Uji Perbandingan Ganda(Multiple Comparison)(Multiple Comparison)

Arum Handini Primandari, M.Sc.

• Beberapa uji perbandingan ganda:

– Uji BNT/LSD

– Uji Tukey

– Uji Duncan

– Uji Bonferroni

0

1

: dengan , 1,2,..., dan

:

i j

i j

H i j t i j

H

• Uji perbandingan dengan kelompok kontrol

– Uji Dunnet

Tes Beda Nyata Terkecil (BNT)

• Uji BNT disebut juga uji Fisher Least Significant Difference (LSD).

• Uji ini menggunakan statistik t.

• H0 ditolak jika:– Ukuran sampel sama

– Ukuran sampel berbeda

2,

1 1galati j db

i j

y y t KTGr r

2,

2galati j db

KTGy y t

r

Dengan:α: tigkat signifikasir: banyak ulangandbgalat: derajat bebasdari KTG

Tes Tukey

• Prosedur Tukey seringkali disebut sebagai HSD (HonestlySignificant Difference)

• Metode ini berdasar pada distribusi rentang ter-student

• Daerah kritis:

H0 ditolak jika:1) Untuk data yang ukuran sampelnya sama

2) Untuk data yang ukuran sampelnya berbeda (Tukey-Kramer)

; , galati j

KTGy y q t db

r

; , 1 1

2

galat

i j

i j

q t dby y KTG

r r

Dengan:α: tigkat signifikasit: banyak perlakuanq(α;t,dbgalat): nilaipresentase atas dariq pada tarafsignifikasi α danderajat bebas(t,dbgalat)

Uji Duncan

• Uji Duncan disebut juga prosedur Duncan atau Uji rentang-bergandaDuncan

• Daerah kritik:

H0 ditolak jika:1) Untuk data yang ukuran sampelnya sama

untuk p perlakuan, dengan p= 2, 3, …, t

pi jy y R

KTGR r untuk p perlakuan, dengan p= 2, 3, …, t

2) Untuk data yang ukuran sampelnya berbeda

p: banyak perlakuan

rp: rentang signifikasi Duncan dengan p perlakuan (p = 2, 3, …, t) pada tarafsignifikasi α dan derajat kebebasan milik galat (rp disebut rentang signifikanter-student terkecil)

Rp: rentang signifikan terkecil

; ; galatp p dbR rr

; ;

1

dengan1

galatp p db h th

ii

KTG tR r n

nr

Soal Latihan 1

SK db JK KT Fhit Ftabel p-value

Perlakuan 4 79.44 19.86 6.895833 2.866081 0.00117

Galat 20 57.6 2.88

Total 24 137.04

H0 ditolak yang berarti terdapat minimal satu persentase paracetamol yangberpengaruh pada penurunan panas badan. (atau terdapat minimal satupersentase yang pengaruhnya berbeda dengan persentase yang lain)

Oleh karena menggunakan model tetap, maka kita dapat melakukan ujiperbandingan ganda.

Tabel Hasil Observasi

40% 50% 60% 75% 90%7 9 5 3 26 7 4 5 39 8 8 2 44 6 6 3 17 9 3 7 47 9 3 7 4

6.6 7.8 5.2 4 2.8

Lakukan uji perbandingan ganda:a) Uji LSDb) Uji Tukeyc) Uji Duncan

Soal Latihan 2

Seorang peneliti melakukan penelitian tentang pengaruh persentasiberat katun terhadap kekuatan regang kain. Dia menentukan limalevel persentasi katun (15%, 20%, 25%, 30%, 35%). Setiapperlakuan diulang sebanyak lima kali.

15% 20% 25% 30% 35%

7 12 14 19 7

a) Lakukan analisis variansi.

b) Apabila H0 ditolak, maka lakukan uji perbandingan ganda.

7 12 14 19 7

7 17 18 25 10

15 12 18 22 11

11 18 19 19 15

9 18 19 23 11

Tabel ANOVA

Source ofVariation

SS df MS F P-value F crit

Between Groups 475.76 4 118.94 14.75682 9.13E-06 2.866081

Within Groups 161.2 20 8.06

Total 636.96 24

Tes Dunnet

• Membandingkan setiap kelompok dengan suatu kelompok kontrol. Misalkandalam suatu percobaan terdapat t perlakuan, dimana salah satunyamerupakan perlakuan kontrol.

• Hipotesis:

0 0

1 0

: dengan 1,2,..., 1

:

i

i

H i t

H

• Daerah kritik:

H0 ditolak jika:

1) Untuk data yang ukuran sampelnya sama

2) Untuk data yang ukuran sampelnya berbeda

20

21, untuk 1,2,..., 1galati

KTGy y d t db i t

r

20

0

1 11, galati

i

y y d t db KTGr r

Dengan:α: tigkat signifikasik: dα/2 (t,dbgalat): nilai tes duaarah untuk uji Dunnetdengan derajat bebas(t,dbgalat)

1 0: iH

Kontras

• Misalkan dalam percobaan Latihan 2:a) Kita mencurigai bahwa katun level 4 dan 5 (30% dan 35%)

menghasil kekuatan tekstil yang sama, maka uji hipotesisnya:

0 4 5

1 4 5

:

:

H

H

0 4 5

1 4 5

: 0(a.1)

: 0

H

H

equivalen

b) Jika kita mencurigai bahwa rata-rata dari dua level terendahyaitu level 1 dan 2 tidak berbeda dengan rata-rata dua leveltertinggi yaitu level 3 dan 4, maka:

1 4 5:H 1 4 5: 0H

0 1 2 4 5

1 1 2 4 5

:

:

H

H

0 1 2 4 5

1 1 2 4 5

: 0(a.2)

: 0

H

H

equivalen

• Secara umum, kontras merupakan kombinasi linier dariparameter dalam bentuk:

1

t

i ii

c

• dimana

• Pada persamaan:

0ic

4 5

1 2 4 5

( .1) 1, 1

( .2) 1, 1

a c c

a c c c c

Interval Konfidensi Kontras

• Daripada melakukan uji hipotesis untuk kontras, lebihbermakna mencari interval konfidensi-nya.

• Ketika sampel-nya berukuran sama, maka:

22,

22,

galat

galat

i i db i i i

i i db i

KTGc y t c c

r

KTGc y t c

r

Kontras Ortogonal

• Dua kontras dengan koefisian {ci} dan {di}, dikatakan ortoganal jika:

• Untuk ulangan yang tidak sama:

1

0t

i ii

c d

0t

rc d

• Contoh kontras ortogonal:

1

0i i ii

rc d

Perlakuan C D C*D

Kontrol -2 0 0

Perlakuan 1 1 -1 -1

Perlakuan 2 1 1 1

Σcidi 0

Contoh

• Latihan 2. Kontras dan hipotesis:

Kontras

• Perbandingan perlakuan dengan menggunakan kontras biasanyadilakukan jika kita mengharapkan perbandingan-perbandingantertentu dari perlakuan yang diamati.

• Kontras dikenal juga sebagai pembandingan berderajat bebas 1.

• Misal:

• Syarat pembanding:

0 1 1 2 2: ... 0t tH c c c

1. Untuk ulangan sama 0,untuk ulangan beda 0

2. Keortogonalan 0, 0, 0, jika ulangan beda:

0, , 0

i i i

i i i i

i i i i i i i

c rc

c d c d

rc rd rc d

Tes Scheffe

• Scheffe (1953) mengusulkan suatu metode untuk membandingkansembarang dan semua kemungkinan kontras antara rataanperlakuan

• Misalkan suatu himpunan m kontras dalam means perlakuan:

1 1 2 2 ... ; 1,2,...,u u u tu tC C C u m

(kontras telah ditentukan). Kontras yang sesuai dengan rataanperlakuan adalah:

• Standar error dari kontras tersebut adalah:

1 1 2 2 ...u u u tu tC c y c y c y

2

1u

kiu

Ci i

cS KTG

r

ri: banyaknya observasi

pada perlakuan ke-i

• Nilai kritisnya SCu adalah:

Untuk menguji hipotesis bahwa kontras Γu berbeda secara signifikandari nol.

• Hipotesis tersebut ditolak jika:

, ; 1,( 1)uu C t N tS S t F

• Hipotesis tersebut ditolak jika:

,u uC S

Latihan

Diketahui:

Data berukuran sampel sama. Terdapat 5 perlakuan,masing-masing diambil 5 sampel.

1 2 3 4 59.8; 15.4; 17.6; 21.6; 10.8y y y y y

Ujilah kotras-kontras berikut:

8.06KTG

1 1 3 4 5

2 1 4

• Hipotesis:

• Nilai numerik kontras:

0 1 3 4 5 0 1 4

1 1 3 4 5 1 1 4

: 0 : 0dan

: 0 : 0

H H

H H

1 1 3 4 5C y y y y 2 1 4C y y 1 1 3 4 5

9.8 17.60 21.60 10.80

5

C y y y y

2 1 4

9.80 21.60

11.80

C y y

1

2

52

1

22

1

8.06 1 1 1 1 5 2.54

8.06 1 1 5 1.80

C iu ii

C iu ii

S KTG c r

S KTG c r

• Dengan α = 1%,

• Oleh karena maka kesimpulannya kontras Γ1 sama

1

2

0.01,1 0.01;4,20

0.01,2 0.01;4,20

( 1) 2.54 4(4.43) 10.69

( 1) 1.80 4(4.43) 7.58

C

C

S S k F

S S k F

1 0.01,1C S• Oleh karena maka kesimpulannya kontras Γ1 samadengan nol, maka rataan perlakuan 1 dan 3 (sebagai satu grup)tidak berbeda dengan rataan perlakuan 4 dan 5 (sebagai satu grup).

• Oleh karena maka kesimpulannya kontras Γ2 tidaksama dengan nol, maka rataan perlakuan 1 berbeda secarasignifikan dengan rataan perlakuan 4.

1 0.01,1

2 0.01,2C S

Tes Scheffe

• Daerah kritis:

H0 ditolak jika:

; 1,

1 1( 1) k N ki j

i j

y y k F KTGr r

Metode Bonferroni

• Misalkan suatu himpunan m kontras dalam rataan perlakuan:

(kontras telah ditentukan). Kontras yang sesuai dengan rataanperlakuan adalah:

1 1 2 2 ... ; 1,2,...,u u u tu tC C C u m

...C c y c y c y

• Daerah kritis

H0 ditolak jika:

dimana

1 21 2 ...u u u tu tC c y c y c y

1 2 , uu g N t CC t S

22

1u

kiu

Ci i

cS s

n

g: banyaknya perbandingan

• Menggunakan contoh (1) pada tes Tukey

• Terdapat 2 uji perbandingan yaitu C1 dan C2 sehingga g = 2

1 21 25; 11.8; 2.54; 1.80C CC C S S

1 11 0.05/(2*2),20 0.9875,20 2.423*2.54 6.154

2.423*1.8 4.3614

C Ct S t S

t S t S

• Oleh karena maka H0 gagal ditolak, artinya maka rataanperlakuan 1 dan 3 (sebagai satu grup) tidak berbeda dengan rataanperlakuan 4 dan 5 (sebagai satu grup).

• Oleh karena maka H0 ditolak, artinya maka rataanperlakuan 1 berbeda secara signifikan dengan rataan perlakuan 4.

2 21 0.05/(2*2),20 0.9875,20 2.423*1.8 4.3614C Ct S t S

1 6.154C

2 4.361C