Uvod u vjerojatnost i matematicku statistiku

- vjezbe -

Danijel Krizmanic

28. rujna 2007.

Sadrzaj

1 Osnove vjerojatnosti 2

2 Kombinatorika i vjerojatnost 5

3 Uvjetna vjerojatnost. Nezavisnost 9

4 Geometrijske vjerojatnosti 14

5 Diskretne slucajne varijable 16

6 Bernoullijeva shema 20

7 Granicni teoremi u Bernoullijevoj shemi 22

8 Matematicko ocekivanje i varijanca diskretnih slucajnih varijabli 24

9 Funkcije gustoce i distribucije. Diskretni slucajni vektori 28

10 Funkcije izvodnice 32

11 Neprekidne slucajne varijable 34

12 Matematicko ocekivanje i varijanca neprekidnih slucajnih varijabli 38

13 Normalna razdioba. Centralni granicni teorem 40

14 Osnove deskriptivne statistike. Linearna korelacija 42

15 χ2-test 48

1

Poglavlje 1

Osnove vjerojatnosti

Definicija 1.1. Neka je Ω neprazan skup. Familiju F podskupova od Ω zovemo σ-algebra skupova (na Ω) ako vrijedi:

(F1) ∅ ∈ F ;

(F2) A ∈ F ⇒ Ac ∈ F ;

(F3) Ai ∈ F , i ∈ N ⇒∞⋃i=1

Ai ∈ F .

Zadatak 1.2. Neka je F σ-algebra na Ω. Pokazite da vrijede slijedece tvrdnje:

(a) Ω ∈ F ;

(b) Ai ∈ F , i ∈ N ⇒∞⋂i=1

Ai ∈ F ;

(c) A, B ∈ F ⇒ A \B ∈ F .

Definicija 1.3. Neka je Ω 6= ∅ i F σ-algebra na Ω. Uredeni par (Ω,F) zovemo izmjerivprostor. Elementi σ-algebre F zovu se dogadaji.

Zadatak 1.4. Provjerite da li je familija A ⊆ P(Ω) σ-algebra na Ω ako je:

(a) A = A ⊆ Ω : A je konacan , Ω je beskonacan;

(b) A = A ⊆ Ω : A ili Ac je konacan , Ω je beskonacan;

(c) A = A ⊆ Ω : A ili Ac je najvise prebrojiv, Ω je neprebrojiv.

2

3

Zadatak 1.5. Dokazite da je presjek konacne familije σ-algebri opet σ-algebra. Da lito vrijedi i za proizvoljnu familiju σ-algebri?

Zadatak 1.6. Dokazite da unija σ-algebri ne mora biti σ-algebra.

Definicija 1.7. Neka je (Ω,F) izmjeriv prostor. Funkciju P : F → [0, 1] zovemo vjero-jatnost (na F) ako vrijedi:

(P1) P (A) > 0, ∀A ∈ F (nenegativnost);

(P2) P (Ω) = 1 (normiranost);

(P3) Ai ∈ F (i ∈ N), Ai ∩Aj = ∅ za i 6= j ⇒ P( ∞⋃

i=1

Ai

)=

∞∑i=1

P (Ai) (σ-aditivnost).

Uredenu trojku (Ω,F , P ) zovemo vjerojatnosni prostor.

DZ 1.8. Neka je P vjerojatnost na izmjerivom prostoru (Ω,F), te neka su A, B dvadogadaja iz F za koja vrijedi A ∪B = Ω i A ∩B = ∅. Definirajmo funkciju Q : F → Rsa

Q(C) =2P (C ∩ A) + P (C ∩B)

2P (A) + P (B), C ∈ F .

Dokazite da je Q vjerojatnost.

Zadatak 1.9. Neka su A, B, C proizvoljni dogadaji. Nadite relacije koje opisuju sljedecedogadaje:

(a) ”dogodio se samo dogadaj A”;

(b) ”sva 3 dogadaja su se dogodila”;

(c) ”bar 2 dogadaja su se dogodila”;

(d) ”2 i ne vise od 2 dogadaja su se dogodila”;

(e) ”nisu se dogodila vise od 2 dogadaja”;

(f) ”dogodili su se dogadaji A i B, ali ne i C”;

(g) ”bar jedan dogadaj se dogodio”;

(h) ”nijedan dogadaj se nije dogodio”.

Zadatak 1.10. Neka su A, B, C dogadaji. Dokazite da vrijedi:

4

(a) A ⊆ B ⇒ P (A) 6 P (B);

(b) P (A ∪B ∪ C) > maxP (A), P (B), P (C);

(c) P (A ∩B ∩ C) 6 minP (A), P (B), P (C);

(d) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B);

(e) P (Ac) = 1− P (A);

(f) P (A ∩B) > P (A) + P (B)− 1.

Propozicija 1.11. (Sylvestrova formula)Neka je (Ω,F , P ) vjerojatnosni prostor i Ai ∈ F (i = 1, . . . , n). Tada vrijedi

P( n⋃

i=1

Ai

)=∑i6n

P (Ai)−∑

i<j6n

P (Ai∩Aj)+∑

i<j<k6n

P (Ai∩Aj∩Ak)−. . .+(−1)n+1P( n⋂

i=1

Ai

).

Zadatak 1.12. Neka je Ω = w1, . . . , wn, F = P(Ω), P (wi) =1

n(i = 1, . . . n).

Pokazite da za A ⊆ Ω vrijedi

P (A) =|A||Ω|

.

Primjer 1.1. Sa Ω = P,G (P - pismo, G - glava), F = P(Ω), P (P) = P (G) =1

2opisan je vjerojatnosni prostor za slucajni pokus bacanja simetricnog novcica.

Primjer 1.2. Sa Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, F = P(Ω), P (i) =1

6(i = 1, . . . , 6) opisan je

vjerojatnosni prostor za slucajni pokus bacanja simetricne kocke.

Zadatak 1.13. Bacimo dvije simetricne kocke. Kolika je vjerojatnost da je zbroj brojevakoji su pali na te dvije kocke jednak 7?

DZ 1.14. Kolika je vjerojatnost da ce pri slucajnom izboru jednog dvoznamenkastogbroja njegove znamenke biti jednake?

Poglavlje 2

Kombinatorika i vjerojatnost

Definicija 2.1. Neka je A = a1, a2, . . . , an (|A| = n), r ∈ N, r 6 n.1

(1) Varijacija r-tog razreda u skupu A je svaka uredena r-torka (ai1 , ai2 , . . . , air)medusobno razlicitih elemenata skupa A. Broj svih varijacija r-tog razreda u n-clanom skupu A jednak je V

(r)n = n(n− 1) · . . . · (n− r + 1).

(2) Permutacija u skupu A je svaka varijacija n-tog razreda u skupu A. Broj svih

permutacija u n-clanom skupu A jednak je Pn = V(n)n = n!.

(3) Varijacija s ponavljanjem r-tog razreda u skupu A je svaka uredena r-torka(ai1 , ai2 , . . . , air) elemenata skupa A (clanovi r-torke mogu biti jednaki). Broj svih

varijacija s ponavljanjem r-tog razreda u n-clanom skupu A jednak je V(r)

n = nr.

(4) Kombinacija r-tog razreda u skupu A je svaki r-clani podskup skupa A. Broj

svih kombinacija r-tog razreda u n-clanom skupu A jednak je C(r)n =

(n

r

).

(5) Kombinacija s ponavljanjem r-tog razreda u skupu A je svaka neuredenar-torka (ai1 , ai2 , . . . , air) elemenata skupa A (clanovi r-torke mogu biti jednaki).Broj svih kombinacija s ponavljanjem r-tog razreda u n-clanom skupu A jednak je

C(r)

n =

(n + r − 1

r

).

Zadatak 2.2. Bacamo simetricnu kocku tri puta. Kolika je vjerojatnost da cemo svakiput dobiti veci broj?

Zadatak 2.3. Bacamo sest simetricnih kocki. Izracunajte vjerojatnost da cemo na svimkockama dobiti razlicite brojeve, ako kocke razlikujemo.

1U (3) i (5) moze biti i r > n.

5

6

DZ 2.4. Rijesite prethodni zadatak uz pretpostavku da kocke ne razlikujemo.

Zadatak 2.5. U nekoj srednjoj koli od 400 ucenika njih se 180 bavi nogometom, 130kosarkom, 100 rukometom, 40 nogometom i kosarkom, 30 nogometom i rukometom, 20kosarkom i rukometom, a 10 sa sva tri sporta. Kolika je vjerojatnost da ce se slucajnoodabrani ucenik skole baviti:

(a) barem jednim sportom;

(b) samo jednim sportom;

(c) sa barem 2 sporta;

(d) sa sva 3 sporta?

Zadatak 2.6. U jednoj se kutiji nalazi 10 crvenih, 8 bijelih i 5 plavih kuglica. Naslucajan nacin izvlacimo po jednu kuglicu s vracanjem. Kolika je vjerojatnost da cebijela kuglica biti izvucena prije crvene?

DZ 2.7. Bacamo 10 simetricnih kocki. Koji je dogadaj vjerojatniji:

A = suma brojeva koji su pali na tih 10 kocki iznosi 30

iliB = suma brojeva koji su pali na tih 10 kocki iznosi 40?

DZ 2.8. Slucajni se pokus sastoji od biranja jednog broja iz skupa N100 = 1, 2, . . . , 100.Kolika je vjerojatnost da izabrani broj pri djeljenju s 8 daje ostatak 2?

Zadatak 2.9. Od 50 ogrlica 5 je laznih. Kolika je vjerojatnost da ce slucajnim izborom45 ogrlica biti izabrane i dvije lazne ogrlice?

Zadatak 2.10. Slucajno izabrani telefonski broj sastoji se od 6 znamenaka. Kolika jevjerojatnost:

(a) da su sve znamenke razlicite;

(b) da su 2 znamenke jednake?

Zadatak 2.11. Kolika je vjerojatnost da 2 slucajno izabrane osobe imaju rodendan:

(a) u istom danu;

7

(b) u razlicitim mjesecima?

Zadatak 2.12. Za okrugli se stol po volji razmjestilo n osoba (n > 2). Kolika jevjerojatnost da su dvije fiksirane osobe A i B sjele jedna pored druge?

DZ 2.13. Grupa od n strijelaca gada u m meta (n 6 m). Svaki od strijelaca izabire simetu na slucajan nacin nezavisno od drugih strijelaca. Kolika je vjerojatnost da ce svistrijelci gadati u:

(a) istu metu;

(b) razlicite mete?

Primjer 2.1. (Razdioba r kuglica u n kutija)Pretpostavimo da na slucajan nacin (bacanjem) vrsimo razdiobu r kuglica u n kutija.Oznacimo kutije sa a1, a2, . . . , an. Svakom pojedinom bacanju kuglica odgovara jedanizbor kutija. Npr. za r = 3, n = 5 s (a1, a4, a3) oznacavamo ishod bacanja kod kojegje prva kuglica rasporedena u 1. kutiju, druga kuglica u 4. kutiju te treca kuglica u3. kutiju.

(1) Ako kuglice medusobno razlikujemo i ako svaka kutija moze primiti proizvoljnomnogo kuglica (od 0 do r), tada je ukupan broj svih mogucih razdioba r kuglica

u n kutija jednak V(r)

n = nr (tzv. Maxwell - Boltzmanova hipoteza).

(2) Ako kuglice medusobno ne razlikujemo i ako svaka kutija moze primiti proizvoljnomnogo kuglica (od 0 do r), tada je ukupan broj svih mogucih razdioba r kuglica

u n kutija jednak C(r)

n =(

n+r−1r

)(tzv. Bose - Einsteinova hipoteza).

(3) Neka je r 6 n i neka svaka kutija moze primiti najvise jednu kuglicu. Ako kuglicemedusobno ne razlikujemo, tada je ukupan broj svih mogucih razdioba r kuglicau n kutija jednak C

(r)n =

(nr

)(tzv. Fermi - Diracova hipoteza).

(4) Neka je r 6 n i neka svaka kutija moze primiti najvise jednu kuglicu. Ako kuglicemedusobno razlikujemo, tada je ukupan broj svih mogucih razdioba r kuglica u nkutija jednak V

(r)n = n(n− 1) · . . . · (n− r + 1) (tzv. Linden - Bellova hipoteza).

DZ 2.14. Procitajte iz knjige Nikola Sarapa: Vjerojatnost i statistika I. dio (Osnovevjerojatnosti, Kombinatorika) poglavlje o izvlacenju kuglica iz kutije (Primjer 3.40.,92. str.).

Zadatak 2.15. Na slucajan nacin razmjestamo n kuglica u n kutija (kuglice razlikujemoi svaka kutija moze primiti proizvoljno od 0 do n kuglica). Kolika je vjerojatnost da tocnojedna kutija ostane prazna?

8

DZ 2.16. Na slucajan nacin razmjestamo 4 kuglica u 6 kutija (kuglice razlikujemo isvaka kutija moze primiti proizvoljno od 0 do 4 kuglica). Kolika je vjerojatnost da ce uprve cetiri kutije biti tocno po jedna kuglica?

Zadatak 2.17. Pretpostavimo da 4 igraca igraju igru sa 52 igrace karte, pri cemu se usvakoj igri svakom igracu podijeli 13 karata. Kolika je vjerojatnost da u jednoj igri svakiigrac ima jednog asa (djeljenje karata je slucajno)?

DZ 2.18. Lift krece sa 7 putnika i staje na 10 katova. Kolika je vjerojatnost da svakiputnik izade na razlicitom katu ako:

(a) putnike medusobno razlikujemo;

(b) putnike medusobno ne razlikujemo?

DZ 2.19. Kutija sadrzi 10 kuglica numeriranih brojevima od 1 do 10. Na slucajan nacinizvucemo iz kutije 5 kuglica. Izracunajte vjerojatnost da drugi po velicini od 5 izvucenihbrojeva bude 8.

Poglavlje 3

Uvjetna vjerojatnost. Nezavisnost

Definicija 3.1. Neka je (Ω,F , P ) vjerojatnosni prostor, A ∈ F dogadaj takav da jeP (A) > 0. Definiramo funkciju PA : F → [0, 1] sa

PA(B) = P (B|A) :=P (A ∩B)

P (A), B ∈ F .

PA je vjerojatnost na F koju zovemo uvjetna vjerojatnost uz uvjet A. Broj P (B|A)zovemo vjerojatnost od B uz uvjet A.

DZ 3.2. Dokazite da je PA vjerojatnost na F .

Zadatak 3.3. Dva se broja na slucajan nacin odjednom izabiru izmedu brojeva 1, 2, . . . , 10.Ako je poznato da je njihov zbroj paran, nadite vjerojatnost da su oba neparna.

Definicija 3.4. Neka je (Ω,F , P ) vjerojatnosni prostor.Dogadaji A i B su nezavisni ako vrijedi

P (A ∩B) = P (A) · P (B).

Dogadaji A1, . . . , An su nezavisni ako vrijedi

P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik) = P (Ai1) · P (Ai2) · . . . · P (Aik)

za 1 6 i1 < i2 < . . . < ik 6 n.

Dogadaji Aα, α ∈ A, su nezavisni ako za svaki konacan podskup (i1, i2, . . . , ik) ⊆ Arazlicitih indeksa vrijedi

P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik) = P (Ai1) · P (Ai2) · . . . · P (Aik).

Primjer 3.1. Na osnovi definicije 3.4. slijedi da su dogadaji A, B, C nezavisni ako vrijedi:

9

10

P (A ∩B) = P (A) · P (B)

P (A ∩ C) = P (A) · P (C)

P (B ∩ C) = P (B) · P (C)

P (A ∩B ∩ C) = P (A) · P (B) · P (C).

Zadatak 3.5. Pokazite da disjunktnost skupova A i B ne povlaci (opcenito) nezavisnosttih dogadaja.

DZ 3.6. Dokazite da su disjunktni dogadaji A i B nezavisni ako i samo ako vrijediP (A) = 0 ili P (B) = 0.

Zadatak 3.7. Neka su A i B nezavisni dogadaji. Dokazite da su tada nezavisni idogadaji A i Bc.

DZ 3.8. Neka su A i B nezavisni dogadaji. Dokazite da su tada nezavisni i dogadajiAc i Bc.

Primjer 3.2. Dogadaji A, B, C mogu biti u parovima nezavisni, ali ne moraju biti neza-visni. Naime, promotrimo slucajni pokus bacanja dviju simetricnih kocki1 i promotrimodogadaje

A = na prvoj kocki palo je 1, 2 ili 3,B = na drugoj kocki palo je 4, 5 ili 6,

C = zbroj brojeva koji su pali na obje kocke je 7.Tada imamo

A = (1, i), (2, i), (3, i) : i = 1, 2, . . . , 6 ⇒ P (A) =18

36=

1

2,

B = (i, 4), (i, 5), (i, 6) : i = 1, 2, . . . , 6 ⇒ P (B) =18

36=

1

2,

C = (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) ⇒ P (C) =6

36=

1

6.

Nadalje

A∩B = (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6) ⇒ P (A∩B) =9

36=

1

4,

A ∩ C = (1, 6), (2, 5), (3, 4) ⇒ P (A ∩ C) =3

36=

1

12,

1Ovdje je Ω = (i, j) : 1 6 i, j 6 6, F = P(Ω), P ((i, j)) = 136 za (i, j) ∈ Ω.

11

B ∩ C = (1, 6), (2, 5), (3, 4) ⇒ P (B ∩ C) =3

36=

1

12,

A ∩B ∩ C = (1, 6), (2, 5), (3, 4) ⇒ P (A ∩B ∩ C) =3

36=

1

12.

Lako se provjeri da vrijedi

P (A ∩B) = P (A) · P (B),

P (A ∩ C) = P (A) · P (C),

P (B ∩ C) = P (B) · P (C),

odakle slijedi da su A, B i C u parovima nezavisni.2 Ali jer je

P (A ∩B ∩ C) 6= P (A) · P (B) · P (C),

slijedi da A, B i C nisu nezavisni.

Zadatak 3.9. Koliko najmanje slucajno odabranih osoba treba pitati za datum njihovogrodenja (zanemarujemo godinu rodenja, vec uzimamo u obzir samo dan i mjesec) da bise s vjerojatnoscu vecom od 0.5 nasla barem jedna osoba rodena istog datuma kao i vi(iskljucujemo 29. 2.)?

DZ 3.10. (a) Bacamo jednu simetricnu kocku 4 puta (nezavisno). Dokazite da jevjerojatnost dogadaja da padne parem jedna sestica veca od 0.5.

(b) Da li je vjerojatnost da u sest puta vise bacanja (dakle 24 bacanja) dvije simetricnekocke padne barem jedna dvostruka sestica takoder veca od 0.5?

Teorem 3.11. (Formula potpune vjerojatnosti)Neka je H1, H2, . . . , Hn potpun sistem dogadaja u vjerojatnosnom prostoru (Ω,F , P )(tj. P (Hi) > 0 za i = 1, 2, . . . , n; Hi ∩ Hj = ∅ za i 6= j; H1 ∪ H2 ∪ . . . ∪ Hn = Ω),3 teneka je A ∈ F . Tada vrijedi

P (A) =n∑

i=1

P (Hi)P (A|Hi).

Zadatak 3.12. Neki vojni cilj gada se iz tri topa. Topovi gadaju cilj nezavisno jedanod drugoga s vjerojatnoscu 0.4. Ako jedan top pogodi cilj, on ga unisti s vjerojatnoscu0.3, ako ga pogode dva topa, uniste ga s vjerojatnoscu 0.7, a ako ga pogode sva tri topa,uniste ga s vjerojatnoscu 0.9. Nadite vjerojatnost unistenja cilja.

2To znaci da su A i B nezavisni, A i C nezavisni te B i C nezavisni.3Dogadaji Hi nazivaju se hipoteze.

12

Zadatak 3.13. U kutiji se nalazi N kuglica od kojih je M bijelih (M < N). Naslucajan nacin se iz kutije jedna za drugom izvlace dvije kuglice (bez vracanja). Naditevjerojatnost da druga izvucena kuglica bude bijela.

DZ 3.14. U skupini od 10 strijelaca nalaze se 4 izvrsna i 6 dobrih. Vjerojatnost pogotkaza izvrsne strijelce iznosi 0.9, a za dobre 0.7. Iz skupine slucajno izabiremo jednogstrijelca. Kolika je vjerojatnost da ce on pogoditi metu?

Propozicija 3.15. Neka je H1, H2, . . . , Hn potpun sistem dogadaja u vjerojatnosnomprostoru (Ω,F , P ). Tada za A, B ∈ F vrijedi

P (B|A) =n∑

i=1

P (Hi|A)P (B|Hi ∩ A).

Teorem 3.16. (Bayesova formula)Neka je H1, H2, . . . , Hn potpun sistem dogadaja u vjerojatnosnom prostoru (Ω,F , P )i A ∈ F takav da je P (A) > 0. Tada za svaki i ∈ 1, 2, . . . , n vrijedi

P (Hi|A) =P (Hi)P (A|Hi)

n∑j=1

P (Hj)P (A|Hj)

.

Zadatak 3.17. Na stolu se nalaze tri kutije. U prvoj se kutiji nalaze 2 zute, 4 zelene i6 plavih kuglica, u drugoj 4 zute, 6 zelenih i 8 plavih, a u trecoj 6 zutih, 8 zelenih i 10plavih kuglica. Bacamo simetricnu kocku i ako na kocki padne

1, 2, 3 → biramo prvu kutiju,

4 → biramo drugu kutiju,

5, 6 → biramo trecu kutiju.

(a) Iz tako odabrane kutije je na slucajan nacin izvucena kuglica i ona je bila zelena.Ako tu kuglicu ne vracamo natrag u kutiju, izracunajte vjerojatnost da ce slijedecaizvucena kuglica iz iste kutije biti plava.

(b) Ako su izvucene dvije zute kuglice, iz koje je kutije najvjerojatnije da su one bileizvucene?

DZ 3.18. U dvije od tri jednake pregrade nalaze se 2 crne i 2 bijele kuglice, a u trecoj5 bijelih i 1 crna. Iz na srecu odabrane pregrade izvucena je jedna kuglica bijele boje.Kolika je vjerojatnost da je ona izvucena iz trece pregrade?

13

DZ 3.19. U kutiji se nalazi 90 kuglica od kojih je 10 numerirano brojem 1, 10 ih jenumerirano brojem 2 i tako dalje, konacno 10 ih je numerirano brojem 9. Na slucajannacin se jedna za drugom bez vracanja izvlace tri kuglice te se zapise dobiveni broj(izvucemo li npr. brojeve 1, 7, 6 tim redosljedom, to zapisujemo kao broj 176). Definiramodogadaj

A = dobiveni troznamenkasti broj je paran.

Odredite vjerojatnost dogadaja A. Sto se promijeni ako svaki put vratimo izvucenukuglicu u kutiju (odnosno, izvlacimo kuglice s vracanjem)?

Poglavlje 4

Geometrijske vjerojatnosti

Napomena 4.1. Neka je Ω ⊆ Rn (n = 1, 2, 3) ogranicen skup za koji vrijedi 0 < λ(Ω) <∞, pri cemu je λ duljina za n = 1, povrsina za n = 2 i volumen za n = 3. Za A ⊆ Ω,za koji postoji λ(A), definiramo

P (A) =λ(A)

λ(Ω).

Tada je P vjerojatnost.1

Zadatak 4.1. Iz segmenta [0, 1] slucajno i nezavisno biramo dva broja x i y. Odreditevjerojatnost dogadaja:

(a) A = x = y;

(b) B = x 6 y;

(c) C = x < y;

(d) D =

x <1

2

∩

y >1

3

.2

Zadatak 4.2. Dva prijatelja se dogovore da se nadu negdje u gradu. Svaki od njih cedoci u neko slucajno doba uzmedu 8 i 9 sati. Kada dode, svaki od njih ceka 20 minutate ako se drugi ne pojavi, odlazi. Kolika je vjerojatnost da ce se oni sresti?

Zadatak 4.3. Na slucajan nacin izabiremo brojeve x ∈ [0, 1] i y ∈ [0, 2]. Kolika jevjerojatnost da je x + y > 2 i xy < 1?

1Mozemo i ovako reci: P (slucajno odabrana tocka x ∈ Ω nalazi se u A) = P (A) =λ(A)λ(Ω)

.

2Skup D mozemo zapisati i u obliku

x <12, y >

13

. Ovdje nam zarez zamjenjuje simbol za

presjek. Taj cemo oblik cesto koristiti u nastavku.

14

15

DZ 4.4. Slucajno i nezavisno izabiremo brojeve x, y ∈ [0, 1]. Izracunajte vjerojatnost

da je x + y 6 1 i xy 62

9.

Zadatak 4.5. Slucajno su i nezavisno jedna od druge, odabrane tri tocke x, y, z ∈ [0, 1].

Izracunajte vjerojatnost da je x + y + z 61

2.

Zadatak 4.6. Na slucajan nacin su izabrani brojevi a, b ∈ [0, 1]. Izracunajte vjerojatnostda ce korijeni jednadzbe x2 + ax + b2 = 0 biti realni.

DZ 4.7. U jednakokracnom trokutu osnovice duljine a i visine duljine a upisan jekvadrat. Kolika je vjerojatnost da na srecu odabrana tocka u trokutu ne lezi unutartog kvadrata?

Poglavlje 5

Diskretne slucajne varijable

Definicija 5.1. Neka je (Ω,F , P ) diskretni vjerojatnosni prostor.1 Proizvoljna funkcijaX : Ω → R naziva se (diskretna) slucajna varijabla (na Ω).Reci cemo da je zadana distribucija (razdioba) slucajne varijable X (odnosno,zakon razdiobe od X) ako je zadan (konacan ili prebrojiv) niz a1, a2, a3, . . . svih ra-zlicitih vrijednosti koje poprima slucajna varijabla X,2 te niz brojeva p1, p2, p3, . . . takvihda je

pi = P (X = ai) = P (X−1(ai)) = P (ω ∈ Ω : X(ω) = ai),3

sto zapisujemo

X ∼(

a1 a2 a3 . . .p1 p2 p3 . . .

)(5.1)

Napomena 5.1. Ako je slucajna varijabla X dana zakonom razdiobe (5.1), tada zaproizvoljan skup B ⊆ R vrijedi

P (X ∈ B) =∑

i : ai∈B

pi =∑ai∈B

pi.

Primjer 5.2. Promotrimo slucajni pokus bacanja dvije simetricne igrace kocke.4 Vjero-jatnosni prostor kojim je opisan navedeni pokus dan je s Ω = (i, j) : 1 6 i, j 6 6,5

F = P(Ω) i P (ω) = P (ω) =1

36za ω ∈ Ω. Definirajmo dvije slucajne varijable na Ω:

X : Ω → N, X = broj koji je pao na prvoj kocki,

1Vjerojatnosni prostor (Ω,F , P ) kod kojeg je skup Ω konacan ili prebrojivo beskonacan zovemodiskretni vjerojatnosni prostor.

2X(Ω) = a1, a2, a3, . . ..3Uocimo da mora vrijediti: 0 6 pi 6 1 i

∑i

pi = 1.

4Kocke razlikujemo, npr. neka je prva obojana crvenom, a druga plavom bojom.5U uredenom paru (i, j), i predstavlja broj koji je pao na prvoj kocki, a j broj koji je pao na drugoj

kocki.

16

17

Y : Ω → N, Y = broj koji je pao na drugoj kocki.

Tada za ω = (iω, jω) ∈ Ω vrijedi X(ω) = iω i Y (ω) = jω. Odredimo zakone razdioba odX i Y . Zbog simetricnosti, X i Y imaju jednake zakone razdiobe pa je dovoljno odreditizakon razdiobe od X. Prvo, slucajna varijabla X poprima sest razlicitih vrijednosti; tosu 1, 2, . . . , 6 (ai = i za i = 1, 2, . . . , 6). Odredimo pi = P (X = i). Imamo

P (X = 1) = P (ω ∈ Ω : X(ω) = 1) = P ((1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)) =6

36=

1

6.

Slicno se dobije i P (X = 2) = P (X = 3) = . . . = P (X = 6) =1

6. Zato je zakon

razdiobe od X dan sa

X ∼(

1 2 3 4 5 616

16

16

16

16

16

).

Odredimo jos P (X 6 4), P (X + Y = 7) i P (X = 5 |X + Y = 7). Imamo

P (X 6 4) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) =4

6=

2

3, 6

P (X + Y = 7) = P ((1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)) =6

36=

1

6,

P (X = 5 |X + Y = 7) =P (X = 5, X + Y = 7)

P (X + Y = 7)=

P ((5, 2))P (X + Y = 7)

=13616

=1

6.7

Definicija 5.2. Neka je (Ω,F , P ) diskretni vjerojatnosni prostor te X1, . . . , Xn slucajnevarijable na Ω. Kazemo da su X1, . . . , Xn nezavisne slucajne varijable ako za proizvoljneskupove Bi ⊆ R (i = 1, . . . , n) vrijedi

P (X1 ∈ B1, . . . , Xn ∈ Bn) =n∏

i=1

P (Xi ∈ Bi).

Zadatak 5.3. Neka meta gada se cetiri puta pri cemu je vjerojatnost pogotka u svakomgadanju jednaka 0.8. Neka je X slucajna varijabla cija je vrijednost broj pogodaka umetu. Odredite:

(a) zakon razdiobe od X;

(b) vjerojatnost dogadaja 1 6 X 6 3.

6Ovdje smo dogadaj X 6 4 rastavili na uniju cetiri disjunktna dogadaja X = 1, X = 2,X = 3, X = 4 pa smo iskoristili aditivnost vjerojatnosti.

7P (X = 5, X + Y = 7) = P (X = 5 ∩ X + Y = 7) = P (ω ∈ Ω : X(ω) = 5, X(ω) + Y (ω) = 7) == P (ω ∈ Ω : X(ω) = 5, 5 + Y (ω) = 7) = P (ω ∈ Ω : X(ω) = 5, Y (ω) = 2) = P ((5, 2)).

18

Primjer 5.3. (Osnovne distribucije diskretnih slucajnih varijabli)

(1) Kazemo da slucajna varijabla X ima binomnu razdiobu s parametrima n ∈ N ip ∈ (0, 1) ako joj je distribucija dana formulom

P (X = k) =

(n

k

)pkqn−k, k = 0, 1, . . . , n

gdje je q = 1− p. Oznaka: X ∼ B(n, p).

(2) Kazemo da slucajna varijabla X ima Bernoullijevu razdiobu s parametromp ∈ (0, 1) ako joj je distribucija dana sa

X ∼(

0 1q p

)gdje je q = 1− p.8

(3) Kazemo da slucajna varijabla X ima diskretnu uniformnu razdiobu s parametromn ∈ N ako joj je distribucija dana sa

X ∼(

1 2 . . . n1n

1n

. . . 1n

),

tj. P (X = k) =1

n, k = 1, 2, . . . , n.

(4) Kazemo da slucajna varijabla X ima hipergeometrijsku razdiobu s parametriman,m ∈ N, r ∈ N0 (n 6 m, r ∈ 0, 1, . . . ,m) ako joj je distribucija dana formulom

P (X = k) =

(rk

)(m−rn−k

)(mn

) k = 0, 1, . . . , n.

(5) Neka je λ ∈ R, λ > 0. Kazemo da slucajna varijabla X ima Poissonovu razdiobus parametrom λ ako joj je distribucija dana formulom

P (X = k) =λk

k!e−λ, k = 0, 1, 2 . . .

Oznaka: X ∼ P (λ).

(6) Kazemo da slucajna varijabla X ima logaritamsku razdiobu s parametromp ∈ (0, 1) ako joj je distribucija dana formulom

P (X = k) =−qk

k ln p, k ∈ N

gdje je q = 1− p.

8Vrijedi sljedeca cinjenica: ako su X1, . . . , Xn nezavisne Bernoullijeve slucajne varijable s

parametrom p, tada jen∑

i=1

Xi ∼ B(n, p).

19

(7) Kazemo da slucajna varijabla X ima geometrijsku razdiobu s parametromp ∈ (0, 1) ako joj je distribucija dana formulom

P (X = k) = p qk, k = 0, 1, 2, . . .

gdje je q = 1− p.

Zadatak 5.4. Provjerite da su slucajne varijable iz Primjera 5.3. dobro definirane.

Zadatak 5.5. Neka je Ω = ω1, ω2, ω3 i P (ω1) = P (ω2) = P (ω3) =1

3. Definirajmo

slucajne varijable X, Y, Z sa

X(ω1) = 1, X(ω2) = 2, X(ω3) = 3,

Y (ω1) = 2, Y (ω2) = 3, Y (ω3) = 1,

Z(ω1) = 3, Z(ω2) = 1, Z(ω3) = 2.

Pokazite da X, Y, Z imaju isti zakon razdiobe te nadite zakone razdiobe od X+Y , Y +Z,

X + Y − Z,√

(X2 + Y 2)Z iZ

|X − Y |.

DZ 5.6. U kutiji se nalazi 7 kuglica od kojih su 4 bijele i 3crne. Iz kutije na slucajannacin izvlacimo 3 kuglice (bez vracanja). Oznacimo s X broj bijelih kuglica meduizvucenim kuglicama. Odredite zakon razdiobe slucajne varijable X.

DZ 5.7. Neka je X ∼ B(3, 23). Odredite razdiobu slucajne varijable Y = X2.

Poglavlje 6

Bernoullijeva shema

Definicija 6.1. Neka je Ω1 = 0, 1, P1 : P(Ω1) → [0, 1] vjerojatnost na Ω1 t. d. jeP1(1) = p i P1(0) = q = 1 − p. Bernoullijeva shema je diskretni vjerojatnosniprostor (Ω,F , P ) gdje je Ω = Ωn

1 i P = P n1 .1

Napomena 6.1. Bernoullijeva je shema matematicki model za n nezavisnih pokusa odkojih svaki ima samo dva moguca ishoda - ”uspjeh” (1) i ”neuspjeh” (0) - pri cemu jevjerojatnost uspjeha u svakom pokusu ista.

Korolar 6.2. Neka su Ω, P i p kao u definiciji 6.1. te neka je ω = (ω1, . . . , ωn) ∈Ω (ωi = 1 ili 0). Na Ω definiramo slucajnu varijablu X sa

X(ω) = broj jedinica u ω.

Tada je X ∼ B(n, p). Ako stavimo

A = X = k = u n pokusa dogodilo se k uspjeha,

slijedi P (A) = P (X = k) =

(n

k

)pkqn−k.

Zadatak 6.3. Cetvorica igraca igraju neku igru s kartama i prilikom podjele 52 kartejedan od igraca tri puta zaredom nije dobio asa. Izracunajte vjerojatnost tog dogadaja.

Zadatak 6.4. Razvrstavamo (nezavisno) 6 kuglica u 3 kutije A, B, C. Vjerojatnost dacemo svaku kuglicu smjestiti u pojedinu kutiju iznosi 1

3. Kolika je vjerojatnost da ce u

kutiji A biti:

(a) tocno 4 kuglice;

1Za ω = (ω1, . . . , ωn) ∈ Ω imamo P (ω) = Pn1 (ω) = P1(ω1) · P1(ω2) · . . . · P1(ωn).

20

21

(b) barem 2 kuglice;

(c) barem 4 kuglice;

(d) najvise 5 kuglica?

DZ 6.5. U svakom slucajnom pokusu (koji su nezavisni) dogadaj A pojavljuje se s vjero-jatnoscu 0.25. Izracunajte vjerojatnost da ce se u 7 izvodenja pokusa dogadaj A pojavitiparan broj puta.2

Definicija 6.6. Neka je Ω1 = ω1, ω2, . . . , ωk, P1 : P(Ω1) → [0, 1] vjerojatnost naΩ1 t. d. je P1(ωi) = pi, i = 1, 2, . . . k. Generalizirana Bernoullijeva shema jediskretni vjerojatnosni prostor (Ω,F , P ) gdje je Ω = Ωn

1 i P = P n1 .

Napomena 6.2. Generalizirana Bernoullijeva shema niz je od n ponovljenih nezavisnihpokusa s tim da u svakom pokusu imamo k (dakle, konacno mnogo) ishoda.

Korolar 6.7. Neka su Ω, P , pi kao u definiciji 6.6. te neka je ω ∈ Ω. Tada je

P (ω) = pn11 · pn2

2 · . . . pnkk ,

gdje je ni broj pojavljivanja ωi u nizu ω = (ωi1 , . . . , ωin). Jasno, vrijedik∑

i=1

ni = n.

Stavimo

A(n1, . . . , nk) = ω ∈ Ω : ωi se u n-torci ω = (ωi1 , . . . , ωin) pojavljuje ni puta , i = 1, . . . , k.

Tada je P (A(n1, . . . , nk)) =n!

n1! · . . . · nk!pn1

1 · . . . · pnkk (=: p(n1, . . . , nk)).

Zadatak 6.8. Na slucajan nacin nezavisno rasporedujemo 12 kuglica u 3 prazne kutije.Izracunajte vjerojatnost da ce:

(a) u svaku kutiju biti rasporeden jednak broj kuglica;

(b) u jednu kutiju biti rasporedeno 5 kuglica, u jednu 4 i u jednu 3 kuglice.

Zadatak 6.9. Bacimo 5 simetricnih kocaka. Kolika je vjerojatnost da padnu tocno dvijedvojke i jedna sestica?

DZ 6.10. Na jednom sahovskom turniru nastupa i Matko Fizic. On ce na turniruodigrati 16 partija, nezavisno jednu od druge. Vjerojatnost da Matko u pojedinoj partijipobijedi iznosi 4

7, da remizira 1

7i da izgubi 2

7. Kolika je vjerojatnost da ce na kraju

turnira Matko imati 7 pobjeda, 5 remija i 4 poraza?

2Nula se racuna kao paran broj.

Poglavlje 7

Granicni teoremi u Bernoullijevojshemi

Teorem 7.1. (Lokalni Moivre-Laplaceov teorem)

Neka je p ∈ (0, 1), Xn ∼ B(n, p) i xk =k − np√

npq, k = 0, 1, . . . , n (q = 1 − p). Tada

vrijedi

limn→∞

√2πnpq P (Xn = k)

e−x2

k2

= 1

i to uniformno na svakom ogranicenom segmentu [a, b], a 6 xk 6 b, za sve k i n.

Napomena 7.1. Dakle, za velike n vrijedi

P (Xn = k) ≈1

√npq

· 1√2π

e−(k−np)2

2npq .

Stavimo ϕ(x) =1√2π

e−x2

2 .1 Tada za velike n vrijedi

P (Xn = k) ≈1

√npq

ϕ(k − np√

npq

). (7.1)

Teorem 7.2. (Integralni Moivre-Laplaceov teorem)

Neka je p ∈ (0, 1) i Xn ∼ B(n, p) (n ∈ N). Tada za proizvoljne a, b ∈ R (a < b) vrijedi

limn→∞

P(a 6

Xn − np√

npq6 b)

=1√2π

∫ b

a

e−x2

2 dx.

1Funkcija ϕ naziva se Gaussova ili normalna funkcija i njezine su vrijednosti tabelirane, npr. uMatematickom prirucniku Bronstejna i Semendjajeva.

22

23

Korolar 7.3. Stavimo

Φ(x) =

∫ x

0

ϕ(t) dt =1√2π

∫ x

0

e−t2

2 dt.

Φ je monotono rastuca i neparna funkcija (Φ(−x) = −Φ(x)) te vrijedi Φ(0) = 0. Tadaza velike n vrijedi

P (a 6 Xn 6 b) ≈ Φ(b− np√

npq

)− Φ

(a− np√

npq

).2 (7.2)

Za ε > 0 i velike n vrijedi sljedeca formula

P(∣∣∣Xn

n− p∣∣∣ < ε

)≈ 2Φ

(ε

√n

pq

).

Napomena 7.2. Obicno se formule (7.1) i (7.2) primjenjuju ako je√

npq > 10.

Zadatak 7.4. Simetrican novcic bacamo 100 puta. Kolika je vjerojatnost da ce grbpasti tocno 50 puta?

Zadatak 7.5. Zadana su dva kruga K1 = K(0, r) i K2 = K(0, 2r) (r > 0). Na slucajanse nacin odabire 1000 tocaka unutar veceg kruga. Izracunajte vjerojatnost da ce se:

(a) tocno 700 od tih 1000 tocaka nalaziti unutar kruznog vijenca odredenim sa ta dvakruga;

(b) barem 720 tocaka nalaziti u kruznom vijencu.

Zadatak 7.6. Koliko (najmanje) puta moramo baciti par igracih kocaka da bi se svjerojatnoscu 0.95 dogodilo da barem 100 puta zbroj brojeva koji su pali na kockamabude jednak 7?

Zadatak 7.7. Kolika je vjerojatnost da ce se prilikom 3600 bacanja simetricnog novcicarelativna frekvencija dobivanja pisma razlikovati po apsolutnoj vrijednosti od 0.5 zamanje od 0.01?

DZ 7.8. Koliko puta treba baciti simetricnu kocku da bi relativna frekvencija dobivanjasestice s vjerojatnoscu 0.95 bila izmedu 19

120i 21

120?

DZ 7.9. Na prijemnom ispitu se rjesava 40 zadataka. Za svaki su zadatak ponudena4 odgovora od kojih je samo jedan tocan. Za tocno zaokruzeni odgovor dobiva se 15bodova, a za netocan gubi se 5 bodova. Pod pretpostavkom da odgovorite na svakopitanje, izracunajte vjerojatnost da slucajnim odabirom ponudenih odgovora prijedeteklasifikacijski prag od 120 bodova.

2Ova se formula koristi u primjenama jer su vrijednosti funkcije Φ tabelirane (npr. u Matematickomprirucniku Bronstejna i Semendjajeva).

Poglavlje 8

Matematicko ocekivanje i varijancadiskretnih slucajnih varijabli

Definicija 8.1. Neka je (Ω,P(Ω), P ) diskretni vjerojatnosni prostor, Ω = ω1, ω2, . . . i

X slucajna varijabla na Ω. Ako red∑ωk∈Ω

X(ωk)P (ωk) apsolutno konvergira, tada nje-

govu sumu zovemo (matematicko) ocekivanje slucajne varijable X i oznacujemosa

EX =∑ωk∈Ω

X(ωk)P (ωk).

Teorem 8.2. Neka je

X ∼(

a1 a2 . . .p1 p2 . . .

)zakon razdiobe slucajne varijable X. Redovi

∑ωk∈Ω

X(ωk)P (ωk) i∑

i

aipi istodobno ili

apsolutno konvergiraju ili apsolutno divergiraju. U slucaju apsolutne konvergencije sumaim je ista, dakle vrijedi

EX =∑

i

aipi.

Korolar 8.3. (Svojstva matematickog ocekivanja)

(1) X = konstanta = c (c ∈ R)1 ⇒ EX = c.

(2) Neka je X slucajna varijabla s distribucijom X ∼(

a1 a2 . . .p1 p2 . . .

)i g : R → R

proizvoljna funkcija. Tada vrijedi

E[g(X)] =∑

i

g(ai)pi

1X(ω) = c za sve ω ∈ Ω.

24

25

(uz pretpostavku da red∑

i

g(ai)pi apsolutno konvergira).

(3) Neka su X i Y diskretne slucajne varijable koje imaju (konacna) ocekivanja iα, β ∈ R. Tada slucajna varijabla αX + βY takoder ima ocekivanje i vrijedi

E(αX + βY ) = αEX + βEY. 2

(4) Neka slucajna varijabla X ima ocekivanje i neka je X > 0.3 Tada je EX > 0.

(5) Neka slucajne varijable X i Y imaju ocekivanje i neka je X 6 Y .4 Tada jeEX 6 EY .

Primjer 8.1. Neka je sa

X ∼(−1 0 113

13

13

)dan zakon razdiobe slucajne varijable X. Odredimo EX i EX2. Koristeci Teorem 8.2.dobivamo

EX = −1 · 1

3+ 0 · 1

3+ 1 · 1

3= 0.

Nadalje, iz Korolara (8.3.) (svojstvo (2) primijenjeno na funkciju g(x) = x2) slijedi

EX2 = (−1)2 · 1

3+ 02 · 1

3+ 12 · 1

3=

2

3.

Definicija 8.4. Neka je X diskretna slucajna varijabla s konacnim ocekivanjem. Tadase varijanca od X definira sa

VarX = E[(X − EX)2],

ako ocekivanje od (X − EX)2 postoji.

Korolar 8.5. Neka je sa X ∼(

a1 a2 . . .p1 p2 . . .

)dan zakon razdiobe slucajne varijable

X koja ima (konacnu) varijancu. Tada vrijedi

VarX =∑

i

(ai − EX)2pi.

2Ovo se svojstvo naziva linearnost matematickog ocekivanja.3X(ω) > 0 za sve ω ∈ Ω.4X(ω) 6 Y (ω) za sve ω ∈ Ω.

26

Zadatak 8.6. Neka slucajna varijabla X ima konacnu varijancu. Dokzite da vrijedisljedeca formula

VarX = EX2 − (EX)2.

Zadatak 8.7. Neka je sa X ∼(−1 0 213

13

13

)dan zakon razdiobe slucajne varijable X.

Odredite varijancu od X.

Definicija 8.8. Neka je X diskretna slucajna varijabla i r ∈ R, r > 0. r-ti momentαr od X definira se sa

αr = E(Xr),

ako ocekivanje E(Xr) postoji. r-ti apsolutni moment βr od X definira se sa

βr = E(|X|r),

ako ocekivanje E(|X|r) postoji.5

Napomena 8.2. Neka je sa X ∼(

a1 a2 . . .p1 p2 . . .

)dan zakon razdiobe slucajne varijable

X za koju postoji r-ti apsolutni moment (pa onda i r-ti moment). Tada vrijedi

αr =∑

i

ari pi, βr =

∑i

|ai|rpi.

DZ 8.9. Neka je X ∼(−1 0 1 212

14

18

18

). Izracunajte α3 i β3.

Propozicija 8.10. Neka je X slucajna varijabla za koju postoji varijanca i neka sua, b ∈ R. Tada je

Var (aX + b) = a2VarX.

DZ 8.11. Dokazite Propoziciju 8.10.

Teorem 8.12. Neka su X1, . . . , Xn nezavisne slucajne varijable i neka postoji VarXi, i =1, . . . , n. Tada je

Var( n∑

i=1

Xi

)=

n∑i=1

VarXi.

5Iz ove definicije odmah proizlazi da X ima r-ti moment ako i samo ako X ima r-ti apsolutni moment.

27

Zadatak 8.13. Odredite matematicko ocekivanje i varijancu slucajnih varijabli defini-ranih u Primjeru 5.3.

DZ 8.14. Neka je X ∼ B(n, p). Odredite VarX bez koristenja Teorema 8.12.

Zadatak 8.15. (a) Odredite konstantu c > 0 tako da je s X ∼(

1 2 3 4 6c c− c2 4c2 1

4c2

)definiran zakon razdiobe od X.

(b) Izracunajte P (2 < X 6 4).

(c) Odredite najmanji k ∈ N takav da je P (X 6 k) >1

2.

(d) Odredite EX i VarX.

Teorem 8.16. Slucajne varijable X1, . . . , Xn definirane na diskretnom vjerojatnosnom

prostoru (Ω,F , P ), zadane svojom distribucijom Xi ∼

(a

(i)1 a

(i)2 . . .

p(i)1 p

(i)2 . . .

)(i = 1, . . . , n),

su nezavisne ako i samo ako vrijedi

P (X1 = a(1)i1

, . . . , Xk = a(n)in

) =n∏

j=1

p(j)ij

za sve i1, . . . , in.

Teorem 8.17. Neka su X1, . . . , Xn nezavisne slucajne varijable na diskretnom vjero-jatnosnom prostoru (Ω,F , P ) i neka su gi : R → R (i = 1, . . . , n) proizvoljne funkcije.Tada su slucajne varijable g1(X1), . . . , gn(Xn) nezavisne.

Teorem 8.18. Neka su slucajne varijable X1, . . . , Xn nezavisne i neka postoji EXi (i =

1, . . . , n). Tada slucajna varijablan∏

i=1

Xi ima ocekivanje i vrijedi

E( n∏

i=1

Xi

)=

n∏i=1

EXi.

Zadatak 8.19. Provjeri da li vrijedi obrat Teorema 8.18.

DZ 8.20. Neka je X ∼ P (λ), λ > 0. Stavimo Y =1

1 + X. Odredite zakon razdiobe od

Y i E(XY ).

DZ 8.21. Neka su X, Y, Z slucajne varijable nezavisne u parovima (tj. X i Y su neza-visne, X i Z su nezavisne, Y i Z su nezavisne). Dokazite da tada vrijedi

Var (X + Y + Z) = VarX + VarY + VarZ.

Poglavlje 9

Funkcije gustoce i distribucije.Diskretni slucajni vektori

Definicija 9.1. Neka je X slucajna varijabla na diskretnom vjerojatnosnom prostoru

(Ω,F , P ) zadana zakonom razdiobe X ∼(

a1 a2 . . .p1 p2 . . .

). Funkcija gustoce od X,

ili krace, gustoca od X je funkcija fX = f : R → R+1 definirana sa

f(x) = P (X = x) =

0, x 6= ai

pi, x = ai, x ∈ R.

Napomena 9.1. Neka je X diskretna slucajna varijabla. Tada za proizvoljan skup B ⊆ Rvrijedi

P (X ∈ B) =∑ai∈B

pi =∑x∈B

fX(x).

Definicija 9.2. Neka su ispunjeni uvjeti kao u Definiciji 9.1. Funkcija distribucijeslucajne varijable X je funkcija FX = F : R → [0, 1] definirana sa

F (x) = P (X 6 x) =∑ai6x

pi =∑y6x

f(y),

gdje je f funkcija gustoce od X.

Propozicija 9.3. (Svojstva funkcije distribucije)

Neka je F funkcija distribucije slucajne varijable X te neka je f gustoca od X. Tadavrijedi:

(1) F je monotono neopadajuca (x 6 y ⇒ F (x) 6 F (y)).

1R+ = x ∈ R : x > 0.

28

29

(2) F (−∞) = 0, F (+∞) = 1.2

(3) F je neprekidna zdesna (x = limn→∞

xn, x 6 xn ⇒ F (x) = limn→∞

F (xn)).

(4) Za svaki x ∈ R vrijedi F (x)− F (x−) = f(x).3

(5) F ima prekid u tocki x ako i samo ako je P (X = x) = f(x) > 0.

Zadatak 9.4. Odredite funkcije gustoce i distribucije slucajne varijable s Bernoulli-jevom razdiobom.

Zadatak 9.5. Neka je X diskretna slucajna varijabla i a, b ∈ R. Dokazite da tadavrijedi:

(a) P (a < X 6 b) = F (b)− F (a), a < b;

(b) P (a 6 X 6 b) = F (b)− F (a−), a 6 b;

(c) P (a 6 X < b) = F (b−)− F (a−), a < b;

(d) P (a < X < b) = F (b−)− F (a), a < b.

Zadatak 9.6. Odredite funkcije gustoce i distribucije slucajne varijable X dane zakonomrazdiobe

X ∼(

1 2 3 414

14

13

16

).

Zadatak 9.7. Slucajna varijabla X ima funkciju distribucije

F (x) =

0, x < 014, 0 6 x < 1

12, 1 6 x < 2

1, x > 2

(a) Izracunajte P(1

26 X 6

3

2

).

(b) Odredite zakon razdiobe od X.

DZ 9.8. Odredite funkcije gustoce i distribucije (te skicirajte njihove grafove) slucajnevarijable Z dane zakonom razdiobe

X ∼(−2 −1 0 1 30.2 0.4 0.1 0.2 0.1

).

2F (±∞) = limx→±∞

F (x).3F (x−) je limes slijeva funkcije F u tocki x.

30

Definicija 9.9. Neka je (Ω,F , P ) diskretni vjerojatnosni prostor. Proizvoljnu funkcijuX : Ω → Rn nazivamo (diskretni n-dimenzionalan) slucajni vektor (na Ω).

Napomena 9.2. n-dimenzionalan slucajni vektor na Ω je zapravo uredena n-torka slucajnihvarijabli na Ω.

Napomena 9.3. U nastavku poglavlja cemo se baviti samo 2-dimenzionalnim slucajnimvektorima.

Definicija 9.10. Neka je Z = (X, Y ) 2-dimenzionalan slucajni vektor i neka su dis-tribucije slucajnih varijabli X i Y dane sa

X ∼(

a1 a2 . . .p1 p2 . . .

), Y ∼

(b1 b2 . . .q1 q2 . . .

).

Kazemo da je zadana distribucija (ili zakon razdiobe) slucajnog vektora Z akosu za sve i, j zadani parovi (ai, bj) ∈ R2 i brojevi

pij = P (Z = (ai, bj)) = P (ω ∈ Ω : X(ω) = ai, Y (ω) = bj) = P (X = ai, Y = bj).

Definicija 9.11. Funkcija distribucije slucajnog vektora Z = (X, Y ) je funkcijaFZ = FX,Y = F : R2 → [0, 1] definirana sa

F (x) = F (x1, x2) = P (Z 6 x) = P (X 6 x1, Y 6 x2), x = (x1, x2) ∈ R2.

Napomena 9.4. Neka su slucajne varijable X i Y dane zakonima razdiobe kao u Defini-ciji 9.10. te neka ja F funkcija distribucije slucajnog vektora Z = (X, Y ). Tada vrijedi

F (x) = F (x1, x2) =∑

ai6x1

bj6x2

pij =∑y6x

f(y), x = (x1, x2) ∈ R2,

gdje je f = fZ = fX,Y : R2 → R+ funkcija gustoce slucajnog vektora Z, ili krace,gustoca od Z, definirana sa

f(x) = f(x1, x2) = P (Z = x) = P (X = x1, Y = x2), x = (x1, x2) ∈ R2.

Nadalje, za proizvoljnu funkciju g : R2 → R vrijedi

E[g(X, Y )] =∑i,j

g(ai, bj)pij.

Posebno, za g(x, y) = xy dobivamo E(XY ) =∑i,j

aibjpij.

31

Definicija 9.12. Neka je X = (X1, . . . , Xn) n-dimenzionalan slucajni vektor i nekapostoje EX2

i , i = 1, . . . , n. Stavimo

µij = E[(Xi − EXi)(Xj − EXj)] = E(XiXj)− EXiEXj, i, j = 1, . . . , n.

Za i 6= j, µij zovemo kovarijanca slucajnih varijabli Xi, Xj i cesto oznacujemocov (Xi, Xj). Ako je µii > 0 i µjj > 0, tada broj

ρij =µij√µiiµjj

, i 6= j,

zovemo koeficijent korelacije izmedu slucajnih varijabli Xi i Xj.

DZ 9.13. Neka su X i Y nezavisne slucajne varijable te neka postoje EX i EY .Pokazite da je tada cov (X, Y ) = 0.

Definicija 9.14. Slucajne varijable X i Y su nekorelirane ako je cov (X, Y ) = 0.

Napomena 9.5. U zadatku 9.15. pokazati cemo da postoje nekorelirane slucajne varijablekoje nisu nezavisne. Dakle, ne vrijedi obrat tvrdnje iz DZ 9.13.

Zadatak 9.15. Neka su X, Y ∼ B(1, 0.5) nezavisne slucajne varijable. Da li su tada islucajne varijable X + Y i |X − Y | nezavisne? Izracunajte cov (X + Y, |X − Y |).

Zadatak 9.16. U kutiji se nalazi 25 kuglica numeriranih brojevima 1, 2, . . . , 25. Naslucajan nacin izvlacimo jednu kuglicu. Neka je X slucajna varijabla definirana sa

X =

0, ako je broj na izvucenoj kuglici djeljiv s 31, inace

te Y slucajna varijabla definirana sa

Y =

0, ako je broj na izvucenoj kuglici paran1, inace

Odredite:

(a) distribuciju slucajnog vektora Z = (X, Y );

(b) distribucije slucajnih varijabli X i Y ;

(c) uvjetnu vjerojatnost P (X = 1 |Y = 1).

DZ 9.17. Za slucajne varijable X i Y iz Zadatka 9.16. nadite cov (X, Y ) i koeficijentkorelacije izmedu X i Y te provjerite jesu li X i Y nezavisne slucajne varijable.

Zadatak 9.18. Zajednicka distribucija slucajnih varijabli X i Y (odnosno, distribucijaslucajnog vektora (X, Y )) dana je sa

P (X = 0, Y = 1) = P (X = 0, Y = −1) = P (X = 1, Y = 0) = P (X = −1, Y = 0) =1

4.

Odredite VarX, VarY i cov (X, Y ). Provjerite da li su X i Y nezavisne slucajne vari-jable.

Poglavlje 10

Funkcije izvodnice

Definicija 10.1. Neka je X cjelobrojna slucajna varijabla, tj. slucajna varijabla kojaprima samo nenegativne cjelobrojne vrijednosti. Stavimo pk = P (X = k), k ∈ N ∪ 0.Funkciju g definiranu sa

g(z) =∞∑

k=0

pkzk = p0 + p1z + p2z

2 + . . . , z ∈ R, |z| 6 1

zovemo funkcija izvodnica od X i oznacavamo je sa gX .

Propozicija 10.2. Ako cjelobrojna slucajna varijabla X ima konacnu varijancu, tadaje njena funkcija izvodnica g dva puta diferencijabilna u tocki z = 1 i vrijedi

EX = g′(1), VarX = g′′(1) + g′(1)− [g′(1)]2.

Teorem 10.3. Neka su X1, . . . , Xn nezavisne cjelobrojne slucajne varijable. Stavimo

Sn =n∑

k=1

Xk. Tada vrijedi

gSn(z) =n∏

k=1

gXk(z).

Zadatak 10.4. Bacamo tri simetricne kocke (nezavisno). Nadite vjerojatnost da cesuma brojeva koji su pali na kockama biti jednaka 9.

Zadatak 10.5. Bacamo nesimetricnan novcic sve dok ne padne (prvi put) glava. Oznacimosa X broj pisama koji su pali do prvog pada glave. Nadite EX i VarX.

Napomena 10.1. Cjelobrojne slucajne varijable X i Y imaju iste zakone razdiobe ako isamo ako je gX = gY .

32

33

DZ 10.6. Neka su X1, . . . , Xn nezavisne slucajne varijable, Xk ∼ P (λk) (k = 1, . . . n).

Stavimo Sn =n∑

k=1

Xk. Dokazite da je Sn ∼ P( n∑

k=1

λk

).

DZ 10.7. Automatski stroj, pri normalnoj regulaciji, moze proizvesti skart s vjero-jatnoscu p. Podesavanje rada stroja izvodi se odmah nakon dobijanja skarta. Ako sa Xoznacimo broj svih proizvoda izmedu dva podesavanja stroja, nadite EX.

Poglavlje 11

Neprekidne slucajne varijable

U ovom cemo poglavlju prvo definirati slucajne varijable na proizvoljnom vjerojatnos-nom prostoru pa cemo paznju obratiti na neprekidne slucajne varijable.

Definicija 11.1. Neka je

U = U ⊆ R : U je otvoreni skup

familija svih otvorenih podskupova od R. σ-algebru generiranu familijom U , tj. najmanjuσ-algebru koja sadrzi familiju U zovemo Borelova σ-algebra i oznacujemo je sa B =σ(U).1 Elemente σ-algebre B zovemo Borelovi skupovi.

Definicija 11.2. Neka je (Ω,F , P ) vjerojatnosni prostor. Funkcija X : Ω → R jestslucajna varijabla (na Ω) ako je X−1(B) ∈ F za svaki B ∈ B.

Definicija 11.3. Funkcija g : R → R jest Borelova funkcija ako je g−1(B) ∈ B zasvaki B ∈ B.

Napomena 11.1. Svaka neprekidna funkcija : R → R je Borelova. Takoder, svaka rastuca(ili padajuca) funkcija g : R → R je Borelova. Odavde slijedi da nisu sve Borelovefunkcije neprekidne.2

Definicija 11.4. Neka je X slucajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F , P ).Funkcija distribucije slucajne varijable X je funkcija FX : R → [0, 1] definiranasa

FX(x) = P (X 6 x), x ∈ R.

1Moze se pokazati da σ-algebra B postoji te da je jednaka presjeku svih σ-algebri koje sadrze U .2Naprimjer, funkcija g(x) =

0, x < 01, x > 1 je Borelova, iako nije neprekidna.

34

35

Definicija 11.5. Neka je X slucajna varijabla na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F , P ).Kazemo da je X (apsolutno) neprekidna slucajna varijabla ako postoji nenega-tivna Borelova funkcija f : R → R+ tako da vrijedi

FX(x) =

∫ x

−∞f(t) dt, x ∈ R.3

Funkciju f zovemo funkcija gustoce (ili samo gustoca) od X.

Napomena 11.2. Neka je X neprekidna slucajna varijabla s funkcijom gustoce f . Tadavrijedi:

(1) P (X ∈ B) =

∫B

f(t) dt, B ∈ B;

(2) F ′X = f (na otvorenom intervalu);

(3) P (X = x) = 0 za svaki x ∈ R.

Propozicija 11.6. Neka je f : R → R Borelova funkcija. Da bi f bila funkcija gustoceneke neprekidne slucajne varijable, nuzno je i dovoljno da vrijedi:

(1) f(x) > 0 za svaki x ∈ R;

(2)

∫ ∞

−∞f(x) dx = 1.

Primjer 11.3. (Osnovne neprekidne slucajne varijable)

(1) Slucajna varijabla X ima uniformnu distribuciju na segmentu [a, b], a < b, akojoj je gustoca dana sa

f(x) =1

b− aK[a,b](x) =

1

b− a, a 6 x 6 b

0, inace, x ∈ R.4

Oznaka: X ∼ U(a, b).

3Ovdje bi zapravo trebao stajati Lebesgueov integral FX(x) =∫

(−∞,x]

f(t) dλ(t), ali kako navedeni

pojam prelazi izvan okvira ovog kolegija te cemo mi raditi samo sa neprekidnim slucajnim varijablamakod kojih se Lebesgueov integral poklapa s Riemannovim, zadrzati cemo (nepravi) Riemannov integralu Definiciji 11.5.

4KA je karakteristicna funkcija skupa A, definirana sa KA(x) =

1, x ∈ A0, x 6= A

.

36

(2) Slucajna varijabla X ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom λ > 0ako joj je gustoca dana sa

f(x) = λe−λxK(0,+∞)(x), x ∈ R.

Oznaka: X ∼ Exp (λ).

(3) Slucajna varijabla X ima dvostruku eksponencijalnu distribuciju s parametromλ > 0 ako joj je gustoca dana sa

f(x) =1

2λe−λ|x|, x ∈ R.

Oznaka: X ∼ Dexp (λ).

(4) Slucajna varijabla X ima Cauchyjevu distribuciju s parametrima a i b (a > 0)ako joj je gustoca dana sa

f(x) =a

π[a2 + (x− b)2], x ∈ R.

Oznaka: X ∼ C(a, b).X ima jedinicnu Cauchyjevu distribuciju ako je X ∼ C(1, 0).

(5) Slucajna varijabla X ima normalnu distribuciju s parametrima µ i σ2 (σ > 0)ako joj je gustoca dana sa

f(x) =1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2 , x ∈ R.

Oznaka: X ∼ N(µ, σ2).X ima jedinicnu normalnu distribuciju ako je X ∼ N(0, 1).

(6) Slucajna varijabla X ima gama-distribuciju s parametrima α i β (α, β > 0) akojoj je gustoca dana sa

f(x) =1

Γ(α)βαxα−1e−

xβ K(0,+∞)(x), x ∈ R,

gdje je Γ(x) =

∫ ∞

0

e−ttx−1dt (x > 0) gama-funkcija.5 Oznaka: X ∼ Γ(α, β).

(7) Slucajna varijabla X ima χ2-distribuciju s parametrom n (n ∈ N) ako je X ∼Γ(n

2, 2). Oznaka: X ∼ χ2(n), pri cemu n zovemo broj stupnjeva slobode od X.

5Vrijedi: Γ(x + 1) = xΓ(x), Γ(1) = 1, Γ(1

2

)=√

π i Γ(n + 1) = n! (n ∈ N).

37

(8) Slucajna varijabla X ima Studentovu t-distribuciju s n stupnjeva slobode (n ∈N) ako joj je gustoca dana sa

f(x) =1√nπ

·Γ(n+1

2)

Γ(n2)

(1 +

x2

n

)−n+12

, x ∈ R.

Oznaka: X ∼ t (n).

(9) Slucajna varijabla X ima beta-distribuciju s parametrima p i q (p, q > 0) akojoj je gustoca dana sa

f(x) =xp−1(1− x)q−1

B(p, q)K(0,1)(x), x ∈ R,

gdje je B(x, y) =

∫ 1

0

tx−1(1 − t)y−1dt (x, y > 0) beta-funkcija. Oznaka: X ∼

B(p, q).

Zadatak 11.7. Pokazite da su uniformna i eksponencijalna distribucija dobro defini-rane.

DZ 11.8. Pokazite da su dvostruka eksponencijalna i Cauchyjeva distribucija dobrodefinirane.

Zadatak 11.9. Neprekidna slucajna varijabla X zadana je svojom gustocom

f(x) = Ax2e−2xK[0,+∞)(x), x ∈ R.

Odredite:

(a) konstantu A;

(b) funkciju distribucije od X;

(c) P(0 6 X <

1

2

).

DZ 11.10. Odredite konstantu B ∈ R tako da funkcija

f(x) = Bx2K[0,2](x), x ∈ R,

bude funkcija gustoce neke neprekidne slucajne varijable, koju oznacimo s X. Odreditei funkciju distribucije od X te izracunajte P (X ∈ [0, 1]).

Poglavlje 12

Matematicko ocekivanje i varijancaneprekidnih slucajnih varijabli

Definicija 12.1. Neka je X neprekidna slucajna varijabla s gustocom f . Matematickoocekivanje (ili krace ocekivanje) od X, u oznaci EX, definiramo sa

EX =

∫ +∞

−∞tf(t) dt,

ako taj integral postoji. Varijancu od X, u oznaci VarX, definiramo sa

VarX =

∫ +∞

−∞(t− EX)2f(t) dt,

ako taj integral postoji (uz pretpostavku da postoji i EX).

Napomena 12.1. (1) Ako neprekidna slucajna varijabla X ima varijancu, tada vrijedi

VarX = EX2 − (EX)2.

(2) Neka je X neprekidna slucajna varijabla te g : R → R Borelova funkcija. Tadavrijedi

E[g(X)] =

∫ +∞

−∞g(t)f(t) dt,

ako taj integral postoji.

Zadatak 12.2. Izracunajte ocekivanje i varijancu slucajne varijable s uniformnom raz-diobom.

DZ 12.3. Neka je X ∼ Exp (λ). Dokazite da je EX =1

λi VarX =

1

λ2.

38

39

DZ 12.4. Neka je X ∼ Dexp (λ). Dokazite da je EX = 0 i VarX =2

λ2.

Zadatak 12.5. Neka je X ∼ N(µ, σ2). Izracunajte EX i VarX.

Zadatak 12.6. Dana je funkcija

f(x) = kxK[2,4](x), x ∈ R.

(a) Odredite konstantu k tako da f bude funkcija gustoce neke neprekidne slucajnevarijable, koju oznacimo s X.

(2) Izracunajte P (2 6 X 6 3).

(3) Izracunajte EX i VarX.

DZ 12.7. Dana je funkcija

f(x) = A cos xK[−π2, π2](x), x ∈ R.

Odredite konstantu A tako da f bude funkcija gustoce neke neprekidne slucajne varijable,koju oznacimo s X. Pronadite funkciju distribucije od X te izracunajte EX i VarX.

Poglavlje 13

Normalna razdioba. Centralnigranicni teorem

Napomena 13.1. Za X ∼ N(µ, σ2) vrijedi:

(1) P (a 6 X 6 b) =

∫ b

a

f(x) dx (a < b), gdje je f(x) =1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2 , x ∈ R,

funkcija gustoce od X;

(2) EX = µ i VarX = σ2;

(3) Y =X − µ

σ∼ N(0, 1);

(4) P (a 6 X 6 b) = Φ(b− µ

σ

)− Φ

(a− µ

σ

)(a < b), gdje je Φ(x) =

1√2π

∫ x

0

e−t2

2 dt,

x ∈ R;

(5) P (|X − µ| 6 ε) = 2Φ( ε

σ

)(ε > 0).

Zadatak 13.1. Na temelju mnogobrojnih mjerenja u nekoj se regiji doslo do zakljucka daje visina muskaraca u toj regiji normalno distribuirana s ocekivanjem µ = 170 cm i stan-dardnom devijacijom (to je pozitivni drugi korijen iz varijance) σ = 6 cm. Izracunajtevjerojatnost da visina slucajno izabranog muskarca u toj regiji bude u granicama od182 cm do 191 cm.

Zadatak 13.2. Neka je X ∼ N(µ, σ2). Izracunajte P (µ− 3σ 6 X 6 µ + 3σ).

Zadatak 13.3. Neka je X ∼ N(16, 16). Nadite simetrican interval oko tocke µ = 16 ukojem slucajna varijabla X poprima vrijednosti s vjerojatnoscu:

(a) 0.95;

40

41

(b) 0.99.

Zadatak 13.4. Neka je X ∼ N(0, 1). Izracunajte:

(a) P (X > −1.64);

(b) P (−1.96 6 X 6 1.96);

(c) P (|X| > 1).

DZ 13.5. Alatni stroj proizvodi odredene proizvode. Na temelju brojnih mjerenja zapazenoje da je duljina X gotovih proizvoda normalna slucajna varijabla za koju je µ = 20 cm iσ = 0.2 cm. Odredite vjerojatnost da ce se duljina slucajno izabranog gotovog proizvodanalaziti u granicama od 19.7 cm do 20.3 cm.

DZ 13.6. Neka je X ∼ N(2, 9). Odredite P (X2 > 3).

Teorem 13.7. (Centralni granicni teorem za Bernoullijevu shemu)

Neka je X ∼ B(n, p). Za velike n, X je priblizno normalna slucajna varijabla sparametrima np i npq (q = 1− p), tj. za velike n vrijedi

P(a 6

X − np√

npq6 b)≈ 1√

2π

∫ b

a

e−x2

2 dx (a < b).

Teorem 13.8. (Levyjev centralni granicni teorem)

Neka je (Xn) niz nezavisnih, jednako distribuiranih slucajnih varijabli (tj. slucajne var-ijable X1, X2, . . . imaju jednaku distribuciju) s ocekivanjem µ i varijancom σ2 > 0 1 i

neka je Sn =n∑

i=1

Xi (n ∈ N). Tada vrijedi

limn→∞

P(a 6

Sn − nµ

σ√

n6 b)

=1√2π

∫ b

a

e−x2

2 dx = Φ(b)− Φ(a) (a < b).

Zadatak 13.9. Pretpostavimo da u nekom gradu imamo 200 000 automobila. Neka jeprosjecna potrosnja benzina po automobilu tjedno µ = 50 litara sa standardnim odstu-panjem σ = 8 litara. Da li je dovoljno tjedno osigurati 10 000 000 litara benzina pa dane bude nestasice?

Zadatak 13.10. Proizvodnja meda u sezoni po jednoj kosnici iznosi 4 kg sa standard-nim odstupanjem 0.5 kg. Koliko kosnica treba imati da bi s vjerojatnoscu 0.97 ukupnaproizvodnja meda bila barem 800 kg?

DZ 13.11. Broj automobila koji produ kroz jedno krizanje tijekom jedne minute jeslucajna varijabla s Poissonovom razdiobom P (6). Kolika je vjerojatnost da ce tijekom2 sata kroz krizanje proci barem 700 automobila?

1Vrijedi: EX1 = EX2 = . . . = µ i VarX1 = VarX2 = . . . = σ2.

Poglavlje 14

Osnove deskriptivne statistike.Linearna korelacija

Osnovni pojam u statistici jest skup nekih elemenata cija zajednicka svojstva izucavamo.Taj skup zovemo populacija, a njegove elemente statisticke jedinice. Kod svakog ele-menta populacije zanimati ce nas neka njegova numericka karakteristika, koju zovemo(statisticko) obiljezje.

Neka populaciju cini skup Ω = ω1, ω2, . . .. Obiljezje X elemenata populacije Ω,svakom elementu ωi ∈ Ω pridruzuje odredenu numericku karakteristiku X(ωi). Prematome, obiljezje X elemenata populacije Ω, jest funkcija X : Ω → R.

Primjer 14.1. Neka populaciju cine svi stanovnici u nekom gradu. Jedno obiljezje ele-menata populacije je naprimjer visina svakog stanovnika.

Definicija 14.1. Neka populacija Ω ima ukupno N elemenata i neka je X obiljezjepopulacije Ω, dakle je X : Ω → R. Kako je skup Ω konacan, funkcija X poprimakonacno mnogo razlicitih realnih vrijednosti. Neka su x1, . . . , xk sve razlicite vrijed-nosti obiljezja X. Za i = 1, . . . , k neka je Ni broj elemenata ω iz populacije Ω za kojeje X(ω) = xi.

1 Razdiobu obiljezja X cine vrijednosti x1, . . . , xk s odgovarajucimbrojevima N1, . . . , Nk. Broj Ni zovemo frekvencija vrijednosti xi, broj Ni

Nrelativna

frekvencija vrijednosti xi, a broj N zovemo duljina populacije.

Napomena 14.2. Cesto je populacija prevelika te ne mozemo lako ni bez velikih troskovaispitati obiljezje kod svakog elementa populacije. Naprimjer, ako populaciju cine svezarulje proizvedene u nekoj tvornici zarulja u jednom mjesecu i ako je obiljezje vrijemetrajanja zarulje, tada bismo ispitivanjem vijeka trajanja svake zarulje (prije pustanjau prodaju) zapravo unistili cijelu proizvodnju zarulja u tom mjesecu. Zato se cesto izpopulacije izdvaja jedan dio elemenata te se na njemu ispituje obiljezje pa se dobivenirezultati poopcavaju na cijelu populaciju. Ostaje pitanje ”reprezentativnosti” takvog

1Vrijedi N1 + . . . + Nk = N .

42

43

dijela populacije (tj. u kolikoj mjeri navedeni dio populacije reprezentira cijelu popu-laciju). Osnovni kriterij za reprezentativnost, odnosno za nacin izbora dijela populacijeje da se razdiobe obiljezja na izabranom dijelu populacije i na cijeloj populaciji sto manjerazlikuju.2

Definicija 14.2. Konacan dio populacije koji se na odredeni nacin izdvaja iz populacijeradi ispitivanja nekog obiljezja naziva se uzorak.3 Broj elemenata u uzorku zovemoduljina uzorka.

Definicija 14.3. Neka je X obiljezje na populaciji Ω. Jednostavan slucajni uzorakduljine n za obiljezje X je niz od n nezavisnih i jednako distribuiranih slucajnih varijabliX1, . . . , Xn od kojih svaka ima isti zakon razdiobe kao i obiljezje X.

Definicija 14.4. Aritmeticka sredina od n (realnih) brojeva x1, . . . , xn je broj

x =x1 . . . + xn

n=

1

n

n∑i=1

xi.

Definicija 14.5. Ako je u uzorku duljine n vrijednost xi obiljezja X registrirana ni puta(i = 1, . . . , k),4 tada se broj

x = xn =n1x1 + . . . + nkxk

n1 + . . . + nk

=1

n

k∑i=1

nixi

naziva aritmeticka sredina uzorka.

Definicija 14.6. Ako je u uzorku duljine n vrijednost xi obiljezja X registrirana ni puta(i = 1, . . . , k), tada se broj

σ2 = σ2n =

n1(x1 − xn)2 + . . . nk(xk − xn)2

n=

1

n

k∑i=1

ni(xi − xn)2

naziva disperzija ili varijanca uzorka, dok se broj

σ = σn =

√√√√ 1

n

k∑i=1

ni(xi − xn)2

naziva standardno odstupanje ili stnadardna devijacija uzorka.

2Jedan nacin da se postigne reprezentativnost izabranog dijela je, popularno receno, slucajni izbordijela populacije. Reprezentativnoscu izabranog dijela populacije bavi se matematicka statistika.

3Pod uzorkom takoder razumijevamo i niz vrijednosti promatranog obiljezja na izdvojenim elemen-tima populacije.

4Ocito vrijedi n1 + . . . + nk = n.

44

Zadatak 14.7. Prilikom ispitivanja opravdanosti otvaranja jednog rudnika, u 30 probaizmjereni su podaci sadrzaja rude u uzetim uzorcima:

2.3 1.0 0.2 3.2 2.5 2.41.3 0.6 0.5 3.0 1.6 2.01.4 0.9 2.2 1.2 0.7 1.80.6 2.0 2.0 2.7 2.0 2.02.5 1.0 1.8 2.0 1.2 1.3

(a) Formirajte razdiobu obiljezja za pojedinacne vrijednosti.

(b) Formirajte razdiobu obiljezja po intervalima vrijednosti i to za 6 intervala jednakeduljine.

(c) Nacrtajte pripadni poligon i histogram frekvencija za razdiobu pod (b).

(d) Izracunajte aritmeticku sredinu i varijancu uzorka koristeci sve podatke (pod (a))i intervalno predstavljanje (pod (b)).

DZ 14.8. Radi kontrole optickog instrumenta, jedna udaljenost mjerena je 16 puta uslicnim uvjetima. Dobiveni su sljedeci rezultati (u metrima):

890 879 895 882898 885 883 902901 895 894 896883 895 902 911

Odredite srednju izmjerenu udaljenost (aritmeticku sredinu) i standardno odstupanjemjerenja.

DZ 14.9. Prilikom ispitivanja prinosa jedne vrste psenice na odredenom zemljistu, do-biveni su prinosi na 93 parcele:

prinos (mc) 0− 7 7− 15 15− 23 23− 31 31− 39 39− 47 47− 55 55− 63broj parcela 17 18 23 17 9 6 2 1

(a) Nacrtajte histogram frekvencija.

(b) Odredite srednji prinos i standardno odstupanje.

Zadatak 14.10. Neka je X1, X2, X3 jednostavan slucajni uzorak duljine 3 iz populacijes obiljezjem X ∼ N(5, 9). Kolika je vjerojatnsot da najmanji element u tom uzorku budeveci od 7?

45

DZ 14.11. Kolika je vjerojatnost da u Zadatku 14.10. najveci element uzorka bude veciod 4?

Zadatak 14.12. Izracunajte vjerojatnost da tocno 3 elementa jednostavnog slucajnoguzorka duljine 5 iz populacije s obiljezjem X koje ima gustocu

f(x) =1

2(x + 1)K(−1,1)(x), x ∈ R,

budu pozitivna.

Napomena 14.3. Pretpostavimo da su X i Y dva obiljezja na istoj populaciji. Ako se izpopulacije uzme slucajni uzrok duljine n i ako se kod svakog elementa uzorka registrirajuvrijednosti obiljezja X i Y , dobije se niz od n uredenih parova realnih brojeva:

(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn),

gdje je xi vrijednost obiljezja X, a yi vrijednost obiljezja Y na i-tom elementu uzorka.Ako se parovi (x1, y1), . . . , (xn, yn) prikazu graficki u x, y-ravnini, dobije se nakupinatocaka koja se zove dijagram rasprsenja.

Definicija 14.13. Metoda najmanjih kvadrata je metoda pridruzivanja pravcayr(x) = ax + b nakupini tocaka (x1, y1), . . . , (xn, yn) tako da velicina

S(a, b) =n∑

i=1

(yi − axi − b)2

ima najmanju vrijednost. Pravac dobiven na ovaj nacin zovemo pravac regresije odY u odnosu na X.

Napomena 14.4. Neka su u uzorku duljine n registrirane vrijednosti obiljezja X i Y ineka je dobivena n-torka uredenih parova (x1, y1), . . . , (xn, yn). Uvodimo oznake:

x =1

n

n∑i=1

xi, y =n∑

i=1

yi, σ2x =

1

n

n∑i=1

(xi − x)2, σ2y =

1

n

n∑i=1

(yi − y)2.

DZ 14.14. Pokazite da vrijede sljedece formule:

σ2x =

1

n

n∑i=1

x2i − x2, σ2

y =1

n

n∑i=1

y2i − y2.

46

Definicija 14.15. Kovarijanca niza n uredenih parova vrijednosti obiljezja X i Y jestbroj

σxy =1

n

n∑i=1

(xi − x)(yi − y).

Napomena 14.5. Vrijedi formula σxy =1

n

n∑i=1

xiyi − xy.

Teorem 14.16. Jednadzba pravca regresije od Y u odnosu na X, dobivenog metodomnajmanjih kvadrata dana je sa

yr(x) = ax + b,

gdje je a =σxy

σ2x

i b = y − ax.

Definicija 14.17. Velicinu r definiranu sa

r =σxy

σxσy

zovemo koeficijent korelacije izmedu obiljezja X i Y .

Napomena 14.6. Za koeficijent korelacije r vrijedi

−1 6 r 6 1.

Reci cemo da je linearna povezanost izmedu obiljezja X i Y :

neznatna, ako je |r| 6 3,srednja, ako je 0.3 < |r| 6 0.5,

znacajna, ako je 0.5 < |r| 6 0.7,tijesna, ako je 0.7 < |r| 6 0.9,

vrlo tijesna, ako je |r| > 0.9.

Zadatak 14.18. Na jednom fakultetu istrazuje se utjecaj uspjeha u obrazovanju naosobna primanja nakon zavrsenog skolovanja. Dani su podaci o prosjeku ocjena svihpolozenih ispita (X) i visini osobnog dohotka (Y ) za 9 diplomiranih studenata fakulteta,koji su u radnom odnosu barem 3 godine:

X 2.7 3.0 3.5 3.8 4.0 4.1 4.4 4.7 4.9Y (u tisucama kuna) 3.0 3.1 5.8 5.9 5.1 4.6 5.8 7.4 4.8

(a) Nacrtajte dijagram rasprsenja za podatke u tablici.

47

(b) Odredite pravac regresije yr od Y u odnosu na X i prikazite ga u dijagramurasprsenja.

(c) Izracunajte koeficijent korelacije i klasificirajte ga.

(d) Procijenite na temelju pravca regresije koliki bi prosjek ocjena imala osoba s osob-nim dohotkom od 4 200 kuna.

DZ 14.19. Sljedeca tablica pokazuje godine (X) i maksimalni krvni tlak (Y ) kod 10zena:

X 56 42 72 36 63 47 55 49 38 42Y 147 125 160 118 149 128 150 145 115 140

(a) Nadite pravac regresije yr od Y u odnosu na X i skicirajte ga u dijagramu rasprsenja.

(b) Izracunajte koeficijent korelacije i klasificirajte ga.

(c) Na temelju pravca regresije procijenite maksimalni krvni tlak zene stare 45 godina.

Poglavlje 15

χ2-test

Napomena 15.1. (Postupak testiranja χ2-testom)

Neka je N ∈ N broj mjerenja nekog statistickog obiljezja X te neka su x1, . . . , xN rezul-tati mjerenja. Zelimo na osnovu rezultata mjerenja ispitati pretpostavku da obiljezje Xima odredenu distribuciju. Postavljamo hipotezu o distribuciji F obiljezja X nasuprothipotezi da obiljezje X nema distribuciju F :

H0 : X ∼ F (nulta hipoteza)H1 : X F (alternativna hipoteza)

(1) Sliku od X podijelimo na disjunktne skupove (razrede) Ai, i = 1, . . . , n (X(Ω) =A1 ∪ . . . ∪ An) te za izabrani uzorak x1, . . . , xN odredimo empirijske frekvencijef1, . . . , fn (fi = broj elemenata uzorka x1, . . . , xN koji se nalaze u Ai). Pri tomese pazi da je n sto veci, ali da istodobno u svakom razredu Ai bude najmanje 5elemenata (tj. fi > 5, i = 1, . . . , n), inace spajamo razrede.

(2) Izracunamo vrijednosti pi = PH0(X ∈ Ai) = P (X ∈ Ai) (i = 1, . . . , n) uz pret-postavku da je nulta hipoteza tocna (tj. uz pretpostavku da slucajna varijabla Xima distribuciju F ), te izracunamo teorijske frekvencije f ′1, . . . , f

′n (f ′i = N · pi).

(3) Odredimo velicinu

χ2 =n∑

i=1

(fi − f ′i)2

f ′i.

Tada vrijedi χ2 ≈ χ2(n − r − 1), tj. χ2 ima priblizno χ2-razdiobu s n − r − 1stupnjeva slobode, gdje je r broj nepozantih parametara pretpostavljenog zakonarazdiobe od X, koje smo procijenili iz uzorka.1

1Cesto se iz uzorka procjenjuju ocekivanje i varijanca po formulama µ =x1 + . . . + xN

Ni σ2 =

1N

N∑i=1

(xi − µ)2.

48

49

(4) Za dani nivo znacajnosti α ∈ (0, 1), iz tablice za χ2-razdiobu, odredimo velicinuχ2

n−r−1, α.

(5) Ako je χ2 > χ2n−r−1, α, tada odbacujemo hipotezu H0 (i prihvacamo hipotezu H1).

Ako je pak χ2 < χ2n−r−1, α, tada prihvacamo hipotezu H0.

Zadatak 15.1. U knjiznici je slucajno odabrano 200 uzoraka po 5 knjiga i gledano jekoliko u svakom uzorku ima ostecenih knjiga. Dobiveni su rezultati:

broj ostecenih knjiga 0 1 2 3 4 5broj uzoraka 72 77 34 14 2 1

Pomocu χ2-testa testirajte hipotezu da broj ostecenih knjiga X ima binomna razdiobu sparametrima 5 i p, tj. X ∼ B(5, p), uz nivo znacajnosti α = 0.05.

Zadatak 15.2. Kocka je bacena 120 puta i dobiveni su sljedeci rezultati:

broj koji je pao na kocki 1 2 3 4 5 6empirijske frekvencije 19 12 27 17 20 25

Pomocu χ2-testa, uz uz nivo znacajnosti α = 0.2, provjerite hipotezu da je kockasimetricna.

Zadatak 15.3. Anketiranjem 100 vlasnika automobila dobivene su njihove prosjecnednevne potrosnje benzina:

potrosnja (u L) 0− 2 2− 4 4− 6 6− 8 8− 10 10− 12 12− 14broj vlasnika 5 10 20 30 15 14 6

Pomocu χ2-testa provjerite hipotezu, uz nivo znacajnosti α = 0.1, da se navedeni podaciu tablici slazu s normalnom razdiobom.

DZ 15.4. U jednoj telefonskoj centrali biljeze se pogresni spojevi u jednoj minuti. Motrenjeu toku 50 minuta dalo je ove podatke:

broj pogresnih spojeva 0 1 2 3 4 5 6empirijske frekvencije 7 15 12 9 4 2 1

(a) Pomocu χ2-testa testirajte hipotezu da je razdioba broja pogresnih spojeva X Pois-sonova razdioba, uz nivo znacajnosti α = 0.05.

(b) Pomocu χ2-testa testirajte hipotezu da je X ∼ P (3), uz α = 0.05.

50

DZ 15.5. U uzorku od 150 zarulja ispituje se njihov vijek trajanja. Dobiveni su sljedecipodaci:

vijek trajanja (u satima) [0, 100) [100, 200) [200, 300) [300,∞)broj zarulja 47 40 35 28

Pomocu χ2-testa testirajte hipotezu da vijek trajanja zarulje X ima gustocu:

f(x) =

0.005 e−0.005x, x > 0

0, x < 0x ∈ R.

Za nivo znacajnosti uzmite α = 0.01.