti
A
∟
M = ΣM
→→
→→
→→
R = ΣF→→
Bir kuvvet sistemini herhangi bir noktaya indirgemek istediğimiz zaman bütün kuvvetleri o noktaya taşırız.
Kuvvetleri taşırken sisteme ilave etmemiz gereken kuvvet çiftlerini de ilave ederiz.
Bu kuvvet çiftlerinin momentleri, kuvvetlerin o noktaya göre momentleri kadardır.
MFn = MAFn
Bileşke kuvvet çifti
Bileşke kuvvet
→Bile
şkele
rin
içinde
bulunduğu
düzlem
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 23
≡ ≡
R
A
M
M2
M1
R
AM1
R
R
d
d = ––––
A
M1
R≡ A
M1
R
≡
M2
R
A
∟
M = ΣM
Kuvvet vidası
Birbirine paralel olanbir kuvvet ve bir kuvvet çiftinden
oluşan sisteme kuvvet vidası denir.
Yönleri aynı ise pozitif kuvvet vidası,zıt ise negatif kuvvet vidası denir.
Üç boyutlu bir kuvvet sisteminin bir tek kuvvete indirgenebilmesi için M1 = 0 olması gerekir. Yani ΣM R olmalıdır.→ →
dd
Bir noktaya indirgenmiş bir sistemin bir kuvvet vidasına veya bir tek kuvvete indirgenmesi
→→
R = ΣF→→
ΣM • R = 0→ →
ΣM R→ →
M2 = R d
↕
Vida eksen
i
∟
Bileşk
elerin
içinde
bulunduğu
düzlem
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 24
Örnek Problem 2/24
Verilenler:
Üç tane eşit kuvvet eşkenar üçgen bir levhaya şekildeki gibi uygulanmıştır. Bu kuvvetsistemini O noktasına indirgeyiniz. R nin M ye dik olduğunu gösteriniz.
Çözüm
O
z
x y
M = ΣM→→
R = ΣF→→
R = − 3F k→→
MF1
M = − F b sin60o i→→
R • M = 0 ise:→ →R M
→ →
F1
b
(−3 F) (−F b sin60o) k • i = 0→ → → →
R M
MF2
MF3
F2
F3
F1 = F
F2 = F
F3 = F
R = F1 + F2 + F3→→ → →
M = MF1 + MF2 + MF3→→ → →
F3 kuvvetini O noktasına taşırkensisteme ilave edilmesi gereken kuvvet çifti(Kuvvetin O noktasına göre momentine eşittir.)
F (b/2)
F (b/2)F b sin60o
O
z
x y
M
R F b sin60o
3F
MF3 = MOF3F1 = F
F2 = F F3 = F
≡İstenenler:
R = ?
M = ?
→
→
→
→
→
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 25
Örnek Problem 2/25
Verilenler:
Şekildeki kasnak ve dişliye şekilde görülen kuvvetler etki etmektedir. Bu kuvvetlerden oluşansistemi O noktasına indirgeyiniz.
1. Çözüm
T1 = 800 N
T2 = 200 N
F = 1200 N
A
BCrC
O
z x
y
M
rA
rB
A (0,100,−550)
B (0,−100,−550)
C (75,0,−220)
R
rA = OA = 100 j − 550 k mm→ → → →
rB = OB = −100 j − 550 k mm→ → → →
rC = OC = 75 i − 220 k mm→ → → →
M = MT1 + MT2 + MF→ → → →
M = ΣM→→
R = ΣF→→
R = T1 + T2 + F→→ → →
R = (800 + 200 − 1200 sin10o) i + 1200 cos10o j N→ → →
R = 792 i + 1182 j N→ → →
M = rA x T1 + rB x T2 + rC x F→ →→ → →→ →
1000
800 0 0
−550
i j k
M = →
→ → →
−1000
200 0 0
−550
i j k→ → →
+ 075
−208.4 1181.8 0
−220
i j k→ → →
+
M = 260 i − 504 j + 28.6 k N·m→ → → →
≡
İstenenler:
R = ?
M = ?
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 26
Örnek Problem 2/25
Verilenler:
Şekildeki kasnak ve dişliye şekilde görülen kuvvetler etki etmektedir. Bu kuvvetlerden oluşansistemi O noktasına indirgeyiniz.
2. Çözüm
x-eksenine göre moment:
z
y
O
x-ekseni
A
Mx = 1200 cos10o (220) N·mm = 260 N·m
My = − 800 (550) − 200 (550) + 1200 sin10o (220) N·mm = − 504 N·m
Mz = 1200 cos10o (75) − 800 (100) + 200 (100) N·mm = 28.6 N·m
Mx
y-eksenine göre moment:
y-ekseni
220 mm
z-eksenine göre moment:
Oz-ekseni
x
Mz
y
Bileşke kuvvet çiftinin momentini bulmak için 2. yol
BF cos10o
C
x
zO
A220 mmB
T1
T2F sin10o
CMy
330 mm
T1 = 800 N
T2 = 200 N
F = 1200 N
C
A
B
T1
T2
F cos10o
75mm
100
mm
100
mm
M = 260 i − 504 j + 28.6 k N·m→ → → →
F sin10o
M = Mx i + My j + Mz k→ → → →
İstenenler:
R = ?
M = ?
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 27
Örnek Problem 2/26
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki direğe şekildeki gibi etki eden iki kuvveti bir kuvvet vidasına indirgeyiniz.Kuvvet vidasının tesir çizgisinin y-z düzlemini kestiği P noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm
R = ?
M1 = ?
F1 = T
F2 = T
P (x,y,z) = ?
O
z
xy
T
T
3a
MT a
A
O
z
x y
TT
3a
M
R = ––––––
A
M1
M2
M = T a
M1 = T a cos45o
M1 = − T a cos45o cos45o ( i + j )→ →
Kuvvet vidasının kuvvet çifti
→
M1 = − ––– ( i + j )→ →→ T a
2 O
x y
3aR
AM2
M2 = T a cos45o
AP = d
d = ––– = a cos245o = 0.5aM2
R
Tcos45o
z = 3a + d = 3.5a
P (0,0,3.5a)
P noktası z-ekseni üzerindedir.R ile M1 zıt yönde olduğu için kuvvet vidası, negatif kuvvet vidasıdır.
R
M1
P
Ta
__
45o
z
R = T ( i + j )→ →→
≡
≡
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 28
Örnek Problem 2/26
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki direğe şekildeki gibi etki eden iki kuvveti bir kuvvet vidasına indirgeyiniz.Kuvvet vidasının tesir çizgisinin y-z düzlemini kestiği P noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm
R = ?
F1 = T
F2 = T
P (x,y,z) = ?
O
xy
3a
a
T
T
z
M1 = ?
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 29
Örnek Problem 2/26
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki direğe şekildeki gibi etki eden iki kuvveti bir kuvvet vidasına indirgeyiniz.Kuvvet vidasının tesir çizgisinin y-z düzlemini kestiği P noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm
R = ?
F1 = T
F2 = T
P (x,y,z) = ?
xy
O
T
T
a T
3a
Mz
M1 = ?
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 30
Örnek Problem 2/26
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki direğe şekildeki gibi etki eden iki kuvveti bir kuvvet vidasına indirgeyiniz.Kuvvet vidasının tesir çizgisinin y-z düzlemini kestiği P noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm
R = ?
F1 = T
F2 = T
P (x,y,z) = ?
xy
O
T
T
3a
Mz
M1 = ?
R
M1
M2
45o
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 31
Örnek Problem 2/26
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki direğe şekildeki gibi etki eden iki kuvveti bir kuvvet vidasına indirgeyiniz.Kuvvet vidasının tesir çizgisinin y-z düzlemini kestiği P noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm
R = ?
F1 = T
F2 = T
P (x,y,z) = ?
xy
T
T
M
3aO
3a
z
M1 = ?
R
M1
M2
45o
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 32
Örnek Problem 2/26
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki direğe şekildeki gibi etki eden iki kuvveti bir kuvvet vidasına indirgeyiniz.Kuvvet vidasının tesir çizgisinin y-z düzlemini kestiği P noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm
R = ?
F1 = T
F2 = T
P (x,y,z) = ?
xy
3aO
3a
z
M1 = ?
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 33
Örnek Problem 2/26
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki direğe şekildeki gibi etki eden iki kuvveti bir kuvvet vidasına indirgeyiniz.Kuvvet vidasının tesir çizgisinin y-z düzlemini kestiği P noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm
R = ?
F1 = T
F2 = T
P (x,y,z) = ?
xy
3aO
3a
M1
45o
M2
z
M1 = ?
R
R
Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN Behcet DAĞHAN
Behcet DAĞHAN
www.makina.selcuk.edu.tr
Statik Kuvvet Sistemleri 2.2. Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri 34
Örnek Problem 2/26
Verilenler:
İstenenler:
Şekildeki direğe şekildeki gibi etki eden iki kuvveti bir kuvvet vidasına indirgeyiniz.Kuvvet vidasının tesir çizgisinin y-z düzlemini kestiği P noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm
R = ?
F1 = T
F2 = T
P (x,y,z) = ?
xy
3aO
3a
M1
z
45o
R
M1 = ?