UNIDAD 1 - ivanacal | A topnotch WordPress.com site · Estadística descriptiva Objetivos Al finalizar la unidad, el alumno: ... él en su momento. 1.2.1 Caracteres y variables estadísticas

U N I D A D

1 Estadística d e s c r i p t i v a

O b j e t i v o s

A l f i n a l i z a r l a u n i d a d , e l a l u m n o :

• explicará e l c o n c e p t o d e estadística y o t r o s r e l a c i o n a d o s ( m u e s t r a , población, estadístico, parámetro, etcétera)

• describirá l a s d i f e r e n t e s técnicas p a r a s e l e c c i o n a r u n a m u e s t r a

• calculará l a s p r i n c i p a l e s m e d i d a s c e n t r a l e s y d e d i s persión d e u n c o n j u n t o d e d a t o s n o a g r u p a d o s , y a s e a muéstrales o p o b l a c i o n a l e s

• d a d o u n g r a n c o n j u n t o d e d a t o s , utilizará y construirá l a s c l a s e s d e f r e c u e n c i a y s u s gráficos p a r a a n a l i z a r l a distribución d e d i c h o s d a t o s

Introducción

A . l o l a r g o d e s u e x i s t e n c i a e l s e r h u m a n o h a l l e v a d o a c a b o análisis d e u n a g r a n c a n t i d a d d e d a t o s o in/ormación, r e f e r e n t e s a l o s p r o b l e m a s o a c t i v i d a d e s d e s u s c o m u n i d a d e s . P o r e j e m p l o , d e s d e c o m i e n z o s d e l a civilización s e hacían r e p r e s e n t a c i o n e s gráficas y o t r o s símbolos e n p i e l e s , r o c a s , p a l o s d e m a d e r a y p a r e d e s d e c u e v a s p a r a c o n t a r e l número d e p e r s o n a s , a n i m a l e s o c o s a s . H a c i a e l año 3 0 0 0 a . C , l o s b a b i l o n i o s u s a b a n pequeñas t a b l i l l a s d e a r c i l l a p a r a r e c o p i l a r d a t o s s o b r e l a producción agrícola y l o s géneros v e n d i d o s o c a m b i a d o s m e d i a n t e e l t r u e q u e . M u c h o a n t e s d e c o n s t r u i r l a s pirámides, l o s e g i p c i o s a n a l i z a b a n l o s d a t o s d e l a población y l a r e n t a d e l país.

O t r o e j e m p l o d e recopilación y análisis d e d a t o s e s e l d e l i m p e r i o r o m a n o , c u y o p r i m e r g o b i e r n o , a l v e r s e e n l a n e c e s i d a d d e m a n t e n e r c o n t r o l s o b r e s u s e s c l a v o s y r i q u e z a s , recopiló d a t o s s o b r e l a población, s u p e r f i c i e y r e n t a d e t o d o s l o s t e r r i t o r i o s b a j o s u c o n t r o l .

S i g u i e n d o c o n l a h i s t o r i a d e l a recopilación d e d a t o s , a m e d i a d o s d e l p r i m e r m i l e n i o , p o r e l g r a n c r e c i m i e n t o d e l a s p o b l a c i o n e s y p a r a - p o d e r t e n e r c o n t r o l s o b r e éstas, s e c o m e n z a r o n a e f e c t u a r c e n s o s p o b l a c i o n a l e s , c o m o l o s d e l a E d a d M e d i a e n E u r o p a . P o r e j e m p l o , l o s r e y e s c a l o r i n g i o s 1 P i p i n o eí Breve y C a r l o m a g n o o r d e n a r o n h a c e r e s t u d i o s m i n u c i o s o s d e l a s p r o p i e d a d e s d e l a I g l e s i a e n l o s años 7 5 8 y 7 6 2 , r e s p e c t i v a m e n t e .

C o n f o r m e p a s a b a e l t i e m p o , l a recopilación y análisis d e d a t o s c o m e n z a b a n a t e n e r o t r o f i n además d e l o s c e n s o s y c o n o c i m i e n t o d e d i f e r e n t e s p r o p i e d a d e s . P o r e j e m p l o , e n I n g l a t e r r a a p r i n c i p i o s d e l s i g l o X V I s e realizó e l r e g i s t r o d e n a c i m i e n t o s y d e f u n c i o n e s , c o n e l c u a l e n 1 6 6 2 apareció e l p r i m e r e s t u d i o d e d a t o s p o b l a c i o n a l e s , t i t u l a d o O f c s e r v a t i o n s o n t f i e L o n d o n B i l i s of Mortalify ( " C o m e n t a r i o s s o b r e l a s p a r t i d a s d e defunción e n L o n d r e s " ) . U n e s t u d i o s i m i l a r s o b r e l a t a s a d e m o r t a l i d a d e n l a c i u d a d d e B r e s l a u , e n A l e m a n i a , r e a l i z a d o e n 1 6 9 1 , f u e u t i l i z a d o p o r e l astrónomo inglés E d m u n d H a l l e y c o m o b a s e p a r a l a p r i m e r a t a b l a d e m o r t a l i d a d . E n e l s i g l o X I X , c o n l a generalización d e l método científico p a r a e s t u d i a r t o d o s l o s fenómenos d e l a s c i e n c i a s n a t u r a l e s y s o c i a l e s , l o s i n v e s t i g a d o r e s a c e p t a r o n l a n e c e s i d a d d e r e d u c i r l a información a v a l o r e s numéricos p a r a e v i t a r l a ambigüedad d e l a s d e s c r i p c i o n e s v e r b a l e s .

1.1 Estadística

¿Qué e n t e n d e m o s p o r estadística? C o m o s e explicó, e l s e r h u m a n o t u v o l a n e c e s i d a d d e c r e a r u n a c i e n c i a q u e r e d u j e r a l a información a v a l o r e s numéricos p a r a l a m e j o r i n t e r p r e t a c i i n d e l o s fenómenos; s e l e llamó estadística.

Definición 1.1 La estadística es una rama de las matemáticas aplicadas que proporciona métodos para reunir, organizar, analizar e interpretar información, y usarla para obtener diversas conclusiones que ayuden a tomar decisiones en la solución de problemas y en el diseño de experimentos.

C a r o l i n n i a también l l a m a d a C n r l o v i n s i a , f u e u n a dinastía d e r e y e s f r a n c o s q u e g o b e r n a r o n u n v a s t o t e r r i t o r i o d e E u r o p a O c c i d e n t a l d e s d e e l s i g l o v i l h a s t a e l s i p l o X d . O ; s u n o m b r e f u e t o m a d o d e s u más r e n o m b r a d o m i e m b r o , C a r l o m a g n o .

20 E S T A D Í S T I C A Y P R O B A B I L I D A D

¿Cuál e s la función d e l a estadística? A c t u a l m e n t e l a estadística e s u n método e f e c t i v o p a r a d e s c r i b i r con precisión l o s v a l o r e s d e d a t o s económicos, políticos, s o c i a l e s , psicológicos, biológicos o físicos, y u n a h e r r a m i e n t a p a r a r e l a c i o n a r y a n a l i z a r d i c h o s d a t o s . P o r e s t a razón, l a estadística s e d i v i d e e n d i f e r e n t e s r a m a s , e n t r e l a s más a p l i c a d a s y q u e a n a l i z a r e m o s están l a estadística d e s c r i p t i v a y l a i n / e r e n c i a l .

L a p r i m e r a d e e l l a s s e a b o r d a e n l a p r e s e n t e u n i d a d y será d e s c r i t a más a d e l a n t e , m i e n t r a s q u e l a s e g u n d a será e s t u d i a d a e n l a s u n i d a d e s 9 y 1 0 . P o r a h o r a s e verán d o s c o n c e p t o s f u n d a m e n t a l e s e n e l e s t u d i o d e l a estadística.

1.2 Población y m u e s t r a

¿Cómo s e o b t i e n e u n c o n j u n t o d e d a t o s e n estadística?

L a m a t e r i a p r i m a d e l a estadística s o n l o s c o n j u n t o s d e números o b t e n i d o s a l c o n t a r o m e d i r e l e m e n t o s . P o r t a n t o , a l r e c o p i l a r d a t o s estadísticos s e d e b e t e n e r e s p e c i a l c u i d a d o p a r a g a r a n t i z a r q u e l a información s e a c o m p l e t a y c o r r e c t a ; d e e s t e m o d o , e l p r i m e r p a s o e s d e t e r m i n a r qué información y e n qué c a n t i d a d s e h a d e r e u n i r . P o r e j e m p l o , e n u n c e n s o e s i m p o r t a n t e o b t e n e r e l número d e h a b i t a n t e s d e f o r m a c o m p l e t a y e x a c t a ; d e l a m i s m a m a n e r a , c u a n d o u n tísico q u i e r e c o n t a r e l número d e c o l i s i o n e s p o r s e g u n d o e n t r e l a s moléculas d e u n g a s , d e b e e m p e z a r p o r d e t e r m i n a r c o n precisión l a n a t u r a l e z a d e l o s o b j e t o s a c o n t a r . D a d o q u e l a n a t u r a l e z a d e l o s fenómenos e n e s t u d i o e s m u y v a r i a d a , e s n e c e s a r i o p r o p o r c i o n a r u n a s e r i e d e d e f i n i c i o n e s r e f e r e n t e s a l o s c o n j u n t o s d e d a t o s q u e s e h a n d e e s t u d i a r .

Definición 1.2

Definición 1.3

La población es el conjunto que incluye el total de elementos o datos cuyo conocimiento es de interés particular.

C a d a u n o d e l o s e l e m e n t o s q u e i n t e r v i e n e n e n l a definición d e población e s u n i n d i v i d u o u o b j e t o ; s e d e n o m i n a r o n d e e s t a m a n e r a , y a q u e o r i g i n a l m e n t e e l c a m p o d e actuación d e l a estadística f u e e l demográfico.

D a d o q u e l a información d i s p o n i b l e c o n s t a f r e c u e n t e m e n t e d e u n a porción o s u b c o n j u n t o d e l a población, i n t r o d u c i m o s u n s e g u n d o c o n c e p t o , e l d e m u e s t r a d e u n a población.

La m u e s t r a e s cualquier subconjunto de la población.

E j e m p l o 1 1 . S i e l c o n j u n t o d e d a t o s d e interés está c o n s t i t u i d o p o r t o d o s l o s promedios d e u n g r u p o d e e s t u d i a n t e s d e l i c e n c i a t u r a d e u n a u n i v e r s i d a d , c a d a u n o d e l o s e s t u d i a n t e s será u n i n d i v i d u o estadístico, m i e n t r a s q u e e l c o n j u n t o d e t o d o s e s t o s e s t u d i a n t e s será l a población y u n a m u e s t r a podría s e r e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s e s t u d i a n t e s d e l t e r c e r c u a t r i m e s t r e d e ingeniería.

2 . S i e l c o n j u n t o d e d a t o s d e interés está c o n s t i t u i d o p o r t o d o s l o s p r o m e d i o s d e l o s grupos d e l i c e n c i a t u r a , c a d a u n o d e l o s g r u p o s será u n i n d i v i d u o estadístico, m i e n t r a s q u e e l c o n j u n t o d e t o d o s e s t o s g r u p o s será l a población y u n a m u e s t r a podría s e r e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s g r u p o s d e l t e r c e r c u a t r i m e s t r e d e ingeniería.

U N I D A D 1 • E S T A D Í S T I C A D E S C R I P T I V A 21

3 . S i s e está e s t u d i a n d o e l r e s u l t a d o d e c i e r t o s e x p e r i m e n t o s químicos, c a d a u n o d e e s o s e x p e r i m e n t o s será u n i n d i v i d u o estadístico y e l c o n j u n t o d e t o d o s l o s p o s i b l e s e x p e r i m e n t o s e n e s a s c o n d i c i o n e s será l a población, m i e n t r a s q u e u n a m u e s t r a podría s e r u n c o n j u n t o d e r e s u l t a d o s e x p e r i m e n t a l e s p o s i b l e s e n c i e r t a s c o n d i c i o n e s .

Más a d e l a n t e s e verá q u e e l p r o b l e m a d e m u e s t r e o n o e s t a n s i m p l e , p o r q u e e s t e c o n c e p t o t i e n e m a y o r i m p o r t a n c i a d e n t r o d e l a estadística i n f e r e n c i a l ; s e profundizará e n él e n s u m o m e n t o .

1.2.1 C a r a c t e r e s y v a r i a b l e s estadísticas

Definición 1.4

C u a n d o s e definió e l c o n c e p t o población, s e m e n c i o n a r o n s u s e l e m e n t o s , también l l a m a d o s i n d i v i d u o s ; además, e n e l e j e m p l o 1 s e observó q u e éstos p u e d e n s e r d e s c r i t o s p o r u n a o v a r i a s d e s u s p r o p i e d a d e s o características.

El carácter da un elemento, Individuo, u objeto es cualquier característica por medio de la cual se puede clasificar y estudiar.

E j e m p l o 2 1 . S i l o s i n d i v i d u o s s o n p e r s o n a s , e l sexo, e l e s t a d o c i v i l , e l número de h e r m a n o s o s u estatura s o n c a r a c t e r e s .

2 . S i e l i n d i v i d u o e s u n a reacción química, e l t i e m p o de reacción, l a cantidad de producto o b t e n i d o o s i éste e s ácido o básico, s o n c a r a c t e r e s q u e p u e d e n a n a l i z a r s e .

¿Qué e s u n carácter c u a n t i t a t i v o ? U n carácter e s c u a n t i t a t i v o s i e s p o s i b l e m e d i r l o numéricamente o c u a l i t a t i v o s i n o a d m i t e medición. P o r e j e m p l o , e l número d e h e r m a n o s y l a e s t a t u r a s o n c a r a c t e r e s c u a n t i t a t i v o s , m i e n t r a s q u e e l s e x o y e l e s t a d o c i v i l s o n c a r a c t e r e s c u a l i t a t i v o s .

¿Qué e s u n a v a r i a b l e estadística? L o s d i s t i n t o s v a l o r e s q u e p u e d e t o m a r u n carácter c u a n t i t a t i v o c o n f i g u r a n u n a v a r i a b l e estadística. L a s v a r i a b l e s estadísticas s e c l a s i f i c a n e n discretas y c o n t i n u a s .

Definición 1.5 U n a variable estadística es discreta sólo cuando permite valoras aislados, como números enteros.

P o r e j e m p l o , l a v a r i a b l e número de H e r m a n o s t o m a l o s v a l o r e s 0 , 1 , 2 , 3 , 4 y 5 . E s t e t i p o d e v a r i a b l e s s e c a r a c t e r i z a n p o r o b r e n e t s e m e d i a n t e u n proceso de c o n t e o ( v e r s e m e j a n z a c o n l a s v a r i a b l e s a l e a t o r i a s d i s c r e t a s e n l a u n i d a d 5 ) .

J|ft|fll|«HMM||||M Una variable estadística es continua cuando admite todos los valores de un Intervalo.

P o r e j e m p l o , l a v a r i a b l e e s t a t u r a , e n c i e r t a población estadística, t o m a c u a l q u i e r v a l o r e n e l i n t e r v a l o 1 5 8 - 2 0 5 c m . O t r o más e s l a t e m p e r a t u r a d e u n a p e r s o n a . E s t e t i p o

E S T A D Í S T I C A Y P R O B A B I L I D A D

I

d e v a r i a b l e s s e c a r a c t e r i z a p o r o b t e n e r s e m e d i a n t e m e d i c i o n e s ( v e r s e m e j a n z a s c o n l a s v a r i a b l e s a l e a t o r i a s c o n t i n u a s e n l a u n i d a d 7 ) .

L a s v a r i a b l e c u a l i t a t i v a s p u e d e n s e r n o m i n a l e s s i s e t r a t a d e categorías ( s e x o , r a z a , e t c . ) y o r d i n a l e s s i i m p l i c a n o r d e n ( c l a s e s o c i a l , g r a d o d e p r e f e r e n c i a ) .

1.2.2 Estadística d e s c r i p t i v a

C o m o y a s e d i j o , l a estadística s e d i v i d e e n v a r i a s r a m a s , u n a d e e l l a s e s l a estadística d e s c r i p t i v a . Después d e h a b e r e s t u d i a d o l o s c o n c e p t o s d e población y m u e s t r a e s p o s i b l e d e f i n i r l a .

Definición 1.7 La estadística d e s c r i p t i v a es la parte de la estadística que organiza, resume y analiza la totalidad de elementos de una población o muestra.

S u f i n a l i d a d e s o b t e n e r información, organizaría, r e s u m i r l a y a n a l i z a r l a , l o n e c e s a r i o p a r a q u e p u e d a s e r i n t e r p r e t a d a fácil y rápidamente y , p o r t a n t o , p u e d a u t i l i z a r s e e f i c a z m e n t e .

E l p r o c e s o q u e s i g u e l a estadística d e s c r i p t i v a p a r a e l e s t u d i o d e u n a c i e r t a población o m u e s t r a c o n s t a d e l o s s i g u i e n t e s p a s o s :

1 . Selección d e caracteres f a c t i b l e s d e s e r e s t u d i a d o s . 2 . M e d i a n t e e n c u e s t a o medición, obtención d e l v a l o r d e c a d a e l e m e n t o e n l o s

c a r a c t e r e s s e l e c c i o n a d o s . 3 . Obtención d e números q u e s i n t e t i z a n l o s a s p e c t o s más r e l e v a n t e s d e u n a

distribución estadística (más a d e l a n t e a d i c h o s números l o s l l a m a r e m o s parámetros p a r a e l c a s o d e l a población y estadísticos e n ' l a s m u e s t r a s ) .

4 - Elaboración d e t a b l a s d e f r e c u e n c i a s , m e d i a n t e l a a d e c u a d a clasificación délos i n d i v i d u o s d e n t r o d e c a d a carácter ( e s t o l o e s t u d i a r e m o s más a d e l a n t e e n e l t e m a " C l a s e s d e f r e c u e n c i a s " ) .

5 . Representación gráfica d e l o s r e s u l t a d o s (elaboración d e gráficas estadística i , a l a s q u e l l a m a r e m o s f i i s t o g r a m a s ) .

1.3 T i p o s d e m u e s t r e o

L o s e s p e c i a l i s t a s e n estadística s e e n f r e n t a n a u n c o m p l e j o p r o b l e m a c u a n d o , p o r e j e m p l o , t o m a n u n a m u e s t r a p a r a u n s o n d e o d e opinión o u n a e n c u e s t a e l e c t o r a l ; s e l e c c i o n a r u n a m u e s t r a c a p a z d e r e p r e s e n t a r c o n e x a c t i t u d l a s p r e f e r e n c i a s d e l t o t a l d e l a población n o e s t a r e a fácil, p a r a t a l e f e c t o e x i s t e n d i f e r e n t e s t i p o s d e m u e s t r e o , l o s más c o n o c i d o s s e m e n c i o n a n e n s e g u i d a .

M u e s t r e o a l e a t o r i o s i m p l e

E s t e t i p o d e m u e s t r e o s e c a r a c t e r i z a p o r q u e c u a l q u i e r e l e m e n t o d e l a población e n e s t u d i o t i e n e l a m i s m a p o s i b i l i d a d d e s e r s e l e c c i o n a d o .

¿Cuál e s l a f i n a l i d a d d e la estadística d e s c r i p t i v a ?


P o r e j e m p l o , d e l a población e s t u d i a n t i l d e u n a u n i v e r s i d a d s e p u e d e s e l e c c i o n a r u n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e 5 0 e s t u d i a n t e s p a r a a p l i c a r u n a e n c u e s t a y o b t e n e r c i e r t o t i p o d e información. E n e s t o s c a s o s , e x i s t e n d i s t i n t o s métodos p a r a r e s p e t a r l a a l e a t o r i e d a d , e l más común e s a s i g n a r l e u n número d i f e r e n t e a c a d a e s t u d i a n t e y l u e g o , c o n l a a y u d a d e u n a t a b l a d e números a l e a t o r i o s , e l e g i r u n b l o q u e d e tamaño 5 0 d e ésta y r e a l i z a r l a s e n t r e v i s t a s a l o s a l u m n o s s e l e c c i o n a d o s .

M u e s t r e o e s t r a t i f i c a d o

E n e s t e t i p o d e m u e s t r e o s e d i v i d e l a población e n g r u p o s q u e n o s e t r a s l a p e n - e s d e c i r , q u e n o t e n g a n e l e m e n t o s e n común- y s e p r o c e d e a r e a l i z a r u n m u e s t r e o a l e a t o r i o s i m p l e e n c a d a u n o d e l o s g r u p o s .

P o r e j e m p l o , l a población e s t u d i a n t i l d e u n a u n i v e r s i d a d se p u e d e d i v i d i r e n g r u p o s f o r m a d o s p o r d i f e r e n t e s e s p e c i a l i d a d e s (ingeniería i n d u s t r i a l , ingeniería e n s i s t e m a s , administración, e t c . ) y después d e c a d a u n a d e e l l a s s e p r o c e d e a s e l e c c i o n a r u n a m u e s t r a a l e a t o r i a p a r a l l e v a r a c a b o u n a e n t r e v i s t a y o b t e n e r l a información d e s e a d a .

Además d e l o s d o s t i p o s d e m u e s t r e o m e n c i o n a d o s , e x i s t e e l m u e s t r e o sistemático y e l m u e s t r e o p o r conglomerados. E l p r o b l e m a d e m u e s t r e o e s más c o m p l e j o d e l o q u e p a r e c e ; p a r a u n e s t u d i o más d e t a l l a d o d e l t e m a , e l e s t u d i a n t e p u e d e c o n s u l t a r e l l i b r o E l e m e n t o s de m u e s t r e o , d e R i c h a r d L . S c h e a t f e r y W i l l i a m M e n d e n h a l l , d e G r u p o E d i t o r i a l Iberoamérica.

1.3.1 U s o d e t a b l a s d e números a l e a t o r i o s

C o m o s e mencionó, l a s m u e s t r a s a l e a t o r i a s s e p u e d e n o b t e n e r a p a r t i r d e u n a t a b l a d e números a l e a t o r i o s . S e s u p o n e q u e s e t i e n e u n a población d e m i l i n d i v i d u o s y s e q u i e r e h a c e r u n m u e s t r e o d e d i e z d e e l l o s . E n e s t e c a s o , p r i m e r o s e a s i g n a u n número d e l 0 0 0 a l 9 9 9 a c a d a m i e m b r o d e l a población y l u e g o s e e l i g e d e l a t a b l a d e números a l e a t o r i o s u n p u n t o d e a r r a n q u e y s e h a c e e l r e c o r r i d o h a s t a o b t e n e r e l tamaño d e l a m u e s t r a d e d i e z . D e b i d o a q u e e l tamaño d e l a población e s m i l , d e l o s números q u e a p a r e c e n e n l a t a b l a se c o n s i d e r a n sólo s u s t r e s últimas c i f r a s . P o r e j e m p l o , s e a n l o s s i g u i e n t e s números a l e a t o r i o s e l e g i d o s d e u n a t a b l a .

9 1 7 3 0 6 1 7 3 9 2 1 0 8 4 7 5 7 9 7 5 8 1 2 2 1 3 5 1 3 2 1 4 9 9

0 7 4 6 8 9 7 0 0 1 5 5 4 2 0 1 9 5 0 9 3 7 9 9 6 8 1 8 0 5 5 9 6 0 5

Cómo s e l l e v a a c a b o u n m u e s t r e o a l e a t o r i o d e d i e z p e r s o n a s

c o n población d e 650 i n d i v i d u o s ?

A l e l e g i r s u s t r e s últimas c i f r a s s e o b t i e n e n l o s números q u e formarán l a m u e s t r a : 0 6 1 , 8 9 7 , 1 0 8 , 5 4 2 , 9 7 5 , 0 9 3 , 1 3 5 , 8 1 8 , 4 9 9 y 6 0 5 . Después s e p r o c e d e a s e l e c c i o n a r d e l a población a l o s i n d i v i d u o s q u e l e s c o r r e s p o n d e n e s t o s números.

D e f o r m a s i m i l a r q u e e n e l c a s o d e l a s m i l p e r s o n a s , p r i m e r o s e a s i g n a u n número a c a d a e l e m e n t o d e l a población d e s d e 0 0 0 h a s t a 6 4 9 y p o s t e r i o r m e n t e s e e l i g e u n b l o q u e d e números a l e a t o r i o s d o n d e l a s t r e s p r i m e r a s c i f r a s s e a n m e n o r e s a 6 4 9 .


1.4 Parámetros y estadísticos L o s números q u e s i n t e t i z a n l o s a s p e c t o s más r e l e v a n t e s d e u n a distribución estadística p u e d e n o b t e n e r s e t a n t o d e u n a población c o m o d e u n a m u e s t r a y p o r c o n s i g u i e n t e d e b e n c l a s i f i c a r s e : l o s p r i m e r o s , o b t e n i d o s d e l a población, r e c i b e n e l n o m b r e d e parámetros y l o s o b t e n i d o s d e u n a m u e s t r a s e l l a m a n estadísticos o e s t i m a d o r e s .

L o s parámetros y estadísticos más c o m u n e s d e l a estadística d e s c r i p t i v a q u e s e estudiarán e n e s t a u n i d a d s e d i v i d e n , a s u v e z , e n d o s t i p o s :

1 . M e d i d a s c e n t r a l e s : m e d i a , m e d i a n a , m o d a , m e d i a geométrica, m e d i a armónica, m e d i a p o n d e r a d a .

2 . M e d i d a s d e dispersión: r a n g o , v a r i a n z a , desviación estándar, e r r o r estándar, c o e f i c i e n t e d e variación, p e r c e n t i l e s , r a n g o i n t e r c u a r t i l .

1.5 M e d i d a s c e n t r a l e s

S i e l c o n j u n t o d e d a t o s numéricos d e u n a m u e s t r a d e tamaño n ( o población d e tamaño N ) e s d e l a f o r m a x ( , x 7 , . . . , x ^ ( o p a r a l a población x . , x 7 > . . . , x N ) , n o s p o d e m o s p r e g u n t a r p o r l a s características d e l c o n j u n t o d e números q u e s o n d e interés. E n está sección s e estudiarán l o s métodos p a r a d e s c r i b i r s u localización y , e n p a r t i c u l a r , e l c e n t r o d e l o s d a t o s .

1.5.1 La m e d i a

C u a n d o u n a p e r s o n a t i e n e e n s u s m a n o s u n c o n j u n t o d e d a t o s p a r a a n a l i z a r l o s , g e n e r a l m e n t e c a l c u l a , e n p r i m e r a i n s t a n c i a , u n p r o m e d i o d e éstos. P o r e j e m p l o , d i c h a p e r s o n a t i e n e l a s c a n t i d a d e s m e n s u a l e s q u e h a g a n a d o e n l o s últimos s e i s m e s e s ( 1 0 8 0 0 , 9 7 0 0 , 1 1 1 0 0 , 8 9 5 0 , 9 7 5 0 y 1 0 5 0 0 ) y d e s e a c o n o c e r e l v a l o r q u e r e p r e s e n t a s u s a l a r i o p r o m e d i o . E n e s t e c a s o , obtendrá s u i n g r e s o p r o m e d i o a l s u m a r l a s c a n t i d a d e s y d i v i d i r e n t r e e l número d e m e s e s q u e trabajó

10 8 0 0 + 9 7 0 0 + 1 1 1 0 0 + 8 9 5 0 + 9 7 5 0 + 1 0 5 0 0 = 3 3

6

E l s u e l d o p r o m e d i o e s $ 1 0 1 3 3 . 3 3 .

C o m o e l c a s o a n t e r i o r , e x i s t e u n a i n f i n i d a d d e p r o b l e m a s o c a s o s prácticos e n l o s q u e d e u n c o n j u n t o d e d a t o s s e q u i e r e c o n o c e r u n v a l o r c e n t r a l q u e r e f l e j e l a i n f l u e n c i a q u e t i e n e c a d a u n o d e l o s d a t o s e n él. L a m e d i d a c e n t r a l más p r o p i c i a p a r a t a l e s f i n e s s e d e f i n e a continuación.

Definición 1.8 Dado el conjunto fínito de datos muéstrales X j , x^,..., x^.la media muestra! (promedio aritmético) o estadístico media del conjunto es el estadístico que representa el pmmedio de los datos simbolizado por x(x barra), y se calcula

¿Qué e s u n parámetro y qué e s u n estadístico

o e s t i m a d o r ?


Definición 1.9

D e f o r m a s i m i l a r s e d e f i n e e l parámetro media p a r a l a s poblaciones finitas.

Dado el conjunto de datos poblacionales x 7 > . . ., x ^ s e llama media p o b l a c i o n a l o parámetro m e d i a del conjunto al parámetro representado por/i (miu o mu), y se calcula

N X i + x 2 + • • • + x N 1 ^ - i U = — = — = — / X :

E j e m p l o 3 U n f a b r i c a n t e d e p i s t o n e s t o m a u n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e 2 0 d e éstos, p a r a m e d i r s u diámetro i n t e r n o p r o m e d i o . C o n l a información q u e e l f a b r i c a n t e o b t u v o d a d a e n centímetros, s e c a l c u l a s u diámetro m e d i o

1 0 . 1 1 0 . 1 9 . 8 9 . 7 1 0 . 3 9 . 9 1 0 . 0 9 . 9 1 0 . 2 1 0 . 1

9 . 9 9 . 9 1 0 . 1 1 0 . 3 9 . 8 9 . 7 9 . 9 1 0 . 0 1 0 . 0 9 . 8

C o m o s e t r a t a d e u n a m u e s t r a , s e c a l c u l a s u estadístico

7 - — [ 1 0 . 1 + 1 0 . 1 • 9 . 8 + 9 . 7 + 1 0 . 3 + 9 . 9 + 1 0 + 9 . 9 + 1 0 . 2 + 1 0 . 1 + 9 . 9 + 2 0 9 . 9 + 1 0 . 1 + 1 0 . 3 + 9 . 8 + 9 . 7 + 9 . 9 + 1 0 + 1 0 + 9 . 8 ] - 9 . 9 7 5

L a m e d i a r e p r e s e n t a e l v a l o r p r o m e d i o d e t o d a s l a s o b s e r v a c i o n e s y p o r c o n s i g u i e n t e c a d a u n o d e l o s d a t o s i n f l u y e d e i g u a l m a n e r a e n e l r e s u l t a d o ; e n o c a s i o n e s , c u a n d o s e t i e n e n p o c o s d a t o s q u e s e a l e j a n c o n s i d e r a b l e m e n t e d e l r e s t o , e l v a l o r p r o m e d i o e n c o n t r a d o n o r e f l e j a l a r e a l i d a d d e l c a s o .

E j e m p l o 4 S e q u i e r e c a l c u l a r e l s u e l d o p r o m e d i o d e l o s t r a b a j a d o r e s d e u n a fábrica, e l i g i e n d o a l e a t o r i a m e n t e a d i e z d e e l l o s , c o n l a s s i g u i e n t e s c a n t i d a d e s :

D a t o X 1 x 2 * 3 * 4 x 5 * 6 * 7 x a * 9 * 1 0

S u e l d o 2 0 0 0 2 2 0 0 2 5 0 0 2 2 0 0 1 8 0 0 2 5 0 0 0 2 4 0 0 2 3 0 0 2 8 0 0 2 4 0 0

S e c a l c u l a e l s u e l d o p r o m e d i o , y s e t i e n e

7 = - — [ 2 0 0 0 + 2 2 0 0 + 2 5 0 0 + 2 2 0 0 + 1 8 0 0 + 2 5 0 0 0 + 2 4 0 0 + 2 3 0 0 + 2 8 0 0 + 2 4 0 0 ] = 4 5 6 0

d o n d e e l estadístico n o r e f l e j a l a r e a l i d a d d e l o s d a t o s , p u e s t o q u e e l s u e l d o d e 2 5 0 0 0 e s m u c h o m a y o r a l o s demás e i n f l u y e c o n s i d e r a b l e m e n t e e n e l v a l o r p r o m e d i o .

1.5.2 La m e d i a n a

P o r l o e x p u e s t o a l f i n a l d e l a subsección e s n e c e s a r i o p r e s e n t a r o t r o t i p o d e m e d i d a c e n t r a l e n l a q u e v a l o r e s m u y e x t r e m o s o s , c o n r e s p e c t o a l r e s t o , n o t e n g a n u n a i n f l u e n c i a t a n m a r c a d a c o m o e n l a m e d i a . A d i c h a m e d i d a s e l e c o n o c e , d e b i d o a s u n a t u r a l e z a , c o m o m e d i a n a .

Definición 1.10 La m e d i a n a de un conjunto de datos es el valor medio de los datos cuando éstos se han ordenado en forma no decreciente en cuanto a su magnitud.


Cálculo d e l a m e d i a n a

D a d o e l c o n j u n t o d e d a t o s muéstrales x . , x 7 , . . . , x n , l a mediana m u e s t r a ! o estadístico mediana d e l c o n j u n t o s e r e p r e s e n t a p o r x ( x t i l d e ) y s e o b t i e n e o r d e n a n d o p r i m e r o e n f o r m a n o d e c r e c i e n t e e s t o s n d a t o s , l o s q u e s e renombrarán según s u posición p o r m e d i o d e t i l d e s d e l a s i g u i e n t e f o r m a

X j < x 2 < . . . < x n

P o s t e r i o r m e n t e se l o c a l i z a e l p u n t o m e d i o d e l o s d a t o s o r d e n a d o s , c o n d o s c a s o s :

1 . C u a n d o l a c a n t i d a d d e o b s e r v a c i o n e s e s i m p a r , e l v a l o r m e d i o d e l o r d e n a m i e n t o e s e l d a t o q u e s e e n c u e n t r e e n l a posición ( n + l ) / 2 .

2 . C u a n d o l a c a n t i d a d d e d a t o s e s par, d e t a l m a n e r a q u e r e s u l t a n d o s d a t o s m e d i o s l o c a l i z a d o s e n l a s p o s i c i o n e s n / 2 y n / 2 + 1 , l a m e d i a n a s e c o n s i d e r a e l p r o m e d i o d e éstos.

F i n a l m e n t e , s e p u e d e r e s u m i r e l cálculo d e l a m e d i a n a c o n l a s s i g u i e n t e s fórmulas

x n + 1 , c u a n d o l a c a n t i d a d d e d a t o s e s i m p a r

x = i í + x„ - + 1

2 2 , c u a n d o l a c a n t i d a d d e d a t o s e s p a r

D e f o r m a s i m i l a r s e d e f i n e e l parámetro m e d i a n a . D a d o e l c o n j u n t o d e d a t o s p o b l a c i o n a l e s x., x 7 , . . ., x N , l a mediana poblacional o

parámetro m e d i a n a d e l c o n j u n t o e s e l parámetro r e p r e s e n t a n d o p o r fl , y s e c a l c u l a

x N + | , c u a n d o l a c a n t i d a d d e d a t o s e s i m p a r

x N + x N

— — + 1 2 2 c u a n d o l a c a n t i d a d d e d a t o s e s p a r

E j e m p l o 5 D a d o e l c o n j u n t o m u e s t r a l d e d a t o s d e l e j e m p l o a n t e r i o r , r e f e r e n t e a l s u e l d o p r o m e d i o , s e c a l c u l a s u m e d i a n a .

L a s i g u i e n t e t a b l a m u e s t r a e l c o n j u n t o d e l o s d i e z d a t o s

D a t o «1 X 2 * 3 x 4 X 5 X 6 X 7 x e * 9 X 1 0

S u e l d o 2 0 0 0 2 2 0 0 2 5 0 0 2 2 0 0 1 8 0 0 2 5 0 0 0 2 4 0 0 2 3 0 0 2 8 0 0 2 4 0 0

O r d e n a n d o l o s s u e l d o s d e m e n o r a m a y o r y renombrándolos s e o b t i e n e

D a t o o r i g i n a l * 5 X 1 * 2 x 4 x 8 X 7 * 1 0 x 3 x 9 X 6

S u e l d o 1 8 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 300 2 4 0 0 2 4 0 0 2 5 0 0 2 8 0 0 2 5 0 0 0

D a t o o r d e n a d o X 1 X 2 X 3 * 4 X 5 X 6 X 7 * 8 x 9

x 1 0


Definición 1.11

L a c a n t i d a d d e d a t o s e s d i e z y éste e s u n número p a r , p o r c o n s i g u i e n t e la mediana m u e s t r a ! s e e n c u e n t r a c o n e l p r o m e d i o d e l o s d a t o s o r d e n a d o s e n l a s p o s i c i o n e s n / 2 y n / 2 + 1 . E s d e c i r , e n l a s p o s i c i o n e s 1 0 / 2 = 5 y 1 0 / 2 + 1 = 6

. = x L J J 6 = 2 3 0 0 + 2 W = 2 3 5 0

2 . 2

E n la m e d i a n a s e p u e d e o b s e r v a r q u e e l v a l o r $ 2 5 0 0 0 , e l c u a l sobresalía c o n r e s p e c t o a t o d o s l o s demás, a d i f e r e n c i a d e la m e d i a , n o i n f l u y e e n e l r e s u l t a d o d e la m e d i a n a . P u e s t o q u e s i e n l u g a r d e $ 2 5 0 0 0 s e e l i g e $ 5 0 0 0 o $ 1 0 0 0 0 0 , e l s u e l d o m e d i o d e l o s d i e z t r a b a j a d o r e s seguirá s i e n d o $ 2 3 5 0 . P o r l o c u a l s e d i c e q u e l a m e d i a n a e s u n a m e d i d a c e n t r a ! i n s e n s i b l e d e d o s d a t o s .

1.5.3 La m o d a

P a r a a l g u n o s e s t u d i o s e s n e c e s a r i o e n c o n t r a r e l v a l o r c e n t r a l d e u n c o n j u n t o d e d a t o s , er> d o n d e l a m e d i d a d e interés está b a s a d a e n l a repetición d e éstos; p o r t a n t o , n i n g u n a d e l a s d o s m e d i d a s a n a l i z a d a s e s c o n v e n i e n t e e n e s t e c a s o . D e b i d o a s u n a t u r a l e z a , a e s t a m e d i d a s e l e d a e l n o m b r e d e moda y s e d e f i n e a continuación.

L a mofla e f e un conjunto de datos as el valor que se presenta en su distribución con mayor frecuencia.

L a m o d a s e s i m b o l i z a p o r M p a r a l a s m u e s t r a s y p a r a l a s p o b l a c i o n e s .

E j e m p l o 6 E n l a s i g u i e n t e l i s t a s e m u e s t r a n l a s c a l i f i c a c i o n e s d e 2 0 exámenes d e lingüística. S e c a l c u l a l a calificación q u e más s e r e p i t e , e s d e c i r , l a m o d a d e l a distribución d e l a s c a l i f i c a c i o n e s .

9

1 0

9

1 0

1 0

9

1 0

5

Después d e l c o n t e o d e l o s d a t o s , s e t i e n e

c i n c o d a t o s c o n v a l o r 5 u n d a t o c o n v a l o r 6 y o t r o c o n v a l o r 7 t r e s d a t o s c o n v a l o r 8 s e i s d a t o s c o n v a l o r 9 c u a t r o d a t o s c o n v a l o r 1 0

P o r t a n t o , l a m o d a e s i g u a l a 9J; y a q u e e s l a calificación d e m a y o r f r e c u e n c i a .

A l c a l c u l a r l a m o d a e s p o s i b l e o b s e r v a r q u e e s u n a m e d i d a c o m p l e t a m e n t e o p u e s t a a l a m e d i a n a e n c u a n t o a s u s e n s i b i l i d a d . P o r e j e m p l o , s i e n e l c a s o d e l a s c a l i f i c a c i o n e s u n a l u m n o c o n calificación 9 h u b i e s e o b t e n i d o 5 , l a m o d a cambiaría a 5 (serían s e i s 5 y c i n c o 9 ) . Así q u e c o n l a s o l a alteración d e u n d a t o c a m b i a c o m p l e t a m e n t e la m o d a , p o r t a n t o , s e d i c e q u e ésta e s s u m a m e n t e s e n s i b l e .


L a m o d a también p r e s e n t a l o s s i g u i e n t e s d o s p r o b l e m a s :

¿Cuándo s e c o n s i d e r a 1 . L a m o d a p u e d e n o e x i s t i r . P o r e j e m p l o , s e t i e n e n l a s s i g u i e n t e s s e r i e s d e d a t o s : a u n c o n j u n t o d e d a t o s a m o d a l ?

6 , 7, 3 4 , 4 , 8 6 , 3 , 8 , 9 , 3 , 8 , 6 y 9

E n a m b a s s e r i e s d e d a t o s l a f r e c u e n c i a e s l a m i s m a , e s d e c i r , n o t i e n e n m o d a . A l o s c o n j u n t o s d e d a t o s c o m o l o s a n t e r i o r e s s e l e s l l a m a amodales o s i n moda.

2 . L a m o d a p u e d e n o s e r única. P o r e j e m p l o , s e t i e n e l a s i g u i e n t e s e r i e d e d a t o s

6 , 7 , 9 , 4 , 8 , 6 , 6 , 8 , 9 , 6 , 8 , 6 , 9 , 3 , 9 y 9

E n e s t a s e r i e están l o s v a l o r e s 6 y 9 c o m o l o s d e m a y o r f r e c u e n c i a , a m b o s s e r e p i t e n c i n c o v e c e s . A l c o n j u n t o d e d a t o s q u e t i e n e más d e u n a m o d a s e l e l l a m a muitimodaí; b i m o d a i s i s o n d o s m o d a s , y t r i m o d a ! s i s o n t r e s , etcétera.

1.5.4 O t r o s v a l o r e s m e d i o s

Y a s e h a n a n a l i z a d o l o s t r e s v a l o r e s c e n t r a l e s más c o n o c i d o s y u t i l i z a d o s e n l a estadística d e s c r i p t i v a . E l p r i m e r o d e e l l o s f u e e l d e f i n i d o e n l a sección 1 . 5 . 1 c o m o u n a m e d i a aritmética, s i n e m b a r g o , e x i s t e n d i s t r i b u c i o n e s d e d a t o s p a r a l a s c u a l e s e s t a m e d i d a n o e s m u y p r o p i c i a , p o r l o q u e se d e f i n e n y u t i l i z a n o t r o t i p o d e m e d i d a s c e n t r a l e s , l a m e d i a n a y l a m o d a . A continuación s e verán o t r o s t i p o s d e p r o m e d i o s q u e s o n d e u t i l i d a d e n l a estadística d e s c r i p t i v a .

V a l o r geométrico o m e d i a geométrica

L a m e d i a geométrica d e l o s d a t o s x . , x , , . . ., x ^ s e s i m b o l i z a p o r M G y está d e f i n i d a c o m o l a raíz n-ésima d e l p r o d u c t o d e l a s n m e d i c i o n e s .

M G = ^ x j - x 2 ••••x„

E j e m p l o 7 S e c a l c u l a l a m e d i a geométrica d e 2 0 c a l i f i c a c i o n e s d e exámenes psicológicos

5 8 9 9 8 1 0 9 5 1 0 5

6 5 1 0 1 0 8 9 7 9 5 9

M G = ^ 5 x 8 x 9 x 9 x 8 x 1 0 x 9 x 5 x 1 0 x 5 x 6 x 5 x 1 0 x 1 0 x 8 x 9 x 7 x 9 x 5 x 9 - = 7 . 5 4 4 6 8 6 8

¿Cuándo s e c o n s i d e r a u n c o n j u n t o d e d a t o s m u l t i m o d a l ?

Observación r

D e l a definición d e m e d i a geométrica sej d e d u c e q u e ésta n o s e p u e d e a p l i c a r c u a n d o algún d a t o vale cero o l a c a n t i d a d d e d a t o s e s p a r y e x i s t e u n a c a n t i d a d i m p a r n e g a t i v a .

U N I D A D 1 • E S T A D Í S T I C A D E S C R I P T I V A 2 9

V a l o r m e d i o armónico o m e d i a armónica

L a media armónica d e l o s d a t o s x„ x ' , , . . ., x ^ s e s i m b o l i z a p o r M A y está d e f i n i d a c o m o e l r e c i p r o c o d e l a m e d i a aritmética d e l o s recíprocos.

M A = • - 1 n

1 1 1 — + — + ••• + — x , x 2 x„

1 1 1 — + — + • • • + — X i x 2 x n

L a p r i n c i p a l aplicación d e ésta e s p r o m e d i a r l a s v a r i a c i o n e s r e s p e c t o d e l t i e m p o , e s d e c i r , c u a n d o l a m i s m a distancia se recorre a diferentes tiempos.

E j e m p l o 8 S i se v i a j a d e u n a c i u d a d a o t r a r e c o r r i e n d o l o s p r i m e r o s 1 0 0 k m a 8 J L k i n p h , l o s s i g u i e n t e s l O O k m a I Q Q J c m p h y f i n a l m e n t e o t r o s 1 0 0 k m a 1 2 0 J c m r j h , s e c a l c u l a l a v e l o c i d a d m e d i a u t i l i z a n d o l a m e d i a armónica y se c o m p a r a c o n l a s m e d i a s aritmética y geométrica.

M A : 1

_ L J _ 1

8 0 1 0 0 1 2 0

= 9 7 . 2 9 7 3

1 3 0 0 x = - r 8 0 + 1 0 0 + 1 2 0 1 = = 1 0 0

3 3

M G = ^ 8 0 x 1 0 0 x 1 2 0 = 9 8 . 6 4 8 5

Observación P a r a t o m a r l a decisión d e qué m e d i a p a r e c e l a más c o r r e c t a , s e c a l c u l a l a v e l o c i d a d p r o m e d i o

V e l o c i d a d p r o m e d i o :

d i s t a n c i a t o t a l r e c o r r i d a

t i e m p o t o t a l

L a d i s t a n c i a t o t a l r e c o r r i d a e s i g u a l a 1 0 0 + 1 0 0 + 1 0 0 = 3 0 0 k m .

h l t i e m p o t o t a l d e r e c o r r i d o e s H + = 3 . 0 8 3 3 h . y 8 0 1 0 0 1 2 0

A h o r a s e c o m p a r a c o n l a d i s t a n c i a t o t a l r e a l r e c o r r i d a l a s d i s t a n c i a s q u e recorrería e l automóvil c o n c a d a u n a d e l a s v e l o c i d a d e s p r o m e d i o c a l c u l a d a s

M e d i a aritmética: 3 . 0 8 3 3 x 1 0 0 = 3 0 8 . 3 3 k m M e d i a geométrica: 3 . 0 8 3 3 x 9 8 . 6 4 8 5 = 3 0 4 . 1 6 6 k m M e d i a armónica: 3 . 0 8 3 3 x 9 7 . 2 9 7 3 = 3 0 0 k m

(Nótese q u e e l m e j o r r e s u l t a d o s e o b t i e n e c o n l a m e d i a armónica).


V a l o r m e d i o p o n d e r a d o o m e d i a p o n d e r a d a

P a r a l o s c a s o s e n q u e c a d a d a t o t i e n e u n a i m p o r t a n c i a r e ! a t i i > a e n s u distribución - l a c u a l s e d e n o m i n a peso-, l a m e d i a c o r r e s p o n d i e n t e más a p r o p i a d a s e o b t i e n e s u m a n d o l o s p r o d u c t o s d e c a d a d a t o p o r s u p e s o , l l a m a n d o a d i c h a m e d i d a m e d i a ponderada.

Definición 1.12 ; . < • < * . • * * En un conjunto de datos X j , x . , , . . ., x se ¡lama pesos o ponderaciones respectivas de estos datos a las cantidades w^, wlr . ., w que cumplen

a) w¡ 6 [ 0 , 1 ] , para todo valor de i

b) w + w. + . . . + w = 1 '

L a media p o n d e r a d a d e l c o n j u n t o d e d a t o s x., x . , , . . ., x ^ , c o n p e s o s r e s p e c t i v o s t V j , wlt. . ., wn, s e s i m b o l i z a p o r M P y s e c a l c u l a c o n l a s i g u i e n t e fórmula:

M P = £ w i x ¡

E j e m p l o 9 S e c a l c u l a ! a calificación p r o m e d i o d e u n e s t u d i a n t e . L a calificación está p o n d e r a d a d e l a s i g u i e n t e f o r m a : 1 0 % - t a r e a s , 4 0 % d e l p r i m e r e x a m e n b i m e s t r a l y 5 0 % d e l e x a m e n f i n a l . L a s c a l i f i c a c i o n e s d e l e s t u d i a n t e s o n ft, 9 y 4 , r e s p e c t i v a m e n t e .

L a calificación está p o n d e r a d a , p o r t a n t o

M P = 0 . 1 x 8 + 0 . 4 x 9 + 0 . 5 x 4 = 6 . 4

N o t a E n e l c a s o d e p o b l a c i o n e s , l o s parámetros c o r r e s p o n d i e n t e s s e c a l c u l a n c o n l a s m i s m a s f o r m u l a s c a m b i a n d o n p o r N .

A l a n a l i z a r u n c o n j u n t o d e d a t o s s u r g e u n a d u d a : ¿tener l a s m e d i d a s c e n t r a l e s e s s u f i c i e n t e p a r a c o n o c e r s u distribución? Después d e e s t u d i a r l a s i g u i e n t e sección e s t o quedará c l a r o .

E j e r c i c i o 1

1 . C a l c u l a l a m e d i a , m e d i a n a y m o d a d e l s i g u i e n t e c o n j u n t o d e d a t o s

1 4 5 1 5 0 1 6 5 1 5 5 1 5 5 1 4 5 1 5 0

1 4 0 1 4 5 1 5 0 1 6 0 1 7 5 1 5 0 1 6 0

2 . C a l c u l a l a m e d i a y m e d i a n a d e l o s t i e m p o s d e l l e g a d a d e s e i s a v i o n e s q u e a t e r r i z a n e n u n a e r o p u e r t o . L o s t i e m p o s ( e n m i n u t o s ) s o n

3 . 5 4 . 2 2 . 9 3 . 8 4 . 0 g ¿


3 . C a l c u l a l a m e d i a geométrica d e l c o n j u n t o d e d a t o s d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r . 4 . C a l c u l a l a m e d i a armónica d e l v i a j e r e d o n d o q u e r e a l i z a u n c h o f e r d e u n a línea d e

c a m i o n e s c u y a f u t a e s d e 5 2 0 k m . s i d e i d a l o recorrió p o r u n a a u t o p i s t a a 1 0 1 k m p h y d e r e g r e s o p o r o t r a a v e l o c i d a d p r o m e d i o d e 7 5 k m p h .

5 . E n u n a m u e s t r a d e 1 0 0 p i s t o n e s s e encontró q u e 5 5 tenían u n diámetro i n t e r n o d e 1 0 . 5 c m , 2 5 d e 1Ü.0 y e l r e s t a n t e d e 1 0 . 7 5 . U t i l i z a l a s f r e c u e n c i a s r e l a t i v a s d e l o s p i s t o n e s p a r a c a l c u l a r l a m e d i a p o n d e r a d a d e s u diámetro i n t e r n o .

1.6 M e d i d a s d e dispersión

P a r a u n análisis más c o m p l e t o d e l a distribución d e l o s d a t o s , e l e s t u d i o d e s u s m e d i d a s c e n t r a l e s n o e s s u f i c i e n t e , p u e s t o q u e e n d i f e r e n t e s c o n j u n t o s d e d a t o s p u e d e h a b e r m e d i d a s c e n t r a l e s i g u a l e s , p o r t a n t o , n o s e tendría c o n o c i m i e n t o d e l a f o r m a d e s u distribución.

P o r e j e m p l o , s e t i e n e n d o s c o n j u n t o d e d a t o s , u n o c o n t i e n e l o s v a l o r e s 2 0 , 1 2 , 1 5 , 1 6 , 1 3 y 1 4 , y e l s e g u n d o 5 , 0 , 5 0 , 1 7 , 8 y 1 0 ; s e c a l c u l a s u m e d i a .

C o m o s e p u e d e v e r i f i c a r e n a m b o s c a s o s s e o b t i e n e 1 5 . P e r o s i s e r e p r e s e n t a n l o s v a l o r e s e n u n a r e c t a , e s n o t a b l e q u e l a s o b s e r v a c i o n e s d e l s e g u n d o c o n j u n t o t i e n e n u n a distribución (variación) m u c h o m a y o r .

Distribución d e l o s d a t o s d e l p r i m e r c o n j u n t o

1 1 1' f t T t ' t 1 1 1 1 1 1L 1 L 1 1 1 W 0 5 10 15 2 0 2 5 30 3 5 4 0 4 5 5 0 55

r - , - ~ - T — - - - - - - - - - - - - - . — \ 1 i i J 1 i 1 1 1 1 1 1 \ ' \ r

Distribución d e l o s d a t o s d e l s e g u n d o c o n j u n t o

P o r t a n t o , e s n e c e s a r i o r e a l i z a r u n e s t u d i o d e l a distribución d e l o s d a t o s c o n r e s p e c t o a s u v a l o r c e n t r a l , e s d e c i r , s e n e c e s i t a u n v a l o r q u e i n d i q u e u n a m e d i d a p a r a c o m p a r a r l a s d i s p e r s i o n e s d e d a t o s e n t r e d i f e r e n t e s c o n j u n t o s ; e s t a s m e d i d a s s o n valores de dispersión o variabilidad d e l c o n j u n t o d e d a t o s .

1.6.1 R a n g o

E s e l p r i m e r v a l o r q u e n o s m u e s t r a cómo están d i s t t i b u i d o s ( d i s p e r s o s ) l o s d a t o s . E l r a n g o d e ¡as o b s e r v a c i o n e s está s i m b o l i z a d o p o r r p a r a l a m u e s t r a y R p a r a l a población. E l r a n g o e s u n a m e d i d a d e variación d e l o s d a t o s q u e l o único q u e m u e s t r a e s e l tamaño o l o n g i t u d d e l i n t e r v a l o e n e l q u e l o s d a t o s s e e n c u e n t r a n d i s t r i b u i d o s y e s :

Definición 1.13 El r a n g o es igual a el valor mayor menos el valor menor de los datos.


P o r e j e m p l o , p a r a l o s d a t o s muéstrales d e l o s d o s c o n j u n t o s d e d a t o s a n t e r i o r e s

• e n e l p r i m e r c o n j u n t o s u r a n g o v a l e r ~ 2 0 - 1 2 " 8 , e s d e c i r , l o s d a t o s d e éste c o n j u n t o están d i s t r i b u i d o s a l o l a r g o d e u n i n t e r v a l o d e l o n g i t u d 8

• e n e l s e g u n d o c o n j u n t o s u r a n g o v a l e , r 7 = 5 0 - 0 = 5 0 , e s d e c i r , l o s d a t o s d e e s t e c o n j u n t o están d i s t r i b u i d o s a l o l a r g o d e u n i n t e r v a l o d e l o n g i t u d 5 0

L o s e l e m e n t o s d e l s e g u n d o c o n j u n t o t i e n e n u n a separación m a y o r e n t r e e l l o s , p e r o e l r e s u l t a d o n o m u e s t r a e l c o m p o r t a m i e n t o d e l o s d a t o s c o n r e s p e c t o a s u m e d i a .

1.6.2 V a r i a n z a y desviación estándar

O t r a m e d i d a d e dispersión d e l o s d a t o s q u e está r e l a c i o n a d a d i r e c t a m e n t e c o n l a m e d i a d e l c o n j u n t o e s l a v a r i a n z a .

Definición 1.14 S e llama varianza de un conjunto d e d a t o s al p r o m e d i o de los cuadrados de las desviaciones de cada uno de tos datos con respecto a su valor medio.

S i s e t i e n e n n d a t o s muéstrales, x . , x 7 ) . . ., x ^ c o n v a l o r m e d i o i g u a l a x , l o s c u a d r a d o s d e l a s d e s v i a c i o n e s d e c a d a u n o d e l o s d a t o s c o n r e s p e c t o a s u v a l o r m e d i o serán ( x , - x ) z , ( x 2 - x ) 2 , etcétera.

A l i g u a l q u e e n l o s v a l o r e s m e d i o s , l a v a r i a n z a p u e d e d e f i n i r s e c o n r e s p e c t o a l a m u e s t r a o a l a población.

+ R e s p e c t o a la m u e s t r a

Definición 1.15 L a varianza muestral o estadístico v a r i a n z a del conjunto de datos x ] ( x . , , . . . , x ^ , s e representa por s , y se define como el valor medio de los cuadrados de las desviaciones de cada uno de los datos con respecto a x , y s e calcula

s 2 = I ¿ ( x , - x f n i = 1

S o b r e l a detinición a n t e r i o r p o d e m o s d e c i r q u e d e n o t a l a intención d e u n a m e d i d a v a r i a c i o n a l d e u n c o n j u n t o d e d a t o s , sólo q u e más a d e l a n t e ( u n i d a d e s 9 y 1 0 ) s e verá q u e e s c o n v e n i e n t e d e f i n i r e l estadístico v a r i a n z a d i v i d i e n d o e n t r e n - 1 e n l u g a r d e n . P a r a d i s t i n g u i r l a s , se l e s a s i g n a n n o m b r e s d i f e r e n t e s , l o s c u a l e s s e justificarán h a s t a l a u n i d a d 9 , c u a n d o s e a n a l i c e e l t e m a " E s t i m a d o r e s p u n t u a l e s " . M i e n t r a s t a n t o s e d e f i n e

1 -La varianza s e s g a d a como s

l — _ ^ ( x . — 3 c ) 2


P e r o , ¿por qué d o s d e f i n i c i o n e s d i f e r e n t e s e n l u g a r d e u n a ? P o r q u e l a v a r i a n z a s e s g a d a refleja perfectamente el significado de una m e d i d a de dispersión y p o r c o n s i g u i e n t e t i e n e u n a g r a n aplicación e n e l e s t u d i o d e l a s p r o b a b i l i d a d e s . M i e n t r a s q u e l a v a r i a n z a i n s e s g a d a , e s más p r o p i c i a p a r a l o s cálculos estadísticos y s e e m p l e a g e n e r a l m e n t e p a r a l a s m u e s t r a s .

R e s p e c t o a l a población D e f o r m a s i m i l a r p a r a p o b l a c i o n e s finitas s e d e f i n e e l parámetro varianza poblacional, e l c u a l está r e p r e s e n t a d o p o r o * 2 .

D a d o e l c o n j u n t o d e d a t o s p o b l a c i o n a l e s x . , x , , . . ., x ^ , c o n v a l o r m e d i o / / , s e d e f i n e - la varianza poblacional

1 N

Varianza p o b l a c i o n a l t j 1 = — > ( x - — u ) 2

L a v a r i a n z a s e c a l c u l a c o n l o s c u a d r a d o s d e l a s d e s v i a c i o n e s y , p o r t a n t o , n o está e n l a s m i s m a s u n i d a d e s q u e l o s d a t o s . P o r c o n s i g u i e n t e , s e i n t r o d u c e u n a n u e v a m e d i d a d e dispersión d e l a s i g u i e n t e f o r m a :

Definición 1.16 S e llama desviación estándar de un conjunto de datos a la raíz cuadrada positiva de la varianza, es decir

E j e m p l o 1 0 S e c a l c u l a l a v a r i a n z a i n s e s g a d a y l a desviación estándar d e c a d a u n o d e l o s d o s c o n j u n t o s d e l a sección 1 . 6 :

P r i m e r c o n j u n t o : 2 0 , 1 2 , 1 5 , 1 6 , 1 3 y 1 4 . A n t e r i o r m e n t e s e encontró q u e x = 1 5 .

1 -f l - 1 = — : X ( * ¡ - 7 "

= — r ( 2 0 - 1 5 ) 2 + ( 1 2 - 1 5 ) 2 + ( 1 5 - 1 5 ) 2 + ( 1 6 - 1 5 ) 2 + " ( 1 3 - 1 5 ) 2 + ( 1 4 - 1 5 ) 2 ] 6 — 1 L - l

= i [ 2 5 + 9 + 0 + l + 4 + l ] = 8

L a desviación estándar e s s , = -Js ~ 2 . 8 2 8 4 -

E n l a s u n i d a d e s 5 y 7 s e p r e s e n t a u n a definición más g e n e r a l , l a c u a l se p u e d e a p l i c a r t a n t o a p o b l a c i o n e s f i n i t a s c o m o i n f i n i t a s .


S e g u n d o c o n j u n t o : 5 , 0 , 5 0 , 1 7 , 8 y 1 0 . A n t e r i o r m e n t e s e encontró q u e x = 1 5 .

1 ! s n - i = : X ( x i _ 7 ) 2 =

n - 1 . - l

= — [ ( 5 - 1 5 ) 2 + ( 0 - 1 5 ) 2 + ( 5 0 - 1 5 ) 2 + U 7 - 1 5 ) 2 + ( 8 - 1 5 ) 2 + ( 1 0 - 1 5 ) 2 ] 6 — 1 -1

= ^ [ 1 0 0 + 2 2 5 + 1 2 2 5 + 4 + 4 9 + 2 5 ] = 3 2 5 . 6

L a desviación estándar e s s , = - J M 5 . 6 m 1 8 . 0 4 4 4 • n — l

Cálculo d e las v a r i a n z a s

P a r a l o s cálculos s e a c o s t u m b r a e m p l e a r o t r a representación e q u i v a l e n t e a l a d e v a r i a n z a , d e t e r m i n a d a p o r l a s s i g u i e n t e s fórmulas:

1 3 Varianza s e s g a d a = — / > " [ x f — x ^ 1

n ¡ = l

2 n —2 Varianza i n s e s g a d a s n | = > x¡ x t

E j e m p l o 11 S e c a l c u l a l a v a r i a n z a i n s e s g a d a p a r a l o s c o n j u n t o s d e d a t o s d e l e j e m p l o 1 0 , e m p l e a n d o l a s últimas fórmulas p a r a l a v a r i a n z a , y s e v e r i f i c a q u e c o i n c i d a n l o s r e s u l t a d o s .

P r i m e r conjunto» 2 0 , 1 2 , 1 5 , 1 6 , 1 3 y 1 4 .

5 2 _ , = — Y * 2 - — x 2 = - U 2 0 2 + 1 2 2 + 1 5 2 + 1 6 2 + 1 3 2 + 1 4 2 1 - — ( 1 5 ) 2

n - l . t " , n - 1 6 - l L J 6 - 1

= ^ [ 4 0 0 + 1 4 4 + 2 2 5 + 2 5 6 + 1 6 9 + 1 9 6 ] - | x 2 2 5 = 2 7 8 - 2 7 0 = 8

S e g n d o c o n j u n t o : 5 , 0 , 5 0 , 1 7 , 8 y 1 0 .

5 2 _ , = — Y x 2 - — í 2 = — Í 5 2 + 0 2 + 5 0 2 + 1 7 2 + 8 2 + 1 0 2 1 - — ( 1 5 ) 2

n - l | = 1 n - 1 6 - l L - I 6 - 1

= - ^ [ 2 5 + 0 + 2 5 0 0 + 2 8 9 + 6 4 + 1 0 0 ] - | x 2 2 5 = 5 9 5 . 6 - 2 7 0 = 3 2 5 . 6

E n l o s cálculos a n t e r i o r e s s e o b s e r v a q u e e n a m b o s c a s o s c o i n c i d e n l o s r e s u l t a d o s c o n l o s d e l e j e m p l o 1 0 .


E j e r c i c i o 2

1 . C a l c u l a e l r a n g o y l a v a r i a n z a i n s e s g a d a d e l s i g u i e n t e c o n j u n t o d e d a t o s :

1 4 5 1 5 0 1 6 5 1 5 5 1 5 5 1 4 5 1 5 0

1 4 0 1 4 5 1 5 0 1 6 0 1 7 5 1 5 0 1 6 0

2 . C a l c u l a l a desviación estándar d e l o s t i e m p o s d e l l e g a d a d e o c h o a v i o n e s q u e a t e r r i z a n e n u n a e r o p u e r t o . L o s t i e m p o s e n m i n u t o s s o n 3 . 5 , 4 . 2 , 2 . 9 , 3 . 8 , 4 . 0 y 2 . 8 .

3 . E n l o s e n v a s e s d e l e c h e , l a c a n t i d a d d e líquido n o e s s i e m p r e u n l i t r o , p o r l o q u e s e t o m a u n a m u e s t r a d e d i e z e n v a s e s , y s e o b t i e n e n l o s s i g u i e n t e s v a l o r e s :

0 . 9 5 1 . 0 1 0 . 9 7 0 . 9 5 1 . 0 0 . 9 7 0 . 9 5 1 . 0 1 0 . 9 5 0 . 9 8 -

C a l c u l a l a v a r i a n z a .

1.7 C l a s e s d e f r e c u e n c i a

H a s t a a h o r a se h a t r a b a j a d o sólo c o n m u e s t r a s o p o b l a c i o n e s m e n o r e s d e 3 0 e l e m e n t o s , c u y o s cálculos n o h a n s i d o t a n l a b o r i o s o s ; p e r o qué p a s a c u a n d o l a c a n t i d a d d e d a t o s e s c o n s i d e r a b l e o éstos p r o v i e n e n d e m e d i c i o n e s q u e h a g a n más l a b o r i o s o e l cálculo d e s u s m e d i d a s c e n t r a l e s o d e variación. Además d e l o a n t e r i o r , p u e d e s e r q u e sólo n e c e s i t e m o s u n r e s u m e n más c o m p a c t o d e l c o n j u n t o d e d a t o s o i n c l u s o t e n e r u n a representación gráfica d e l c o m p o r t a m i e n t o d e s u distribución, p o r l o q u e s i e n d o u n c o n j u n t o c o n g r a n c a n t i d a d d e d a t o s ( p o r e j e m p l o , 2 0 0 ) v i s u a l i z a r l o s t o d o s , p a r a p o d e r e s t u d i a r s u distribución, n o e s f a c t i b l e , p o r c o n s i g u i e n t e , e s n e c e s a r i o e m p l e a r a l g u n a o t r a e s t r a t e g i a d e análisis.

¿Qué e s u n i n t e r v a l o d e f r e c u e n c i a s E l p r o b l e m a m e n c i o n a d o s e p u e d e r e s o l v e r fácilmente d i s t r i b u y e n d o l o s d a t o s p o r y qué c o n d i c i o n e s d e b e c u m p l i r ? j - j • i 1 j i j i -• • •. ' 1 r m e d i o d e i n t e r v a l o s , l o q u e d a o r i g e n a l a s i g u i e n t e definición:

Definición 1.17 Dado un conjunto de datos, se llama I n t e r v a l o s de clase o c l a s e s de f r e c u e n c i a o simplemente c l a s e s a los intervalos que por parejas son ajenos o disjuntos y contienen todos los datos del conjunto.

U n a p a r e j a d e i n t e r v a l o s s o n d i s j u n t o s s i n o t i e n e n e l e m e n t o s e n común. C o n r e s p e c t o a l a c a n t i d a d d e i n t e r v a l o s d e c l a s e , s e p i d e q u e n o s e a u n a c a n t i d a d e x c e s i v a o i n s u f i c i e n t e . N o e x i s t e u n a r e g l a d e t e r m i n a n t e p a r a o b t e n e r l a c a n t i d a d d e i n t e r v a l o s c u a n d o se t i e n e n n d a t o s . A l g u n o s e s p e c i a l i s t a s e n estadística e m p i c a n e l e n t e r o más c e r c a n o a l a raíz d e n , o t r o s e l e n t e r o más c e r c a n o a l o g ( n ) , o b i e n l a l l a m a d a r e g l a d e S t u r g e s , e n l a c u a l s e t o m a c o m o e l tamaño d e l a m u e s t r a e l e n t e r o más c e r c a n o a 3 . 3 l o g n + 1 c o n n c a n t i d a d d e d a t o s c o r r e s p o n d i e n t e s a l a s o b s e r v a c i o n e s . P a r a e f e c t o s d e e s t e l i b r o , s e empleará u n a c a n t i d a d d e i n t e r v a l o s q u e , d e p e n d i e n d o d e l v a l o r d e n , s e e n c u e n t r e e n t r e c i n c o y v e i n t e .

N o t a C o n r e s p e c t o a l o s i n t e r v a l o s d e c l a s e , n o e s u n r e q u i s i t o q u e s e a n d e i g u a l l o n g i t u d , s i n e m b a r g o , aquí habrá restricción a c l a s e s d e i g u a l l o n g i t u d .


1.7.1 Construcción d e c l a s e s d e f r e c u e n c i a

P a r a l a construcción d e l o s i n t e r v a l o s d e c l a s e o c l a s e s d e f r e c u e n c i a e x i s t e n d i f e r e n t e s técnicas, a l i g u a l q u e e n l a elección d e l a c a n t i d a d d e c l a s e s n o e x i s t e u n método d e t e r m i n a n t e o u n a fórmula g e n e r a l . L o único q u e d e b e r e s p e t a r s e e s :

• u n m i s m o d a t o n o d e b e d e p e r t e n e c e r a d o s i n t e r v a l o s d i f e r e n t e s • t o d o s l o s d a t o s d e b e n d e e s t a r d i s t r i b u i d o s e n l o s i n t e r v a l o s f o r m a d o s

Aquí s e construirán l o s i n t e r v a l o s d e c l a s e d e u n c o n j u n t o d e d a t o s ( x j , x „ . . . , x j , d e a c u e r d o c o n l o s s i g u i e n t e s p u n t o s :

1 . S e c a l c u l a e l r a n g o d e l c o n j u n t o d e d a t o s . 2 . S e d i v i d e e l r a n g o e n t r e l a c a n t i d a d d e c l a s e s o i n t e r v a l o s q u e q u e r e m o s t e n e r

y e l v a l o r c a l c u l a d o será l a l o n g i t u d d e c a d a u n a d e éstas e n l a s q u e s e distribuirán l o s d a t o s .

3 . P a r a f o r m a r l a s c l a s e s o i n t e r v a l o s se c o n s i d e r a n c e r r a d o s l o s e x t r e m o s i z q u i e r d o s d e l o s i n t e r v a l o s y l o s d e r e c h o s s e c o n s i d e r a n a b i e r t o s , t o m a n d o a l a última cíase e n a m b o s e x t r e m o s c e r r a d a .

E j e m p l o 12 D a d o u n c o n j u n t o d e d a t o s d o n d e e l v a l o r más pequeño e s 5 y e l más g r a n d e 7 5 . C o n s t r u y e d i e z i n t e r v a l o s d e c l a s e p a r a d i c h o c o n j u n t o d e d a t o s .

E l r a n g o d e l c o n j u n t o e s : r = 7 5 - 5 = 7 0 . C o m o q u e r e m o s t e n e r d i e z i n t e r v a l o s d e c l a s e d i v i d i m o s e l r a n g o 7 0 e n t r e d i e z y o b t e n e m o s s i e t e . E s t e v a l o r será l a l o n g i t u d d e c a d a u n a d e l a s clases de frecuencia. P o r t a n t o , l a s d i e z c l a s e s s o n

[ 5 , 1 2 ) , [ 1 2 , 1 9 ) , [ 1 9 , 2 6 ) , [ 2 6 , 3 3 ) , [ 3 3 , 4 0 ) , [ 4 0 , 4 7 ) , [ 4 7 , 5 4 ) , [ 5 4 , 6 1 ) , [ 6 1 , 6 8 ) , [ 6 8 , 7 5 ]

Recuérdese q u e u n i n t e r v a l o d e l a f o r m a ( 2 6 , 3 3 ) i n d i c a q u e s e c o n s i d e r a n t o d o s l o s v a l o r e s q u e están e n t r e 2 6 y 3 3 , i n c l u y e n d o e l 2 6 y e x c l u y e n d o e l 3 3 .

1.7.2 F r e c u e n c i a s r e l a t i v a s

D a d o u n c o n j u n t o d e d a t o s , ¿qué s o n l a s f r e c u e n c i a s d e c l a s e ?

E m p l e a m o s l a construcción d e l o s i n t e r v a l o s d e c l a s e p a r a e s t u d i a r d e f o r m a s i m p l i f i c a d a l a distribución d e l o s d a t o s , p o r t a n t o , después d e c o n s t r u i r l o s i n t e r v a l o s d e c l a s e , c o n t a m o s l a c a n t i d a d d e d a t o s q u e c a e n e n c a d a u n o . A d i c h a c a n t i d a d s e l e l l a m a frecuencia de la clase o frecuencia de clase o frecuencia absoluta y s e s i m b o l i z a p o r d o n d e i r e p r e s e n t a e l número d e l a c l a s e y

Definición 1.18

I / , i = i

S e llama frecuencia r e l a t i v a de una clase i al cociente de la cantidad de datos que se encuentran en ésta con respecto del total de datos en el conjunto y se simboliza por

i A n

donde n representa la cantidad total de datos.


E j e m p l o 13 S e c o n s i d e r a n l a s c a l i f i c a c i o n e s ( c o n e s c a l a d e c e r o a 1 0 0 ) d e 8 0 e s t u d i a n t e s e n l a m a t e r i a física e x p e r i m e n t a l , s e d i s t r i b u y e n e n s i e t e clases de frecuencias y s e c a l c u l a n l a s f r e c u e n c i a s relativas d e l a s c l a s e s :

3 0 J 8 8 6 8 100 3 0 86 3 6 7 6 9 8 9 0 3 0 6 7 8 9 7 8 9 9 9 1

L o p r i m e r o e s c o n s t r u i r l a s s i e t e c l a s e s d e f r e c u e n c i a , e n c o n t r a n d o e l v a l o r más g r a n d e 1 0 0 y e l más pequeño 3 0 , p o r t a n t o , e l r a n g o v a l e r = 1 0 0 - 3 0 = 7 0 .

C o m o se p i d e n s i e t e c l a s e s d e f r e c u e n c i a s , s e d i v i d e 7 0 e n t r e s i e t e y e l r e s u l t a d o e s d i e z . E s d e c i r , l a l o n g i t u d d e l a s c l a s e s d e f r e c u e n c i a será d e d i e z u n i d a d e s .

E l p r i m e r i n t e r v a l o e s [ 3 0 , 4 0 ) , e s d e c i r , t o d o s l o s d a t o s q u e s e a n m a y o r e s o i g u a l e s a 3 0 p e r o m e n o r e s a 4 0 ; l o s d a t o s s o n 3 0 , 3 8 , 3 0 , 3 0 , 3 0 , 3 5 , 3 6 y 3 0 , o c h o e n t o t a l .

E s t e p r o c e s o d e c o n t e o s e continúa h a s t a l l e g a r a l a última c l a s e . A l r e a l i z a r e l c o n t e o d e e l e m e n t o s p o r c l a s e s e r e c o m i e n d a q u e l o s d a t o s c o n t a d o s

s e m a r q u e n p a r a e v i t a r u n a equivocación. P o r e j e m p l o , después d e l p r i m e r c o n t e o l a t a b l a q u e d a d e l a s i g u i e n t e f o r m a

X 8 8 9 6 100 ( 4 5 X 7 8 8 9 68 88 6 8 ' 100 100 6 8 6 9 7 9 9 8 94 X 4 6

X 8 6 8 5 89 94 9 9 100 , 4 5 X X X 76 7 8 81 8 0 4 0 67 5 8 89 58

9 8 90 100 100 6 8 70 8 3 8 5 6 8 56

X 67 7 8 98 100 8 6 69 79 52 4 5 8 9 78 6 5 60 6 9 76 78 7 7 89 9 8 9 9 9 1 100 48 6 8 84 67 6 9 46 7 9

F i n a l m e n t e , s e c a l c u l a n l a s f r e c u e n c i a s r e l a t i v a s p o r c l a s e , d i v i d i e n d o l a s f r e c u e n c i a s e n t r e l a c a n t i d a d t o t a l d e d a t o s , e n e s t e c a s o 8 0 , y s e o b t i e n e

T a b l a 1.1 C l a s e i

I n t e r v a l o i

C o n t e o F r e c u e n c i a

fi

F r e c u e n c i a r e l a t i v a

1 (30, 40 ) 3 0 , 3 8 , 30 , 30 , 30, 35 , 36 , 3 C f 8 8 80 = 0 . 1 0 0 0

2 [40 , 50) 45 , 4 6 , 4 5 , 4 0 , 45 , 4 6 , 4 8 7 8 o = 0 .0875

3 [50 , 60) 58 , 58 , 56, 5 2 4 4 ¿o = 0 . 0 5 0 0

4 [60 , 70 ) 68, 68 , 68 , 69, 67, 68 , 68 , 67 ,

69, 6 5 . 60 , 69, 68 , 6 7 , 6 9 15 Í = 0 . 1 8 7 5

5 [70 , 80) 78, 79 , 76 , 78 , 70, 78 , 79 , 78, 76 , 78 , 77 , 7 9 12

12 ¿o = 0 . 1 5 0 0

6 [80 , 90) 8 8 , 8 9 , 8 8 , 8 6 , 8 5 , 8 9 , 8 1 , 8 0 ,

89, 83 , 85 , 86 , 89 , 89 , 84 15 15 ¿ 0 = 0 . 1 8 7 5

7 [90 , 100] 96, 100, 1 0 0 , 1 0 0 , 9 8 , 9 4 , 94 , 99, 100, 9 8 , 9 0 , 1 0 0 , 1 0 0 , 9 8 ,

100, 9 8 , 9 9 , 9 1 , 100 19 f o = 0 .2375

T o t a l 8 0 1

9 6 100 4 5 3 8 7 8 8 9 6 8 8 8 100 6 8 6 9 7 9 9 8 9 4 3 0 4 6

8 5 8 9 94 9 9 100 4 5 3 0 3 5 7 8 8 1 8 0 4 0 6 7 5 8 8 9 5 8

100 100 6 8 7 0 8 3 8 5 6 8 5 6 7 8 9 8 100 86 69. 7 9 5 2 4 5 6 5 6 0 6 9 76 7 8 7 7 8 9 9 8

100 4 8 6 8 8 4 67 6 9 4 6 7 9

3 c 5 - \ oo „ 7 o

( O


Definición 1.19

T a n t o e n estadística c o m o e n p r o b a b i l i d a d t i e n e u n interés p a r t i c u l a r l a acumulación d e f r e c u e n c i a s , p o r l o q u e s e d e f i n e n d o s n u e v a s m e d i d a s e n l a s c l a s e s d e f r e c u e n c i a : f r e c u e n c i a acumulada y l a f r e c u e n c i a r e l a t i v a acumulada.

Se llama frecuencia a c u m u l a d a a la función que representa la suma de las frecuencias por clase, y se simboliza por F..

Definición 1.20 Se llama frecuencia r e l a t i v a a c u m u l a d a a la función que representa la suma de las frecuencias relativas por clase y se simboliza por F .

Cálculo d e l as f r e c u e n c i a s a c u m u l a d a s

D a d o u n c o n j u n t o c o n n d a t o s , s e d i v i d e e n m i n t e r v a l o s d e c l a s e c o n f r e c u e n c i a s /]> /->» • • •> fmt t a l e s q u e / + / - + . . . + / - n ( c a n t i d a d t o t a l d e d a t o s ) .

B a j o e s t a s c o n d i c i o n e s l a f r e c u e n c i a a c u m u l a d a está d a d a p o r

¡ = 1

M i e n t r a s q u e p a r a e l c a s o d e l a f r e c u e n c i a r e l a t i v a a c u m u l a d a , l a s f r e c u e n c i a s r e l a t i v a s p o r c l a s e s o n

L L L . n n n

se c u m p l e — + — + — h — = 1 y , p o r t a n t o , s e t i e n e n n n

F r e c u e n c i a r e l a t i v a a c u m u l a d a de una clase i es el cociente de la frecuencia acumulada de clase i entre la cantidad total de datos n, es decir

D e b i d o a q u e e n l a s f r e c u e n c i a s p o r c l a s e n o e s d e interés e l v a l o r d e c a d a e l e m e n t o s i n o sólo la cantidad d e e s t o s e n l a c l a s e , s e a c o s t u m b r a r e a l i z a r e l c o n t e o p o r m e d i o d e l a s b a r r a s c o m o a n t i g u a m e n t e s e l l e v a b a a c a b o ; e s d e c i r , se p o n e u n a b a r r a v e r t i c a l p o r e l e m e n t o c o n t a d o y c a d a v e z q u e se l l e g a a c u a t r o b a r r a s l a q u i n t a s e c o l o c a e n d i a g o n a l . P o r e j e m p l o , p a r a c o n t a r o c h o e l e m e n t o s :

m n i

U N I D A D 1 • L - S T A D Í S T I C A D E S C R I P T I V A 3 9

(

C o n e s t a f o r m a d e c o n t e o s e p u e d e c o n s t r u i r , a p a r t i r d e l a t a b l a 1 . 1 , u n a t a b l a s i m i l a r q u e c o n t e n g a l a s f r e c u e n c i a s a c u m u l a d a s

T a b l a 1.2 C l a s e

i

I n t e r v a l o

i

C o n t e o F r e c u e n c i a

h

F r e c u e n c i a a c u m u l a d a



a c u m u l a d a

1 [30, 40 ) m n i

8 8 8 8 0 = 0.1000

8 8 o = 0 .1000

2 [40, 50) I H l i r "

7 8 + 7 = 15 8^5 = 0 .0875 15 ¿o = 0 . 1 8 7 5

3 [50, 60) m i 4 1 5 + 4 = 19 4

8 5 = 0.0500 19 8 0 • ° - 2 375

4 [60, 70) m m i m 15 19 + 15 = 3 4 15

¿O = 0 . 1 8 7 5 3 4 8 0 = 0-4250

5 [70, 80) m i m i i

12 3 4 + 12 = 4 6 12 ¿o = 0 . 1 5 0 0

4 6 8 o = 0 .5750

6 [80, 90) m m i ÍHl

15 4 6 + 15 = 6 1 g§ = 0 . 1 8 7 5 6 1 " 8 0 = 0 - 7 6 2 5

7 [90, 100] m i m i m m i

19 6 1 + 19 = 8 0 o 0 = ° - 2 3 7 5 8 0 _ 1

Definición 1.21

1.7.3 M e d i a , m e d i a n a y m o d a e n c l a s e s d e f r e c u e n c i a

A l i g u a l q u e se realizó c o n u n c o n j u n t o d e d a t o s d e l c u a l s e o b t u v i e r o n s u s m e d i d a s c e n t r a l e s y d e desviación, éstas s e p u e d e n o b t e n e r p a r a l a s c l a s e s d e f r e c u e n c i a e m p l e a n d o l o s p u n t o s m e d i o s d e l a s c l a s e s y s u s f r e c u e n c i a s d e c l a s e .

S e a k el número de clases, x el punto medio de la i-ésima clase y f. la frecuencia de la i-ésima clase, entonces el valor de la media aritmética se calcula con la fórmula

k

n

O t r o v a l o r p r o m e d i o i m p o r t a n t e e s l a m e d i a n a ( M d ) , q u e d i v i d e l a distribución e n d o s áreas i g u a l e s ; numéricamente s e c o m p a r a c o n l a m e d i a aritmética x .

S e p u e d e o b t e n e r e l cálculo d e l a m e d i a n a c o n l a s i g u i e n t e fórmula:

M¿ = L + 1

donde

. L = límite inferior de clase mediana l = longitud del intervalo de clase mediana n — = mitad de las observaciones 2

C = frecuencia acumulada anterior a la clase mediana f = frecuencia del intervalo de clase mediana


L a c l a s e m e d i a n a e s e l i n t e r v a l o q u e i n c l u y e l a m i t a d d e l a s o b s e r v a c i o n e s ; e s p o s i b l e d e f i n i r l a a l c a l c u l a r l a f r e c u e n c i a a c u m u l a d a F .

E j e m p l o 1 4 C o n l o s d a t o s d e l e j e m p l o 1 3 , s e c a l c u l a l a m e d i a n a M¿.

Solución E l i n t e r v a l o d e c l a s e m e d i a n a e s [ 7 0 , 8 0 ) , y a q u e F ; = 4 6 i n c l u y e a l a m i t a d d e l a s o b s e r v a c i o n e s n / 2 - 8 0 / 2 = 4 0 ; i = 8 0 - 7 0 - 1 0 .

M¿=L + l 2 /

= y o + \o¡^iy 7 0 + l o ( j j ) = 7 0 + 5 = 7 5

E l v a l o r p r o m e d i o m o d a ( M o ) , q u e s e comparará c o n l o s v a l o r e s numéricos d e l a m e d i a aritmética x y l a m e d i a n a Md, s e c a l c u l a c o n l a fórmula:

donde

L = limite Inferior de la clase r l = longitud del Intervalo de dase modal d j = diferencia en frecuencia del intervalo de clase mo

con el anterior d , = diferencia en frecuencia del intervalo de clase modal

con el posterior

L a c l a s e m o d a l e s e l i n t e r v a l o q u e t i e n e e n s u f r e c u e n c i a e l número m a y o r .

E j e m p l o 15

Solución

C o n l o s d a t o s d e l e j e m p l o 1 3 , s e c a l c u l a e l v a l o r p r o m e d i o m o d a ( M o ) .

E l i n t e r v a l o d e c l a s e m o d a l e s [ 9 0 , 1 0 0 J y a q u e l a m a y o r f r e c u e n c i a está e n F 7 = 1 9 c o n L = 9 0 , í = 1 0 , d , = 1 9 - 1 5 - 4 y d , = 1 9 - 0 = 1 9 .

M = L + ! : 9 0 + 1 0 — — I = 9 0 + ÍOÍ — I = 9 0 + 1 C X . 1 7 3 9 ) = 9 0 + 1 . 7 3 9 19 + 4) {23;

: 9 1 . 7 4 = 9 2

Definición 1.22

1.7.4 V a r i a n z a e n c l a s e s d e f r e c u e n c i a

D e f o r m a s i m i l a r a l a m e d i a d e c l a s e s d e f r e c u e n c i a s e p u e d e n d e f i n i r l a s v a r i a n z a s s e s g a d a e i n s e s g a d a d e l a s c l a s e s d e f r e c u e n c i a .

SI f. y x son la frecuencia y el punto medio déla i-ésima clase, respectivamente, y n es la suma;

de las frecuencias, entonces la v a r i a n z a s e s g a d a s2 se calcula con la fórmula

1 '

U N I D A D 1 • E S T A D Í S T I C A D E S C R I P T I V A ÍV4|

Definición 1.23

L a desviación estándar por clases de frecuencia seguirá s i e n d o l a raíz c u a d r a d a p o s i t i v a d e l a v a r i a n z a c o r r e s p o n d i e n t e .

N o t a L a m e d i a y v a r i a n z a p o r c l a s e s d e f r e c u e n c i a g e n e r a l m e n t e s e e m p l e a n p a r a o b s e r v a r l a distribución d e d a t o s muéstrales, p e r o e n c a s o d e q u e r e r d e f i n i r e s t a s m e d i d a s p a r a d a t o s p o b l a c i o n a l e s se r e a l i z a d e f o r m a s i m i l a r , s u s t i t u y e n d o l a n p o r N , x por/í y s p o r o~, c o m o s e h i z o e n l a s s e c c i o n e s 1 . 5 y 1 . 6 .

E j e m p l o 1 6 S e c a l c u l a l a v a r i a n z a s e s g a d a d e l a s c l a s e s d e f r e c u e n c i a c o n l o s d a t o s d e l e j e m p l o 1 3 . P a r a r e a l i z a r l o s cálculos más fácilmente s e utilizará l a t a b l a 1 . 2 , t a n sólo i n t r o

d u c i e n d o a l g u n a s c o l u m n a s :


i I n t e r v a l o

i

P u n t o m e d i o

x ¡

fl F r e c u e n c i a r e l a t i v a

X¡ - X ( x i - 7 ) 2 / ¡ ( x ¡ - 7 ) 2

1 [30, 40) 3 5 8 2 8 0 0 .1000 - 3 7 1 3 6 9 10 952

2 [40, 50) 4 5 7 3 1 5 0 .0875 - 2 7 7 2 9 5 103

3 [50, 60) 5 5 4 220 0 .0500 - 1 7 2 8 9 1 156

4 [60, 70) 6 5 15 975 0 .1875 - 7 4 9 735

5 [70, 80) 7 5 12 9 0 0 0 .1500 + 3 9 108

6 [80, 90) 8 5 15 1 2 7 5 0 .1875 + 1 3 169 2 535

7 [90, 100] 9 5 19 1 805 0 .2375 + 2 3 5 2 9 10 051

T o t a l 8 0 5 770 1.0000 30 640

L a s u m a d e l a q u i n t a c o l u m n a d i v i d i d a e n t r e 8 0 c o r r e s p o n d e a l v a l o r p r o m e d i o d e l a m e d i a aritmética.

7 = ^ = 7 2 . 1 2 5 , 7 2 8 0

P o r l a definición d e v a r i a n z a s e s g a d a s e t i e n e

s 2 = — ( 3 0 6 4 0 ) = 3 8 2 . 9 8 4 • 3 8 3 8 0

M i e n t r a s q u e l a desviación estándar c o r r e s p o n d i e n t e e s

5 = 7 7 = 7 3 8 3 = 1 9 . 5 7


E j e r c i c i o 3

1 . E n l a s i g u i e n t e t a b l a s e d a n l o s t i e m p o s d e l l e g a d a e n m i n u t o s d e 6 0 a v i o n e s a u n a e r o p u e r t o .

2.6 3.9 4 .5 4.0 3 .7 3 .2 5.7 4 .3 3 .8 3.6

4 .7 6 .1 6.0 5.0 4 . 5 6 .2 3.4 2 .9 3.6 4 . 1

2 .5 2.8 3.2 3.1 4 . 6 5 .2 6 .1 4 .5 4 . 1 3.8

7.2 3.4 7.9 3.6 3 .6 4 .8 5.2 6.3 8.2 5 .3

3 .9 4.6 4 .5 5.7 4 . 8 6 .9 6 .3 2.6 2.5 6 .8

8 .0 5.6 3.9 4.6 4 . 8 5 .9 6.2 3.2 4 .5 5.0

a) d i s t r i b u y e l o s d a t o s e n c i n c o c l a s e s d e f r e c u e n c i a b) c a l c u l a s u m e d i a y v a r i a n z a s e s g a d a p o r m e d i o d e l a s c l a s e s a n t e r i o r e s

U n a máquina d e s p a c h a d o r a d e r e f r e s c o s d e u n c e n t r o c o m e r c i a l p a r e c e e s t a r t a l l a n d o , p u e s t o q u e e l e n c a r g a d o h a r e c i b i d o v a r i a s q u e j a s e n l a última s e m a n a ; él d e c i d e r e g i s t r a r l a c a n t i d a d d e c o n t e n i d o e n 4 0 v a s o s d e s p a c h a d o s p o r d i c h a máquina y d i v i d i r l o s e n t r e s c l a s e s d e i g u a l l o n g i t u d , s i 7 0 % o más d e l o s r e f r e s c o s d e s p a c h a d o s s e e n c u e n t r a e n l a c l a s e m e d i a , e l e n c a r g a d o seguirá t r a b a j a n d o c o n l a máquina, e n c a s o c o n t r a r i o l a mandará r e p a r a r . L o s v a l o r e s ( e n m i l i l i t r o s ) m e d i d o s s o n :

245.6 236 .9 240 .7 235 .9 2 4 7 . 8 246 .5 230 .8 250 .6 248 .0 247 .4

238 .6 240 .0 246 .9 258 .9 2 4 5 . 6 248 .5 246 .8 245 .6 247 .8 256 .0

243 .0 243 .3 240 .6 250 .2 2 4 9 . 6 243.8 246 .9 247 .8 243 .0 246 .4

230 .5 228 .9 2 3 5 . 7 248.9 248 .9 245 .7 240 .8 246.8 246 .2 250 .0

a) d i v i d e l o s v a l o r e s e n t r e s c l a s e s d e f r e c u e n c i a d e i g u a l l o n g i t u d , c a l c u l a s u s f r e c u e n c i a s r e l a t i v a s e i n d i c a s i e l e n c a r g a d o tendrá q u e r e p a r a r l a máquina o n o

b) c a l c u l a l a c a n t i d a d d e líquido p r o m e d i o q u e d e s p a c h a l a máquina, e m p l e a n d o l a s c l a s e s d e f r e c u e n c i a d e l i n c i s o a n t e r i o r

3 . S i e n e l e j e r c i c i o a n t e r i o r , además d e l a consideración d e l p o r c e n t a j e , s e t o m a e n c u e n t a l a desviación estándar d e l a s c l a s e s d e f r e c u e n c i a , p o r m e d i o d e l c r i t e r i o " l a máquina s e reparará e n c a s o d e q u e l a desviación estándar s e a m a y o r a s e i s " , d e t e r m i n a s i e l f a b r i c a n t e , según l o s d a t o s o b s e r v a d o s , tendrá q u e r e p a r a r l a máquina.

4 . S e estudió e l t i e m p o d e v i d a d e 9 0 p e r s o n a s c o n S I D A y s e anotó s u duración e n m e s e s , y s e o b t u v o

34.0 28 .5 18.0 34.9 25 .8 16.9 15.8 19.0 11.5 25 .9 38 .9 34 .0 16.8 27 .8 26 .5

24 .6 22.8 16.8 39.0 42 .0 48 .0 34 .8 33 .0 23 .9 27 .5 35 .8 36.9 26 .7 26 .8 34 .7

35 .9 25 .8 24 .8 45 .8 18.9 35.8 35 .8 46 .9 36.8 35 .9 52 .0 33 .6 24 .8 25 .9 2 6 . 8

26.8 29.4 37.8 35 .9 10.8 25 .8 35 .8 26 .8 25 .7 26 .9 27 .9 38.5 35.8 30.2 28 .6

33.1 34 .7 45 .9 56.8 45 .8 25 .8 50 .2 42 .9 46 .8 48 .9 47 .5 48 .2 42 .5 40 .8 27 .9

24 .8 46 .8 40 .7 18.9 22 .0 29 .5 31 .9 48 .2 34.8 47 .2 27 .0 39 .8 45 .8 40 .4 38 .2

O r d e n a e n d i e z c l a s e s d e f r e c u e n c i a y c a l c u l a l a m e d i a y v a r i a n z a d e l o s d a t o s .


1.8 Gráficas

L a s gráficas a l a s q u e s e h a c e r e f e r e n c i a e n estadística d e s c r i p t i v a d e b e n m o s t r a r l a distribución d e l a s f r e c u e n c i a s o f r e c u e n c i a s a c u m u l a d a s d e l c o n j u n t o d e d a t o s , c o n l o c u a l s e podrá e n t e n d e r e i n t e r p r e t a r fácilmente s u c o m p o r t a m i e n t o .

P o r t a n t o , e s n e c e s a r i o i n t r o d u c i r u n n u e v o método gráfico p a r a l a interpretación d e d a t o s , e n t r e l o s gráficos más c o m u n e s están

• d i a g r a m a d e b a r r a s • polígono d e f r e c u e n c i a s • d i a g r a m a c i r c u l a r o d e p a s t e l

1.8.1 D i a g r a m a d e b a r r a s

Definición 1.24

U n o d e l o s gráficos q u e más s e e m p l e a n p a r a r e p r e s e n t a r u n c o n j u n t o d e d a t o s e s e l diagrama de barras, d o n d e s e g r a f i c a n u n a s e r i e d e rectángulos s o b r e u n s i s t e m a d e r e f e r e n c i a . C u a n d o s e c o n s t r u y e n l o s rectángulos c o n s u s b a s e s s o b r e c a d a u n o d e l o s i n t e r v a l o s d e c l a s e y c o n s u s a l t u r a s l a s f r e c u e n c i a s c o r r e s p o n d i e n t e s d e c l a s e , e l gráfico s e l l a m a histograma.

Un h i s t o g r a m a es un graneo de barras utilizado para representar la forma en que están distribuidas las frecuencias; permite identificar el centro y la variabilidad de los datos.

L a construcción d e h i s t o g r a m a s c o m i e n z a prácticamente i g u a l q u e e n l a s c l a s e s d e f r e c u e n c i a :

1 . S e c o n s t r u y e n l o s i n t e r v a l o s d e c l a s e . 2 . S e e n c u e n t r a e l p u n t o m e d i o d e c a d a i n t e r v a l o d e c l a s e . 3 . E n e l p l a n o c a r t e s i a n o , e n e l e j e d e l a s a b s c i s a s , s e distribuirán l o s p u n t o s

m e d i o s d e l a s c l a s e s d e f r e c u e n c i a , m i e n t r a s q u e e n e l e j e d e l a s o r d e n a d a s s e distribuirán l a s f r e c u e n c i a s d e l o s d a t o s . F i n a l m e n t e , s e c o n s t r u y e e l h i s t o g r a m a g r a t i c a n d o u n a b a r r a p o r c a d a c l a s e , y c u y o c e n t r o será e l p u n t o m e d i o d e ésta, d e t a l m a n e r a q u e l a a l t u r a d e l a b a r r a e s l a f r e c u e n c i a o f r e c u e n c i a r e l a t i v a y l a b a s e d e l o s rectángulos está d e f i n i d a p o r l o s límites d e c a d a c l a s e .

P a r a f a c i l i t a r l a construcción d e u n h i s t o g r a m a e s r e c o m e n d a b l e e i n p i e a r sólo i n t e r v a l o s d e c l a s e d e i g u a l l o n g i t u d , y a q u e e n d a d o c a s o l a s f r e c u e n c i a s d e l a s c l a s e s s e g r a f i c a n d e m a n e r a p r o p o r c i o n a l a l a s a l t u r a s d e l o s rectángulos y además e s m u c h o más fácil c o m p a r a r l a s d i f e r e n c i a s e n t r e f r e c u e n c i a s c u a n d o l o s rectángulos t i e n e n l a m i s m a b a s e .

E j e m p l o 17 S e c o n s t r u y e u n h i s t o g r a m a p a r a l a s c l a s e s d e f r e c u e n c i a y l a f r e c u e n c i a a c u m u l a d a d e l e j e m p l o 1 3 .


E m p l e a n d o l a t a b l a 1 . 2 :


i

I n t e r v a l o

i

P u n t o m e d i o

" i

F r e c u e n c i a

fi

F r e c u e n c i a a c u m u l a d a



a c u m u l a d a

1 [30, 40 ) 3 5 8 8 0 .1000 0 .1000

2 [40 , 50) 4 5 7 15 0 .0875 0 .1875

3 [50 , 60) 5 5 4 19 0 .0500 0 .2375

4 [60, 70) 6 5 15 34 0 .1875 0 .4250

5 [70 , 80) 7 5 12 4 6 0 .1500 . 0 .5750

6 [80, 90) 8 5 15 6 1 0 .1875 0 .7625

7 [90, 100] 9 5 19 8 0 0 .2375 1 .0000

F i g u r a 1.1 a) histogramas para las clases

de frecuencia y b) histogramas para las frecuencias acumuladas.

S e g r a f i c a n l o s p u n t o s m e d i o s d e l o s i n t e r v a l o s ( t e r c e r a c o l u m n a ) y s e t r a z a n l o s rectángulos c o n s u s b a s e s i g u a l e s a l a l o n g i t u d d e l a c l a s e y c o n l a s a l t u r a s c o r r e s p o n d i e n t e s a s u f r e c u e n c i a , c o m o s e m u e s t r a e n l a s s i g u i e n t e s f i g u r a s :

/

1 9

15 1 2 +

8 7 4 +

- + - - + - - t - — I 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 5 1 0 5

a)

F ( x )

80-

6 1 -

4 6 -3 4 -

1 9 -1 5 -

8 -0 - f - - t -

2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 5 1 0 5

N o t a P a r a l a s f r e c u e n c i a s r e l a t i v a s e l h i s t o g r a m a e s e l m i s m o , sólo s e d i v i d e c a d a f r e c u e n c i a e n t r e e l t o t a l d e d a t o s .

M o d e l o s d e distribución d e d a t o s

L o s h i s t o g r a m a s n o sólo n o s a y u d a n a u b i c a r e l c e n t r o y v i s u a l i z a r l a v a r i a b i l i d a d d e l o s d a t o s , s i n o también l a f o r m a e n q u e s e d i s t r i b u y e n ; p o r t a n t o , l o s p o d e m o s c l a s i f i c a r e n

• simétricos • s e s g a d o s h a c i a l a i z q u i e r d a o l a d e r e c h a • m u l t i m o d a l e s


H i s t o g r a m a s simétricos

P r e s e n t a n l a distribución e n f o r m a d e c a m p a n a , e s d e c i r , l a m i t a d i z q u i e r d a e s u n a i m a g e n r e f l e j a d a d e l a m i t a d d e r e c h a . C o m o m u e s t r a l a f i g u r a 1 . 2 a , s e c u m p l e x • M , • M .

H i s t o g r a m a s s e s g a d o s

¿En u n a distribución d e d a t o s qué s i g n i f i c a s e s g o ? ¿Qué f o r m a t i e n e n

l o s h i s t o g r a m a s s e s g a d o s ?

P r e s e n t a n u n a distribución e n l a q u e a l g u n a d e l a s c o l a s está más a l a r g a d a e n comparación c o n l a o t r a . S e l l a m a n sesgados a la derecha o p o s i t i v a m e n t e s e s g a d o s s i l a c o l a d e r e c h a e s l a q u e está más a l a r g a d a . C o m o l o m u e s t r a l a f i g u r a 1 .2f>, s e c u m p l e M o < Md

< x . S e l e s l l a m a sesgados a la izquierda o n e g a t i v a m e n t e c u a n d o l a c o l a i z q u i e r d a e s l a más a l a r g a d a . C o m o l o m u e s t r a l a f i g u r a 1 . 2 c , s e c u m p l e x < M¿ < Mo.

H i s t o g r a m a s m u l t i m o d a l e s

T i e n e n e n s u distribución más d e u n p i c o ( v e r f i g u r a 1 . 2 d ) . E n c a s o d e d o s p i c o s b i m o d a i , e n c a s o d e t r e s , trimodaí etcétera.

F i g u r a 1.2 Histogramas para las clases de frecuencia

a) simétrico; b) sesgado a la derecha; c) sesgado a la izquierda,

y d) multimodal (bimodai).

H - 4 4 1 - 4 4 4 ra. H

a) b)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

c)

1 1 1 1 1 1 I 1 1 I 1 1 I 1 1 I I I I I 1 1 1 1 1

d)

E j e m p l o 18 R e t o m a n d o l o s d a t o s d e l e j e m p l o 1 3 y c o m p a r a n d o l o s v a l o r e s p r o m e d i o c a l c u l a d o s x = 7 2 , M = 7 5 , M = 9 2 , e l m o d e l o a s o c i a d o c o n l a s 8 0 c a l i f i c a c i o n e s d e física

' d ' o e x p e r i m e n t a l e s s e s g a d o a l a i z q u i e r d a .


1.8.2 Polígono d e f r e c u e n c i a s

E n c i e r t a s áreas d e e s t u d i o s e r e q u i e r e q u e l a s r e p r e s e n t a c i o n e s gráficas d e l a distribución d e l a s f r e c u e n c i a s d e d a t o s s e a n h e c h a s p o r líneas e n l u g a r d e b a r r a s . P o r e j e m p l o , a l r e a l i z a r u n e s t u d i o s o b r e l o s pronósticos d e algún e v e n t o s e v i s u a l i z a m e j o r l a distribución d e s u s f r e c u e n c i a s y s u s t e n d e n c i a s s i s e u n e n s u s p u n t o s m e d i o s c o n s e g m e n t o s rectilíneos e n l u g a r d e t r a z a r b a r r a s .

Definición 1.25 Un polígono de f r e c u e n c i a s es un gráfico de linea que representa las frecuencias de los datos, uniendo por lineas los puntos medios de cada intervalo, donde x es el punto medio de clase i y f. su frecuencia. Debido a su forma también se le suele llamar gráfico p o l i g o n a l .

Construcción d e u n gráfico p o l i g o n a l

1 . S e c r e a n l o s i n t e r v a l o s d e c l a s e . 2 . S e e n c u e n t r a e l p u n t o m e d i o d e c a d a i n t e r v a l o d e c l a s e . 3 . E n e l p l a n o c a r t e s i a n o , e n e l e j e d e l a s a b s c i s a s , s e distribuirán l o s p u n t o s

m e d i o s d e l a s c l a s e s d e f r e c u e n c i a , m i e n t r a s q u e e n e l e j e d e l a s o r d e n a d a s s e distribuirán l a s f r e c u e n c i a s d e l o s d a t o s . F i n a l m e n t e , s e c o n s t r u y e e l gráfico p o l i g o n a l u n i e n d o l o s p u n t o s o b t e n i d o s .

E j e m p l o 19 S e c o n s t r u y e u n polígono d e f r e c u e n c i a s p a r a l a s c l a s e s d e l e j e m p l o 1 3 . P o r m e d i o d e l a t a b l a 1 . 4 , s i s e g r a f i c a n l o s p u n t o s o b t e n i d o s d e l a t e r c e r a y l a c u a r t a c o l u m n a s :

F i g u r a 1.3 / Polígono d e f r e c u e n c i a s .

1 9 - -

15 ••

1 2 - -

8 •• 7 •• 4

0 ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 5 4 5 55 6 5 7 5 8 5 95

L o s polígonos d e f r e c u e n c i a s e e m p l e a n f r e c u e n t e m e n t e e n e l e s t u d i o d e l a s s e r i e s de t i e m p o , p u e s e s común q u e r e r c o n o c e r l a t e n d e n c i a d e l a distribución d e l o s d a t o s c o n r e s p e c t o a l t i e m p o . Además, e n c i e r t a s s i t u a c i o n e s , c u a n d o s e q u i e r e n c o m p a r a r l a s d i s t r i b u c i o n e s d e d o s o más c o n j u n t o s d e d a t o s , e s m e j o r h a c e r l o p o r m e d i o d e l o s polígonos d e f r e c u e n c i a s q u e m e d i a n t e l a s b a r r a s , p u e s t o q u e l o s p r i m e r o s s e p u e d e n s o b r e p o n e r y r e a l i z a r u n a observación m u c h o m e j o r , l o q u e n o e s a p l i c a b l e c o n l o s h i s t o g r a m a s .


Definición 1.26 A los polígonos de frecuencia que se elaboran con las frecuencias acumuladas o las frecuencias relativas acumuladas se les llama ojivas.

1.8.3 D i a g r a m a c i r c u l a r o d e p a s t e l

¿En qué c a s o s g r a n e a m o s d a t o s c o n l o s d i a g r a m a s c i r c u l a r e s ?

O t r o t i p o d e representación gráfica d e l a distribución d e d a t o s m u y e m p l e a d o , c u a n d o s e q u i e r e n i l u s t r a r l a s p r o p o r c i o n e s d e l o s d a t o s d e t a l f o r m a q u e l l a m e n l a atención, s o n l o s diagramas circulares.

Definición 1.28 Un diagrama circular es un gráfico que divide en sectores un circulo, los cuales representan las frecuencias relativas del conjunto de datos. Por su foona también se le suele llamar diagrama d e p a s tel.

Construcción d e u n d i a g r a m a c i r cu la r

1 . S e c r e a n l o s i n t e r v a l o s d e c l a s e . 2 . S e c a l c u l a n l a s f r e c u e n c i a s r e l a t i v a s p o r c l a s e . 3 . A p a r t i r d e l c e n t r o d e u n círculo s e t r a z a n s e c t o r e s p r o p o r c i o n a l e s a l área q u e

r e p r e s e n t e n l a f r e c u e n c i a r e l a t i v a p o r c l a s e .

E j e m p l o 2 1 S e c o n s t r u y e u n d i a g r a m a c i r c u l a r q u e r e p r e s e n t e l a distribución p o r c l a s e s d e f r e c u e n c i a s r e l a t i v a s p a r a l a s e s t a t u r a s ( e n centímetros) d e l a s i g u i e n t e m u e s t r a d e 5 0 p e r s o n a s .

173.5 171.4 178 .2 165.7 180.0 174.6 176.0 168.5 180 .1 165.9

169.0 175.4 176 .5 164.0 167.5 158.7 168.0 172.8 172.5 173.2

170.5 180.5 178 .0 184.3 178.5 172.0 174.5 173.0 176 .3 186.4

167.5 165.7 165 .0 178.0 177.5 181.0 179.5 174.6 173 .2 172.9

170.5 181.3 160 .6 168.5 170.0 171.0 176.5 178.9 180.0 169.0


C o m o s o n 5 0 d a t o s y s e v a n a d i s t r i b u i r e n s i e t e c l a s e s , p r i m e r o s e c a l c u l a e l r a n g o d e l c o n j u n t o r = 1 8 6 . 4 - 1 5 8 . 4 = 2 8

S e q u i e r e n o b t e n e r s i e t e c iases , p o r t a n t o , se d i v i d e e l r a n g o 2 8 e n t r e s i e t e y e l r e s u l t a d o e s c u a t r o . E s t e v a l o r será l a l o n g i t u d d e c a d a u n a d e l a s clases de frecuencia. E s d e c i r

1 1 5 8 . 4 , 1 6 2 . 4 ) , [ 1 6 2 . 4 , 1 6 6 . 4 ) , [ 1 6 6 . 4 , 1 7 0 . 4 ) , [ 1 7 0 . 4 , 1 7 4 . 4 ) , [ 1 7 4 . 4 , 1 7 8 . 4 ) , [ 1 7 8 . 4 , 1 8 2 . 4 ) , [ 1 8 2 . 4 , 1 8 6 . 4 )

P a r a o b t e n e r e l área q u e r e p r e s e n t a l a f r e c u e n c i a r e l a t i v a e n e l d i g r a m a c i r c u l a r , s e m u l t i p l i c a l a f r e c u e n c i a r e l a t i v a p o r 360°.


i

I n t e r v a l o

i C o n t e o

F r e c u e n c i a

ft F r e c u e n c i a

r e l a t i v a

1 [158.4,162.4) II 2 0.04

2 [162.4, 166.4) m t 5 0.10

3 [166.4,170.4) n u n i 8 0.16

4 [170.4, 174.4) IW 1HI II 12 0.24

5 [174.4,178.4) ÍKl IHl II 12 0.24

6 [178.4,182.4) m l i l i 9 0.18

7 [182.4, 186.4) II 2 0.04

F i g u r a 1.5 a ) d i a g r a m a c i r c u l a r o d e p a s t e l

d e l e j e m p l o 2 1 e n s u f o r m a p l a n a ; b) representación t r i d i m e n s i o n a l .

2 4 % 2 4 % " " ^ V ^

16% \ 4 % 1 8 % /

10% 4 % 4 % 1 8 % /

a ) b)

C o n e l a v a n c e d e l a informática y l a creación d e s o f t w a r e , h a n a u m e n t a d o l a s r e p r e s e n t a c i o n e s gráficas p a r a l a s d i s t r i b u c i o n e s d e l o s d a t o s ; e n e s t a u n i d a d sólo s e h a n i l u s t r a d o a l g u n a s d e e l l a s . A continuación s e m e n c i o n a n o t r o s t i p o s d e d i a g r a m a s :

• a n i l l o s • s u p e r f i c i e s • c o t i z a c i o n e s • c i l i n d r i c a s • cónicas • p i r a m i d a l e s

T o d a s éstas s e p u e d e n e n c o n t r a r e n s o f t w a r e estadístico p a r a c o m p u t a d o r a .


E j e r c i c i o 4

1 . C o n l o s d a t o s d e l e j e r c i c i o 3 , n u m e r a l 1 , t r a z a l o s gráficos d e b a r r a s y p o l i g o n a l p a r a l a s f r e c u e n c i a s señaladas.

2 . C o n l o s d a t o s d e l e j e r c i c i o 3 , n u m e r a l 2 , c o n s t r u y e u n d i a g r a m a d e p a s t e l q u e r e p r e s e n t e l a s p r o p o r c i o n e s m e n c i o n a d a s .

E j e r c i c i o s p r o p u e s t o s 1 . C a l c u l a l a m e d i a , m e d i a n a , m o d a y v a r i a n z a i n s e s g a d a d e l s i g u i e n t e c o n j u n t o d e d a t o s

1 8 1 9 1 8 1 6 1 1 1 0 2 6 1 8

2 0 2 2 2 4 1 9 1 8 1 1 1 6 2 0

2 . C a l c u l a l a s f r e c u e n c i a s r e l a t i v a s d e l o s d a t o s d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r . 3 . C a l c u l a l a m e d i a geométrica d e l c o n j u n t o d e d a t o s d e l e j e r c i c i o 1 . 4 . C a l c u l a l a m e d i a geométrica d e l a s e d a d e s ( e n años) d e o c h o p e r s o n a s : 2 0 , 2 3 , 2 4 ,

2 2 , 1 9 , 2 2 , 2 5 y 2 7 . 5 . C a l c u l a l a m e d i a armónica d e l v i a j e r e d o n d o q u e realizó u n a p e r s o n a d e México a

Querétaro ( 2 1 0 k m ) , s i d e i d a l o recorrió a u n a v e l o c i d a d d e 1 3 0 k m p h y d e r e g r e s o a 1 1 0 k m p h .

6 . S i u n a p e r s o n a viajó 4 0 0 k m e n c u a t r o t r a m o s d e 1 0 0 k m c a d a u n o , c o n v e l o c i d a d e s d e 1 0 0 , 1 3 0 , 9 0 y 1 1 0 k m p h , r e s p e c t i v a m e n t e , c a l c u l a c o n b a s e e n l a m e d i a armónica l a v e l o c i d a d m e d i a c o n l a q u e realizó e l v i a j e .

7 . L o s s i g u i e n t e s d a t o s m u e s t r a n l o s diámetros i n t e r n o s e n centímetros d e 2 0 p i s t o n e s , c a l c u l a s u diámetro i n t e r n o m e d i o y s u desviación estándar.

1 2 . 1 1 1 . 9 1 2 . 2 1 1 . 7 1 1 . 9 1 2 . 4 1 2 . 1 1 2 . 0 1 1 . 6 1 1 . 9

1 3 . 0 1 2 . 8 1 1 . 8 1 2 . 4 1 2 . 3 1 1 . 9 1 2 . 2 1 1 . 9 1 2 . 1 1 2 . 2

8 . C i e r t o s f a b r i c a n t e s d e l l a n t a s q u i e r e n s a b e r l a duración p r o m e d i o d e s u p r o d u c t o según e l u s o d e d i f e r e n t e s c o n d u c t o r e s , p a r a l o c u a l s e t o m a u n a m u e s t r a a l e a t o r i a d e 1 0 0 d e s u s c o m p r a d o r e s , l o s c u a l e s r e p o r t a r o n l a duración d e s u s l l a n t a s e n m i l e s d e kilómetros

5 5 . 3 5 9 . 5 6 0 . 0 4 8 . 6 5 9 . 1 6 3 . 5 5 6 . 3 5 5 . 0 5 3 . 7 5 2 . 8

5 0 . 5 5 6 . 7 6 0 . 8 6 7 . 6 6 8 . 0 6 4 . 4 5 8 . 0 4 9 . 9 6 5 . 4 4 7 . 9

4 5 . 2 6 8 . 1 5 6 . 5 5 0 . 5 5 1 . 2 5 5 . 9 6 1 . 8 7 3 . 0 6 5 . 3 6 0 . 0

5 6 . 6 5 7 . 3 4 9 . 9 6 9 . 5 5 0 . 2 5 2 . 1 5 6 . 7 5 6 . 2 5 2 . 9 5 5 . 0

4 9 . 8 5 1 . 4 5 6 8 6 0 . 1 5 6 . 7 5 5 . 9 5 5 ? 6 5 . 0 5 4 . 8 5 0 . 2

5 6 . 7 6 7 . 0 5 8 . 8 5 7 . 9 4 9 . 9 5 0 . 6 5 8 . 6 5 4 . 8 5 3 . 8 5 2 . 0

5 2 . 8 5 1 . 9 6 1 . 0 6 2 . 5 6 4 . 2 6 7 . 1 5 9 . 9 5 8 . 1 5 6 . 7 5 4 . 0

5 6 . 3 5 3 . 9 5 2 . 0 5 2 . 9 5 1 . 9 5 6 . 0 5 8 . 1 5 2 . 0 5 7 . 0 5 6 . 1

4 9 . 9 6 1 . 0 6 2 . 5 5 1 . 8 5 0 . 1 5 0 . 8 6 0 . 2 5 7 . 8 5 3 . 2 5 1 . 8

6 0 . 1 6 0 . 9 5 6 . 8 4 8 . 0 5 8 . 9 5 7 . 6 5 9 . 7 6 0 . 7 6 3 . 6 6 5 . 3

C o n e s t o s d a t o s , c a l c u l a l a duración p r o m e d i o d e l a s l l a n t a s y s u v a r i a n z a i n s e s g a d a , d i v i d i e n d o e l c o n j u n t o d e d a t o s e n d i e z c l a s e s d e f r e c u e n c i a s .

5 0 E S T A D Í S T I C A Y P R O B A B I L I D A D

9 . C o n b a s e e n l o s d a t o s d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r t r a z a u n h i s t o g r a m a p a r a l a s c l a s e s d e f r e c u e n c i a s e n c o n t r a d a s .

1 0 . H a c i e n d o u s o d e l a s fórmulas r e s p e c t i v a s , e n c u e n t r a l a m e d i a n a y l a m o d a d e l a duración d e l a s l l a n t a s d e l e j e r c i c i o 8 y compáralas c o n l a m e d i a e n c o n t r a d a . O b t e n también e l t i p o d e m o d e l o a s o c i a d o .

^ 1 1 . E n l a s i g u i e n t e t a b l a s e m u e s t r a n l o s e r r o r e s tipográficos p o r página q u e c o m e t e u n a s e c r e t a r i a e n 1 0 0 páginas.

0 2 3 2 1 5 2 1 6 3

1 5 6 2 3 2 2 2 4 5

5 3 2 6 7 1 3 7 2 3

4 4 5 8 1 3 4 7 3 8

10 0 5 3 2 * 4 4 6 7 8

9 2 4 6 2 3 4 7 6 4

5 4 6 7 7 2 1 3 8 2

4 5 6 2 7 2 5 5 1 8

3 4 7 8 2 8 1 3 4 4

3 5 6 2 4 2 6 8 1 7

a) d i v i d e a l o s d a t o s e n o c h o c l a s e s d e f r e c u e n c i a y c a l c u l a l a m e d i a p o r c l a s e s b) c a l c u l a l a v a r i a n z a d e c l a s e

1 2 . T r a z a u n h i s t o g r a m a d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r . 1 3 . L a s i g u i e n t e l i s t a m u e s t r a l a s c a l i f i c a c i o n e s d e l o s a l u m n o s d e d o s g r u p o s d e 3 0

a l u m n o s , c a d a u n o . D e t e r m i n a l a calificación p r o m e d i o p o r g r u p o , s u v a r i a n z a i n s e s g a d a y qué g r u p o t i e n e c a l i t i c a c i o n e s más homogéneas.

8 8 3 5 1 0 9 4 7 1 3

G r u p o 1 8 9 7 7 7 2 3 8 8 9

7 8 4 5 6 6 1 0 6 3 8

1 0 1 0 8 0 0 2 8 4 1 4

8 5 2 1 0 1 0 1 0 9 8 9 2

3 3 1 1 2 4 8 6 3 8

Autoevaluación I n d i c a l a r e s p u e s t a c o r r e c t a .

1 . L a B o l s a M e x i c a n a d e V a l o r e s h a t e n i d o d i f e r e n t e s a l z a s y b a j a s e n p u n t o s p o r c e n t u a l e s d u r a n t e l a p r i m e r q u i n c e n a d e j u n i o d e 2 0 0 0

3.4 1.7 - 0 . 5 0.7 - 2 . 4

- 1 . 8 - 0 . 9 2 .5 0.3 0.8

U N I D A D I • E S T A D Í S T I C A D E S C R I P T I V A 5 1

C a l c u l a e l p o r c e n t a j e m e d i o o b t e n i d o e n d i c h a q u i n c e n a

a) 3 . 8 b) 1 5 c) 1 . 5 d) 0 . 3 8

2 . L o s p r e c i o s d e l b a r r i l d e petróleo c r u d o e x p o r t a d o p o r México d u r a n t e 1 6 d i a s d e l año 2 0 0 0 f u e r o n

31 .5 31.0 32 .0 32 .5 32 .5 31 .2 30.5 31 .5

32 .0 31 .5 3 1 . 0 30 .9 31 .8 30 .6 32 .0 32 .0

C o n s i d e r a n d o e s t o s p r e c i o s , c a l c u l a l a desviación estándar m u e s t r a l d e l a v a r i a b i l i d a d d e l o s p r e c i o s e n e s o s 1 6 días

a) 1 . 3 4 5 6 b) 0 . 6 2 3 7 c) 0 . 3 0 5 3 d) 0 . 4 6 7 2

3 . C a l c u l a l a m o d a d e l o s p r e c i o s d e l petróleo d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r

a) 3 1 . 5 b) 3 2 . 0 c ) 3 2 . 5 d) 3 1 . 0

4 . C a l c u l a l a m e d i a d e l o s p r e c i o s d e l petróleo d e l e j e r c i c i o " 2 . A s i m i s m o , c a l c u l a m e d i a n a , m o d a y m e d i a geométrica d e d i c h o s p r e c i o s y d e t e r m i n a cuál d e e s t a s m e d i d a s e s más próxima a l v a l o r m e d i o

a) m e d i a n a b) m o d a c) m e d i a geométrica

5 . U n c h o f e r d e u n a línea d e c a m i o n e s viajó 1 0 0 0 k m e n c u a t r o t r a m o s d e 2 5 0 k m c a d a u n o , c o n v e l o c i d a d e s d e 9 0 , 8 0 , 9 5 y 8 5 k m p h , r e s p e c t i v a m e n t e . C a l c u l a , c o n b a s e e n l a m e d i a armónica, l a v e l o c i d a d m e d i a c o n l a q u e realizó e l v i a j e

a) 8 7 . 1 4 k m p h b) 8 9 . 4 k m p h c ) 8 5 k m p h d ) 8 7 . 5 k m p h


6 . L o s s i g u i e n t e s d a t o s m u e s t r a n l o s s u e l d o s d e 9 0 p e r s o n a s e l e g i d a s a l e a t o r i a m e n t e . O r d e n a l o s d a t o s e n d i e z c l a s e s d e f r e c u e n c i a d e i g u a l l o n g i t u d y c a l c u l a m e d i a aritmética x , m e d i a n a M , y m o d a M

3 9 7 0 4 1 6 3 3 0 3 5 4 4 6 9 2 7 2 3 5 7 3 6 6 1 3 3 2 5 5 8 3 5 3 3 2 7 5 5 5 0 7 4 5 6 5 0 2 9 5 7 3 8 2 8 5 9 2 7

L a distribución e s

a) s e s g a d a a l a d e r e c h a b) simétrica c ) s e s g a d a a l a i z q u i e r d a d) b i m o d a i

7 . C a l c u l a l a desviación estándar d e l e j e r c i c i o a n t e r i o r

a) 2 3 . 4 5 b ) 1 8 . 9 3 c ) 1 2 . 1 6 d) 1 5 . 3 4

8 . E n l a s i g u i e n t e l i s t a s e m u e s t r a n l a s c a l i f i c a c i o n e s d e l o s a l u m n o s , d e c u a t r o m u e s t r a s d e d i e z a l u m n o s , c a d a u n a . P o r m e d i o d e s u v a r i a n z a i n s e s g a d a , d e t e r m i n a qué m u e s t r a resultó más homogénea e n s u s c a l i f i c a c i o n e s .

M u e s t r a 1 8 5 2 10 10 9 4 7 1 3

M u e s t r a 2 1 2 4 8 6 10 10 8 8 9

M u e s t r a 3 7 8 4 5 6 10 9 8 9 2

M u e s t r a 4 10 10 9 8 9 2 8 4 8 6

a) m u e s t r a 1 b) m u e s t r a 2 c) m u e s t r a 3 d) m u e s t r a 4

9 . I n d i c a cuál d e l o s s i g u i e n t e s i n c i s o s d e f i n e m e j o r e l c o n c e p t o d e estadística d e s c r i p t i v a

a) p a r t e d e l a estadística q u e s i r v e p a r a o b t e n e r i n f e r e n c i a s d e l a población a p a r t i r d e l o s d a t o s muéstrales

b) p a r t e d e l a estadística q u e s i r v e p a r a l l e v a r a c a b o l o s diseños d e e x p e r i m e n t o s y p o d e r t o m a r u n a decisión

c) p a r t e d e l a estadística q u e s i r v e p a r a d e s c r i b i r l a t o t a l i d a d d e e l e m e n t o s d e u n a población o m u e s t r a

d) p a r t e d e l a estadística q u e s i r v e p a r a e s t i m a r l o s parámetros d e u n a población c o n b a s e e n u n m u e s t r e o a l e a t o r i o

U N I D A D 1 • E S T A D Í S T I C A D E S C R I P T I V A

R e s p u e s t a s d e l o s e j e r c i c i o s

Ejercicio 1

1 . m e d i a = 1 5 3 . 2 1 4 ; m e d i a n a = 1 5 0 ; m o d a = 1 5 0

2 . m e d i a = 3 . 5 3 3 ; m e d i a n a - 3 3 5

3 . 3 . 4 9 2

4 . 8 6 . 0 8

5 . 1 0 . 4 2 5

Ejercicio 2

1 . r a n g o = 3 5 ; v a r i a n z a = 8 6 . 9 5 x ~"

2 . 0 . 5 7 8 5

3 . 0 . 0 0 0 6 3 . ,

Ejercicio 3

i . a) [ 2 . 5 0 , 3 . 6 4 ) , [ 3 . 6 4 , 4 . 7 8 ) , [ 4 . 7 8 , 5 . 9 2 ) , [ 5 . 9 2 , 7 . 0 6 ) , [ 7 . 0 6 , 8 . 2 0 ] b) m e d i a * 4 . 7 0 4 ; v a r i a n z a » 1 . 9 2 2

2 . a) [ 2 2 8 . 9 , 2 3 8 . 9 ) , [ 2 3 8 . 9 , 2 4 8 . 9 ) , [ 2 4 8 . 9 , 2 5 8 . 9 ] ; f r e c u e n c i a s r e l a t i v a s : f , = 0 . 1 7 5 ,

f2 = 0 . 6 2 5 , fi = 0 . 2 0 0 ; s e tendrá q u e r e p a r a r l a máquina

b) 2 4 4 . 1 5

3 . desviación estándar • 6 . 1 2 ; s e tendrá q u e r e p a r a r l a máquina

4 . [ 1 0 . 8 , 1 5 . 4 ) , [ 1 5 . 4 , 2 0 . 0 ) , [ 2 0 . 0 , 2 4 . 6 ) , 1 2 4 . 6 , 2 9 . 2 ) , [ 2 9 . 2 , 3 3 . 8 ) , [ 3 3 . 8 , 3 8 . 4 ) , [ 3 8 . 4 , 4 3 . 0 ) ,

[ 4 3 . 0 , 4 7 . 6 ) , [ 4 7 . 6 , 5 2 . 2 ) , [ 5 2 . 2 , 5 6 . 8 ] ; m e d i a - 3 3 . 1 4 ; v a r i a n z a s e s g a d a - 9 1 . 8 4


Ejercicio 4

i .

2 0 T

16

1 2 +

8 -

4

0 - + - - + - - l - - I - - l -

3.07 4 . 2 1 5 .35 6 .49 7.63 3 .07 4 .21 5 .35 6 .49 7 .63

R e s p u e s t a s d e l o s e j e r c i c i o s p r o p u e s t o s

1 . m e d i a = 1 7 . 8 7 5 ; m e d i a n a = 1 8 ; m o d a = 1 8 ; v a r i a n z a i n s e s g a d a = 1 9 . 7 1 6 7

2 .

F r e c u e n c i a 1 0 11 16 18 1 9 20 2 2 2 4 2 6

V a l o r 1 2 2 4 2 2 1 1 1

V a l o r 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

3 . m e d i a geométrica = 1 7 . 3 0 1 4

4 . m e d i a geométrica = 2 2 . 6 1 9 6

5 . m e d i a armónica = 1 1 9 . 1 6 6 7

6 . m e d i a armónica = 1 0 5 . 5 5 6 7

7 . m e d i a = 1 2 . 1 2 ; desviación estándar = 0 . 3 4 4 3

8 . r a n g o = 2 8 ; l o n g i t u d d e c l a s e = 2 . 8 . L a s c l a s e s y s u s p u n t o s m e d i o s s e m u e s t r a n e n l a t a b l a . M e d i a = 5 6 . 2 1 2 ; v a r i a n z a i n s e s g a d a = 6 1 . 2 6 3


Número C l a s e P u n t o m e d i o

F r e c u e n c i a

1 [45.0, 47.8) 46.4 1

2 [47.8, 50.6) 49.2 13

3 [50.6, 53.4) 52 .0 17

4 [53.4, 56.2) 54 .8 14

5 [56.2, 59.0) 57 .6 2 3

6 [ 5 9 . 0 , 6 1 . 8 ) 60.4 14

7 [ 6 1 . 8 , 6 4 . 6 ) 63 .2 7

8 [64.6, 67.4) 66 .0 6

9 [67.4, 70.2) 68.8 4

10 [70.2, 73 .0 ] 71 .6 1

2 5 "

2 0 - -

1 5 - -

1 0 - -

5 - 1

0 I I I — I — I — I — I — I — I — I — I — I — I — I — I — I — I — l i l i 46.4 49.2 52 54 .8 57.6 60.4 63 .2 6 6 68 .8 71 .6

m e d i a n a • 5 6 . 7 ; m o d e l o a s o c i a d o asimétrico p o s i t i v o

r a n g o = 1 0 ; l o n g i t u d d e c l a s e = 1 . 2 5 . L a s c l a s e s y s u s p u n t o s m e d i o s s e m u e s t r a n e n

l a t a b l a . M e d i a = 4 - 2 2 5 ; v a r i a n z a i n s e s g a d a = 5 . 5 6 4

Número C l a s e P u n t o m e d i o

F r e c u e n c i a

1 [0 .00, 1.25) 0 .625 11

2 [1.25, 2 .50) 1.875 19

3 [2.50, 3.75) 3.125 14

4 [3.75, 5 .00) 4 .375 15

5 [5 .00, 6.25) 5 .625 2 1

6 [6 .25, 7.50) 6 .875 10

7 [7.50, 8.75) 8.125 8

8 [8 .75, 10.0] 9.375 2


2 1 1 9 - -

1 5 -1 4 -1 1 . 1 0 - -

8 •

- + - - + - - I - - + - - f -0 . 6 2 5 1 . 8 7 5 3 . 1 2 5 4 . 3 7 5 5 . 6 2 5 6 . 8 7 5 8 . 1 2 5 9 . 3 7 5

13. g r u p o 1 : m e d i a = 6 . 3 y v a r i a n z a i n s e s g a d a = 6 .1896 g r u p o 2 : m e d i a • 5 .3 y v a r i a n z a i n s e s g a d a = 12.355 e l g r u p o más homogéneo f u e e l 1

R e s p u e s t a s d e l a autoevaluación

1 . d)

2 . b)

3 . b )

4 . c )

5 . a)

6 . a)

7 . d)

8 . c )

9 . c )

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UNIDAD 1 - ivanacal | A topnotch WordPress.com site · Estadística descriptiva Objetivos Al finalizar la unidad, el alumno: ... él en su momento. 1.2.1 Caracteres y variables estadísticas