TEMA 6 - Estructuras III

7/24/2019 TEMA 6 - Estructuras III

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TEMA 6

ANÁLISIS DE LA TORSIÓN

1. INTRODUCCIÓN. ACCIÓN TORSORA. TORSIÓN DE SAINT-VENANT Y TORSIÓN DE ALABEO.

Observemos el siguiente voladizo de vuelo “v”, que constituye elbalcón de un edificio de viviendas (figura 1). Se compone de unforjado unidireccional de viguetas IPN, empotradas éstas en una vigade carga B en fachada, la cual a su vez se empotra en dos pilares P1 y P2, de sección HEB.

BALCÓN(VOLADIZO)

EN FACHADAVIGA DE CARGA B

PILAR P1

PILAR P2L U Z " L "

VIGUETAS

V U E L O " V "

CARGA REPARTIDAq (kN/m²)

Figura 1

La viga de carga B se encuentra sometida a los siguientes esfuerzos:

a) Una ley de momentos flectores debida a las cargas gravitatoriastransmitidas por el voladizo “v”, y su correspondiente ley decortantes.

b) Una ley de momentos torsores debida a las cargas gravitatorias

transmitidas por el voladizo.En la siguiente figura se observan las leyes de esfuerzos.



LUZ "L"

Ley de Mf (kN*m)

pL²/24

Ley de cortantes V (kN)pL/2

pL/2

_ _

+

-pL²/12 -pL²/12

torsores TEd (kN*m)

q*v²*L/4

q*V²*L/4

Ley de momentos

Figura 2

En general un esfuerzo torsor en cualquier sección transversal puededescomponerse en dos componentes, de la siguiente manera:

TEd = Tt,Ed + Tw,Ed

donde:

• TEd:esfuerzo torsor en la sección• Tt,Ed: es la componente de esfuerzo torsor correspondiente a la

torsión uniforme o pura, llamada torsión de Saint-Venant•

Tw,Ed: es la componente de esfuerzo torsor correspondiente a latorsión de alabeo

La torsión de Saint-Venant produce un giro torsor en la sección, perono produce variaciones longitudinales en la pieza. Por tanto sóloproduce tensiones tangenciales, que se manifiestan como un flujotensional en el contorno de la pieza. En la figura 3 se observa el flujode tensiones tangenciales en una sección cerrada (figura 3a, perfiltubular por ejemplo) y en una sección abierta (figura 3b, HEB porejemplo), hablando de perfiles de pared delgada. Un perfil de pared

delgada es aquel donde se cumple que e/h < 0.1 (siendo e el espesorde sus paredes y h el largo de la pared), cumpliéndose además queh/L<0.1, donde L es la longitud de la pieza. Se pueden considerar depared delgada a prácticamente todos los perfiles empleados en



estructuras metálicas en edificación (IPN, IPE, HEB, UPN, perfilestubulares…).

Figura 3a Figura 3b

Figura 3c Figura 3d

Como se observa en la figura 3, el circuito tensional producido por latorsión de Saint Venant es un circuito cerrado. En secciones cerradas(figura 3c) la tensión tangencial es directamente proporcional a ladistancia al centro de la sección. En secciones abiertas (figura 3d)las tensiones tangenciales se anulan en el centro del espesor de laschapas que forman las alas y el alma, variando linealmente entre lasdos caras de la chapa. Esto ocurre así en secciones abiertas, pues enuna sección determinada del ala y el alma hay unas tensiones de iday otras de vuelta (necesario para que el circuito sea cerrado en todala sección), anulándose necesariamente la tensión tangencial en lalínea media del espesor de la chapa, en estas secciones abiertas.



Cuando a un elemento sometido a torsión se le permite alabearlibremente en todas sus secciones, se produce sólo torsión uniforme ode Saint Venant. Es lo que ocurriría en la figura 4a, donde la piezarepresentada (perfil doble T) sometida a torsión puede alabearlibremente, produciéndose el alargamiento en unas fibras y el

acortamiento de otras, en la dirección longitudinal de la pieza.

En realidad en muchos de los elementos torsionados de unaestructura sus extremos no son libres y por tanto no podrán alabearlibremente, figura 4b. El alabeo lo que produce es una flexión de lasalas de la pieza en su plano, tal y como se observa en la figura 4b.

Esta flexión de las alas por el alabeo produce dos tipos de tensiones:tensiones normales debidas a las variaciones longitudinales que seránde compresión o tracción, dependiendo de que el movimiento

restringido en la fibra sea el de alargamiento o acortamiento,respectivamente; y tensiones tangenciales asociadas.

Mt

Mt

Mt

Figura 4a Figura 4b

Por tanto en general aparecerán:

• Tensiones tangenciales τ: debidas al torsor de Saint-Venant, ydebidas al alabeo torsional

• Tensiones normales σ: debidas únicamente al alabeo torsional

Los efectos de la torsión de alabeo podrán ser despreciados para elcaso de elementos con sección transversal hueca cerrada, ya queestos perfiles presentan una inercia a torsión elevada (It, en mm4), y



las tensiones producidas por el alabeo son despreciables. Al tenertanta inercia torsional, alabean poquísimo. Por tanto en los perfileshuecos cerrados casi toda la torsión se produce como torsiónuniforme.

En el caso de elementos con sección transversal abierta, tales comosecciones en I y en H, podrán despreciarse por el contrario losefectos de la torsión uniforme o de Saint-Venant. Esto es debido aque la rigidez torsional (It, en mm4) en estas piezas es muy pequeña,y tienden a alabear mucho, produciéndose casi toda la torsión comotorsión de alabeo.

Si comparamos por ejemplo un perfil tubular cuadrado 200.200.8 conun perfil IPN200, los datos son los siguientes (ver prontuarios deConstructalia y de Condesa):

• IPN200:o Inercia torsional It: 13.5x104 mm4o Módulo de alabeo Iw: 10.5x109 mm6

• Tubo estructural 200.200.8:o Inercia torsional It: 5815x104 mm4o Módulo de alabeo Iw: despreciable

Como observamos, el tubo estructural 200.200.8 tiene 430 veces

más inercia torsional que el IPN200, pero un módulo de alabeodespreciable. El IPN 200 tenderá a absorber toda la torsión poralabeo, y el tubo estructural por torsión de Saint Venant.

Por otro lado, el que los perfiles posean una inercia torsionalsuficiente es importante, ya que en general en elementosestructurales sometidos a un torsor que obligue a conseguir unequilibrio estático en la estructura, no se podrá proyectar con perfilesabiertos pues no tienen apenas inercia torsional, como ocurre porejemplo con la viga de carga B del voladizo observado en la figura 1.

Si la viga de carga B fuese un perfil doble T colapsaría por torsión.Por último, comentar que los perfiles abiertos de pared delgada consección formada por rectángulos concurrentes en un único punto(ángulares, simples T, etc.) no alabean, y siempre se pueden calcularcomo sometidos a torsión uniforme (en realidad hay un alabeosecundario que se desprecia).



2.

CÁLCULO DE LAS TENSIONES TANGENCIALES PRODUCIDASPOR LA TORSIÓN DE SAINT-VENANT EN PERFILES HUECOSCERRADOS.

a) Perfil hueco cuadrado o rectangular

El cálculo de las tensiones tangenciales de Saint Venant se realiza conla expresión:

Ae

T

W

T Ed

T

Ed Ed t

⋅⋅

==

2,τ

donde:

• τt,Ed: tensión tangencial de Saint Venant• TEd: es el esfuerzo torsor que actúa en la sección• WT: módulo de torsión, que en perfiles huecos cuadrados y

rectangulares vale WT=2*e*A• e: espesor de la chapa del perfil tubular• A: área encerrada por la línea media de la sección (figura 5)

La inercia a torsión de la pieza se calcula con la expresión:

S e A I T

⋅⋅

= ²4

Donde S es el perímetro de la línea media trazada a mitad delespesor de la pieza (figura 5).

e

e

Figura 5

La inercia a torsión es el párametro correspondiente a la rigideztorsional de la pieza en un análisis de esfuerzos, a introducir en el



correspondiente programa de cálculo de esfuerzos que vayamos aemplear.

b) Perfil hueco circular

El cálculo de las tensiones tangenciales de Saint Venant se realiza conla expresión:

)(

24

1

4

2

, R R

r T

W

T Ed

T

Ed Ed t

−⋅

⋅⋅

==

π

τ

donde:

• τt,Ed: tensión tangencial de Saint Venant

• TEd: es el esfuerzo torsor que actúa en la sección• WT: módulo de torsión, que en perfiles huecos circulares vale

WT=π /(2r)*(R24-R1

4)• r: radio de la sección en la línea media del espesor de la chapa

del perfil tubular (figura 6)• R2: radio exterior de la sección• R1: radio interior de la sección

R1R2 r

Figura 6

3. CÁLCULO DE LAS TENSIONES NORMALES Y TANGENCIALESPRODUCIDAS POR EL ALABEO TORSIONAL EN PERFILESABIERTOS. EMPLEO DEL BIMOMENTO.

Supongamos un perfil abierto doble T, sometido a dos torsores dealabeo Tw,Ed,1 y Tw,Ed,2 (ver figura 7, obtenida de la norma EAE).

Estos torsores de alabeo pueden descomponerse cada uno de ellos enun par de fuerzas (F1 y F2), de igual magnitud y sentido contrario,actuando en las alas superior e inferior del perfil.



El par de fuerzas F1 y F2 se calcula mediante la expresión:

d

T F

i Ed w

i

,,=

donde d es la distancia entre los centros de gravedad de las alas.

Estas fuerzas F1 y F2 generan en las alas unas flexiones contenidasen su plano (ver parte inferior de la figura 7), que serán de magnitudM1 en una sección determinada de las alas, flexiones M1 que soniguales y contrarias, y que están en equilibrio. Este es el concepto debimomento.

Por tanto, con esos pares de fuerzas F1 y F2, se calculará la ley de

momentos flectores y la ley de cortantes en el plano de las alas,como si las alas fuesen vigas de luz la que tiene el propio perfil dobleT al que pertenecen, y el canto de las vigas que forman cada alafuese el ancho del ala.

La ley de flectores en cada ala producirá unas tensiones normales(σw,Ed) en el ancho del ala que variarán linealmente, a calcular con laley de Navier, y la correspondiente ley de cortantes producirá unastensiones tangenciales contenidas en el ala (τw,Ed) que tendrándirección transversal a la misma.

En definitiva, si el perfil doble T, sometido a dos torsores exterioresde alabeo Tw,Ed,1 y Tw,Ed,2, tiene una luz L, con ala de ancho b yespesor de ala e, es como calcular a flexión una viga de luz L, canto b y ancho e, sometida a dos fuerzas F1 y F2, y obtener sus tensionesnormales y tangenciales. Así se obtienen las tensiones normales ytangenciales de alabeo.

Esto que se ha explicado sería para el caso en el que actúen dostorsores puntuales exteriores en el perfil doble T. En el caso de actuaruna acción torsora continua (por ml de perfil doble T) actuarían unasfuerzas Fi continuas, por ml de alas.



Figura 7



4.

COMPROBACIÓN DE PIEZAS TORSIONADAS SEGÚN EL CTE.

El CTE trata la torsión en los apartados 6.2.7, 6.2.8.4 y 6.2.8.5.

En 6.2.8.4 y 6.2.8.5 el CTE establece dos comprobaciones:

4A) Para piezas de sección abierta sometidas a flexión y torsión

En las comprobaciones en que intervenga la resistencia a flexión seempleará la resistencia a flexión reducida por la existencia detensiones normales debidas a la torsión de alabeo, con la siguienteexpresión:

donde:

• Mc,T,Rd: Resistencia a flexión reducida debido a la combinaciónde flexión y torsión

• σw,Ed: tensión normal producida por el alabeo• f y: límite elástico del acero• γM0: coeficiente de seguridad, γM0 = 1.05• Mc,Rd: resistencia de cálculo de la sección a flexión

o Clases 1 y 2: Mc,Rd = Wpl*f y /γM0, donde Wpl es el móduloplástico de la sección

o Clase 3: Mc,Rd = Wel*f y /γM0, donde Wel es el módulo elástico dela sección

o Clase 4: Mc,Rd = Weff *f y /γM0, donde Weff es el módulo elásticode la sección eficaz

Esta comprobación a flexión y torsión sólo hay que realizarla enperfiles abiertos, ya que en secciones cerradas las tensiones normales

producidas por el alabeo son despreciables.

En esta comprobación para perfiles abiertos no se incluyen lastensiones tangenciales de alabeo (τw,Ed) ya que actúan en direcciónparalela al ala, y tensionalmente no influyen.

4B) Para piezas de sección hueca cerrada sometidas a cortante ytorsión

En las comprobaciones en que intervenga la resistencia a cortante se

empleará la resistencia plástica a cortante reducida por la existenciade tensiones tangenciales de torsión uniforme, con la siguienteexpresión para secciones huecas cerradas:



donde:

• Vpl,T,Rd: Resistencia plástica a cortante reducida debido a lacombinación de cortante y torsión

• τt,Ed: tensión tangencial debido a la torsión de Saint Venant• Vpl,Rd: resistencia plástica a cortante de la sección, que según

vimos en el tema 4 simplificadamente se puede calcular como:

3,

yd

v Rd pl

f AV ⋅=

siendo:

o Av: Área a cortante, que en secciones cerradas,simplificadamente se puede tomar Av =h*2*t w , donde h esel canto de la sección y t w es el espesor de una de lasalmas del perfil (en secciones cerradas hay dos almas)

o f yd: límite elástico de cálculo del acero, donde f yd=f y /γM0

• f y: límite elástico del acero• γM0: coeficiente de seguridad, γM0 = 1.05

• τw,Ed: tensión tangencial debido a la torsión de alabeo

En todas las piezas sometidas a torsión se produce al mismo tiempoflexión y cortante. Por tanto la comprobación a torsión de una piezasiempre se realizará con la expresión vista en 4A) para piezas deperfil abierto (IPN, IPE…) y con la expresión vista en 4B) para piezasde sección hueca cerrada (tubos estructurales, 2UPN en cajón…).

5.

CASOS MÁS USUALES EN EDIFICACIÓN. TORSIÓN DECOMPATIBILIDAD. TORSIÓN DE EQUILIBRIO.

Los casos más usuales de torsión en edificación se dan en vigas quesoportan forjados. En la figura 8 se observa la perspectiva de unaplanta de un edificio con estructura de pórticos, a base de pilares yvigas de carga, y forjado unidireccional de viguetas, existiendoademás un balcón en voladizo. Supongamos las viguetas empotradasen las vigas, mediante soldadura completa en todo el contorno de lavigueta en la unión con las vigas (sería para la solución de forjadoembutido en el canto de las vigas). Las vigas de carga seránusualmente vigas IPN o IPE, que son perfiles abiertos, en los cuales eltorsor será un torsor de alabeo, según hemos visto en apartadosanteriores.



PILARES

V A

V A

V A

V A

V A

V A

VB

VOLADIZO Figura 8

Las vigas donde aparecen torsiones serían las vigas de carga VA defachada, y la viga de fachada VB que soporta el voladizo del balcón,torsores que son generados por las viguetas del forjado y del balcón,empotradas en las vigas VA y VB. En la figura 8 se representa laacción torsora del forjado sobre las vigas VA, y del voladizo sobre laviga VB.

Tenemos que distinguir el comportamiento distinto de las vigas decarga VA y la viga VB:

Vigas de carga VA

En estas vigas se produce un equilibrio de momentos en los nudos deencuentro vigueta-viga VA; por equilibrio de esfuerzos, lo que en elextremo de la vigueta es un momento flector MF- de magnitud “M”,se equilibra con un momento torsor MT de magnitud también “M” enla viga VA, pero de signo contrario (ver figura 9). Esto es necesariopara que el nudo de unión esté en equilibrio, la suma de momentossea cero y estemos en estática.

Las vigas de carga VA, con muy poca rigidez torsional (son perfilesIPN, es decir perfiles abiertos doble T) girarán a torsión. Ocurre queal girar las vigas VA, las viguetas también giran, y prácticamentedesaparece el momento flector MF- en el extremo de la vigueta, en suunión con la viga de carga. Es decir las viguetas quedan simplementeapoyadas en la viga VA, aunque hayamos materializado una uniónempotrada vigueta-viga soldando en todo el contorno. Nuevamente,

por equilibrio de momentos, el momento torsor MT desaparece en lamisma proporción en la viga VA, en el nudo de unión con la vigueta.Lo que ocurre con este nuevo equilibrio de esfuerzos es que las



viguetas quedan simplemente apoyadas en VA, y prácticamente nohay torsores en la viga de carga VA. Por tanto en edificios nunca setienen en cuenta estos torsores al dimensionar las vigas de carga defachada. Esta situación de torsión se denomina torsión decompatibilidad, y no requiere dimensionamiento a torsión.

VIGUETACARGA VAVIGA DE

MT MF

MF =MT=M

- -+

--

MF- --++

ANTES DE GIRAR LA VIGA VALEY DE MF EN LA VIGUETA

-+

--++

DESPUÉS DE GIRAR LA VIGA VALEY DE MF EN LA VIGUETA

MF =MT 0-

CARGAVIGA DE

CARGAVIGA DE

CARGAVIGA DE

Figura 9

En el caso en que se proyecten la viguetas del forjado unidireccionalarticuladas en la unión con las vigas VA de fachada, no habrátorsores desde el inicio en las vigas VA de fachada.

Viga VB

En la viga VB se producen torsores generados por las viguetas delvoladizo, empotradas en esta viga. Al igual que ocurre en las vigasVA, en la viga VB se produce un equilibrio de momentos en los nudos



de encuentro vigueta-viga VB; por equilibrio de esfuerzos, lo que enel extremo de la vigueta es un momento flector MF- de magnitud “M”,se equilibra con un momento torsor MT de magnitud también “M”,pero de signo contrario, actuando en la viga VB. Esto es necesariopara que el nudo de unión esté en equilibrio, la suma de momentos

sea cero y estemos en estática (figura 10).

En este caso, aunque la viga VB, que es también un perfil IPN, gire atorsión, no desaparece el torsor en VB, porque el momento torsor esnecesario por equilibrio estático en el voladizo. Es decir, si el torsoren VB desaparece, desaparecería en la vigueta el momento flectorMF- de empotramiento, y se convertiría la vigueta en un mecanismo.

Lo que ocurre en este caso es que la viga VB, si es un perfil IPN, noserá capaz de soportar el torsor, porque girará mucho a torsión (tiene

muy poca rigidez torsional al ser un perfil abierto) y el torsor dealabeo someterá al IPN de la viga VB a unas tensiones tremendas queserá incapaz de soportar, colapsando la viga VB y el voladizo. Estasituación de torsión se denomina torsión de equilibrio, y requiereno solamente el dimensionamiento a torsión de la viga VB, sinoademás disponer un perfil cerrado en VB, con mucha más inerciatorsional (tubo estructural, ó 2 UPN en cajón…) para que puedasoportar toda la torsión, pasando a ser toda la torsión una torsión deSaint Venant.

EN VOLADIZOCARGA VBVIGA DE

MT MF

MF =MT=M

-

--

MF-

VIGUETA

Figura 10


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