FARK FARK FARK FARK
DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ
SİSTEMİSİSTEMİSİSTEMİSİSTEMİ
FARK FARK FARK FARK
DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ DENKLEMLERİ
SİSTEMİSİSTEMİSİSTEMİSİSTEMİ
Daha önce altıncı bölümde tekDaha önce altıncı bölümde tek
denklemlerini ele almıştık. Burada
fazla olduğu fark denklemlerindenfazla olduğu fark denklemlerinden
üzerinde duracağız. Bazı örnekleri aşağıda
1 1t t tx ax by− −− −− −− −= += += += +
1 1
1 1
t t t
t t ty cx dy
− −− −− −− −
− −− −− −− −= += += += +(1)
1 1t t ty cx dy− −− −− −− −= += += += +
4 2x x= += += += +1
4 2
3 2 3
t tx x
y x y
−−−−= += += += +
= − − += − − += − − += − − +
(2)
1 13 2 3
t t ty x y− −− −− −− −= − − += − − += − − += − − +
tek değişken durumunda fark
22
tek değişken durumunda fark
değişken sayısının iki ya da daha
denklemlerinden oluşan bir sistemin çözümüdenklemlerinden oluşan bir sistemin çözümü
aşağıda görebiliriz.
1 1 12 3
t t t tx x y z− − −− − −− − −− − −= + += + += + += + +
1 1 1
10.8
t t t t
t ty x
− − −− − −− − −− − −
−−−−====(3) 1
1 11.4 2
t t
t t tz x y
−−−−
− −− −− −− −= −= −= −= −
3 2 3= − − += − − += − − += − − +
1 1t t t− −− −− −− −= −= −= −= −
3 2 3= − − += − − += − − += − − +
Yukarıda yer alan üç fark denklemiYukarıda yer alan üç fark denklemi
her bir sistem, değişkenlerin enher bir sistem, değişkenlerin en
yazılmıştır. Burada otonom (yaniyazılmıştır. Burada otonom (yani
denklemleri üzerinde yoğunlaşmaktayız
denklemler doğrusal ve homojense,
(doğrusal) homojen sistem diyoruz
birisi doğrusal değilse ya da homojen
homojen olmaktan çıkar. Örneğin 1homojen olmaktan çıkar. Örneğin 1
homojen, 2 numaralı sistem homojenhomojen, 2 numaralı sistem homojen
denklemi sistemi de birinci sıradandır. Yani
33
denklemi sistemi de birinci sıradandır. Yani
en yüksek birinci farkına göreen yüksek birinci farkına göre
(yani t değişkeninden bağımsız) fark(yani t değişkeninden bağımsız) fark
yoğunlaşmaktayız. Eğer sistemdeki tüm
homojense, bu sisteme birinci dereceden
diyoruz. Sistemdeki denklemlerden en az
homojen değilse, sistem doğrusal ve
1 ve 3 numaralı sistemler doğrusal1 ve 3 numaralı sistemler doğrusal
homojen olmayan doğrusaldır.homojen olmayan doğrusaldır.
Şimdi iki değişkenden oluşan birŞimdi iki değişkenden oluşan bir
sistemini tanımlayıp, bunu matris biçimde
1 1t t tx ax by− −− −− −− −= += += += + 1 1
1 1
t t t
t t t
x ax by
y cx dy
− −− −− −− −
− −− −− −− −
= += += += + = += += += + 1 1t t t
y cx dy− −− −− −− −= += += += +
ya da
u = Aut t-1
u = Au
Sistem homojen değilse,Sistem homojen değilse,
u = Au + st t-1
u = Au + s
doğrusal homojen fark denklemi
44
doğrusal homojen fark denklemi
biçimde yazalım.
1t tx xa b −−−−
====1
1
t t
t t
x xa b
y yc d
−−−−
−−−−
==== 1t t
y yc d −−−−
tu A t-1
ut
u A t-1u
Bu genel yazıma göre, 2 ve 3 numaralıBu genel yazıma göre, 2 ve 3 numaralı
biçimde gösterelim.biçimde gösterelim.
4 2x x= += += += + 14 2
3 2 3
t tx x
y x y
−−−−= += += += + = − − += − − += − − += − − + 1 1
3 2 3t t t
y x y− −− −− −− −= − − += − − += − − += − − +
2 3x x y z= + += + += + += + +1 1 1
2 3
0.8 0.8 0 0
t t t tx x y z
y x y y
− − −− − −− − −− − −= + += + += + += + +
= == == == =1 10.8 0.8 0 0
1.4 2
t t t ty x y y
z x y
− −− −− −− −
= == == == =
= −= −= −= −
1 11.4 2
t t tz x y− −− −− −− −
= −= −= −= −
numaralı denklem sistemlerini de matris
55
numaralı denklem sistemlerini de matris
4 0 2x x 14 0 2
3 2 3
t tx x
y y
−−−− = += += += +
− −− −− −− − 13 2 3t ty y −−−−
− −− −− −− −
12 1 3
0.8 0.8 0 0
t tx x
y x y y
−−−−
= == == == =1 1
1
0.8 0.8 0 0
1.4 2 0
t t t t
t t
y x y y
z z
− −− −− −− −
−−−−
= == == == =
−−−− 11.4 2 0
t tz z −−−− −−−−
Sistem dengedeyken, tüm değerlerindeSistem dengedeyken, tüm değerlerinde
olacağından, şunu yazabiliriz:
* *a bx x ====
* *
a bx x
c dy y
==== c dy y
Buna göre, denge çözümünü de şöyle
* * * *u = Au u - Au = 0→→→→
(((( )))) * *I - A u = 0 u = I - A 0 = 0→→→→(((( ))))I - A u = 0 u = I - A 0 = 0→→→→
değerlerinde xt=xt−1=x* ve yt=yt−1=y*
66
değerlerinde xt=xt−1=x ve yt=yt−1=y
* *u = Auya da
şöyle elde edebiliriz:
* * * *u = Au u - Au = 0
(((( ))))-1* *I - A u = 0 u = I - A 0 = 0(((( ))))I - A u = 0 u = I - A 0 = 0
Sistem homojen değilse, denge çözümü
* * sa bx x * *1
* *2
sa bx x
sc dy y
= += += += + 2
sc dy y
Buna göre, denge çözümünü de şöyle
* * * *u = Au + s u - Au = s→→→→
(((( )))) * *I - A u = s u = I - A s→→→→(((( ))))I - A u = s u = I - A s→→→→
(I−A)−1 var olduğu sürece, tanımlı denge
çözümü şöyle sağlanacaktır:77
s 1
2
s
s
* *u = Au + sya da
2s
şöyle elde edebiliriz:
* * * *u = Au + s u - Au = s
(((( ))))-1* *I - A u = s u = I - A s(((( ))))I - A u = s u = I - A s
denge değerleri elde edilir.
ÖrnekÖrnek 11::ÖrnekÖrnek 11::
2 3x x y− −− −= += += += + 1 12 3
2
t t tx x y
y x y
− −− −− −− −= += += += + = − += − += − += − + 1 1
2t t t
y x y− −− −− −− −= − += − += − += − +
1 3I - A
2 0
− −− −− −− − ====
−−−−I - A
2 0====
−−−−
(((( ))))* *
*1 3 0
I - A ux x − −− −− −− −
= = →= = →= = →= = → (((( )))) *
* *I - A u
2 0 0
x x
y y
− −− −− −− − = = →= = →= = →= = →
−−−−
88
2 3x x 1
1
2 3
2 1
t t
t t
x x
y y
−−−−
−−−−
====
−−−− 12 1t ty y −−−−−−−−
* *1 3 0 0x x ===== = →= = →= = →= = → * *
0
2 0 0 0
x x
y y
===== = →= = →= = →= = →
====
ÖrnekÖrnek 22::ÖrnekÖrnek 22::
4 2x x= += += += + 14 2
2 2 3
t tx x
y x y
−−−−= += += += + = − − += − − += − − += − − + 1 1
2 2 3t t t
y x y− −− −− −− −
= − − += − − += − − += − − +
(((( )))) (((( ))))-1 -1*u = I - A s , I - A(((( )))) (((( ))))
* 1* 3
20u
x −−−− = = →= = →= = →= = →
* 3
*u
31 1y= = →= = →= = →= = →
− −− −− −− −
99
4 0 2x x 14 0 2
3 2 3
t tx x
y y
−−−−
= += += += + −−−− 13 2 3t t
y y −−−−
−−−−
−−−− 1-1 -1 3
0
1 1
−−−− ====
− −− −− −− − 1 1
− −− −− −− −
* 2 3x = −= −= −= − = = →= = →= = →= = →
* 5 3y
= = →= = →= = →= = → ====
Yukarıda bir fark denklemi sisteminin
lenebileceğini gördük. Bundan sonraki
değerlerinden uzaklaştığında, yeniden
yakınsayıp yakınsamayacağınayakınsayıp yakınsamayacağına
belirlemek, sistemin çözülmesiyle görülebilirbelirlemek, sistemin çözülmesiyle görülebilir
doğrusal homojen bir sistemi dikkate
(((( ))))t t-1
u = Au
(((( ))))
(((( ))))
2
t-2 t-2= A Au = A u
(((( ))))2 3
t-3 t-3= A Au = A u
� �� �� �� �� �� �� �� �
sisteminin denge noktalarının nasıl belir-1010
sonraki aşamada, sistemin, denge
yeniden kararlı biçimde dengeye
bakacağız. Sürecin kararlılığınıbakacağız. Sürecin kararlılığını
görülebilir. Örneğin birinci sıradangörülebilir. Örneğin birinci sıradan
dikkate alalım.
2
t-2 t-2= A Au = A u
2 3
t-3 t-3= A Au = A u
� �� �� �� �� �� �� �� �
Bunun çözümü:
t
t 0u = A u
t 0
Birinci sıradan homojen olmayan
yukarıdaki gibi çözebiliriz.
(((( ))))t t-1
u = Au + s
(((( ))))
(((( ))))t-2 t-2
2 3 2
= A Au + s + s = A u + As + s
= A Au + s + As + s = A u + A s + As + s(((( ))))2 3 2
t-3 t-3= A Au + s + As + s = A u + A s + As + s
((((t 2 t-1
t 0u = A u + I + A + A + ... + A s((((t 0u = A u + I + A + A + ... + A s
1111
olmayan doğrusal fark denklemini de
22
t-2 t-2
2 3 2
= A Au + s + s = A u + As + s
= A Au + s + As + s = A u + A s + As + s2 3 2
t-3 t-3= A Au + s + As + s = A u + A s + As + s
))))t 2 t-1u = A u + I + A + A + ... + A s))))u = A u + I + A + A + ... + A s
Birinci sıradan homojen olmayan doğrusalBirinci sıradan homojen olmayan doğrusal
biçimde de çözebiliriz. Homojen
sapmaları dikkate alarak homojene
t t-1u = Au + s
t t-1
* *
u = Au + s
u = Au + s
(((( )))) (((( ))))
* *u = Au + s
(((( )))) (((( ))))* *
t t-1 t t-1u - u = A u - u z = Az
tz
t-1z
1212
doğrusal fark denklemini farklı birdoğrusal fark denklemini farklı bir
olmayan bu sistemi, dengeden
dönüştürürüz:
))))))))* *
t t-1 t t-1u - u = A u - u z = Az→→→→
Şimdi yeniden birinci sıradan homojenŞimdi yeniden birinci sıradan homojen
çözümüne bakalım. Bunun için karakteristik
Fark denklemleri sistemini matris biçimde
1t tx xa b −−−−
====1
1
t t
t t
x xa b
y yc d
−−−−
−−−−
==== 1t tc d −−−−
A
Bunun çözümünü de şöyle belirlemiştik
A
t
t 0u = A u
t 0u = A u
1313
homojen doğrusal fark denkleminihomojen doğrusal fark denklemini
karakteristik köklerden yararlanacağız.
biçimde yeniden tanımlayalım.
u = Aut t-1
u = Auya da
belirlemiştik:
A matrisinin karakteristik kökleriA matrisinin karakteristik kökleri
denklem sisteminin çözümüne
köşegenleştirme yapalım.
2 -1 -1b 0
D = = V AV V DV = A
(((( )))) ((((
1
D = = V AV V DV = A0 b
(((( )))) ((((2 -1 -1 -1 2A = V DV V DV = V D V
(((( )))) ((((2 -1 2 -1 -1 3A = V D V V DV = V D V(((( )))) ((((����
t -1 tA = V D V
1414
kökleri ve vektörlerini kullanarak, farkkökleri ve vektörlerini kullanarak, fark
çözümüne ulaşmak için, ilk olarak
-1 -1D = = V AV V DV = A→→→→
))))
D = = V AV V DV = A→→→→
))))2 -1 -1 -1 2A = V DV V DV = V D V
))))2 -1 2 -1 -1 3A = V D V V DV = V D V))))
t -1 tt -1 tA = V D V
t -1 t
t 0 0u = A u = V D Vu
-1 10
u = V Vu , V = v v
tb -1 1
t 0
2
0u = V Vu , V = v v
0 t
b
b
Buna göre (belirli olmayan) genel çözümBuna göre (belirli olmayan) genel çözüm
1 2
t 1 1 2 2u = v v
b bt tA b A b++++
1515
t 0 0u = A u = V D Vu
b bu = V Vu , V = v v 1 2b b
t 0u = V Vu , V = v v
çözüm:çözüm:
Genel çözümdeki A1 ve A2 terimleriGenel çözümdeki A1 ve A2 terimleri
belirsiz genel çözüm de diyebilirizbelirsiz genel çözüm de diyebiliriz
belirleyebiliriz.
1 2 1 2u = v v , 0 u = v vb b b bt tA b A b t A A+ = → ++ = → ++ = → ++ = → +1 2 1 2
t 1 1 2 2 0 1 2u = v v , 0 u = v v
b b b bt tA b A b t A A+ = → ++ = → ++ = → ++ = → +
1 2 1 2b b
0 1 2u = v v v v V
b bA A + = =+ = =+ = =+ = =
1 -1A
====1 -1
0
2
V uA
A
====
2
terimleri belirli olmadığından, bu çözüme
1616
terimleri belirli olmadığından, bu çözüme
diyebiliriz. t=0 alarak, bu terimleridiyebiliriz. t=0 alarak, bu terimleri
1 2 1 2u = v v , 0 u = v vb b b b
A b A b t A A+ = → ++ = → ++ = → ++ = → +1 2 1 2
t 1 1 2 2 0 1 2u = v v , 0 u = v v
b b b bA b A b t A A
A A
+ = → ++ = → ++ = → ++ = → +
1 2 1 2 1 1b b
2 2
u = v v v v VA A
A A
+ = =+ = =+ = =+ = =
2 2A A
ÖrnekÖrnek 33::ÖrnekÖrnek 33::
18
t t tx x y++++ = − − += − − += − − += − − +
1
1
8
4 0.3 0.9
t t t
t t t
x x y
y x y
++++
++++
= − − += − − += − − += − − +
= − += − += − += − +1
0 0
4 0.3 0.9
2 , 8
t t ty x y
x y
++++ = − += − += − += − +
= == == == =0 0
2 , 8x y= == == == =
Bu, birinci sıradan homojen olmayan
Bunu homojen hale dönüştürmek için,Bunu homojen hale dönüştürmek için,
* *
1 1,
t t t tx x x y y y+ ++ ++ ++ += = = == = = == = = == = = =
1717
4 0.3 0.9t t t
y x y4 0.3 0.9t t t
y x y
olmayan bir fark denklemi sistemidir.
için, dengeden farkını alalım.için, dengeden farkını alalım.
* *
1 1t t t tx x x y y y+ ++ ++ ++ += = = == = = == = = == = = =
18
t t tx x y++++ = − − += − − += − − += − − +
1
* * *
8
8
t t tx x y
x x y
++++ = − − += − − += − − += − − +
= − − += − − += − − += − − +
(((( ))))
* * *
* * *
8x x y= − − += − − += − − += − − +
− = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −(((( ))))* * *
1t t tx x x x y y++++ − = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −
4 0.3 0.9y x y= − += − += − += − +1
4 0.3 0.9t t t
y x y++++ = − += − += − += − +
* * *4 0.3 0.9y x y= − += − += − += − +
((((* * *
10.3 0.9
t t ty y x x y y++++ − = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −((((1t t t++++
1818
(((( ))))* * *− = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −(((( ))))* * *
t t tx x x x y y− = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −
y x yt t t
y x y
)))) (((( ))))* * *0.3 0.9t t t
y y x x y y− = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −)))) (((( ))))t t t
Bu durumda her iki fark denklemi
İkinci aşamada bu sistemi matris
kökleri ve vektörleri araştıralım.
(((( ))))* * *
1t t tx x x x y y++++ − = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −(((( ))))
((((* * *
10.3 0.9
t t ty y x x y y++++ − = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −((((1
0.3 0.9t t t
y y x x y y++++ − = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −
* *
1
* *
1 1t t
x x x x++++ −−−−− −− −− −− −
==== −−−−− −− −− −− −* *
10.3 0.9
t ty y y y++++
==== −−−−− −− −− −− −
A
denklemi de homojen hale dönüşmüştür.1919
biçimiyle yazalım ve karakteristik
(((( ))))* * *
t t tx x x x y y− = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −(((( ))))
)))) (((( ))))* * *0.3 0.9
t t ty y x x y y− = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −)))) (((( ))))0.3 0.9
t t ty y x x y y− = − − + −− = − − + −− = − − + −− = − − + −
* *
* *
1 1t t
x x x x − −− −− −− −
− −− −− −− −* *0.3 0.9t t
y y y y
− −− −− −− −
Karakteristik kökler:
1 1−−−− ====
1 1A
0.3 0.9
−−−− ====
−−−−
1 1b
− −− −− −− − ====
1 1A - bI
0.3 0.9
b
b
− −− −− −− − ====
− −− −− −− −
1 1b
− −− −− −− −= = + − == = + − == = + − == = + − =
1 1A - bI 0.1 0.6 0
0.3 0.9
b
b
− −− −− −− −= = + − == = + − == = + − == = + − =
− −− −− −− −
1 2
0.3 0.9
0.7262 , 0.8262
b
b b
− −− −− −− −
= = −= = −= = −= = −1 2
0.7262 , 0.8262b b= = −= = −= = −= = −
2020
b
= = + − == = + − == = + − == = + − =2A - bI 0.1 0.6 0b bb
= = + − == = + − == = + − == = + − =
0.7262 , 0.8262
b
0.7262 , 0.8262
Karakteristik vektörler:
10.7262b ====
(((( )))) ((((
10.7262
A I v 0 A 0.7262I v 0b b
b
b
====
− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =(((( )))) ((((1 1
1A I v 0 A 0.7262I v 0
b bb− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =
1
11.7262 1 0b
v −−−− ====
1
1
20.3 0.1738 0b
v
v
====
−−−−
1 11.7262 0b b
v v − + =− + =− + =− + = 1 1
1 1
1 21.7262 0
0.3 0.1738 0b b
v v
v v
− + =− + =− + =− + = − + =− + =− + =− + =
1 1
1 20.3 0.1738 0
b bv v − + =− + =− + =− + =
2121
))))A I v 0 A 0.7262I v 0b b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =))))1 1A I v 0 A 0.7262I v 0b b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =
1.7262 1 0 ====
0.3 0.1738 0
====
1’e normalleştirme1’e normalleştirme
1 1
2 11 0.5793
b bv v= → == → == → == → =
20.8262b = −= −= −= −
(((( )))) ((((2 2
2A I v 0 A 0.8262I v 0
b bb− = → + =− = → + =− = → + =− = → + =(((( )))) ((((2
A I v 0 A 0.8262I v 0
0.1738 1 0b
b
v
− = → + =− = → + =− = → + =− = → + =
−−−− 2
2
1
2
0.1738 1 0
0.3 1.7262 0
b
b
v
v
−−−− ====
−−−− 2
20.3 1.7262 0v−−−−
2 2
1 20.1738 0
b bv v − + =− + =− + =− + =
2 2
1 20.3 1.7262 0
b bv v
− + =− + =− + =− + =
2222
))))2 2A I v 0 A 0.8262I v 0b b− = → + =− = → + =− = → + =− = → + =))))A I v 0 A 0.8262I v 0
0.1738 1 0
− = → + =− = → + =− = → + =− = → + =
0.1738 1 0
0.3 1.7262 0
====
0.3 1.7262 0
2 2
2 11 5.7537
b bv v
= → == → == → == → = 2 2
2 11 5.7537v v= → == → == → == → =
0.5793 5.7537 1 2
0.5793 5.7537V v v
1 1
b b = == == == =
1 1
0tb
-11
t 0
2
0u V V u
0
t
t
b
b
====
(((( ))))
20
0.7262 0t
b
(((( ))))
((((t 0
0.7262 0u V V u
0 0.8262
t ==== −−−−((((
t 0
0 0.8262 −−−−
0 0 02 , 8 ux y= = → == = → == = → == = → =
0 0 0
2323
0.5793 5.7537 0.5793 5.7537
1 1
1 1
0.7262 0
))))-1
t 0
0.7262 0u V V u
0 0.8262t
−−−− ))))
t 0
0 0.8262t −−−−
−−−−0 0 0
4.42 , 8 u
12.8
−−−− = = → == = → == = → == = → =
−−−− 0 0 0
12.8 −−−−
((((*
10.7262 0
u V Vtx x++++
−−−− = == == == =
1
t *
1
u V V0 0.8262
t
ty y
++++
++++
= == == == = −−−−
0.5793 5.7537 0.193 1.11 0.5793 5.7537 0.193 1.11V , V
1 1 0.193 0.11
= == == == = 1 1 0.193 0.11
((((*
17.75 0.7262 3.35 0.8262
tx x++++
− + −− + −− + −− + − −−−− ====
((((
((((1
*
1 13.38 0.7262 5.83 0.8262
t
t
x x
y y
++++
++++
−−−− ====
−−−− − + −− + −− + −− + −
2424
))))-1
0.7262 0 4.4u V V
t −−−−
(((( ))))-1
u V V12.80 0.8262
t
−−−− −−−−
0.5793 5.7537 0.193 1.11−−−− 10.5793 5.7537 0.193 1.11
V , V1 1 0.193 0.11
−−−−−−−−
= == == == = −−−− 1 1 0.193 0.11−−−−
)))) (((( ))))7.75 0.7262 3.35 0.8262t t − + −− + −− + −− + −
)))) (((( ))))
)))) (((( ))))13.38 0.7262 5.83 0.8262t t
− + −− + −− + −− + −
(((( ))))* 7.75 0.7262 3.35 0.8262t t
x x− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −(((( ))))
(((( ))))
*
1
*
7.75 0.7262 3.35 0.8262
13.38 0.7262 5.83 0.8262
t
t t
x x
y y
++++ − = − + −− = − + −− = − + −− = − + −
− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −(((( ))))*
113.38 0.7262 5.83 0.8262
t t
ty y++++ − = − + −− = − + −− = − + −− = − + −
Denge değerlerini de (x*, y*) belirleyerek,
18
t t tx x y++++ = − − += − − += − − += − − +
= − += − += − += − +1
4 0.3 0.9t t t
y x y++++ = − += − += − += − +
= = = == = = == = = == = = =* *
1 1,
t t t tx x x y y y+ ++ ++ ++ += = = == = = == = = == = = =
* * *8x x yx y
= − − += − − += − − += − − + = − += − += − += − +* * *
4 0.3 0.9
x y
y x y= − += − += − += − +
2525
(((( ))))7.75 0.7262 3.35 0.8262t t
− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −(((( ))))
(((( ))))
7.75 0.7262 3.35 0.8262
13.38 0.7262 5.83 0.8262t t
− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −
− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −(((( ))))13.38 0.7262 5.83 0.8262t t
− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −
belirleyerek, sistemin grafiğini çizebiliriz.
= = = == = = == = = == = = =* *
t t t tx x x y y y= = = == = = == = = == = = =
* *6.4 , 20.8x y= == == == =6.4 , 20.8x y= == == == =
(((( ))))17.75 0.7262 3.35 0.8262 6.4
t t
tx ++++ = − + − += − + − += − + − += − + − +(((( ))))
(((( ))))
1
1
7.75 0.7262 3.35 0.8262 6.4
13.38 0.7262 5.83 0.8262 20.8
t
t t
t
x
y
++++
++++
= − + − += − + − += − + − += − + − +
= − + − += − + − += − + − += − + − +(((( ))))113.38 0.7262 5.83 0.8262 20.8
ty ++++ = − + − += − + − += − + − += − + − +
Yukarıdaki sonuç, sistemin belirli genel
aşağıdaki 7.1a ve 71.b grafiklerinden
gerçekleşmesini görebilmekteyiz.
2626
(((( ))))7.75 0.7262 3.35 0.8262 6.4t t
= − + − += − + − += − + − += − + − +(((( ))))
(((( ))))
7.75 0.7262 3.35 0.8262 6.4
13.38 0.7262 5.83 0.8262 20.8t t
= − + − += − + − += − + − += − + − +
= − + − += − + − += − + − += − + − +(((( ))))13.38 0.7262 5.83 0.8262 20.8= − + − += − + − += − + − += − + − +
genel çözümüdür. Bu sisteme ilişkin
grafiklerinden de yakınsama sürecinin
Şekil 7.1a. Fark Denklemlerinin Yakınsama SüreciŞekil 7.1a. Fark Denklemlerinin Yakınsama SüreciŞekil 7.1a. Fark Denklemlerinin Yakınsama SüreciŞekil 7.1a. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreci
25
1ty ++++
= − + − += − + − += − + − += − + − +
20
1ty ++++
= − + − += − + − += − + − += − + − +
15
5
10
1tx ++++ = − + − += − + − += − + − += − + − +
0
5
-5
01 10
-5
2727
ekil 7.1a. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreciekil 7.1a. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreciekil 7.1a. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreciekil 7.1a. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreci
(((( )))) (((( ))))13.38 0.7262 5.83 0.8262 20.8t t
= − + − += − + − += − + − += − + − +(((( )))) (((( ))))13.38 0.7262 5.83 0.8262 20.8= − + − += − + − += − + − += − + − +
x(t)y(t)y(t)
(((( )))) (((( ))))7.75 0.7262 3.35 0.8262 6.4t t
= − + − += − + − += − + − += − + − +
t19 28
t
Şekil 7.1b. Fark Denklemlerinin Yakınsama SüreciŞekil 7.1b. Fark Denklemlerinin Yakınsama SüreciŞekil 7.1b. Fark Denklemlerinin Yakınsama SüreciŞekil 7.1b. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreci
25.0 ( )y t
20.020.8
••••
15.0
10.0
5.0
0.0
-4 -2 0
2828
ekil 7.1b. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreciekil 7.1b. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreciekil 7.1b. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreciekil 7.1b. Fark Denklemlerinin Yakınsama Süreci
••••
18
t t tx x y++++
= − − += − − += − − += − − +1
14 0.3 0.9
2 , 8
t t t
t t ty x y
x y
++++
++++= − += − += − += − +
= == == == =
( )x t
0 02 , 8x y= == == == =
••••2 4 6 8
( )x t
6.4••••
Sistemdeki değişken sayısı üçe çıktığında
t -1 tA = V D V
t -1 t
A = V D V
u = A u = V D Vut -1 t
t 0 0u = A u = V D Vu
1
-1
0 0
u = V 0 0 Vu , V = v v v
t
t
b
b
-1
t 2 0
3
u = V 0 0 Vu , V = v v v
0 0
t
t
b
b
3
0 0 b
1 2
t 1 1 2 2 2 2u = v v v
b bt t tA b A b A b+ ++ ++ ++ +t 1 1 2 2 2 2
u = v v vA b A b A b+ ++ ++ ++ +
2929çıktığında.
bb bu = V 0 0 Vu , V = v v v 31 2 bb bu = V 0 0 Vu , V = v v v
3
t 1 1 2 2 2 2u = v v v
bt t tA b A b A bt 1 1 2 2 2 2
u = v v vA b A b A b
ÖrnekÖrnek 44::ÖrnekÖrnek 44::
1 1 12
t t t tx x y z− − −− − −− − −− − −= + += + += + += + +
1 1 12
t t t tx x y z
y x y
− − −− − −− − −− − −= + += + += + += + +
= − += − += − += − +1 1
3 6
t t ty x y
z x y z
− −− −− −− −= − += − += − += − +
= − −= − −= − −= − −1 1 1
3 6
3 , 4 , 3
t t t tz x y z
x y z
− − −− − −− − −− − −= − −= − −= − −= − −
= = − == = − == = − == = − =0 0 0
3 , 4 , 3x y z= = − == = − == = − == = − =
Bu, birinci sıradan homojen doğrusal
Bunu ilk olarak matris biçimde tanımlayalım
karakteristik kökler ve vektörleri belirleyerekkarakteristik kökler ve vektörleri belirleyerek
3030
1 1 11 1 1
z x y z1 1 1
3 , 4 , 3
t t t tz x y z− − −− − −− − −− − −
= = − == = − == = − == = − =3 , 4 , 3= = − == = − == = − == = − =
doğrusal bir fark denklemi sistemidir.
tanımlayalım. Sonraki aşamalarda,
belirleyerek çözüme ulaşalım.belirleyerek çözüme ulaşalım.
1 2 1x x 1 2 1
1 1 0
t t
t t
x x
y y
= −= −= −= − 1 1 0
3 6 1
t t
t t
y y
z z
= −= −= −= − − −− −− −− −
1 2 1
t t
b
−−−− 1 2 1
A - bI 1 1 0
b
b
−−−−
= − −= − −= − −= − − 3 6 1
− − −− − −− − −− − −
(((( 2A - bI 2 0b b b= − − == − − == − − == − − =((((A - bI 2 0
1 , 0 , 2 ,
b b b
b b b
= − − == − − == − − == − − =
= − = == − = == − = == − = =1 2 3
1 , 0 , 2 ,b b b= − = == − = == − = == − = =
3131
1 2 1x x 1
1
1 2 1
1 1 0
t t
t t
x x
y y
−−−−
−−−−
1
1
1 1 0
3 6 1
t t
t t
y y
z z
−−−−
−−−−
− −− −− −− − 1
1 2 1
t t −−−−
1 2 1
A - bI 1 1 0b
3 6 1 b − − −− − −− − −− − −
))))A - bI 2 0= − − == − − == − − == − − =))))A - bI 2 0
1 , 0 , 2 ,b b b
= − − == − − == − − == − − =
= − = == − = == − = == − = =1 2 3
1 , 0 , 2 ,b b b= − = == − = == − = == − = =
11b = −= −= −= −
(((( )))) ((((1 1
1
A I v 0 A ( 1)I v 0b b
b− = → − − =− = → − − =− = → − − =− = → − − =(((( )))) ((((1 1
1A I v 0 A ( 1)I v 0b− = → − − =− = → − − =− = → − − =− = → − − =
1
1
12 2 1 0
1 2 0 0
b
b
v
v
− =− =− =− = 1
1
2
3
1 2 0 0
3 6 0 0
b
b
v
v
− =− =− =− =
−−−−
1 1 1
33 6 0 0
2 2 0b b b
v
v v v
−−−−
+ + =+ + =+ + =+ + =1 1 1
1 2 32 2 0
2 0 1 , 3
b b b
b b b b b
v v v
v v v v v
+ + =+ + =+ + =+ + =
− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −1 1 1 1 1
1 2 1 2 32 0 1 , 3
3 6 0
b b b b b
b b
v v v v v
v v
− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −
− =− =− =− =1 1
1 23 6 0
b bv v − =− =− =− =
3232
))))1 1A I v 0 A ( 1)I v 0b b− = → − − =− = → − − =− = → − − =− = → − − =))))1 1A I v 0 A ( 1)I v 0− = → − − =− = → − − =− = → − − =− = → − − =
1’e normalleştirme
}}}} 12 0 1 , 3
b b b b bv v v v v− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −}}}}1 1 1 1 1
1 2 1 2 3
12 0 1 , 3
2
b b b b bv v v v v− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −
20b ====
(((( )))) ((((2 2
2
A I v 0 A (0)I v 0b b
b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =(((( )))) ((((2 2
2A I v 0 A (0)I v 0b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =
2
2
11 2 1 0
1 1 0 0
b
b
v
v
− =− =− =− = 2
2
2
3
1 1 0 0
3 6 1 0
b
b
v
v
− =− =− =− =
− −− −− −− −
2 2 2
33 6 1 0
2 0b b b
v
v v v
− −− −− −− −
+ + =+ + =+ + =+ + =2 2 2
1 2 32 0
0 1 1 , 3
b b b
b b b b b
v v v
v v v v v
+ + =+ + =+ + =+ + =
− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −2 2 2 2 2
1 2 1 2 30 1 1 , 3
3 6 0
b b b b b
b b b
v v v v v
v v v
− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −
− − =− − =− − =− − =2 2 2
1 2 23 6 0
b b bv v v − − =− − =− − =− − =
3333
))))2 2A I v 0 A (0)I v 0b b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =))))2 2A I v 0 A (0)I v 0− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =
1’e normalleştirme
}}}}0 1 1 , 3b b b b b
v v v v v
− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = − }}}}2 2 2 2 2
1 2 1 2 30 1 1 , 3
b b b b bv v v v v
− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −− + = = = = −
32b ====
(((( )))) ((((3 3
3
A I v 0 A (2)I v 0b b
b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =(((( )))) ((((3 3
3A I v 0 A (2)I v 0b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =
3
3
11 2 1 0
1 1 0 0
b
b
v
v
−−−−
− − =− − =− − =− − = 3
3
2
3
1 1 0 0
3 6 3 0
b
b
v
v
− − =− − =− − =− − =
− −− −− −− − 33 6 3 0
2 0b b b
v
v v v
− −− −− −− −
− + + =− + + =− + + =− + + =3 3 3
1 2 32 0
0 1 1 , 3
b b b
b b b b b
v v v
v v v v v
− + + =− + + =− + + =− + + =
− − = = = − =− − = = = − =− − = = = − =− − = = = − =3 3 3 3 3
1 2 1 2 30 1 1 , 3
3 6 3 0
b b b b b
b b b
v v v v v
v v v
− − = = = − =− − = = = − =− − = = = − =− − = = = − =
− − =− − =− − =− − =3 3 3
1 2 23 6 3 0
b b bv v v − − =− − =− − =− − =
3434
))))3 3A I v 0 A (2)I v 0b b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =))))3 3A I v 0 A (2)I v 0− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =
1’e normalleştirme
}}}}0 1 1 , 3b b b b b
v v v v v
− − = = = − =− − = = = − =− − = = = − =− − = = = − = }}}}3 3 3 3 3
1 2 1 2 30 1 1 , 3
b b b b bv v v v v
− − = = = − =− − = = = − =− − = = = − =− − = = = − =
1 1 1 1 2
1 1 1
v 0.5 , v 1 , v 1b b
= = = −= = = −= = = −= = = − 3 3 3 − −− −− −− −
1
1 1 1 0 2 0.67 3−−−−
= − = = −= − = = −= − = = −= − = = −1V 0.5 1 1 , V 0.5 2 0.5 , u 4
3 3 3 0.5 0 0.167 3
−−−− = − = = −= − = = −= − = = −= − = = − − −− −− −− −
(((( ))))
3 3 3 0.5 0 0.167 3
t
− −− −− −− −
(((( ))))
(((( ))))-1
1 0 0
u = V 0 0 0 Vu
t
tt
x
y
−−−− ==== (((( ))))
((((
-1
t 0u = V 0 0 0 Vu
0 0 2
t
t
t
y
z
====
((((0 0 2tz
3535
1 1 1 3
1 1 1
v 0.5 , v 1 , v 1b
= = = −= = = −= = = −= = = − 3 3 3
1 1 1 0 2 0.67 3− −− −− −− −
= − = = −= − = = −= − = = −= − = = −0
V 0.5 1 1 , V 0.5 2 0.5 , u 4
3 3 3 0.5 0 0.167 3
= − = = −= − = = −= − = = −= − = = − 3 3 3 0.5 0 0.167 3
1 0 0
u = V 0 0 0 Vu
(((( ))))t 0
u = V 0 0 0 Vu
0 0 2t
(((( ))))0 0 2
(((( )))) (((( ))))6 1 2 2t t
x = − += − += − += − +(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
6 1 2 2t t
t
t t
x = − += − += − += − +
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
3 1 2 2t t
ty = − −= − −= − −= − −
(((( )))) (((( ))))18 1 6 2t t
tz = − − += − − += − − += − − +
3636
Şekil 7.2. Fark Denklemlerinin Iraksama SüreciŞekil 7.2. Fark Denklemlerinin Iraksama SüreciŞekil 7.2. Fark Denklemlerinin Iraksama SüreciŞekil 7.2. Fark Denklemlerinin Iraksama Süreci
200000
250000
150000
200000
100000
0
50000
-50000
0
0 5
x(t)
y(t)
-100000
y(t)
Z(t)
3737
ekil 7.2. Fark Denklemlerinin Iraksama Süreciekil 7.2. Fark Denklemlerinin Iraksama Süreciekil 7.2. Fark Denklemlerinin Iraksama Süreciekil 7.2. Fark Denklemlerinin Iraksama Süreci
10 15
Şu ana kadar fark denklemleriŞu ana kadar fark denklemleri
doğrusal bağımsız öz-vektörlerinden
sürecinde kullandığımız A ve V’nin
tanımlayalım.tanımlayalım.
-1 -1V AV J A VJ V
t t≡ → =≡ → =≡ → =≡ → =
t t-1 t 0 t 0
V AV J A VJ V
u Au u A u u VJ V u
≡ → =≡ → =≡ → =≡ → =
= → = → == → = → == → = → == → = → =t t-1 t 0 t 0
u Au u A u u VJ V u
0 0tb
= → = → == → = → == → = → == → = → =
����1
2
0 0
0 0J
t
t
t
b
b
====
����
����2
0 0J t b ====
����
� � �� � �� � �� � �
0 0 t
nb
����
3838
sistemini çözerken, A matrisininsistemini çözerken, A matrisinin
vektörlerinden (V) yararlandık. Çözüm
’nin Jordan biçimini sistematik olarak
-1 -1V AV J A VJ V
t t≡ → =≡ → =≡ → =≡ → =
-1
t t-1 t 0 t 0
V AV J A VJ V
u Au u A u u VJ V ut t
≡ → =≡ → =≡ → =≡ → =
= → = → == → = → == → = → == → = → =t t-1 t 0 t 0
u Au u A u u VJ V u= → = → == → = → == → = → == → = → =
Buna göre, fark denklemleri sistemininBuna göre, fark denklemleri sisteminin
yapmamız gereken, J ve V matrisleriniyapmamız gereken, J ve V matrislerini
b1, b2,…,bn A matrisinin farklı öz-değerleriyse,
doğrusal bağımsız olan v1, v2,…,v
değerler (karakteristik kökler)
doğrusal bağımsızlığı ortadan kalkar
yapılamaz. Bununla birlikte, çözümün
bir sahte köşegenleştirme olanaklıdırbir sahte köşegenleştirme olanaklıdır
3939
sisteminin çözümüne ulaşabilmek içinsisteminin çözümüne ulaşabilmek için
matrislerini bulmaktır.matrislerini bulmaktır.
değerleriyse, bu durumda birbirinden
vn öz-vektörleri belirlenebilir. Öz-
tekrar ediyorsa, öz-vektörlerin
kalkar. Yani köşegenleştirme işlemi
çözümün elde edilmesine olanak sağlayan
olanaklıdır.olanaklıdır.
Şimdi farklı kökler, tek kök ve sanalŞimdi farklı kökler, tek kök ve sanal
bir fark denklemi (2x2 matris) için özetleyelimbir fark denklemi (2x2 matris) için özetleyelim
b 1-1
1V AV J
0
b ≡ =≡ =≡ =≡ =
0
1b
-1
2
1V AV J
0
b
b
≡ =≡ =≡ =≡ =
0 b
α + βα + βα + βα + β -1
3V AV J
0
α + βα + βα + βα + β ≡ =≡ =≡ =≡ =
0
4040
sanal kökler durumlarını, iki değişkenlisanal kökler durumlarını, iki değişkenli
özetleyelim.özetleyelim.
0
2
0
b
2
1
b
1
b
0
b
i
α + βα + βα + βα + β 0
0
i
i
α + βα + βα + βα + β
α − βα − βα − βα − β 0 iα − βα − βα − βα − β
Sistemin çözümünü belirlediktenSistemin çözümünü belirledikten
inceleriz. Bunun için sistemin aşamainceleriz. Bunun için sistemin aşama
dönüşüm yapalım.dönüşüm yapalım.
u = Aut t 1
-1
u = Au
u = V AV Vz
−−−−
====-1
tu = V AV Vz
u = Vz AVz V Vz V AVz
t====
= → == → == → == → =t 1 1
u = Vz AVz V Vz V AVzt t t t
b
− −− −− −− −= → == → == → == → =
1
1z Jz ,
0t t
bJ
b−−−−
= == == == =
0 b
4141
belirledikten sonra, kararlı olup olmadığınıbelirledikten sonra, kararlı olup olmadığını
aşama grafiğini bize sağlayacak olan biraşama grafiğini bize sağlayacak olan bir
-1 -1u = Vz AVz V Vz V AVz= → == → == → == → =-1 -1
t 1 1u = Vz AVz V Vz V AVz
0
t t t t− −− −− −− −= → == → == → == → =
2
0
b
2
b
z =Jz , u =Au ifadesinin temelzt=Jzt-1 , ut=Aut-1 ifadesinin temel
maktadır. Çeşitli dönüştürme işlemleriylemaktadır. Çeşitli dönüştürme işlemleriyle
biçimin çözümü de şöyledir:biçimin çözümü de şöyledir:
1
0 0 0 0
0z J z z , z V u
t
t
t
b = = == = == = == = = 0 0 0 0
2
z J z z , z V u0
t tb= = == = == = == = =
1 1010
0
tt
t
z zb
z zb
====
2 2020
tt
z zb====
4242
ve sade biçimi olarak tanımlan-ve sade biçimi olarak tanımlan-
işlemleriyle elde ettiğimiz bu sadeişlemleriyle elde ettiğimiz bu sade
-1
0 0 0 0z J z z , z V u= = == = == = == = =
0 0 0 0z J z z , z V u= = == = == = == = =
(z / z ) oranına bakarak, sistemin(z2t / z1t) oranına bakarak, sistemin
söyleyebiliriz.söyleyebiliriz.
t t= == == == =1 1 10 2 2 20
,t t
t tz b z z b z= == == == =
2 2 20 202
tt
tz b z zb
= == == == = 1 1 101 10
t
tz b zb z
= == == == =
Buna göre, sistemin kararlılığı, (b2 /
sayısal büyüklüğüne bağlıdır. Bunları
4343
kararlı hareket edip etmeyeceğinikararlı hareket edip etmeyeceğini
t t
1 1 10 2 2 20
t tz b z z b z
2 2 20 20z b z z
1 1 10
z b z
/ b1) oranının hem işaretine hem de
Bunları özetleyelim:
İkiİki farklıfarklı reelreel kökkök durumundadurumunda sisteminsistemin
1. |b1|<1 ve |b2|<1 ise, sistem kararlıdır
2. | b1|>1 ve | b2|>1 ise, sistem kararsızdır1 2
3. | b1|>1 ve | b2|<1 ise, sistem kararsızdır3. | b1|>1 ve | b2|<1 ise, sistem kararsızdır
TekTek reelreel kökkök durumundadurumunda sisteminsistemin kararlılığıkararlılığı
1. |b|<1 ise, sistem asimptotik olarak
2. |b|>1 ise, sistem asimptotik olarak2. |b|>1 ise, sistem asimptotik olarak
4444sisteminsistemin kararlılığıkararlılığı::
kararlıdır.
kararsızdır.
kararsızdır.kararsızdır.
kararlılığıkararlılığı::
olarak kararlıdır.
olarak kararsızdır.olarak kararsızdır.
ÖrnekÖrnek 55:: İkiİki FarklıFarklı ReelReel KökKök DurumuDurumu
0.85078x x y= − −= − −= − −= − − 1
1
0.85078
2.35078
t t t
t t t
x x y
y x y
++++
++++
= − −= − −= − −= − −
= += += += + 12.35078
0.85078 1
t t ty x y
x x
++++ = += += += +
− −− −− −− − 1
1
0.85078 1
1 2.35078
t t
t t
x x
y y
++++
++++
− −− −− −− − ==== 1 1 2.35078
0.85078 1
t ty y++++
− − −− − −− − −− − − 0.85078 1(A - bI) 0 0
1 2.35078
− − −− − −− − −− − − = → == → == → == → =
(((( )))) (((( ))))0.85078 2.35078 1 0 2 , 0.5b b b b
− − − + = → = = −− − − + = → = = −− − − + = → = = −− − − + = → = = −(((( )))) (((( ))))0.85078 2.35078 1 0 2 , 0.5b b b b− − − + = → = = −− − − + = → = = −− − − + = → = = −− − − + = → = = −
4545DurumuDurumu
* 0x x x = = == = == = == = =*
1
*
1
0
0
t t
t t
x x x
y y y
++++
++++
= = == = == = == = =
= = == = == = == = = 10
t ty y y
x x
++++ = = == = == = == = =
t t
t t
x x
y y
0.85078 1
t ty y
b
− − −− − −− − −− − − 0.85078 1(A - bI) 0 0
1 2.35078
b
b
− − −− − −− − −− − − = → == → == → == → =
−−−−
1 20.85078 2.35078 1 0 2 , 0.5b b b b
− − − + = → = = −− − − + = → = = −− − − + = → = = −− − − + = → = = −1 2
0.85078 2.35078 1 0 2 , 0.5b b b b− − − + = → = = −− − − + = → = = −− − − + = → = = −− − − + = → = = −
Belirlediğimiz birinci kökü kullanarak,
12b ====12
(A - I)v 0 (A - 2I)v 0b b
b
b
====
= → == → == → == → =1 1
1(A - I)v 0 (A - 2I)v 0
b bb = → == → == → == → =
1
12.85078 1 0b
v − −− −− −− −
1
1
21 0.35078 0b
v
1 1
1 22.85078 0
b bv v − − =− − =− − =− − =
1 1
1 22.85078 0
0.35078 0b b
v v
v v
− − =− − =− − =− − = + =+ =+ =+ =
1 1
1 20.35078 0
b bv v + =+ =+ =+ =
4646kullanarak, birinci öz-vektörü bulalım.
(A - I)v 0 (A - 2I)v 0b b= → == → == → == → =1 1(A - I)v 0 (A - 2I)v 0b b= → == → == → == → =
1
12.85078 1 0b
v ====
1
1
21 0.35078 0b
v====
1 1
1 21 , 2.8508
b bv v
= = −= = −= = −= = −
Benzer şekilde ikinci kökü kullanarak,
20.5b = −= −= −= −
2 2
2(A - I)v 0 (A ( 0.5)I)v 0
b bb = → − − == → − − == → − − == → − − =
2(A - I)v 0 (A ( 0.5)I)v 0
0.35078 1 0b
b
v
= → − − == → − − == → − − == → − − =
− −− −− −− − 2
2
10.35078 1 0
1 2.85078 0
b
b
v
v
− −− −− −− −
2
21 2.85078 0v
2 2
1 20.35078 0
b bv v − − =− − =− − =− − =
2 2
1 22.85078 0
b bv v
+ =+ =+ =+ =
4747kullanarak, ikinci öz-vektörü bulalım.
2 2(A - I)v 0 (A ( 0.5)I)v 0b b= → − − == → − − == → − − == → − − =(A - I)v 0 (A ( 0.5)I)v 0
0.35078 1 0bv
= → − − == → − − == → − − == → − − =
2
2
10.35078 1 0
1 2.85078 0
b
b
v
v
====
2
21 2.85078 0v
2 2
1 21 , 2.8508
b bv v
= = −= = −= = −= = − 2 2
1 21 , 2.8508v v= = −= = −= = −= = −
Şimdi, yukarıdaki öz-vektörleri bir arada
1 2.8508 = == == == =1 2
1 2.8508v , v
2.8508 1
b b = == == == =
−−−− 2.8508 1
1 2.8508V
−−−−
−−−− ====
1 2.8508V
2.8508 1
−−−− ====
−−−−
Vektörlerden birisi kararlı yolu, diğeriVektörlerden birisi kararlı yolu, diğeri
tedir. Hangisinin kararlılık yolunu
sistemi sade (kanonik) biçimde yeniden
dönüştürme işlemini şöyle yapmıştıkdönüştürme işlemini şöyle yapmıştık
4848arada yazalım.
1 2.8508−−−− 1 2.8508
2.8508 1
−−−− 2.8508 1
diğeri de kararsız yolu göstermek-diğeri de kararsız yolu göstermek-
yolunu gösterdiğini belirleyebilmek için,
yeniden tanımlayalım. Kanonik biçime
yapmıştık:yapmıştık:
-1
1 1z V u
t t+ ++ ++ ++ +====1 1z V u
t t+ ++ ++ ++ +====
Dönüştürme işlemini birinci öz-vektör
elde edelim.
10.14 0.40
V−−−−− −− −− −− −
==== 1
0.14 0.40V
0.40 0.14
−−−−− −− −− −− −
==== − −− −− −− −
-1 -1
1 1 0 0z V u z V u
t t+ ++ ++ ++ += → == → == → == → =1 1 0 0
z V u z V u
0.14 0.40 1 0
t t+ ++ ++ ++ += → == → == → == → =
− −− −− −− − 0
0.14 0.40 1 0z
0.40 0.14 2.8508 1
− −− −− −− − = == == == =
− − −− − −− − −− − − 0
0.40 0.14 2.8508 1 − − −− − −− − −− − −
4949
vektör için yapalım ve kanonik çözümü
0.14 0.40
0.14 0.40
0.40 0.14
-1 -1
1 1 0 0z V u z V u= → == → == → == → =
1 1 0 0z V u z V u
0.14 0.40 1 0
= → == → == → == → =
0.14 0.40 1 0
0.40 0.14 2.8508 1
= == == == =
− − −− − −− − −− − − 0.40 0.14 2.8508 1 − − −− − −− − −− − −
1 1 10 12 1 2t t t
t tz b z z= → = == → = == → = == → = =
((((2 2 20 2
t
t tz b z z= → = − == → = − == → = − == → = − =
Benzer biçimde, ikinci öz-vektörleriBenzer biçimde, ikinci öz-vektörleri
leri elde ederiz.
1 1 10 12 0 0
t t
t tz b z z= → = == → = == → = == → = =
((((
1 1 10 12 0 0
t t
t
z b z z
z b z z
= → = == → = == → = == → = =
= → = − = −= → = − = −= → = − = −= → = − = −((((2 2 20 2
t
t tz b z z= → = − = −= → = − = −= → = − = −= → = − = −
5050
(((( ))))2 1 2t t t= → = == → = == → = == → = =
(((( )))) (((( ))))0.5 0 0t
= → = − == → = − == → = − == → = − =
vektörleri kullanarak, diğer kanonik çözüm-vektörleri kullanarak, diğer kanonik çözüm-
(((( ))))2 0 0t t= → = == → = == → = == → = =(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
2 0 0
0.5 1 0.5t t
= → = == → = == → = == → = =
= → = − = −= → = − = −= → = − = −= → = − = −(((( )))) (((( )))) (((( ))))0.5 1 0.5t t
= → = − = −= → = − = −= → = − = −= → = − = −
İlk olarak birinci kanonik çözümlereİlk olarak birinci kanonik çözümlere
kararsız yollarından hangisi olduğunu
olmaktadır. Bu durum, vektörünün,1vb
söylemektedir. Diğer vektör ( )2vb
z2t→0 iken, t →+∞ olmaktadır. Bu durum,
temsil ettiğini söylemektedir. Sistemdeki
diğeri de kararsız yol olduğundan, bir
5151
çözümlere bakarak, sistemin kararlı ya daçözümlere bakarak, sistemin kararlı ya da
olduğunu görelim. z1t→+∞ iken, t →+∞
vektörünün, kararsız yolu temsil ettiğini
için de aynı sınamayı yapalım. Yani
durum, vektörünün, kararlı yolu2vb
Sistemdeki öz-vektörlerden biri kararlı
bir eyer dengesi vardır.
| b |=2>1 | b |=0.5<Bu örnekte | b1|=2>1 ve | b2|=0.5<
Kararsız yol, sistemin başat durumunu
noktasının seçimi önemlidir. Aşağıdaki
olarak (1, −2.8508)’in seçilmesi, kararlı
Ancak t=10’dan ötede bir başlangıç
kararsız hareket etmesine neden olur
5252
<1<1 olduğundan, sistem kararsızdır.
durumunu belirler. Ancak başlangıç
Aşağıdaki şekillerde, başlangıç noktası
kararlı bir dinamik sürece yol açar.
başlangıç noktasının belirlenmesi, sistemin
olur.
Şekil 7.2a. Örnek 5’te Kararlı YolŞekil 7.2a. Örnek 5’te Kararlı YolŞekil 7.2a. Örnek 5’te Kararlı YolŞekil 7.2a. Örnek 5’te Kararlı Yol
(1, 2.8508)−−−−••••(1, 2.8508)−−−−
-4 -3 -2 -1-4 -3 -2 -1
5353
ekil 7.2a. Örnek 5’te Kararlı Yolekil 7.2a. Örnek 5’te Kararlı Yolekil 7.2a. Örnek 5’te Kararlı Yolekil 7.2a. Örnek 5’te Kararlı Yol
1.2
0.8
1.0
1.2
0.6
0.8
0.2
0.4
-0.2
0.0
0.2
-1 0 1 2••••
-0.4
-0.2-1 0 1 2
-0.6
Şekil 7.2b. Örnek 5’te Kararsız YolŞekil 7.2b. Örnek 5’te Kararsız YolŞekil 7.2b. Örnek 5’te Kararsız YolŞekil 7.2b. Örnek 5’te Kararsız Yol
0.0
-500.0
0.0
0 200 400
-1500.0
-1000.0
-2000.0
-1500.0
-2500.0
-2000.0
-3500.0
-3000.0
-3500.0
5454
ekil 7.2b. Örnek 5’te Kararsız Yolekil 7.2b. Örnek 5’te Kararsız Yolekil 7.2b. Örnek 5’te Kararsız Yolekil 7.2b. Örnek 5’te Kararsız Yol
600 800 1000 1200
Şekil 7.2c. Örnek 5’te Kararlı ve Kararsız YolŞekil 7.2c. Örnek 5’te Kararlı ve Kararsız YolŞekil 7.2c. Örnek 5’te Kararlı ve Kararsız YolŞekil 7.2c. Örnek 5’te Kararlı ve Kararsız Yol
-500
0
1 6
-1000
-500
-1500
-1000
-2000
-2500
-3500
-3000
( )x t-3500 ( )x t
5555
ekil 7.2c. Örnek 5’te Kararlı ve Kararsız Yolekil 7.2c. Örnek 5’te Kararlı ve Kararsız Yolekil 7.2c. Örnek 5’te Kararlı ve Kararsız Yolekil 7.2c. Örnek 5’te Kararlı ve Kararsız Yol
6 11
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
x(t)
-1.0
-0.5y(t)
( )y t -1.0( )y t
TekTek ReelReel KökKök DurumuDurumu::
Karakteristik denklemin çözümünde
olduğunda, genel olarak şu çözümü
1 2
1 1 1 2 2 1
b bt t
tx A b v A b v = += += += +
1 2
3 2 2 4 2 2
b bt t
ty A b v A b v
= += += += + 3 2 2 4 2 2t
Karakteristik denklemin çözümündenKarakteristik denklemin çözümünden
her bir denklemde ayrıca Antbn
ulaşmıştık. Şimdi bir denklem sistemi
görelim ve genel çözüme nasıl ulaşabileceğimizi
5656
çözümünde elde edilen reel kök sayısı iki tane
çözümü yazıyorduk:
u A v A vt tb b
= += += += + 1 1 1 2 2 2u A v A vt t
tb b
= += += += +
çözümünden tek reel kök elde edildiğinde,çözümünden tek reel kök elde edildiğinde,
terimini de ekleyerek çözüme
sistemi için bunun yeterli olmayacağını
ulaşabileceğimizi belirleyelim.
İlk olarak Antb terimini deneyelim.İlk olarak Antb terimini deneyelim.
u v , u = Au , 0ttb b= ≠= ≠= ≠= ≠
(((( ))))
1 t 1 tu v , u = Au , 0t
ttb b++++= ≠= ≠= ≠= ≠
(((( )))) 1
1 1 1 11 v A v , v vt tt b tb A b+++++ = =+ = =+ = =+ = =
1
1 1v 0 , 0 , v 0tb b++++ = ≠ ≠= ≠ ≠= ≠ ≠= ≠ ≠
1 1v 0 , 0 , v 0b b= ≠ ≠= ≠ ≠= ≠ ≠= ≠ ≠
b≠0 ve v ≠0 olması nedeniyle, A tbb≠0 ve v1≠0 olması nedeniyle, Antb
deneyelim:
1 2u v vt t
ttb b= += += += +
1 2t
5757
u v , u = Au , 0tb b= ≠= ≠= ≠= ≠1 t 1 t
u v , u = Au , 0tb b= ≠= ≠= ≠= ≠
1 1 1 11 v A v , v vt b tb A b+ = =+ = =+ = =+ = =
1 1v 0 , 0 , v 0= ≠ ≠= ≠ ≠= ≠ ≠= ≠ ≠
1 1v 0 , 0 , v 0= ≠ ≠= ≠ ≠= ≠ ≠= ≠ ≠
tb çözüm değildir. Şimdi şu çözümütb çözüm değildir. Şimdi şu çözümü
1 2u v vt ttb b= += += += +
1 2
u v v , u = Au , 0t ttb b b= + ≠= + ≠= + ≠= + ≠
(((( ))))
1 2 t 1 t
1 1
u v v , u = Au , 0
1 v v A v A v
t t
t
t t t t
tb b b
t b b tb b
++++
+ ++ ++ ++ +
= + ≠= + ≠= + ≠= + ≠
+ + = ++ + = ++ + = ++ + = +(((( )))) 1 1
1 2 1 21 v v A v A vt t t tt b b tb b+ ++ ++ ++ ++ + = ++ + = ++ + = ++ + = +
1 1 2 2Av v , Av vb b= == == == =
2 2 1 2 1Av v v A I v vb b b b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =
Bu çözüm, doğrusal fark denklemiBu çözüm, doğrusal fark denklemi
genel çözümü yazalım.
((((1 1 2 1 2u A v A v vt t t
tb tb b= + += + += + += + +((((1 1 2 1 2
u A v A v vt
b tb b= + += + += + += + +
5858
u v v , u = Au , 0tb b b= + ≠= + ≠= + ≠= + ≠1 2 t 1 t
u v v , u = Au , 0
1 v v A v A vt t t t
tb b b
t b b tb b
++++= + ≠= + ≠= + ≠= + ≠
+ + = ++ + = ++ + = ++ + = +1 2 1 2
1 v v A v A vt t t tt b b tb b+ + = ++ + = ++ + = ++ + = +
(((( ))))
1 1 2 2Av v , Av v
(((( ))))2 2 1 2 1Av v v A I v vb b b b− = → − =− = → − =− = → − =− = → − =
sisteminin çözümüdür. Buna göre,sisteminin çözümüdür. Buna göre,
))))1 1 2 1 2u A v A v vt t tb tb b= + += + += + += + + ))))1 1 2 1 2u A v A v vb tb b= + += + += + += + +
ÖrnekÖrnek 66:: TekTek ReelReel KökKök DurumuDurumu
14
t t tx x y++++ = + −= + −= + −= + − 1
1
4
20 3
t t t
t t t
x x y
y x y
++++
++++
= + −= + −= + −= + −
= − + += − + += − + += − + + 120 3
1 1 4
t t ty x y
x x
++++ = − + += − + += − + += − + +
−−−− 1
1
1 1 4
1 3 20
t t
t t
x x
y y
++++
++++
−−−− = += += += +
−−−− 1 1 3 20
1 1
t ty y
b
++++ −−−−
− −− −− −− − 1 1(A - bI) 0 0
1 3
b− −− −− −− − = → == → == → == → =
(((( )))) (((( ))))
1 3
1 3 1 0 2b b b b b
− − + = → = = =− − + = → = = =− − + = → = = =− − + = → = = =(((( )))) (((( ))))1 3 1 0 2b b b b b− − + = → = = =− − + = → = = =− − + = → = = =− − + = → = = =
5959DurumuDurumu
* 12x x x = = == = == = == = =*
1
*
1
12
4
t t
t t
x x x
y y y
++++
++++
= = == = == = == = =
= = == = == = == = = 1
1 1 4
t t++++
1 1 4
1 3 20
−−−− 1 3 20
1 1
−−−−
− −− −− −− − 1 1(A - bI) 0 0
1 3 b
− −− −− −− − = → == → == → == → =
−−−− 1 3
1 3 1 0 2
b
b b b b b
−−−−
− − + = → = = =− − + = → = = =− − + = → = = =− − + = → = = =1 2
1 3 1 0 2b b b b b− − + = → = = =− − + = → = = =− − + = → = = =− − + = → = = =
Belirlediğimiz tek reel kökü kullanarak,
1 22b b b= = == = == = == = =
1 22
(A - I)v 0 (A - 2I)v 0b b
b b b
b
= = == = == = == = =
= → == → == → == → =(A - I)v 0 (A - 2I)v 0b bb = → == → == → == → =
11 1 0bv − −− −− −− −
==== 1
21 1 0bv
====
1 20b bv v − − =− − =− − =− − = 1 2
1 2 1
01 , 1 , v
0
b b
b b
v vv v
v v
− − =− − =− − =− − = = − = == − = == − = == − = =
+ =+ =+ =+ = 1 20b bv v + =+ =+ =+ =
6060kullanarak, birinci öz-vektörü bulalım.
(A - I)v 0 (A - 2I)v 0b b= → == → == → == → =(A - I)v 0 (A - 2I)v 0b b= → == → == → == → =
1−−−− 1 2 1
11 , 1 , v
1
b bv v−−−−
= − = == − = == − = == − = = 1
Şimdi ikinci öz-vektörü bulalım.
(((( ))))A I v vb b− =− =− =− =(((( )))) 2 1A I v vb b− =− =− =− =
1 11 1 1 12 v
v v− − −− − −− − −− − − = → = == → = == → = == → = =
2 2
2 v1 1 1 0v v
= → = == → = == → = == → = =
Buna göre, tüm vektörleri ve JordanBuna göre, tüm vektörleri ve Jordan
1 1 1 2 1−−−− 1 2
1 1 1 2 1V v v , J
1 0 0 0 2
−−−− = = = == = = == = = == = = =
1 0 0 0 2
6161
1 1
2
1 1 1 12 v
v v = → = == → = == → = == → = = 2
2 2
2 v1 1 1 0v v
= → = == → = == → = == → = =
Jordan matrisini bir arada yazalım.Jordan matrisini bir arada yazalım.
1 1 1 2 1b 1 1 1 2 1V v v , J
1 0 0 0 2
b
b
= = = == = = == = = == = = =
1 0 0 0 2b
x ve y terimlerinden oluşan doğrusalx y
denklemini, Jordan matrisini kullanarak,
dönüştürelim.
-1
0u = VJ V ut
t 0
1 12 2
t
t t t tb tb t− −− −− −− − 1 12 2J
0 0 2
t t t t
t
t t
b tb t
b
− −− −− −− − = == == == = 0 0 2b
0 0z J z z zt
t t= → == → == → == → =
6262doğrusal ikinci sıra homojen olmayan fark
kullanarak, kanonik biçime (z)
1 12 2t t t tb tb t− −− −− −− − 1 12 2
0 0 2
t t t t
t t
b tb t− −− −− −− −
1
0 0 2
2 2t tt −−−−
1
0 0
2 2z J z z z
0 2
t t
t t t
t −−−− = → == → == → == → =
0 2t
12 2t tz z t z−−−−= += += += + 1
1 10 202 2
2
t t
t
t
z z t z
z z
−−−−= += += += +
====2 202t
tz z====
Bu çözümden görülebileceği gibi,Bu çözümden görülebileceği gibi,
koşulu ne olursa olsun t →+∞ olmaktadırkoşulu ne olursa olsun t →+∞ olmaktadır
7.3a ve 7.3b’de de görebiliriz.
kanonik biçimden, normal biçimine
(((( ))))12 11.9 2 7.9 2t t
tx t= − += − += − += − +
(((( ))))4 3.9 2 7.9 2t t
ty t= − −= − −= − −= − −(((( ))))
6363
z →+∞ ve z →+∞ iken, başlangıçz1t→+∞ ve z2t→+∞ iken, başlangıç
olmaktadır. Bu kararsız süreci, Şekilolmaktadır. Bu kararsız süreci, Şekil
Ayrıca, fark denklemi çözümünü
dönüştürelim.
(((( ))))12 11.9 2 7.9 2t tx t= − += − += − += − +
(((( ))))4 3.9 2 7.9 2t ty t (((( ))))
Şekil 7.3a. Örnek 6’da Kararsız SüreçŞekil 7.3a. Örnek 6’da Kararsız SüreçŞekil 7.3a. Örnek 6’da Kararsız SüreçŞekil 7.3a. Örnek 6’da Kararsız Süreç
90000
100000
(((( ))))12 11.9 2 7.9 2t t
tx t= − += − += − += − +
70000
80000
90000 (((( ))))
(((( ))))
12 11.9 2 7.9 2
4 3.9 2 7.9 2
t
t t
t
x t
y t
= − += − += − += − +
= − −= − −= − −= − −
50000
60000
70000 (((( ))))4 3.9 2 7.9 2t
y t= − −= − −= − −= − −
30000
40000
50000
20000
30000
0
10000
1 3 51 3 5
6464
ekil 7.3a. Örnek 6’da Kararsız Süreçekil 7.3a. Örnek 6’da Kararsız Süreçekil 7.3a. Örnek 6’da Kararsız Süreçekil 7.3a. Örnek 6’da Kararsız Süreç
(((( ))))12 11.9 2 7.9 2t tx t= − += − += − += − + (((( ))))
(((( ))))
12 11.9 2 7.9 2
4 3.9 2 7.9 2t t
x t
y t
= − += − += − += − +
x(t)y(t)
(((( ))))4 3.9 2 7.9 2y t
7 9 117 9 11
Şekil 7.3b. Örnek 6’da Kararsız SüreçŞekil 7.3b. Örnek 6’da Kararsız SüreçŞekil 7.3b. Örnek 6’da Kararsız SüreçŞekil 7.3b. Örnek 6’da Kararsız Süreç
0
0 10000 20000 30000
-20000
-100000 10000 20000 30000
-40000
-30000
-60000
-50000
-40000
-80000
-70000
-60000
-100000
-90000
-80000
( )y t-100000 ( )y t
6565
ekil 7.3b. Örnek 6’da Kararsız Süreçekil 7.3b. Örnek 6’da Kararsız Süreçekil 7.3b. Örnek 6’da Kararsız Süreçekil 7.3b. Örnek 6’da Kararsız Süreç
40000 50000 60000 70000 80000
( )x t
40000 50000 60000 70000 80000
KarmaşıkKarmaşık KöklerKökler DurumuDurumu::KarmaşıkKarmaşık KöklerKökler DurumuDurumu::
Karakteristik kökler karmaşık sayıKarakteristik kökler karmaşık sayı
kanonik biçim şöyle yazılacaktır.
0h vi++++ 0J , J
0
th vi
h vi
++++ = == == == =
−−−−
(((( ))))
(((( ))))
((((0 0
z J z z0
t
t
t
h vi
h vi
++++ = == == == = −−−−((((
0 0z J z z
0t
h vi= == == == =
−−−−
6666
sayı olduğunda, Jordan matrisi vesayı olduğunda, Jordan matrisi ve
(((( )))) 0t
h vi ++++(((( ))))
(((( ))))
0J , J
0
t
t
h vi
h vi
++++ = == == == = −−−− (((( ))))0 h vi −−−−
))))0 0
0z J z z
th vi
−−−− ))))
0 0z J z z
th vi −−−−
(((( )))) ((((cos sint tz h vi z R t i t = + = θ + θ= + = θ + θ= + = θ + θ= + = θ + θ (((( )))) ((((
(((( )))) ((((
1 10cos sin
t
tz h vi z R t i t = + = θ + θ= + = θ + θ= + = θ + θ= + = θ + θ
(((( )))) ((((2 20cos sin
t t
tz h vi z R t i t = − = θ − θ= − = θ − θ= − = θ − θ= − = θ − θ
2 2R h v= += += += +2 2R h v= += += += +
Karakteristik köklerin sanal sayı
salınımlı olmasına neden olacaktır.
aralığında salınım gösterirler. t →+
terimine bağlıdır.terimine bağlıdır.
6767
)))) (((( ))))cos sinz h vi z R t i t = + = θ + θ= + = θ + θ= + = θ + θ= + = θ + θ )))) (((( ))))
)))) (((( ))))
cos sinz h vi z R t i t = + = θ + θ= + = θ + θ= + = θ + θ= + = θ + θ
)))) (((( ))))cos sinz h vi z R t i t = − = θ − θ= − = θ − θ= − = θ − θ= − = θ − θ
olması, fark denklemi sisteminin
. sin ve cos fonksiyonları, +1 ile -1
→+∞ iken z1t ve z2t ’nin limitleri, |R|t
1. |R|<1 ise sistem asimptotik olarak
2. |R|=1 ise sistem denge değeri etrafında2. |R|=1 ise sistem denge değeri etrafında
3. |R|>1 ise sistem kararsızdır.
6868
olarak kararlıdır.
etrafında sürekli salınır.etrafında sürekli salınır.
ÖrnekÖrnek 77:: KarmaşıkKarmaşık KöklerKökler DurumuDurumu
10.5 0.3
t t tx x y++++ = += += += +
1t t ty x y++++
= − += − += − += − +
0 0
10 , 5x y
= == == == =
1 0.5 0.3
1 1
t tx x
y y
++++ ====
−−−− 1 1 1
0.5 0.3
t ty y
b
++++
−−−−
−−−− = → == → == → == → =
0.5 0.3(A - bI) 0 0
1 1
b−−−− = → == → == → == → =
− −− −− −− −
21.5 0.8 0b b− + =− + =− + =− + =
1 20.75 0.49 , 0.75 0.49b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −
6969DurumuDurumu
*
= = == = == = == = =*
1
*
1
0
0
t t
t t
x x x
y y y
++++
++++
= = == = == = == = =
= = == = == = == = = 10
t ty y y++++ = = == = == = == = =
0.5 0.3b−−−− = → == → == → == → =
0.5 0.3(A - bI) 0 0
1 1
b
b
−−−− = → == → == → == → =
− −− −− −− −
0.75 0.49 , 0.75 0.49b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −
���� ���� ����1 20.75 0.49 , 0.75 0.49
h v h v
b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −
((((2 2R h v R= + → = + == + → = + == + → = + == + → = + =((((2 2R h v R= + → = + == + → = + == + → = + == + → = + =
|R|=0.89<1 olduğundan, sistem kararlıdır|R|=0.89<1 olduğundan, sistem kararlıdır
y*=0) herhangi bir şekilde uzaklaşıldığında,y*=0) herhangi bir şekilde uzaklaşıldığında,
dönülmektedir. Örneğin başlangıçdönülmektedir. Örneğin başlangıç
seçtiğimiz grafikte, yakınsak süreci
7070
���� ����0.75 0.49 , 0.75 0.49h v h v
b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −
(((( )))) (((( ))))2 2
0.75 0.49 0.89= + → = + == + → = + == + → = + == + → = + =(((( )))) (((( ))))2 2
0.75 0.49 0.89= + → = + == + → = + == + → = + == + → = + =
kararlıdır. Denge noktasından (x*=0 ,kararlıdır. Denge noktasından (x*=0 ,
uzaklaşıldığında, yeniden denge noktasınauzaklaşıldığında, yeniden denge noktasına
başlangıç noktasını x0=10 , y0=10 olarakbaşlangıç noktasını x0=10 , y0=10 olarak
süreci izleyebiliriz (Şekil 7.4a ve 7.4b).
Şekil 7.4a. Örnek 7’de KararlıŞekil 7.4a. Örnek 7’de KararlıŞekil 7.4a. Örnek 7’de KararlıŞekil 7.4a. Örnek 7’de Kararlı
10.0 ( )y t
5.0
0.0 ••••
-5.0
0.0
-10 -5 0••••
-10.0
-5.0
-10.0
-15.0
7171
ekil 7.4a. Örnek 7’de Kararlıekil 7.4a. Örnek 7’de Kararlı--Dalgalı SüreçDalgalı Süreçekil 7.4a. Örnek 7’de Kararlıekil 7.4a. Örnek 7’de Kararlı--Dalgalı SüreçDalgalı Süreç
••••(((( ))))0 0
,x y
( )x t
••••
5 10 15
Şekil 7.4b. Örnek 7’de KararlıŞekil 7.4b. Örnek 7’de KararlıŞekil 7.4b. Örnek 7’de KararlıŞekil 7.4b. Örnek 7’de Kararlı
12
10
12
6
8
4
6
0
2
-2
01 10
7272
ekil 7.4b. Örnek 7’de Kararlıekil 7.4b. Örnek 7’de Kararlı--Dalgalı SüreçDalgalı Süreçekil 7.4b. Örnek 7’de Kararlıekil 7.4b. Örnek 7’de Kararlı--Dalgalı SüreçDalgalı Süreç
x(t)y(t)y(t)
19 28
Şimdi bu fark denkleminin çözümünüŞimdi bu fark denkleminin çözümünü
görelim. Ancak unutmayalım ki, farkgörelim. Ancak unutmayalım ki, fark
çözümü ile kanonik biçimdeki çözümününçözümü ile kanonik biçimdeki çözümünün
aynıdır.aynıdır.
Yukarıda karakteristik kökleri belirlemiştikYukarıda karakteristik kökleri belirlemiştik
karakteristik vektörleri (öz-vektörleri)
7373
çözümünü açık olarak x ve y cinsindençözümünü açık olarak x ve y cinsinden
fark denkleminin x ve y cinsindenfark denkleminin x ve y cinsinden
çözümünün kararlılık davranışlarıçözümünün kararlılık davranışları
belirlemiştik. Bu kökleri kullanarakbelirlemiştik. Bu kökleri kullanarak
vektörleri) bulalım.
1
1(A - I)v 0
bb ====
(((( ))))((((
0.5 0.75 0.49 0.3i − +− +− +− +
(((( ))))((((
0.5 0.75 0.49 0.3
1 1 0.75 0.49
i− +− +− +− +
− +− +− +− +
(((( )))) 1 1
1 20.25 0.49 0.3 0
b bi v v− − + =− − + =− − + =− − + =(((( ))))
(((( ))))
1 20.25 0.49 0.3 0
b b
i v v− − + =− − + =− − + =− − + =
+ − =+ − =+ − =+ − =(((( ))))1 1
1 20.25 0.49 0
b bv i v+ − =+ − =+ − =+ − =
1 1
1 21 0.83 1.63
b bv v i==== ⇒⇒⇒⇒ = += += += +
1 2
7474
(((( ))))
1
10.5 0.75 0.49 0.3 0b
v ==== (((( )))) 1
1
2
0.5 0.75 0.49 0.3 0
1 1 0.75 0.49 0b
v
i v
====
− +− +− +− +
1 10.25 0.49 0.3 0b b
i v v− − + =− − + =− − + =− − + =0.25 0.49 0.3 0i v v− − + =− − + =− − + =− − + =
0.25 0.49 0
1 0.83 1.63v v i
2
2(A - I)v 0
bb ====
(((( ))))((((
0.5 0.75 0.49 0.3i − −− −− −− −
(((( ))))((((
0.5 0.75 0.49 0.3
1 1 0.75 0.49
i− −− −− −− −
− −− −− −− −
(((( )))) 2 2
1 20.25 0.49 0.3 0
b bi v v− + + =− + + =− + + =− + + =(((( ))))
(((( ))))
1 20.25 0.49 0.3 0
b b
i v v− + + =− + + =− + + =− + + =
+ + =+ + =+ + =+ + =(((( ))))2 2
1 20.25 0.49 0
b bv i v+ + =+ + =+ + =+ + =
2 2
1 21 0.83 1.63
b bv v i==== ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= −
1 2
7575
(((( ))))
2
10.5 0.75 0.49 0.3 0b
v ==== (((( )))) 2
1
2
0.5 0.75 0.49 0.3 0
1 1 0.75 0.49 0b
v
i v
====
− −− −− −− −
2 2
1 20.25 0.49 0.3 0
b bi v v− + + =− + + =− + + =− + + =
1 20.25 0.49 0.3 0i v v− + + =− + + =− + + =− + + =
0.25 0.49 0
1 0.83 1.63v v i
1 2 1 1b bv v
= == == == =1 2
1 2
1 1
2 2
1 1V
0.83 1.63 0.83 1.63b b
v v
v v
= == == == =
+ −+ −+ −+ − 2 2
0.5 0.26 0.31
v v
i i
+ −+ −+ −+ − -10.5 0.26 0.31
V0.5 0.26 0.31
i i
i i
+ −+ −+ −+ − ====
−−−−
((((
0.5 0.26 0.31i i−−−−
((((1
0.75 0.49 00J
0 0 0.75 0.49
t
t
t
b
b
++++ = == == == = 2
J0 0 0.75 0.49
tb= == == == =
7676
1 1 1 1
0.83 1.63 0.83 1.63i i
+ −+ −+ −+ −
0.5 0.26 0.31i i
0.5 0.26 0.31
0.5 0.26 0.31
i i
i i
))))
0.5 0.26 0.31
t
i i
))))
(((( ))))
0.75 0.49 0
0 0.75 0.49
t
t
i
i
−−−−(((( ))))0 0.75 0.49
ti −−−−
0 0 010 , 5 , ux y= = = == = = == = = == = = =
1 -1
0u = VJ V u
t t
t
x
y
++++ ==== 0
1
u = VJ V ut
ty ++++
====
(((( )))) ((((
(((( )))) ((((1
0.66 2.36 0.75 0.49 0.66 2.36 0.75 0.49
4.39 0.90 0.75 0.49 4.39 0.90 0.75 0.49
ti i i ix
y i i i i
++++ + − + − ++ − + − ++ − + − ++ − + − + ==== + − + − ++ − + − ++ − + − ++ − + − + (((( )))) ((((1 4.39 0.90 0.75 0.49 4.39 0.90 0.75 0.49t
y i i i i++++
==== + − + − ++ − + − ++ − + − ++ − + − +
7777
6.58u −−−− 01
02
6.58
4.39
u
u
−−−− = = = == = = == = = == = = =
02 4.39u
)))) (((( )))) (((( ))))
)))) (((( )))) (((( ))))
0.66 2.36 0.75 0.49 0.66 2.36 0.75 0.49
4.39 0.90 0.75 0.49 4.39 0.90 0.75 0.49
t t
t t
i i i i
i i i i
+ − + − ++ − + − ++ − + − ++ − + − + + − + − ++ − + − ++ − + − ++ − + − +)))) (((( )))) (((( ))))4.39 0.90 0.75 0.49 4.39 0.90 0.75 0.49
t ti i i i + − + − ++ − + − ++ − + − ++ − + − +
ÖrnekÖrnek 88:: KarmaşıkKarmaşık KöklerKökler DurumuDurumu
12
t t tx x y++++ = += += += +
1
1
t t t
t t ty x y
++++
++++
= − += − += − += − + 1
1 1 2
t t t
t tx x
++++
++++
====
1
1
1 2
1 1
t t
t t
x x
y y
++++
++++
====
−−−−
1 2(A - bI) 0 0
1 1
b−−−− = → == → == → == → =
− −− −− −− −
2
(A - bI) 0 01 1
2 3 0b b
= → == → == → == → = − −− −− −− −
− + =− + =− + =− + =2 2 3 0b b− + =− + =− + =− + =
= + = −= + = −= + = −= + = −1 2
1 2 , 1 2b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −
7878DurumuDurumu
*
10
t tx x x++++ = = == = == = == = =
1
*
1
0
0
t t
t t
x x x
y y y
++++
++++
= = == = == = == = =
= = == = == = == = =
1 2(A - bI) 0 0
1 1
b
b
= → == → == → == → =
− −− −− −− − (A - bI) 0 0
1 1 b= → == → == → == → =
− −− −− −− −
= + = −= + = −= + = −= + = −1 2 , 1 2b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −
Şekil 7.5a. Örnek 8’de KararsızŞekil 7.5a. Örnek 8’de KararsızŞekil 7.5a. Örnek 8’de KararsızŞekil 7.5a. Örnek 8’de Kararsız
1000.0 ( )y t
500.0
(((( )))),x y0.0
-500 0 500 1000••••(((( ))))0 0
,x y
-1000.0
-500.0
-1500.0
-1000.0
-2000.0
-1500.0
-2000.0
7979
ekil 7.5a. Örnek 8’de Kararsızekil 7.5a. Örnek 8’de Kararsız--Dalgalı SüreçDalgalı Süreçekil 7.5a. Örnek 8’de Kararsızekil 7.5a. Örnek 8’de Kararsız--Dalgalı SüreçDalgalı Süreç
( )x t
1000 1500 2000 2500
( )x t
Şekil 7.5b. Örnek 8’de KararsızŞekil 7.5b. Örnek 8’de KararsızŞekil 7.5b. Örnek 8’de KararsızŞekil 7.5b. Örnek 8’de Kararsız
150
50
100
150
-50
0
50
1
-100
-501
-200
-150
-300
-250
8080
ekil 7.5b. Örnek 8’de Kararsızekil 7.5b. Örnek 8’de Kararsız--Dalgalı SüreçDalgalı Süreçekil 7.5b. Örnek 8’de Kararsızekil 7.5b. Örnek 8’de Kararsız--Dalgalı SüreçDalgalı Süreç
1010
x(t)y(t)y(t)
ÖrnekÖrnek 99:: KarmaşıkKarmaşık KöklerKökler DurumuDurumu
10.5 0.5
t t tx x y++++ = += += += + 1
1
0.5 0.5t t t
t t t
x x y
y x y
++++
++++
= += += += +
= − += − += − += − + 1
1 0.5 0.5
t t t
t t
y x y
x x
++++
++++
= − += − += − += − +
====
1
1
0.5 0.5
1 1
t t
t t
x x
y y
++++
++++
====
−−−−
0.5 0.5(A - bI) 0 0
−−−− = → == → == → == → =
− −− −− −− −(A - bI) 0 0
1 1= → == → == → == → =
− −− −− −− −
− + =− + =− + =− + =21.5 1.25 0
0.75 0.66 , 0.75 0.66
b b
b i b i
− + =− + =− + =− + =
= + = −= + = −= + = −= + = −1 2
0.75 0.66 , 0.75 0.66b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −
8181DurumuDurumu
*
10
t tx x x++++ = = == = == = == = =
1
*
1
0
0
t t
t t
x x x
y y y
++++
++++
= = == = == = == = =
= = == = == = == = =
0.5 0.5(A - bI) 0 0
b−−−− = → == → == → == → =
− −− −− −− −(A - bI) 0 0
1 1 b= → == → == → == → =
− −− −− −− −
0.75 0.66 , 0.75 0.66b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −0.75 0.66 , 0.75 0.66b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −
0.75 0.66 , 0.75 0.66b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −1 2
0.75 0.66 , 0.75 0.66b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −
2 2R h v R= + → = + == + → = + == + → = + == + → = + =
|R|=1 olduğundan, sistem belirsizdir|R|=1 olduğundan, sistem belirsizdir
Denge noktasından (x*=0 , y*=0) herhangiDenge noktasından (x*=0 , y*=0) herhangi
denge noktasına yeniden dönülememekte,denge noktasına yeniden dönülememekte,
etrafında aynı salınım yinelenmektedir
x0=5 , y0=5 olarak seçtiğimiz grafikte,
(Şekil 7.6a ve 7.6b).
8282
0.75 0.66 , 0.75 0.66b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −0.75 0.66 , 0.75 0.66b i b i= + = −= + = −= + = −= + = −
(((( )))) (((( ))))2 2
0.75 0.66 1= + → = + == + → = + == + → = + == + → = + =
belirsizdir (ne ıraksak ne de yakınsak).belirsizdir (ne ıraksak ne de yakınsak).
herhangi bir şekilde uzaklaşıldığında,herhangi bir şekilde uzaklaşıldığında,
dönülememekte, başlangıç noktasınındönülememekte, başlangıç noktasının
yinelenmektedir. Örneğin başlangıç noktasını
grafikte, tekrarlı dalgalı süreci izleyebiliriz
Şekil 7.6a. Örnek 9’da BelirsizŞekil 7.6a. Örnek 9’da BelirsizŞekil 7.6a. Örnek 9’da BelirsizŞekil 7.6a. Örnek 9’da Belirsiz
8.0
10.0
4.0
6.0
8.0
0.0
2.0
4.0
-2.0
0.0
-6 -4 -2 0
-6.0
-4.0
-10.0
-8.0
8383
ekil 7.6a. Örnek 9’da Belirsizekil 7.6a. Örnek 9’da Belirsiz--Dalgalı SüreçDalgalı Süreçekil 7.6a. Örnek 9’da Belirsizekil 7.6a. Örnek 9’da Belirsiz--Dalgalı SüreçDalgalı Süreç
( )y t
••••(((( ))))0 0
,x y
( )x t
••••
••••
0 2 4 6
( )x t
Şekil 7.6b. Örnek 9’da BelirsizŞekil 7.6b. Örnek 9’da BelirsizŞekil 7.6b. Örnek 9’da BelirsizŞekil 7.6b. Örnek 9’da Belirsiz
10
12
6
8
4
6
0
2
-2
01 10
8484
ekil 7.6b. Örnek 9’da Belirsizekil 7.6b. Örnek 9’da Belirsiz--Dalgalı SüreçDalgalı Süreçekil 7.6b. Örnek 9’da Belirsizekil 7.6b. Örnek 9’da Belirsiz--Dalgalı SüreçDalgalı Süreç
x(t)y(t)y(t)
19 28
FarkFark DenklemiDenklemi SistemininSisteminin SüreçSüreçFarkFark DenklemiDenklemi SistemininSisteminin SüreçSüreç
Aşağıdaki fark denklemi sistemini dikkateAşağıdaki fark denklemi sistemini dikkate
1 0 1 2 1 1t t t t t tx x y x x x+ + ++ + ++ + ++ + +∆ = α + α + α ∆ = −∆ = α + α + α ∆ = −∆ = α + α + α ∆ = −∆ = α + α + α ∆ = −
1 0 1 2 1 1t t t t t ty x y y y y+ + ++ + ++ + ++ + +∆ = β + β + β ∆ = −∆ = β + β + β ∆ = −∆ = β + β + β ∆ = −∆ = β + β + β ∆ = −
Şimdi bu sistemi denge değerlerindenŞimdi bu sistemi denge değerlerinden
tanımlayalım. Dengede,
* *
1 1,
t t t tx x x y y y+ ++ ++ ++ += = = == = = == = = == = = =
1 1,
t t t tx x x y y y+ ++ ++ ++ += = = == = = == = = == = = =
8585
SüreçSüreç GrafikleriyleGrafikleriyle GösterilmesiGösterilmesiSüreçSüreç GrafikleriyleGrafikleriyle GösterilmesiGösterilmesi
dikkate alalım.dikkate alalım.
1 0 1 2 1 1,
t t t t t tx x y x x x+ + ++ + ++ + ++ + +∆ = α + α + α ∆ = −∆ = α + α + α ∆ = −∆ = α + α + α ∆ = −∆ = α + α + α ∆ = −
1 0 1 2 1 1,
t t t t t ty x y y y y+ + ++ + ++ + ++ + +∆ = β + β + β ∆ = −∆ = β + β + β ∆ = −∆ = β + β + β ∆ = −∆ = β + β + β ∆ = −
değerlerinden sapmalar olarak yenidendeğerlerinden sapmalar olarak yeniden
* *
1 1,
t t t tx x x y y y+ ++ ++ ++ += = = == = = == = = == = = =
1 1,
t t t tx x x y y y+ ++ ++ ++ += = = == = = == = = == = = =
x x x y− = α + α + α− = α + α + α− = α + α + α− = α + α + α1 0 1 2t t t t
x x x y
y y x y
++++ − = α + α + α− = α + α + α− = α + α + α− = α + α + α
− = β + β + β− = β + β + β− = β + β + β− = β + β + β1 0 1 2t t t t
y y x y++++ − = β + β + β− = β + β + β− = β + β + β− = β + β + β
* *
0 1 20 x y= α + α + α= α + α + α= α + α + α= α + α + α
* *
0 1 20 x y= β + β + β= β + β + β= β + β + β= β + β + β
((((
0 1 2
((((1 0 1 2t t tx x x y y++++∆ = α + α − + α −∆ = α + α − + α −∆ = α + α − + α −∆ = α + α − + α −
((((1 0 1 2t t ty x x y y++++∆ = β + β − + β −∆ = β + β − + β −∆ = β + β − + β −∆ = β + β − + β −((((1 0 1 2t t t++++
8686
x x x y− = α + α + α− = α + α + α− = α + α + α− = α + α + α1 0 1 2t t t t
x x x y
y y x y
− = α + α + α− = α + α + α− = α + α + α− = α + α + α
− = β + β + β− = β + β + β− = β + β + β− = β + β + β1 0 1 2t t t t
y y x y− = β + β + β− = β + β + β− = β + β + β− = β + β + β
* *x y
* *x y
)))) (((( )))))))) (((( ))))* *
1 0 1 2t t tx x x y y∆ = α + α − + α −∆ = α + α − + α −∆ = α + α − + α −∆ = α + α − + α −
)))) (((( ))))* *
1 0 1 2t t ty x x y y∆ = β + β − + β −∆ = β + β − + β −∆ = β + β − + β −∆ = β + β − + β −)))) (((( ))))1 0 1 2t t t
Dikkate aldığımız fark denklemiDikkate aldığımız fark denklemi
kısıtlamalar koyarak, süreç grafiklerini
1 0 1 2 1 2t t tx x y++++∆ = α + α + α α α >∆ = α + α + α α α >∆ = α + α + α α α >∆ = α + α + α α α >
1 0 1 2 1 2
1 0 1 2 1 2
t t t
t t ty x y
++++
++++∆ = β + β + β β > β <∆ = β + β + β β > β <∆ = β + β + β β > β <∆ = β + β + β β > β <1 0 1 2 1 2t t t++++
−α−α−α−α1
0t t t
x y x++++
−α−α−α−α∆ =∆ =∆ =∆ = ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= −
α αα αα αα α α αα αα αα α
10
t t ty y x++++
−β−β−β−β∆ =∆ =∆ =∆ = ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= −
β ββ ββ ββ β 1
0t t t
y y x++++∆ =∆ =∆ =∆ = ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= − β ββ ββ ββ β
8787
denklemi sisteminin katsayılarına çeşitlidenklemi sisteminin katsayılarına çeşitli
grafiklerini (phase diagrams) çizebiliriz.
1 0 1 2 1 2, , 0
t t tx x y∆ = α + α + α α α >∆ = α + α + α α α >∆ = α + α + α α α >∆ = α + α + α α α >
1 0 1 2 1 2
1 0 1 2 1 2, 0 , 0
t t t
t t ty x y∆ = β + β + β β > β <∆ = β + β + β β > β <∆ = β + β + β β > β <∆ = β + β + β β > β <
1 0 1 2 1 2t t t
−α−α−α−α αααα0 1
2 2
t t tx y x
−α−α−α−α αααα= −= −= −= −
α αα αα αα α 2 2α αα αα αα α
0 1
t t ty y x
−β−β−β−β ββββ= −= −= −= −
β ββ ββ ββ β 2 2
t t ty y x= −= −= −= −
β ββ ββ ββ β
∆xt+1=0 ve ∆yt+1=0 için elde ettiğimiz∆xt+1=0 ve ∆yt+1=0 için elde ettiğimiz
nasıl gelişeceğini belirlemede kullanacağımız
(isoclines). Bunların üstünde ve
belirleyerek, bu referanslar dışındaki
görebiliriz.görebiliriz.
00 , , 0x y x −α−α−α−α
∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ > − α α >> − α α >> − α α >> − α α > 0
1 1 2
2 2
0 , , 0t t t
x y x++++
−α−α−α−α∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ > − α α >> − α α >> − α α >> − α α >
α αα αα αα α
−α−α−α−α0
1 1 20 , , 0
t t tx y x++++
−α−α−α−α∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ < − α α >< − α α >< − α α >< − α α >
α αα αα αα α 2 2
++++α αα αα αα α
8888
ettiğimiz xt ve yt denklemleri, süreçlerinettiğimiz xt ve yt denklemleri, süreçlerin
kullanacağımız eş-denge eğrileridir
ve altındaki diğer vektörleri de
dışındaki süreçlerin de nasıl oluşacağını
10 , , 0x y x αααα
> − α α >> − α α >> − α α >> − α α > 1
1 1 2
2 2
0 , , 0t t t
x y x αααα
> − α α >> − α α >> − α α >> − α α > α αα αα αα α
αααα1
1 1 20 , , 0
t t tx y x
αααα< − α α >< − α α >< − α α >< − α α >
α αα αα αα α 2 2α αα αα αα α
0
1 1 20 , 0 , 0
t t ty y x++++
−β−β−β−β∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ < − β > β << − β > β << − β > β << − β > β <
β ββ ββ ββ β1 1 2
2 2
0 , 0 , 0t t t
y y x++++∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ < − β > β << − β > β << − β > β << − β > β < β ββ ββ ββ β
0 −β−β−β−β
∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ > − β > β <> − β > β <> − β > β <> − β > β <0
1 1 2
2 2
0 , 0 , 0t t t
y y x++++
−β−β−β−β∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ > − β > β <> − β > β <> − β > β <> − β > β <
β ββ ββ ββ β 2 2
Birinci eş-denge eğrisinin eğiminin
pozitif olacağına dikkat edelim. Bunapozitif olacağına dikkat edelim. Buna
grafiklerini Şekil 7.7a ve 7.7b olarakgrafiklerini Şekil 7.7a ve 7.7b olarak
8989
1
1 1 20 , 0 , 0
t t ty y x
ββββ< − β > β << − β > β << − β > β << − β > β <
β ββ ββ ββ β1 1 2
2 2
0 , 0 , 0t t t
y y x< − β > β << − β > β << − β > β << − β > β < β ββ ββ ββ β
1 ββββ
> − β > β <> − β > β <> − β > β <> − β > β <1
1 1 2
2 2
0 , 0 , 0t t t
y y x ββββ
> − β > β <> − β > β <> − β > β <> − β > β < β ββ ββ ββ β 2 2
eğiminin negatif, ikincinin eğiminin de
Buna göre, eş-denge eğrileri ve süreçBuna göre, eş-denge eğrileri ve süreç
olarak çizdik.olarak çizdik.
Şekil 7.7a. Süreç GrafiğŞekil 7.7a. Süreç GrafiğŞekil 7.7a. Süreç GrafiğŞekil 7.7a. Süreç Grafiğ
ve Eşve Eş--Denge EDenge E
ty
ty
10
tx ++++∆ <∆ <∆ <∆ <
00
9090ekil 7.7a. Süreç Grafiği (ekil 7.7a. Süreç Grafiği (Phase DiagramPhase Diagram) ) ekil 7.7a. Süreç Grafiği (ekil 7.7a. Süreç Grafiği (Phase DiagramPhase Diagram) )
Denge EğrileriDenge Eğrileri
0x∆ >∆ >∆ >∆ >1
0t
x ++++∆ >∆ >∆ >∆ >
0x∆ =∆ =∆ =∆ =
tx
10
tx ++++∆ =∆ =∆ =∆ =
tx
Şekil 7.7b. Süreç GrafiğŞekil 7.7b. Süreç Grafiğ
ve Eşve Eş--Denge EDenge E
ty
ty
10
ty ++++∆ <∆ <∆ <∆ <
10
ty ++++∆ <∆ <∆ <∆ <
00
9191ekil 7.7b. Süreç Grafiği (ekil 7.7b. Süreç Grafiği (Phase DiagramPhase Diagram) )
Denge EğrileriDenge Eğrileri
0y∆ =∆ =∆ =∆ =1
0t
y ++++∆ =∆ =∆ =∆ =
0y∆ >∆ >∆ >∆ >1
0t
y ++++∆ >∆ >∆ >∆ >
xt
x
Şekil 7.7a ve 7.7b olarak çizdiğimiz
dengesi biçiminde oluştuğunu göstermektedir
dengeden uzaklaşma, y vektörüne
konusudur. Şimdi her iki vektörü
üstünde gösterelim ve süreç kuvvetleriniüstünde gösterelim ve süreç kuvvetlerini
ile çizdik.ile çizdik.
9292
çizdiğimiz süreç grafikleri, dengenin eyer
göstermektedir. x vektörüne göre
vektörüne göre de dengeye yaklaşma söz
vektörü (eş-denge eğrilerini) tek grafik
kuvvetlerini de belirtelim. Bunu Şekil 7.8kuvvetlerini de belirtelim. Bunu Şekil 7.8
Şekil 7.8. Süreç Grafiği ve Vektörel KuvvetlerŞekil 7.8. Süreç Grafiği ve Vektörel KuvvetlerŞekil 7.8. Süreç Grafiği ve Vektörel KuvvetlerŞekil 7.8. Süreç Grafiği ve Vektörel Kuvvetler
ty
ty
Kararlı YolKararlı Yol
••••*y
0 *x
9393
ekil 7.8. Süreç Grafiği ve Vektörel Kuvvetlerekil 7.8. Süreç Grafiği ve Vektörel Kuvvetlerekil 7.8. Süreç Grafiği ve Vektörel Kuvvetlerekil 7.8. Süreç Grafiği ve Vektörel Kuvvetler
10
ty ++++∆ =∆ =∆ =∆ =
Kararsız Yol
10
tx ++++∆ =∆ =∆ =∆ =
tx
ÖrnekÖrnek 1010::
112 0.3 3
t t tx x y++++∆ = − + +∆ = − + +∆ = − + +∆ = − + +
1
1
12 0.3 3
4 0.25 1.5
t t t
t t t
x x y
y x y
++++
++++
∆ = − + +∆ = − + +∆ = − + +∆ = − + +
∆ = + −∆ = + −∆ = + −∆ = + −1
4 0.25 1.5t t t
y x y++++∆ = + −∆ = + −∆ = + −∆ = + −
10 4 0.1
t t tx y x++++∆ =∆ =∆ =∆ = ⇒⇒⇒⇒ = −= −= −= −
10 2.67 0.17
t t ty y x++++∆ =∆ =∆ =∆ = ⇒⇒⇒⇒ = += += += +
İlk olarak sistemi, bu denge değerlerindenİlk olarak sistemi, bu denge değerlerinden
çözümünü elde edelim. Ardından daçözümünü elde edelim. Ardından da
9494
* *0 4 0.1
5 , 3.5t t t
x y xx y
= == == == =
* *5 , 3.50 2.67 0.17
t t t
x yy y x
= == == == =
değerlerinden sapmalara göre yazalım vedeğerlerinden sapmalara göre yazalım ve
da dinamik davranışını belirleyelim.da dinamik davranışını belirleyelim.
1 112 0.3 3
t t t t tx x x x y+ ++ ++ ++ +∆ = − = − + +∆ = − = − + +∆ = − = − + +∆ = − = − + +
1 1
112 1.3 3
t t t t t
t t tx x y
+ ++ ++ ++ +
++++ = − + += − + += − + += − + +1
* * *12 1.3 3
t t t
x x y
++++
= − + += − + += − + += − + +
(((( )))) ((((* * *
11.3 3
t t tx x x x y y++++ − = − + −− = − + −− = − + −− = − + −(((( )))) ((((1
1.3 3
4 0.25 1.5
t t tx x x x y y
y y y x y
++++ − = − + −− = − + −− = − + −− = − + −
∆ = − = + −∆ = − = + −∆ = − = + −∆ = − = + −1 1
4 0.25 1.5
4 0.25 0.5
t t t t ty y y x y
y x y
+ ++ ++ ++ +∆ = − = + −∆ = − = + −∆ = − = + −∆ = − = + −
= + −= + −= + −= + −1
* * *
4 0.25 0.5
4 0.25 0.5
t t ty x y
y x y
++++ = + −= + −= + −= + −
= + −= + −= + −= + −
(((( )))) ((((
* * *
* * *
4 0.25 0.5
0.25 0.5
y x y
y y x x y y
= + −= + −= + −= + −
− = − − −− = − − −− = − − −− = − − −(((( )))) ((((* * *
10.25 0.5
t t ty y x x y y++++ − = − − −− = − − −− = − − −− = − − −
12 0.3 3t t t t t
x x x x y∆ = − = − + +∆ = − = − + +∆ = − = − + +∆ = − = − + +9595
t t t t t
t t tx x y
t t t
)))) (((( ))))* * *1.3 3t t t
x x x x y y− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −)))) (((( ))))1.3 3
4 0.25 1.5
t t tx x x x y y
y y y x y
− = − + −− = − + −− = − + −− = − + −
∆ = − = + −∆ = − = + −∆ = − = + −∆ = − = + −4 0.25 1.5t t t t t
y y y x y
y x y
∆ = − = + −∆ = − = + −∆ = − = + −∆ = − = + −
t t ty x y
y x y
)))) (((( ))))* * *0.25 0.5
y x y
y y x x y y− = − − −− = − − −− = − − −− = − − −)))) (((( ))))* * *0.25 0.5t t t
y y x x y y− = − − −− = − − −− = − − −− = − − −
Buna göre, denge değerleri yakınındaBuna göre, denge değerleri yakınında
sistemin dengeden sapmalarına
katsayılarının oluşturacağı matris ile
1 3 3A
. ====
−−−−A
0 25 0 5. .====
−−−−
Öz-değerleri bulalım.
−−−−1 3 3A - bI 0 8 1 4
0 25 0 5
. b
. . b
−−−−= = − −= = − −= = − −= = − −
− −− −− −− −0 25 0 5
1 65 0 85
. . b
b . , b .
− −− −− −− −
= = −= = −= = −= = −1 2
1 65 0 85b . , b .= = −= = −= = −= = −
9696
yakınında sistemin dinamik davranışı,yakınında sistemin dinamik davranışı,
göre belirlediğimiz denklemlerin
ile belirlenecektir.
21 3 3
A - bI 0 8 1 40 25 0 5
b . b .. . b
= = − −= = − −= = − −= = − −− −− −− −− −0 25 0 5
1 65 0 85
. . b− −− −− −− −
1 65 0 85
Şimdi de öz-vektörleri belirleyelim.
11 65b .====
0 35 3A - I
.b
−−−−====
1
0 35 3A - I
0 25 2 15
.b
. .
−−−−====
−−−−
0 35 3 0A - I v 0
b.
b−−−−
= → == → == → == → =
v
1
1
0 35 3 0A - I v 0
0 25 2 15 0
b.
b. .
−−−− = → == → == → == → =
1 10 35 3 0b b
. v v − + =− + =− + =− + =1 1
1 20 35 3 0
b b
. v v
v , v .
− + =− + =− + =− + =− =− =− =− =1 1
1 20 25 2 15 0
b b. v . v − =− =− =− =
9797
1
10 35 3 0b. v
= → == → == → == → =
1vb
1
1
2
0 35 3 0
0 25 2 15 0b
. v
. . v
= → == → == → == → =
−−−−
1 1
2 11 8 6
b bv , v .= == == == =
0 85b .= −= −= −= −2
0 85b .= −= −= −= −
2
2 15 3A - I
0 25 0 35
.b
. .====
2A - I
0 25 0 35b
. .====
2
2
2 15 3 0A - I v 0
0 25 0 35 0
b.
b. .
= → == → == → == → =
2
A - I v 00 25 0 35 0
b. .
= → == → == → == → =
2 2
1 22 15 3 0
b b. v v + =+ =+ =+ =
2 2
1 20 25 0 35 0
b b. v . v
+ =+ =+ =+ = 1 2
0 25 0 35 0. v . v+ =+ =+ =+ =
9898
2
12 15 3 0
0 25 0 35 0
b
b
. v
. . v
= → == → == → == → =
2
20 25 0 35 0b. . v
= → == → == → == → =
1 1 4b b
v , v .
= = −= = −= = −= = − 2 2
2 11 1 4
b bv , v .
= = −= = −= = −= = −
8 6 1 4. . 1 2
8 6 1 4V v v
1 1
b b. .
= == == == =
Ayrıca Jordan matrisini de yazalım.
(((( ))))10
tb
= == =(((( ))))
(((( ))))1
1
0J
0
t
t
b
b
= == == == = (((( ))))1
0 b
u0 için rasgele değerler alarak sistemin
0
1u
2
====
02
9999
8 6 1 4. .−−−− 8 6 1 4
1 1
. .−−−−
(((( ))))1 65 0t
. (((( ))))
(((( ))))
1 65 0
0 0 85t
.
.
−−−− (((( ))))0 0 85.−−−−
sistemin çözümü bulalım.
-1u VJ V u
t tx
= == == == = -1
0u VJ V u
t t
t
ty
= == == == =
(((( )))) ((((2 26 0 85 3 26 1 65t t
tx . . . .= − − += − − += − − += − − +(((( )))) ((((
(((( )))) ((((
2 26 0 85 3 26 1 65
1 62 0 85 0 38 1 65
t
t t
x . . . .
y . . . .
= − − += − − += − − += − − +
= − += − += − += − +(((( )))) ((((1 62 0 85 0 38 1 65t t
ty . . . .= − += − += − += − +
Sistemin çözümünü bu şekilde elde
dinamik davranışlarını inceleyelimdinamik davranışlarını inceleyelim
eğrilerini belirlemiştik. Bunları yenideneğrilerini belirlemiştik. Bunları yeniden
bölgelerindeki davranışların (vektörsel
bakalım.
100100
(((( ))))2 26 0 85 3 26 1 65t t
x . . . .(((( ))))
))))
2 26 0 85 3 26 1 65
1 62 0 85 0 38 1 65t t
x . . . .
y . . . . ))))1 62 0 85 0 38 1 65t t
y . . . .
elde ettikten sonra, süreç grafikleriyle
inceleyelim. Örneğin en başında eş-dengeinceleyelim. Örneğin en başında eş-denge
yeniden yazalım ve bunların üst ve altyeniden yazalım ve bunların üst ve alt
(vektörsel kuvvetlerin) ne olacağına
4 0.1y x= −= −= −= −4 0.1
2.67 0.17
t ty x
y x
= −= −= −= −
= += += += +2.67 0.17
0 4 0.1
t ty x
x y x
= += += += +
∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ > −> −> −> −1
0 4 0.1
0 4 0.1
t t tx y x
x y x
++++∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ > −> −> −> −
∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ < −< −< −< −1
0 4 0.1t t t
x y x++++∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ < −< −< −< −
10 2.67 0.17
t t ty y x++++∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ > +> +> +> +
10 2.67 0.17
t t ty y x++++∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ < +< +< +< +
Eş-denge eğrileri ve vektörsel kuvvetler,
101101
0 4 0.1x y x> −> −> −> −0 4 0.1
0 4 0.1
t t tx y x
x y x
> −> −> −> −
< −< −< −< −0 4 0.1t t t
x y x< −< −< −< −
0 2.67 0.17t t t
y y x> +> +> +> +
0 2.67 0.17t t t
y y x< +< +< +< +
kuvvetler, Şekil 7.9’da çizilmiştir.
Şekil 7.9. Süreç Grafiği ve Vektörsel KuvvetlerŞekil 7.9. Süreç Grafiği ve Vektörsel KuvvetlerŞekil 7.9. Süreç Grafiği ve Vektörsel KuvvetlerŞekil 7.9. Süreç Grafiği ve Vektörsel Kuvvetler
ty
ty
Kararlı Yol
4
••••3 5*y .====
2 67.
0 5*x ====
ği ve Vektörsel Kuvvetlerği ve Vektörsel Kuvvetler102102
ği ve Vektörsel Kuvvetlerği ve Vektörsel Kuvvetler
10
ty ++++∆ =∆ =∆ =∆ =
Kararsız YolKararsız Yol
10
tx ++++∆ =∆ =∆ =∆ =
10
tx ++++∆ =∆ =∆ =∆ =
tx
Şekil 7.9’da da kararlı sürecin yalnızcaŞekil 7.9’da da kararlı sürecin yalnızca
olanaklı hale geldiği görülebilmektedirolanaklı hale geldiği görülebilmektedir
üzerinde bulunmadığı diğer tüm
dengeden uzaklaşan) bir dinamik davranış
103103
yalnızca kararlı yol üzerindeykenyalnızca kararlı yol üzerindeyken
görülebilmektedir. Başlangıç noktasının bu yolungörülebilmektedir. Başlangıç noktasının bu yolun
durumlar, sistemin kararsız (yani
davranış izlemesine neden olacaktır.
EkonomideEkonomide İçİç veve DışDış DengeDengeEkonomideEkonomide İçİç veve DışDış DengeDenge
Ekonomide aynı anda iç dengenin tamEkonomide aynı anda iç dengenin tam
düzeyi ve dış dengenin de ödemelerdüzeyi ve dış dengenin de ödemeler
amaçlandığı bir politika karması düşünelimamaçlandığı bir politika karması düşünelim
iki farklı politikanın gerçekleştirilebilmesi
duyulur. Birincisi iç dengenin
harcama politikası, ikincisi dış dengenin
yurt dışı sermaye akışlarını etkileyecek
politika aracını, dengeden sapmalarapolitika aracını, dengeden sapmalara
104104
tam istihdamı karşıladığı reel GSYİHtam istihdamı karşıladığı reel GSYİH
ödemeler bilançosu dengesi ile sağlamanınödemeler bilançosu dengesi ile sağlamanın
düşünelim. Tinbergen’e göre (1956),düşünelim. Tinbergen’e göre (1956),
gerçekleştirilebilmesi için, iki farklı araca gerek
gerçekleştirilebilmesi için kamu
dengenin gerçekleştirilebilmesi için,
etkileyecek olan faiz oranı. Şimdi bu iki
sapmalara göre tanımlayalım.sapmalara göre tanımlayalım.
((((∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <((((1 1 1 1t t t t tg g g k g g k+ ++ ++ ++ +∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <
((((1 1 2 2t t t t tr r r k r r k+ ++ ++ ++ +∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <((((1 1 2 2t t t t t+ ++ ++ ++ +
Burada , t dönemindeki hedeflenen*
tg
dönemindeki hedeflenen faiz oranıdır
Bunu sayısal değerleri dikkate alarakBunu sayısal değerleri dikkate alarak
İç ve dış dengenin (bir modeldenİç ve dış dengenin (bir modelden
tanımlanmış olduğunu varsayalım.
))))*∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <
105105
))))*
1 1 1 1, 0
t t t t tg g g k g g k∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <
))))*
1 1 2 2, 0
t t t t tr r r k r r k∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <∆ = − = − <))))1 1 2 2t t t t t
hedeflenen kamu harcamaları düzeyi; , t*
tr
oranıdır.
alarak çözelim.alarak çözelim.
modelden hareketle) aşağıdaki gibimodelden hareketle) aşağıdaki gibi
3.925 0.5r g= − += − += − += − +3.925 0.5
7.958 0.186
t tr g
r g
= − += − += − += − +
= += += += +
İç Denge :
7.958 0.186t t
r g= += += += +Dış Denge :
İç ve dış dengenin oluştuğu durumlarda,
*7.85 2
t tg r= += += += +
* 7.958 0.186
t t
t tr g= += += += +7.958 0.186
t tr g= += += += +
Buna göre, iç ve dış dengedeki değişimlerin
kamu harcama politikası ve faiz politikasınıkamu harcama politikası ve faiz politikasını
3.925 0.5r g= − += − += − += − +
106106
3.925 0.5
7.958 0.186
t tr g
r g
= − += − += − += − +
= += += += +7.958 0.186t t
r g= += += += +
durumlarda, şunlar sağlanmış olmalıdır:
7.85 2t t
g r= += += += +
7.958 0.186
t t
t tr g= += += += +7.958 0.186
t tr g= += += += +
değişimlerin sağlanması için gereken
politikasını yazabiliriz.politikasını yazabiliriz.
(((( 7.85 2 , 0g k g r k∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <((((
((((
1 1 17.85 2 , 0
7.958 0.186 , 0
t t tg k g r k
r k r g k
++++∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <
∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <((((1 2 27.958 0.186 , 0
t t tr k r g k++++∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <
Bu iki denklemi ∆gt+1=0 ve ∆rt+1=0Bu iki denklemi ∆gt+1=0 ve ∆rt+1=0
(isoclines) bulabiliriz. Elde edeceğimiz
yurt içi ve yurt dışı dengeyi sağlamaktadır
çözümüyle elde edilecek olan g* ve
aynı anda sağlanabileceği denge kamu
oranını gösterecektir.oranını gösterecektir.
))))7.85 2 , 0g k g r k∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <
107107
))))
))))
1 1 17.85 2 , 0
7.958 0.186 , 0
t t tg k g r k
r k r g k
∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <
∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <))))1 2 27.958 0.186 , 0
t t tr k r g k∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <∆ = − − <
0 için çözerek, eş-denge eğrilerini0 için çözerek, eş-denge eğrilerini
edeceğimiz bu referans vektörler sırasıyla
sağlamaktadır. Her iki denklemin eşanlı
ve r* değerleri de, iç ve dış dengenin
kamu harcama düzeyi ile denge faiz
3.925 0.5r g= − += − += − += − + 3.925 0.5
7.958 0.186
t t
t t
r g
r g
= − += − += − += − +
= += += += +
Kuvvet vektörlerini de aşağıya yazarak,
7.958 0.186t t
r g= += += += +
Kuvvet vektörlerini de aşağıya yazarak,
çizelim.çizelim.
10 3.925 0.5 , .
t t t tg r g r art++++∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ > − +> − +> − +> − +
10 3.925 0.5 , .
t t t tg r g r azal++++∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ < − +< − +< − +< − +
∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ < − +< − +< − +< − +1
0 7.958 0.186 , .
0 7.958 0.186 , .
t t t tr r g r art
r r g r azal
++++∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ < − +< − +< − +< − +
∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ > − +> − +> − +> − +1
0 7.958 0.186 , .t t t t
r r g r azal++++∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ > − +> − +> − +> − +
108108
* *37.84 , 15g r= == == == =
yazarak, süreç grafiğini Şekil 7.10’dayazarak, süreç grafiğini Şekil 7.10’da
0 3.925 0.5 , .t t t t
g r g r artıyor> − +> − +> − +> − +
0 3.925 0.5 , .t t t t
g r g r azalıyor< − +< − +< − +< − +
< − +< − +< − +< − +0 7.958 0.186 , .
0 7.958 0.186 , .
t t t tr r g r artıyor
r r g r azalıyor
< − +< − +< − +< − +
> − +> − +> − +> − +0 7.958 0.186 , .t t t t
r r g r azalıyor> − +> − +> − +> − +
Şekil 7.10. Ekonomide İç ve DıŞekil 7.10. Ekonomide İç ve Dı
Grafiği ve Kuvvet VektörleriGrafiği ve Kuvvet VektörleriGrafiği ve Kuvvet VektörleriGrafiği ve Kuvvet Vektörleri
rt
r
I İç DengeI
••••15*r ==== ••••15*r ====
2 67.
IVIV
0 37 84*g .====
İç ve Dış Denge İçin Süreç İç ve Dış Denge İçin Süreç
i ve Kuvvet Vektörlerii ve Kuvvet Vektörleri
109109
i ve Kuvvet Vektörlerii ve Kuvvet Vektörleri
10
tg ++++∆ =∆ =∆ =∆ =
II
0r∆ =∆ =∆ =∆ =
İç Denge II
10
tr ++++∆ =∆ =∆ =∆ =
Dış Denge
III
tg37 84g .
İç dengeyi gösteren eş-denge eğrisininİç dengeyi gösteren eş-denge eğrisinin
bölgeler) gt artıyor (yatay kuvvet vektörlerit
sağ yöne doğru çizilmiştir), sağ alt
gt azalıyor (yatay kuvvet vektörleri
doğru çizilmiştir). Benzer şekilde
eğrisinin sol üst kısmında (yani I.eğrisinin sol üst kısmında (yani I.
kuvvet vektörleri bunu gösterecekkuvvet vektörleri bunu gösterecek
çizilmiştir), sağ alt kısımda (yani III
kuvvet vektörleri bunu gösterecek
çizilmiştir).
110110
eğrisinin sol üst kısmında (yani I. ve IV.eğrisinin sol üst kısmında (yani I. ve IV.
vektörleri bunu gösterecek biçimde
alt kısımda (yani II. ve III. bölgeler)
vektörleri bunu gösterecek biçimde sol yöne
şekilde dış dengeyi gösteren eş-denge
. ve II. bölgeler) r azalıyor (dikey. ve II. bölgeler) rt azalıyor (dikey
gösterecek biçimde aşağı yöne doğrugösterecek biçimde aşağı yöne doğru
III. ve IV. bölgeler) rt artıyor (dikeyt
gösterecek biçimde yukarı yöne doğru
Dengeden sapma karşısında değiştirebileceğimizDengeden sapma karşısında değiştirebileceğimiz
değişiminin duyarlılık katsayısı (değişiminin duyarlılık katsayısı (
katsayısına (k2) sayısal değerler vererek,katsayısına (k2) sayısal değerler vererek,
yörüngeyi de görebiliriz. Şu değerleri
1 20 5 0 75k . , k .= − = −= − = −= − = −= − = −
1 20 5 0 75k . , k .= − = −= − = −= − = −= − = −
((((10.5 7.85 2
t t tg g r++++∆ = − − −∆ = − − −∆ = − − −∆ = − − −
((((10.75 7.958 0.186
t t tr r g++++∆ = − − −∆ = − − −∆ = − − −∆ = − − −
111111
değiştirebileceğimiz kamu harcamadeğiştirebileceğimiz kamu harcama
(k ) ile, faiz politikası duyarlılık(k1) ile, faiz politikası duyarlılık
vererek, dinamik sürecin izleyeceğivererek, dinamik sürecin izleyeceği
değerleri dikkate alalım:
0 5 0 75k . , k .0 5 0 75k . , k .
))))0.5 7.85 2t t t
g g r∆ = − − −∆ = − − −∆ = − − −∆ = − − −
))))0.75 7.958 0.186t t t
r r g∆ = − − −∆ = − − −∆ = − − −∆ = − − −
13.93 0.5
t t tg g r++++ = + += + += + += + +
= + += + += + += + +1
5.97 0.14 0.25
20 , 9
t t tr g r
g r
++++ = + += + += + += + +
= == == == =0 0
20 , 9g r= == == == =
Bu sistemi ve başlangıç değerlerini
grafikleri Şekil 711a ve Şekil 7.11b
süreç grafiğinde olduğu gibi, sistemsüreç grafiğinde olduğu gibi, sistem
durumdan (g0=37.84, r0=15) , dengeyedurumdan (g0=37.84, r0=15) , dengeye
tadır.
112112
5.97 0.14 0.25t t t
r g r
değerlerini dikkate alan kararlı süreç
b ile gösterilmiştir. Şekil 7.11’deki
sistem kararlı davranarak, denge dışı birsistem kararlı davranarak, denge dışı bir
dengeye (g*=37.84, r*=15) dönüş yapmak-dengeye (g*=37.84, r*=15) dönüş yapmak-
Şekil 7.11a. Ekonomide İç ve DıŞekil 7.11a. Ekonomide İç ve Dı
DavranıDavranıDavranıDavranı
60
70
50
60
40
50
20
30
10
20
0
10
1 101 10
113113ekil 7.11a. Ekonomide İç ve Dış Dengenin Kararlı ekil 7.11a. Ekonomide İç ve Dış Dengenin Kararlı
DavranışıDavranışıDavranışıDavranışı
tr
tgt
r
19 28
t19 28
Şekil 7.11b. Ekonomide İç ve DıŞekil 7.11b. Ekonomide İç ve Dı
DavranıDavranıDavranıDavranı
19.0t
r
17.0
19.0
13.0
15.0
11.0
13.0
••••7.0
9.0 (((( ))))0 0g ,r••••
5.0
7.0
15 20 25 3015 20 25 30
114114ekil 7.11b. Ekonomide İç ve Dış Dengenin Kararlı ekil 7.11b. Ekonomide İç ve Dış Dengenin Kararlı
DavranışıDavranışıDavranışıDavranışı
(((( ))))* *g ,r••••(((( ))))* *g ,r
35 40 45 50t
g35 40 45 50
Şimdi bu örneğe tam tersi bir şekildeŞimdi bu örneğe tam tersi bir şekilde
sağlamak, kamu harcamalarını
kullanalım.
3.925 0.5t t
r g= − += − += − += − +İç Denge :
7.958 0.186
t t
t tr g= += += += +Dış Denge : 7.958 0.186
t tr g= += += += +
* = − += − += − += − +*3.925 0.5
t tr g= − += − += − += − +
* 42.785 5.376t t
g r= − += − += − += − +
115115
şekilde yaklaşım. Faiz oranını iç dengeyişekilde yaklaşım. Faiz oranını iç dengeyi
da dış dengeyi sağlamak için
3.925 0.5t t
r g= − += − += − += − +
7.958 0.186
t t
t tr g= += += += +7.958 0.186
t tr g= += += += +
= − += − += − += − +3.925 0.5t t
r g= − += − += − += − +
42.785 5.376t t
g r= − += − += − += − +
(((( )))) ((((* 3.925 0.5 , 0r k r r k r g k∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <(((( )))) ((((
(((( )))) ((((
*
1 3 3 33.925 0.5 , 0
t t t t tr k r r k r g k++++∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <
(((( )))) ((((*
1 4 4 4t t t t tg k g g k g r k++++∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <
Bu iki denklemi ∆gt+1=0 ve ∆rt+1=0Bu iki denklemi ∆gt+1=0 ve ∆rt+1=0
(isoclines) bulabiliriz. Elde edeceğimiz
yurt içi ve yurt dışı dengeyi sağlamaktadır
çözümüyle elde edilecek olan r* ve
aynı anda sağlanabileceği denge faiz
düzeyini gösterecektir.düzeyini gösterecektir.
))))3.925 0.5 , 0r k r r k r g k∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <
116116
))))
))))
1 3 3 33.925 0.5 , 0
t t t t tr k r r k r g k∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <
))))1 4 4 442.785 5.376 , 0
t t t t tg k g g k g r k∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <∆ = − = + − <
0 için çözerek, eş-denge eğrilerini0 için çözerek, eş-denge eğrilerini
edeceğimiz bu referans vektörler sırasıyla
sağlamaktadır. Her iki denklemin eşanlı
g* değerleri de, iç ve dış dengenin
faiz oranı ile denge kamu harcama
3.925 0.5t t
r g= − += − += − += − + 3.925 0.5
7.958 0.186
t t
t t
r g
r g
= − += − += − += − +
= += += += +
Kuvvet vektörlerini de aşağıya yazarak,
7.958 0.186t t
r g= += += += +
Kuvvet vektörlerini de aşağıya yazarak,
çizelim.
10 3.925 0.5 , .
t t t tr r g r art++++∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ < − +< − +< − +< − +
10 3.925 0.5 , .
t t t tr r g r azal++++∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ > − +> − +> − +> − +
0 7.958 0.186 , .g r g g art∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ > − +> − +> − +> − +1
0 7.958 0.186 , .
0 7.958 0.186 , .
t t t tg r g g art
g r g g azal
++++∆ >∆ >∆ >∆ > ⇒⇒⇒⇒ > − +> − +> − +> − +
∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ < − +< − +< − +< − +1
0 7.958 0.186 , .t t t t
g r g g azal++++∆ <∆ <∆ <∆ < ⇒⇒⇒⇒ < − +< − +< − +< − +
117117
* *37.84 , 15g r= == == == =
yazarak, süreç grafiğini Şekil 7.12’deyazarak, süreç grafiğini Şekil 7.12’de
0 3.925 0.5 , .t t t t
r r g r artıyor< − +< − +< − +< − +
0 3.925 0.5 , .t t t t
r r g r azalıyor> − +> − +> − +> − +
0 7.958 0.186 , .g r g g artıyor> − +> − +> − +> − +0 7.958 0.186 , .
0 7.958 0.186 , .
t t t tg r g g artıyor
g r g g azalıyor
> − +> − +> − +> − +
< − +< − +< − +< − +0 7.958 0.186 , .t t t t
g r g g azalıyor< − +< − +< − +< − +
Şekil 7.12. Ekonomide Şekil 7.12. Ekonomide
Eyer DengesiEyer DengesiEyer DengesiEyer Dengesi
tr
tr
İç Denge
I
••••15*r ====
I
E
••••15*r ====
2 67.
IVIV
0 37 84*g .====
ekil 7.12. Ekonomide İç ve Dış Denge:ekil 7.12. Ekonomide İç ve Dış Denge:
Eyer DengesiEyer Dengesi
118118
Eyer DengesiEyer Dengesi
10
tr ++++∆ =∆ =∆ =∆ =
II
Kararsız Yol
10
tg ++++∆ =∆ =∆ =∆ =
İç Denge II
1t ++++
Dış Denge
IIIIII
g
Kararlı Yol
tg37 84g .
I. bölgede faiz oranı azalırken, kamuI. bölgede faiz oranı azalırken, kamu
de faiz oranı artarken, kamude faiz oranı artarken, kamu
başlangıçta kararlı yol üzerindeki birbaşlangıçta kararlı yol üzerindeki bir
bir eyer dengesi süreci yaşanır. Başlangıçbir eyer dengesi süreci yaşanır. Başlangıç
ise, sistem kararsız bir davranış sergileyecek,
giderek uzaklaşacaktır. II. ve IV
uzaklaşılacak başlangıç noktalarına
119119
kamu harcamaları artıyor; III. bölgedekamu harcamaları artıyor; III. bölgede
harcamaları azalıyor. Ekonomiharcamaları azalıyor. Ekonomi
bir konumdaysa, kararlı yol boyuncabir konumdaysa, kararlı yol boyunca
Başlangıç noktası kararlı yolun dışındaBaşlangıç noktası kararlı yolun dışında
sergileyecek, yani ekonomi dengeden
IV. bölgelerin tamamı dengeden
noktalarına sahiptir.
Lucas’ınLucas’ın RasyonelRasyonel BeklentilerBeklentilerLucas’ınLucas’ın RasyonelRasyonel BeklentilerBeklentiler
Bu bölüm, ekonomide beklentilerinBu bölüm, ekonomide beklentilerin
oluşturulduğunda, eyer çözümünün
Uyarlamacı beklenti yaklaşımında ekonomikUyarlamacı beklenti yaklaşımında ekonomik
dönemlerdeki (gerçekleşmiş) enflasyonu
yönelik bir enflasyon beklentisi
Rasyonel beklenti modeli ise, ekonomikRasyonel beklenti modeli ise, ekonomik
oluştururken, yanılma payını en aza
mevcut bilgileri kullandıklarınımevcut bilgileri kullandıklarını
getirmektedir. Eğer ekonomik karar
tam yararlanıyorlarsa, ileriyi iyi görebilmelerinin
ğini kabul edeceğiz.ğini kabul edeceğiz.
120120
ModeliModeliModeliModeli
beklentilerin rasyonel bekleyişe uygun olarakbeklentilerin rasyonel bekleyişe uygun olarak
çözümünün elde edileceğini göstermektedir.
ekonomik karar birimlerinin, geçmişekonomik karar birimlerinin, geçmiş
enflasyonu dikkat alarak geleceğe
oluşturdukları varsayılmaktadır.
ekonomik karar birimlerinin beklentiekonomik karar birimlerinin beklenti
aza indirecek şekilde ellerindeki tüm
varsayarak farklı bir yaklaşımvarsayarak farklı bir yaklaşım
karar birimleri bu mevcut bilgilerden
görebilmelerinin mümkün olabilece-
Lucas’ın rasyonel beklentiler modeli,Lucas’ın rasyonel beklentiler modeli,
mevcut bilgiyle tam öngörü yapabildiklerini
İlk olarak beklenti kavramını tanımlamaya
İki kavrama gereksinim duymaktayızİki kavrama gereksinim duymaktayız
oluşturulduğu, ikincisi beklentinin
ğu. Örneğin bir ekonomik karar biriminin
bir beklenti oluşturmasını şöyle tanımlayabilirizbir beklenti oluşturmasını şöyle tanımlayabiliriz
beklenti bir dönem ileriye dönük
dönük ise E X . Ya da E X , X ’indönük ise EtXt+2 . Ya da Et-1Xt+1 , X ’in
1 döneminde oluşturulmuş olan beklenti
kenimiz enflasyon (π) ise, t+1 dönemi
oluşturulan beklentisini şöyle yazabilirizoluşturulan beklentisini şöyle yazabiliriz
121121
modeli, ekonomik karar birimlerininmodeli, ekonomik karar birimlerinin
yapabildiklerini varsaymaktadır.
tanımlamaya çalışalım.
duymaktayız: Birincisi beklentinin ne zamanduymaktayız: Birincisi beklentinin ne zaman
hangi zamana yönelik oluşturuldu-
biriminin X değişkeni için t döneminde
tanımlayabiliriz: Et . Benzer biçimde,tanımlayabiliriz: Et . Benzer biçimde,
yapılırsa, EtXt+1 ; iki dönem ileriye
’in t+1 dönemindeki değerine ilişkin, t-’in t+1 dönemindeki değerine ilişkin, t-
beklenti anlamına gelmektedir. Değiş-
dönemi enflasyonunun t döneminde
yazabiliriz: Etπt+1 .yazabiliriz: Etπt+1 .
Fiyatlar genel düzeyi genellikleFiyatlar genel düzeyi genellikle
tanımlandığından, Etπt+1 ifadesini, şöyle
1 1t t t t tE E p p+ ++ ++ ++ +π = −π = −π = −π = −
Lucas’ın rasyonel beklentiler yaklaşımını
alacağız:alacağız:
0 1 0 1( ) , 0 , 0
d
t t t ty a a m p a a= + − + ε > >= + − + ε > >= + − + ε > >= + − + ε > >
0 1 0 1
1 1 1
( ) , 0 , 0
( ) , 0
t t t t
s
t n t t t t
y a a m p a a
y y b p E p b−−−−
= + − + ε > >= + − + ε > >= + − + ε > >= + − + ε > >
= + − + ν >= + − + ν >= + − + ν >= + − + ν >1 1 1( ) , 0
t n t t t t
d s
t t t
y y b p E p b
y y y
−−−−= + − + ν >= + − + ν >= + − + ν >= + − + ν >
= == == == =
(((( )))) (((( ))))2 20, , 0,
t t t
N Nε υε υε υε υε σ ν σε σ ν σε σ ν σε σ ν σ∼ ∼∼ ∼∼ ∼∼ ∼(((( )))) (((( ))))
122122
genellikle doğal logaritma biçimindegenellikle doğal logaritma biçiminde
şöyle de yazabiliriz:
t t t t tE E p pπ = −π = −π = −π = −
yaklaşımını şu model çerçevesinde ele
0 1 0 1( ) , 0 , 0y a a m p a a= + − + ε > >= + − + ε > >= + − + ε > >= + − + ε > >
0 1 0 1
1 1 1
( ) , 0 , 0
( ) , 0t n t t t t
y a a m p a a
y y b p E p b
= + − + ε > >= + − + ε > >= + − + ε > >= + − + ε > >
= + − + ν >= + − + ν >= + − + ν >= + − + ν >1 1 1( ) , 0
t n t t t ty y b p E p b= + − + ν >= + − + ν >= + − + ν >= + − + ν >
))))2 2
ε υε υε υε υ ))))
Modeldeki değişkenlerin anlamları şöyledirModeldeki değişkenlerin anlamları şöyledir
: t dönemindeki toplam talep düzeyid
ty
: t dönemindeki toplam arz düzeyi
: t dönemindeki nominal para
s
ty
tm : t dönemindeki nominal para
: t dönemindeki fiyatlar genel
: milli gelirin doğal düzeyi (logaritmik)
tm
tp
y : milli gelirin doğal düzeyi (logaritmik)n
y
Modelde dikkati çeken birkaç noktaModelde dikkati çeken birkaç nokta
arz denklemleri deterministik değil,
değişken (ya da şok) eklenerekdeğişken (ya da şok) eklenerek
Toplam arz eğrisinin tanımlandığı ikinci
biçimdeki Phillips eğrisini göstermektedirbiçimdeki Phillips eğrisini göstermektedir
düzeyi, gerçekleşen fiyatlar genel
sapmasına göre düzeltilmektedir.
123123
şöyledir:şöyledir:
düzeyi (logaritmik)
düzeyi (logaritmik)
arzı (logaritmik)arzı (logaritmik)
düzeyi (logaritmik)
(logaritmik)(logaritmik)
nokta vardır: Birincisi toplam talep venokta vardır: Birincisi toplam talep ve
değil, normal dağılıma sahip birer rassal
stokastik biçimde tanımlanmıştır.stokastik biçimde tanımlanmıştır.
ikinci denklem, Lucas’ın tanımladığı
göstermektedir; yani, milli gelirin doğalgöstermektedir; yani, milli gelirin doğal
genel düzeyinin beklenen değerden
Toplam talep ve arz denklemlerindekiToplam talep ve arz denklemlerindeki
terimler birer şok görevi görürler
varyansı da sabittir.
İlk olarak modeli beklentilerin sabitİlk olarak modeli beklentilerin sabit
alalım. Bu durumda model şöyle oluşacaktır
1 0 1t t t ty a p a a m+ = + + ε+ = + + ε+ = + + ε+ = + + ε
1 1 1t t n t t ty b p y b E p−−−−− = − + ν− = − + ν− = − + ν− = − + ν
0 111 t t t
y a a ma + + ε+ + ε+ + ε+ + ε ====
0 11
1 11
1
1
t t t
t n t t t
y a a ma
p y b E pb
+ + ε+ + ε+ + ε+ + ε ====
− + ν− + ν− + ν− + ν−−−−
124124
denklemlerindeki normal dağılıma sahip rassaldenklemlerindeki normal dağılıma sahip rassal
görürler. Bu şokların ortalaması sıfır,
sabit olduğu varsayımı altında elesabit olduğu varsayımı altında ele
oluşacaktır:
t t t t+ = + + ε+ = + + ε+ = + + ε+ = + + ε
t t n t t ty b p y b E p− = − + ν− = − + ν− = − + ν− = − + ν
0 1t t ty a a m+ + ε+ + ε+ + ε+ + ε
0 1
1 1
t t t
t n t t t
y a a m
p y b E p−−−−
+ + ε+ + ε+ + ε+ + ε
− + ν− + ν− + ν− + ν
Bu matrisi y ve p için çözelim.Bu matrisi yt ve pt için çözelim.
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1n t t t t ta b a y a b m a b E p b a
y+ ε + ν+ ε + ν+ ε + ν+ ε + ν
= + + += + + += + + += + + +0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
n t t t t t
t
a b a y a b m a b E p b ay
a b a b a b a b
+ ε + ν+ ε + ν+ ε + ν+ ε + ν= + + += + + += + + += + + +
+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +
0 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
n t t t t t
t
a y a m b E pp
a b a b a b a b
−−−−− ε − ν− ε − ν− ε − ν− ε − ν= + + += + + += + + += + + +
+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +1 1 1 1 1 1 1 1
a b a b a b a b+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +
Bu denklemler, fiyat beklentilerininBu denklemler, fiyat beklentilerinin
oluşturduğumuz indirgenmiş denklemlerdir
aşamasında pt için beklentiyi t-1 dönemi
a y a E m b E p E E− ε − ν− ε − ν− ε − ν− ε − ν0 1 1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1 1
n t t t t t t t t
t t
a y a E m b E p E EE p
a b a b a b a b
− − − −− − − −− − − −− − − −−−−−
− ε − ν− ε − ν− ε − ν− ε − ν= + + += + + += + + += + + +
+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +1 1 1 1 1 1 1 1
125125
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1n t t t t ta b a y a b m a b E p b a−−−−+ ε + ν+ ε + ν+ ε + ν+ ε + ν
= + + += + + += + + += + + +0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
n t t t t ta b a y a b m a b E p b a
a b a b a b a b
−−−−+ ε + ν+ ε + ν+ ε + ν+ ε + ν= + + += + + += + + += + + +
+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +
0 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
n t t t t ta y a m b E p
a b a b a b a b
−−−−− ε − ν− ε − ν− ε − ν− ε − ν= + + += + + += + + += + + +
+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +1 1 1 1 1 1 1 1
a b a b a b a b+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +
beklentilerinin dışsal olduğu varsayımı altındabeklentilerinin dışsal olduğu varsayımı altında
denklemlerdir. Bu sürecin bir sonraki
dönemi için yazalım.
a y a E m b E p E E− ε − ν− ε − ν− ε − ν− ε − ν0 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
n t t t t t t t ta y a E m b E p E E
a b a b a b a b
− − − −− − − −− − − −− − − −− ε − ν− ε − ν− ε − ν− ε − ν= + + += + + += + + += + + +
+ + + ++ + + ++ + + ++ + + +1 1 1 1 1 1 1 1
Rassal terimlerin (şokların) ortalamasıRassal terimlerin (şokların) ortalaması
varsayıldığı için, t-1 dönemine yönelik
0E Eε = ν =ε = ν =ε = ν =ε = ν =1 1
0 1 1 1 1
0t t t t
n t t t t
E E
a y a E m b E pE p
− −− −− −− −
− −− −− −− −
ε = ν =ε = ν =ε = ν =ε = ν =
−−−−= + += + += + += + +0 1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1
n t t t t
t t
a y a E m b E pE p
a b a b a b
− −− −− −− −−−−−
−−−−= + += + += + += + +
+ + ++ + ++ + ++ + +
0
1 1
1
n
t t t t
a yE p E m
a− −− −− −− −
−−−−= += += += +
Bu çözümü, indirgenmiş denklemdeki
1a
((((1 1 1t t t
t n
a b m E my y
a b a b
−−−−−−−−= + += + += + += + +
+ ++ ++ ++ +1 1 1 1
0 1 1 1n t t t t t
a b a b
a y a m b E mp
+ ++ ++ ++ +
− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν= + += + += + += + +0 1 1 1
1 1 1 1 1
n t t t t t
t
a y a m b E mp
a a b a b
− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν= + += + += + += + +
+ ++ ++ ++ +
126126
ortalaması (E) tüm dönemler için sıfırortalaması (E) tüm dönemler için sıfır
yönelik pt beklentisi:
0 1 1 1 1n t t t ta y a E m b E p− −− −− −− −= + += + += + += + +0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
n t t t ta y a E m b E p
a b a b a b
− −− −− −− −= + += + += + += + ++ + ++ + ++ + ++ + +
t t t tE p E m
denklemdeki yerine yazalım ve düzenleyelim.
))))1 1 1 1 1t t t t ta b m E m b a
a b a b
−−−− ε + νε + νε + νε + ν= + += + += + += + +
+ ++ ++ ++ +1 1 1 1
0 1 1 1n t t t t t
a b a b
a y a m b E m−−−−
+ ++ ++ ++ +
− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν= + += + += + += + +0 1 1 1
1 1 1 1 1
n t t t t ta y a m b E m
a a b a b
−−−−− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν= + += + += + += + +
+ ++ ++ ++ +
Şimdi para arzının sabit, bekleyişlerinŞimdi para arzının sabit, bekleyişlerin
alarak, enflasyon oranı ile para arzı
amaçla ilk olarak enflasyon oranınıamaçla ilk olarak enflasyon oranını
1t t tp p −−−−π = −π = −π = −π = −
1
0 1 1 1
t t t
n t t t t t
t
p p
a y a m b E mp
−−−−
−−−−
π = −π = −π = −π = −
− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν= + += + += + += + +
+ ++ ++ ++ +1 1 1 1 1
tp
a a b a b
a y a m b E m
= + += + += + += + ++ ++ ++ ++ +
− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν0 1 1 1 2 1 1 1
1
1 1 1 1 1
n t t t t t
t
a y a m b E mp
a a b a b
− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −−−−−
− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν= + += + += + += + +
+ ++ ++ ++ +
(((( )))) ((((1 1 1 1 2 1 1 1t t t t t t t t t t
t
a m m b E m E m
a b a b
− − − − − −− − − − − −− − − − − −− − − − − −− − − ε − ε − ν − ν− − − ε − ε − ν − ν− − − ε − ε − ν − ν− − − ε − ε − ν − νπ = +π = +π = +π = +
+ ++ ++ ++ +1 1 1 1
ta b a b
π = +π = +π = +π = ++ ++ ++ ++ +
127127
bekleyişlerin doğru olduğu durumu dikkatebekleyişlerin doğru olduğu durumu dikkate
arzı arasındaki bağlantıyı görelim. Bu
tanımlayalım.tanımlayalım.
n t t t t t− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν
+ ++ ++ ++ +1 1 1 1 1
a a b a b+ ++ ++ ++ +
− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν0 1 1 1 2 1 1 1
1 1 1 1 1
n t t t t t
a a b a b
− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν− − ε − ν= + += + += + += + +
+ ++ ++ ++ +
)))) (((( )))) (((( ))))1 1 1 1 2 1 1 1t t t t t t t t t ta m m b E m E m
a b a b
− − − − − −− − − − − −− − − − − −− − − − − −− − − ε − ε − ν − ν− − − ε − ε − ν − ν− − − ε − ε − ν − ν− − − ε − ε − ν − νπ = +π = +π = +π = +
+ ++ ++ ++ +1 1 1 1
a b a bπ = +π = +π = +π = +
+ ++ ++ ++ +
Şimdi para arzının sabit, bekleyişlerinŞimdi para arzının sabit, bekleyişlerin
dikkate alarak denklemi yeniden tanımlayalım
,m m E m E m= == == == =
(((( )))) ((((
1 1 2 1,
t t t t t tm m E m E m− − − −− − − −− − − −− − − −
− −− −− −− −
= == == == =
ε − ε − ν − νε − ε − ν − νε − ε − ν − νε − ε − ν − ν(((( )))) ((((1 1
1 1
t t t t
ta b
− −− −− −− −ε − ε − ν − νε − ε − ν − νε − ε − ν − νε − ε − ν − νπ =π =π =π =
++++
Eğer rassal şoklar yoksa:
0 , 0 0− −− −− −− −ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =1 1
0 , 0 0t t t t t− −− −− −− −ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =
İkinci olası durum, para arzının sabit
lerin doğru olmasıdır.
1 1 2 1,
t t t t t tm m E m E m− − − −− − − −− − − −− − − −− = λ − = λ− = λ − = λ− = λ − = λ− = λ − = λ
(((( )))) ((((
1 1 2 1
1 1 1 11 1
,t t t t t t
t t t t t t t t
m m E m E m
a b
− − − −− − − −− − − −− − − −
− − − −− − − −− − − −− − − −
− = λ − = λ− = λ − = λ− = λ − = λ− = λ − = λ
ε − ε − ν − ν ε − ε − ν − νε − ε − ν − ν ε − ε − ν − νε − ε − ν − ν ε − ε − ν − νε − ε − ν − ν ε − ε − ν − νλ − λλ − λλ − λλ − λπ = + → π = λ +π = + → π = λ +π = + → π = λ +π = + → π = λ +
(((( )))) ((((1 1 1 11 1
1 1 1 1 1 1
t t t t t t t t
t t
a b
a b a b a b
− − − −− − − −− − − −− − − −λ − λλ − λλ − λλ − λπ = + → π = λ +π = + → π = λ +π = + → π = λ +π = + → π = λ +
+ + ++ + ++ + ++ + +
128128
bekleyişlerin doğru olduğu varsayımınıbekleyişlerin doğru olduğu varsayımını
tanımlayalım.
m m E m E m
))))
1 1 2 1t t t t t tm m E m E m− − − −− − − −− − − −− − − −
− −− −− −− −ε − ε − ν − νε − ε − ν − νε − ε − ν − νε − ε − ν − ν ))))1 1t t t t− −− −− −− −ε − ε − ν − νε − ε − ν − νε − ε − ν − νε − ε − ν − ν
0 , 0 0ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =0 , 0 0t t t t t
ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =ε = ε = ν = ν = → π =
sabit bir hızla büyüdüğü ve öngörü-
− = λ − = λ− = λ − = λ− = λ − = λ− = λ − = λ
)))) (((( )))) (((( ))))1 1 1 1t t t t t t t t− − − −− − − −− − − −− − − −
− = λ − = λ− = λ − = λ− = λ − = λ− = λ − = λ
ε − ε − ν − ν ε − ε − ν − νε − ε − ν − ν ε − ε − ν − νε − ε − ν − ν ε − ε − ν − νε − ε − ν − ν ε − ε − ν − νπ = + → π = λ +π = + → π = λ +π = + → π = λ +π = + → π = λ +
)))) (((( )))) (((( ))))1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
t t t t t t t t
t ta b a b a b
− − − −− − − −− − − −− − − −π = + → π = λ +π = + → π = λ +π = + → π = λ +π = + → π = λ +
+ + ++ + ++ + ++ + +
Eğer rassal şoklar yoksa:Eğer rassal şoklar yoksa:
1 1 10 , 0
t t t t t t t− − −− − −− − −− − −ε = ε = ν = ν = → π = − = λε = ε = ν = ν = → π = − = λε = ε = ν = ν = → π = − = λε = ε = ν = ν = → π = − = λ
Bu durumda enflasyon oranı , para arzı
Lucas’ın rasyonel beklentiler modelinden
1. Kısa dönemde talep ya da arz yanlı1. Kısa dönemde talep ya da arz yanlı
gelir (yt) doğal düzeyinden (yn) sapma
2. Bu sapmalar yalnızca rassal değişkenlerin
zamanda ekonomik sistemin parametrelerine,
uygulayacağı para politikalarının
bağlıdır.
3. Para arzı beklenenden yüksek olursa
129129
1 1 1t t t t t t tm m− − −− − −− − −− − −ε = ε = ν = ν = → π = − = λε = ε = ν = ν = → π = − = λε = ε = ν = ν = → π = − = λε = ε = ν = ν = → π = − = λ
arzı artış hızına eşitlenmektedir.
modelinden şu sonuçları çıkarabiliriz:
yanlı şoklara bağlı olarak, reel milliyanlı şoklara bağlı olarak, reel milli
sapma gösterebilir.
değişkenlerin düzeyine değil, aynı
parametrelerine, parasal yetkililerin
politikalarının doğru öngörülebilme derecesine
olursa (mt>Et-1mt) yt , pt ve πt artar.
4. p öngörü hatalarına sahip olsa4. pt öngörü hatalarına sahip olsa
ortalaması sıfırdır. Yani sistematik
((((1 1
1
t t t
t t t
a m E mp E p
a b a b
−−−−
−−−−
−−−−− = +− = +− = +− = +
+ ++ ++ ++ +1
1 1 1 1
t t tp E p
a b a b−−−−− = +− = +− = +− = +
+ ++ ++ ++ +
Para arzı sabitse (m =E m )Para arzı sabitse (mt=Et-1mt)
öngörülürse (Et-1mt=mt) tamamen
Bu durumda koşullu bekleyişi şöyleBu durumda koşullu bekleyişi şöyle
(((( ))))(((( ))))E Eε − νε − νε − νε − ν
(((( ))))(((( ))))
1
1 1
t t
t t t
E EE p E p
a b−−−−
ε − νε − νε − νε − ν− = =− = =− = =− = =
++++
130130
olsa da, rassallıktan dolayı hatalarınolsa da, rassallıktan dolayı hataların
sistematik öngörü hatası yoktur.
))))1 1t t t t ta m E m
a b a b
ε − νε − νε − νε − ν− = +− = +− = +− = +
+ ++ ++ ++ +1 1 1 1
a b a b− = +− = +− = +− = +
+ ++ ++ ++ +
ya da para arzı düzeyi doğruya da para arzı düzeyi doğru
tamamen bir rassal değişkene dönüşür.
şöyle belirleriz.şöyle belirleriz.
(((( ))))E Eε − νε − νε − νε − ν(((( ))))
1 1
0t t
E E
a b
ε − νε − νε − νε − ν− = =− = =− = =− = =
++++
Şimdi bir aktif para politikasınınŞimdi bir aktif para politikasının
inceleyelim. Aktif politika kuralında,
dönem gelişmelerine bağlıdır. Bu amaçladönem gelişmelerine bağlıdır. Bu amaçla
gibi, MB tarafından kontrol edilebilen
alalım. Ayrıca q, ekonomiyi temsil edenalalım. Ayrıca q, ekonomiyi temsil eden
sin. Sırasıyla aktif ve pasif politika kurallarını
(((( ))))1 1,q
t t tm f x − −− −− −− −====
(((( ))))1t tm g x −−−−====
Her iki fonksiyon da stokastik değildir
düzeyinin belirlendiği denklemi dikkate
((((1 1 1t t t
t n
a b m E my y
a b a b
−−−−= + += + += + += + +
+ ++ ++ ++ +1 1 1 1
t ny y
a b a b= + += + += + += + +
+ ++ ++ ++ +
131131
politikasının ekonomi üzerine etkilerinipolitikasının ekonomi üzerine etkilerini
kuralında, t dönemindeki politikalar önceki
amaçla para tabanı ya da faiz oranıamaçla para tabanı ya da faiz oranı
edilebilen bir politika aracını (x) dikkate
eden değişkenler vektörünü göster-eden değişkenler vektörünü göster-
kurallarını şöyle yazabiliriz:
değildir. Yeniden ekonominin reel gelir
dikkate alalım.
))))1 1 1 1 1t t t t ta b m E m b a
a b a b
−−−−−−−− ε + νε + νε + νε + ν= + += + += + += + +
+ ++ ++ ++ +1 1 1 1
a b a b= + += + += + += + +
+ ++ ++ ++ +
Bu denkleme baktığımızda, gelirinBu denkleme baktığımızda, gelirin
sapabileceğini söyleyebiliriz:
1. m ’nin E m ’den sapması1. mt ’nin Et-1mt ’den sapması
2. Talep ya da arz yanlı şokların oluşması
Para politikasının etkilerini incelemekPara politikasının etkilerini incelemek
üzerinde duralım ve politika kurallarını
(((( )))) ((((
(((( )))) (((( ))))
1 1 1 1 1 1 1,q ,q 0
t t t t t t t t t tE m E f x f x m E m− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −= = → − == = → − == = → − == = → − =
(((( )))) (((( ))))1 1 1 1 1t t t t t t t tE m E g x g x m E m− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −= = → − == = → − == = → − == = → − =
Bu sonuç, politika kuralının aktif
olmadığını göstermektedir. Sapmalar,
politikayı yanlış algıladığı sürece pozitif
kamuoyuna açıklama yapmaksızın uygulandığındakamuoyuna açıklama yapmaksızın uygulandığında
132132
gelirin doğal düzeyinden şu iki nedenlegelirin doğal düzeyinden şu iki nedenle
oluşması.
incelemek istediğimizden, birincisininincelemek istediğimizden, birincisinin
kurallarını yeniden tanımlayalım.
))))1 1 1 1 1 1 1,q ,q 0
t t t t t t t t t tE m E f x f x m E m− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −− − − − − − −= = → − == = → − == = → − == = → − =
1 1 1 1 10
t t t t t t t tE m E g x g x m E m− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −= = → − == = → − == = → − == = → − =
ya da pasif olmasının bir önemi
Sapmalar, ekonomik karar birimleri
pozitif olacaktır. Özellikle de politika
uygulandığında ortaya çıkar.uygulandığında ortaya çıkar.
Ancak rasyonel beklentiler teorisinde,Ancak rasyonel beklentiler teorisinde,
uygulanmakta olan iktisat politikasını
yanıgılarını en aza indirdikleri varsayılmaktadıryanıgılarını en aza indirdikleri varsayılmaktadır
kurallarını deterministik biçimde yazdık
ortalaması sıfır varyansı da sabit olanortalaması sıfır varyansı da sabit olan
ve sapmalara bakalım.
(((( ))))1 1,q
t t t tm f x w− −− −− −− −= += += += +
(((( ))))
(((( ))))
1t t tm g x w−−−−= += += += +
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
1 1 1 1 1 1 1 1,q ,q
t t t t t t t t t t t t tE m E f x E w f x m E m w− − − − − − − −− − − − − − − −− − − − − − − −− − − − − − − −= + = → − == + = → − == + = → − == + = → − =
= = → − == = → − == = → − == = → − =(((( )))) (((( ))))1 1 1 1 1t t t t t t t t tE m E g x g x m E m w− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −= = → − == = → − == = → − == = → − =
133133
teorisinde, ekonomik karar birimlerinin,teorisinde, ekonomik karar birimlerinin,
politikasını çok kısa sürede öğrendikleri ve
varsayılmaktadır. Yukarıda politikavarsayılmaktadır. Yukarıda politika
yazdık. Şimdi her ikisine de birer
olan birer rassal değişken ekleyelimolan birer rassal değişken ekleyelim
(((( ))))(((( ))))1 1 1 1 1 1 1 1,q ,q
t t t t t t t t t t t t tE m E f x E w f x m E m w− − − − − − − −− − − − − − − −− − − − − − − −− − − − − − − −= + = → − == + = → − == + = → − == + = → − =
= = → − == = → − == = → − == = → − =1 1 1 1 1t t t t t t t t t
E m E g x g x m E m w− − − − −− − − − −− − − − −− − − − −= = → − == = → − == = → − == = → − =
Deterministik durumda da stokastik
aynı olduğu görülmektedir. Yani reel
sından etkilenmemekte, yalnızca şoklardan
t ny y− =− =− =− =Deterministik durum:
t ny y− = +− = +− = +− = +Stokastik durum:
134134
stokastik durumda da gelir dinamiğinin
reel gelirdeki sapmalar para politika-
şoklardan etkilenmektedir.
ε + νε + νε + νε + ν1 1
1 1
t t
t n
b ay y
a b
ε + νε + νε + νε + ν− =− =− =− =
++++1 1a b
a b w b a
++++
ε + νε + νε + νε + ν1 1 1 1
1 1 1 1
t t t
t n
a b w b ay y
a b a b
ε + νε + νε + νε + ν− = +− = +− = +− = +
+ ++ ++ ++ +