TEMA 2 - Estructuras III

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TEMA 2

BASES DE CÁLCULO

1. CRITERIO DE PLASTIFICACIÓN DEL MATERIAL. CRITERIO

DE VON MISES.

El estado tensional más frecuente en estructuras metálicas es el estado plano o biaxial en el que todos los planos normales a una determinada dirección carecen de tensiones. Los criterios de plastificación de una fibra o punto de una pieza tratan de definir una expresión, función matemática de las tensiones del punto, denominada tensión de comparación, σco. Esta tensión de comparación no es una tensión real que se pueda medir, es únicamente una función matemática que depende del estado tensional y que sirve de referencia para conocer si en el punto de la pieza ha comenzado, o no, la plastificación. La función matemática que define la tensión de comparación no se conoce con exactitud. Diferentes autores (Ranking, Treska, Von Mises…) han desarrollado expresiones más o menos ajustadas a los resultados experimentales conocidos. De todos ellos, el que mejor se adapta a los resultados experimentales es el criterio de Von Mises, postulado en 1913, y recogido unánimemente por todas las normas modernas de estructuras de acero. La expresión general espacial de la tensión de comparación según el criterio de Von Mises es la siguiente (ver figura 1):

σco = √ [(σI)²+(σII)²+(σIII)²-σI*σII-σII*σIII-σIII*σI] donde I, II y III serían las tensiones normales en los tres ejes principales del espacio, orientados de manera que sólo tengamos tensiones normales y no aparezcan tensiones tangenciales, para unas solicitaciones dadas en la pieza (ver figura 1c).

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Figura 1 En un estado plano de tensiones (el más habitual en el cálculo de estructuras metálicas) σIII=0 y la expresión de Von Mises se simplifica. Si giramos los ejes de referencia y los alineamos con las direcciones principales de la pieza (eje X según el eje de la barra, eje Z vertical y eje Y transversal horizontal), aparecerán en general también tensiones tangenciales, estableciéndose en el CTE-DB-SE-A la siguiente expresión general para la tensión de comparación σco en comprobación de piezas habituales sometidas a un estado plano de tensiones:

En dicha expresión las tensiones están referidas a los ejes locales de la pieza X, Y, Z (ver figura 2, directamente obtenida del CTE, y ver figura 1b). En la figura 2 el eje X (no representado en la figura) sería el perpendicular al papel. El subíndice “d” indica que las tensiones han de introducirse mayoradas.

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Figura 2. Dimensiones y ejes de las secciones En general la tensión “σzd” es nula, y por tanto la expresión:

se reduce a: σco = √[(σxd)²+3*(τxzd)²] = √[σ²+3*τ²] ≤ fyd La tensión de comparación será siempre menor que la resistencia de cálculo “fyd”, donde:

fyd = fy / γM siendo: fy: límite elástico del acero γM: coeficiente parcial de seguridad del material, que adopta los valores que se observan, obtenidos del CTE-DB-SE-A:

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*NOTA: hay un error en el CTE: donde dice “pretensazo” quiere decir “pretensado” 2. BASES DE CÁLCULO. ESTADOS LÍMITE ÚLTIMOS. ESTADOS

LÍMITE DE SERVICIO. El cálculo de cualquier estructura metálica requiere dos tipos de verificaciones:

A) Estabilidad y resistencia (estados límite últimos): Las verificaciones de estabilidad se materializan en las comprobaciones de estabilidad del conjunto del edificio (ante vuelco, deslizamiento, etc.). Las verificaciones de resistencia se materializan en el dimensionamiento de las piezas que componen la estructura (cálculo a flexión, pandeo, torsión, etc) y el dimensionamiento de las uniones (soldadas o atornilladas).

B) La aptitud para el servicio (estados límite de servicio): comprobaciones de flechas, desplazamientos laterales ante acciones horizontales, vibraciones, etc, que deben mantenerse por debajo de unos valores admisibles.

Estados límite últimos. Combinación de acciones. Las combinaciones de acciones para estados límite últimos (flexión, pandeo, torsión, etc). se observan a continuación, recogidas del CTE DB-SE:

Situaciones Persistentes:

Situaciones Extraordinarias:

Situaciones Sísmicas:

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Los coeficientes de mayoración de acciones y coeficientes de simultaneidad son los establecidos en el documento de seguridad general del CTE (CTE DB–SE), tablas 1 y 2 respectivamente:

Tabla 1

Tabla 2 Estados límite de servicio. Combinación de acciones.

Los estados límite de servicio más importantes son:

1. Flechas verticales en vigas y forjados 2. Desplazamientos horizontales 3. Vibraciones

Combinación característica: con acciones de corta duración que pueden

provocar efectos irreversibles (por ejemplo la comprobación de la flecha en un forjado de vivienda ante la sobrecarga de uso, cuyo valor puede

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producir daños en elementos no estructurales apoyados en él, como son la tabiquería y los revestimientos de suelo y techo. La rotura de estos elementos es un efecto irreversible, en el sentido de que se rompen)

Combinación frecuente: con acciones de corta duración que pueden provocar efectos reversibles (por ejemplo la comprobación de la flecha en un forjado ante la sobrecarga de uso, que no tenga partes estructurales apoyadas en él. Aparte del aspecto estético que ocasiona la flecha en la viga, nunca llegará a romperse nada, y cuando la sobrecarga disminuye la flecha desaparece).

Combinación casi permanente: para los efectos que ocasionan las

acciones de larga duración (por ejemplo para el cálculo de la flecha diferida, en vigas mixtas hormigón-acero)

Flecha total y flecha activa

La flecha total de un elemento horizontal (viga o forjado) es la flecha acumulada que sufre este elemento desde su colocación en obra hasta el final de la vida del edificio. Esta flecha es la que habrá que calcular para tener en cuenta criterios de confort del usuario del edificio, o por cuestiones de apariencia estética de la obra. Los límites de flecha total referente a estos aspectos son los siguientes, recogidos del CTE-DB-SE: a) Por cuestiones de confort del usuario, la flecha total del

elemento será:

L/350 (calculada con la combinación característica) b) Por cuestiones de apariencia de la obra, la flecha total del

elemento será:

L/300 (calculada con la combinación casi permanente) donde “L” es el doble de la distancia entre el punto de máxima flecha (el centro del vano de la viga o el forjado) y el punto más próximo de la estructura con deformación nula (normalmente un pilar, o un muro).

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Para los casos donde queramos limitar la flecha para evitar rotura de elementos no estructurales (cerramientos, tabiques, solerías, revestimientos…) la flecha a calcular es la que afecta a dicho elemento, lo que se conoce como “flecha activa”. Esta flecha se calcula solamente con las deformaciones que sufra la estructura (viga o forjado que sustenta el elemento no estructural) después de colocado el elemento no estructural en cuestión. El límite de flecha activa en este caso es el siguiente (según CTE-DB-SE):

• Para el caso de forjados con tabiques ordinarios, como son los forjados de viviendas u oficinas: flecha activa ≤ L/400

• Para el caso de forjados de cubierta: flecha activa ≤ L/300 calculadas con la combinación característica. La flecha más importante a tener en cuenta es la flecha activa, que es la que puede generar problemas por daños en tabiques, solerías, etc. El punto más conflictivo en la planta de un forjado para comprobar la flecha será el centro de las viguetas metálicas que componen el forjado. Hay que tener en cuenta que la flecha será la suma de la flecha de la vigueta más la flecha de la viga de carga, y que la luz a comprobar será la hipotenusa del rectángulo de ese paño de forjado (ver figura 3)

PILARES

viga de carga

L=6000mm

viga de carga

L=5000mm

L=6000mm

L=50

00m

m

viguet

as

PLANTA PAÑO FORJADO

L= (6000mm)²+ (5000mm)² = 7810mm

7810mm

Flecha = flecha viga + flecha vigueta = fvc + fvigueta

viga de carga

fvc

viguet

a

fvigueta

Flecha activa = fvc + fvigueta < 7810mm/400

Figura 3

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Ejemplo numérico (NO ENTRA PARA EL EXAMEN): Supongamos que proyectamos un edificio de viviendas con luces entre pilares de 5.0m en ambas direcciones principales del edificio, con pórticos metálicos de 3 vanos formados por pilares HEB y vigas IPN. Las cargas en la planta de vivienda son las siguientes:

• PP forjado: 3.0 kN/m2 (forjado de viguetas) • CP planta vivienda (suelos + techos): 1.5 kN/m2 • CP tabiquería planta vivienda: 1.0 kN/m2 • CP de cerramiento convencional de doble hoja: 7.0 kN/ml • SC uso planta vivienda: 2.0 kN/m2

Calculemos la viga del vano central en un pórtico de fachada, donde carga la mitad del vano de viguetas, y el cerramiento exterior. Dicha viga está biempotrada en los pilares HEB, donde la flecha en centro de vano se puede calcular con la clásica fórmula de resistencia de materiales:

qL4/(384EI) (flecha de una viga biempotrada sometida a una carga linealmente repartida sobre ella)

El perfil de la viga de carga es un IPN220 (pesa 31.10kp/ml=0.311kN/ml), con una inercia a flexión según su eje fuerte I = 306*105 mm4. El módulo de elasticidad del acero es E=210.000 N/mm² Vamos a comprobar si cumplimos el ELS de flecha. 1º) Flecha total por criterios de confort del usuario:

• Combinación característica: ∑Gk,j + P + Qk,1 + ∑ ψ0,i · Qk,i • Carga lineal sobre la viga según la combinación

característica, q: 0.311kN/ml + 7.0kN/ml + 2.50m*(3.0kN/m²+1.5kN/m²+1.0kN/m²) + 2.50m*2.0kN/m² = 26.07kN/m = 26.07N/mm

• Flecha total característica: qL4/(384EI) = 26.07N/mm*(5000mm)4/(384*210.000N/mm²*306*105

mm4) = 6.61mm • Límite admisible: L/350 = 5m/350 = 0.0143m = 14.3mm • Como vemos, la flecha calculada (6.61mm) es menor que

la admisible (14.3mm) → cumple 2º) Flecha total por criterios de apariencia de la obra:

• Combinación casi permanente: ∑Gk,j + P+ ∑ ψ2,i · Qk,i • Carga lineal sobre la viga según la combinación casi

permanente, q: 0.311kN/ml + 7.0kN/ml +

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2.50m*(3.0kN/m²+1.5kN/m²+1.0kN/m²) + 0.3*2.50m*2.0kN/m² = 22.57kN/m = 22.57N/mm

• Flecha total casi permanente: qL4/(384EI) = 22.57N/mm*(5000mm)4/(384*210.000N/mm²*306*105


la admisible (16.7mm) → cumple 3º) Flecha activa para el cerramiento: en este caso calculamos sólo las flechas que se producen a partir de la construcción del cerramiento, que son las que le van a afectar a él. Por tanto no contamos con la parte de flecha debida al peso propio de la viga ni al peso propio del forjado, que se han ejecutado antes de poner el cerramiento.

• Combinación característica: ∑Gk,j + P + Qk,1 + ∑ ψ0,i · Qk,i • Carga lineal sobre la viga según la combinación

característica, q: 7.0kN/ml + 2.50m*(1.5kN/m²+1.0kN/m²) + 2.50m*2.0kN/m² = 18.25kN/m = 18.25N/mm

• Flecha total característica: qL4/(384EI) = 18.25N/mm*(5000mm)4/(384*210.000N/mm²*306*105


la admisible (12.5mm) → cumple Desplazamientos horizontales

Los desplazamientos horizontales en el edificio se producirán fundamentalmente por la actuación de acciones horizontales sobre el mismo, que son las de viento o sismo. Tendremos que hacer una estructura lo suficientemente rígida para que estos desplazamientos horizontales no afecten al edificio, por cuestiones de integridad de los elementos constructivos (cerramientos, tabiques, etc) y por cuestiones de apariencia de la obra. El CTE-DB-SE limita los desplazamientos horizontales a los siguientes valores: a) Por cuestiones de la integridad de los elementos

constructivos, los límites son, ver figura 4 (para la combinación de acciones característica):

• Desplome total: 1/500 de la altura total del edificio • Desplome local: 1/250 de la altura de la planta, en

cualquiera de ellas

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b) Por cuestiones de la apariencia de la obra, el límite es (para la combinación de acciones casi permanente):

1/250, desplome local de la altura de la planta, en cualquiera de ellas

Figura 4. Desplomes

Vibraciones

La comprobación del ELS de vibraciones en un edificio se refiere fundamentalmente a las vibraciones de los forjados. Según el CTE-DB-SE se admite que una planta de piso, susceptible de sufrir vibraciones por efecto rítmico de las personas, es suficientemente rígida si su frecuencia propia de vibración es mayor de: a) 8 hertzios en gimnasios y polideportivos b) 7 hertzios en salas de fiesta y locales de pública concurrencia

sin asientos fijos c) 3,4 hertzios en locales de espectáculo con asientos fijos Una vibración excesiva de la estructura afecta no sólo a la percepción del usuario, también puede acabar dañando instalaciones o partes no estructurales del edificio. En general, los edificios con estructura metálica son más flexibles que los de hormigón armado, afectándoles más las vibraciones.

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(DE AQUÍ AL FINAL DEL TEMA NO ENTRA EN EL EXAMEN) El CTE-DB-SE-A, en su apartado 7.2.2, establece un método para analizar el ELS de vibraciones en edificios de uso de vivienda, administrativo, enseñanza o comercio, donde intervienen tres parámetros: 1. La frecuencia del modo fundamental de vibración del

forjado, dando una fórmula para su cálculo. 2. La aceleración máxima que experimenta el forjado en su

vibración, con otra expresión para su cálculo. 3. El amortiguamiento del forjado, que es función de su

composición, de sus revestimientos y de los tabiques que apoyen en él, los cuales intervienen en la absorción de vibraciones. A falta de más datos, el porcentaje de amortiguamiento se puede fijar con estos valores:

• Forjado sólo (estructura) → ζ=3% • Forjado acabado (con instalaciones, falso techo,

revestimiento, mobiliario) → ζ=6% • Forjado acabado con tabiques construidos → ζ=12%

Una vez calculada la frecuencia del modo fundamental y la aceleración máxima, hay que entrar en la figura 5, y comprobar que el punto de corte (entrando en abscisas con la frecuencia y en ordenadas con la aceleración) se encuentra por debajo de las líneas de puntos (para vibraciones transitorias, que son las debidas al paso de personas) cada una de las cuales corresponde al porcentaje de amortiguamiento de nuestro forjado en función de su acabado (3%, 6% ó 12%), para asegurarnos de que no tendremos problemas de vibraciones. Para vibraciones continuas (edificios que soportan en sus forjados grandes máquinas vibrando, o edificios con movimiento rítmico de personas bailando o practicando deporte) hay que estar por debajo de la línea continua quebrada inferior, situación que es mucho más restrictiva, y que nos llevará a emplear un forjado muy rígido.

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Figura 5. Límites de aceptación, basadas en la percepción humana de las vibraciones de los forjados de edificación

Resumiendo, aunque hay que cumplir con la figura 5 para cualquier edificio que proyectemos, para vibraciones producidas por personas los edificios de uso de vivienda, hotel y administrativo suelen cumplir casi siempre con el ELS de vibraciones. En el resto de edificios públicos, sobre todo los destinados a espectáculos públicos y deportivos, o gimnasios, y los que vayan a soportar en sus forjados máquinas vibrantes de importancia, deberemos comprobar las vibraciones y adoptar forjados suficientemente rígidos.

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