W. Kojink. Zur Diracschen Theorie Cles Eleklrons. l V 583

Zu,* DIrncsclaen Thewie cles Elektrone

I V. Bexiehungeti xtviechsti d e l i ReaUtUtsrelutLoneti

V o n W. K o f i n k

Einleitung und Zueammenfassung

In Tei l l I I wurden 4 skalare und ti vektorielle Belationen aus der Realifat der elektromagnetischen Potentiale fur die D i r a c ache Theorie des Elektrons abgeleitet. Wir zeigen nun, da6 sich die 6 vektoriellen Relationen aus den 4 skalaren aufbauen lassen. Nacli der schon ansgefuhrten' hbtrennung der 2 einfacheren skalaxen Relationen [Teil 111, G1. (V) und (VII)], die in den iibrigen Relationen in leicht erkennbarer Form enthalten waren! in III 6 3 rednziert sich diese Aufgabe auf den Nachweis, dap die 6 Vektorrelationen [Teil 111, Gl. (19a)-(f)] sich aus den andera 2 Skalarrelntionen von bilinearent Bau [HI, G1. (17) und (IS)] aufbauen lassen.

Die Zuriickfuhrbarkeit alkr Realitatsrelationen auf vier wird man auch in der vorliegenden' Bebandlung ohne Spezialisiernng der Diracmatrizen erwarten, denn im F d l e einer speziellen Darstellung [vgl. z. €3. a. a. O.])] werden die 4 Diracschen Differentialgleichungen (lurch ubergang zum Konjugiertkomplexen verdoppelt, so daB nach Elimination der 4 Potentisle 4 potentiallose Helationen iibrig bleiben iiiiissen.

Trotzdeln sind auch die 6 Vektorrelationen, die sich in unserer allgemeinen Behandlung ergaben, nicht ohne Interesse. Ihr Er- scheinen ist mit der Elimination der undeutbaren GroBen verkniipft und ihre Zuriickfiihrbarkeit auf die 2 Skalarrelationen ist nicht trivial, so da6 ihre Kenntnis trotz ihrer Zerlegbarkeit von Wert ist. Um sie zu zerlegen, mu6 von der zweiten Paulischen Bilinear- gleichung [I, (lo)] zwischen den Matrixelementen der Diracmatrizen ausgiebiger Gebrauch gemacht werden. Man findet dann (8 1) einen komplexen Skalar T [Definition G1. (911, auf den man die 6 Vektor- relationen mit Hilfe von 3 komplexen Vektoren s', .%", s"' [Definition G1. (2), (??')I zuriickfuhren kann. In dieser Forniulierung lauten die 6 Vektorrelationen [III, (19a-f)]:

a) r r + Z*t* = 0 ; c) z ' r + V*T* = 0 ; e) T " r + r * r * = 0; b) S'r - S'*t* = 0; d) T r - sI,*r* = 0 ; f ) ~ " r - ~ " * r * 0.

3s'

584 Annulen der Physik. 5. Folge. Band 38. 1940

Sie lassen sich also durch T = 0 bzw. T * = 0 oder auch durch t . $ T * z o ,

i ( r - T*) = 0

befriedigen. Die Ubereinstimmung dieser letzten beiden Gleichungeu mit den 2 bilinearen Skalarrelationen [III, (17) und (1811 la6t sich nachweisen (5 2) und somit der Bufbau der 6 Vektorgleichungen aus diesen 2 skalaren vornehmen (6 3).

In der komplexen Fom, die mit [111, G1. (17) unrl (ls)] oder [IV, G1. (16) nnd (l'i)] gleichbedeutend ist,

kann man jene beiden Skalarrelationen zusaaimenfassen. Sie sind dann wie die einfacheren Skalarrelationen ( I = k '+ 1, m = k + 2, mod. 31

. . s 5 a,, a l a - + divs = E a t (~p* ,qp) - 2 ~ ( y * , c c k i p ) = 0, c a t

k = l

lineare Ausdriicke, enthalten aber keine deutbaren GroSen. Wegen der Bedeutung aller vorkommenden Zeichen vgl. I 0 1.

5 1. Anwendung der sweiten Paulischen Bilineargleichung zur Zerlegung der 6 Vektorrelationen

1. I n Ted I erwahnten wir eine Matrix B, welche das System der y~ durch Ahnlichkeitstransformation in das transponierte (Ver- tanschen von Zeilen und Spalten) uberfiihrt. Analog definieren wir fUr das System der up eine Matrix T , welche dasselbe'fiir dieses System leistet

- (1) a/' = T t p T - 1 .

Nach [I, (lo)] erftillen ihre Matrixelemente die zweite Paulische Bilin eargleichu n g

1V. Tiofink. Zur Diracschen Thewie des Elektrons. IV 585

Die 6 Xatrizen T, Tap (p E 1, 2, 3, 4, 5) sind antisymmetrisch, daher verschwinden die inneren Produkte (v, T ~ p ) und (q, T up v) (p - 1, 2, 3, 4, 5). Die 10 Matrizen T u[.~"l, T cc[~!1~1 dagegen sind symmetrisch, die entsprechenden inneren Produkte nennen wir

(') I (i, k = 1,2,3) (k = 1,2,3) (k, I , m = 1,2,3 zyklisch mod. 3): Die inneren Produkte unterscheiden sich von den friiher gebildeten darin, daJ3 auch der vordere Faktor y lautet, snstatt y* wie friiher. Wir fassen die ersten 9 GroSen symbolisch zu 3 komplexen Vektoren zusnmmen

T i k = ( y , T t 2 l i k l 7 / ~ ) , T ~ , , = ( I J , T u [ ~ ~ J + ) , T ~ = ( I , o , T U [ ~ ~ ~ ' ] V ) , I To = (v, T @['=I Y ) 9

(2') S'- v 2 3 , %, T, , ) , S"= (TI,, Tzo, T, , ) , S'"= P I , T,, q. 2. Mit Hilfe dieser GriiSen lassen sich die 6 Vektorrelationen

[III, GI. (19; b i s f ) ] auf die 2 skalareu [111, (17) und (18)l zurlick- fiihren. Es ist niimlich ([. .I* bedeutet jeweils das Konjugiert- komplexe der direkt vorhergehenden eckigen Klammer):

A. Beweis vo)i (3). Wir greifen die erste Kornponente a, von a' heraue a . a a a und ordnen sie nach Teilen mit den gbleitungen __ -. ax; ' ax¶ ax, cat Wir haben dam zu beweisen:

586 Anmlen deer Pl~ysik . 5. Folye. Band 38. 1940

Zu (aa). Multiplikation YOU '2 Tv, TcTl,l mit a g l czrG und Summation uber die Indizes i;, 3 ergibt

~ 1 4 1 ,PS:I - ar23k1 2(y'J?31),,o (a' T - l I e p = i(a:oa;lv - a:o !CY p v 1,s e . p " ) "

JW + ,P~I - 1 ~ ? 3 1 . 'en ! g v e v p a a e v p a

+ +pp* - a VC4*

Multipliziert rnit v v t o 7 d .q

fuhrt zu vll* und summiert uber die Indizes p , Y , 9 , u

2TI, (-:$ , .I Y'-I = i (- 32 + I 3 2 c2 + lMlo MpB - lMm Mlo) - 1' .Yo s,, + '&* id + ISl .G1 - 1.4 8

1 I 1

nach [II, GI. (2) und (5031 = ls,, 5, - 'Go 8, + Isl .GI - I.;, 8, + l.:,p 8, - nach [TI, GI. (24') und (41)]

Wenn man zur ersten Schreibweise daa Konjngiertkompleie addiert, erhrlt man (aR).

Multiplikation von 2TY, T-' mit O ~ ~ ' U ~ ~ und Summation iiber die Indizes @, ergibt

.Gr + 'is s, - $3 (1. Schreibweise),

= 2 i ( - 52 i 'Mlo M,, + 'Illl2 M,, + l&fq1 M,,) (2. Schreibweise) .

Zu (9,). c P

2(Ta"231) , (2 T - ' ) B , = [H4] + ,J1"4] - .[31la1 9 a[23] ,' 0 p v e m p Y B Y { , o - a;. pa

+ i. B Y 241 .LW P o + a;o sp+- - p 3 1 PV - , p 4 1 e y ar14~ P O ) . a v,*

Multipliziert mit v,, yo -- -~ pIl* und suminiert uber die Indizes p , v , e , u fiibrt zu

2 x ,

J2 - )MIp d! + Y.4n s1 + 'a9 .el + i { aAf2, MzB - zM71 &Ilo '- zs, a, t '.$ go ,

nach [lI, GI. (20') und (42'11

= 2 (Yl-l!13,, R - 9 M l 2 A + 2sp G1 - 2G2 al)

= 2i (pM,o M,, - 9M31 AI,, - *sg a, + .C,)

Wenn man zur ersten Schreibweise daa Konjugiertkomplexe addiert und [I, (3411 zur Symrnetrisierung benutzt , erhlilt man (pa).

Zu (7*). . Multiplikation ron 2 Tvb T;!: mit ""1 a' - und Summation iiber die Indizes i8 c? ergibt

(1. Schreibweise), (2. Schreibweise) .

e c

2 ( ~ , ~ [ 2 3 1 ) ~ ~ (a3 T-1) = - ,JW - ,pi41 ,t - ,3 .[2'31 + JI21 1 ? P e o p v g o p v Q V p o e v

a %* a xi(

~341 , p i - a[1241 ,+I - .2 + ,,.P~I aww . + i ( n r , , . p " @ Y p o ?a p v P O p v )

hlultipliziert mit lyy tp" ---: tpI: nnd summiert uber die Indizes p , Y , q , u

fiihrt zu

2 ~r,, (E . rts T-' tp*) = - ' M ~ , ~t + 3M8, i t + 88, .cl - s.q., g1

'

-!- i{3A<,o M,, - sdl, , MI, + ,sp 8, - 3.;.1 S o l ,

W. Kofink. Zur Daracschen Theorie des Elehdrons. IV 587

nach [11, Gl. (20') und (41')l

(1. Schreibweise), = 'R Mso - 'M,, R + 'MS1 8 - MSl

f '8, 9, - '.;, 8, -f- '81 .68 - 'is 81

nach [II, G1. (3') und (39)]

= 2 i {'Mag MSs - 'MlP MI0 + 389 80 - ';3 &! (2. Schreibweise).

Wenn man zur ersten Schreibweise das Konjugiertkomplexe addiert, 80 erhiilt

Multiplikation von 2Tv, Ti; mit ~ ~ ' ~ 1 und Summation uber man (7*).

Zu (aa). den Index d ergibt

2 ( TaW1 >,, ~ , Z ' = u ~ ~ ' ~ ~ ~ - ~ ~ ~ u ~ l ~ a ~ ~ ~ a ~ ~ - a ~ , , u ~ ~ ~ -

+ a i v p o e o p v e v p u e o p v

a *p*

c a t

a** 1

- ~ 1 4 1 + ~ 1 2 9 1 J -

Multipliziert mit y,,y.--~,,* und eummiert iiber die Indizes p , Y , e, u

fiihrt zu

(1. Schreibweise), 2 TyL (cat , T-' V*) = 7 (Od, 8, - OBO d, +OM,, J L - O J C A!!*,

+ odfl, fc - MI, - 081 2, + o.G,81)

nach [11, G1. (45') und (4611

2 i = --- {08s 8 , - "6, .;., + OMgl M,, + OMso Msol (2. Schreibweise).

Wenn man znr ersten Schreibweiee daa Konjugiertkomplexe addiert, so erhiilt man (a,). Damit ist die Richtigkeit des angegebenen Aufbaus der Komponente a,

der Vektorrelation a erwiesen. Zyklieche Vertauschung dehnt den Beweis auf die zwei tibrigen Komponenten a9, a, BUS.

B. Bew& won (41. Mit Hilfe der zweiten Schreibweise von (a') bis (8,)

liillt sich die erste Komponente der Vektorrelation b aufbauen. Wir ordnen b,

nach Ableitungeu __ , - - a

C

3

+ a a __ a und haben zu zeigen:

ax, a 4 kx, , ca t

588 -4.lnnalen der Pltysik. 5 . Folge. Band 38. 1940

a Jf lO

axs ax, axs a 4 a X9 lX, p

go* - 8 p L + , c 2 > - g a s a .; a.

a MlP + M A!!!& aan,, ax3 23 a s - M 3 0 - - 8% - MI0 -

= 2 { [ - i T S 8 ( $ - : . c t s T - l y l * ) ] + [ - .-I*], a Y S , a a M Y 0 + K u - - Mso - *a&, c a t c a t c a t - illl* a - -

a * a 83 f 8, as, f ; -S?. - ; 2% c a t * c a t - 8* ~ c a t

av* , T-1 .*)I + [. . .I*}.'

+

! (Jb)

Wir niultiplizieren die unter A. ale zweite Schreibweisen bezeichneten Ausdrucke mit i, addieren das Konjugiertkoinplexe dam und bringen zur Symmetrisierung die Identitiiten [I, (22), (23), (lo)] zur Anwendung, urn SUB der Eweiten Schreib- weiae dieeer Ausdriicke die erste Komponente der Vektorrelation b aufzubauen.

3. Weiterhin gilt folgetide Umforniung fur die Vektorrelationen [III, G1. (19 Zuund b)]:

W. Kofink. Zur Diracscbn Theorie des Elektrons. IV 589

Zu ((lc). Wir multipliziereu 2 Tvo T,! _ I init =[.':I u i G uud summieren uber die Indizes 0, a.' Drbei entsteht

6 Ll?3] - .[123] + .[la] a l u[14~ 2 (1' nr'49vu (a' T-' ) e , t r = a e o a p v e a p v pv lro p n

+ i (a:. J!~ ,, - a i Y + e v r o - ary' c awl). c a

y~,/ liefert a Ye+ ax,

Die Bildung innerer Produkte mit y V y 0

-ins der ersten Schreibweise entsteht (a,) nach Addition dee Konjugiert- kompleren.

Wir multiplizieren 2 T,,, TLl mit n!,l:j .EL' nnd summieren iiber die Indizes @, 8.

Zu (6,). Dabei entsteht

2 (Tu[141) (a2 T-') = $21 a4 + ars41 u1 - V O er e o P V e v P O e m J P V - &:,

[311 [zw - a~341 p 3 1 - u:a a;v - a[3141 p31) .

a va*

a z,

+ i ( U e Y a p o e n p r . e v p a

Die Bildung innerer Prodnkte mit Hilfe von vvva tr* liefert

2 Tl0 (""' , up T-' = ' i s Ji - 'M9,81 - ' M t p 80 + '89 M i 0

+ i (*.:* M~~ + ' M ~ , .to - ss3 k - s~~~ J,) a s

nach [II, G1. (17'1 und (36'jI

= 2 ('$3 fl - 'lv," 8, - '.&flp 8, f '89 hfIo ) = 2 i ( i J j MU,, + 'Mae .Cu - '8, rC - 'M8, $)

(1. Schreibweise), (2. Schreibweise).

Aus der ersten Schreibweise folgt (8,) naoh Addition des Bonjugiertkomplexen ond Beruckeichtigung der Identitiit [I, (3111 zur Symmetrisierung.

Wir multiplizieren 2 T,,, !Z'gi mit a;':] n8- und summieren iiber die Indizes g, C.

Zu (yo) . ? :' Dabei enteteht

2 ( T J141)y (a' T - l)c = tdFtl .: - .: + aP - , a!:]

+ i (a: a:, - a[':'] nr"] + a['%] + u ~ ~ l a r ] ) . e P O e a c v

Die Bildung innerer Produkte mit Hilfe von y~~ tpU - 2 y,u* liefert

2 TI0 (""i , us 2'-' I*) = - 'Ma4,O 8, - Bj2 fi + '& 80 + '8, Ml0 8 XB

+ i { s ~ O d! - 'M,, 0' - %If*,, 8, + ML3 1

690 An,nubn der Physik. 5. Folge. Band 38. 1943

nach [11, GI. (17') und (3571 = 2 1- sM,, 8 , - J2 + 3M31 s,, i. M,,j '(1. Schreibneise), = 2i (3811 +& - 3M12 dl - 'M,, .Co + ?$, M,, I

An8 der ersten Schreibweise folgt (ye) nach Addition des Konjugiertkornplexen und Beriicksichtigung der Identiat [I, (31)] zur Symmetrisierung.

Wir multiplizieren 2 Ty5 TYi rnit I&':] und summieren iiber den Index ii. Dabei entsteht

(2. Schreibweise)

Zu (ac).

2 (T , ~ 1 4 1 ) ~ T - 1 = as JW - ~ 2 3 1 JW 8 Q[lrl c p e v p o 0 0 p v + e o p v - ' p v p n

1 + i (.; , I p o - .:, + p '1 ~ ~ 3 4 1 - u r ~ a1 Qrw

e v p o P o p y ) .

Die Bildung innerer Produkte mit I f l fe von vi, ly0 - a *o* wp* liefert

2 T,, (g , T* tp*) = - j0:, 1 2 - Oh 1, + OM,, 8, - as8, M,,, c a t

1

+ i ('31 J2 - "Jt S, + OM,, 3,, - o.+u X9,) I nach [11, G1. (6') und (24'11

(1. Schreibweise), = { O i l Js - O s r .2., + O&!,' 8, - #'so MIO + "M12 8*

- * 8 2 hi,, + '8s fir,, - O M S , 8 3 1 nach [11, GI. (1371

(2. Schreibweise). i = (4;s JIB, - oJ18n .cn + 'hi,, .G3 - "d8 iVzO + 'sl J t

- "S2 8, + O M 2 , .Co - ?Cn Mp8) Aua der ersten Schreibweise folgt (ac) nach ,Addition des Konjugiertkomplexen. Damit ist der Beweis fiir den ganzen Ausdruck (5 ) der ersten Komponente c , von c erbracht. Durch zyklische Vertauschung llil3t sich der Beweis auf die zwei iibrigen Romponenten c, , c, ausdehnen.

B. Beweis won (6'). Die zweiten Schreibweiaen aus 3A. erlauben die erste Komponente von (2 aufzubauen. Wir ordnen sie nach Teilen mit Ab- leitungen nach s,, zi), x 8 , c t und haben zu zeigen:

-+

+

ad a A, I

G iL a s a i a MI. a s & - - a :r8 h + + $ g - a .r3 a x3 a x3 a 5 ~

- - M w 2 + i l - - -

+ do ~ a a %l 2 8 a~T-1~,*)]+[...~),

, I.-'**)] + [. . .I*] .

a A aaa,, a1w2,, a .: a s a 2 c a t c a t c a t c a t I Mso & - d, ~ + .C3 - - M I) + fi L - s1 --

+- .$ - a M,~ c a t c a t

W. Kofink. Zur Diracsdien T h i e &s Elektrons. I V 591

Wir multipliaieren die zweiten Schreibweisen mit i, symmetrisieren diese AUP- driicke mit Hilfe der Identitiit [I, (30)] und addieren dae Konjugiertkomplexe, so erhalten wir (nd) bis (6,). Damit ist der Beweis fiir die erste Komponente d ,

von d erbracht. Zyklische Yertauschung dehnt ibn auf die iibrigen 2 Rom- ponenten 4 , 4 aus.

4. Weiterhin gilt folgende Umformung fiir die Vektorrelationen [III, (GI. 19 Zuund d)] :

-+

--t 3

2 - c a t 1. = 1

+ Y

2 - c a t k - 1

592 Annalen der Phz~sik. 5 . Folge. Band 38. 1940

nsch [lI, GI. (5') und (2731

nsch [IJ, GI. (14') und (3071

Wir addieren zur ersten Schreibweise daa Konjugiertkomplexe hinzu und er- halten daa (- I)-fache von (ae).

Wir rnultiplizieren 2 T,, T i l : rnit spy] n i G . summieren iiher die Indizes b, 3 und erhalten:

Zu (8,).

. L ( T P ~ I ~ I ) , , ~ ( ~ ~ ~ - 1 ) ~ ~ = a!fln;,, + r z ~ ~ 4 ~ a : u + art'^^^^ - a ; , arw c l o

+ a; , + ,#!;I p? - a;;41 .;";I - ~ 3 1 1 e v ' P o ~ 4 1 1 .

v,: liefert Die Bildung innerer Produkte mit Hilfe von t, y o -- . .ale*

ax*

?TI ( - ;:; , n' T-' y*) ='- *Sr d - 3M,* 8, + 'Man 8, + '8, M,, + i - '83 5;! + 9Mp0 d, + 'M,p do - *& Mlo 1

nech [II, GI. (13') und (31)j

= 2 { - ¶is 51 - ?Msl s1 + 2M,s, + '8, Masl = 2 i { - A + 'Mg0 K, + 'MI* .Cd - ?CP MI, \

(1. Schreibweise), (2. Schreibweise).

Nsch Addition des Konjugiertkomplexen zur ersten Schreibweise und Beriick- Richtigung der Identittit [I, (291 zur Symmetrisierung erhiilt man das (- 1)-fache

Zu (re). Wir multiplizieren 2 T,,* TLf mit n ~ ~ ] n % B , summieren iiber die von (Be).

Indizes p , r3. und erhalten

av * a I 3

Die Bildung innerer Produkte mit Hilfe von ry, ?,uo -@- vr* liefert

2 TI (E , n8 1-l .*) = - 'MI2 8 , + '4 h - sM90 go + %s Mp3 \

+ i ('Mae + ?99 52 - '& .Go - '93 MI,\ nach [IT, GI. (13') und (3211

= 2 {-',3flp 8 , + '.+, fi - '.1[9080 + = 2 i 3J1J> .cI + 3xp JC - 311f91 ;o - *ls MI,{

Mp3\ (1. Schreihweise), (2. Schreibweise).

Nech Addition des Konjungiert komplexen zur ersten Schreibweise und nach Beriicksichtigung der Identitiit [I, (29)] zur Symmetrisierung erhtilt man dsa (- 1)fache von (re).

IV'. Kofink. Zur Diracschen Theorie des Eleklrons. IV 593

Zu (ae). Wir multiplizieren 2 T,, Y'L): mit u i y ] , Runimieren iiber den Index 5 und erhalten

2 Tfllz:u] T- 1 a4 ~ 3 1 + p i a - ,[w ( ) v a g p eu pr - f l t v ~ p c e o p v fiev rro

+ i (- ctiO n s , + ~ 3 , aLa - P'1 n[mJ + u[lZ3J P I . e a P V e v P o )

a Y * Die Bildung innerer Produkte mit Hilfe von ry, ry, 2- ry,* liefert c a t

1 2 TI(%, T- lv*) P {OG1 SC - OLC d, + OM,, so - My.

+ i ('A 8, - '8, fi + 'iU Mlo - ol\llD go):

nach [XI, G1. (6') und (18')]

1 (1. Schreibweise),

= -{'.el fi - OSt i, f 8, - '8" .LJf2, + 'SSu Ma0

- "'f~ 8, f 88 - 1 nach [(II, G1. (15') und (17')

(2. Schreibweise). i

= - y { '8, ,fC - '42 8 , + OMlo do - 'i0 Mlo is - 0;; M I , + 0iB M., - "Y,, ;,I

Sach Addition des Konjungiertkomplexen erhalten wir aus der ersten Schreib- weise das (- 1)fache von (Q. Damit ist der Beweis filr den ganzen Aus.

druck (7) der ersten Komonente el von e erbracht. Durch zyklieche Ver- tauechung liiflt er sich auf die zwei iibrigen Komponenten e l , e, ausdehnen.

B. Bewks v m (8). Die zweiten Schreibweieen a m 4 A. erlauben die

erste Komponente f, von f aufmbauen. Wir ordnen sie nsch Teilen mit Ab- leitungen nach x, , xI, xs , c t und haben zu zeigen:

+

+

594 Annalen &r Pkysik. 5. Folge. Band 38. 1940

Wir multipliziereu die zweiten Schreibweiaen mit i addieren das Konjungiert- komplexe und beriicksichtigen zur Symmetrisierung der Ausdrucke die Iden- titiit [I, (32)]. Dabei erhalten wir (af)-(8&, deren Summe die erste Kompo-

nente f, von f ergibt. Die ubrigen Komponenten f . , f, erhiilt man wiederum durch qklische Vertsuschung.

5. Riickschauend auf Absatz 2-4 erkennen wir aus der Form der G1. (3)-(8), da6 unsere 6 Vektorgleichungen als Kern nur 2 skalare Gleichuugen enthalten unter der Voraussetzung, daS nicht alle 3 komplexen Vektoren s', S,r, s'" zugleich verschwinden. Sie sind im allgemeinen Fall von Null verschieden und unsere 6 Vektor- gleichungen sind dadurch zu erflillen, daB sowohl der .Realteil als auch der Imaginarteil des Skalars

--f

yerschwindet :

(lo! (1 1; 2 (T - T*) = 0.

Die Zerlegbarkeit der Vektorrelationen ist, wie ein Blick auf [111, GI. (19 a ) his ( f )] zeigt, ihnen in jener Form nicht einfach an- zusehen. Mit Hilfe der zweiten Paulischen Bilineargleichung haben wir sie nun auf G1. (10) und (11) zuriickgefiihrt und werden in den nachsten Paragraphen die U bereinstimmung dieser Gleichungen mit den 2 skalaren Realitatsrelationen [111, GI. (17) und (18)] nachweisen.

3 +

$ 2. Umformung dee komplexen Bkalare T

Uin die G1. (10) und (11) in den gelilufigen GroBen ! 2 , !2, s,, , .<", 8, %I, !Jh und deren Ableitnngen auszudrlicken, kann jede der 6 Vektorgleichungen (3)-(8) herausgegriffen und m i t den algebraischen Hilfsmitteln des Teiles TI der eotsprechende Vektor s', s" oder s"' vom Skalar T getrennt werden. Wir wilhlen GI. (3) und nehmen an den dusdriicken (uB)-i\SB) gewisse Umformungen vor, welche deu komplexen Vektor 2' aus diesen Ausdriicken heraustreten lassen.

Dam fuhren wir in diese Auedriicke die Losungen [II, G1.(61) und (631 fiir 's,,, '3, ' id, kB ein:

((la). 2 Tps (v- , u1 ~ l W * ) = '8, 2, - I.;,, 8, $- l ,y , d, - 'dl S1 + '2 1 8 9 - ' 8 9 ' 2 < a 21 + Id, s3 - Iss .q8 - - i lBpOs .+ .$,2 - .C2P - .: 1 - 8 9 - - 3 II + ss2 + %'i

+ '5 (.$ + dl (I, - d , 'In - .GS ps) - "7 (So + 8, q1 - 8, q9 - ss p,).

TV. Ih f ink . Z w D*ircacschen Theorie des Eleklrons. 1V 595

Sach Beriicksichtigung der Identitiiten [I, (15) und (M)] und der G1. [11, (63s) und (b)] wird diee

= 'L { - i 1~

woraus mit [11, G1. (71)]

- s19 - JP- ~ 2 % ) + 16 1, q1 - 17 8' ql \ ,

= 2 q, (i 'B (so* - lU2 - Jk9 - h?)pl + k, - ' q s,! hervorgeht. .

(F3,). wird nach Elimination von yMsJ und *&I,, mit [11, 01. (3')]

2 1 6 s ( Z $ , __ u'T-1 v*) = 2 (tMa, 32 - 2Mls + %, .cl - *.;* 8,)

= 2 ji (28, s, - '1SS 8,) + %* d, - S R , SS ] 3 2 ( 'B [(8, .?,, - ba 80) + i (81 8% - d1 $)] f ' E [i (83 - 80 us) + q, .;I] - ''I ql 8s

und unter Beriicksichtigung von [11, GI. (63c), (72), (75)]

= 2 '1, ji $B (SO* - - 52% - m p , + '6 l* - ?'I 8J . @a). 2 To3 \e., / a * * , f t 3 ~ - 1 v * j = as2 M~~ - 3iwpO sc + wa, L! - 3~ M,,

+ '8s 8 , - '$1 8s 5 '8, bs - ?;s 81

wird nach Elimination von sMso und 3Ma, mit [11, G1. (3) und (ll')]

= i (?9* so - '8, so + ?F, d, - 96, B,) + 88, .?, - ?$ a, + %, & - 8,

= ~ ~ B ~ ( B ~ . + ~ - ~ ~ B ~ ) + ~ ( S ~ ~ ~ - S . ~ ~ ~ ) ~ + S F ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - ~ ~ ~ + ( ~ ~ ~ ~ + ~ , ~ ~ ) ~

- $2) + (n, is + 4s a,,] - % { i (!h

und uuter Beriickeichtigung von [11, G1. (63c und d), (723, (75)l

= 2 q1 {(s"' - .+,' - L?* - d') i 'B p , + *t k, - '7 s9\ . (8&:). 2 1i3 -- , T-' vf = 'd, So - '8, .?, - .co + 8 ,

+ nMzS 52 - *J2 MS8 f "Ml0 ii - M,, , (3: : 1

wird nach Elimination von und "Mlo mit [11, GI. (43) und (41')]

= 0.; 1 0 8 - 08, d, + 0.4 0 1 9 - 0Sl do f i (OSS SP - ,ay 8, + *d, is - "+* &)

= 2 OB { (8) - l* 8,) - i (8, 8, - .?, .iJ} + "E { i (8, qs - saqg) - (ql R" + b,) I f ''I { i (Qtd, - Psi,) + (Pis" f si)]

und unter Beriickeichtignng von [II, G1. (63c und d), (64)]

= 2 9, { - i 'B (go* - .Gos - A' - Ag) - .to "6 + so o i l ] .

Beim Vergleich der 4 Falle erkennt man, daB bei allen Aus- drucken qI multiplikativ hervortritt:

596 Anwlen del Physik. 5. Folge. Band 38. 1940

(Der Symmetrie halber ist das (flied p = 0 hier rnit den anderen zusammen aufgefiihrt, der obere Index p = 0 bedeutet dann DiiTe- rentiation nach c t , und po = 1 .) Bei zyklischem Vertauschen der Indizes 1, 2, 3 bleibt die Summe in (12) erhalten, wahrend Ta3 die Romponenten des Vektors s' und p1 die des Vektors q durchhuft. Zwischen diesen beiden Vektoren besteht der Zussmmenhang

(13) 2 ' = - q T 0

uud fur den in (9) erwahnten Skalar r ergibt sich R

Dabei ist To = ( y ! T u[W q) die letzte der unter (2) definierten GroBen.

Um G1. (13) zu beweisen, macht man von der 2. Paul ischen Bilinear- gleichung § 1 61. (%%%) Gcbrauch. Man erhlilt

To T; = (y, T ~ ~ W y,) (y*7 p 3 1 T- 1 lu*> =

aus jener Gleichung, wenn man mit ihr 2 ( y , TT-'v*)' bildet und die Symmetrieverhliltnisse der entstehenden Summanden beachtet. Weiter findet man fur die erate Komponente von

- .;.z - fi? - ~2 0

b) Fk' To* =- { S o i l - 3 0 4 + i[@, 411, wenn man mit ihr 2 (y, !Z'a[13] tp) ( y o , u[lzl T-' tp*) bildet. Kombination beider Gleichungen in Verbindung mit [II, GI. (64)] ergibt (13).

Nebenbei findet man auf llbnlichem Wege den Zusammenhang der beiden iibrigen in (2) definierten Vektoren Ik" und Z"' mit To; er lautet

T,, . [a? m1 - 1'7 $1 *,P - $' - f i 2 - J^c2

To , 5 1)1 = - [a, dtj + i[il, 2~21 8,' - .coy - p - Jfe

S" - __ -~ _ _ ~ -

Aus r folgt (mit qo = 1)

Zur weiteren Umwandlung von (14) bzw. (15) erinnern wir una an die Be- deutung der GrGEen "B, {It7 r v , p , bzw. B p , t#', f , q,, in Teil I1 und bilden nsch [II, GI. ( 9 1

nach [11, G1. (62) und (SS)]

W. Kofink. Zur Diracschen Theorie 'des Elektrons. I V 597

nach [11, G1. (62), (64), (68), (69)l

(I6!

{(80 8- i,, e),:* i ('B - Bk) f [8, (kB 4-BL)} k = 1, 2, 3.

1 ' i ( " P d 4 = s,p-$cm

Mit Hilfe dieser Ausdriicke formen wir Real- und Imaginllrteil von r um. Wir wollen uns dabei nicht mit einer blo0en Bestlltigung daB diese GroBen mit den skalaren Realitatsrelationen [III, GI. (17) und (IS)] identisch sind, begnagen, sondern gleichzeitig die Gelegen- heit beniitzen, sie in einer Form VV, G1. (16) bzw. (17) u. (IS)] zu schreiben, in der sie das elektrische und magnetische Moment nicht mehr enthalten. Sie enthalten dann nur noch Gro0en, die auch in die Kontinuitllts- und die Antikontinuitiltsgleichung eingehen.

Wegen des Verschwindens von r und r* kann man die nicht-

verschwindenden Faktoren - ~ in r bzw. z* weg- lassen. Dann geht

a) Der Realteil '5 + T* =

bzw. - __ 2', T,* 1

i02- p- h? . i (o~ - BO) + ."o (O# + .go) - so (% + 7 1 9 3

+ 2 {(So2 - BOZ - lP - &). i (kB p k - Bk QL) + s:k ( k t + .gk) l-1 - s k ( k q + qk)] = 0

unter Beriicksichtignng von [11, GI. (83) und (85)] nach einigen Um- rechnungen iiber in

r (P + hT{ - Born a 80 + (8, =) a h t (3, grad So) - (4, grad so)]

+ (sod - iog, Ograd $2 + S^!grad ti) + ([g, 61, l2 grad h - h grad 0) a 0. I

DaB diese Form der Skalarrelation mit der von [III, G1. (17)] iiberein- stirnmt, wird deutlich, wenn man beriicksichtigt, daB die beiden letzten Glieder

(so A - .+o 8 , 22 grad fi + d grad d) -t ([# 81, fi grad & - J2 grad A) = (fig + hS ((m, grad R) + (&, grad

eind. Nach Streicbung dee von Null verschiedenen Faktors fi' + da erhtilt man also . a 8n - so a ~ + (6,s) + (8 , grad $1 - (4, grad 9,) +(m, grad R) + (!I$, grad f2) = 0

eine'Gleichung, die uoter Anwendung der ldentitgten [I, (17) und (35)] in die Relation [HI, GI. (17)] iibergeht.

Aniialen der Phxsik. 5. Folge. 38. 39

598 Aniaalen der Pliysik. 5. Folge. Band 38. 1 9 4

b) Der Imaginurteil - i ( r - t*) = (su'-,;o'- ! j Z A ) ( 0 B+ BO) - *<,) * i('1E - go) + so * i (09; - f r o )

- ( 2 2 ) ( 7. .B I)L + B" ql,) - i,; * i ('E - t" I 3

+ z{(so2 - .y - t = 1 + SI. ' i (k?/ - I / ' ) ] = 0

geht unter Berucksichtigung ron [II, Q1. (81) und (94)] nach einigeu Umrechnungen uber in

~ ~ ~~

Diese Gleichung ist gleichbedeutend mit der Skalarrelation [HI, G1. (ls)]. Bew&. Aus den Identittiten [I , (1s) und (19)] folgt nach Differentiation

nach c t und Berucksichtigung eiuiger anderer Identitiiten [I, (22), (25), (261, (27), (28), (34), (35), (36)] fur den zeitlich differentiierten Teil der Skalarrelatiou [III, GI. (la)]:

f [G,8] , : - - (8&d-d05)) 6 e - ( L a t Analog folgt far den 911 und Yjl enthaltenden, riiumlich differentiierteu Teil dieser Skalarrelation aus [I, (18) und (I$] unter Beriicksichtigung der Iden- titiiten [I, (34) und (3511: 2. (92, rot D) + ($I, rot $1 = ___- 1 { - 2 ( ~ , , 3 - . $ , , 8 , J>gradJl-figradJ^C)

SC' + SP + (3, 41, rot [3, 41 - so grad d,, + G,, gradso) +b,*(# ,rot6) - - , . ~ , i ( % , r o t ~ ) + ( ~ , r o t L 4 ) ) +su2(4 , ro t&l .

Durch Einfuhren von 1. und 2. in [III, G1. ( lR)] entsteht nach geringfugigen Umformungen

IF. iiofiiik. Zur Diracscheu Theorie des Elektropls. IV 599

Die liuke Seite dieser Gleichung ist unsere Skalarrelation in der Form 111, G1. (lS), wlhrend die reehte Seite eine weitere Darstellung ist, welche das elektriache und magnetische Moment nicht enthslt. In diese Gleichung geht aber auch (17) iiber, wenu man dort die Umformungen

([s, 41, [G, rot 41) = (s,* - R * - S C ~ J (8, rot 41 - s, .;, (6, rot 4) und

1 ([G, $1, (2 grad) 3) = ,, { “3, 41, rot [5, $1 f 8, grad .co + .Go grad so)

I

+ (JP + + (R* + 32% i- :os) (6, rot 51

- s,*) (4, rot $1 + 8, .co ((3, rot 4) - (4, rot 61)

vornimmt m d die gauze Gleichuug init 2 multipliziert.

(19 C)

(19 d)

(19e)

(19 f)

3. Zuruckfuhrung der 6 Vektorrelationen auf den Skalar T

Da r = 0 bzw. t* = 0 ist, kann man beim dufbau der Vektor- relationen die Faktoren - To bzw. - To* weglassen und der Aus- druck (121, zusanimen mit (14), ergibt fur die heiden Vektor- relationen (31 und (4) die Darstellung

--f --f

-~ z : q r + p r * = O und -;: i ; q r - p r * ) = O

oder unter Berucksichtigung der Werte [11, G1. (64) und (S9)] fur q und @, und unter Fortlassung des nichtverachwindenden Faktors so2 - .< 2 - Jp - 522

- [d, YJl] (r + T*) + [G, $11 i (r - t*) = 0

- [G, !$I] (z. + r“) - [J, YJl] - i (r - T*) = 0

- @,%k](r + t*) - [c;,mn~]. i (T*- r*) = o - [ S , %V] (r + t”) + [J, %!I] * i (r - t * j = 0

(XI.-XIII. A.), $VII.--SIX. B.), (XL-XTII. BJ, (XVI1.-XIX. A.).

I

Auf einem zu den Bechnungen, die in 8 2 zu G1. (12) fiihrten, genau analogen Weg lraon man auch die ubrigen 4 Vektorgleichungen (5)--(8) auf den Skalar t zuriickfiihren und erhiilt:

600 Annakn der Physik. 5. Folge. Band 38. 1940

Ein Blick auf jene Gleichungen zeigt, daS die Maglichkeit einer solchen Reduktion dort nicht offen zutage tritt, sondern dsB die Diracsche Theorie die zwei Skalarrelationen ~ + 7 * = 0 , ;(7-7*)=0

a d sehr mannigfaltige Art in den sechs Vektorrelationen [m, G1. (19 a ) bis ( f )] auszudriicken gestattet. Die jetzt gewonnene Form [IV, (19a)--(f)] laBt auch leichter als die friiheren erkennen, daB skalare Multiplikation der Vektorrelationen mit 5 , 4, [B, 41 immer zu einer Darstellung der einen oder der anderen Skalarrelation fiihren muB, abgesehen von einem im allgemeinen Fall nichtver- schwindenden Faktor. Mau erhalt, wenn man die G1. (19a) mit 5 oder I , (b) mit [3, 31, (c) mit 5 , (d) rnit I , (e) rnit B, (f) mit 1 skalar multipliziert der Reihe nach so oder go, Q2 + fial $, 12, - 12, - d ma1 (soa - go? - !P - &) ma1 der einen Skalarrelation T + z* = 0 und wenn man (a) mit [ 5 , I ] , (b) mit 5 oder d l (c) rnit 6, (d) mit 5, (e) mit 4, (f) rnit 5 skalar multipliziert der Reihe nach ! 2 2 + d 2 , -so oder - i 0 , -TJ, fi , - i j , 2 ma1 ( ~ , , ~ - ~ ~ ~ - - f i ~ - f i ~ ) ma1 der anderen Skalarrelation i (t - z*) = 0 .

Ftir manche fiirderliche Diskussion tiber diesen Problemkreis bin ich Herrn Professor Dr. E. Madelung zu grof3em Dank ver- pflichtet.

-+ 3

Literatur

1) 0. Laporte, G.E. Uhlenbeck, Phys. Rev. 37. 6. 1315. 1931.

F r a n k f u r t a. M., Phys. lnstitut der Universitat.

(Eingegangen 4. September 1940)