Escuela de Talentos

1

Escuela de Talentos 2

TEMA 8: TRIÁNGULOS Y LÍNEAS NOTABLES

DEFINICION DE TRIÁNGULO

Es la figura geométrica formada al unir tres

puntos no colineales mediante segmentos.

Elementos : Notación : Vértices : A, B y C Triángulo :

Lados : ACyBC,AB

ABC ; ∆ABC

REGIONES DETERMINADAS RESPECTO AL

TRIÁNGULO.

En la figura se indican las regiones que se han

determinado respecto al triángulo ABC.

ÁNGULO DETERMINADO RESPECTO AL

TRIÁNGULO.

- Medida de los ángulos internos : , , .

- Medida de los ángulos externos : x, y, z.

- Perímetro de la región triangular ABC

(2p∆ABC)

- Semiperímetro de la región triangular

ABC(P∆ABC)

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DEL

TRIÁNGULO.

TEOREMA 1

En todo triángulo la suma de las medidas de sus

ángulos interiores es igual a 180º.

En el ∆ABC, se cumple: + + = 180º

TEOREMA 2

En todo triángulo la medida de un ángulo

exterior es igual a la suma de las medidas de dos

ángulos interiores no adyacentes a él.

A

B

C

A C

B

Región Interior

Región exterior

relativa a BC

Región exterior

relativa a AC

B Y

C

c a

Región exterior

relativa a AB

2p∆ABC = a + b + c

(P∆ABC) = 2

cba

A C

C

A C

x º

º

B

b

3 Escuela de Talentos

En el ∆ABC, se cumple: x = +

TEOREMA 3

En todo triángulo la suma de las medidas de los

ángulos exteriores tomados uno por vértice es

igual a 360º.

En el ∆ABD, se cumple: x + y + z = 360º

TEOREMA 4

En todo triángulo de un lado es mayor que la

longitud se le opone al ángulo de mayor medida y

viceversa (propiedad correspondencia).

En el ∆ABC, si: a > b

Entonces: >

TEOREMA 5

En todo triángulo de un lado es mayor que la

diferencia de las longitudes de los otros dos y

menor que la suma de las mismas (propiedad de

existencia).

En el ∆ABC: a > b > c

Se cumple:

b – c < a < b + c

PROPIEDADES ADICIONALES

En la figura se cumple:

En la figura ∆AOB y ∆COD presentan un ángulo

interior opuesto por el vértice.

Se cumple:

En la figura se cumple:

En la figura, P es el semiperimetro del ∆ABC.

B y

x

A z

C

B

A

C

c a

b

B

A C

c a

b

B

D

A

C

x

x

B C

A D

y

O

B

x C

A D

y

P

A

B

C

x = + +

+ = x + y

x + y = +

p < PA + PB + PC < 2p

Escuela de Talentos 4

Líneas Notables

BISECTRIZ

Se asocia dos tipos de bisectrices al triangulo.

ALTURA

Perpendicular que une un vértice y un punto del

lado opuesto o de su prolongación.

MEDIATRIZ

Es la recta perpendicular a un lado en su punto

medio.

Siendo: L mediatriz

de AB se cumple:

PROPIEDAD EN EL TRIÁNGULO ISÓSCELES

Altura

Mediana

Bisectriz

Segmento de

mediatriz

Propiedades asociadas a las líneas notables

1.- Angulo formado por una bisectriz interior y

otra exterior

3.- Angulo formado por las bisectrices exteriores.

2.- Angulo formado por las bisectrices interiores. 4.- Angulo formado por una bisectriz y una altura

que parten en de un mismo vértice.

EA = BE

BH

A M B

E L

C H A

B

º º

5 Escuela de Talentos

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

(Propiedades Básicas y Clasificación)

NIVEL 1

1. Calcular “x”, si : AD = BD

BE = EC

a) 30º

b) 10º

c) 18º

d) 72º

e) 36º

2. Calcular “x”

a) 110º

b) 130

c) 100

d) 120

e) 150

3. Calcular “x”

a) 15º

b) 20º

c) 30º

d) 45º

e) 60º

4. Calcular el menor valor entero de “x”

Si: el ∢ABC es agudo

Además:

21 LL

a) 46º

b) 47º

c) 44º

d) 98º

e) 89º

5. Determinar el menor ángulo interno de un

triángulo, sabiendo que las medidas de los ángulos

externos forman una progresión aritmética de

razón 30º.

a) 15º b) 30º c) 60º

d) 90º e) 120º

NIVEL 2

6. En un triángulo ABC, isósceles que se muestra

(AB = BC) y se sabe que el triángulo PQR es

equilátero. Calcular “x”.

a) 50º

b) 55º

c) 60º

d) 65º

e) 70º

7. En la figura : 21 LL

Si: AB = BC, Calcular “”

a) 100º

b) 140º

c) 130º

d) 120º

e) 150º

2xº

xº

A D E C

B

120°

x +20º X°

xº

2º º

A

C B

xº

L2

L1

E

º º

º

º

50º

70º

R A C

P

Q

B 80º

º O

L1

L2

Q

P A C

B

xº

Escuela de Talentos 6

8. Calcular “x”

Si: AD = AR ; AP = DR

a) 15º

b) 30º

c) 45º

d) 75º

e) 60º

9. Si la diferencia de las medidas de 2 ángulos

exteriores de un triángulo es igual al

complemento de la medida del ángulo interior

ubicado en el tercer vértice. Hallar la medida de

un ángulo interno del triángulo.

a) 30º b) 45º c) 60º

d) 75º e) 90º

10. De la figura, calcule “x + z”

a) 110º

b) 280º

c) 220º

d) 240º

e) 320º

NIVEL 3

11. Del gráfico, calcular ”x”

a) 40º

b) 70º

c) 60º

d) 50º

e) 55º

12. En la figura : AP = PS y BM = BN

Calcular “x”

a) 10º

b) 15º

c) 30º

d) 35º

e) 37º

13. Del gráfico, calcular “x”

a) 10º

b) 20º

c) 40º

d) 45º

e) 50º

14. En la figura, el ∆ABC, gira mantenido un lado en

la recta “L”, si A’ y A’’, son las posiciones de A.

Calcule la medida del ángulo que determinan

'AA

y la bisectriz interior del ángulo de vértice A’’.

a) 45º + º b) 90º + º c) 90º + 2

º

d) 90º + 2º e) 90º + 2

º3

15. En un triángulo equilátero ABC. Se ubica “M” en

AC , desde el cual se traza MN perpendicular a

AB . (“N” es AB ). Luego se ubica en “P” en la

región exterior y relativa a BC , tal que : BCNP

= S y m∢BNS = m∢NMP. Calcular la m∢NPM:

D

P R

A

zº

xº º

º º

º 40º

40º º

º

º

º

º

º

xº

A P B N

M S

C

Q

xº

45º

60º 100º

º º

A C

A’ B

A’’

L’

º

º º º

xº

7 Escuela de Talentos

Líneas notables

NIVEL 1

1. En la figura; calcular “x”

a) 108º

b) 54º

c) 72º

d) 36º

e) 44º

2. Calcular “x”

a) 55º

b) 60º

c) 45º

d) 40º

e) 10º

3. Calcular “x”

a) 100º

b) 120º

c) 130º

d) 150º

e) 170º

4. Calcular “x”

a) 100º

b) 80º

c) 125º

d) 150º

e) 250º

5. Calcular “x”

a) 85º

b) 75º

c) 70º

d) 65º

e) 60º

NIVEL 2

6. En la figura, calcule “x”

a) 10º

b) 20º

c) 65º

d) 35º

e) 45º

7. En la figura, calcule “x”

a) 35º

b) 30º

c) 15º

d) 10º

e) 20º

8. En la figura CDAB ; Calcule “x”

a) 125º

b) 155º

c) 115º

d) 100º

e) 20º

9. Del gráfico, calcule “x” ;

a) 52º

b) 48º

c) 44º

d) 42º

e) 40º

10. Del gráfico, calcular “x”

a) 110º

b) 90º

c) 70º

d) 20º

e) 10º

xº º º

72º

º

º

xº

bº

bº

A C

80º

B

aº aº

º

º 60º

60º

xº

100º

170º

xº

100º

º º

º

º

º

º xº

º º

80º

60º xº

º

º

º º

2º

70º

º

º

º º º

º

30º

70º

º º

xº

A B

C

D

º

º+10º

40º º º

º

º

º

º º

º

º

º

º º

20º

º º xº

40º

º º

xº

º º º+º

º

º

xº

Escuela de Talentos 8

NIVEL 3

11. En el gráfico, AB = BC

Calcule “x”

a) 45º

b) 120º

c) 60º

d) 70º

e) 37º

12. Determine “x”, Si : 21 LL son mediatrices de

BCyAB .

a) 30º

b) 15º

c) 20º

d) 36º

e) 45º

13. Calcular “x”

a) 90º

b) 100º

c) 120º

d) 130º

e) N.A.

14. Calcular “x”; si es un valor entero máximo.

CPyBP son bisectrices exteriores de los

ángulos B y C; respectivamente.

a) 3

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

15. Según el gráfico, calcular el valor “x”

a) 110º

b) 120º

c) 130º

d) 150º

e) 95º

xº

º

º 2º

B

A C

º

º

2º

L1

B

L2 xº

75º

P A Q C

xº

º º º

º

xº

7

x 3

P

2º

150º

2

xº

º 2º

B

A C

9 Escuela de Talentos

¡RETO CON TALENTO!