TEMA 5 - Estructuras III

1

TEMA 5

PIEZAS SOMETIDAS A COMPRESIN. PANDEO

1. INTRODUCCIN. FUNDAMENTO TERICO DEL PANDEO POR FLEXIN.

A) FRMULA DE EULER

En una barra biarticulada axialmente comprimida por una fuerza N (ver figura 1), suponiendo la barra totalmente vertical y recta, con

mdulo de elasticidad (E) constante a lo largo de toda su longitud e igual momento de inercia (I) respecto a cualquier eje, y sin tensiones

residuales en el material que la compone, se dice que se alcanza la carga crtica de Euler cuando se cumple que:

L

IEN E

siendo:

NE: carga crtica de Euler

E: mdulo de elasticidad I: momento de inercia de la seccin

L: longitud de la pieza

N

L

N

Figura 1

A la carga NE le corresponde una tensin crtica de Euler de valor:

2

A

N EE

donde A es el rea de la seccin transversal de la barra.

Al aproximarse el axil N que sufre la barra a la carga crtica NE la

columna puede permanecer recta, si no existe causa que la aparte de dicha posicin, o iniciar su pandeo si existe alguna causa que altere

su equilibrio (imperfecciones en su forma, descentramiento de la carga, etc).

Para valores de N > NE se combara la barra, con una deformada que

se observa en la figura 2, apareciendo un momento (momento de 2 orden) de valor N*vmax generndose en un anlisis elstico una

tensin mxima en la barra de valor:

elW

vN

A

N maxmax

siendo:

N: esfuerzo axil de compresin

A: rea de la seccin de la columna vmax: flecha en el centro de la columna

Wel: mdulo resistente elstico de la seccin respecto al plano en el que flecta la barra

N

L

N

vmax

v = v *senmaxx

L

Figura 2

Para valores de N ligeramente superiores a NE la flecha mxima vmax se deduce de la siguiente expresin (ver libro de Argelles):

3

ENNLv /9.0max

donde N = N-NE

Para pequeos incrementos de carga N (por ejemplo de slo el 1.5%

de NE) la flecha resultante (vmax) es grande, provocando que en el clculo de la tensin de la barra el trmino correspondiente al

momento de segundo orden (N*vmax/Wel) alcance valores muy altos para ratios de incrementos de carga N muy pequeos, lo que hace

que coincidan prcticamente la carga crtica NE y la carga de

agotamiento de la pieza, sobreviniendo ste bajo tensiones de compresin = NE/A que pueden ser muy inferiores a la tensin de

rotura del material, o incluso a su lmite elstico, si la barra

comprimida es suficientemente esbelta.

B) LONGITUD DE PANDEO EN BARRAS AISLADAS

La frmula de Euler vista en el primer apartado de este tema est expresada para barras articuladas en su pie y cabeza.

La frmula de Euler se puede generalizar mediante la expresin:

)(

k

EL

IE

L

IEN

donde: : coeficiente de pandeo, que depende de las restricciones de los

extremos de la barra Lk: longitud de pandeo. Esta longitud coincide con la distancia

entre puntos de inflexin de la deformada de la barra En la figura 3 se refleja el valor del coeficiente de pandeo para

distintos casos de barras, tal y como se define en la tabla 6.1 del

CTE-DB-SE-A. En definitiva, adopta los valores 1.0 (biarticulada), 0.5

(biempotrada), 0.7 (empotrada-articulada), 1.0 (biempotrada desplazable) 2.0 (en mnsula).

4

N

L

N

1

BARRABIARTICULADA

N

L

N

2

BARRABIEMPOTRADA

(no desplazable) (no desplazable)

deslizadera

Lk=

L

Lk=

0.5

L

PI

PI

N

L

N

3

BARRAEMPOTRADA-ARTICULADA

(no desplazable)

Lk=

0.7

L

PI

4

BARRABIEMPOTRADA

N

L

N

deslizadera

Lk=

L

PI

PI

N

L

N

5

BARRAEN MNSULA

Lk=

2L

PI: punto de inflexin de la deformada

DESPLAZABLE

Figura 3

En el anlisis de barras a pandeo, ste se analizar normalmente segn dos planos principales, coincidentes con los ejes Y y Z del perfil

que compone la pieza. Las condiciones de contorno de un perfil pueden no coincidir segn sus dos planos principales. Por ejemplo

una columna puede estar biempotrada en una direccin de pandeo, pero empotrada-libre en la otra; por tanto se hablar en general de dos coeficientes de pandeo, y y z.

Por ejemplo, en la figura 4 se observa una columna (perfil IPN),

empotrada en su base y con las coacciones en cabeza que se observan: libre en cabeza en su flexin segn el eje Y (movimiento

horizontal en cabeza segn Z) y articulada en cabeza en su flexin segn el eje Z (movimiento horizontal en cabeza segn Y).

Figura 4

5

Los coeficientes de pandeo sern por tanto:

y = 2.0

z = 0.7

C) ESBELTEZ MECNICA ()

La esbeltez mecnica se define como:

= L/i

donde:

: esbeltez mecnica

L: longitud de la pieza que se analiza a pandeo

i: radio de giro = A

I, donde I es la inercia a flexin de la

seccin y A es el rea de la seccin

La esbeltez mecnica es un parmetro muy importante, que expresa directamente la mayor o menor robustez de una barra frente al

pandeo. Por ejemplo un pilar HEB (figura 5) tiende a pandear ms fcilmente segn el eje principal Z que segn el eje principal Y, ya

que la inercia a flexin segn el eje Y (eje fuerte) es mucho mayor.

Z

Y

Z

Y

Figura 5 Se hablar por tanto de dos esbelteces mecnicas, z y y, segn los

dos planos principales de flexin de la pieza.

Con objeto de predimensionar las piezas adecuadamente frente al pandeo, se recomienda no sobrepasar los siguientes lmites de

esbeltez mecnica:

En barras comprimidas de elementos principales (pilares por ejemplo) 200

6

En barras comprimidas de elementos secundarios o de

arriostramiento (diagonales de cruces de San Andrs por ejemplo) 250

En estructuras sometidas a cargas dinmicas (sismos, impactos,

estructuras esbeltas sometidas a viento) se recomienda rebajar prudentemente los valores anteriores

En barras traccionadas de la estructura principal la esbeltez mecnica no superar el valor de 300, pudiendo admitirse

valores de hasta 400 en las barras de arriostramiento

Posteriormente veremos cmo el CTE introduce la esbeltez mecnica

en la comprobacin de piezas a pandeo.

D) LONGITUD DE PANDEO EN BARRAS PERTENECIENTES A PRTICOS Y CERCHAS

Las estructuras metlicas ms usuales en edificacin no consisten en

barras aisladas. No obstante existen ciertos casos donde se podra analizar a pandeo una barra con los coeficientes de pandeo vistos

para barras aisladas.

Esto ocurre por ejemplo en los pilares de una nave que soporten unas cerchas en cubierta. En la figura 6 se observan dos soluciones (A y

B) para dicha nave.

Y

X

A) B)

Y

X cruces

cruces

Figura 6

En la solucin A la estructura no dispone de arriostramientos; ante acciones horizontales de viento o sismo en direccin X e Y, se mover

de manera que se puede considerar, a efectos del clculo a pandeo de los pilares, como barras aisladas empotradas en su base y libres en cabeza, por tanto el coeficiente de pandeo ser igual a 2.0 para

el pandeo de los pilares segn sus dos ejes principales.

7

En la solucin B la estructura dispone de arriostramientos a base de

cruces de San Andrs en direccin Y, pero no en direccin X; ante acciones horizontales de viento o sismo en direccin Y la nave apenas

se desplazar en cabeza, pudiendo considerarse, a efectos de clculo, como barras aisladas empotradas en su base y articuladas en cabeza, por tanto el coeficiente de pandeo ser igual a 0.7 para pandeo de

los pilares segn esa direccin. Por el contrario en direccin X, la

nave no est arriostrada, por tanto s se mover en cabeza, y a efectos de clculo, los pilares se considerarn como barras aisladas

empotradas en su base y libres en cabeza, por tanto el coeficiente de pandeo ser igual a 2.0 para el pandeo de los pilares segn esa

direccin.

Para el anlisis de los pilares de un prtico de edificacin, o de las barras que componen la estructura triangulada de una cercha (las

que componen su viga), tendremos que calcular los coeficientes de pandeo segn otros procedimientos, que se exponen a

continuacin.

d.1) Pilares de prticos de edificios: se emplern las expresiones que

aparecen en el apartado 6.3.2.5 del CTE-DB-SE-A, dadas para prticos intraslacionales o traslacionales.

La definicin de un prtico como intraslacional o traslacional es la

siguiente:

Prticos intraslacionales: cuando el edificio est arriostrado con sistemas triangulados (cruces de San Andrs u otros), o con

pantallas o ncleos de hormign armado, de manera que stos absorban ms del 80% de las fuerzas horizontales de viento o

sismo en la direccin considerada (el 20% restante de las fuerzas horizontales las absorbern los pilares). O lo que es lo mismo, el

sistema de rigidizacin reduce los desplazamientos en esa direccin en al menos un 80%, frente a la solucin sin

arriostramientos (slo con los pilares del prtico). Un edificio con pequeas acciones horizontales de viento o sismo tambin se

puede considerar instralacional, siempre que la suma de las fuerzas horizontales actuando sobre el edificio sean menores que

1/80 de la suma de las cargas gravitatorias (esto ocurrira por ejemplo en una vivienda de una sola planta, ubicada en un centro

urbano (accin de viento mnima) en un municipio sin sismo).

Prticos traslacionales: cuando no se cumpla lo anterior.

Los prticos traslacionales sufrirn mucho ms a pandeo, con coeficientes de pandeo mayores en el clculo.

8

En las dos hojas siguientes se refleja el artculo 6.3.2.5 del CTE-DB-

SE-A para pandeo de prticos, suponiendo pilares continuos en toda su altura (nudos rgidos entre un pilar y su superior).

Como se observa, en prticos intraslacionales los coeficientes de pandeo en pilares oscilan entre 0.5 y 1.0, y en prticos

traslacionales los coeficientes de pandeo en pilares oscilan entre 1.0

y 5.0.

10

d.2) Barras de elementos triangulados (cerchas o arriostramientos):

se adoptarn los valores de longitud de pandeo Lk que aparecen en el apartado 6.3.2.4 del CTE-DB-SE-A, que se refleja a continuacin.

En todo lo hablado hasta ahora sobre pandeo se supone que los

axiles son constantes en toda la longitud de la barra, y que la seccin de la pieza es constante en toda su longitud. Esto ocurre en

edificacin en la inmensa mayora de los casos, pues la seccin de un pilar, diagonal etc. suele ser constante en toda su longitud, y los

axiles suelen variar muy poco a lo largo de la longitud de la pieza, o se pueden considerar axiles constantes a efectos de clculo (por

ejemplo en pilares, donde el axil aumenta hacia abajo debido a su peso propio).

No obstante, existen apartados del CTE-DB-SE-A donde se analizan

los siguientes casos de barras comprimidas:

Barras con esfuerzos axiles variables (apartado 6.3.2.2), para analizar por ejemplo el pandeo fuera del plano del cordn

comprimido de una cercha Barras de seccin variable (apartado 6.3.2.3)

Barras de seccin compuesta (apartado 6.3.2.6)

2. PANDEO GLOBAL EN BARRAS RECTAS DE SECCIN CONSTANTE, SOMETIDAS A ESFUERZO AXIL CONSTANTE DE

COMPRESIN.

En este apartado trataremos barras comprimidas de seccin constante donde se puedan despreciar los esfuerzos de flexin,

actuando slo un axil constante de compresin.

Se debe cumplir la siguiente expresin:

11

ydRdbd fANN , siendo:

Nd: axil de clculo en la barra

Nb,Rd: resistencia a pandeo de la barra : coeficiente de reduccin por pandeo

A: rea de la seccin transversal en secciones de clases 1, 2 y 3, rea eficaz (Aeff) en secciones de clase 4

fyd: resistencia de clculo del acero, fyd=fy/M1, donde fy es el

lmite elstico del acero, y M1 es el coeficiente de reduccin de

la resistencia del material (apartado 2.3.3 del CTE-DB-SE-A), de valor M1=1.05 para fenmenos de inestabilidad

El coeficiente depende de la esbeltez reducida () y de la curva de

pandeo correspondiente.

La esbeltez reducida se obtiene con la frmula:

cr

y

N

fA

donde:

A: rea de la seccin transversal en secciones de clases 1, 2 y

3, rea eficaz (Aeff) en secciones de clase 4

fy: lmite elstico del acero Ncr: carga crtica de pandeo

La carga crtica de pandeo (o de Euler) se obtiene con la frmula:

donde:

Lk: longitud de pandeo de la pieza E: mdulo de elasticidad

I: inercia a flexin segn el plano considerado donde se est comprobando el pandeo

El coeficiente de reduccin por pandeo se calcula con la expresin

analtica:

1)(

1

IEL

Nk

cr

2

12

donde )2.0(15.0 ; el coeficiente es el coeficiente de imperfeccin elstica, que depende de las tensiones residuales de la seccin, y que adopta los valores de la tabla 6.3 del CTE-DB-SE-A en

funcin de la curva de pandeo a la que pertenezca el perfil que estamos comprobando. El proceso de clculo a realizar es el

siguiente:

1) Elegimos la curva de pandeo (a0, a, b, c d) de la tabla 6.2 del CTE-DB-SE-A, en funcin del tipo de perfil que compone la pieza, del

tipo de acero y del eje de pandeo que estemos analizando:

13

2) Adoptamos el coeficiente de imperfeccin elstica

correspondiente:

Curva a0 = 0.13 Curva a = 0.21 Curva b = 0.34 Curva c = 0.49 Curva d = 0.76

Con y (sta ltima se calcula como se explica en el prrafo

anterior) calculamos el valor de 3) Con los valores de y calculamos el coeficiente de reduccin por pandeo

4) Con el valor de comprobamos a pandeo con la expresin:

ydRdbd fANN , El coeficiente de reduccin por pandeo , aparte de con la expresin

analtica vista anteriormente, se puede obtener tambin de otras dos

maneras:

1. Directamente mediante la tabla 6.3 del CTE-DB-SE-A:

14

2. Directamente mediante la grfica de las curvas de pandeo de la figura 6.3 del CTE-DB-SE-A:

EJEMPLO DE CLCULO

Clculo a pandeo de un pilar interior de planta baja de un edificio de viviendas en Madrid.

Datos:

Edificio de viviendas en Madrid, dimensiones en planta

25mx15m, dos alturas, 3.0m de altura cada planta Estructura: Prticos de carga + forjado unidireccional de

viguetas metlicas + vigas de arriostramiento en las dos fachadas largas del edificio, en la direccin de las viguetas. No

existen vigas de arriostramiento en la direccin de las viguetas, entre pilares interiores. 6 prticos de carga de 3 vanos en la

direccin corta del edificio (vanos de 5.0m), luces de viguetas (separacin entre prticos de carga) de 5.0m

Nudos rgidos viga-pilar en la unin viga de carga-pilar, y en la unin viga de arriostramiento-pilar. Pilares HEB, vigas IPN.

Suponemos los pilares orientados segn su mxima inercia contenida en el plano de los prticos de carga

Acero S275

Cargas gravitatorias:

15

PP forjado: 3.0 kN/m2 (forjado de viguetas) en ambas plantas

CP planta vivienda (suelos + techos): 1.5 kN/m2 CP planta cubierta (cubierta no visitable): 2.0 kN/m

CP tabiquera planta vivienda: 1.0 kN/m2

CP de cerramiento convencional de doble hoja en planta de vivienda: 7.0 kN/ml

SC uso planta vivienda: 2.0 kN/m2 SC uso planta cubierta (conservacin): 1.0 kN/m SC nieve: 0.6 kN/m (~700m, zona 4, tabla E.2 CTE-DB-SE-

AE). No obstante, consideramos la nieve incluida en la SC de

conservacin de cubierta a efectos de clculo

Accin de viento:

0.72kN/m en fachada, en planta baja (presin + succin)

0.77kN/m en fachada, en planta 1 (presin + succin)

Clculo de esfuerzos realizado con SAP2000 para uno de los prticos de carga interiores. Esfuerzos de clculo:

Nd: 485 kN

Md: 8.3 kN*m (con viento actuando en cualquier direccin en planta del edificio) ~ podemos despreciar este momento, es

muy pequeo a efectos de clculo

Resolucin:

1) Clculo de la longitud de pandeo Lk del pilar interior de planta

baja. Se realiza con el apartado 6.3.2.5 del CTE-DB-SE-A. Lo realizaremos para la dos direcciones posibles de pandeo del pilar.

Clasificamos primero el edificio como intraslacional o traslacional, en

cada direccin en planta. El edificio no tiene cruces de San Andrs ni pantallas de arriostramiento. Segn el CTE, si la suma de fuerzas

horizontales (viento en nuestro caso) no supera 1/80 veces la suma de las cargas gravitatorias, se puede considerar intraslacional. Esta

comprobacin habr que realizarla en las dos direcciones en planta del edificio, la realizamos con el conjunto de fuerzas que actan en el

edificio, que es ms exacto.

Direccin Y (prticos de carga):

Suma de fuerzas horizontales (viento): 0.72kN/m*25.0m*3.0m + 0.77kN/m*25.0m *3.0m = 111.75

kN

16

Suma de cargas gravitatorias: (3.0kN/m + 1.5kN/m +

1.0kN/m + 2.0 kN/m)*25.0m*15.0m + (3.0kN/m + 2.0kN/m + 1.0 kN/m)*25.0m*15.0m + 7.0kN/m*(2*25+2*15) = 5622.5kN aumentamos un 5%

para tener en cuenta el peso propio del prtico (pilares y vigas) 5622.5kN*1.05 = 5903.6kN

El cociente entre la suma de fuerzas horizontales y la suma de cargas gravitatorias es: 111.75kN/5903.6kN = 0.0189 ~ 1/53 > 1/80

estructura traslacional en direccin Y

Direccin X (en la direccin del forjado):

Suma de fuerzas horizontales (viento): 0.72kN/m*15.0m*3.0m + 0.77kN/m*15.0m *3.0m = 67.05

kN Suma de cargas gravitatorias: 5903.6kN

El cociente entre la suma de fuerzas horizontales y la suma de cargas gravitatorias es: 67.05kN/5903.6kN = 0.0114 ~ 1/88 < 1/80 estructura intraslacional en direccin X

Calculamos las rigideces de pilares y vigas Kc, K1, K2, K11, K12, K21,

K22, en cada direccin posible de pandeo del pilar interior de planta baja (ver apartado 6.3.2.5 del CTE-DB-SE-A). Suponemos secciones

HEB200 para pilares e IPN220 para vigas de carga.

Rigideces en la direccin global Y de pandeo, cuya deformacin est contenida en los prticos de carga

Las rigidez de cada pilar ser E*I/L (HEB200), donde I es la inercia a

flexin segn el eje fuerte del pilar (Iy).

Las vigas son vigas de carga IPN220. En cuanto a las rigideces de las vigas, hay que elegir su valor de la tabla 6.5 del CTE-DB-SE-A.

Elegiremos el valor 0.5*E*I/L (entramos en la columna sin compresin relevante, con giro de igual valor absoluto y de signo opuesto, ya que los giros en cada extremo de la viga sern debidos a la deformacin de la viga ante acciones gravitatorias, el viento

apenas produce giros en la viga).

Kc=E*I/L=210.000N/mm*56960000mm4/3000mm=3.99E9 N*mm

K1=E*I/L=210.000N/mm*56960000mm4/3000mm=3.99E9 N*mm

K11=K12=0.5*E*I/L=1.5*210.000N/mm*30600000mm4/5000mm=

=6.43E8 N*mm

K2, K21 y K22 no se pueden calcular pues no existen esas posiciones

de pilar y vigas (es el nudo de empotramiento con la cimentacin).

17

Calculamos con la expresin (6.26) los coeficientes 1 y 2:

86.09643.09643.0999.3999.3

999.3999.3

12111

1

1

EEEE

EE

KKKK

KK

c

c

02 , valor que se asigna en el arranque del pilar en la cimentacin,

extremo empotrado. Si hubiese estado articulado el pilar en cimentacin se asignara 2 = 1.0 (ver Argelles, pgina D9 del Tomo

1).

Con la expresin (6.25) para prticos traslacionales obtenemos el coeficiente de pandeo :

63.1086.06.0)086.0(8.01

086.012.0)086.0(2.01

6.0)(8.01

12.0)(2.01

2121

2121

L

Lk

Si operamos directamente con el grfico de la figura 6.4 del CTE-DB-SE-A obtenemos igualmente un coeficiente de pandeo ~ 1.63

Despejamos la longitud de pandeo Lk del pilar Lk = *L =

1.63*3.0m = 4.89m; esta ser la longitud de pandeo segn el eje fuerte del pilar, Lk = 4.89m

Rigideces en la direccin global X de pandeo, cuya deformacin est

contenida en la direccin perpendicular a los prticos de carga

Las rigidez de cada pilar ser E*I/L (HEB200), donde I ahora es la inercia a flexin segn el eje dbil del pilar (IZ).

En cuanto a las rigideces de las vigas K11 y K12, estas vigas no existen

pues entre pilares interiores no hay vigas de arriostramiento. Esto quiere decir que K11=K12 = 0.

Kc=E*I/L=210.000N/mm*20030000mm

4/3000mm=1.4E9 N*mm


K11=K12=0


de pilar y vigas (es el nudo de empotramiento con la cimentacin). Calculamos con la expresin (6.26) los coeficientes 1 y 2:

0.10094.194.1

94.194.1

12111

1

1

EE

EE

KKKK

KK

c

c

18



1).

Con la expresin (6.24) para prticos intraslacionales obtenemos el coeficiente de pandeo :



0.70*3.0m = 2.10m; esta ser la longitud de pandeo segn el eje dbil del pilar, Lk = 2.10m

2) Clculo de la carga crtica de pandeo:

Con respecto al eje fuerte del pilar:

Con respecto al eje dbil del pilar:

3) Clculo de la esbeltez reducida:


660.09.4937092

/2757810

N

mmNmm

N

fA

cr

y (adimensional)


478.07.9413722

/2757810

N

mmNmm

N

fA

cr

y (adimensional)

4) Clculo del coeficiente de reduccin por pandeo

NmmmmNmm

IEL

Nk

cr 9.493709256960000/000.2104890

4

22

70.001247.0)01(364.02

01265.0)01(145.01

247.0)(364.02

265.0)(145.01

2121

2121

L

Lk

NmmmmNmm

IEL

Nk

cr 7.941372220030000/000.2102100

4

22

19

Primero tenemos que escoger la curva de pandeo. Al tratarse de

pilares HEB, en la tabla 6.2 del CTE-DB-SE-A entramos en la fila de perfiles laminados; segn el prontuario de Constructalia estamos con una relacin geomtrica h/b 1.2 y t 100mm.

Para el pandeo segn el eje fuerte del perfil (pandeo segn Y-Y), entrando en la columna para acero de S235 a S355 curva de pandeo b de la tabla 6.3 obtenemos un coeficiente de imperfeccin elstica =0.34

Para el pandeo segn el eje dbil del perfil (pandeo segn Z-Z), entrando en la columna para acero de S235 a S355 curva de pandeo c de la tabla 6.3 obtenemos un coeficiente de imperfeccin elstica =0.49

Calculamos el factor )2.0(15.0 : Para el pandeo segn el eje fuerte = 0.5*[1+0.34*(0.66-

0.2)+0.66] = 0.796 Para el pandeo segn el eje dbil = 0.5*[1+0.49*(0.478-

0.2)+0.478] = 0.682

Calculamos el coeficiente de reduccin por pandeo: Para el pandeo segn el eje fuerte

1806.066.0796.0796.0

1

)(

1

y

Para el pandeo segn el eje dbil

1856.0478.0682.0682.0

1

)(

1

z

Otra manera de calcular los coeficientes de reduccin por pandeo es

mediante la tabla 6.3 del CTE-DB-SE-A, donde obtenemos directamente los mismos valores para y y z que con la expresin

analtica.

Otra opcin para calcular es mediante la figura 6.3 del CTE-DB-SE-

A, donde obtenemos grficamente y y z.

Recordemos que se debe cumplir siempre que 1

5) Comprobacin a pandeo con el axil de clculo


ydyRdbd fANN ,

20

kNNd 485

kNNmmNmmfAN ydyRdb 16498.164865305.1//2757810806.0,


ydzRdbd fANN ,

kNNd 485

kNNmmNmmfAN ydzRdb 17516.175092705.1//2757810856.0,

Se cumple holgadamente que Rdbd NN , , el pilar est muy sobrado.

Habr que rehacer los nmeros, buscando un perfil HEB ms pequeo

que cumpla para no desperdiciar tanto acero.

3. PANDEO GLOBAL EN BARRAS RECTAS DE SECCIN CONSTANTE, SOMETIDAS A FLEXIN ESVIADA,

DESPRECIANDO LOS EFECTOS DEL PANDEO POR TORSIN.

En el apartado anterior se han analizado a pandeo global barras

sometidas a axil de compresin, sin flexin.

Si la expresin estudiada a axil la reordenamos, obtendramos el primer trmino de la expresin que se emplea en el pandeo global en

flexin esviada, de la siguiente forma:

1,

yd

dydRdbd

fA

NfANN

En el caso de que acten adems dos momentos (My actuando segn el eje fuerte y Mz actuando segn el eje dbil de la seccin)

tendramos la expresin completa para el pandeo global en flexin esviada.

Las expresiones generalizadas para flexin esviada, con o sin el

efecto del pandeo por torsin, se presentan en el CTE-DB-SE-A en el apartado 6.3.4.2.

Para casos en los que se puedan despreciar los efectos del pandeo

por torsin las expresiones de clculo en flexin esviada son las siguientes:

21

a) Para secciones de clases 1, 2 y 3:

1*

,,

ydz

dzzm

zz

ydy

dyym

y

ydy

d

fW

Mck

fW

Mck

fA

N

1*

,,

ydz

dzzm

z

ydy

dyym

yy

ydz

d

fW

Mck

fW

Mck

fA

N

b) Para secciones de clase 4:

1*

,,,,

ydz

dzNdzzm

zz

ydy

dyNdyym

y

ydy

d

fW

NeMck

fW

NeMck

fA

N

1*

,,,,

ydz

dzNdzzm

z

ydy

dyNdyym

yy

ydz

d

fW

NeMck

fW

NeMck

fA

N

donde:

Nd: axil de clculo Myd: momento de clculo actuando segn el eje fuerte de la seccin Mzd: momento de clculo actuando segn el eje dbil de la seccin y: coeficiente de reduccin por pandeo segn el eje fuerte de la seccin z: coeficiente de reduccin por pandeo segn el eje dbil de la seccin A*: rea de la seccin (ver tabla 6.12 del CTE-DB-SE-A) Wy: momento resistente segn el eje fuerte de la seccin, ver tabla 6.12 del

CTE-DB-SE-A Wz: momento resistente segn el eje dbil de la seccin, ver tabla 6.12 del

CTE-DB-SE-A fyd: resistencia de clculo del acero: fy/M1

fy: lmite elstico del acero M1: coeficiente parcial de seguridad del material, que en todos los

casos vale M1=1.05

y, z: parmetros (ver tabla 6.12 del CTE-DB-SE-A)

eN,y, eN,z: desplazamientos que sufren los ejes principales de la

seccin bruta al considerar la seccin eficaz, en secciones de clase

4 (ver tabla 6.12 del CTE-DB-SE-A) ky, kz: factores de interaccin relacionados con la esbeltez reducida (ver

tabla 6.13 del CTE-DB-SE-A) cm,y, cm,z: factores de momento uniforme equivalente obtenidos en funcin

del diagrama de momentos flectores entre puntos arriostrados (ver tabla 6.14 del CTE-DB-SE-A)

23

EJEMPLO DE CLCULO:

Clculo a pandeo de un pilar interior de planta baja de un edificio de viviendas en Granada.

Edificio de viviendas en Granada, dimensiones en planta

25mx15m, dos plantas, 3.0m de altura cada planta Estructura: Prticos de carga + forjado unidireccional de

viguetas metlicas + vigas de arriostramiento entre todos los pilares en la direccin de las viguetas. 6 prticos de carga de 3

vanos en la direccin corta del edificio (vanos de 5.0m), luces de viguetas (separacin de prticos de carga) de 5.0m

Nudos rgidos viga-pilar. Pilares HEB, vigas IPN (tanto las de carga como las de arriostramiento). Suponemos los pilares

orientados segn su mxima inercia contenida en el plano de los prticos de carga

24

Acero S275

Cargas gravitatorias:

PP forjado: 3.0 kN/m2 (forjado de viguetas) en ambas

plantas CP planta vivienda (suelos + techos): 1.5 kN/m2 CP planta cubierta (cubierta no visitable): 2.0 kN/m

CP tabiquera planta vivienda: 1.0 kN/m2 CP de cerramiento convencional de doble hoja en planta de

vivienda: 7.0 kN/ml SC uso planta vivienda: 2.0 kN/m2

SC uso planta cubierta (conservacin): 1.0 kN/m SC nieve: 0.6 kN/m (Madrid~700m, zona 4, tabla E.2 CTE-

DB-SE-AE). Consideramos la nieve incluida en la SC de conservacin de cubierta a efectos de clculo

Accin de viento:

0.72kN/m en fachada, en planta baja (presin + succin)

0.77kN/m en fachada, en planta 1 (presin + succin)

Accin de sismo:

Aceleracin bsica: 0.23g Coeficiente de suelo: 1.60 (suelo tipo III)

Aceleracin de clculo: 0.27g Ductilidad: =2

Clculo de esfuerzos realizado con SAP2000 para uno de los prticos de carga interiores. Esfuerzos de clculo en pilar interior:

25

Hiptesis persistente:

4.8 kN*m

8.5 kN*m

Momentos Myd (con viento en la direccin de los prticos de carga)

4.8 kN*m

8.5 kN*m

481.5 kN

Axiles NdMomentos Mzd (con viento en la direccin de losprticos de arriostramiento)

484.3 kN

Hiptesis ssmica:

60.3 kN*m

147.7 kN*m

Momentos Myd (con sismo en la direccin de los prticos de carga)

299.4 kN

Axiles NdMomentos Mzd (con sismo en la direccin de losprticos de arriostramiento)

301.6 kN

60.3 kN*m

147.7 kN*m

Resolucin: 1) Clculo del coeficiente de reduccin por pandeo () del pilar

interior de planta baja. Para este edificio en Granada el clculo se hace como edificio traslacional en ambas direcciones en planta, ya

que el sismo es una accin horizontal muy fuerte y no tenemos arriostramientos con Cruces de San Andrs ni pantallas. Con total

seguridad se cumplir que la suma de fuerzas horizontales de sismo ser superior a 1/80 veces la suma de accin gravitatoria.

Habr que calcular dos coeficientes de reduccin por pandeo, uno para el eje fuerte del pilar (y) y otro para el eje dbil (z)

26

1.1. Coeficiente de reduccin por pandeo para el eje dbil (z):

1.1.1) Calculamos las rigideces de pilares y vigas Kc, K1, K2, K11, K12,

K21, K22 (ver apartado 6.3.2.5 del CTE-DB-SE-A). Las rigidez de cada pilar ser E*I/L.

En cuanto a las rigideces de las vigas, hay que adoptar en la tabla 6.5

del CTE-DB-SE-A el valor 1.5*E*I/L (nudos rgidos, con giro igual y de igual signo, ya que los giros en los extremos de las vigas son

debidos fundamentalmente a la accin ssmica, que es una accin horizontal).

Kc=E*I/L=210.000N/mm*20030000mm

4/3000mm=1.4E9 N*mm


K11=K12=1.5*E*I/L=1.5*210.000N/mm*30600000mm4/5000mm=

=1.93E9 N*mm

K2, K21 y K22 no se pueden calcular pues no existen esas posiciones de pilar y vigas (es el nudo de empotramiento con la cimentacin).

Calculamos con la expresin (6.26) los coeficientes 1 y 2:

42.0993.1993.194.194.1

94.194.1

12111

1

1

EEEE

EE

KKKK

KK

c

c



1).


18.1042.06.0)042.0(8.01

042.012.0)042.0(2.01

6.0)(8.01

12.0)(2.01

2121

2121

L

Lk



1.18*3.0m = 3.54m

1.1.2) Clculo de la carga crtica de pandeo con respecto al eje dbil

del pilar:

NmmmmNmm

IEL

Nk

zcr 6.331278620030000/000.2103540

4

22

,

27

1.1.3) Clculo de la esbeltez reducida:

805.06.3312786

/2757810

N

mmNmm

N

fA

cr

y

z (adimensional)

1.1.4) Clculo del coeficiente de reduccin por pandeo z


pilares HEB, en la tabla 6.2 del CTE-DB-SE-A entramos en la fila de perfiles laminados; segn el prontuario de Constructalia estamos con una relacin geomtrica h/b 1.2 y t 100mm; analizamos el pandeo segn el eje dbil del perfil (pandeo segn Z-Z), entrando en la columna para acero de S235 a S355 curva de pandeo c

Al ser la curva de pandeo c, de la tabla 6.3 obtenemos un coeficiente de imperfeccin elstica =0.49

Calculamos el factor )2.0(15.0 = 0.5*[1+0.49*(0.805-0.2)+0.805] = 0.972

Calculamos el coeficiente de reduccin por pandeo

1659.0805.0972.0972.0

1

)(

1

z

Otra manera de calcular es mediante la tabla 6.3 del CTE-DB-SE-A,

donde obtenemos directamente un valor z ~ 0.66


A, donde obtenemos directamente un valor z ~ 0.66


1.2. Coeficiente de reduccin por pandeo para el eje fuerte (y):

1.2.1) Calculamos las rigideces de pilares y vigas Kc, K1, K2, K11, K12,

K21, K22 (ver apartado 6.3.2.5 del CTE-DB-SE-A). Las rigidez de cada pilar ser E*I/L.

En cuanto a las rigideces de las vigas, hay que adoptar en la tabla 6.5

del CTE-DB-SE-A el valor 1.5*E*I/L (nudos rgidos, con giro igual y de igual signo).

Kc=E*I/L=210.000N/mm*56960000mm

4/3000mm=3.99E9N*mm

K1=E*I/L=210.000N/mm*56960000mm4/3000mm=3.99E9N*mm

K11=K12=1.5*E*I/L=1.5*210.000N/mm*30600000mm4/5000mm=

=1.93E9N*mm

28


de pilar y vigas (es el nudo de empotramiento con la cimentacin). Calculamos con la expresin (6.26) los coeficientes 1 y 2:

67.0993.1993.1999.3999.3

999.3999.3

12111

1

1

EEEE

EE

KKKK

KK

c

c



1).


37.1067.06.0)067.0(8.01

067.012.0)067.0(2.01

6.0)(8.01

12.0)(2.01

2121

2121

L

Lk


Despejamos la longitud de pandeo Lky del pilar Lky = *L =

1.37*3.0m = 4.11m

1.2.2) Clculo de la carga crtica de pandeo con respecto al eje fuerte del pilar:

1.2.3) Clculo de la esbeltez reducida:

554.05.6988844

/2757810

,

N

mmNmm

N

fA

ycr

yy (adimensional)

1.2.4) Clculo del coeficiente de reduccin por pandeo y


pilares HEB, en la tabla 6.2 del CTE-DB-SE-A entramos en la fila de perfiles laminados; segn el prontuario de Constructalia estamos con una relacin geomtrica h/b 1.2 y t 100mm; analizamos el pandeo segn el eje fuerte del perfil (pandeo segn Y-Y), entrando en la columna para acero de S235 a S355 curva de pandeo b

NmmmmNmm

IEL

Nyk

ycr 5.698884456960000/000.2104110

4

22

,

,

29

Al ser la curva de pandeo b, de la tabla 6.3 obtenemos un coeficiente de imperfeccin elstica =0.34

Calculamos el factor )2.0(15.0 yyy = 0.5*[1+0.34*(0.554-0.2)+0.554] = 0.714

Calculamos el coeficiente de reduccin por pandeo

1859.0554.0714.0714.0

1

)(

1

yyy

y

Otra manera de calcular es mediante la tabla 6.3 del CTE-DB-SE-A,

donde obtenemos directamente un valor y ~ 0.86


A, donde obtenemos directamente un valor y ~ 0.86


2) Clculo de los coeficientes de interaccin Ky y Kz

Clculo de Ky En la tabla 6.13, nuestro pilar HEB200 es de clase 1 siempre (ver

prontuario de Constructalia) y es seccin abierta, por tanto:

Rdcy

dyy

N

NK

,

)2.0(1

donde Nc,Rd = A

**fyd, siendo A* el rea de la seccin del pilar (ver

tabla 6.12) y fyd la resistencia de clculo del acero

El valor de Ky ser distinto para la hiptesis persistente y para la ssmica, ya que Ky depende de Nd, distinto en cada hiptesis.

Para la hiptesis persistente:

098.105.1//2757810859.0

484300)2.0554.0(1)2.0(1

,

mmNmm

N

N

NK

Rdcy

dyy

Para la hiptesis ssmica:

061.105.1//2757810859.0

301600)2.0554.0(1)2.0(1

,

mmNmm

N

N

NK

Rdcy

dyy

Clculo de Kz

En la tabla 6.13, nuestro pilar HEB200 es de clase 1 siempre (ver prontuario de Constructalia) y es seccin abierta, por tanto:

30

Rdcz

dzz

N

NK

,

)6.02(1

donde Nc,Rd = A

**fyd, siendo A* el rea de la seccin del pilar (ver

tabla 6.12) y fyd la resistencia de clculo del acero

El valor de Kz ser distinto para la hiptesis persistente y para la ssmica, ya que Kz depende de Nd, distinto en cada hiptesis.

Para la hiptesis persistente:

363.105.1//2757810659.0

484300)6.0805.02(1)6.02(1

,

mmNmm

N

N

NK

Rdcz

dzz

Para la hiptesis ssmica:

226.105.1//2757810659.0

301600)6.0805.02(1)6.02(1

,

mmNmm

N

N

NK

Rdcz

dzz

3) Clculo de los coeficientes y y z

De la tabla 6.12 obtenemos para el pilar HEB200 (clase 1):

y = 0.6 z = 0.6

4) Clculo de los coeficientes del momento equivalente cm,y y cm,z

Se obtienen de la tabla 6.14:

Para la hiptesis persistente: viendo la ley de momentos en toda la altura del pilar, ver enunciado):

cm,y = 0.6 + 0.4*(-4.8/8.5) = 0.374 valor mnimo cm,i = 0.4

cm,z = 0.4

Para la hiptesis ssmica: viendo la ley de momentos en toda la altura

del pilar, ver enunciado):

cm,y = 0.6 + 0.4*(-60.3/147.7) = 0.437 0.4 cm,z = 0.437

5) Comprobacin del pandeo en hiptesis persistente:

5.1. Pandeo segn eje fuerte del pilar en hiptesis persistente (viento

actuando segn el eje dbil del pilar, que es ms desfavorable):

31

1*

,,

ydz

dzzm

zz

ydy

dyym

y

ydy

d

fW

Mck

fW

Mck

fA

N

05,1

/275305800

65,84,0363,16,00

05,1

/2757810859,0

484300

3 mmNmm

mmNE

mmNmm

N

CUMPLE 1311,00347,02756,0

5.2. Pandeo segn eje dbil del pilar en hiptesis persistente (viento actuando segn el eje dbil del pilar, que es ms desfavorable):

1*

,,

ydz

dzzm

z

ydy

dyym

yy

ydz

d

fW

Mck

fW

Mck

fA

N

05,1

/275305800

65,84,0363,10

05,1

/2757810659,0

484300

3 mmNmm

mmNE

mmNmm

N

CUMPLE 1418,00579,0359,0

6) Comprobacin del pandeo en hiptesis ssmica:

6.1. Pandeo segn eje fuerte del pilar en hiptesis ssmica (consideramos el 100% del sismo actuando segn el eje dbil, y el

30% del sismo actuando segn el eje fuerte, que es lo ms desfavorable):

1*

,,

ydz

dzzm

zz

ydy

dyym

y

ydy

d

fW

Mck

fW

Mck

fA

N

05,1

/275642500

67,1473.0437,0061,1

05,1

/2757810859,0

301600

3 mmNmm

mmNE

mmNmm

N

CUMPLEmmN

mm

mmNE

1887,0593,0122,0172,0

05,1

/275305800

67,147437,0226,16,0

3

6.2. Pandeo segn eje dbil del pilar en hiptesis ssmica (consideramos el 100% del sismo actuando segn el eje dbil, y el

30% del sismo actuando segn el eje fuerte, que es lo ms desfavorable):

32

1*

,,

ydz

dzzm

z

ydy

dyym

yy

ydz

d

fW

Mck

fW

Mck

fA

N

05,1

/275642500

67,1473,0437,0061,16,0

05,1

/2757810659,0

301600

3 mmNmm

mmNE

mmNmm

N

1285,1988,0073,0224,0

05,1

/275305800

67,147437,0226,1

3 mmNmm

mmNE

NO CUMPLE, HAY QUE AUMENTAR EL PERFIL (CUMPLE CON UN

HEB220, LA COMPROBACIN RESULTA 0,964 < 1)

7) Comprobacin a flexin esviada, sin pandeo

Por ltimo habra que comprobar que sin considerar los efectos del pandeo, el pilar cumple a flexin esviada con la expresin vista en el

Tema 4, apartado 4.2, con la expresin:

1plz

dz

ply

dy

pl

d

M

M

M

M

N

N

7.1. Hiptesis persistente (viento actuando segn el eje dbil del

pilar, que es ms desfavorable):

05,1

/275305800

65,80

05,1

/2757810

484300

3 mmNmm

mmNE

mmNmm

N

CUMPLE 1343,0106,0237,0

7.2. Hiptesis ssmica (consideramos el 100% del sismo actuando

segn el eje dbil, y el 30% del sismo actuando segn el eje fuerte, que es lo ms desfavorable):

05,1

/275642500

67,1473,0

05,1

/2757810

301600

3 mmNmm

mmNE

mmNmm

N

1254,2844,1263,0147,0

05,1

/275305800

67,147

3 mmNmm

mmNE

33

NO CUMPLE, LA COMPROBACIN SALE PEOR QUE A FLEXIN

ESVIADA CON PANDEO. ESTO ES DEBIDO A QUE AL SER UN

EDIFICIO DE SLO 2 PLANTAS, EL PILAR DE PLANTA BAJA QUE ESTAMOS COMPROBANDO TIENE POCO AXIL Y MOMENTOS

FLECTORES RELATIVAMENTE GRANDES DEBIDO A SISMO, POR TANTO RESULTA MS DESFAVORABLE LA FLEXIN ESVIADA SIN

PANDEO (CUMPLE CON UN HEB280, LA COMPROBACIN RESULTA 0,984 < 1)

POR TANTO EL PILAR INTERIOR DE PLANTA BAJA TENDR UN PERFIL

HEB280.

Documents

TEMA 5 - Estructuras III