THPT BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 Trang 1

1 TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác có cáccặp cạnh đối không song song. Tìm giao tuyếncủa:

a) (SAC) và (SBD)

b) (SAB) và (SCD)

c) (SAD) và (SBC)

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trungđiểm AC, BC; K ∈ BD : KD < KB. Tìm giaotuyến của:

a) (I JK) và (ACD)

b) (I JK) và (ABD)

Bài 3. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.Gọi M, N là trung điểm SB, SD; P ∈ SC :PC < PS. Tìm giao tuyến của:

a) (SAC) và (SBD)

b) (MNP) và (SBD)

c) (MNP) và (SAC)

d) (MNP) và (SAB)

e) (MNP) và (SAD)

f) (MNP) và (ABCD)

Bài 4. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình thang, AD làđáy lớn. Gọi M, N là trung điểm BC, CD. Tìmgiao tuyến của:

a) (SAC) và (SBD)

b) (SMN) và (SAD)

c) (SAB) và (SCD)

d) (SMN) và (SAC)

e) (SMN) và (SAB)

Bài 5. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bìnhhành. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm củaBC, CD, SA. Tìm giao tuyến của:

a) (I JK) và (SAB)

b) (I JK) và (SAD)

c) (I JK) và (SBC)

d) (I JK) và (SBD)

Bài 6. Cho tứ diện ABCD có M, N, P lần lượt nằmtrên cạnh AB, AC, BD sao cho MN ∦ BC, MP ∦AD. Tìm giao tuyến 2 mặt phẳng:

a) (MNP) và (ABC)

b) (MNP) và (BCD)

c) (MNP) và (ACD)

Bài 7. Cho chóp S.ABCD đáy là hình thang đáy lớnAD. Gọi I là trung điểm SA, J ∈ AD : JD =14

AD; K ∈ SB : SK = 2BK. Tìm giao tuyến:

a) (I JK) và (ABCD)

b) (I JK) và (SBD)

c) (I JK) và (SBC)

Bài 8. Cho chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâmO. Lấy N, M lần lượt thuộc SA, SB sao cho

BM =14

BS; SN =34

SA. Tìm giao tuyến

a) (OMN) và (SAB)

b) (OMN) và (SAD)

c) (OMN) và (SBC)

d) (OMN) và (SCD)

2 TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Bài 1. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trungđiểm AC, BC. Điểm K ∈ BD : KD < KB. Tìmgiao điểm của:

a) CD và (MNK)

b) AD và (MNK)

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hinh thangAD ‖ BC. M, N là 2 điểm bất kỳ trên SB, SD.Tìm giao điểm:

a) SA và (MCD)

b) MN và (SAC)

c) SA và (MNC)

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bìnhhành và M là trung điểm SC.

a) Tìm giao điểm I của AM và (SBD).

b) Tìm giao điểm J của SD và (ABM).

c) Gọi M ∈ AB. Tìm giao điểm của MN và(SBD).

Bài 4. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trungđiểm AB, BC; P ∈ BD : PB = 2PD. Tìm giaođiểm của:

a) AC và (MNP)

b) BD và (MNP)

www.VNMATH.com

Trang 2 BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 THPT

Bài 5. Cho chóp S.ABCD có đáy AB > CD. GọiM ∈ SA,N ∈ AB,P ∈ BC. Tìm giao điểm:

a) MP và (SBD)

b) SD và (MNP)

c) SC và (MNP)

Bài 6. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hànhtâm O. Gọi M, N là trung điểm SB, AD và Glà trọng tâm4SAD.

a) Tìm giao điểm I của GM và (ABCD)

b) Tìm giao điểm J của AD và (OMG)

c) Tìm giao diểm K của SA và (OGM)

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có M, N lần lượt làtrung điểm của SA, AC;P ∈ AB : 2PB = AB, N ∈ SC : SC = 3SN.Tìm giao điểm:

a) SI và (MNP)

b) AC và (MNP)

c) SB và (MNP)

d) BC và (MNP)

Bài 8. Cho chóp S.ABCD có đáy là tứ giác có các cặpcạnh đối không song song và I ∈ SA. Tìmgiao điểm:

a) SD và (IBC)

b) IC và (SBD)

c) SB và (ICD)

Bài 9. Cho tứ diện ABCD có M ∈ AC, N ∈ AD và Pnằm bên trong4BCD. Tìm giao điểm:

a) CD và (ABP)

b) MN và (ABP)

c) AP và (BMN)

Bài 10. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình thang,AB ‖ CD, AB > CD. Lấy I, J, K nằm trênSA, CD, BC.

a) Tìm giao tuyến (I JK) và (SAB)

b) Tìm giao tuyến (I JK) và (SAC)

c) Tìm giao tuyến (I JK) và (SAD)

d) Tìm giao điểm của SB và (I JK)

e) Tìm giao điểm của IC và (SJK)

Bài 11. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáylớn AB. Lấy K thuộc đoạn BC, I trung điểmSA, J thuộc đoạn AB.

a) Tìm giao điểm của KI và (SBD)

b) Tìm giao tuyến của (I JK) và (SCD)

3 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG, 3 ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY

Bài 1. Cho chóp S.ABC có D, E, F lần lượt trênSA, SB, SC sao cho DE ∩ AB = I,EF ∩ BC = J, FD ∩ AC = K

a) Tìm giao tuyến (ABC) và (DEF)

b) CMR: I, J, K thẳng hàng

Bài 2. Cho chóp S.ABCD có AD ∦ BC, M ∈ SB, Ogiao điểm của AC và BD

a) Tìm giao điểm N của SC và (ADM)

b) DM cắt AN tại I. CMR: S, I, O thẳng hàng

Bài 3. Cho chóp S.ABCD có AB ∦ CD, M trungđiểm SC.

a) Tìm giao điểm N của SD và (ABM)

b) O = AC ∩ BD. CMR: SO, AM, BN đồngquy

Bài 4. Cho chóp S.ABCD có AB ∩ CD = E và I, J làtrung điểm SA, SB; lấy N tùy ý trên SD.

a) Tìm giao điểm M của SC và (I JN)

b) CMR: I J, MN, SE đồng quy

4 THIẾT DIỆN

Bài 1. Cho chóp S.ABCD, BC ∦ AD, M trung điểmSA. Tìm thiết diện của chóp và (BCM)

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trungđiểm AB, CD; P ∈ AD và không là trungđiểm AD. Tìm thiết diện của chóp và (MNP)

Bài 3. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành

tâm O. Gọi M, N là trung điểm AD, CD; I làđiểm trên SO. Tìm thiết diện hình chóp và(MNI).

Bài 4. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.Gọi I, J, K là trung điểm BC, CD, SA. Tìm thiếtdiện của hình chóp và (I JK)

5 TỔNG HỢP

www.VNMATH.com

THPT BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 Trang 3

Bài 1. Cho chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâmO. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểmSB, SD, OC.

a) Tìm giao tuyến (MNP) và (SAC)b) Tìm giao điểm SA và (MNP)c) Xác định thiết diện của chóp và (MNP)

Bài 2. Cho chóp S.ABCD, M ∈ SC; N, P trung điểmAB, AD.

a) Tìm giao điểm của CD và (MNP)b) Tìm giao điểm của SD và (MNP)c) Tìm giao tuyến của (SBC) và (MNP)d) Tìm thiết diện của chóp và (MNP)

Bài 3. Cho chóp S.ABCD có I, J là hai điểm trên ADvà SB.

a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD);(SAC) và (SBI)

b) Tìm giao điểm K của I J và (SAC)

c) Tìm giao điểm L của DJ và (SAC)

d) CMR: A, K, L thẳng hàng

Bài 4. Cho chóp S.ABCD có AD ∦ BC. I ∈ SA :SA = 3IA, J ∈ SC; M là trung điểm SB.

a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC)

b) Tìm giao điểm E của AB và (I JM)

c) Tìm giao điểm F của BC và (I JM)

d) Tìm giao điểm N của SD và (I JM)

e) Gọi H = MN ∩ BD. CMR: H, E, F thẳnghàng

Bài 5. Cho chóp S.ABCD đáy hình thang AB đáylớn. I, J trung điểm SA, SB; M ∈ SD.

a) Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC)

b) Tìm giao điểm K của IM và (SBC)

c) Tìm giao điểm N của SC và (I JM)

d) Tìm thiết diện của chóp và (I JM)

6 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ CHÉO NHAU

6.1 Vấn đề 1: Chứng minh hai đường thẳng song song

Bài 1. Cho tứ diện ABCD có I, J là trọng tâm4ABC,4ABD. CMR: I J ‖ CD

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thangđáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểmSA, SB.

a) CMR: MN ‖ CD

b) Tìm giao điểm P của SC và (AND)

c) AN cắt DP tại I. CMR: SI ‖ AB ‖ CD. Tứgiác SABI là hình gì?

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bìnhhành, có M, N, P, Q l lượt nằm trên

BC, SC, SD, AD sao choMN ‖ SB, NP ‖ CD, MQ ‖ CD.

a) CMR: PQ ‖ SA

b) Gọi K là giao điểm MN và PQ. CMR:SK ‖ AD ‖ BC

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bìnhbình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trungđiểm BC, CD, SB, SD.

a) CMR: MN ‖ PQ

b) Gọi I là trọng tâm4ABC, J ∈ SA sao cho:JSJA

=12

. CMR: I J ‖ SM

6.2 Vấn đề 2: Tìm giao tuyến, giao điểm dùng quan hệ song song:

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bìnhhành.

a) Tìm giao tuyến của(SAD)&(SBC); (SAB)&(SCD)

b) Lấy M ∈ SC. Tìm giao điểm N của SD và(ABM). Tứ giác ABMN là hình gì?

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bìnhhành. Gọi M, H, K lần lượt là trung điểmAD, SA, SB.

a) Tìm giao tuyến d của (SAD) và (SBC)

b) Tìm giao tuyến của (SCD) và (MHK)

c) Tìm giao điểm N của BC và (MHK). Tứgiác MHKN là hình gì?

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang(AB đáy lớn). Gọi I, J, K là trung điểmAD, BC, SB.

a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD); (SCD) và(I JK)

b) Tìm giao điểm M của SD và (I JK)

c) Tìm giao điểm N của SA và (I JK)

www.VNMATH.com

Trang 4 BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 THPT

d) Xác định thiết diện của hình chóp và(I JK). Thiết diện là hình gì?

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bìnhhành. Gọi M, N, P là trung điểm SB, BC, SD

a) Tìm giao tuyến của (SCD) và (MNP)b) Tìm giao điểm của CD và (MNP)c) Tìm giao điểm của AB và (MNP)d) Tìm giao tuyến của (SAC) và (MNP), suy

ra thiết diện của hình chóp và (MNP).

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ADBC, ABCD.Gọi M, E, F là trung điểm AB, SA, SD.

a) Tìm giao tuyến (MEF) và (ABCD)

b) Tìm giao điểm BC và (MEF)c) Tìm giao điểm SC và (MEF)d) Gọi O = ACBD. Tìm giao điểm SO và

(MEF).

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bìnhhành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trungđiểm OB, SO, BC.

a) Tìm giao tuyến (NPO) và (SCD); (SAB)và (AMN)

b) Tìm giao điểm E của SA và (MNP)

c) CMR: ME ‖ PN

d) Tìm giao điểm MN và (SCD)

e) Tìm thiết diện hình chóp và (MNP)

Bài 7. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, P là trungđiểm AB, BC, SC. Cho SB = AC.

a) Tìm giao điểm E của SA và (MNP)

b) CMR: NP ‖ ME ‖ SB. Tứ giác MNPE làhình gì?

c) Tìm giao tuyến (ANP) và (SMC)

d) Tìm giao điểm SM và (ANP)

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bìnhhành tâm O. Gọi M, N, P là trung điểmSB, SD, OD.

a) Tìm giao điểm I của BC và (AMN); tìmgiao điểm J của CD và (AMN)

b) Tìm giao điểm K của SA và (CMN)

c) Tìm giao tuyến của (NPK) và (SAC)

d) Tìm giao điểm của SC và (NPK)

e) Tìm thiết diện hình chóp và (AMN)

7 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

7.1 Vấn đề 1: Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng:

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bìnhhành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểmAB, CD, SA.

a) CMR: MN ‖ (SBC); MN ‖ (SAD)

b) CMR: SB ‖ (MNP); SC ‖ (MNP)c) Gọi I, J là trọng tâm. CMR:

I J ‖ (SAB), I J ‖ (SAD), I J ‖ (SAC).

Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm, MBCsao cho MB = 2MC. CMR: MG ‖ (ACD)

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bìnhhành tâm O. Gọi I, J là trung điểmBC, SC.KSD sao cho SK = KD.

a) CMR: OJ ‖ (SAD), OJ ‖ (SAB)b) CMR: IO ‖ (SCD), I J ‖ (SBD)

c) Gọi M là giao điểm của AI và BD. CMR:MK ‖ (SBC)

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâmO. Gọi M, N, P là trung điểm SB, SO, OD

a) CMR: MN ‖ (ABCD), MO ‖ (SCD)

b) CMR: NP ‖ (SAD), NPOM là hình gì?

c) Gọi ISD sao cho SD = 4ID. CMR:PI ‖ (SBC), PI ‖ (SAD)

Bài 5. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEFkhông đồng phẳng có tâm lần lượt là I và J.

a) CMR: I J ‖ (ADF) và I J ‖ (BCE)

b) Gọi M, N là trọng tâm. CMR: MN ‖ (CEF)

7.2 Vấn đề 2: Thiết diện song song với một đường thẳng cho trước:

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N là 2 điểmtrên AB, CD. Mặt phẳng (α) qua MN và songsong SA.

a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (α); (SAC)

và (α)

b) Xác định thiết diện của hình chóp và (α)

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bìnhhành. M là trung điểm AB, mặt phẳng (α)

www.VNMATH.com

THPT BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 Trang 5

qua M và song song BD, SA. Xác định thiếtdiện hình chóp và (α)

Bài 3. Cho tứ diện ABCD. M là trung điểm AD, Nlà điểm bất kỳ trên BC. Mặt phẳng chứa (α)MN và ‖ CD. Xác định thiết diện của tứ diện

và mặt phẳng (α)

Bài 4. Cho tứ diện ABCD. Điểm M tùy ý trên BC.Mặt phẳng (α) qua M và song song vớiAC, BD. Xác định thiết diện của tứ diện vàmặt phẳng (α).

8 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bìnhhành tâm O. Gọi M, N, P, Q là trung điểmSA, SD, AB, ON.

a) CMR: (OMN) ‖ (SBC)

b) CMR: PQ ‖ (SBC)

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bìnhhành tâm O. Gọi M, N, P là trung điểmSA, CD, AD.

a) CMR: (OMN) ‖ (SBC)

b) Gọi I là điểm trên MP. CMR: OI ‖ (SCD)

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bìnhhành. Gọi M, N, P, Q là trung điểmBC, AB, SB, AD.

a) CMR: (MNP) ‖ (SAC)

b) CMR: PQ ‖ (SCD)

c) Gọi I là giao điểm AM và BD, JSA sao choAJ = 2JS. CMR: I J ‖ (SBC)

d) Gọi K ∈ AC. Tìm giao tuyến (SKM) và(MNC)

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bìnhhành. Gọi I, J, G, P, Q là trung điểmDC, AB, SB, BG, BI.

a) CMR: (I JG) ‖ (SAD)

b) CMR: PQ ‖ (SAD)

c) Tìm giao tuyến của (SAC) và (I JG)

d) Tìm giao tuyến của (ACG) và (SAD)

Bài 5. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEFkhông đồng phẳng. Gọi I, J, K là trung điểmAB, CD, EF.

a) CMR: (ADF) ‖ (BCE)

b) CMR: (DIK) ‖ (JBE)

9 HÌNH LĂNG TRỤ - HÌNH CHÓP CỤT

Bài 1. Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ cạnh bên AA′, BB′,CC′. Gọi M, M′ là trung điểm BC, B′C′

a) CMR: AM ‖ A′M′

b) Tìm giao điểm A′M và (AB′C′)c) Tìm giao tuyến d của (AB′CD) và (BA′C′)d) Tìm giao điểm của d với (AMA′)

Bài 2. Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Gọi H là trungđiểm A′B′.

a) CMR: CB′ ‖ (AHC′)

b) Tìm giao tuyến d của (AB′C′) và (A′BC)

c) CMR: d ‖ (BB′C′C)

Bài 3. Cho chóp cụt tam giác ABC.A′B′C′ với ABClà đáy lớn. Gọi S là điểm đồng quy của 3đường thẳng AA′, BB′, CC′. CMR:SA′

SA=

SB′

SB=

SC′

SC

10 BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bìnhhành tâm O. Gọi M, N là trung điểm SA, CD

a) CMR: (OMN) ‖ (SBC)

b) Tìm giao điểm I của ON và (SAB)

c) Gọi G = SI ∪ BM, H là trọng tâm4SCD.CMR: GH ‖ (SAD)

d) Gọi J là trung điểm AD, E ∈ MJ. CMR:OE ‖ (SCD)

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bìnhhành tâm O. Gọi M, N, P là trung điểmBC, CD, SC.

a) CMR: (MNP) ‖ (SBD)

b) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD)

c) Tìm giao tuyến của (MNP) và (SAD). Suyra giao điểm của SA và (MNP)

d) Gọi I = AP ∪ SO, J = AM ∪ SO. CMR:I J ‖ (MNP)

www.VNMATH.com

Trang 6 BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 THPT

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bìnhhành. Gọi I, J, K là trung điểm SA, SB, BC

a) CMR: I J ‖ (SCD), (I JK) ‖ (SCD)

b) CMR: (I JK) ‖ SDc) Tìm giao điểm AD và (I JK)d) Xác định thiết diện hình chóp và (I JK)

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang(AB là đáy lớn). Gọi M, N là trung điểmBC, SB; P ∈ AD sao cho 2PD = PA.

a) CMR: MN ‖ (SCD)

b) Tìm giao điểm SA và (MNP)c) Tìm giao điểm SO và (MNP) (với

O = AC ∪ BD)d) Gọi G là trọng tâm4SAB. CMR:

GP ‖ (SBD)

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bìnhhành tâm O. Gọi Q, E, F, I là trung điểmBC, AD, SD, SB.

a) CMR: FO ‖ (SBC)

b) CMR: AI ‖ (QEF)

c) Tìm giao điểm J của SC và (QEF). CMR:(I JE) ‖ (ABCD)

d) Tìm thiết diện hình chóp và (I JF). Thiếtdiện là hình gì?

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bìnhhành tâm O. Gọi M, N là trung điểm SB, SC;lấy điểm P ∈ SA.

a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD)

b) Tìm giao điểm SD và (MNP)

c) Tìm thiết diện hình chóp và (MNP). Thiếtdiện là hình gì?

d) Gọi J ∈ MN. CMR: OJ ‖ (SAD)

11 VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN &QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1. Cho tứ diện ABCD:

a) CMR:−→AC +

−→BD =

−→AD +

−→BC

b) I, J là trung điểm AD, BC. G là trọng tâmtam giác BCD. CMR:

i.−→AB +

−→DC = 2

−→I J

ii.−→AB +

−→AC +

−→AD = 3

−→AG

Bài 2. Cho tứ diện ABCD

a) Tìm G sao cho:−→GA +

−→GB +

−→GC +

−→GD =

−→0

b) CMR ∀O tacó:−→OA +

−→OB +

−→OC +

−→OD = 4

−→OG (G là

trọng tâm tứ diện)

Bài 3. Cho 2 tứ diện ABCD, A′B′C′D′. CMR hai tứdiện có cùng trọng tâm khi và chỉ khi:−−→AA′ +

−→BB′ +

−→CC′ +

−−→DD′ =

−→0

Bài 4. Cho tứ diện ABCD. M ∈ AB, N ∈ CD saocho:

−−→MA = −2

−→MB,−→ND = −2

−→NC. Các điểm

I, J, P thuộc AD, MN, BC mà−→IA = k

−→ID,−→JM = k

−→JN,−→PB = k

−→PC. Chứng

minh rằng I, J, K thẳng hàng.

Bài 5. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) CMR:−→AB +

−→AD +

−−→AA′ =

−−→AC′

b) CMR:−→AB′ +

−−→B′C′ +

−−→D′D =

−−→A′C

Bài 6. Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. Đặt−−→AA′ = −→a ,

−→BB′ =

−→b ,−→CC′ = −→c

a) Hãy biểu thị−→B′C,−→BC′ theo −→a ,

−→b ,−→c

b) G′ là trọng tâm A′B′C′. Biểu thị−−→AG′ theo

−→a ,−→b ,−→c

Bài 7. Cho hình chóp SABC. Lấy M ∈ SA, N ∈ BC

sao cho:−→MB = −2

−−→MA,

−→NB =

12−→CN. CMR:

−→AB,−−→MN,

−→SC đồng phẳng.

Bài 8. Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi K là giaođiểm AD′ và DA′. I là giao điểm BD′ và DB′.CMR

−→AC,−→KI,−−→B′C′ đồng phẳng.

Bài 9. Cho tứ diện ABCD. Lấy M ∈ AD, N ∈ BC saocho:

−−→AM = 3

−−→MD,

−→NB = −3

−→NC. CMR−→

AB,−→DC,−−→MN đồng phẳng.

Bài 10. Cho lăng trụ ABC.A′B′C′. I, J là trung điểm

BB′, A′C′.K ∈ B′C′ sao cho:−→KC = −2

−→KB′ .

CMR A, I, J, K đồng phẳng

12 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG

www.VNMATH.com

THPT BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 Trang 7

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC đáy là ABC vuông cântại B, SA⊥(ABC)

a) CMR: các mặt bên của hình chóp là cáctam giác vuông

b) Kẻ đường cao AD của SAB và đường caoAE của SAC. CMR: ADE vuông vàSC⊥DE.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông,SA⊥(ABCD).

a) CMR: BC⊥(SAD); CD⊥(SAD)

b) CMR: BD⊥(SAC)

c) Kẻ AE⊥SB. CMR: SB⊥(ADE)

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông,SA = SB = SC = SD.

a) CMR: SO⊥(ABCD)

b) CMR: BD⊥(SAC)

c) Gọi I là trung điểm AB. CMR: AB⊥(SOI)

d) Kẻ đường cao OJ của SOI. CMR: SA⊥OJ

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuôngtâm O cạnh a. SA⊥(ABCD) và SA = a

√3

a) CMR: các mặt bên của hình chóp là cáctam giác vuông

b) Tính góc giữa SD và (ABCD); SC và(SAD)

c) Vẽ AH⊥SB, AK⊥SD. CMR:AH⊥(SBC); SC⊥(AHK)

d) CMR: BD⊥(SAC)

e) Tính góc giữa SD và (SAC)

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâmO. Hai tam giác SAB và SAC vuông ở A, choSA = a, AC = 2a

√3

a) CMR: SA⊥(ABCD)

b) CMR: BD⊥SC

c) Vẽ AH là đường cao của SAO. CMR:AH⊥(SBC)

d) Tính góc giữa AO và (SBD).

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hìnhvuông tâm O, SO⊥(ABCD), SO = a

√3,

AB = a√

2.

a) CMR: BD⊥SA; AC⊥SB

b) Vẽ CI⊥SD, OJ⊥SC. CMR:SD⊥(ACI); SC⊥(BDJ)

c) K là trung điểm SB. CMR: OK⊥OI

d) Tính góc giữa SA và (ABCD)

13 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông,SA⊥(ABCD)

a) CMR: (SAC)⊥(SBD)

b) Gọi BE, DF là đường cao4SBD. CMR:(AFC)⊥(SBC); (AEF)⊥(SAC)

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuôngtâm O cạnh a, SA = a, SA⊥(ABCD)

a) CMR: (SAB)⊥(SAD); (SBC)⊥(SAB);(SCD)⊥(SAD)

b) CMR: (SAC)⊥(SBD)

c) Gọi AI, AJ là đường cao SAB, SAC. CMR:(SCD)⊥(AI J)

d) Tính góc giữa hai mặt phẳng(SBC)&(ABCD), (SBD)&(ABCD)

Bài 3. Cho tứ diện ABCD, AD⊥(ABC), DE làđường cao của4BCD

a) CMR: (ABC)⊥(ADE)

b) Vẽ đường cao BF và đường cao BK của4ABC và4BCD. CMR: (BFK)⊥(BCD)

c) Gọi I, J là trực tâm. CMR: I J⊥(BCD)

Bài 4. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi I, J làtrung điểm AB, CD. Trên đường thẳng vuônggóc (ABCD) tại I lấy S.

a) CMR: BC⊥(SAB), CD⊥(SI J)

b) CMR: (SAD)⊥(SBC), (SAB)⊥(SI J)

c) Gọi M là trung điểm BC. CMR:(SIM)⊥(SBD)

d) SI = a. Tính góc giữa (SCD) và (ABCD)

Bài 5. Cho hình chóp đều S.ABCD, O là tâm ABCD.Gọi I là trung điểm AB, cho SA = a, AB = a.

a) CMR: (SAC)⊥(SBD), (SOI)⊥(ABCD)

b) CMR: (SIO)⊥(SCD)

c) Gọi OJ là đường cao SOI. CMR: OJ⊥SB

d) Gọi BK là đường cao SBC. CMR:(SCD)⊥(BDK)

e) Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy.

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hìnhchữ nhật„ (SAB)⊥(ABCD). ChoAB = a, AD = a

√2.

a) CMR: SA⊥(ABCD), (SAD)⊥(SCD)

www.VNMATH.com

Trang 8 BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 THPT

b) AH là đường cao CMR: AH⊥(SBC),(SBC)⊥(AHC)

c) CMR: DH⊥SB

d) Tính góc giữa (SAC) và (SAD)

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuôngcạnh a tâm O. Cho(SAB)⊥(ABCD), (SAD)⊥(ABCD).

a) CMR: SA⊥(ABCD), BD⊥(SAC)

b) Gọi AH, AK là đường cao. CMR: AH⊥BD,AK⊥(SCD)

c) CMR: (SAC)⊥(AHK)

d) Tính góc giữa (SAC) và (SCD) (biếtSA = a)

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuôngcạnh a tâm O. SA⊥(ABCD), SA = a.

a) CMR: các mặt bên hình chóp là các tamgiác vuông

b) CMR: BD⊥SC

c) Tính góc giữa SC&(ABCD);(SBD)&(ABCD)

d) Tính góc giữa (SCD)&(ABCD). Tính diệntích hình chiếu của4SCD trên (ABCD)

14 KHOẢNG CÁCH

Bài 1. Cho tứ diện SABC,4ABC vuông cân tạiB, AC = SA = 2a và SA⊥(ABC)

a) CMR: (SAB)⊥(SBC)b) Tính d(A, (SBC))c) Gọi O là trung điểm AC. Tính d(O, (SBC))

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuôngcạnh a tâm O.SA⊥(ABCD) và SA = 2a; dựngBK⊥SC.

a) CMR: SC⊥(DBK)b) Tính d(A, (SBC));

d(A, (SDC)); d(O, (SBC))c) Tính d(BD, SC); d(AD, BK)

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đều, O là tâm hìnhvuông ABCD, cạnh bên bằng 2a, cạnh đáybằng a. Gọi I, J là trung điểm AB, CD.

a) CMR: (SI J)⊥(SAB)

b) Tính d(O, (SCD)); d(I, (SCD))

c) Tính d(SC, BD); d(AB, SD)

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâmO cạnh a, góc A = 60o, đường cao SO = a.

a) Tính d(O, (SBC))

b) Tính d(AD, SB)

15 DIỆN TÍCH - HÌNH CHIẾU

Bài 1. Cho tam giác ABC đều cạnh a, nằm trong mặtphẳng. Trên đường vuông góc với (α) tại B, C

vẽ BD = a√

22

, CE = a√

2 nằm cùng phía với

mặt phẳng (α).

a) CMR tam giác ADE vuông.

b) Tính diện tích tam giác ADE.

c) Tìm góc giữa (ADE) và (α).

Bài 2. Cho tam giác ABC có B, C là hình chiếu củaE, F lên (β) sao cho tam giác ABF là tam giác

đều cạnh a, CF = a, BE =a2

.

a) Gọi I = BC ∪ EF. CMR: AI⊥ACb) Tính diện tích tam giác ABC.

c) Tính góc giữa (ABC) và (β).

Bài 3. Cho tam giác ABC cân, đáy BC = 3a, BC⊥(β),đường cao a

√3. D là hình chiếu của A lên (β)

sao cho tam giác DBC vuông tại D. Tìm gócgiữa (ABC) và (β).

Bài 4. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Từ các đỉnhA, B, C vẽ các nửa đường thẳng vuông góc vớimặt phẳng chứa ABC. Lấy D, E, F nằm cùngphía đối với mặt phẳng chứa ABC sao choDA = a, BE = 2a, CF = x.

a) Tìm x để tam giác DEF vuông tại D.

b) Với x vừa tìm được ở câu trên, tìm góc giữa(ABC) và (DEF).

www.VNMATH.com