1  

Koordinatni sistemi  Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema:  Kartezijeve koordinate Korištenjem Kartezijevih koordinata položaj tačke u ravni se definiše sa dva broja, koja predstavljaju koliko je tačka udaljena po horizontali i po vertikali od koordinatnog početka: 

   Polarne koordinate Korištenjem polarnih koordinata, tačka se definiše pomoću dva broja koja pokazuju koliko je tačka udaljena od početka, i pod kojim uglom u odnosu na pozitivni smjer x ose (pozitivan smjer je suprotno od kazaljke na satu): 

Konverzija Za pretvaranje iz jednog sistema u drugi koristi se sljedeći trougao: 

Konverzija iz Kartezijevog u polarni Ako znamo Kartezijeve koordinate tačke (x,y) a želimo je prikazati u polarnim koordinatama (r,θ) rješavamo pravougli trougao s dvije poznate stranice. Primjer: Koliko je (12,5) u polarnim koordinatama?  

  

2  

Koristi se Pitagorina teorema da se odredi hipotenuza: r2 = 122 + 52 r = √ (122 + 52) r = √ (144 + 25)  r = √ (169) = 13 Za određivanje ugla može se koristiti tangens: tan(θ) = 5 / 12 θ = tan‐1 ( 5 / 12 ) = 22,6° (na jednu decimalu) Rješenje: tačka (12,5) je (13, 22.6°) u polarnim koordinatama.  Šta je tan‐1 ?  To je trigonometrijska funkcija kotangens: 

Tangens od ugla daje odnos stranica,   Kotangens uzima odnos stranica (npr. "5/12") i na osnovu toga daje ugao. 

  Za pretvaranje Kartezijevih koordinata (x,y) u polarne (r,θ): 

r = √ ( x2 + y2 )  θ = tan‐1 ( y / x )  

Napomena: Kalkulatori mogu dati pogrešnu vrijednost za tan‐1 () kad su x ili y negativni.  Za pretvaranje iz polarnih u Kartezijeve koordinate Kad znamo polarne koordinate tačke (r,θ), a želimo ih u Kartezijevim koordinatama (x,y) rješavamo pravougli trougao s poznatom hipotenuzom i uglom:     Primjer: Koliko je (13, 22.6°) u Kartezijevim koordinatama? 

Za x se koristi funkcija kosinus:     cos(22,6°) = x / 13

Preuređenjem i rješavanjem:     x = 13 × cos(22,6°) 

      x = 13 × 0,923  

      x = 12,002... 

        

Za y se koristi funksija sinus:     sin(22,6°) = y / 13 

Preuređenjem i rješavanjem:     y = 13 × sin(22,6°) 

      y = 13 × 0,391  

      y = 4,996... 

Rješenje: tačka (13, 22.6°) je skoro tačno (12, 5) u Kartezijevim koordinatama. Dakle, za pretvaranje iz polarnih (r,θ) u Kartezijeve koordinate (x,y) koriste se formule: 

x = r × cos(θ)  y = r × sin(θ) 

3  

Šta kad su X i Y negativni brojevi? Kad se pojave negativni brojevi, x i y ose dijele ravan na 4 dijela: Kvadranti I, II, III i IV (Numerisani su u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) Kad se vrši konverzija iz polarnih u Kartezijeve koordinate, sve radi kako treba:  Primjer: Koliko je (12, 195°) u Kartezijevim koordinatama?  r = 12 i θ = 195° 

x = 12 × cos(195°)  x = 12 × ‐0,9659...  x = ‐11,59 na 2 decimale  

y = 12 × sin(195°)  y = 12 × ‐0,2588...  y = ‐3,11 na 2 decimale 

Tako je tačka na (‐11.59, ‐3.11), što je u Kvadrantu III Ali kad se pretvara iz Kartezijevih u polarne koordinate ...  

... kalkulator može dati pogrešnu vrijednost tan‐1 Sve zavisi od toga u kojem kvadrantu se tačka nalazi! Ovako se popravlja rezultat: 

Kvadrant  Vrijednost tan‐1 

I  Rezultat kalkulatora 

II  Dodati 180° na rezultat kalkulatora

III  Dodati 180° na rezultat kalkulatora

IV  Dodati 360° na rezultat kalkulatora

 Primjer: P = (‐3, 10) P je u Kvadrantu II 

r = √((‐3)2 + 102)  r = √109 = 10,4 na 1 decimalu 

θ = tan‐1(10/‐3)  θ = tan‐1(‐3,33...)  

Vrijednost s kalkulatora za tan‐1(‐3,33...) je ‐73,3°  Pravilo za Kvadrant II glasi: Dodaj 180° na rezultat kalkulatora θ = ‐73,3° + 180° = 106,7° Tako da polarne koordinate tačke (‐3, 10) su (10.4, 106.7°)  Primjer: Q = (5, ‐8) Q je u Kvadrantu IV 

r = √(52 + (‐8)2)  r = √89 = 9,4 na 1 decimalu 

θ = tan‐1(‐8/5)  θ = tan‐1(‐1,6)  

Vrijednost s kalkulatora za tan‐1(‐1,6) je ‐58,0°  Pravilo za Kvadrant IV glasi: Dodaj 360° na rezultat kalkulatora θ = ‐58,0° + 360° = 302,0° Tako da polarne koordinate tačke (5, ‐8) su (9.4, 302.0°) 

4  

Vektori Ovo je vektor: 

Vektor ima intenzitet (koliko je dugačak) i smjer: Dužina linije pokazuje intenzitet vektora, a strelica pokazuje smjer vektora. 

Dva vektora se mogu sabrati tako što se početak drugog vektora postavi na kraj prvog: 

Bez obzira na redoslijed, rezultat je uvijek isti: 

 Primjer: Avion leti prema sjeveru, ali na njega djeluje vjetar koji puše sa sjeverozapada. 

 Dva vektora (brzina zahvaljući propeleru, i brzina vjetra) kao rezultat daju malo sporiju brzinu kretanja u odnosu na tlo, usmjerenu malo istočnije od sjevera. Ako gledate avion sa zemlje, izgledalo bi kao da malo proklizava u stranu. Jeste li ikad vidjeli da se ovo dešava? Možda ste vidjeli ptice kako se bore s jakim vjetrom tako da izgleda kao da lete u stranu. Vektori pomažu da se to objasni.    

5  

Oduzimanje vektora Moguće je i oduzeti jedan vektor od drugog:  prvo se promijeni smjer vektora koji želimo 

oduzeti,   nakon toga se vektori sabiraju na uobičajeni 

način: a ‐ b = a + (‐b) 

 Označavanje Vektor se označava sa strelicom iznad ( ) ili podebljano, kao a ili b. Vektor se može napisati i pomoću slova koja označavaju početnu i krajnju tačku sa strelicom iznad, kao na slici:  Računske operacije s vektorima Najčešći način računanja s vektorima je rastavljanje vektora na komponente x i y, kao na slici: Vektor a se rastavlja na dva vektora ax i ay 

 

Sabiranje vektora Dva vektora se mogu sabrati i tako da saberemo posebno komponente x, a zatim posebno komponente y: 

 Vektor (8,13) i vektor (26,7) sabiranjem daju vektor (34,20) Primjer: saberi vektore a = (8,13) i b = (26,7) c = a + b c = (8,13) + (26,7) = (8+26,13+7) = (34,20)  

Oduzimanje vektora Upamtite: da bi se vektor oduzeo, prvo se promijeni smjer vektora koji treba oduzeti, a zatim se sabere s vektorom od kojeg se treba oduzeti. Primjer: oduzmi k = (4,5) od v = (12,2) a = v + (−k) a = (12,2) + (−(4,5)) = (12,2) + (−4,−5) = (12−4,2−5) = (8,−3)  

Intenzitet vektora  Intenzitet vektora se prikazuje sa dvije vertikalne crte oko oznake vektora:      |a| ILI se može napisati sa po dvije vertikalne crte (da se ne miješa sa apsolutnom vrijednošću):  ||a|| 

Koristimo Pitagorinu teoremu da izračunamo intenzitet:        |a| =    

Primjer: koji je intenzitet vektora b = (6,8)?    |b| = √6 8 √36 64 √100 10  

6  

Jedinični vektor Jedinični vektor ima intenzitet 1: 

Skaliranje Vektor se može dobiti "skaliranjem" jediničnog vektora. Ovdje je vektor a prikazan kao 2,5 veći od jediničnog. Oba vektora i dalje pokazuju u istom smjeru: 

U 2 dimenzije Jedinični vektori se mogu koristiti u 2 dimenzije: Ovdje je pokazano kako se vektor a sastoji od 2 "x" jedinična vektora i 1,3 "y" jediničnog vektora. 

U 3 dimenzije Na isti način se jedinični vektori koriste u 3 (ili više!) dimenzija: 

 Ort Jedinični vektor u Kartezijevom koordinatnom sistemu se naziva "ort": i (x), j (y), k (z). 

 Vektor i skalar Kad koristimo vektore, obične brojeve nazivamo "skalarima". Skalar: samo broj (kao 7 ili −0,32) ... definitivno nije vektor. Vektor se često piše podebljano, kako bismo znali da to nije skalar: 

tako je c vektor, ima intenzitet i smjer   ali c je samo broj, kao 3 ili 12,4  

Primjer: kb je u stvari skalar k koji množi vektor b. 

   

7  

Množenje vektora skalarom Kad množimo vektor skalarom, to se zove "skaliranje" vektora, jer mijenjamo veličinu vektora.  Primjer: pomnoži vektor m = (7,3) skalarom 3 

 

  a = 3m = (3×7,3×3) = (21,9)

I dalje pokazuje u istom smjeru, ali je 3 puta duži (Sada znate zašto se brojevi nazivaju "skalari", jer "skaliraju" (povećavaju ili smanjuju) vektore.)   Množenje vektora vektorom (skalarni i vektorski proizvod) Kako se dva vektora množe? Postoji više od jednog načina! 

Skalarni proizvod (rezultat je skalar).   Vektorski proizvod (rezultat je vektor). 

 

Skalarni proizvod Skalarni proizvod se računa na sljedeći način: a ∙ b = |a| × |b| × cos(θ)  Gdje su:   |a| intenzitet (dužina) vektora a   |b| intenzitet (dužina) vektora b   θ je ugao između a i b Pomnože se dužina a i dužina b, a zatim se proizvod pomnoži kosinusom ugla između a i b 

 

ILI može se izračunati i na sljedeći način: a ∙ b = ax × bx + ay × by Dakle, pomnože se x komponente, pomnože se y komponente, a zatim se ta dva proizvoda saberu. 

  Primjer: Izračunati skalarni proizvod vektora a i b:  a ∙ b = |a| × |b| × cos(θ)  a ∙ b = 10 × 13 × cos(59,5°)  a ∙ b = 10 × 13 × 0,5075... a ∙ b = 65,98... = 66 (zaokruženo) a ∙ b = ax × bx + ay × by a ∙ b = ‐6 × 5 + 8 × 12 a ∙ b = ‐30 + 96 a ∙ b = 66 Obje metode daju isti rezultat (nakon zaokruživanja) Treba obratiti pažnju da se koristilo minus 6 za ax (pošto je okrenuto u negativnom x‐smjeru) 

8  

Zašto cos(θ) ? Da bi se pomnožila dva vektora, ima smisla množiti njihove dužine samo ako su okrenuti u istom smjeru. Dakle, konstruiše se jedna "tačka u istom smjeru" kao i druga množenjem sa cos(θ): 

 

  

 

Uzme se komponenta od a  koja leži na pravcu od b 

   To se može uporediti sa mjerenjem dužine sjene

NAKON TOGA vrši se množenje! 

Dobio bi se isti rezultat kad bi se odredila "projekcija" vektora b na vektor a a zatim pomnožila: Svejedno je kojim redoslijedom se vrši množenje: |a| × |b| × cos(θ) = |a| × cos(θ) × |b| 

Pravi ugao Kad su dva vektora pod pravim uglom, njihov skalarni proizvod je nula.  Tri ili više dimenzija Sve ovo radi i u 3 (ili više) dimenzija.   Primjer: Izmjerene su krajnje tačke dva vektora, i treba odrediti ugao među njima:  Ovdje imamo 3 dimenzije, tako da treba dodati i z‐komponente: a ∙ b = ax × bx + ay × by + az × bz a ∙ b = 9 × 4 + 2 × 8 + 7 × 10 a ∙ b = 36 + 16 + 70  a ∙ b = 122 Korištenjem druge formule: a ∙ b = |a| × |b| × cos(θ) Ali, šta je |a|? To je intenzitet (dužina), vektora a. Može se korstiti Pitagorina teorema: 

|a| = √(42 + 82 + 102)   |a| = √(16 + 64 + 100)   |a| = √180  

Na isti način za |b|:  |b| = √(92 + 22 + 72)   |b| = √(81 + 4 + 49)   |b| = √134  

9  

Iz prethodnog proračuna znamo da je a ∙ b = 122, tako da je: a ∙ b = |a| × |b| × cos(θ) 122 = √180 × √134 × cos(θ)  cos(θ) = 122 / (√180 × √134) cos(θ) = 0,7855... θ = cos‐1(0,7855...) = 38,2...°  Skalarni proizvod se koristi za računanje rada konstantne sile (definisane jednim vektorom) koja djeluje na putanje (definisanoj drugim vektorom). Rad je komponenta sile u u smjeru kretanja pomnožena s pomjeranjem od tačke djelovanja sile.   

Vektorski proizvod Vektorski proizvod a × b dva vektora je vektor koji se nalazi pod pravim uglom na oba vektora čijim množenjem je nastao: 

 Vektorski proizvod se računa na sljedeći način: a × b = |a| |b| sin(θ) n 

|a| je intenzitet (dužina) vektora a  |b| je intenzitet (dužina) vektora b  θ je ugao između vektora a i b  n je jedinični vektor pod pravim uglom i 

na a i na b  

 Tako je dužina: dužina vektora a puta dužina vektora b puta sinus ugla između vektora a i b,  Nakon toga se rezultat pomnoži jediničnim vektorom n kako bi se obezbijedilo da je usmjeren u pravom smjeru (okomito i na vektor a i na vektor b).  Na drugi način se vektorski proizvod može izračunati ovako:   

Kad vektori a i b počinju u koordinatnom početku (0,0,0), Vektorski proizvod će završavati u: 

cx = aybz − azby  cy = azbx − axbz  cz = axby − aybx  

Primjer: Vektorski proizvod vektora  a = (2,3,4) i b = (5,6,7)  

cx = aybz − azby = 3×7 − 4×6 = −3  cy = azbx − axbz = 4×5 − 2×7 = 6  cz = axby − aybx = 2×6 − 3×5 = −3  

Rješenje: a × b = (−3,6,−3)     

10  

Na koju stranu? Vektorski proizvod bi mogao pokazivati u potpuno suprotnom smjeru, a da je i dalje okomit na oba vektora od kojih je nastao. Zato se koristi: "Pravilo desne ruke" Kažiprst desne ruke usmjerite tako da pokazuje u istom smjeru kao vektor a, a srednji prst u smjeru vektora b: vektorski proizvod će pokazivati u smjeru palca.   Vektorski proizvod se koristi za računanje vektora momenta sile u 3 dimenzije.  

Vekrtori u više od 2 dimenzije Vektori koje smo do sada posmatrali su bili dvodimenzionalni, ali vektori savršeno rade i u tri ili više dimenzija:  Primjer: saberi vektore a = (3,7,4) i b = (2,9,11) c = a + b c = (3,7,4) + (2,9,11) = (3+2,7+9,4+11) = (5,16,15)   Primjer: oduzmi (1,2,3,4) od (3,3,3,3) (3,3,3,3) + −(1,2,3,4)  = (3,3,3,3) + (−1,−2,−3,−4)  = (3−1,3−2,3−3,3−4)  = (2,1,0,−1)   Primjer: koliki je intenzitet vektora w = (1,−2,3) ?  

|w| =  1 2 3 √1 4 9 √14    

Intenzitet i smjer Ako znamo intenzitet i smjer vektora, možemo izračunati nejgove komponente x i y (ili obrnuto): 

<=>

 

Vektor a u polarnim  koordinatama 

  Vektor a u Kartezijevim 

koordinatama 

Ukratko o polarnim i Kartezijevim koordinatama: 

Iz polarnih koordinata (r,θ)  u Kartezijeve koordinate (x,y) 

Iz Kartezijevih koordinata (x,y)  u polarne koordinate (r,θ) 

x = r × cos(θ)  y = r × sin(θ) 

r =     θ = tan‐1 ( y / x ) 

   

11  

Primjer Faruk i Izet vuku kutiju.  

Faruk vuče silom od 200 njutna pod uglom od 60°  Izet vuče silom od 120 njutna pod uglom od 45° kao na slici 

Kolika je rezultujuća sila, i koji je njen smjer? Ako nadovežemo dva vektora jedan na drugi: 

 Zatim, prebacimo se iz polarnih u Kartezijeve koordinate (na 2 decimale): Farukov vektor: 

x = r × cos(θ) = 200 × cos(60°) = 200 × 0,5 = 100  y = r × sin(θ) = 200 × sin(60°) = 200 × 0,8660 = 173,21 

Izetov vektor:  x = r × cos(θ) = 120 × cos(‐45°) = 120 × 0,7071 = 84,85  y = r × sin(θ) = 120 × sin(‐45°) = 120 × ‐0,7071 = −84,85 

Sada imamo: 

 Sad ih je lako sabrati: (100, 173.21) + (84.85, −84.85) = (184.85, 88.36) Možemo ih onda pretvoriti u polarne za konačni rezultat: 

r =  , , = 204,88  θ = tan‐1 ( y / x ) = tan‐1 ( 88,36 / 184,85 ) = 25,5° 

Tako dobijemo sljedeći (zaokružen) rezultat: 

     Ovako to izgleda Faruku i Izetu:  Imali bi bolji rezultat da su vukli rame uz rame. 

12  

 

Prostorni koordinatni sistemi  Za određivanje položaja u prostoru koriste se tri glavna koordinatna sistema: 

Pravougli (Kartezijev, Dekartov) koordinatni sistem definiše tačku pomoću 3 broja, koja predstavljaju udaljenost projekcije tačke na 3 koordinatne ose (x,y,z) od koordinatnog početka. 

    

Cilindrični koordinatni sistem je proširenje polarnog koordinatnog sistema u ravni na prostor, tako što se na dvije polarne koordinate dodaje treća, udaljenost od ravni XY, paralelno sa z osom.  Za pretvaranje pravouglih u cilindrične koordinate, koriste se jednačine transformacija: 

x = r cos, y = r sin, z = z,

r = √(x2 + y2), = tan-1(y/x), z = z.  

   

Sferni koordinatni sistem koristi tri koordinate koje predstavljaju: r:   udaljenost tačke od  

koordinatnog početka 

:  zenit, ugao koji prava koja spaja tačku sa koordinatnim početkom zaklapa s pozitivnim dijelom z‐ose 

θ:  azimut, ugao iste prave sa pozitivnim dijelom x‐ose 

 Za pretvaranje pravouglih u sferne koordinate, koriste se jednačine transformacija: 

x = r sincos, y = r sin sin, z = r cos,

r = √(x2 + y2 + z2), =tan-1(z/√(x2+y2)), = tan-1(y/x).