VECTORES: VOCABULARIO1. Abscisa de un punto.2. Ordenada de un punto.3. Concepto de vector.4. Coordenadas o componentes de un vector.5. Elementos de un vector.6. Concepto de origen de un vector.7. Concepto de extremo de un vector.8. Concepto de módulo de un vector.9. Concepto de dirección de un vector.10. Concepto de sentido de un vector.11. Concepto de vector unitario.12. ¿Cómo se calcula un vector unitario en la dirección y sentido de otro

vector?13. Concepto de magnitud escalar.14. Concepto de magnitud vectorial.15. ¿Cuándo dos vectores son iguales?16. Concepto de cosenos directores de un vector.17. Propiedad de los cosenos directores de un vector.18. Relación entre el vector unitario y los cosenos directores de un vector.19. Suma de vectores: analítica y gráficamente.20. Diferencia de vectores: analítica y gráficamente.21. Concepto de vector opuesto a otro.22. Producto de un escalar por un vector.23. Producto escalar de dos vectores.24. Condición de perpendicularidad de dos vectores.25. Proyección de un vector sobre otro.26. Producto vectorial de dos vectores.27. ¿Cómo se calcula un vector unitario perpendicular a dos vectores?28. Área de un triángulo del que se conocen sus coordenadas.29. Área de un paralelogramo del que se conocen sus coordenadas.30. Momento de un vector respecto a un punto.31. Derivada de un vector respecto a un escalar.

VECTORES: VOCABULARIO1. Abscisa (x) de un punto.

La abscisa de un punto es la distancia de ese punto al eje de ordenadas.

2. Ordenada (y) de un punto.La ordenada de un punto es la distancia de ese punto al eje de abscisas.

3. Concepto de vector.Un vector es un segmento orientado en el plano o en el espacio.

4. Coordenadas o componentes de un vector.Las coordenadas o componentes de un vector son las proyecciones delvector sobre cada uno de los ejes de coordenadas.Las coordenadas de un vector se calculan restando las coordenadas delorigen a las coordenadas del extremo.Un vector queda determinado por sus coordenadas

5. Elementos de un vector.Los elementos de un vector son:- Origen- Extremo- Módulo- Dirección- Sentido

6. Concepto de origen de un vector.O punto de aplicación es el punto del espacio del que parte.

7. Concepto de extremo de un vector.El extremo de un vector es el punto del plano opuesto a su origen.

8. Concepto de módulo de un vector.El módulo de un vector es la longitud de ese vector o la distancia entre suorigen y su extremo.El módulo de un vector se calcula hallando la raíz cuadrada de la sumadel cuadrado de las componentes.Sean los vectores:

9. Concepto de dirección de un vector.La dirección de un vector es la recta que contiene al vector.

10. Concepto de sentido de un vector.El sentido de un vector es el elemento que indica, mediante una flechacolocada en el extremo, hacia qué lado de la línea de acción se dirige elvector.Un vector se representa mediante dos letras y una flecha encima. Laprimera letra representa el origen, y la segunda el extremo. También sepuede representar un vector mediante una letra y una flecha encima:

11. Concepto de versor o vector unitario.Vector unitario es aquel que tiene de módulo la unidad.

12. ¿Cómo se calcula un vector unitario en la dirección y sentido de otrovector?Un vector unitario en la dirección y sentido de otro vector se calculadividiendo las coordenadas del vector por su módulo.

13. Concepto de magnitud escalar.Una magnitud escalar es aquella que queda unívocamente caracterizadamediante su valor numérico y su unidad.

14. Concepto de magnitud vectorial.Es una magnitud que, para que quede perfectamente definida, no sólo noes necesario saber su valor numérico y su unidad, sino también sudirección y sentido; por ejemplo la velocidad, la aceleración, la presión,la fuerza...

15. ¿Cuándo dos vectores son iguales?Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo, dirección ysentido, o bien cuando tienen las mismas coordenadas.

16. Concepto de cosenos directores de un vector.Los cosenos directores de un vector son los cosenos de los ángulos queforma el vector con cada uno de los ejes de coordenadas.

17. Propiedad de los cosenos directores de un vector.La suma del cuadrado de los cosenos del ángulo que forma un vector concada uno de los ejes de coordenadas es igual a 1:

18. Relación entre el vector unitario (en la dirección y sentido de uno dado) ylos cosenos directores de un vector.• La relación entre el vector unitario y los cosenos directores de un vectores que las coordenadas de ese vector unitario son los cosenos directoresde ese vector.

no llevan flechas porque no son vectores, sino

proyecciones o coordenadas (del vector unitario).

sería el vector unitario en la dirección y sentido de , que se calcula

dividiendo las coordenadas del vector entre su módulo.

*¿Cómo se calculan los cosenos directores de un vector? Los cosenosdirectores de un vector se calculan dividiendo cada coordenada por sumódulo.

19. Suma de vectores: analítica y gráficamente.

ANALÍTICAMENTEDos o más vectores se suman analíticamente, sumando las

correspondientes coordenadas.

GRÁFICAMENTEDos o más vectores se suman gráficamente:

a) Se sitúan los dos vectores con el mismo origen y se usa la regla delparalelogramo. Cuando hay que sumar más de dos vectores, hay querepetir esta operación por cada pareja de vectores.

b) Se coloca el origen de un vector sobre el extremo del otro, y se une elorigen del primero con el extremo del segundo.:

21. Concepto de vector opuesto a otro.Dos vectores son opuestos cuando tienen el mismo módulo, y la

mismo dirección, pero sentido contrario. O bien, dos vectores sonopuestos cuando tienen las mismas componentes, pero con el signocambiado.

Un vector es opuesto a otro gráficamente, cuando los dos estáncontenidos en la misma recta, y la longitud entre sus orígenes y susextremos es la misma, pero con sentido contrario.

20. Diferencia de vectores: analítica y gráficamente.

ANALÍTICAMENTE:Dos vectores se restan analíticamente, sumando al primer vector el

opuesto del segundo vector, es decir, restando las respectivascoordenadas.

GRÁFICAMENTE: Sumando al primero el opuesto del segundo.

22. Producto de un escalar por un vector.El producto de un escalar por un vector es otro vector cuyas coordenadasson el resultado de multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas delvector.

El producto de un escalar por un vector es otro vector de:C Dirección: la misma.C Sentido: Si el escalar es positivo tienen el mismo sentido; si el escalar

es negativo tienen sentido contrario.C Módulo: el producto del valor absoluto del escalar por el módulo del

vector.

23. Producto escalar de dos vectores.El producto escalar de dos vectores es un escalar igual al producto de susmódulos por el coseno del ángulo que forman.

Al vector unitario del eje z y sentido positivo, se llama .

Al vector unitario del eje y y sentido positivo, se llama .

Al vector unitario del eje x y sentido positivo, se llama .

El producto escalar también puede calcularse a partir de las coordenadascartesianas de ambos vectores:

*¿Por qué tiene la propiedad conmutativa?

24. Condición de perpendicularidad de dos vectores.La condición que se debe cumplir para que dos vectores seanperpendiculares entre sí, es que su producto escalar sea igual a 0.

25. Proyección de un vector sobre otro. Vector proyección.La proyección de un vector sobre otro es un escalar igual al valor delproducto escalar de los vectores, dividido por el módulo del vector sobre elque se proyecta.El vector proyección de un vector sobre otro es un vector (de módulo igualal valor del producto escalar de los vectores, dividido por el módulo delvector sobre el que se proyecta igual al producto de la proyección del primervector sobre el segundo por el vector unitario en la dirección y sentido delvector sobre el que se proyecta.

26. Producto vectorial de dos vectores.

Se representa por:

El producto vectorial de dos vectores es un vector de:1. Módulo igual al producto de los módulos (de los vectores) por el seno

del ángulo que forman.

2. Su dirección es perpendicular al plano que forman los vectores, es

decir, perpendicular a y perpendicular a .

3. Su sentido es el que indica el avance del sacacorchos o del tornillocuando se desplaza del primer vector al segundo por el camino máscorto.

El producto escalar de los vectores unitarios será:

Ver ejercicio nº 10 como ejemplo. En éste se demuestra que elproducto vectorial de dos vectores no cumple la propiedad conmutativa, yque cuando se invierte el orden de los vectores a multiplicar, se obtienenvectores opuestos (propiedad anticonmutativa) .

Y teniendo en cuenta:

Esta expresión vectorial puede ponerse mediente el siguiente determinante:

27. ¿Cómo se calcula un vector unitario perpendicular a dos vectores?Un vector unitario perpendicular a dos vectores se calcula haciendo el

producto vectorial de los dos vectores ( ), con lo cual obtengo un

vector perpendicular a y perpendicular a (esto se debe al concepto de

producto vectorial, en el apartado de la dirección). A continuación dividoeste vector por su módulo.

28. Área de un triángulo del que se conocen sus coordenadas.El área de un triángulo del que se conocen sus coordenadas es la mitad delmódulo del producto vectorial de los vectores de dos de sus lados. Ve elproblema nº 25.

29. Área de un paralelogramo del que se conocen sus coordenadas.El área de un paralelogramo es el módulo del producto vectorial de losvectores de dos lados no paralelos al paralelogramo. Ve el problema nº 24.

30. Momento de un vector respecto a un punto.Momento de un vector respecto a un punto O es el producto vectorial delvector de posición del origen del vector por el propio vector:

es un vector que tiene su origen en el punto O (punto respecto al cual estamos

calculando el momento de ) y su extremo en el origen del vector, en el origen

de .

también se define como el vector de posición del origen de (punto A)

respecto a O.

31. Derivada de un vector respecto a un escalar.La derivada de un vector respecto a un escalar es otro vector cuyascoordenadas se obtienen derivando cada (una) coordenada del vectorrespecto al escalar.

FÍSICA DE 1º de BACHILLERATO: VECTORES1. Sea el vector: .

Calcula su módulo y sus cosenos directores.

2. Sean los vectores .

Calcula el módulo y la dirección del vector suma de ambos.

3. Sean los vectores: .

Calcula:

a) El vector .

b) Los módulos de .

c) El producto escalar de .

4. Sean los vectores . Indica

razonadamente si son o no son perpendiculares.

5. Calcula el módulo y los cosenos directores de los vectores del problemaanterior.

6. Deduci r e l va lor de x para que los vectores

sean perpendiculares.

7. Sean los vectores . Calcula su producto

escalar y el ángulo que forman.

8. Dados los vectores , calcula:

a) Su producto escalar;b) el ángulo que forman;c) su producto vectorial.

9. Deduci r e l va lor de x para que los vectores

sean perpendiculares.

10. Si , determina: a) ; b) ;

c) .

11. Siendo , calcula los

productos: .

12. Siendo , calcula los

productos: .

13. Sea el vector . Calcula:

a) .

b) El módulo de para t=1 y para t=2.

14. Un vector tiene de componentes (3, -2, 1). Halla:

a) Su módulo.b) Sus cosenos directores.c) Un vector unitario en la dirección de .

d) Comprueba que la suma de los cuadrados de los cosenos directores esla unidad.

e) Un vector unitario perpendicular a la dirección de .

15. Sea el vector ; se pide:

a) Su módulo y dirección.b) Un vector unitario en su misma dirección.c) El ángulo que forma con el eje OY.

16. El vector tiene su punto de aplicación en A(1, 3, 0).

Determina el momento de respecto al origen de coordenadas y respecto

al punto O'(-3, 5, 0).

17. El vector tiene su punto de aplicación en P(3, 0, -1).

Determina el momento de respecto al origen de coordenadas y respecto

al punto O'(3, -2, -1).

18. Los vectores están aplicados en el punto

C(3, 0, -1). Calcula sus momentos respecto al punto P(1, 2, 3).

19. Dados los vectores , calcula un vector, de

módulo 3, perpendicular a ambos.

20. Sea el vector . Calcula el módulo de su

derivada respecto a t.

21. Un bloque de 10 kg se encuentra situado sobre un plano inclinado 30º sobrela horizontal. Calcula las componentes del peso perpendicular y paralela alplano.

22. Sean los vectores . Determina:

a) Su producto vectorial.b) El ángulo que forman.c) Comprueba que el vector producto vectorial es perpendicular a

y a .

23. Dados los vectores , determina

by y bz para que y sean paralelos.

24. Determina el área de un paralelogramo formado por los vectores:

25. Determina el área del triángulo determinada por los vectores:

26. Dados los vectores , calcúlese:

a) Su producto escalar.

b) La proyección de sobre .

c) La proyección de sobre .

27. Demuestra que los vectores , , y

pueden formar un triángulo y que éste es rectángulo.

28. Dados los vectores , calcula:

a) El momento del vector , aplicado en O(0,0,0), respecto del punto

P (-2,1,0).b) El momento del vector , aplicado en O(0,0,0), respecto del punto

P (-1,-3,0).

c) El momento del vector , aplicado en A(1,2,3), respecto del punto

P (1,-2,0).

29. Dados los vectores , calcula:

a) El ángulo que forman.

b) La proyección de sobre .

c) La proyección de sobre .

30. Un vector tiene de módulo 4 y sus cosenos directores son proporcionales alos números 3, 1 y -2. Halla las componentes cartesianas de este vector.

31. Dada una fuerza (en N) aplicada en el punto

(en metros), calcula:

a) El momento respecto al origen.b) El momento respecto al punto (1,1,-2)

32. Dados los vectores y

a) Halla su suma gráfica y numéricamente.b) Calcula los módulos de ambos vectores y el de su suma.

33. Calcula los siguientes productos escalares y calcula en cada caso el ánguloque forman ambos vectores:

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

34. Dados los vectores y , calcula el

versor (vector unitario) en la dirección y sentido del vector .

35. Dado el vector con origen en A(3, 17) y extremo en B(10, -7), halla el

versor (vector unitario) de su misma dirección, pero de sentido contrario.

36. Determina un vector de módulo 6, de igual dirección y sentido que el vector

.

37. Dados los vectores y , calcula la

proyección del primero sobre el segundo.

38. Halla la proyección del vector sobre .

Exprésala vectorialmente (vector proyección).

39. Calcula las componentes de los vectores y en

la dirección del vector .

40. La velocidad de un móvil es . Una fuerza

actúa sobre él. Calcula la componente de dicha fuerza en la

dirección del movimiento y en dirección perpendicular a él. Lascomponentes de la velocidad se han expresado en m s -1 y las de la fuerza,en N.

41. Dada la función vectorial , calcula el

ángulo que forman los vectores obtenidos al hacer t = 1 y t = 2.

42 ¿Qué valor se ha de dar a t para que el módulo del vector

sea igual a ?

43 Dada la función vectorial , calcula y

representa gráficamente los siguientes vectores:

44. Para t = 1, calcula el vector y su

derivada.Determina el ángulo que forman ambos vectores.

45. ¿Para qué valor de x el vector y su

derivada con respecto a x son perpendiculares?

46. Dado el vector , determina el vector unitario o

versor que tiene la dirección y sentido de su derivada para t = 2.

47. Dada la función vectorial , demuestra:

a) Que su módulo es constante.b) Que este vector es perpendicular a su derivada para todo valor de x.

48. Determina el vector y su derivada,

ambos para t=2. Calcula la componente de dicha derivada en la dirección delvector y en dirección perpendicular a él.

49. Aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial con respecto a lasuma, efectúa los siguientes productos:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

50. Dados los vectores , calcula un vector de

módulo 3 perpendicular a ambos.

FÍSICA: 1º de Bachillerato

Tema 1.

CONCEPTOS

INTRODUCTORIOS

CONCEPTOS INTRODUCTORIOS1. Concepto de magnitud.2. ¿Qué es medir una magnitud física?3. Condiciones que deben cumplir las unidades al elegirlas.4. Tipos de magnitudes.5. Magnitud escalar.6. Magnitud vectorial.7. ¿Qué es un sistema de medidas o sistema de unidades?8. Cita algunos ejemplos de sistemas de medidas.9. Concepto de magnitudes fundamentales.10. Concepto de unidades fundamentales.11. ¿Cuáles son las magnitudes y unidades fundamentales en el Sistema

Internacional?12. Normas acerca de los nombres y los símbolos de las unidades.13. Magnitud derivada.14. Múltiplos y submúltiplos de las unidades.15. Ecuación de dimensión.16. Indica las ecuaciones de dimensión de algunas magnitudes físicas.17. ¿Qué significa la condición de homogeneidad entre magnitudes?18. ¿Qué son medidas directas? Ejemplos.19. ¿Qué son medidas indirectas? Ejemplos.20. Partes de que consta un número puesto en notación científica? Ejemplo.21. Características de los aparatos de medida.22. ¿Qué es la sensibilidad de un instrumento de medida?23. ¿Qué es la precisión de un instrumento de medida?24. ¿Qué es la exactitud de un instrumento de medida?25. ¿A qué se llaman cifras significativas? Ejemplos26. ¿Qué es el redondeo?27. Reglas del redondeo.28. Concepto de incertidumbre de una medida.29. Error absoluto.30. Error relativo.31. Representación de las medidas.32. Concepto de línea de ajuste.33. Trazado de la línea de ajuste.34. Interpretación de una gráfica.

CONCEPTOS INTRODUCTORIOS

1. Concepto de magnitud.Magnitud es toda propiedad de un objeto que puede medirse.

2. ¿Qué es medir una magnitud física?Medir es comparar una magnitud con otra que se toma como patrón y quese denomina unidad.

3. Condiciones que deben cumplir las unidades al elegirlas.a) La unidad ha de ser constante. No ha de cambiar con el tiempo ni

depender de quién realice la medida.b) Ha de ser universal, es decir, debe ser utilizada por todos.c) Ha de ser fácil de reproducir, aunque esta facilidad vaya, a veces,

en detrimento de la exactitud.

5. Magnitud escalar.Una magnitud escalar es aquélla que queda unívocamente caracterizadadando su valor numérico y su unidad.

6. Magnitud vectorial.Es una magnitud que, para que quede perfectamente definida, no sólo esnecesario saber su valor numérico y su unidad, sino también su dirección ysentido; por ejemplo la velocidad, la aceleración, la presión, la fuerza, ...

7. ¿Qué es un sistema de medidas o sistema de unidades?Es un sistema de clases de magnitudes y de unidades coherente y métrico,basado en un determinado número de magnitudes fundamentales y unidadesfundamentales.

8. Cita algunos ejemplos de sistemas de medidas.Sistema Internacional, Sistema Terrestre o Técnico, Sistema Cegesimal.

9. Concepto de magnitudes fundamentales.Magnitudes fundamentales son aquéllas que se definen independientemente

de las demás.

10. Concepto de unidades fundamentales.Las unidades fundamentales son las unidades de las magnitudesfundamentales.

11. ¿Cuáles son las magnitudes y unidades fundamentales en el SistemaInternacional?

MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLOLongitud metro mMasa kilogramo kgTiempo segundo sIntensidad de corriente amperio AIntensidad luminosa candela cdTemperatura kelvin KCantidad de sustancia mol mol

12. Normas acerca de los nombres y los símbolos de las unidades.

a) Los nombres de las unidades se escriben con minúscula.

b) Cada unidad tiene un símbolo y no debe utilizarse otro.

c) Los símbolos se escriben sin punto final.

d) Los símbolos de las unidades cuyo nombre proviene de un nombrepropio (normalmente de un físico) son mayúsculas; cuando no es así,son minúsculas.

13. Magnitud derivada.Magnitudes derivadas son aquéllas que pueden ser expresadas en función delas fundamentales, como la velocidad, el volumen, la fuerza, ...

14. Múltiplos y submúltiplos de las unidades del sistema internacional.Para poder establecer cómodamente cantidades muy grandes o muypequeñas, se han establecidos los prefijos del cuadro adjunto, que sirvenpara designar a los múltiplos y submúltiplos de las unidades.

MÚLTIPLOSFACTOR PREFIJO SÍMBOLO

1018 exa E

1015 peta P

1012 tera T

109 giga G

106 mega M

103 kilo k

102 hecto h

101 deca da

SUBMÚLTIPLOSFACTOR PREFIJO SÍMBOLO

10-1 deci d

10-2 centi c

10-3 mili m

10-6 micro :

10-9 nano n

10-12 pico p

10-15 femto f

10-18 atto a

15. Ecuación de dimensión.La ecuación de dimensión de una magnitud derivada es la ecuación que nosrelaciona esa magnitud derivada con las fundamentales.

16. Indica las ecuaciones de dimensión de algunas magnitudes físicas.

* Superficie = [L²] * Volumen = [L3]

* Densidad = [ML-3] * Velocidad = [LT-1]

* Aceleración = [LT-2] * Peso específico = [ML-2T-2]

* Cantidad de movimiento = [MLT-1] * Impulso mecánico = [MLT-1

]

* Fuerza = [MLT-2] * Trabajo = [ML2T-2]

* Potencia = [ML2T-3] * Presión = [ML-1T-2]

17. ¿Qué quiere decir la condición de homogeneidad entre magnitudes?La condición de homogeneidad entre magnitudes quiere decir que laecuación de dimensión del primer miembro de una igualdad ha de ser iguala la ecuación de dimensión del segundo miembro.