Universidad Nacional Del Comahue · PDF fileUniversidad Nacional Del Comahue Jornadas Escuela-Universidad Trayectorias educativas en tiempos tecnoinformacionales Basanta,

Universidad Nacional Del ComahueJornadas Escuela-Universidad

Trayectorias educativas en tiempos tecnoinformacionales

Basanta, M. – Belladonna, S. – Pagliaccio, V. – Santori, L. – Vaisman, S.- 1 -

ACORTANDO DISTANCIAS……UNA PROPUESTA DE ARTICULACIÓN DE CONTENIDOS MATEMÁTICOS

(FUNCIONES) ENTRE EL NIVEL MEDIO Y EL NIVEL UNIVERSITARIO

Basanta Mabel [email protected]

Belladonna Sandra [email protected]

Pagliaccio Verónica [email protected]

Santori Maria Laura [email protected]

Vaisman Sara [email protected]

ResumenEn el Nivel Medio, específicamente en el Área de Matemática, los alumnos muestran serias

dificultades en el dominio de determinados conceptos, que al ingreso a la Universidad

emergen rápidamente. Uno de ellos es el tema: “Funciones”.

Se espera al ingreso a la Universidad que los alumnos, como ya saben el concepto de

función, puedan realizar, sin inconvenientes conversiones entre los distintos registro de

representación de una función (gráfico, numérico, algebraico y coloquial). Sin embargo, la

mayoría, no demuestran haber adquirido la capacidad de interpretar, definir y graficar

funciones que modelicen situaciones problemáticas, tanto del campo de la matemática como

de otras áreas del conocimiento.

Es la idea de la siguiente propuesta didáctica, favorecer el aprendizaje de este concepto.

La misma está diseñada para que pueda ser implementada en ambos niveles, según se

requiera. Para ello se seleccionó y reformuló un conjunto de problemas de manera tal que el

conocimiento evolucione en niveles de complejidad creciente (rutinas básicas-avanzadas).

Los temas seleccionados fueron: conceptos generales sobre funciones, función lineal y

función cuadrática.

También hemos diseñado algunas actividades para ser implementadas haciendo uso de las

TIC´s, como complemento al trabajo que se realiza en el aula. La propuesta incluye un Blog

como recurso. El mismo cuenta, entre otras cosas, con una red conceptual diseñada en el

mailto:[email protected]








Mindmeister, que muestra las relaciones entre los diferentes conceptos vinculados al tema

función y un link para hacer uso del software Graphmatica.

Fundamentación:Uno de los temas centrales en matemática y que resulta de difícil comprensión para los

alumnos es “Funciones”.

El concepto de función es de suma importancia en la enseñanza de la matemática, pues se

lo considera como elemento unificador, generalizador y de naturaleza modelizadora. Como

dice Miguel de Guzmán “Es el mejor instrumento que los matemáticos han podido inventar

para expresar el cambio que se produce en las cosa al pasar el tiempo”.

Como el concepto de función ha sido estudiado en el nivel medio, se espera al ingreso a la

Universidad que los alumnos puedan realizar, sin inconvenientes conversiones entre los

distintos registro de representación de una función (gráfico, numérico, algebraico y

coloquial). Sin embargo, la mayoría, no demuestra haber adquirido la capacidad de

interpretar, definir y graficar funciones que modelicen situaciones problemáticas, tanto del

campo de la matemática como de otras áreas del conocimiento.

Analizando nuestra práctica, creemos que esta dificultad generalmente se debe a la falta de

actividades que promuevan la curiosidad y el interés de los alumnos en el tema. Al iniciar el

tema funciones, comúnmente las actividades que se presentan son descontextualizadas, no

promueven la metacognición, no requieren necesariamente un trabajo de modelización y

transferencia. Como consecuencia de esto se llega a un aprendizaje inerte, frágil y sin

significación para el alumno.

Acordando y reflexionando con lo que expresa David Perkins (1999) “La comprensión se

presenta cuando la gente puede pensar y actuar con flexibilidad a partir de lo que sabe. Por

contraste, cuando un estudiante no puede ir más allá de la memorización, el pensamiento y

la acción rutinarios, esto indica falta de comprensión”, proponemos abordar el tema:

Retomando concepciones previas y construyendo una nueva comprensión a partir

de ellas.

Incorporando situaciones problemáticas contextualizadas.




Incorporando TIC´s, como complemento al trabajo áulico.

Destinatarios:

La propuesta está diseñada tanto para alumnos de 3° , 4° o 5°año del nivel medio, según la

especialidad de cada una de las instituciones, como también para las cátedras de primer

año de la Universidad.

Descripción de la Propuesta:La idea de la propuesta es realizar un cambio en la formulación de las actividades. Teniendo

en cuenta que:

• Evolucione en niveles de complejidad creciente.

• Promueva la articulación entre los diferentes registros de representación.

• Provea de herramientas para modelizar.

• Permita al alumno una significación global del concepto.

• Incorpore TIC´s (blog, red conceptual: Mindmeisnter, software graficador de

funciones: Graphmatica), como complemento al trabajo áulico.

Los temas seleccionados fueron: conceptos generales sobre funciones, función lineal y

función cuadrática. En una primera instancia, presentamos situaciones problemáticas, que

tiene como objetivo fundamental despertar la curiosidad y el interés de nuestros alumnos,

sin ser necesario conocer los conceptos que se van a estudiar, ya que a partir de un juego,

una representación gráfica o por conteo se puede responder a los planteos realizados.

A continuación mostramos tres ejemplos extraídos de diferentes prácticos que

reformulamos.










La etapa que sigue es la formalización de los conceptos a partir de lo trabajado y haciendo

uso del software como herramienta.

Nuestra propuesta también incorpora Tic´s mediante un blog www.comenzo-la-

funcion.blogspot.com. En él hemos desarrollado nuestra secuencia didáctica teniendo en

cuenta todo lo que ya hemos comentado. En el blog el alumno podrá visitar un mapa

conceptual realizado y publicado en el Mindmeister el cual les permitirá no solo ver un

esquema del tema funciones sino navegar por diversos sitios seleccionados de la web.

Además podrá descargar trabajos prácticos que se encuentran ingresados en Windows live

(Ver Anexo) y visitar páginas recomendadas por el docente para la profundización de los

contenidos. También hay un link que permite al alumno descargar el software graficador de

funciones Graphmatica .

www.comenzo-la-




Bibliografía utilizada para la selección de ejercicios

• Bocco, Mónica. Funciones Elementales Para Construir Modelos Matemáticos.

Ministerio de Educación Bs. As. Argentina. 2010.

• Amenedo- Carranza- Diñeiro- Grau- Latorre . Matematica 1. Editorial: Santillana.Bs.

As. Argentina 1997.

• Carione- Carranza – Diñeiro – Latorre – Trama. . Matematica 2. Editorial:

Santillana.Bs. As. Argentina 1997.

• Carione- Carranza – Diñeiro – Latorre – Trama. . Matematica 3. Editorial:

Santillana.Bs. As. Argentina 1997.

• Stewart, James. Cálculo. Trascendentes Tempranas. 4ª ed. México. Ed. Thomson

Learning, 2002.

• M. de Guzmán, J. Colera, A. Salvador. Matemáticas. Bachillerato I- Madrid, Grupo

Anaya S.A., 1987

• M. de Guzmán, J. Colera, A. Salvador. Matemáticas. Bachillerato II- Madrid, Grupo

Anaya S.A., 1987

• M.Becerril, V. Grimaldi, H.Ponce, M. Urquiza. Estudiar Matemática-NAP 8°, ES 2°,

CABA 1°, Buenos Aires, Santillana ,2008

• M.Becerril, V. Grimaldi, M. Urquiza. Estudiar Matemática-NAP 9°, ES 3°, CABA 2°,

Buenos Aires, Santillana ,2008

Bibliografía utilizada para la fundamentación

• Stone Wiske (comp.) La Enseñanza Para La Comprensión. Ed. Paidós. Bs. As.

Argentina. 1999.




• Eduteka. Cómo Aprende La Gente Capitulo 1

http://www.eduteka.org/comoaprendelagente.php3

• Rey, Boubée, Sastre, Vazquez; Cañibano.Ideas para Enseñar. Aportes didácticos

para abordar el concepto de función. ,Revista Unión: Número 20, páginas153-162.(

2009)

• Fundación Polar: http://www.fundacionempresaspolar.org/matemàtica2

http://www.eduteka.org/comoaprendelagente.php3

http://www.fundacionempresaspolar.org/matem�tica2




ANEXOTrabajo Práctico: Diferentes representaciones de las funciones. Análisis de gráficos.

1. En la región de la precordillera hay un

arbusto que sirve de alimento a la fauna

local. Un grupo de científicos que teme

por su extinción decidió realizar un

relevamiento de datos cuyos resultados

fueron volcados en una gráfica.

Observando la gráfica respondan las

siguientes preguntas.

a) ¿Qué variables se tuvieron en cuenta para realizar la gráfica? (identificar variable

independiente y variable dependiente)

b) Definir en forma coloquial una función g que se corresponda con la gráfica.

c) ¿Cuántos ejemplares por m2 hay a 400 m de altura sobre el nivel del mar?




d) ¿A qué altura sobre el nivel del mar hay 2 ejemplares por m2?

e) ¿Cuál es el mayor número de ejemplares del arbusto, que hallaron por m2?

f) ¿Qué ocurre con el arbusto a partir de los 350 m2?

g) ¿Cuál es la máxima altura sobre el nivel del mar en la que fueron realizadas las

mediciones?

h) ¿Cuál es el dominio de la función g? ¿Cuál es la imagen de g?

2. El siguiente gráfico refleja las mediciones de las temperaturas que se realizaron en el

centro meteorológico de la ciudad de Cipolletti hora a hora durante un día completo.

Si definimos la función f(x) como la temperatura medida en el tiempo x. Observando el

gráfico, responde a las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es el dominio de f? ¿Cuál es la imagen?

b) ¿Cuál es el valor de f(2)? ¿y de f(8)?

c) ¿En qué horarios la temperatura fue de 10ºC?

d) ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima y a qué hora se alcanzan esos valores?

e) ¿Desde qué hora y hasta qué hora se produjo un aumento de la temperatura?

f) ¿En qué intervalos de tiempo se produjo un descenso de la temperatura?

g) ¿Qué ocurrió entre las 15 hs y las 17 hs?

h) ¿En qué mes te parece que pueden haber sido realizadas las mediciones?




3. En el siguiente gráfico aparece el peso de dos hermanos, Nicolás y Lucía, a lo largo de

los años. El peso de Nicolás está representado por la línea azul y el de Lucía por la línea

rosa.

a) ¿Cuál era el peso de Nicolás a los 8 años? ¿Y el de Lucía a los 13?

b) ¿A qué edad pesaba Lucía 55 kg? ¿Y Nicolás 70 kg?

c) ¿Cuándo pesaba Nicolás más que Lucía y cuándo pesaba menos?

d) ¿Cuándo pesan lo mismo?

e) ¿Cuál fue el aumento de peso de Lucía entre los 3 y los 12 años?

f) ¿Cuál fue el aumento de peso de Nicolás en el mismo período?

g) ¿Cuál fue el aumento de peso de cada hermano entre los 12 y los 16 años?

h) ¿Quién disminuyó de peso, y en qué período?

4. Para evaluar la temperatura en cada tiempo t (en hs) de una cámara en donde se

guardaron semillas de maíz se realizaron registros de la temperatura (en °C) de la misma,

en forma continua, desde las 6 de la tarde de un día y durante las primeras 6 hs del día

siguiente.




Para resolver esta situación se puede considerar el gráfico de la función:

Para los registros de temperatura observamos cuatro situaciones bien deferentes en la

evolución de la temperatura a medida que transcurre el tiempo:

hasta dos horas antes de la medianoche, es decir 26 t , la temperatura fue

aumentando.

Luego, y hasta la medianoche, 02 t , la temperatura fue disminuyendo.

Entre la medianoche y la hora 1, es decir 10 t , la temperatura volvió a aumentar,

hasta llegar a los 1°C

a) ¿Cuál fue la máxima temperatura alcanzada?;

b) ¿Cuál fue la mínima temperatura alcanzada?;

c) Expresar cuáles son los intervalos de crecimiento de la función graficada y cuáles de

decrecimiento.

d) ¿En qué intervalo la temperatura permanece constante?

5. Se ha calentado una olla con agua. Cuando empieza e hervir (a ), se deja enfriar.

Observen el gráfico y respondan:




a) ¿Qué variables se han representado en los ejes?

b) ¿Qué representa cada unidad en el eje horizontal? ¿Y en el eje vertical?

c) ¿Cuál era la temperatura inicial del agua?

d) ¿Cuánto tiempo permanece el agua a ?

e) ¿Cuánto tiempo tarda en enfriarse hasta llegar a los a ?

6. Un club dispone de $50.000 mensuales para el

sueldo de sus deportistas. La política del club es

que la plata disponible se divide en partes iguales

entre los deportistas que asistieron regularmente

todo el mes.

a) Completar la siguiente tabla (teniendo en cuenta que todos los deportistas cobran lo

mismo).

Cantidad de Deportistas 20 40 80 100 125

Sueldo de cada deportista




b) Realizar un gráfico para representar la tabla anterior. ¿Tiene sentido unir los puntos por

medio de una línea continua? Justificar la respuesta dada.

c) Hallar una fórmula que le permita al tesorero del club calcular lo que cobra cada

deportista en función de la cantidad de deportistas que asistieron al club.

d) Teniendo en cuenta que el cupo máximo de deportistas es de 125. Hallar el dominio y la

imagen de la función encontrada

e) Si de lo que cobra, cada deportista debe pagar $20 de impuestos, ¿cuál es el número

razonable de deportistas que debe tener el club para que cada uno cobre como mínimo

$300?.

7. Una empresa de medicina prepaga, que no recibe más de 30.000 afiliados al mes, incluye

entre sus prestaciones atención odontológica. El costo mensual C de las prestaciones de los

odontólogos está relacionado con la cantidad de personas que se adhieren a la atención y

se representa por la función: ( ) p10000.10pC −= donde p indica el número de personas

que solicitarán afiliarse para la atención odontológica.

Para esta función, ¿cuál es la respuesta a las siguientes preguntas?

a) De acuerdo a la información que posee, ¿cuál es el dominio de la función?

b) ¿Cuánto deberá pagar a los odontólogos si sólo 100 personas se afilian a los servicios

odontológicos? ¿y si se afilian 1.000 personas?

c) ¿Cuáles serán los costos si todos los afiliados deciden participar del servicio

odontológico?




8. Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones. Justificar las respuestas.

a) b) c)

9. La siguiente gráfica corresponde a una función y=f(x)

a) Indica dos valores de x que estén en el dominio de f y dos que no estén.

b) Indica dos valores de y que estén en la imagen de f y dos que no estén.

c) ¿Cuántos valores de x tienen como imagen al -1?

d) ¿f(7) es positivo o negativo?

e) ¿En qué puntos la gráfica corta al eje x (eje de las abscisas)? ¿En qué puntos corta al eje

y (eje de las ordenadas)?

f) ¿Para qué valores de x se cumple que f(x)>0?

g) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.

h) Hallar Dom(f) e Img(f)

Trabajo Práctico: Función Lineal




1. Una sustancia se encuentra a 15° C, pero a partir del comienzo de un experimento su

temperatura disminuye de manera uniforme a razón de 2° C por minuto.

a) Completa la siguiente tabla con los valores de los minutos transcurridos y la temperatura

de la sustancia:

Min. 0 2 4,5 7 8 10,5

Temp.

b) Realiza un gráfico en un sistema de ejes cartesianos utilizando los datos obtenidos en la

tabla.

c) Si unimos los puntos obtenemos una recta, ¿tiene pendiente positiva o negativa esa

recta?

d) ¿Cuál de estas fórmulas representan mejor la situación? (T representa la temperatura y

M, los minutos transcurridos desde el comienzo del experimento).

T = 2 M + 15 T = - 2 M + 17 T = - 2 M + 15 T = 2 M + 17e) ¿Cuánto tiempo deberá pasar para que la sustancia alcance los 0° C?

2. Un tubo de oxigeno de 682 litros de capacidad, que originalmente estaba lleno, se está

vaciando a razón de10 litros por minuto.

a) ¿Cuál de estos gráficos podría representar la cantidad de oxigeno que queda en el tubo a

medida que transcurre el tiempo? ¿Cómo te das cuenta?




b) ¿Qué podrías hacer para saber cuánto tiempo pasará hasta que el tubo tenga la mitad del

contenido original?

3. En muchos supermercados los cajeros disponen de balanzas en las cuales se puede

teclear el precio por kilo de la verdura que se pesa. Estas balanzas emiten un tiket donde se

indica el precio total a pagar, correspondiente a la cantidad e verdura pesada.

La siguiente tabla muestra distintas cantidades pesadas de tomate y los precios

correspondientes registrados por la balanza.

Peso (g) 100 200 250 600

Precio total ($) 0,40 0,80 1,00 2,40

a) Intenta deducir, utilizando la información de la tabla, cuánto pesa 1 kg de tomate y 1,350

kg.

b) Escribir una fórmula de la forma f(x)=ax+b que describa la situación e indicar cuáles son

las variables relacionadas (variable dependiente y variable inpendiente).

c) Calcular, utilizando la fórmula hallada, cuál es el precio de 5,213 kg de tomates.

4. Un auto se desplaza por una ruta a 25 metros por metros por segundo.

Para ingresar en la zona urbana comienza a frenar, disminuyendo la

velocidad uniformemente a razón de 2 metros por segundo, por cada

segundo que pasa.

a) ¿A qué velocidad se desplazaba luego de 10 segundos de comenzar a frenar?

b) ¿Cuánto tiempo pasa desde que comienza a frenar hasta que alcanza los 10 metros por

segundos? ¿Y para que se detenga?

c) Representá gráficamente la situación que se describe en el problema.

d) Escribí una fórmula que te permita calcular la velocidad del auto en cualquier momento

desde que comienza a frenar hasta que se detiene.




5. Un oficial gana $ 3 por hora y su ayudante, $ 2 por hora. Un día, el

ayudante empieza a trabajar a las 8 de la mañana y el oficial a las 10.

a) ¿Cuánto dinero lleva ganado cada uno a las 10 y a las 11 de la mañana?

b) El oficial y su ayudante siguen trabajando hasta las 15 horas. Construyan tablas que

establezcan la cantidad de dinero que gana cada uno en función del tiempo que trabaja.

c) Representen en un mismo gráfico las dos funciones e indiquen la fórmula de cada una.

d) ¿A qué hora han ganado la misma cantidad de dinero? (utilizá las gráficas para deducirlo

y luego verifica que el resultado es correcto)

6. Si la ecuación de una recta es :

a) Indicar al menos tres puntos que pertenezcan a la recta.

b) Indicar al menos tres puntos que no pertenezcan a la recta.

c) Verificarlo gráficamente utilizando el software Graphmatica. (graficar la recta y los

puntos en un mismo gráfico)

7. a) Analizar si las siguientes tablas de valores corresponden a funciones lineales. Justificar

su respuesta

X Y

-1 -5

0 -3

1 -1

2 1

y y

-2 0

0 2

2 5

4 7

x y

-2 -4

-1 -3,5

0 -3

3 -1,5




b) Para las tablas que correspondan a funciones lineales, hallar la fórmula y graficar las

rectas correspondientes.

8. a) Utilizando el software Graphmatica graficar, en un mismo sistema de coordenadas, las

siguientes rectas: y=2x+4 y=5x+4 y=0.5x+4 y= - 2x+4 y= - 5x+4 y= - 0.5+4.

b) Observa los gráficos y responde:

¿Cómo se modifica el gráfico de una función lineal con ecuación y=ax+b si el

parámetro a es positivo o negativo?.

¿Qué tienen en común las rectas graficadas?

¿Qué ocurre con los gráficos si dejamos fijo el parámetro a y cambiamos los valores

del parámetro b? (Deducirlo utilizando el Graphmatica).

9. Marcar con una X la ecuación que corresponde a cada una de las siguientes funciones

lineales:

y=2x-1

y= - 2x -1




10. Representar gráficamente las siguientes funciones a partir de la ordenada al origen y la

pendiente. Verificar utilizando el Graphmatica.

a) b) c) d)

11. Escribir una fórmula para de cada una de las siguientes rectas:

a) b) c)

12. Escribir verdadero o falso según corresponda en cada caso (// indica rectas paralelas y

┴ rectas perpendiculares). Justificar sin graficar. Verificá tu respuesta realizando los

gráficos con el Graphmatica.

a) // b) ┴ c) ┴

d) // e) // f) ) ┴

13. Hallar la ecuación y graficar las rectas que cumplen con los datos dados:

a) pasa por los puntos y .




b) la pendiente es 3 y pasa por el punto .

c) es paralela a y pasa por el punto .

d) es perpendicular a y pasa por el punto .

14. Graficar la recta . Hallar la ecuación de las rectas paralelas a la dada que

cumplen, respectivamente, con las siguientes condiciones y graficarlas en un mismo par de

ejes cartesianos:

a) Pasa por el punto .

b) corta al eje de las abscisas en .

c) corta al eje de las ordenadas en .

15. Consideren los puntos , , y .

a) Ubíquenlos en un plano cartesiano y tracen el cuadrilátero .

b) Encuentren las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados del cuadrilátero.

c) ¿Qué tipo de cuadrilátero es? Justifiquen la respuesta utilizando las ecuaciones de las

rectas.




Trabajo Práctico: Función Cuadrática

1. Se dispone de 40 m de alambre para rodear un cantero rectangular en el que se va a

realizar una plantación de rosales en un parque público.

a) Realiza cinco dibujos posibles del cantero. Indica en cada uno el largo y el ancho. (Ten en

cuenta que el perímetro de todos los rectángulos debe ser de 40 m). Luego completa la

siguiente tabla::

Largo del cantero (m)

Superficie

b) Grafica los puntos de la tabla en un sistema de coordenadas. ¿Te parece que el gráfico

es el de una función lineal?.¿Por qué?

c) Si llamas x al largo del cantero e y al ancho, ¿Cómo expresarías por medio de una

ecuación que el perímetro del cantero es de 40 m?

d) Utiliza la ecuación hallada anteriormente para encontrar la fórmula de una función que

describa la superficie del cantero en función del largo que tiene. (Si llamamos S a la

superficie, la fórmula es S(x)=………….…..)

e) Utiliza el gráfico de la función cuadrática S(x) hallada en el inciso anterior para deducir

cuáles deberían ser el ancho y el largo del cantero para que la superficie a sembrar resulte

la máxima posible.

2. Un delfín toma impulso desde el interior de un estanque y salta por encima de la

superficie del agua siguiendo una trayectoria parabólica que se puede modelizar por medio




de la función 12x6xy 2 ++−= , donde y es la distancia al fondo del estanque (medida en

metros) y x es el tiempo empleado en alcanzarla (medido en segundos).

a) Realiza un gráfico de la trayectoria realizada por el delfín. (pensar si

los valores de y pueden ser negativos).

b) ¿Cuál es el dominio (para éste problema) de la función graficada?

c) Si la profundidad del estanque es de 20 m, calcula cuánto tiempo tarda en salir a la

superficie y cuánto tarda para volver a sumergirse.

d) ¿A qué profundidad inicia el ascenso?

3. Dentro del proceso iniciado del sembrado de truchas arco iris en 1990 se introdujeron 100

individuos de ésta especie en un lago ubicado en la provincia de Neuquén, en el cual no

había registros de su existencia. Al principio la población comenzó a crecer rápidamente,

pero luego por distintos factores, entre ellos la falta de alimentos, determinó un

decrecimiento. El número de éstos salmónidos para cada año t si consideramos t=0 al año

1990, se puede modelizar por medio de la función )20t)(5t()t(N −+−= .

a) Grafica la función desde t = - 10 hasta t = 30. ¿Qué

años calendarios representan esos valores de t?

b) Indicar, a partir del gráfico, el dominio de la función

N(t) para éste problema.

c) ¿En qué año la población de truchas fue máxima?. ¿Cuántas había ese año?

d) ¿En qué año comenzó a decrecer la población de truchas?

e) ¿En qué año se puede estimar que se extinguirá la población de truchas en el lago?




4. Se construyen con fósforos, cuadrados formados por cuadraditos como muestra la figura

(cada lado de cada cuadradito es un fósforo):

a) ¿Cuántos fósforos se necesitan para hacer un cuadrado que tenga 56 fósforos de lado?

b) Escribir una fórmula que permita calcular la cantidad de fósforos que se necesitan para

armar un cuadrado de n fósforos de lado.

c) ¿Se podrá construir un cuadrado que esté formado por 135 fósforos? ¿Y por 220

fósforos?

5. Dadas las siguientes tres figuras:

a) Encontrar una fórmula para calcular la cantidad de cuadraditos de cualquier figura con

esta forma. ¿Se podrá dibujar una figura que contenga 132 cuadraditos?

b) ¿Cuál es la cantidad total de cuadraditos cuando en la base hay 5?

c) Calcular la cantidad total de cuadraditos cuando la base tiene 50 cuadraditos, detallando

los cálculos que hay que realizar.

d) Escribir una fórmula que permita calcular la cantidad de cuadraditos para una figura de

estas características con n cuadraditos de base.




e) Se podrá dibujar una figura que contenga 109 cuadraditos?

6. Utilizando el software Graphmatica grafica, en un mismo sistema de coordenadas,

diferentes parábolas con ecuación 2axy = , cambiando los valores del parámetro “a” . Luego

responde:

a) ¿Cómo se modifican las ramas de la parábola si los valores de ”a” son positivos o

negativos?

b) ¿Cómo se modifican las ramas de la parábola respecto a las de la parábola 2xy = si los

valores de ”a” son mayores que uno o menores que uno?


diferentes parábolas con ecuación 2)hx(y += , cambiando los valores del parámetro “h” .

Luego responde:

¿Cómo va cambiando la posición de ésta parábola respecto a la parábola 2xy = ? ¿Qué

ocurre si h es positivo o si h es negativo?


diferentes parábolas con ecuación bxy 2 += , cambiando los valores del parámetro “b” .

Luego responde: ¿Cómo va cambiando la posición de ésta parábola respecto a la parábola2xy = ? ¿Qué ocurre si b es positivo o si b es negativo?

9. Dar una ecuación canónica de una parábola que verifique los desplazamientos indicados

respecto a la gráfica de 2xy = .

a) 3 unidades hacia arriba.

b) 2,5 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia abajo.

c) 1,5 unidades hacia abajo y 3,7 unidades a la derecha.




10. Grafica las siguientes parábolas indicando en cada una la ubicación del vértice y las

intersecciones con los ejes (no armar tabla de valores).

a) b) c)

d) e) f)

11. Indicar si las siguientes afirmaciones sobre la parábola son

correctas. Justificar en cada caso.

a) tiene ramas hacia abajo y corta al eje en dos puntos.

b) tiene ramas hacia abajo y corta al eje en un punto.

c) tiene ramas hacia arriba y no corta al eje .

d) tiene ramas hacia abajo y no corta al eje .

12. Hallar la ecuación de la función cuadrática que cumpla con los siguientes datos:

a) tiene vértice en y pasa por el punto .

b) intercepta al eje y en y su vértice es .

c) una de sus raíces es 3 y el vértice está en el punto .

d) corta al eje x en y y al eje y en .

e) tiene ordenada al origen en y única raíz en .

f) las raíces son y y pasa por el punto .

13. Dar la ecuación canónica de una función cuadrática, sabiendo que tiene raíces en

y en y la .




14. Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas, hallar la expresión analítica más

conveniente:

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