PENGINTEGRALAN NUMERIK

CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK

TIM DOSEN

KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT

8

Fungsi-fungsi yang dapat diintegrasikan :

1. Fungsi kontinu yang sederhana

2. Fungsi kontinu yang rumit

3. Fungsi yang ditabulasikan

FUNGSI TERINTEGRASI

2 11/13/2017

METODE INTEGRASI

1. Metode Pias

- Kaidah Segiempat

- Kaidah Trapesium

- Kaidah Titik tengah

2. Metode Newton-Cotes

- Kaidah Trapesium

- Kaidah Simpson 1/3

- Kaidah Simpson 3/8

3 11/13/2017

METODE PIAS (1)

1. Kaidah segiempat

satu segmen :

Seluruh segmen :

Galat: dengan a < t < b

1

0

0( ) ( )

x

x

f x dx h f x

1

1

( ) ( )

b n

i

ia

f x dx h f x

( ) ( )2

Tot

hE b a f t

4 11/13/2017

METODE PIAS (2)

2. Kaidah TrapesiumSatu segmen :

Seluruh segmen :

Galat : dengan a < t < b

1

0

0 1( ) ( ) ( )2

x

x

hf x dx f x f x

1

0

1

( ) 22

b n

i n

ia

hf x dx f f f

2

( ) ( )12

tot

hE b a f t

5 11/13/2017

6

Contoh (1) Kaidah Trapesium

Aproksimasi nilai integral 3x^2 dari x=0 sampai x = 2.

-------------------------------i x_i f(x_i)

-------------------------------0 0.000000 0.0000001 0.166667 0.0833332 0.333333 0.3333333 0.500000 0.750000

10 1.666667 8.33333311 1.833333 10.08333312 2.000000 12.000000--------------------------------Metode Trapesium --> hasil integral = 8.027778

11/13/2017

7

Contoh (2) Kaidah Trapesium

Aproksimasi nilai integral x*exp(x) dari x=0 sampai x = 1.

------------------------------i x_i f(x_i)

------------------------------0 0.000000 0.0000001 0.083333 0.0905752 0.166667 0.1968933 0.250000 0.321006

10 0.833333 1.91748011 0.916667 2.29252812 1.000000 2.718282-------------------------------Metode Trapesium --> hasil integral = 1.002567

11/13/2017

METODE PIAS (3)

3. Kaidah Titik Tengah

Satu segmen :

Seluruh segmen :

Galat: dengan a < t <b

1

0

0 1/ 2( ) / 2

x

x

f x dx h f x h h f x

1

1/ 2 3/ 2 1/ 2 1/ 2

0

( ) ..

b n

n i

ia

f x dx h f f f h f

2

( ) ( )24

tot

hE b a f t

8 11/13/2017

9

CONTOH KASUS (1)METODE TITIK TENGAH

Aproksimasi nilai integral 3x^2 dari x=0 sampai x = 2.

---------------------------------i x_i f(x_i)

---------------------------------0.0 0.000000 0.0000000.5 0.083333 0.0208331.5 0.250000 0.1875002.5 0.416667 0.5208333.5 0.583333 1.020833

10.5 1.750000 9.18750011.5 1.916667 11.02083312.0 2.000000 12.000000----------------------------------Metode Titik Tengah --> hasil integral = 7.986111

11/13/2017

10

CONTOH KASUS (2)METODE TITIK TENGAH

Aproksimasi nilai integral x*exp(x) dari x=0 sampai x = 1.

--------------------------------i x_i f(x_i)

--------------------------------0.0 0.000000 0.0000000.5 0.041667 0.0434391.5 0.125000 0.1416442.5 0.208333 0.256588

10.5 0.875000 2.09901611.5 0.958333 2.49870812.0 1.000000 2.718282---------------------------------Metode Titik Tengah --> hasil integral = 0.998717

11/13/2017

METODE NEWTON-COTES (1)

1. Kaidah Trapesium

Bentuk :

Seluruh segmen :

Galat : dengan a < t < b

1

0

1

( ) 22

b n

i n

ia

hf x dx f f f

2

( ) ( )12

tot

hE b a f t

1 0 0

( )( ) ( ) o of x f

p x f x x f xh h

11 11/13/2017

METODENEWTON-COTES (2)

2. Kaidah Simpson 1/3

Bentuk :

Dua segmen :

Seluruh segmen :

Galat : dengan a < t < b

1 2

0

1,3,5,... 2,4,6,...

( ) 4 23

b n n

i i n

i ia

hf x dx f f f f

4(4)( ) ( )

180tot

hE b a f t

2 2

02 0 02 2

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2! 2!

o o of x f x f fp x f x x x x h f x x x h

h h h h

2

0 1 2

0

( ) 43

hh

f x dx f f f

12 11/13/2017

13

CONTOH KASUS (1)METODE SIMPSON 1/3

--------------------------------i x_i f(x_i)

--------------------------------0 0.000000 0.0000001 0.166667 0.0833332 0.333333 0.3333333 0.500000 0.750000

10 1.666667 8.33333311 1.833333 10.08333312 2.000000 12.000000---------------------------------Metode Simpson 1/3 --> hasil integral = 8.000000

Aproksimasi nilai integral 3x^2 dari x=0 sampai x = 2.

11/13/2017

14

CONTOH KASUS (2)METODE SIMPSON 1/3

-----------------------------i x_i f(x_i)

-----------------------------0 0.000000 0.0000001 0.083333 0.0905752 0.166667 0.1968933 0.250000 0.321006

10 0.833333 1.91748011 0.916667 2.29252812 1.000000 2.718282-----------------------------Metode Simpson 1/3 --> hasil integral = 1.000002

Aproksimasi nilai integral x*exp(x) dari x=0 sampai x = 1.

METODE NEWTON-COTES (3)

3. Kaidah Simpson 3/8

Bentuk :

Tiga segmen :

Seluruh segmen :

Galat : dengan a < t < b

1 3

0

1 3,6,9,...3,6,9,...

3( ) 3 2

8

b n n

i i n

i iai

hf x dx f f f f

4

(4)( ) ( )80

tot

hE b a f t

2 3

0 03 0 2 3( ) ( ) ( )( 2 )

2! 3!

of f fp x f x x x h x x h x h

h h h

3

0 1 2 3

0

3( ) 3 3

8

hh

f x dx f f f f

15 11/13/2017

16

CONTOH KASUS (1)METODE SIMPSON 3/8

Aproksimasi nilai integral 3x^2 dari x=0 sampai x = 2.

---------------------------------i x_i f(x_i)

---------------------------------0 0.000000 0.0000001 0.166667 0.0833332 0.333333 0.3333333 0.500000 0.750000

10 1.666667 8.33333311 1.833333 10.08333312 2.000000 12.000000--------------------------------Metode Simpson 3/8 --> hasil integral = 8.000000

11/13/2017

17

CONTOH KASUS (2)METODE SIMPSON 3/8

Aproksimasi nilai integral x*exp(x) dari x=0 sampai x = 1.

-------------------------------i x_i f(x_i)

-------------------------------0 0.000000 0.0000001 0.083333 0.0905752 0.166667 0.1968933 0.250000 0.321006

10 0.833333 1.91748011 0.916667 2.29252812 1.000000 2.718282--------------------------------Metode Simpson 3/8 --> hasil integral = 1.000005

18

CONTOH KASUS (2)METODE SIMPSON 3/8

Aproksimasi nilai integral x*exp(x) dari x=0 sampai x = 1.

-------------------------------i x_i f(x_i)

-------------------------------0 0.000000 0.0000001 0.083333 0.0905752 0.166667 0.1968933 0.250000 0.321006

10 0.833333 1.91748011 0.916667 2.29252812 1.000000 2.718282--------------------------------Metode Simpson 3/8 --> hasil integral = 1.000005

THANK YOU