Aula 8
Eventos Independentes
Teorema de Bayes
Cássius Henrique CEA 012 - Probabilidade
Independência e Teorema de Bayes
Cássius Henrique Xavier Oliveira
Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas
2015
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Teorema de Bayes
Relação entre a probabilidade condicional e sua inversa
Conhecendo como encontrar
1| ABP ?|1 BAP
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Exemplo 1
Três tipos diferentes de peças encomendadas por uma empresa foram entregues em 3 caixas, cada uma contendo um número diferente de peças. A primeira caixa tem 10 peças, das quais 4 são defeituosas. A segunda caixa tem 6 peças com 1 peça defeituosa. A terceira caixa tem 8 peças, das quais 3 são defeituosas.
a) Qual a probabilidade de uma peça defeituosa ser escolhida pelo operário, sendo que ele escolhe uma peça aleatoriamente dentre as 3 caixas?
b) Qual a probabilidade de uma peça ser da caixa 1 dado que o operário escolheu uma peça defeituosa?
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Exemplo 1 – Resolução
Três tipos diferentes de peças encomendadas por uma empresa foram entregues em 3 caixas, cada uma contendo um número diferente de peças. A primeira caixa tem 10 peças, das quais 4 são defeituosas. A segunda caixa tem 6 peças com 1 peça defeituosa. A terceira caixa tem 8 peças, das quais 3 são defeituosas.
Eventos:
A1 = escolher a caixa 1
A2 = escolher a caixa 2
A3 = escolher a caixa 3
B = escolher uma peça defeituosa
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Exemplo 1 – Resolução
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Exemplo 1 – Resolução
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Exemplo 1 – Resolução
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Exemplo 1 – Resolução
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Exemplo 1 – Resolução
a) Qual a probabilidade de uma peça defeituosa ser escolhida pelo operário, sendo que ele escolhe uma peça aleatoriamente dentre as 3 caixas?
Estamos interessados na Probabilidade Total de B:
332211
321
||| ABPAPABPAPABPAPBP
ABPABPABPBP
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Exemplo 1 – Resolução
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Exemplo 1 – Resolução
a) Qual a probabilidade de uma peça defeituosa ser escolhida pelo operário, sendo que ele escolhe uma peça aleatoriamente dentre as 3 caixas?
Estamos interessados na Probabilidade Total de B:
360
113
8
1
18
1
12
2
||| 332211
321
BP
ABPAPABPAPABPAPBP
ABPABPABPBP
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Exemplo 1 – Resolução
b) Qual a probabilidade de uma peça ser da caixa 1 dado que o operário escolheu uma peça defeituosa?
Estamos interessados na Probabilidade Condicional
BAP |1
Não temos essa probabilidade
na árvore de probabilidades
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Exemplo 1 – Resolução
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Exemplo 1 – Resolução
b) Qual a probabilidade de uma peça ser da caixa 1 dado que o operário escolheu uma peça defeituosa?
Estamos interessados na Probabilidade Condicional
Vamos reescrever a fórmula da probabilidade condicional
BAP |1
113
48
360
113
15
2
|
|||
||
|
1
332211
111
11
BAP
ABPAPABPAPABPAP
ABPAPBAP
BP
ABPBAP
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Teorema de Bayes
O procedimento geral de inferir a probabilidade de um evento passado em função de evidências presentes ou futuras chama-se procedimento Bayesiano, já que se baseia no Teorema de Bayes.
O Teorema de Bayes nos diz que:
BP
ABPAP
BP
ABPBAP
||
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Teorema de Bayes
Aplicações em diversas áreas do conhecimento
Técnicas de Aprendizado de máquina
Técnicas de computação para reconhecimento de imagens
Roteamento de redes
Estatísticas criminais:
Usadas na investigação de crimes onde pode-se inferir o passado através de probabilidades sobre o que ocorreu no crime condicionado nas evidências
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L1.6. Exercício 1
(CESGRANRIO) Em uma fábrica de pisos cerâmicos, as linhas de produção 1, 2 e 3 respondem respectivamente por 50, 30 e 20 por cento da produção. Algumas peças cerâmicas saem destas linhas com defeito. A porcentagem de peças defeituosas é de 0,4%, 0,6% e 1,2% respectivamente para as linhas 1, 2 e 3. Para evitar que peças defeituosas saiam da empresa e cheguem ao mercado, o controle de qualidade realiza inspeções individuais em todas as peças. Qual a probabilidade de uma peça cerâmica defeituosa encontrada na inspeção final ter sido produzida na linha de Produção 1?
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L1.6. Exercício 2
Uma companhia transnacional tem três fábricas que produzem o mesmo tipo de produto. A fábrica I é responsável por 30% do total produzido, a fábrica II produz 45% do total, e o restante vem da fábrica III. Cada uma das fábricas, no entanto, produz uma proporção de produtos que não atendem aos padrões estabelecidos pelas normas internacionais. Tais produtos são considerados “defeituosos” e correspondem a 1%, 2% e 1,5%, respectivamente, dos totais produzidos por fábrica. No centro de distribuição, é feito o controle de qualidade da produção combinada das fábricas.
a) Qual é a probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante a inspeção de qualidade?
b) Qual o princípio probabilístico foi utilizado para a resolução do item (a)? Justifique.
c) Se durante a inspeção, encontramos um produto defeituoso, qual é a probabilidade de que ele tenha sido produzido na fábrica II?
d) Qual o princípio probabilístico foi utilizado para a resolução do item (c)? Justifique.
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L1.6. Exercício 3
Considere duas urnas idênticas. A primeira contém uma bola branca e uma bola preta. A segunda urna contém duas bolas pretas e uma bola branca. Escolhe-se aleatoriamente uma urna. Extrai-se a primeira bola e constata-se que é preta. A bola é reposta na urna e é feita uma segunda extração. Obtém-se novamente bola preta. Dadas essas informações, calcule a probabilidade de ter sido escolhida a primeira urna.
a) 8/25
b) 25/72
c) 12/51
d) 9/25
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Exercício 3 – Solução
25
9
72
252
1
2
1
2
1|
|
72
25
9
2
8
1
3
2
3
2
2
1
2
1
2
1
2
1
21
1211211
21
21221121
PPP
UPPPUPPPUP
PPP
PPUPPPUPPPP
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L1.6. Exercício 4
(CEA012 – Teste T1/2014) Em uma fábrica de parafusos, as máquinas 1, 2 e 3 produzem 25%, 35% e 40% do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina, 5%, 4% e 2%, respectivamente são defeituosos. Seja D o evento em que o parafuso é defeituoso e Mi o evento em que o parafuso é produzido pela máquina i (para i = 1, 2 e 3).
a) “O experimento de se retirar uma peça ao acaso dentro das condições enunciadas acima é um experimento aleatório”. Justifique essa afirmação.
b) Se escolhermos ao acaso um parafuso desta fábrica, qual a probabilidade de que este parafuso seja defeituoso?
c) Os eventos Mi e D são independentes? Justifique.
d) Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que ele é defeituoso. Qual a probabilidade de que ele seja proveniente da máquina 3?
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L1.6. Exercício 5
Consumidores são usados para avaliar projetos iniciais de produtos. No passado, 95% dos produtos altamente aprovados recebiam bons conceitos. 60% dos produtos moderadamente aprovados recebiam bons conceitos e 10% dos produtos ruins recebiam bons conceitos. Além disso, 40% dos produtos tinham sido altamente aprovados, 35% moderadamente aprovados e 25% tinha sido produtos ruins.
a) Qual a probabilidade de um produto atingir um bom conceito?
b) Se um novo projeto atingir um bom conceito, qual será a probabilidade de que ele será um produto altamente aprovado?
c) Se um produto não atingir uma boa revisão, qual será a probabilidade de que ele seja um produto altamente aprovado?
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L1.6. Exercício 6
Amostras de emissões de três fornecedores são classificados com relação às especificações de qualidade do ar. Os resultados são apresentados na tabela:
Seja A o evento em que uma amostra seja proveniente do Fornecedor 1 e B o evento em que uma amostra atende às especificações.
a) Os eventos A e B são independentes?
b) Determine
)|( ABP
Conforme
Sim Não
Fornecedor
1 44 16
2 50 10
3 60 20
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Gabarito
1. 0,3326
2. a) 0,01575; c) 0,5714
3. (d)
4. b) 0,345; d) 0,2319
5. a) 0,615; b) 0,618; c) 0,052
6. a) Não; b) 0,733
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Próxima Aula: Revisão para Prova P1
Desenvolver o mapa conceitual da parte 1. (Utilize apenas o anverso de uma folha branca sem pauta; anote fórmulas, exemplos,... Não será permitido fazer cópias de mapas desenvolvidos por colegas. O mapa deverá ser todo manuscrito. É obrigatória a apresentação do mapa na próxima aula).
Estudar Capítulo 2 (exceto item 2.8) da referência abaixo; fazer exercícios de todas as aulas até esta.
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Editora LTC.