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TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
¿QUÉ SON LAS TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS?
Son aquellos movimientos de una figura que no modifican las medidas ni la forma del objeto sobre el cual actúan; solo cambian la posición y el sentido.Actividad: Identificar cuales pares de imágenes son transformaciones Isométricas.
Transformaciones Isométricas
Traslaciones
Rotaciones
Simetría Rotaciona
l
Simetría Central
Reflexiones
Simetría axial
Simetría Central
VECTOR
Se representa gráficamente por una flecha o un segmento de recta dirigido:
u
Un vector indica:
Dirección: Horizontal, vertical u oblicua.
Sentido: Derecha, izquierda, arriba, abajo.
Distancia o Magnitud : Es la distancia que existe entre el punto inicial y la posición final de cualquier punto de la figura que se desplaza.
SUMA DE VECTORES
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
Por ejemplo:
MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
El producto de un número k por un vector es otro vector:
De igual dirección que el vector .
Del mismo sentido que el vector, si k es positivo.
De sentido contrario del vector, si k es negativo.Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las coordenadas del vector.
Por ejemplo:
MÓDULO DE UN VECTOR
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes
Por Ejemplo:
TRASLACIÓN
Es una transformación isométrica que desplaza todos los puntos de una figura en una misma magnitud, dirección y sentido.Ejemplo 1:A se ha trasladado hasta coincidir con el punto B.Dirección: verticalSentido: abajo Distancia o magnitud AB: 6cms.
Ejemplo 2:Dirección: diagonalSentido: 4 cm derecha
1 cm abajo Magnitud AB: 4,1 cms.
ALGUNOS EJERCICIOS DE TRASLACIÓN
Traslade la figura conforme al vector dado.
ALGUNOS EJERCICIOS DE TRASLACIÓN
Traslade la figura conforme al vector dado.
Verifiquemos lo aprendido, indicando una definición para uno de los siguientes conceptos.
Transformación Isométrica
Tipos de transformaciones Isométricas
Vector
Suma de vectores
Multiplicación de un vector por un escalar
Módulo de un vector
Traslación
RESUMEN CLASE ANTERIOR
Transformaciones Isométricas
Traslaciones
Rotaciones
Simetría Rotaciona
l
Simetría Central
Reflexiones
Simetría axial
Simetría Central
ROTACIÓN
Es una transformación isométrica que mueve una figura en torno a un punto fijo, llamado “centro de rotación” y en un determinado ángulo α denominado “ángulo de rotación”.
Si α se desplaza en contra de las manecillas del reloj es positivo en caso contrario es negativo.
O: centro α : ángulo de rotación positivo
El centro puede estar dentro o
fuera de la imagen
Rotar este paralelogramo con respecto al punto O en un ángulo de 80°
SIMETRIA ROTACIONAL
Se dice que una figura posee simetría rotacional cuando, al girar sobre su centro, coincide con su posición inicial con una rotación menor o igual a 360°.
Orden de Simetría: es cuantos ángulos ≠ generan simetría rotacional.
Ángulo de giro: 120°Orden: 3Ángulos ≠s:120° ,240°, 360°
Ángulo de giro: 72°Orden: 5Ángulos ≠s: 72°, 144°, 216°, 288° y 360°
SIMETRIA CENTRAL
Se dice que una figura posee simetría central cuando tiene simetría rotacional en 180°
Por ejemplo un rectángulo tiene simetría central ya que con un giro de 180° logra quedar sobre en su posición original.
Existen figuras que poseen tanto simetría rotacional como central. Como es el caso del cuadrado.
ROTACIÓN EN UN SISTEMA DE COORDENADASUna rotación con centro P y ángulo de giro α , se representa
por R (P, α ). Si la rotación es negativa, se representa por R (P, -α).
Si rotamos el punto (x, y) con respecto al origen O(0, 0) en un ángulo de giro de 90º, 180º, 270º o 360º, las coordenadas de los puntos obtenidos están dados en la siguiente tabla.
Punto inicial
R(O, 90°) R(O,180°) R(O,270°) R(O,360°)
( X,Y ) (-Y,X ) (-X,-Y ) ( Y,-X ) ( X,Y )Por ejemplo: A( 2,3 )
R(O,90°) = (-3,2 )
R(O,180°) = (-2,-3 )
R(O,270°) = ( 3,-2 )
R(O,360°) = ( 2,3 )
Verifiquemos lo aprendido, indicando una definición para uno de los siguientes conceptos.
Rotación
Simetría rotacional
Simetría central
Rotación en un sistema de coordenadas
Ángulo y centro de rotación
RESUMEN CLASE ANTERIOR
Transformaciones Isométricas
Traslaciones
Rotaciones
Simetría Rotaciona
l
Simetría Central
Reflexiones
Simetría axial
Simetría Central
REFLEXION CON RESPECTO A UNA RECTA O SIMETRIA AXIAL
Transformación isométrica de una figura geométrica, fijada por una recta llamada eje de simetría.
Construir una simetría axial de la siguiente figura dada la recta L
L
REFLEXIÓN CON RESPECTO A UN PUNTO O SIMETRIA CENTRAL
Transformación isométrica en la que cada punto del plano se asocia a otro punto llamado imagen que cumple: El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.
Construir una simetría central de la siguiente figura dado el punto O
SIMETRIA AXIAL EN UN SISTEMA DE COORDENADAS
La simetría axial se puede representar en un sistema de coordenadas, dado un punto ( X ,Y ) se puede encontrar su simétrico (X’, Y’).
Punto Inicial Simétrico eje X Simétrico eje Y
A( X, Y) A’( X,-Y ) A’’(-X,Y )
Por ejemplo:
A(1,1) A’(1,-1) A’’(-1,1)
B(1,3) B’(1,-3) B’’(-1,3)
C(2,4) C’(2,-4) C’’(-2,4)
D(4,4) D’(4,-4) D’’(-4,4)
Construir una simetría axial en el sistema de coordenadas con respecto a los ejes X e Y.
Punto Inicial Simétrico eje X Simétrico eje Y
A( X, Y) A’( X,-Y ) A’’(-X,Y )
SIMETRIA AXIAL EN UN SISTEMA DE COORDENADAS
A(1,1) A’( , )
A’’( , )
B(3,1) B’( , ) B’’( ,
)
C(4,2) C’( , ) C’’( ,
)
D(3,3) D’( , ) D’’( ,
)
E(1,3) E’( , ) E’’( ,
)
F(2,2) F’( , ) F’’( ,
)
SIMETRIA CENTRAL EN UN SISTEMA DE COORDENADAS
La simetría central se puede representar en un sistema de coordenadas, dado un punto ( X ,Y ) se puede encontrar su simétrico con respecto al origen (X’, Y’).
Punto Inicial Simétrico punto O
A( X, Y) A’( -X,-Y ) Por ejemplo: Simetría axial con respecto a los ejes origen O.
A(2,1) A’(-2,-1)B(1,1) B’ (-1,-1)C(1,3) C’(-1,-3)D(2,3) D’(-2,-3)E(2,4) E’(-2,-4)F(3,4) F’(-3,-4)G(3,2) G’(-3,-2)
Construir una simetría central en el sistema de coordenadas con respecto al origen.
Punto Inicial Simétrico punto O
A( X, Y) A’( -X,-Y )
A(1,3)
A’( , )
B(3,4)
B’( , )
C(5,2)
C’( , )
D(3,1)
D’( , )
EJE DE SIMETRIA
Es aquella recta que atraviesa una figura dividiéndola en dos partes simétricas con respecto a ella.
Existen figuras que:
No tienen eje de simetría. Tienen sólo un eje de simetría. Tienen más de un eje de simetría. Tienen infinitos ejes de simetría como la circunferencia
Triángulo Equilátero:
3 ejes de simetría
Flecha: un eje de simetría
Cuadrado:4 ejes de simetría
Figura: no posee ejes de simetría