Upload
matematikcanavari
View
2.120
Download
9
Embed Size (px)
DESCRIPTION
İNTEGRAL UYGULAMALARI
Citation preview
GÖSTERİYE BAŞLA
Aa b
∫=b
adxxfA )( ∫−=
b
adxxfA )(
a bA
a b
A1
A2
∫ ∫ −+=b
a
c
bdxxfdxxfA )()(
Rbaf →],[: tanımlı ve bu aralıkta sürekli olmak koşuluyla;
∫b
a
dxxf )(İntegralinin değerine x=a dan x=b ye kadar f(x) eğrisi ve x ekseni arasındaki alan denir.
TANIM:
f(x) in grafiği y-ekseni y=m ve y=n doğrularıyla sınırlı bölgenin alanı
m
n
A
∫=n
mxdyA
NOT:
∫−6
3)( dxxfa) Yukarıda verilen f(x) fonksiyonuna göre
integralinin değeri nedir? Denildiğinde alanların cebirsel toplamı yapılır.
∫−=+−=
6
3152059( dxxf
b)|-3,6| aralığında f(x) ve x ekseni arasındaki taralı alan nedir? denildiğinde ise mutlak değerce toplamı yapılır.
26
325205)( brdxxf =+−=∫−
-3 63br2
20br2
ÖRNEK1 :x+2 doğrusu x=-1, x=2 doğruları ve x-ekseni arasında kalan alankaç br2dir?
ÇÖZÜM: meydana gelen şekil yamuk olup integralsiz de çözülebilir.
22
2
1
2
1
2
1
2
2
152
2
12*2
2
2
22
)2()(
br
xx
dxxdxxfA
=
−−
+=
+=+== ∫ ∫− −−
y=x+2
x
-2
2
-1 2
y
ÖRNEK2: f(x)=2-x2/2 eğrisi ile ox ekseni arasında kalan alanı bulunuz.
ÇÖZÜM:
-2 2
2
( ) ( )
2
33
2
2
2
2
32
3
16
3
44
3
44
6
22*2
6
22*2
3*
2
12
22
br
xxdx
xA
=−+−=
−−−−
−=
−=
−=
−−∫
Şekillerde görüldüğü gibi taralı alan;
[ ] dirdxxgxfAb
a')()(∫ −=
a b
f(x)
g(x)
1)f(x)
g(x)
a b
g(x)
f(x)
g(x)a
b
f(x)
2) İki eğri arasında kalan alan şekildeki gibi ise
f(x)
a b c
g(x)
∫ −=c
adxxgxfA )()(
[ ] [ ]∫ ∫ −+−=b
a
c
bdxxgxfdxxfxg )()()()(
ÖRNEK3: y=x2 eğrisi ile y=x+2 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç br2dir?
ÇÖZÜM: Önce kesim noktaları bulunup, grafik çizilir.
y=x2 , y=x+2
x2=x+2
x2-x-2=0
(x+1) (x+2)=0
x=-1 , x=2
y=x+2
y=x2
x
-2
2
2
-1
y
[ ]∫ −=b
adendxxgxfA ')()(
2
2
1
2
1
322
2
9
2
15
3
1
3
8
2
126
3
12
2
1
3
842
32
2)2(
br
xx
xdxxxA
=−=
−−−+=
+−−
−+=
−+=−+=−−∫
ÖRNEK4: y2=x eğrisi ile y=x-6 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı kaç br2dir?
ÇÖZÜM: y=x-6
y2=x
3
-2x
yy2=y+6
y2-y-6=0
(y+2) (y-3)=0
y=-2 , y=3
Şekilden de anlaşılacağı gibi y ekseni arasında kalan alanı bulmalıyız.
( )
dirbr
yy
ydyyyA
'6
125
6
1119
3
8
2
919
3
8109
2
9
3
812
2
4
3
2718
2
9
36
26
2
3
2
3
2
322
=+=−+=
−++=
+−−
−+=
−+=−+=−−∫
ÖRNEK5: f(x)=x2-x, g(x)=3x-x2 eğrileri arasında kalan bölgenin alanını bulunuz.
ÇÖZÜM: iki eğriyi ortak çözüp integral sınırlarını bulalım.
f(x)=g(x) x2-x=3x-x2 ise 2x2-4x=0 x=0, x=2 dir.
[ ] ( )∫ ∫ +−−=−=2
0
2
0
223)()( dxxxxxdxxfxgA
() ∫− = − =2
0
2
0
3 22
32
2
42 4
x xdx x x A
.'3
8
3
1680
3
8*24*2 2 dirbr=−=−
−=
ÖRNEK6: f(x) fonksiyonunun grafiği şekildeki
gibidir. Buna göre; ve
ise
değeri nedir?
∫ =c
adxxf 10)(
∫ =c
adxxf 18)( ∫
c
bindxxf ')(
a bc
f(x)
ÇÖZÜM:
ise üstteki pozitif alan ile alttaki negatif alanın toplamıdır.
∫ =c
adxxf 18)( şekildeki taralı alanların toplamıdır.
∫ =c
adxxf 10)(
∫ =b
aAdxxf )( ∫ =
c
bBdxxf )( (B<0) dersek,
∫∫
=+=
=−=c
a
c
a
BAdxxf
BAdxxf
10)(
18)(
4
14
10
18
−==
=+=−
B
A
BA
BA
∫ −=c
bdxxf 4)(
Yani;
bulunur.
ÖRNEK7: Grafiği verilen f(x) fonksiyonu,
x=2 doğrusu ve x ekseni arasında kalan taralı
alan kaç br2dir?
y=x2+2x
2-2
x
y
( ) ( ) ( )
2
2
0
23
0
2
23
2
2
2
0
20
2
22
2
2 21
83
24
3
20
3
404
3
84
3
80
33
222
)(
br
xx
xx
A
dxxxdxxxdxxx
AAdxxf
==+=
−
++
+−−=
++
+−=
+++−=+
+=
−
− −
−
∫ ∫∫∫
ÇÖZÜM:
Y=f(x) denklemi ile temsil edilen eğrinin [a,b] aralığına ait parçanın Ox ekseni etrafından döndürülmesi ile elde edilen cismin hacmi :
∫∫ ==b
a
b
a
x dxydxxfV 22)( ππ
x
y=f(x)y
ba
1.
2.
Aynı şekilde y=f(x) denklemi ile temsil edilen [c,d] aralığına ait parçanın Oy ekseni etrafında döndürülmesi ile meydana getirilen cismin hacmi:
∫ ∫==c
c
d
c
y dyxdyyfV 22)( ππ
d
a b
c
x
y
y=f(x)
f(a)=c
f(b)=d
3.
ba
y
x
f(x)
g(x) İki eğri arasında kalan alanın Ox ekseni etrafında 360 derece döndürülmesinden elde edilen şeklin hacmi:
∫ −=b
a
x dxxgxfV ])()([ 22π
Örnek 1:y=x2 eğrisi ile x=2 doğrusu ve x ekseni arasında kalan alanın Ox ekseni etrafında döndürülmesinden oluşan cismin hacmi kaç br3 dür?
3
2
0
5
2
0
4
2
0
2
5
32
5
br
x
dxx
dxyVx
π
π
π
π
=
=
=
=
∫
∫
dür.
x=2
x
y
y=x2
Çözüm:
Örnek 2: y=ex eğrisi ve x=1 doğrusu ve eksenler arasında kalan bölgenin Ox ekseni etrafında döndürülmesinden oluşan cismin hacmi kaç br3 dür?
Çözüm: y=ex
1 x
y
( )
( ) 32021
0
2
1
0
2
21
0
1
0
2
12222
breeee
dxe
dxe
dxyV
x
x
x
X
−=−==
=
=
=
∫∫
∫
ππππ
π
π
π
Örnek3:
Çözüm:
y=cosx eğrisinin x=0, x=л doğruları ve x ekseni arasında kalan alanın yine ox ekseni etrafında döndürülmesinden meydana gelen cismin hacmi kaç br3’tür?
y=cosx
π /2 π0
y
x
0 ve π/2arasındaki alan, π/2 ile π arasında kalan alana eşit olduğundan x ekseni etrafında dönmesinden oluşacak hacimlerde eşit olacağından;
( )∫ ∫
∫∫+=+=
==
2
0
2
0
2
0
22
0
2
12cos2
12cos2
cos22
π π
ππ
ππ
ππ
dxxdxx
xdxdxyVx
( )
32
20
22
022
1*
22sin
22
1*2sin
br
x
πππ
ππππππ
==
−
+=
+=
Örnek4:
Çözüm:
f(x)=2/x2 eğrisine x=1 apsisli noktadan çizilen teğeti ile eksenler arasındaki düzlemsel bölgenin oy ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan şeklin hacmi kaç br3’tür?
Meydana gelen düzlemsel bölgenin alanı şekildeki gibidir.
Önce f(x)in x=1 noktasındaki teğeti bulunur.
-3/2 3/2x
y f(x)=-2x*2/x4 =-4/x3
m=f-1(x)=-4
x=1 için f(1)=2
A(1,2)
Teğetin denklemi:
y-y1=m(x-x1)
y-2=-4(x-1)
y=-4x+6
1. Yol: Şekil konidir. Koninin hacminden;
3
2
2
2
9
3*4
6*9*
3
6*23
*
3
**br
hrV
ππππ ==
==
2.Yol:
( )
( ) ( )3
3323
6
0
23
6
0
26
0
6
0
22
2
9
16
72*
667216
06*366*63
6
16
362
12
316
3612164
6
br
yyy
dyyydyy
dyxVy
ππ
ππ
π
πππ
==
+−=−
+−=
+−=
+−=
−−== ∫∫ ∫
Örnek5: İntegral yardımıyla koninin hacmini bulunuz.
Çözüm: Koninin yüksekliğine h ve taban yarıçapına r diyelim ve [AB]doğrusunun denklemini bulalım.
A(0,r)
B(h,0)
y
x
A (0 , r) = (x1 , y1) , B = (h , 0) = (x2 , y2)
(x-x1) * (y2-y1) = (x2-x1) * (y-y1)
(x-0) * (0-r) = (h-0) * (y-r)
-x*r = h*(y-r) ise y=r-(x*r)/h
Buna göre;
( )
32
222
3
2
22
22
0
3
2
2222
0 2
2222
0
2
3
**
3
03
**
3*
2*
2*
***2
*
brhr
V
hrhrhr
h
h
rh
h
rhr
x
h
rx
h
rxr
dxh
rx
h
rxr
dxh
rxrV
x
h
h
h
x
π
π
π
π
π
π
=
+−=
−
+−=
+−=
+−=
−=
∫
∫
1 ) y=x2-2x eğrisi x=3 doğrusu ve x ekseni arasında kalan alan kaç br2’dir?
E) 3/2 A ) 16/3 B) 8/3 C ) 4/3 D) 3
ÇÖZÜM: A=A1+A2
y=x2-2x
y
x
32
( ) ( )
2
3
2
232
0
23
2
0
3
2
22
3
8
3
40
3
4
43
89
3
2704
3
8
22
322
3
22
br
xxxx
dxxxdxxxA
=++=
−−
−+
−
−−=
−+
−−=
−+−−= ∫ ∫
CEVAP B
2) y=x3 eğrisi y=3 doğrusu ve y-ekseni arasında kalan alan kaç br2’dir?
E ) A ) 4 B) C ) D ) 2 3 43 43
4
43
ÇÖZÜM:
-1
y=3
y=x3-1
( )
( )
233 4
3 43 4
3
13 4
4
3
1
3
1
32
23
3
1
3
1
3
434*4
3
)11(134
3
14
3
43
33*
*31
1
br
yt
dttdtttA
dydttyt
dyyxdyA
==
+−−
+=
+==
==
=⇒+=
+==
−
− −
− −
∫ ∫
∫ ∫
CEVAP D
3) y=lnx eğrisi ox ekseni ve x=e doğrusu arasında kalan düzlemsel bölgenin alanı kaç br2’dir?
E) 5/2 A ) 1/2 B) 1 C ) 3/2 D) 2
e1
y=lnx
y
x
( ) ( )2
1
1
110)(
11ln*1ln*
ln*
**lnln
bree
eee
xxx
x
dxxxxxdxA
e
e
=+−−=−−−=
−=
−== ∫∫
xu ln= dxdv = xv =x
dxdu =∫=
exdxA
1ln
CEVAP B
ÇÖZÜM:
4) y=2-x2 ile y=x2 eğrileri tarafından sınırlanan alan kaç br2’dir?
E) 8/3 A ) 11/12 B) 5/6 C ) 4/3 D) 1/2
ÇÖZÜM:
-11
1
y=x2
y=2-x2
y=x2
y=2-x2
x2=2-x2
2x2=2 ise x2=1
x=1, x=-1
( )
( )
( ) ( )
2
33
1
1
1
1
32
1
1
221
1 21
3
8
3
4
3
4
3
4
3
4
3
22
3
22
3
1*21*2
3
1*21*2
32222
2)(
br
xxdxx
dxxxdxyyA
=+=
−−=
+−−−=
−−−−
−=
−=−=
−−=−=
−−
−−
∫
∫∫
CEVAP E
5 ) f(x)=lnx eğrisinin x=e noktasından çizilen teğeti ile x ekseni ve
f(x) = lnx eğrisi arasındaki alan kaç br2’dir?
E) (e-2)/2 A ) 2 B) 1 C ) e D) e/2
ÇÖZÜM: Önce teğetin denklemi bulunur.
f(x) = lnx A(e,1)
f´(x)=1/x ise m=1/e dir
y-y1=m(x-x1)
y-1=1/e(x-e)
y=x/e-1+1 y=x/e
T
y=lnx
01 e
1
2
21
2
1ln*ln
21**
2
1
1 1
−=−=
=−==
==
∫ee
A
xxxxdxS
eeA
e e
üçgen
CEVAP E
6 ) f(x)=x2 parabolü ve g(x)=x doğrusu arasında kalan düzlemsel bölgenin ox ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi nedir?
E) π A ) π/15 B) 2π/15 C ) 1/15 D) 15/πA ) π/15 B) 2π/15 C ) 1/15 D) 15/π
ÇÖZÜM: f(x) =g(x) ⇒ x2=x ⇒ x=0 veya x=1
( ) ( )[ ]( )
3
1
0
53
1
0
42
1
0
22
15
2
5
1
3
1
5
1
3
1
*
br
xx
dxxx
dxxfxgV
ππ
π
π
π
=
−=
−=
−=
−=
∫∫
CEVAP B
1
f(x) =x2
g(x) = x
7 ) y=x2 parabolü, x=0 ve y=2 doğruları arasında kalan bölgenin Oy eksen etrafında 360° döndürülmesi ile elde edilen dönnel cismin hacmini bulunuz.
E) π/3 br3 A ) 2π br3 B) 3/2π br3 C ) π br3 D) π/2 br3
2 y=2
y=√ x
ÇÖZÜM: y = x2 ⇒ x = √y (x >=0) dır. Oluşan cismin hacmi:
32
0
2
2
0
22
0
2
4
2
****
bry
dyydyyV
ππ
ππ
==
== ∫∫
CEVAP A
8 ) x2+(y-3)2 =4 çemberinin sınırladığı bölgenin, Oy ekseni etrafında dönmesinden oluşan cismin hacmi nedir?
E) π/2 br3 A ) 32/2π br3 B) 32/3π br3 C ) 16π /2br3 D) 5π/6 br3
3
1
5y=(√4-x2)+3
-2 2
ÇÖZÜM: M(0,3) r=2
Oluşacak şekil küre olduğundan
Kürenin hacmi ile de çözülebilir.
Vy=4/3π br3 =4/3π*8
32/3π br3
CEVAP B
9 ) y= x2 eğrisi ile y=4 doğrusu x ekseni etrafında döndürülüyor. Elde edilen cismin hacmi kaç br3’tür?
E) π/256 br3 A ) 256/4π br3B) 128/5π br3C ) 64π /2br3 D) 256π/5 br3
ÇÖZÜM: x2=y x2=4 x=2 , x=-2
y2=x2
y1=4
-2 2
( )( ) 32
2
4
2
2
22
21
5
25616*
*
brdxx
dxyyVx
∫∫
−
−
=−=
−=
ππ
π
CEVAP D
İLK SLAYT