Day 4 regression with distributed lag

Economics 20 - Prof. Anderson 1

Dự báo sử dụng mô hình chuỗi thờigian(Time Series Models for Forecasting)

Hồi qui với biến trễRegression with distributed lags

Nguyễn Ngọc AnhTrung tâm Nghiên cứu Chính sách và Phát triển

Nguyễn Việt CườngĐại học Kinh tế Quốc dân


Giới thiệu

Chúng ta ở trong các bài trước, xem xét mô hình hồi qui, sử dụng cho cả dữ liệu chéo, lẫn dữ liệu chuỗi thời gian.Tuy nhiên, chúng ta ở đây lại thường quan tâm đến nhữngbiến số thay đổi theo thời gian, chứ không phải là nhữngbiến thay đổi theo các cá nhânMô hình hồi qui tĩnh cho ta biết quan hệ giữa các chuỗithời gian. Ở đây, tác động của một biến X lên một biến Y được giảthiết là chỉ có tác động trong cùng thời kỳ.


Mô hình động

Tác động mang tính động (Dynamic effects)Chính sách cần có thời gian mới có tác dụngMức độ cũng như tính chất của tác động có thểthay đổi theo thời gianTác động thường xuyên (Permanent) và tácđộng tạm thời (Temporary effects.)


Trong kinh tế học vĩ môTác động của tiền tệ M đối với Y (GDP) trongngắn hạn có thể khác với trong dài hạn

Người ta thường gọi là hàm phản ứng (impulse response function)

Tăng cung tiền trong một năm ở năm thứSau đó sẽ quay trở lại bình thường, không tăng M

nữa

Điều gì sẽ xảy ra với Y

time

Y


Phân bổ trễ (Distributed Lag)Tác động được phân bổ theo thời gian(Effect is distributed through time)

Hàm tiêu dùng : Tác động của thu nhập cũngthay đổi theo thời gianTác động của thuế thu nhập đối với GDP sẽ cóđộ trễTác động của chính sách tiền tệ với SX cũngqua thời gian

yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + et

it

ti x

yE

−

=δ

δβ )(


Tác động phân bổ trễ

Hoạt động kinh tế tại các thời điểm t

Tác động tạiThời điểm t

Tác động tạiThời điểm

t+1

Tác động tạiThời điểm t+2


Tác động phân bổ trễTác động tại thời điểm t

Hoạt động kinh tế tạithời điểm t Hoạt động kinh tế tại

thời điểm t-1 Hoạt động kinh tế tạithời điểm t-2


Hai câu hỏi

1. Trễ bao lâu (How far back)? - Độ trễ là bao lâu ?- Trễ hữu hạn hay vô hạn

2. Liệu các hệ số có nên bị hạn chế hay không(restricted)?

- Điều chỉnh (smooth adjustment)- Hay để số liệu quyết định (let the data

decide)


1. Phân bổ trễ hữu hạn không hạnchế (Unrestricted Finite DL)

Hữu hạn: biến động của một biến số chỉ cótác động lên một biến khác trong mộtkhoảng thời gian cố định

Ví dụ: Tác độngc của CS tiền tệ thường có tácđộng lên GDP khoảng 18 thángĐộ trễ được giả thiết là biết một cách chắc chắn

Không hạn chế (Unrestricted - unstructured)Tác động ở giai đoạn t+1 không có quan hệ vớitác động ở giai đoạn t


yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + . . . + βn xt-n + et

Có n độ trễ không hạn chế (unstructured lags)

Không có một dạng cấu trúc (systematic structure)

nào đối với các β’s

Các tham số β’s không bị hạn chế (ràng buộc - restricted)

Có thể sử dụng OLS: sẽ cho ta các ướclượng nhất quán (consistent) và khôngtrệch


Những vấn đề nảy sinh1. Ta sẽ mất n quan sát khi độ trễ là n

Số liệu từ năm 1960, giả sử có độ trễ là 5 thời kỳ, tức làthời điểm sớm nhất có thể sử dụng trong mô hình hồi qui là năm 1965 Mất độ tự do (đưa thêm biến trễ mất độ tự do)

2. Vấn đề đa cộng tuyên giữa các biến trễ xt-jxt rất giống với xt-1 ít thông tin độc lậpƯớc lượng không chính xác (xem bài trước) Độ lệch chuẩn của ước lượng là lớn, kiểm định t có giátrị thấpKiểm định giả thuyết là khó khăn (uncertain)


3. Có thể có nhiều biến trễ thì sao? Mất nhiều độ tự do

4. Có thể ước lượng chính xác hơn nếu xâydựng một số cấu trúc trong mô hình

Những vấn đề nảy sinh


Trễ số học

Độ trễ vẫn hữu hạn : Tác động của X cuốicùng sẽ bằng 0Các hệ số không độc lập với nhau

Tác động của mỗi bước trễ sẽ nhỏ dần điVD: Chính sách tiền tệ của năm 1995 sẽ tácđộng tới GDP của năm 1998 ít hơn chính sáchtiền tệ của năm 1996


2. Trễ số học

i

βi

β0 = (n+1)γ

β1 = nγ

β2 = (n-1)γ

βn = γ

.

.

.

0 1 2 . . . . . n n+1

..

.

.

linearlag

structure


Trễ số học

Áp đặt quan hệ:

βiι = (n - i+ 1) γ

β0 = (n+1) γβ1 = n γβ2 = (n-1) γβ3 = (n-2) γ . .βn-2 = 3 γβn-1 = 2 γβn = γ

Chỉ cần ước lượng 1 tham số , γ ,Thay vì n+1 tham số , β0 , ... , βn .



Giả sử X là cung tiền ( dạng log) và Y làGDP (dạng log), n=12 và γ được ước lượngcó giá trị là 0.1Tác động của x thay đổi đối với GDP tronggiai đoạn hiện tại sẽ là β0=(n+1)γ=1.3Tác động của CS tiền tệ một năm sau đó sẽlà β1=nγ=1.2n năm sau đó,tác động sẽ là βn= γ=0.1Sau n+1 năm, tác động sẽ là 0

it

ti x

yE

−

=δ

δβ )(


Ước lượng

Ước lượng sử dụng OLSChỉ cần ước lượng một tham số : γPhải biến đổi một chút để viết mô hình dướidạng có thể ước lượng được



yt = α + (n+1) γxt + n γxt-1 + (n-1) γxt-2 + . . . + γxt-n + et

Bước 1: Áp đặt ràng buộc: βι = (n - i+ 1) γ

Bước 2: Bóc tác tham số, γ .

yt = α + γ [(n+1)xt + nxt-1 + (n-1)xt-2 + . . . + xt-n] + et


Bước 3: Xác định zt .

zt = [(n+1)xt + nxt-1 + (n-1)xt-2 + . . . + xt-n]

Bước 5: Chạy OLS :

yt = α + γ zt + et

Bước 4: Xác định độ trễ , n.

Với n = 4: zt = [ 5xt + 4xt-1 + 3xt-2 + 2xt-3 + xt-4]


Ưu/ nhược điểmÍt tham số phải ước lượng (chỉ một tham số) hơnso với mô hình không hạn chế/ràng buộc

Sai số chuẩn thấpT caoKiểm định tốt

Nhưng nếu các ràng buộc không đúng thì sao? Ước lượng sẽ bị trệch

Ràng buộc tuyến tính có thực tế không? Xem xét mô hình không hạn chế để đánh giáTiến hành kiểm định F


2

1

//)(

dfSSEdfSSESSEF

U

UR −=

Kiểm định FƯớc lượng mô hình không ràng buộc (unrestricted model)Ước lượng mô hình có ràng buộc (arithmetic lag) Tính toán chỉ số F


So sánh với giá trị F tới hạn F(df1,df2)df1=n số ràng buộc/hạn chế (number of restrictions)

Số bê ta trừ đi số gamma = (n+1)-1

df2=số quan sát – số biến trong mô hình khôngbị ràng buộc (kể cả intercept) df2=(T-n)-(n+2)


3. Phân bổ trễ số mũ

Ràng buộc tuyến tính có thể là quá cứngnhắcMuốn có dạng lồiRàng buộc số mũ (Polynomial – quadratic hoặc cao hơn)

βi = γ0 + γ1i + γ2i2

iit

t

xyE β

δδ

=−

)(


Phân bổ trễ số mũ (Polynomial Lag)

.. . .

.

0 1 2 3 4 i

β0

β1β2

β3

β4

βi


Tương tự như mô hình trễ số họcChỉ có hình dáng của dạng hàm phản ứng làkhác (impulse response function)

Vẫn hữu hạn : Tác động của X cuối cùng sẽbằng 0 Các hệ số có quan hệ với nhau

Tác động của mỗi bước trễ không nhất thiết sẽnhỏ hơn bước trễ trước (not uniform decline)


Ước lượngSử dụng OLSChỉ cần ước lượng một tham số : γ

Số lượng tham số bằng với bậc số mũ (number of parameters is equal to degree of polynomial)

Phải thực hiện một số biến đổi để mô hìnhcó dạng ước lượng được .

Mô hình này trở thành dạng mô hình số học(arithmetic) nếu bậc mũ là 1

OLS với mô hình đã biến đổi


i = 1, . . . , np = 2 và n = 4

Ví dụ: Mô hình mũ bậc 2 β0 = γ0β1 = γ0 + γ1 + γ2β2 = γ0 + 2γ1 + 4γ2β3 = γ0 + 3γ1 + 9γ2β4 = γ0 + 4γ1 + 16γ2

n = Độ trễp = Bậc mũ

Trong đó i = 1, . . . , nβi = γ0 + γ1i + γ2i +...+ γpi2 p

βi = γ0 + γ1i + γ2i2


yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + β3 xt-3 + β4 xt-4 + et

yt = α + γ0 xt + (γ0 + γ1 + γ2)xt-1 + (γ0 + 2γ1 + 4γ2)xt-2+ (γ0 + 3γ1 + 9γ2)xt-3+ (γ0 + 4γ1 + 16γ2)xt-4 + et

Bước 2: Bóc tác các tham số: γ0, γ1, γ2.

yt = α + γ0 [xt + xt-1 + xt-2 + xt-3 + xt-4]+ γ1 [xt-1 + 2xt-2 + 3xt-3 + 4xt-4]+ γ2 [xt-1 + 4xt-2 + 9xt-3 + 16xt-4] + et

Bước 1: Áp đặt ràng buộc: βi = γ0 + γ1i + γ2i2


Bước 3: xác định zt0 , zt1 and zt2 for γ0 , γ1 , and γ2.

yt = α + γ0 [xt + xt-1 + xt-2 + xt-3 + xt-4]+ γ1 [xt-1 + 2xt-2 + 3xt-3 + 4xt-4]+ γ2 [xt-1 + 4xt-2 + 9xt-3 + 16xt-4] + et

zt0 = [xt + xt-1 + xt-2 + xt-3 + xt-4]

zt1 = [xt-1 + 2xt-2 + 3xt-3 + 4xt- 4 ]

zt2 = [xt-1 + 4xt-2 + 9xt-3 + 16xt- 4]


yt = α + γ0 zt0 + γ1 zt1 + γ2 zt2 + et

Bước 5: Biểu diễn βi dưới dạng của γ0 , γ1 , và γ2.^ ^ ^ ^

β0 = γ0

β1 = γ0 + γ1 + γ2

β2 = γ0 + 2γ1 + 4γ2

β3 = γ0 + 3γ1 + 9γ2

β4 = γ0 + 4γ1 + 16γ2

^^^^^^

^ ^ ^^ ^ ^^ ^ ^^ ^ ^

Bước 4: OLS


Ưu nhược điểmÍt tham số để ước lượng

Chính xác hơnNhưng nếu ràng buộc không chính xác thìsao? Ước lượng trêch

Liệu ước lượng mũ có đúng khổng? Linh hoạt hơn trễ số học

Nếu chỉ xấp xỉ đúng ? Kiểm định F test


Kiểm định FƯớc lượng mô hình không hạn chếƯớc lượng mô hình hạn chế (polynomial lag model)

Tính toán con số kiểm định thống kê như trước

So sánh với giá trị tới hạn F(df1,df2)df1=số ràng buộc = số các β trừ đi số γ=(n+1)−(p+1)df2=số quan sát – số lượng các biến trong mô hìnhkhông ràng buộc (kể cả intercept)df2=(T-n)-(n+2)


Độ trễVới cả 03 mô hình vừa nêu, ta cần phảichọn độ trễ (lag length) Có thể coi như là chọn điểm cắt mà

Sau đó biến số không còn tác độngVD: CS tiền tệ không còn tác động tới GDP sau2 năm

Không có tiêu chí thỏa đáng để chọn lựađiều này

Có nên cho độ trễ n là vô hạn hay không?


Tiêu chí chọn độ trễ (Lag-Length Criteria)

Tiêu chí Akaike’s AIC criterion

Tiêu chí Schwarz’s SC criterion

Với mỗi tiêu chí ở trên, ta chọn bước trễ sao chocác tiêu chí trên là nhỏ nhất. Vì khi đưa thêm biếntrễ vào sẽ làm giảm SSE, nên phần thứ 2 củamỗi tiêu chí là một penalty function đối với việcđưa thêm biến trễ vào mô hình

2 ( 2 )ln nS S E nA ICT N T N

+= +

− −

( )2 ln( )( ) ln n n T NSSESC n

T N T N+ −

= +− −


Tóm tắt

1. Trễ bao lâu?? - Độ trễ là khoảng bao lâu thì phù ?- Không có câu trả lời (no good answer)

2. Liệu các tham số có nên bị ràng buộc không? - Thể hiện qua số liệu- Số học hay số mũ-Bậc của số mũ


4. Mô hình trễ Geometric

Có độ trễ dài vô hạnNhưng chúng ta không thể ước lượng mộtsố lượng vô hạn các tham sốBuộc các hệ số của biến trễ phải tuân thủmột trật tự nhất địnhƯớc lượng các tham số cho trật tự/cấu trúc này.

Đối với dạng mô hình trễ geometric thì cấutrúc của độ trễ sẽ có dạng giảm liên tục vớitốc độ giảm dần.


Cấu trúc độ trễ của mô hình geometric

βi

.

.. . .

0 1 2 3 4 i

β1 = β φ

β2 = β φ2

β3 = β φ3

β4 = β φ4

β0 = βgeometrically

decliningweights


Ước lượngKhông thể ước lượng dùng OLS Chỉ cần ước lượng hai tham số : φ,βPhải biến đổi để biểu diễn mô hình dướidạng thức có thể ước lượng đượcSau đó sử dụng biến đổi Koyck (Koycktransformation)Sau đó sử dụng bình phương cực tiểu haibước (2SLS)


yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + . . . + et

Mô hình phân bổ trễ vô hạn:

yt = α + Σ βi xt-i + eti=0

∞

Cấu trúc trế có dạng geometric:

βi = β φi where 0<φ< 1 and βφi > 0 .


yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + β3 xt-3 + . . . + et

Trễ vô hạn không cấu trúc :

yt = α + β(xt + φ xt-1 + φ2 xt-2 + φ3 xt-3 + . . .) + et

Trễ geometric vô hạn (infinite geometric lag):

thay thế βi = β φi

β0 = β β1 = β φ β2 = β φ2

β3 = β φ3. ..


Số nhân giữa kỳ (ví dụ 3 kỳ) (interim multiplier) :

Số nhân tác động (impact multiplier) :β

Số nhân dài hạn :

β(1 + φ + φ2 + φ3 + . . . ) =


β + β φ + β φ2

β1− φ

Phản ứng động (Dynamic Response):



yt − φ yt-1 = α(1− φ) + βxt + (et − φet-1)

Trễ tất cả các toán tử một bậc, nhân với φ, và sau đó lấy mô hìnhgốc trừ đi

φ yt-1 = φ α + β(φ xt-1 + φ2 xt-2 + φ3 xt-3 + . . .) + φ et-1

Biến đổi Koyck (Koyck Transformation)

yt = α(1− φ) + φ yt-1 + βxt + (et − φet-1)

yt = δ1 + δ2 yt-1 + δ3xt + νt


Cần sử dụng 2SLS

yt-1 độc lập với et-1 (xem mô hình)Nhưng yt-1 lại có tương quan với vt-1

Như vậy OLS sẽ không phù hợpOLS không thể phân biệt giữa những thay đổicủa yt do yt-1 gây ra với những thay đổi do vtgây raOLS sẽ coi những thay đổi của vt như lànhững thay đổi của yt-1


Sử dụng 2SLS

1. Hồi qui yt-1 lên xt-1 và tính giá trị ướclượng của yt-1 (fitted value)

2. Sử dụng giá trị ước lượng của yt-1trong mô hình hồi qui Koyck regression

tttt vxyy +++= − 3121 ˆ δδδ


Sao lại thế nhỉ? Từ mô hình hồi qui bước 1, giá trị ươc lượngyt-1 không còn tương quan với et-1 trong khi đóyt-1 thì có tương quanNhư vậy giá trị ước lượng (fitted value) yt-1không còn tương quan vớivt =(et -et-1 )

2SLS sẽ cho kết quả ước lượng nhất quán(consistent) của mô hình phân bổ trễGeometric (Geometric Lag Model)


Mô hình kỳ vọng điều chỉnh dần(Adaptive Expectations Model)

Một dạng mô hình của mô hình biến trễ geometric Nếu chúng ta giả thiết rằng các cá nhân có kỳvọng ở dạng điều chỉnh dần (adaptive expectation) thì mô hình biến trễ geometric là phù hợpGiả thiết về kỳ vọng

Kỳ vọng được xác lập trên kinh nghiệm quá khứKỳ vọng được điều chỉnh dựa trên những sai lầm củaquá khứ

Kỳ vọng điểu chỉnh này không phù hợp với giảthuyết về kỳ vọng hợp lý (rational expectations)


yt = α + β x*t + et

yt = Cầu tiền tệx*t = lãi suất kỳ vọng

(x*t không quan sát được)

Ví dụ: Cầu tiền tệ

x*t - x*t-1 = λ (xt-1 - x*t-1)

Điều chỉnh kỳ vọng dựa trên các sai lầm của quá khứ:


Biến đổi một chút để có thể tiến hành ướclượng

x*t - x*t-1 = λ (xt-1 - x*t-1)

x*t = λ xt-1 + (1- λ) x*t-1

Cho x*t về một phía

λ xt-1 = [x*t - (1- λ) x*t-1]

or


Lấy mô hình ban đầu, trễ một bước và nhân với(1− λ)

yt = α + β x*t + et (1)

yt = αλ - (1− λ)yt-1+ β [x*t - (1− λ)x*t-1]+ et - (1− λ)et-1

Trừ đi, ta có

(1− λ)yt-1 = (1− λ)α + (1− λ)β x*t-1 + (1− λ)et-1 (2)


Thay λ xt-1 = [x*t - (1- λ) x*t-1] vào ta có

yt = αλ - (1− λ)yt-1+ βλxt-1 + utTrong đó ut = et - (1− λ)et-1

Đây chính là mô hình phân bổ trễ màφ=(1−λ)Chúng ta có thể ước lượng mô hình nàybăng 2SLS


Ví dụ: hàm tiêu dùng

C là tiêu dùng, Y* là thu nhập kỳ vọngtrong tương laiĐể quyết định mức tiêu dùng, các cá nhân phảidự đoán về thu nhập trong tương lai của mình

Nếu người ta điều chỉnh kỳ vọng theo giảthuyết điều chỉnh dần

ttt eyc ++= *βα

)( *11

*1

*−−− −=− tttt yyyy λ


Thay vào ta sẽ có dạng

Sử dụng 2SLSƯớc lượng bằn OLS:

Sử dụng thay cho

tttt vycc +++= −− 13121 δδδ

1

3

2

1

1

−−==

−==

ttt eevβλδ

λδλαδ

ttt eyaac ++= −110

1ˆ −tc 1−tc


Mô hình điều chỉnh dần

Một dạng khác của mô hình điều chỉnh dầnGiả thiết rằng các cá nhân điều chỉnh mọithứ dần dần

Việc điều chỉnh có thể tốn kém, nên không điềuchỉnh ngay

Ví dụ : Hàn trong kho của các công ty

y*t = α + β xt + et


Hàng trong kho sẽ được điều chỉnh dần tớimức tối ưu

Tham số γ cho biết tỷ lệ chênh lệch giữacon số thực tế và con số mong muốn điềuchỉnhViệc điều chỉnh ngay lập tức có thể có tốnkémMô hình trên rất giống, nhưng không giốngtuyệt đối mô hình kỳ vọng điều chỉnh dần(AE model)

yt - yt-1 = γ (y*t - yt-1)


Biến đổi một chútyt - yt-1 = γ (y*t - yt-1)

= γ (α + βxt + et - yt-1)= γα + γβxt - γyt-1+ γet

yt = γα + (1 - γ)yt-1 + γβxt + γet

Tìm yt :


Kết luậnTrong bài giảng này ta đã xem xét mô hìnhphân bổ trễMột bước tiến so với mô hình tĩnhNhưng nói chung, mô hình vẫn giả thiếtrằng chúng ta vẫn có số liệu là cân bằng(stationary processes.)Việc dãy số không cân bằng sẽ được xemxét tiếp trong các phần tiếp sau

Education

Day 4 regression with distributed lag