TEMA 14: PARAMETROS ESTADÍSTICOS

14.1 Dos tipos de parámetros estadísticosEjemploConsideramos los siguientes datos:En la fila central de la clase de 3A preguntamos por el número de zapatos que tienen:6, 10, 7, 5, 4, 8, 13, 8, 5, 8, 10Para estos datos, vamos a calcular todas las medidas de:1. Centralización

a. media� x� � 6 � 10 � 7 � 5 � 4 � 8 � 13 � 8 � 5 � 8 � 1011

� 8411

� 7. 636 4 � 8 es la

media de zapatosb. mediana� Me � 8

4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 10, 10, 13

11 datos�la mitad son 112

� 5. 5

Es decir, la mediana ha de dejar cinco datos por debajo y cinco por encimac. Moda� Mo � 8

es el valor que más se repiteTareas 22-10-15: todos los ejercicios de la página 268, 2692 Dispersión

a. Recorrido o rango� 13 � 4 � 9En once datos es mucho

b. Desviación media

DM �|4 � 8| � |5 � 8| � |5 � 8| � |6 � 8| � |7 � 8| � |8 � 8| � |8 � 8| � |8 � 8| � |10 � 8| � |10 � 8| � |13 � 8|

11

�|�4| � |�3| � |�3| � |�2| � |�1| � |0| � |0| � |0| � |2| � |2| � |5|

11�

� 4 � 3 � 3 � 2 � 1 � 0 � 0 � 0 � 2 � 2 � 511

� 2

c. Varianza� V � 42 � 52 � 52 � 62 � 72 � 82 � 82 � 82 � 102 � 102 � 132

11� 82 �

� 811

� 0. 727 27

d. Desviación típica� � � 811

� 0. 852 8

14.2 Calculo de x� y � en tablas de frecuenciasEjemploCalcular la de x� y � en las siguientes tabla de frecuencias:

1.

x i fi x i � fi x i2 � fi

1 4 1 � 4 � 4 12 � 4 � 4

2 20 2 � 20 � 40 22 � 20 � 80

3 6 3 � 6 � 18 32 � 6 � 54

� fi � 30 � x i � fi � 62 � x i2 � fi � 138

a. x� � 6230

� 2. 066 7 � 2

b. � � 13830

� 22 � 0. 774 60

1

2.

clase marca de clase� x i fi x i � fi x i2 � fi

�152, 157� 154. 5 5 154. 5 � 5 � 772. 5 154. 52 � 5 � 1. 193 5 � 105

�157, 162� 159. 5 6 159. 5 � 6 � 957. 0 159. 52 � 6 � 1. 526 4 � 105

�162, 167� 164. 5 6 164. 5 � 6 � 987. 0 164. 52 � 6 � 1. 623 6 � 105

�167, 172� 169. 5 2 169. 5 � 2 � 339. 0 169. 52 � 2 � 57461.

�172, 177� 174. 5 7 174. 5 � 7 � 1221. 5 174. 52 � 7 � 2. 131 5 � 105

�177, 182� 179. 5 4 179. 5 � 4 � 718. 0 179. 52 � 4 � 1. 288 8 � 105

� fi � 30 � x i � fi � 4995 � x i2 � fi � 8. 338 4 � 105

a. x� � 499530

� 166. 5

b. � �8. 338 4 � 105

30� 166. 52 � 8. 509 8

1. 193 5 � 105 � 1. 5264 � 105 � 1. 6236 � 105 � 57461 � 2. 1315 � 105 � 1. 2888 � 105 �

� 8. 338 4 � 105

Tareas 23-10-15: todos los ejercicios de la página 270Tareas 26-10-15: todos los ejercicios de la página 271,272,273

14.4 Interpretación conjunta de x� y �

EjemploVolvemos a los ejemplos del apartado anterior:1.

a. x� � 6230

� 2. 066 7 � 2

b. � � 13830

� 22 � 0. 774 60

Los datos están concentrados en torno a la media pues la desviación típica es menor que uno.Es decir, para encontrar muchos datos, el 50%, me tengo que separar de la media 0.8 a laizquierda y a la derecha: el 50% de los datos está en el intervalo �2 � 0. 8, 2 � 0. 8�

c CV � �x� � 0. 77460

2� 0. 387 3 � 39%

2.

a. x� � 499530

� 166. 5

b. � �8. 338 4 � 105

30� 166. 52 � 8. 509 8

Los datos no están concentrados en torno a la media pues la desviación típica es casi nueve.Es decir, para encontrar muchos datos, el 50%, me tengo que separar de la media 8.5 a laizquierda y a la derecha: el 50% de los datos está en el intervalo �166. 5 � 8. 5, 166. 5 � 8. 5�

c CV � �x� � 8. 5098

166. 5� 5. 111 0 � 10�2 � 5%

Mirando los dos ejemplos, la variación es mayor en el número de hermanos (hemos mirado losdos coeficientes de variación).

Tareas 28/10/15: todos los ejercicios de la página 275

14.5 Parámetros de posición : mediana y cuartilesEjemploVolvemos con nuestros ejemplos de toda la vida.

2

1.

x i �nº de hermanos fi

1 4

2 20

3 6

N � 30

Hay que calcular los cuartiles Q1 y Q3.Los datos ordenados de menor a mayor son:1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3a. Q1 � 2

El primer cuartil, Q1, tiene que dejar el 25% de los datos por debajo (menores que el)y el 75% de los datos por encima (mayores que el).Tenemos 30 datos, por lo que habrá que calcular el 25% y el 75% de esa cantidad:� 25% de 30� 0. 25 � 30 � 7. 5� 75% de 30� 0. 75 � 30 � 22. 5

b. Q3 � 2El tercer cuartil, Q3, tiene que dejar el 75% de los datos por debajo (menores que el)y el 25% de los datos por encima (mayores que el).Tenemos 30 datos, por lo que habrá que calcular el 25% y el 75% de esa cantidad:� 25% de 30� 0. 25 � 30 � 7. 5� 75% de 30� 0. 75 � 30 � 22. 5

2.

clase x i fi F i

�152, 157� 154. 5 5 5

�157, 162� 159. 5 6 11

�162, 167� 164. 5 6 17

�167, 172� 169. 5 2 19

�172, 177� 174. 5 7 26

�177, 182� 179. 5 4 30

� fi � 30

a. Q1 �

El primer cuartil, Q1, tiene que dejar el 25% de los datos por debajo (menores que el)y el 75% de los datos por encima (mayores que el).Tenemos 30 datos, por lo que habrá que calcular el 25% y el 75% de esa cantidad:� 25% de 30� 0. 25 � 30 � 7. 5� 75% de 30� 0. 75 � 30 � 22. 5

Mirando la columna correspondiente de las frecuencias absolutas acumuladas,

vemos queF�152,157� � 5

F�157,162� � 11

Resulta que el primer cuartil tiene que estar en la clase �157, 162�. A partir de aquí,podemos razonar de dos formas distintas:i. Tomar la marca de clase como el primer cuartil Q1 � 159. 5ii . Colocar ordenadamente los datos de esa clase.

158, 158, 158, 159, 160, 160,Q1 � 158

dato 6º dato 7º dato 8º dato 9º dato 10º dato 11º

158 158 158 159 160 160

b. Q3 �

El tercer cuartil, Q3, tiene que dejar el 75% de los datos por debajo (menores que el)

3

y el 25% de los datos por encima (mayores que el).Tenemos 30 datos, por lo que habrá que calcular el 25% y el 75% de esa cantidad:� 25% de 30� 0. 25 � 30 � 7. 5� 75% de 30� 0. 75 � 30 � 22. 5

Mirando la columna correspondiente de las frecuencias absolutas acumuladas,

vemos queF�167,172� � 19

F�172,177� � 26

Resulta que el primer cuartil tiene que estar en la clase �172, 177�. A partir de aquí,podemos razonar de dos formas distintas:i. Tomar la marca de clase como el primer cuartil Q3 � 174. 5ii . Colocar ordenadamente los datos de esa clase.

175, 175, 173, 174, 172, 175, 175

Q3 � 174 � 1752

� 174. 5

dato 20º dato 21º dato 22º dato 23º dato 24º dato 25º dato 26º

172 173 174 175 175 175 175

Tareas 29/10/15: todos los ejercicios de la página 276, 277

EJERCICIOS FINALES DEL TEMA1. Calcula todos los parámetros de dispersión y centralización de los siguientes datos

estadísticos:c) 165, 167, 172, 168, 164, 158, 160, 167, 159, 162

� Parámetros de centralización:i. Mo � 167 pues f167 � 2 es la mayor frecuencia absoluta

ii . Me � 164 � 1652

� 3292

Tenemos 10 datos, y la mediana, ha de dejar 102

� 5 datos por

encima (mayores que él) y 5 datos por debajo (menores que él).Los datos ordenados quedan:158, 159, 160, 162, 164, 165, 167, 167, 168, 172

iii . x� � 158 � 159 � 160 � 162 � 164 � 165 � 167 � 167 � 168 � 17210

� �

164. 2� Parámetros de dispersión:

i. Recorrido o rango� 172 � 158 � 14

ii . DM �|158 � 164. 2| � |159 � 164. 2| � |160 � 164. 2| � |162 � 164. 2| � |164 � 164. 2| � |165 � 164. 2| �

103. 6

iii . V � 1582 � 1592 � 1602 � 1622 � 1642 � 1652 � 1672 � 1672 � 1682 � 1722

10� 164. 22 �

17. 96iv . � � V � 17. 96 � 4. 237 9

v. CV � �x� � 4. 2379

164. 2� 2. 580 9 � 10�2 � 3%

Tareas 30/10/15: todos los ejercicios que faltan del 1Tareas 30/10/15: 2,34 La siguiente tabla muestra los lanzamientos de jabalina que se han realizado en la clasificación

para los juegos olímpicos:

4

Distancias (m) nº de lanzadores

�54, 58� 4

�58, 62� 11

�62, 66� 24

�66, 70� 9

�70, 74� 2

a. Haz una tabla con las marcas de clase y las frecuencias

clase x i � marca de clase fi x i � fi x i2 � fi

�54, 58� 54 � 582

� 56 4 56 � 4 � 224 562 � 4 � 12 544

�58, 62� 60 11 60 � 11 � 660 602 � 11 � 39 600

�62, 66� 64 24 64 � 24 � 1536 642 � 24 � 98 304

�66, 70� 68 9 68 � 9 � 612 682 � 9 � 41 616

�70, 74� 72 2 72 � 2 � 144 722 � 2 � 10 368

� fi � 50 � x i � fi � 3176 � x i2 � fi � 202 432

b. Calcula la media, la desviación típica y el coeficiente de variación

� x� � 317650

� 63. 52

� � � 20243250

� 63. 522 � 3. 721 5

� CV � 3. 721563. 52

� 5. 858 8 � 10�2 � 6%

5 Calcula la mediana y los cuartiles de cada una de las siguientes distribuciones:c 123, 125, 134, 140, 151, 173, 178, 186, 192, 198

Tenemos diez datos, de los cuales hemos de calcular Q1, Q2 � Me y Q3

Como han de dividir los datos en cuatro partes iguales, calculamos 104

� 2. 5. Es

decir:

i. Q1 � 125 � 1342

� 129. 5 pues el "dato" que ocupa el lugar "2.5" está entre

el 2º y 3º dato.

ii . Q2 � Me � 151 � 1732

� 162. 0 pues el dato que parte a la mitad los diez

datos está entre el dato 5º y 6º.

iii . Q3 � 186 � 1922

� 189 pues es el dato que deja 75% de ellos más

pequeños y 25% más grandes.Tareas 04/11/15: todos los ejercicios que faltan del 56 Dibuja el diagrama de caja y bigotes de cada una de las distribuciones del ejercicio anterior.

c

Tareas 04/11/15: todos los ejercicios que faltan del 67 Asocia cada gráfico de barras con su correspondiente diagrama de cajas y bigotes:

5

4 � A Pues los valores de mi gráfico van desde 0 hasta 4Tareas 04/11/15: todos los ejercicios que faltan del 7Tareas 04/11/15: 89 Conocemos el número de días del mes que ha llovido esta año en una cierta región. Los

valores de los cuartiles son 6, 9, 14. El mes que más llovió fue marzo con 21 días y sabemosque el rango de la distribución es 18. Construye el diagrama de caja y bigotes. ¿Crees que esuna región lluviosa?La cifra mayor es 21.Como el recorrido es 18, la cifra menor es 21 � 18 � 3Ya estamos en condiciones de hacer el diagrama de caja.

No es una región lluviosa pues el 50% de los datos está entre 14 y 6 cuando el mes tiene 30(15 días es la mitad del mes.)

Tareas 05-11-15: 10,13,11 Estas cuatro gráficas corresponden a las estaturas de los jugadores de cuatro equipos de

baloncesto A, B, C y D, cuyos parámetros aparecen en la tabla. ¿Cuál es la gráfica de cadaequipo?

6

Equipo x �

A 198.5 9.7

B 198.1 3.9

C 193 4.6

D 193.4 8.1

Nosotros vamos a hacer el apartado correspondiente al equip o D!La gráfica que le asignamos es la II. En dicha gráfica, tenemos los datos bastantes dispersos, ylas alturas sobre cada clase están más cargadas a la izquierda de 195 (la media es 193.4). Deahí, que esta mayor presencia de valores menores que 195, haga que la media sea la dada.

CV � �x � 8. 1

193. 4� 4. 188 2 � 10�2 � 4%

Tareas 05-11-15: todos los ejercicios que faltan del 1112

Para poder llegar a los treinta puntos deseados por el entrenador la situación es la siguiente:a. Elena, su media es de 17; para llegar a 30, tendría que meter 13 puntos o más que

su media.

Calculamos cuánto se desvía esto de su promedio: 139

� 1. 444 4 � 1. 4

Es decir, que se tendría que desviar de su "rutina" 1.4 veces más.b. Sonia, su media es de 20; para llegar a 30, tendría que meter 10 puntos o más que

su media.

Calculamos cuánto se desvía esto de su promedio: 103

� 3. 333 3 � 3. 3

Es decir, que se tendría que desviar de su "rutina" 3 veces más.Por lo tanto, pondríamos a Elena.Si comparamos los coeficientes de variación;

CVElena � 917

� 0. 529 41 � 53%

CVSonia � 320

� 0. 15 � 15%

Se ve claramente que la regularidad de Sonia no te va a llevar a conseguir los 30 puntos.Tareas 06-11-15: 15,16,17,1814

a.

7

I

Q1 � 4

Q2 � Me � 5

Q3 � 7

La nota más baja fue un 2 y la más alta un 8. El 50% de los datos

está entre 4 y 7. Aquí casi suspende el 50% de la clase dado que la nota menor es 2y la Q2 � Me � 5 con Q1 � 4

II

Q1 � 4. 5

Q2 � Me � 5. 5

Q3 � 6

La nota más baja fue un 3 y la más alta un 8. El 50% de los datos

está entre 4.5 y 6. Aquí, casi aprueba el 75% de la clase pues los valores estáncomprendidos entre Q1 � 4. 5 y la nota más alta 8.

III

Q1 � 3. 5

Q2 � Me � 6. 5

Q3 � 8

La nota más baja fue un 2.5 y la más alta un 9.5. El 50% de los

datos está entre 3.5 y 8.b

� Aprobó el 50% de la clase� I, II; III cumplen la condición. Si sólo pedimos el50% exacto será sólo el I

� Las notas son muy parecidas� II pues es la que presenta mayorconcentración de notas

� Un cuarto de la clase tiene notas superiores a 7� III pues Q3 � 8. Es decir,incluso hay más de un 25%

� Es la mejor clase, pero con la mayor dispersión.� III pues tiene la mayor Me

con la mayor dispersión.

8