*EQUIPO BARRAGÁN FLORES DIANA ARACELI

BAUTISTA JIMÉNEZ LUIS ÁNGEL HERNÁNDEZ ROMERO FÁTIMA

GUTIÉRREZ HEREDIA ITZELVASCONCELOS LÓPEZ BRIANDA DANIELA

TEOREMA DE

BAYES

*TEOREMA

Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos, tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai). entonces la probabilidad P(Ai/B) viene dada por la expresión:

CONDICION

PROBABILIDAD DE QUE OCURRA EL SUCESO A SABIENDO QUE HA OCURRIDO ANTES EL

EVENTO B SERA IGUAL ALA INTERSECCION DE AMBOS SUCESOS ENTRE LA PROBABILIDAD DE

LA CONDICIÓN,

INTERSECCION DE AMBOS SUCESOSPROBABILIDAD

DE SUCESO A

PROBABILIDADES DE LA CONDICION

ESTE TEOREMA ESTÁ RELACIONADO CON PODER CALCULAR LA CAUSA A PARTIR DEL CONOCIMIENTO DE LO EFECTOS

SI SABEMOS QUEOCURRIO B

P (A1/B) = P(A1ȠB) . P(A1)P(B) + P(A2P(B) + P(A3)P(B) + P(An)P(B)

EJEMPLO : EN UNA PRIMERA BOLSA SE HA COLOCADO 4 BOLAS BLANCAS Y 3 NEGRAS, EN UNA SEGUNDA BOLSA SE COLOCAN 3 BOLAS BLANCAS Y 5 NEGRAS; SE SACA UNA BOLA DE LA PRIMERA Y SIN VERLA SE INTRODUCE EN LA SEGUNDA. A CONTINUACIÓN SE SACA UNA BOLA DE LA SEGUNDA.A)CALCULA LA PROBABIL IDAD DE QUE LA SEGUNDA BOLA SEA NEGRA B)CALCULA LA PROBABIL IDAD QUE LA BOLA EXTRAÍDA DE LA PRIMERA BOLSA SEA BLANCA SI SABEMOS QUE LA BOLA EXTRAÍDA DE LA SEGUNDA HA SIDO BLANCA .

1 bolsa

2 bolsa

3/7

4/7

P(N1)

P(B1) 44 B5 N

33 B6 N

6/9

3/9P(B2)

P(N2)

P(B2)

P(N2)

4/9

5/9

A) P (N2)= P(N1)*P(N2/N1) + P(B1)P(N2/ B1) = 3/7 * 6/9 + 4/7 * 5/9 = 18/63 + 20/63 = 38 /63

TEOREMA DE BAYESB) P (B1/B2)= P(AȠB) = 4/7 * 4/9 = 16/63 = 16/63 = 16 P(N1)*P(B2) + P(B1)*P(B2) 3/7 * 3/9 + 4/7*4/9 25/63 25

EJEMPLO 2

La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.

En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?

Sean los sucesos:

SUCESO A= I ( Producirse incidente)

SUCESO B= A( Sonar la alarma)

HACIENDO UN DIAGRAMA DE ARBOL:

EJEMPLO 3

Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.

Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examen errado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:

25 %

35 %

40 %

2 APARATO (S)

1 APARATO (P)

3 APARATO (T)

97%

2%

1%

98%

3%

99%

SOLUCIÓN:Se definen los sucesos:Suceso P: seleccionar el primer aparatoSuceso S: seleccionar el segundo aparatoSuceso T: seleccionar el tercer aparatoSuceso E: seleccionar un resultado con error

Determine la probabilidad de que se

ha usado el primer aparato (sabiendo

que hay un error)

ERROR

ERROR

ERROR

SIN ERROR

SIN ERROR

SIN ERROR

EJEMPLO 4

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

EJEMPLO 5

6. En un colegio hay dos grupos de 25 alumnos de quinto curso y dos grupos de 20 alumnos de sexto curso. El 50 % de los alumnos de quinto no tienen faltas de ortografía, porcentaje que sube a 70% en los alumnos de sexto. En un concurso de redacción entre alumnos de quinto y sexto se elige una redacción al azar.

a) ¿Qué probabilidad hay de que sea de un alumno de quinto?

b) Si tiene faltas de ortografía, ¿qué probabilidad hay de que sea de un alumno de quinto?

0.5 NO

(5°) 50

90 0.5 SI

0.7 N0

(6°) 40

90 0..3 SI

a) 5/9b) se aplica teorema de bayes: P(5°/SI) = 5/9 *0.5 = 25/37 5/9*.5 + 4/9 *0.3

EJEMPLO 6

1. El portero titular de un equipo de fútbol para 8 de cada 10 penaltis, mientras que el suplente solo para 5. el portero suplente juega, por termino medio, 15 minutos en cada partido (90 minutos).

a) Si en un partido se lanzan tres penaltis contra este equipo, ¿cuál es la probabilidad de que se paren los tres?

b) Si se lanza un penalti y no se para ¿cuál es la probabilidad de que estuviera jugando el portero titular?