Profª Débora Bastos

Antiderivadas Todas as operações básicas possuem as chamadas operações inversas:

Adição Subtração

3 + 2 = 5 5 − 2 = 3 Multiplicação Divisão

2x3 = 6 6 ÷ 3 = 2 Potenciação Radiciação

32 = 9 Potenciação Logaritmação

32= 9 log39=2

3=9

Antiderivadas Se considerarmos a derivada como um operador sobre as funções, a operação inversa será chamada de antiderivada.

Definição 1: Uma função F será chamada de função primitiva ou antiderivada de uma função f, num intervalo I se F’(x)=f(x) para todo x ∈ I.

Exemplo:Encontre a antiderivada da função f(x)= 4x3

F1(x)=x4 F1’(x)=4x3

F2(x)=x4+1 F2’(x)=4x3

F3(x)=x4+200 F3’(x)=4x3

Antiderivada Observação: Se foi informada apenas a função f, a antiderivada não é única, pois qualquer constante acrescentada a derivada será a mesma.

Exemplo: Encontre a função primitiva de f(x)=4x3:

F(x)= x4 + k, k constante k∈ lR.

Observação: Dizemos que a antiderivada de f é uma família de funções, pois temos infinitas possibilidades para k.

Antiderivadas Exemplo: Encontre a antiderivada F da função real f tal que f(x)= 4x3, sabendo que F(1)=3.

F(x)= x4 + k F(1)= 1 + k

F(x)= x4 + 2

1+ k =3K = 2

Interpretação Geométrica Exemplo: Encontre a família de funções primitivas da função real tal que f(x)=2x.

F(x)=x2+k Fixado qualquer valor de x, as retas tangentes a família F em x são paralelas.

Antidiferenciação Definição 2: Antidiferenciação é o processo de encontrar o conjunto de todas as antiderivadas de uma dada função.

Notação:

∫ += kF(x)f(x)dx

Sinal de integração

Função Integrando

Diferencial da variável de integração

Integral Indefinida Família de

antiderivadas

Integral Indefinida Observação: A notação da integral indefinida (antidiferenciação), usa o conceito de diferencial (introduzido por Leibniz), pois além de estar de acordo com a definição de antiderivada auxilia em dispositivos práticos para obter a antiderivada.

Seja F a função primitiva de f, ou seja, F’(x)=f(x) para todo x ∈ D(f).

Y=F(x) f(x)(x)F'dx

dy ==

∫ ∫ ∫ === ydy.dxdx

dyf(x)dx

Teoremas sobre integrais indefinidas

Sendo k uma constante real:

∫ +=− kxdx1 1dx

d(x) =

real constante a

f(x)dxaaf(x)dx2 ∫ ∫=−

dx

dv

dx

du

dx

v)d(u +=+∫ ∫ ∫+=+− g(x)dxf(x)dxg(x)]dx[f(x)3

1n para

k1n

xdxx4

1nn

≠

++

=− ∫+

dx

dua

dx

d(au) =

1nn

nxdx

)d(x −=

Observação: Para verificar se a integral indefinida foi obtida corretamente, podemos derivar o resultado e verificar se a resposta é o integrando da integral indefinida.

1n para

k1n

xdxx4

1nn

≠

++

=− ∫+

n11n1n

1n

xx1n

1n

dx

)x(d

1n

1

dx

1n

xd

=⋅++=⋅

+=

+ −+

+

+

Exemplos: Determine:

∫− dxx1 2

∫− dxx

12

2

∫− dxx3 3

∫ +− 5)dx(3x4

∫ ++− 7)dx2x-9x8x-x5(5 234

∫

−+− dxx

x7x2x6

23

Mais fórmulas básicas

k1n

vdvv5

1nn +

+=−

+

∫ dx

dvnv

dx

)d(v 1nn

−=

∫ +=− kvlnv

dv6

dx

dv

v

1

dx

d(lnv) ⋅=

∫ +=− kaln

adva7

vv

dx

dvaln.a

dx

)d(a vv

⋅=

∫ +=− kedve8 vv

dx

dve

dx

)d(e vv

⋅=

Exemplos:( )∫ +− dx5x21 2

∫

−− dx35xx2 2

∫ +− dx

2x

x4

4

3

∫ −−

x51

dx3

∫− xdxe112x

∫− dx28 x

∫− dxe10 3x

∫−

− dxx41

x7

2

∫− gxdxt5

∫− otgxdxc6

∫− 4xdxsec39 2tg4x