1/14

Praktikum iz eksperimentalne nastave fizike 1

Fizika – informatika 2010/2011

Vježba 9

9.1 Jednolika rotacija obruča

9.2 Jednolika ubrzana rotacija

9.3 Ovisnost kutne akceleracije o momentu sile

9.4 Ovisnost kutne akceleracije o momentu tromosti

9.5 Određivanje momenta tromosti obruča i metalne šipke

9.6 Provjeravanje Steinerova poučka na aparatu s obručem

9.7 Provjeravanje izraza za rotacijsku energiju na aparatu s obručem

Iz „Zbirke zadataka iz fizike – Priručnik za učenike srednjih škola“ autora

Mikuličić-Varićak-Vernić riješite zadatke 1.300 – 1.350 (barem 60 %

zadataka).

Literatura:

1. Kurelec, Pokusi iz elementarne dinamike, Školska knjiga, Zagreb, 1959.

2/14

Pokus 9.1. Jednolika rotacija obruča Kao što se slobodno gibljivo mirno tijelo kratkotrajnim djelovanjem sile, impulsom, stavi u jednoliko gibanje po pravcu, ako na njega ne djeluju nikakve sile, koje ga u tome priječe, tako će i tijelo, koje se može slobodno zakretati oko osi, kratkotrajnim djelovanjem momenta sile (ili para sila) početi jednoliko rotirati, ako nema nikakvih sila, koje ga u tome priječe. U to se možemo uvjeriti i eksperimentom. Ako ušicu U našeg aparata s obručem, s kojeg smo uklonili nit s bubnjića (postoji bubnjić bez niti u kutiji s priborom), uhvatimo s dva prsta i kratkotrajnim momentom para sila prstiju stavimo obruč u sporo okretanje, vidjet ćemo, ako zapornim satom odredimo vrijeme svakog od dva uzastopna okretaja, da će oba vremenska odsječka biti među sobom vrlo približno jednaki, što znači, da je obruč pod utjecajem kratkotrajnog momenta para sila, jednoliko rotirao nakon prestanka djelovanja sila.

Slika 9.1.1.

Jednolika rotacija, koju vrši tijelo, koje se vrti oko osi, a bez utjecaja kakvih sila, posljedica je zakona tromosti (ustrajnosti, inercije). Po tom zakonu svaka se čestica tijela giba jednoliko po pravcu, ako na njega ne djeluju nikakve sile. Međutim, pri rotaciji, kohezijske sile čvrstog tijela drže čestice zajedno i priječe ih da se po zakonu tromosti gibaju po pravcu u smjeru tangente, nego ih prisiljavaju, da se gibaju oko osi svaka po svojoj kružnici. Na taj način trajne kohezijske sile stvaraju trajnu i konstantnu centripetalnu silu, koja čestice tijela prisiljava, da skreću sa svog pravocrtnog gibanja u smjeru tangente, da se gibaju po kružnici.

Kutna brzina Pri rotaciji tijela, čestice u osi tijela se ne gibaju. Sve ostale čestice tijela gibaju se po kružnicama, kojih su ravnine okomite na os. Te su kružnice među sobom paralelne, ali ne će imati jednaki polumjer, pa prema tome ni opseg. Ali će ipak sve čestice, zbog krutosti čvrstog tijela, prijeći pripadne kružnice u isto vrijeme (Slika 9.1.2.). No upravo stoga, brzine im neće biti jednake. Što je veći polumjer kružnog gibanja čestice, to će joj biti veća njena brzina, koju sad zovemo linearnom brzinom. Međutim, kut φ, što ga čestice prevale u određenom vremenskom razmaku za sve je čestice, za čitavo tijelo isti (Slika 9.1.3.). Podijelimo li kut φ s proteklim vremenom t, dobivamo srednju kutnu brzinu ωs.

tSϕω =

Slika 9.1.2. Linearna brzina Slika 9.1.3. Odnos kutne i linearne brzine

3/14

Za bilo kako mali odsječak, t, taj kvocijent, srednja kutna brzina, daje pravu kutnu brzinu ili trenutačnu kutnu brzinu ω, u tom kratkotrajnom odsječku vremena. Ako je taj kvocijent konstantan za različite vremenske odsječke u toku gibanja, tad je rotacija jednolika, a ω će biti brzina te jednolike rotacije. U tom slučaju ω prikazuje kut, što ga u jedinici vremena, dakle u 1 sekundi, opiše tijelo. Redovito se ω izražava u radijanima/s. Za čestice u udaljenosti jedan metar od osi, broj radijana (u sekundi) kutne brzine dat će broj metara (u sekundi) njene linearne brzine jednak r-puta broju radijana (u sekundi) njene kutne brzine (Slika 25.).

ω⋅= rv

Pokus 9.2. Jednoliko ubrzana rotacija Ako na slobodno gibljivo tijelo. Trajno djeluje konstantna sila, tijelo će se konstantnom akceleracijom gibati jednoliko ubrzano po pravcu. Analogno tome, u slučaju, kad na tijelo, koje se može vrtjeti oko jedne osi, trajno djeluje konstantni moment sile (ili para sila), tijelo će se vrtjeti (rotirati) jednoliko ubrzano s konstantnom kutnom akceleracijom. To znači, da bi se kutna brzina ω tijela morala konstantno povećavati, za isti iznos Δω u jednakim vremenskim odsječcima Δt, tj. trebalo bi biti

αω==

ΔΔ .konst

t

Taj izraz, koji nam daje konstantan prirast kutne brzine u jednoj sekundi, zove se kutna akceleracija. U slučaju jednoliko ubrzane rotacije vrijedit će, analogno kao kod progresivnog jednoliko ubrzanog gibanja, formula:

2

2t⋅=

αϕ

gdje je φ prevaljeni kut, α je kutna akceleracija, a t je proteklo vrijeme. Pogledajmo hoće li će eksperiment potvrditi naša očekivanja. Konstantan moment sile proizvodi trajnim djelovanjem na tijelo, koje se može vrtjeti oko osi, jednoliko ubrzanu rotaciju. I ovdje, kao i za sva ispitivanja rotacije, dobro nam služi naš aparat s obručem (pri rotaciji nam ne treba: duljinskog mjerilo, jahači i jezičak niti; Slika 9.2.1.). Moment M sile F jednak je brF ⋅ . (F je sila utega i zdjelice na aparatu s obručem (uteg od 20 grama) a rb je polumjer bubnjića). Taj moment djeluje trajno na bubnjić i preko njega na cijeli sustav bubnjić + obruč. Izmjerimo vremena t1, t2, t3, što ih obruč treba za 1, 2 i 3 prva okretaja, tj. za kutove od 2π, 4π i 6π radijana. Slika 9.2.1.

4/14

Kako je 2

2t⋅=

αϕ , izlazi, da je 22 tϕα

= ; moramo, dakle, za φ uvrstiti redom 2π radijana, pa

4π i konačno 6π radijana i podijeliti s kvadratima pripadnih vremena t1, t2, t3, koja smo našli eksperimentom. Vidjet ćemo, da će ti kvocijenti biti, u granicama neminovnih mjernih pogrešaka, među sobom jednaki, što znači, da je polovina akceleracije, a time i cijela akceleracija – konstantna. Iz tog izlazi, da je gibanje na našem aparatu s obručem doista jednoliko ubrzana rotacija, proizvedena trajnim djelovanjem konstantnog momenta sile

brFM ⋅= . Želimo li odrediti što točnije kutnu akceleraciju α, uzet ćemo srednju vrijednost triju polovica akceleracija:

⋅⋅⋅=

⋅+

⋅+

⋅

=3

642

2

23

22

21 ttt

πππα

i pomnožiti sa 2: 2/ srad⋅⋅⋅=α

TEMELJNI ZAKON ROTACIJE

Temeljni zakon rotacije lako izvedemo na elementaran način. Zamislimo tijelo (Slika 9.3.1.), koje se može slobodno okretati oko osi O, i na koje djeluje sila F momentom sile

rFM ⋅= .(Neka je sila u ravnini okomitoj na os rotacije; inače bismo morali uzeti u obzir samo komponentu sile koja pada u tu ravninu.) Djelovanje te sile mogli bismo zamijeniti djelovanjem malih sila f1, f2, f3,…fn na pojedine čestice tijela, a koje su okomite na polumjere rotacije čestica. Slika 9.3.1. Zbroj momenata svih tih sila daju M moment sile F:

nn rfrfrfrFM ⋅++⋅+⋅=⋅= ...2211

Kao je prema temeljnoj jednadžbi gibanja ,,...,, 222111 nnn amfamfamf ⋅=⋅=⋅= gdje su m1, m2,…mn mase čestica, a a1, a2,…an njihove linearne akceleracije, bit će

nnn ramramramM ⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅= ...222111 Između linearne akceleracije a i kutne akceleracije α analogna je veza, kao između linearne i kutne brzine. Kutna akceleracija α, izražena u radijanima/s2, daje nam linearnu akceleraciju a u udaljenosti jedan metar od osi rotacije, izraženu u m/s2. Općenito, u udaljenosti r1, metara od osi rotacije, bit će linearna akceleracija, izražena u m/s2, r1-puta veća od broja radijanima/s2 kutne akceleracije; vrijedit će dakle relacija

α⋅= 11 ra

isto će tako biti ,..., 3322 αα ⋅=⋅= rara

5/14

Ako taj rezultat uvrstimo u gornju formulu za moment sile M, izlazi:

( )2222

211

222111

...

...

nn

nnn

rmrmrmM

rrmrrmrrmM

⋅++⋅+⋅=

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

α

ααα

Izraz u zagradi zvat ćemo moment tromosti i označiti slovom I. (Njegovo fizikalno značenje posebno ćemo objasniti malo kasnije.) Prema tome, izlazi konačno:

IM

iliIM

=

⋅=

α

α

Ovo je temeljni zakon rotacije, koji nam kazuje ovo: Kutna akceleracija tijela proporcionalna je momentu sile, koji zakreće tijelo, a obrnuto je proporcionalna momentu tromosti tijela. Zapaža se zanimljiva analogija dobivene formule s formulom za temeljni zakon gibanja

mFa = pri pravocrtnom gibanju. Umjesto linearne akceleracije ovdje je kutna akceleracija,

umjesto sile ovdje je moment sile, a umjesto mase –moment tromosti I. Fizikalno značenje momenta tromosti tijela Kod jednoliko ubrzanog gibanja po pravcu ovisi veličina akceleracije, kojom je to gibanje određeno, o dvama faktorima: o sili, koja tijelo ubrzava i o masi tijela, tj. svojstvu samog tijela, da se opire ubrzavanju. Isto je tako pri rotaciji veličina kutne akceleracije ovisna o dvama faktorima: o momentu sile, koji proizvodi jednoliko ubrzanu rotaciju tijela, i o momentu tromosti tijela s obzirom na tu os. Vidimo, da značenje momenta tromosti tijela, s obzirom na otpor tijela prema kutnom ubrzavanju, odgovara značenju, što ga masa tijela ima nasuprot ubrzavanju tijela po pravcu. Možemo dakle reći, da je moment tromosti tijela, s obzirom na određenu os rotacije, svojstvo tijela, da ono pruža otpor kutnom ubrzavanju, kao što masa tijela znači svojstvo tijela, da ono pruža otpor ubrzavanju pri progresivnom gibanju (translaciji). Postoji ipak bitna razlika između mase tijela i momenta tromosti nekog tijela, s obzirom na određenu os. Masa je, barem u okviru klasične fizike, konstantno, nepromjenljivo svojstvo samog tijela, dok je moment tromosti ovisan i o rasporedu čestica tijela oko osi rotacije; tj. o udaljenosti čestica tijela od osi. Iz izraza za moment tromosti:

2222

211 ... nn rmrmrmI ⋅++⋅+⋅= razabiremo, da je moment tromosti tijela ovisan osim o

masama čestica i o njihovim udaljenostima od osi, a te će biti različite prema tome, na kojem se mjestu tijela i u kom smjeru nalazi os rotacije; što znači, a se moment tromosti jednog istog tijela mijenja s obzirom na različite osi rotacije.

Napose iz gornje formule izlazi, da je moment tromosti jedne same čestice jednak 2rm ⋅ , a to će isto vrijediti i za moment tromosti točkastog tijela, naime takvog, kojeg su dimenzije malene prema polumjeru rotacije. Dakle, za točkasto tijelo moment tromosti proporcionalan je masi tijela i kvadratu polumjera rotacije, što znači, da će uz djelovanje istog momenta sile kutna akceleracija tog tijela biti četiri puta manja ako je polumjer rotacije točkastog tijela dva puta veći. (Ubrzo ćemo se u to uvjeriti eksperimentom, i to najprije kvalitativno, a kasnije ćemo to provjeriti i kvantitativno.)

6/14

Ako bismo točkasto metalno tijelo pretopili u obruč polumjera r (gdje je r bio polumjer rotacije točkastog tijela oko zadane osi), tad bi taj obruč imao isti moment tromosti s obzirom na os, koja prolazi njegovim središtem okomito na ravninu obruča (Slika 9.3.2.), kao što je imalo točkasto tijelo pri svojoj rotaciji u udaljenosti r od osi.

Slika 9.3.2.

Točkasto tijelo, koje rotira oko osi u udaljenosti r, ima jednak moment tromosti kao i obruč jednake mase, polumjera r, s obzirom na os, koja prolazi središtem obruča okomito na njegovu ravninu.

Slika 9.3.3. Jedinica za mjerenje momenta tromosti je 1 kg m2; taj moment tromosti ima ili točkasto tijelo, mase 1 kg, koje se vrti oko osi u udaljenosti 1 m, ili obruč mase 1 kg, polumjera 1m s obzirom na os, koja prolazi središtem okomito na ravninu obruča.

Možemo, naime, zamisliti obruč razdijeljen u male djeliće mase m1, m2,…mn koji su svi udaljeni r metara od osi rotacije, pa im momenti tromosti s obzirom na tu os iznose

,,...,, 222

21 rmrmrm n ⋅⋅⋅ a svi zajedno daju moment tromosti obruča:

( )mrI

mmmrrmrmrmI nn

⋅=

+++=⋅++⋅+⋅=2

21222

22

1 ......

Jednakost momenta tromosti ovih dvaju tijela znači, da će isti moment sile M dati jednake akceleracije svakom od spomenuta dva tijela. Jedinica za mjerenje momenta tromosti jest 1 kg m2. Posebnog imena ta jedinica nema. Toliki moment tromosti ima točkasto tijelo mase 1 kg u udaljenosti 1 m od osi rotacije, ili, prema onome što smo upravo vidjeli, taj isti moment tromosti ima i obruč mase 1 kg, polumjera 1m s obzirom na os, koja prolazi njegovim središtem, okomito na ravninu obruča (Slika 9.3.3.). Deset-milijunti dio te jedinice je 1 g cm2. Moment tromosti nekih tijela Momenti tromosti pravilnijih tijela nalaze se integralnim računom, u što ovdje nije potrebno ulaziti. Rezultati računa daju, da je moment tromosti, npr.:

a) homogene kružne ploče ili valjka, polumjera r, a mase m, s obzirom na os, koja

prolazi središtem ploče okomito na nju, 2

21 rmI ⋅=

b) homogene kugle, polumjera r, a mase m, s obzirom na jedan njen dijametar kao os: 2

52 rmI ⋅=

c) homogene šipke, polumjera l, a mase m, s obzirom os, što joj prolazi krajem,

okomito na nju, 2

31 lmI ⋅=

d) homogenog kvadra, osnovnih bridova a i b, mase m, s obzirom na os, koja prolazi

njegovim težištem okomito na ravninu bridova a i b: ( )22

121 bamI +⋅=

7/14

Kasnije ćemo pokazati, kako se eksperimentom mogu odrediti momenti tromosti tih tijela na tri načina: pomoću rotacije (na aparatu s obručem), zatim uz pomoć (gravitacijskog) njihanja tijela, i konačno uz pomoć torzionog njihala. A sad ćemo najprije pokazati, kako se eksperimentom mogu opažati različiti momenti tromosti, da bismo dobili jasniju predodžbu o njima. Njihova je važnost isto tako velika pri rotaciji svih mogućih kotača u motorima i generatorima, kao što je masa tijela pri progresivnom gibanju. Pokus: Opažanje različitih momenata tromosti tijela. Na bubnjić B našeg aparata s obručem objesit ćemo pomoću triju niti redom različita tijela (Slika 9.3.4.): obruč, zatim kružnu ploču, kuglu, šipku i kvadar.

Slika 9.3.4.

Zamjećivanje različitih momenata tromosti: različita tijela vješamo o bubnjić aparata s obručem; bubnjić svaki put podjednako zavrtimo s dva prsta, pa kod različitih tijela osjećamo različita opiranja kutnom ubrzanju, tj. osjećamo različite momente tromosti.

Svaki put ćemo s dva prsta zavrtjeti ušicu, a time i obješeno tijelo. (Ne smijemo to učiniti prenaglo.) Osjetit ćemo različite momente tromosti, koje moramo svladati, da bismo tijela ubrzali. Naročito je eksperiment impresivan, ako tijela, bez obzira na to iz kakvog su materijala, imaju podjednake mase. Tad ćemo osjetiti, kako je moment tromosti kružne ploče znatno manji od momenta tromosti obruča jednakog polumjera. Mnogo lakše ćemo ubrzati ploču, nego obruč, jer kružna ploča jednakog polumjera i jednake mase kao i obruč, ima samo polovinu momenta tromosti obruča. Naročito nas iznenađuje razmjerno vrlo malen moment tromosti kugle. Ako je drvena kugla čak dva do tri puta veće mase od obruča (na primjer obruča od bicikla radijusa 31,5 cm i mase 860 g), dok će drvena kugla od 9 cm polumjera imati već masu preko 2 kg), ubrzat ćemo je, preko ušice bubnjića desetak puta lakše, istom kutnom akceleracijom, nego što nam je to pošlo za rukom kod obruča. To je zbog toga, što je moment tromosti kugle, u tom slučaju desetak puta manji od momenta tromosti mnogo lakšeg obruča. Ta pojava, koja nas prvi put, kad je eksperimentom osjetimo začuđuje, proizlazi odatle, što kod obruča sve njegove čestice imaju razmjerno veliki polumjer r obruča (Slika 9.3.5.), pa prema tome i razmjerno vrlo veliki moment tromosti (ne zaboravimo, da moment tromosti čestice raste s kvadratom polumjera vrtnje), dok su kod kugle čestice zbite u prostor malog polumjera unutar kugle pa čestice imaju mnogo puta manje momente tromosti, nego one na obruču. (Isti je razlog i razlici između momenta tromosti kružne ploče i obruča, samo u manjoj mjeri.)

8/14

Slika 9.3.5.

Obruč, mase 860 g, ima desetak puta veći moment tromosti od mnogo teže kugle, jer sve čestice obruča imaju velik polumjer r vrtnje, dok čestice kugle imaju mnogo manje polumjere rotacije. Pokus: Opažanje momenta tromosti o udaljenosti točkaste mase od osi rotacije. Na dvije dijametralno suprotne rupice, na periferiji bubnjića B našeg aparata s obručem, objesimo dvije niti, na koje pomoću dviju omča učvrstimo ravnu tanku šipku (drvenu) dugačku oko 60 do 70 cm (Slika 9.3.6.). Uz pomoć drugih dviju omča objesimo simetrično prema osi rotacije (a ta je os smjer niti N1), dva utega od pola kilograma, i to jedanput pri krajevima šipke, a drugi put u blizini osi. Pri stavljanju u rotaciju, preko ušice U na bubnjiću, osjetit ćemo veliku razliku u momentima tromosti u jednom i drugom slučaju. Budući da utege možemo ovdje smatrati približno točkastim tijelima, a promjena u momentu tromosti nastala je smanjenjem polumjera vrtnje utega, to smo zapravo tim eksperimentom opažali ovisnost momenta tromosti o polumjeru rotacije točkastog tijela.

Slika 9.3.6.

PROVJERAVANJE TEMELJNE JEDNADŽBE ROTACIJE

NA APARATU S OBRUČEM Pokus 9.3. Ovisnost kutne akceleracije o momentu sile Neka je na aparatu obješen jedan obruč. Postav eksperimenta je isti kao u pokusu 9.2. Sila (zajedno s zdjelicom) neka je F1 = 0,1962 N (uteg mase 20 g). Prema tome, moment sile M1, koji zakreće bubnjić zajedno s obručem, bit će brFM ⋅= 11 (rb je polumjer bubnjića). (Brojčana vrijednost momenta sile nije nam još pri ovim eksperimentima potrebna.). Izmjerimo vrijeme, što ga obruč treba za prva dva potpuna okretaja. Izvršimo, tri takva mjerenja, pa uzmemo srednju vrijednost. Izvršit ćemo to eksperimentom na taj način, što ćemo ispred nekog znaka na obruču staviti stativ, pa u trenutku, kad taj znak nakon prva dva okretaja obruča prođe iza stativa, zaustavimo zaporni sat, koji smo stavili u gibanje u istom trenutku, kad smo i obruč stavili u gibanje. Budući da je to jednoliko ubrzana rotacija (kako

smo već prije eksperimentom ustanovili u pokusu 9.2.), bit će akceleracija 21

12tϕα ⋅

= .

9/14

Za naš slučaj, gdje smo za φ uzeli 4π radijana (2 puna okretaja obruča!), a vrijeme t je eksperimentom određena vrijednost t1, bit će kutna akceleracija α1:

221

21

1 /...13,2542 sradijanatt

==⋅⋅

=πα

Povećajmo sada moment sile na dvostruku vrijednost tako, što ćemo dvaput povećati silu (uteg od 40 g). Dakle 12 2 MM ⋅= . Izmjerimo ponovo vrijeme t2 dvaju prvih okretaja (srednju vrijednost od tri mjerenja!), pa ćemo naći pripadnu akceleraciju α1:

222

22

2 /...13,2542 sradijanatt

==⋅⋅

=πα

Povećajmo moment sile na isti način na trostruku vrijednost (uteg od 60 g), pa izmjerimo t3 i nađemo pripadnu akceleraciju α3. Ako načinimo omjer dobivenih kutnih akceleracija α1, α2 i α3, izlazi, da se one vrlo približno odnose kao 1:2:3, tj. kao pripadni moment sila. Iz toga izlazi rezultat našeg eksperimenta: Pri jednoliko ubrzanoj rotaciji kutna je akceleracija tijela proporcionalna momentu sile, koji proizvodi tu rotaciju:

α ~ M Pokus 9.4. Ovisnost kutne akceleracije o momentu tromosti I Stavimo sad na aparat dva jednaka obruča, koji zajedno imaju dvostruki moment tromosti

12 2 II ⋅= , gdje je I1 moment tromosti jednog obruča. Sila, koje će moment zakretati tijelo, neka je 0,3924 N (uteg mase 40 g). Odredimo ponovo, kao i u prethodnom eksperimentu, akceleraciju:

222

'22

'

'2 /...13,2542 srad

tt==

⋅⋅=

πα

Načinimo li omjer iz prije nađene akceleracije α2 za jedan obruč (uz isti moment sile kao i sad) i nađene akceleracije α'2, vidjet ćemo, da je omjer vrlo približno jednak 2:1 tj. jednak je obrnutom omjeru pripadnih momenata tromosti. Odatle proizlazi rezultat ovog eksperimenta: Pri jednoliko ubrzanoj rotaciji kutna je akceleracija tijela obrnuto proporcionalna momentu tromosti:

α ~ I1

Spojimo li sad rezultate iz pokusa 9.3. i 9.4., dobivamo eksperimentom provjeren temeljni zakon rotacije:

α ~ I

M ili I

Mk=α Zbog prikladnog izbora jedinica u SI sustavu (pri čemu mjerimo kut u radijanima, moment sile u N m, a moment tromosti u kg m2) konstanta k postaje jednaka 1, dobivena formula za temeljni zakon rotacije dobiva jednostavan oblik:

IM

=α .

10/14

ODREĐIVANJE MOMENTA TROMOSTI TIJELA POMOĆU ROTACIJE

Pokus 9.5.a. Određivanje komponente momenta sile, koja ubrzava sustav Dosada se nismo obazirali na utjecaj trenja pri aparatu s obručem. Mogli smo to učiniti zbog toga, što smo dosad tražili samo odnose među veličinama, a ne njihove apsolutne vrijednosti. Pritom nas trenje nije ometalo, jer se povećanjem sile, odnosno momenta sile na aparatu, proporcionalno povećavalo i trenje, uglavnom trenje niti preko koloture i na stalku obruča. Osim toga treba istaknuti, da je trenje niti preko koloture, pri određenom momentu sile, konstantno za vrijeme čitavog odvijanja eksperimenta. Međutim, sada, kad će nam biti potrebne apsolutne vrijednosti traženih veličina, moramo odrediti onaj dio momenta sile koji ubrzava sustav. (Preostali dio momenta sile troši se na savladavanje trenja, dok je otpor zraka tako neznatan da ga ne trebamo ni spominjati.) Kako ćemo odrediti eksperimentom onaj dio ili komponentu momenta sile, koja ubrzava sustav? Neka je na aparatu obješen jedan obruč. Postav eksperimenta je isti kao u pokusu 9.2. Uteg od 20 g je stavljen na nosač. Moment tromosti obruča lako ćemo izračunati, jer znamo, da mu je moment tromosti 2

000 rmI ⋅= , gdje je m0 masa obruča odvagnuta na vazi, a r0 je udaljenost od osi (središta obruča) do težišta presjeka obruča (Slika 9.5.1.).

Slika 9.5.1.

Određivanje polumjera obruča. Odredimo kutnu akceleraciju (vidi pokus 9.2.). Tada iz temeljne jednadžbe rotacije izlazi da je moment sile Ma koji ubrzava sustav (obruč), jednak:

0IM ⋅= αα njutn metar (α je dakako izražen u radijanima/s2). Time smo našli komponentu Ma cjelokupnog momenta sile brFM ⋅= , koja će nam trebati za izračunavanje momenta tromosti ostalih tijela. Budući da pri određivanju momenta tromosti različitih tijela ne ćemo mijenjati moment sile, to će nam komponenta Ma momenta sile biti u toku svih tih eksperimenata ista. Primjer. Moment tromosti obruča mase 0,860 kilograma, polumjera 0,316 metara je

222000 0859,0316,0860,0 mkgrmI ⋅=⋅=⋅= , akceleracija je bila α = 0,0107 rad/s2 ; prema

tome je komponenta Ma momenta sile, koja ubrzava obruč, bila: 000919,00859,00107,00 =⋅=⋅= IM αα njutn metar

11/14

Pokus: Usporedba momenta tromosti kružne ploče i obruča Za kružnu ploču, polumjera rk = 0,15 m, a mase mk = 0,940 kg, dobivena je eksperimentom kutna akceleracija αk = 0,083 rad/s2, iz čega izlazi, da je njen moment tromosti:

2 0111,0083,0

000919,0 mkgMIk

k ⋅===α

α (eksperimentalno)

dok je teorijska vrijednost momenta tromosti kružne ploče prema formuli:

222 0106,015,0940,021

21 mkgrmI kkk ⋅=⋅=⋅=

Vidimo, da je moment tromosti kružne ploče, usprkos većoj masi nego što je ima obruč, osam puta manji, što znači, da ćemo osam puta manjim momentom sile (npr. naših prstiju na ušici bubnjića), dakle osam puta lakše vrtjeti jednakom akceleracijom zadanu kružnu ploču, negoli zadani obruč. Osim toga razabiremo iz dobivenog rezultata, da zadana ploča, kojoj je masa gotovo 1 kg, ima moment tromosti jednak svega stotinu momenta tromosti, što bi ga imalo točkasto tijelo od 1 kg mase, pri rotaciji u udaljenosti 1 metar od osi, odnosno obruč, polumjera 1 m, a mase 1 kg. To znači da je moment tromosti te kružne ploče vrlo približno jednak samo stotinki jedinice za moment tromosti (1 kg m2). Ova uspoređivanja dobivenih rezultata vrlo su korisne za poimanja i zorno predočavanje veličina momenta tromosti različitih tijela.

Pokus 9.5.b. Određivanje momenta tromosti metalne šipke Na aparat, preko posebnog dijela (metalnog valjka koji se može ušarafiti u ušicu s niti) prišarafimo dvije metalne šipke tako da izgledaju kao jedna šipka koja će rotirati oko središta, na način kako je prikazano na slici 9.5.2. Odredimo kutnu akceleraciju pri rotaciji šipke pod utjecajem iste komponente Mα momenta sile (iz pokusa 9.5.a., uteg 20 g ), i kao prije nađemo moment tromosti, koji usporedimo s teorijski dobivenom formulom, a koji za os, što prolazi polovištem šipke okomite na nju, iznosi:

Slika 9.5.2. Određivanje polumjera obruča.

2

121 lmI ŠŠ ⋅= gdje je: ml masa šipke, a l njena duljina.

Primjer. Čelična šipka, dugačka 0,75 metara i mase 0,635 kilograma imala je eksperimentom određen moment tromosti IŠ = 0 ,0288 kg m2, dok je teorijska vrijednost određena prema spomenutoj formuli bila 0,0298 kg m2. (Razlika je nešto veća od 3%). Na taj način na aparatu s obručem na niti možemo pomoću rotacije odrediti momente tromosti za najrazličitija, pa i nepravilna tijela s obzirom na nit N2 aparata oko osi. Odredite na sličan način moment tromosti velikog i malog obruča (Pokus 9.3.c).

12/14

PROVJERAVANJE STEINEROVA POUČKA POMOĆU ROTACIJE

Steinerov poučak kazuje, da je moment tromosti I0 tijela s obzirom na bilo koju os O, jednak zbroju momenta tromosti It tijela s obzirom na paralelnu os kroz težište i izraza md2 (gdje je d udaljenost težišta od osi): 2

0 dmII t ⋅+= . Objašnjenje. Gibanje tijela oko osi O sastoji se zapravo iz dva gibanja (Slika 9.6.1.): jedno je rotacija tijela oko težišta, što dobro vidimo na rotaciji kazaljke K učvršćene na tijelu; drugo je gibanje čitavog tijela kao cjeline, dakle njegovog težišta oko osi O.

Slika 9.6.1.

Steinerov poučak (objašnjenje). Dvostruka rotacija tijela, koje rotira oko osi, što ne prolazi težištem tijela: rotacija tijela kao cjeline, dakle rotacija njegovog težišta oko osi O, i rotacija tijela oko svog težišta.

Slika 9.6.2. Određivanje polumjera obruča.

Provjeravanje Steinerovog poučka na aparatu s obručem, metalne šipke nalaze se u udaljenosti d od osi rotacije.

Zbog prvog gibanja, rotacija oko težišta, tijelo će ispoljiti moment tromosti It, a zbog drugog gibanja, tj. rotacije oko osi O tijela kao cjeline, dakle tijela koncentriranog u težištu, ispoljit će se moment tromosti tijela (mase m) s obzirom na os O, a taj je md2. Pri faktičnoj rotaciji tijela oko osi O, oba se ta momenta tromosti sumiraju, čime je objašnjen Steinerov poučak. Pokus 9.6. Provjeravanje Steinerova poučka na aparatu s obručem Dvije jednake metalne šipke, objesimo simetrično na obruč (Slika 9.6.2.). Pola razdaljine tih šipaka daje nam udaljenost d svake šipke od osi rotacije. Koristimo dvije šipke, jer aparat ne bi mogao biti u ravnoteži ekscentričnim vješanjem samo jedne šipke o obruč. U prijašnjim eksperimentima odredili smo i teorijski i eksperimentalno moment tromosti šipke s obzirom na os, kroz njeno polovište, okomito na šipku (Pokus 9.5.b.). Trebamo odrediti moment tromosti sustava: obruča i dviju ekscentrično položenih šipaka, udaljenih za d od osi rotacije. Stavite uteg od 20 g na nosač. Od dobivene vrijednosti, oduzet ćemo poznati moment tromosti obruča i tu razliku podijeliti sa 2, čime dobivamo eksperimentom određen moment tromosti jedne šipke, koja rotira u udaljenosti d od osi. Usporedimo li te vrijednosti s teorijski izračunatom vrijednošću po Steinerovom poučku za taj slučaj (šipka u udaljenosti d od osi), vidjet ćemo, da se teorijski dobivena vrijednost podudara s eksperimentalno dobivenom vrijednošću, u granicama eksperimentalnih grešaka, čime je eksperimentom potvrđena ispravnost Steinerova poučka. Eksperiment možemo ponoviti, ako promijenimo udaljenost udaljenih za d šipaka od osi rotacije vješanjem šipki u drugoj udaljenosti od središta obruča ili s manjim obručima.

13/14

PROVJERAVANJE IZRAZA ZA ROTACIJSKU ENERGIJU NA APARATU S OBRUČEM 2

21 ω⋅= IEr

Kinetička energija jedne čestice, koja rotira po kružnici polumjera r1 (Slika 9.7.1.), budući da je njena linearna brzina ω⋅= 11 rv , bit će

22112

1 ω⋅⋅= rmEi

Slika 9.7.1.

Energija rotacije tijela jednaka je sumi kinetičkih energija pojedinih čestica.

što znači, da energija svake čestice, pri rotaciji, a time i cijelog tijela, raste s kvadratom kutne brzine ω, slično kao što kod pravocrtnog gibanja energija raste proporcionalno linearnoj brzini v. Cjelokupna kinetička ili rotacijska energija tijela, koje rotira, bit će jednaka sumi svih pojedinačnih energija čestica:

( )2

22222

211

222222

2211

21

...21

21...

21

21

ω

ω

ωωω

⋅=

⋅⋅++⋅+⋅=

=⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅=

IE

rmrmrm

rmrmrmE

r

nn

nnr

Iz ove formule vidimo, da pri rotaciji i za energiju rotacije postoji analogna formula, kao za

kinetičku energiju pri pravocrtnom gibanju tijela 2

21 vmEk ⋅= , samo što pri rotaciji umjesto

linearne brzine imamo kutnu brzinu, a umjesto mase moment tromosti. Razabiremo i tu važnost momenta tromosti: on je vrlo važan faktor, koji općenito pri rotaciji zauzima mjesto, što ga pravocrtnom gibanju ima masa. Provjerit ćemo sad dobivenu formulu za rotacijsku energiju na našem aparatu s obručem na niti. Pokus 9.7. Provjeravanje izraza za rotacijsku energiju na aparatu s obručem Neka je na aparatu obješen jedan obruč, a sila zajedno sa zdjelicom neka je 0,1962 N (uteg od 20 g). Polumjer bubnjića je poznat. Komponenta Ma momenta sile, koja ubrzava sustav (obruč) odredi se na način kako je to izloženo u pokusu 9.5.a. Moment tromosti obruča također je poznat. Odredit ćemo sada kutnu brzinu α0 obruča, što je ima u trenutku, nakon što je učinio prva dva potpuna okretaja pod utjecajem momenta Ma. Učinit ćemo to na taj način, što ćemo odrediti vrijeme t' jednog okretaja obruča pri jednolikoj rotaciji, nakon što smo poslije prva dva okretaja jednoliko ubrzane rotacije isključili djelovanje momenta sile, pa time ubrzanu rotaciju pretvorili u jednoliku, počevši od tog trenutka. Eksperimentom ćemo izvesti to ovako: Ispred nekog znaka na obruču postavimo mali stativ. Pustimo, da obruč pod utjecajem momenta sile učini dva okretaja, tako da znak na obruču bude opet iza stativa. Zaustavimo tu obruč, a pod zdjelicu s utezima stavimo jednu horizontalnu daščicu, učvršćenu na jednom stalku tako, da zdjelica upravo sjedne na daščicu. Sada obruč vratimo sa dva okretaja u prvobitni položaj i tu ga zaustavimo. Postav uređaja je prikazan na Slici 9.7.2.

14/14

Slika 9.7.2.

Sad počinjemo izvođenjem eksperimenta. Pustimo, da se obruč pod utjecajem momenta sile okrene dva puta. Kad znak na obruču pređe po drugi put iza stativa, zdjelica je upravo sjela na daščicu i uključila dalje djelovanje momenta sile. U taj tren stavimo u pokret zaporni sat, koji ćemo zaustaviti u trenutku, kad znak na obruču ponovo pređe iza stativa, tj. kad obruč bude izvršio jedan okretaj jednolikog gibanja. Zaporni sat pokazivat će tad vrijeme t' jednog okretaja pri jednolikoj rotaciji, a kutnu brzinu ćemo tada dobiti, ako 2π radijana podijelimo sa t':

''

28,62tt

=⋅

=πω radijana/s

Izvršimo tri mjerenja, pa uzmimo srednju vrijednost. Odatle za rotacijsku energiju izlazi vrijednost:

2

21 ω⋅= IEr džula

Tu eksperimentom nađenu vrijednost usporedimo s vrijednošću za rad, što ga je izvršila sila

b

a

rMP = (rb je polumjer bubnjića) na putu, koji odgovara dvama okretaja bubnjića, a to je

π⋅⋅⋅ br22 metara. Taj rad je jednak π⋅⋅⋅⋅=⋅= bb

a rr

MsPW 22 džula. Rezultat će nam

pokazati, da se rad (energija) W, u granicama mjernih pogrešaka, podudara s vrijednošću rotacijske energije Er, dobivene eksperimentom. Pokus izvedite i za mali obruč. Primjer. U jednom eksperimentu dobiveno je t' = 13 sekundi, ω = 0,488 radijana/s; Er = 0,0114 džula, a W = 0,0122 džula.