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Asignatura: MATEMÁTICA II (Lic. Economía) - U.N.R.N. – AÑO: 2017 Trabajo Práctico Nº 1: MATRICES Y DETERMINANTES

UNRN - Licenciatura en Economía - Trabajo Práctico 1 - Matrices y Determinantes - 2017 Pág. 1

1) Escriba:

a) una matriz diagonal A 44x�� cuya traza sea nula (tr (A) = 0 ).

b) una matriz simétrica A 33x�� cuya traza sea igual a diez ( tr (A) = 10 ); y una matriz antisimétrica B

33x�� para la cual sean iguales las sumas de los elementos de cada fila. ¿Cuánto vale la traza de esta (y también de cualquier otra) matriz antisimétrica? c) una matriz triangular superior con sus elementos no nulos iguales en cada fila d) una matriz triangular inferior con sus elementos no nulos iguales en cada columna

2) Escriba explícitamente las siguientes matrices definidas por comprensión, como sigue:

a) A 32x�� / ija = i + j ; � i=1,2 ; � j = 1,3

b) B 23x�� / ijb = 2i – j ; � i,j

c) C 33x�� / ijcij G ; ¿ quién es C ? NOTA: ijG = ji

jiz

01

(Delta de Kronecker)

d) D 22x�� /

jiδij=dij .4.�; � i, j

3) Considere las siguientes matrices reales: A = B = C = D = E = F = G = H =

a) Clasifíquelas como matrices fila, columna, cuadradas o rectangulares b) Especifique sus dimensiones (o tamaño) y, en los casos en que pueda, determine su traza (tr) c) Para las matrices anteriores, evalúe (y en caso de NO ser factible una operación, explique porque):

I . A ; 2 . D ; A + B ; A – F ; 2 . B + 3 . E ; C + 2 . Ht ;

B . C ; Bt . C ; G . At ; H . D . C ; D . E ; E . D 4) Una firma con 3 sucursales tiene: 10 televisores, 20 radios y 20 computadoras en su sucursal de Villa La Angostura; 30 computadoras, 60 TV y 30 radios en la sucursal Bariloche; y 25 radios, 35 TV y 25 computadoras en su local de El Bolsón.

a) Arme una matriz apropiada para representar el stock de cada producto en cada sucursal. b) Explique que representan: i) el elemento ( i, j ) de la matriz armada? ii) la suma de los 3 elementos de la primera fila de su matriz? iii) la suma de los 3 elementos de la segunda columna de su matriz? iv) ¿qué representa la suma de todos los elementos de la matriz, en este problema?

5) Suponga que una zapatería con dos sucursales registra sus respectivos niveles de stock para 4 productos (en unidades de pares de calzado). Para el día 1/2/2010 están representados por el siguiente cuadro:

Sucursal Zapatos Sandalias Botas Zapatillas Bs. As. 600 300 500 700 M.D.Plata 300 400 250 200

»»»

¼

º

«««

¬

ª�

2

2

1

»¼

º«¬

ª

�� 21

0 1 »¼

º«¬

ª

213

132

»»»

¼

º

«««

¬

ª

� 431

210

021

»¼

º«¬

ª

�

�

0 32

112 »¼

º«¬

ª�

11

23 > @14 > @122 �



Considerando cada entrada del registro de stocks como elemento de la matriz A 42x�� al día 1/2/2010, indique:

a) ¿Cual es la expresión matemática requerida para calcular el total de pares de calzado en cada una de las

sucursales? Luego, determine numéricamente dichos valores. ¿Cómo es la expresión que permite conocer el total de pares de calzado en la sucursal “i” ?

b) Haga lo mismo que en a) pero ahora para determinar el número total de pares de zapatos (entre ambas sucursales). Luego, lo mismo para el número total de botas. ¿Con qué expresión matemática determina el número total de calzados de tipo “j” (entre ambas sucursales)?

c) ¿Qué operación debe realizarse para conocer el stock total de calzado en la zapatería al 1/2/2010? Evalúe luego numéricamente dicho stock total.

d) Al día siguiente, se recibió un nuevo cargamento de calzados en cada sucursal, representado por la matriz B, según el siguiente detalle:

b1j = 2 . a 1j � j = 1,4 ; b2j = 3 . a 2j � j = 1,4 . Escriba explícitamente la matriz B que representa el cargamento recibido, y determine el stock total al día 2/2/2010

6) Considerando los stocks de calzado al 1/2/2010 del problema previo, suponga que los precios por par son, respectivamente: $200- para zapatos, $150- para sandalias, $300- para botas y $150- para zapatillas. Representando matricialmente el problema, determine cuál es el valor en pesos ($) del stock total de calzados en cada sucursal.

7) Una cadena de comidas rápidas vende 1000 hamburguesas, 600 panchos y 1200 gaseosas en una semana. Los respectivos precios de venta unitarios son $15-, $10- y $10- El costo unitario (o costo medio) que representa producir una unidad de cada producto a la cadena es de $10-, $5- y $8-, respectivamente.

a) Represente matricialmente los números de unidades vendidas, el precio de venta y el costo, por producto. b) Determine (matricialmente) el ingreso total luego de la venta c) Determine (matricialmente) el beneficio medio (o unitario) correspondiente a cada producto. d) Determine el beneficio total por las ventas realizadas

8)a)Considere las tres matrices siguientes: A = ; B = ; C= ; para calcular: A–1 + B t . C

8)b)Considere las tres matrices siguientes:

A =

1 11 2ª º« »¬ ¼ ; B =

0 11 0

ª º« »�¬ ¼ ; C=

»¼

º«¬

ª�

�11

2/10

; Evalúe la siguiente expresión matricial: A. B t – 2. C =

8)c) Dadas las siguientes matrices A = »¼

º«¬

ª14482

, B = »¼

º«¬

ª�

�14

27 y C = »

¼

º«¬

ª� 01

10

Evalúe la siguiente expresión matricial, explicitando los pasos y resultados intermedios. B t. A – 2 C –1

9)Utilizando el método de Gauss-Jordan, calcular (cuando sea posible) la inversa de las siguientes matrices

D =

0 11 2 22 1 1

1ª º« »«¬

�«

�

¼�»»

E =

10

1 10 1

1 2 1

ª º�« »« »« »¬ ¼ F =

11 1

1 0 2

1 00ª º«

��

�

»« »« »¬ ¼ G =

1 1 00 0 11 2 0

ª º« »« »« »¬ ¼

»¼

º«¬

ª1011

»¼

º«¬

ª3012

»¼

º«¬

ª2104



10)Resolver la siguiente ecuación matricial: A . X – B = C, donde:

»¼

º«¬

ª�

0114

A;

»¼

º«¬

ª

101-2

1-021B

; »¼

º«¬

ª

�

�

0301

1210C

11) Considere las matrices

A =

1 1 00 0 11 2 0

ª º« »« »« »¬ ¼ y B =

01

1 00 00 0 1

ª º« »« »« »¬ ¼ . Encuentre la matriz X que verifique: A.X + B = 0

12) Calcular los determinantes de las siguientes matrices: a) con la regla de Sarrus; b) desarrollando por alguna fila, y c) desarrollando por alguna columna. [ Aproveche las propiedades de dets. para simplificar algún cálculo!]

A =

1 11 2ª º« »¬ ¼ | B =

0 11 0

ª º« »�¬ ¼ C =

»¼

º«¬

ª�

�11

2/10

G = »»»

¼

º

«««

¬

ª

�

�

112

0 11

1 01

H = »»»

¼

º

«««

¬

ª

��

�

��

255

0 2 2

433

J = »»

¼

º

««

¬

ª

315153531

13)Determine si la siguiente matríz es invertible y, en caso de ser factible, calcule su inversa:

14) Encuentre los valores posibles de “k” para que A.B tenga inversa:

A=»»»

¼

º

«««

¬

ª

�

��

00100

111k B=

»»»

¼

º

«««

¬

ª �

250011021

k

15) Dada la siguiente matriz: A =

1 1 00 0 11 2 0

ª º« »« »« »¬ ¼ ; calcular:

i) det (A2) + det(A–1) ii) det (A . At )

16) Sean A = »»»

¼

º

«««

¬

ª ��

202121

y B = »¼

º«¬

ª��

102321

; calcular el determinante de: C = (A.B) t

17)a) Usando las propiedades de determinantes calcule: det ; donde:

»»»

¼

º

«««

¬

ª

201320121

A

»»»

¼

º

«««

¬

ª

111011001

B� �> @tBAB ��12

»»»

¼

º

«««

¬

ª

100011201

A



17-b)Usando las propiedades de determinantes, calcule: det ;donde:

y

18) Sean y matrices no singulares(o invertibles).

Hallar todos los valores de “x” tales que: _ _ _ _tB)(=BA 2.. 19) Halle los valores de la constante real k , para los cuales vale: det (At) + det(A2) + det(A–1 B) = 0 donde:

A = »»»

¼

º

«««

¬

ª

37602800k

B = »»»

¼

º

«««

¬

ª

222103111

Sugerencia: aprovechar las propiedades de los determinantes. 20) Calcular, si existen, las inversas por determinantes de las siguientes matrices:

A = »»»

¼

º

«««

¬

ª

315153531

B = »»»

¼

º

«««

¬

ª

1073752321

C = »»»

¼

º

«««

¬

ª�

210301432

D = »»»

¼

º

«««

¬

ª

213654321

21) Dadas las siguientes matrices, donde k es una constante real: 𝐴 = 2 𝑘

1 1 ; 𝐵 = 𝑘 04 1

a)Determine los valores de k para los cuales la matriz C = A.B es una matriz invertible b)Para k=1 halle la solución de la siguiente ecuación matricial, explicitando todos los pasos y resultados intermedios (O es la matriz nula): B.X + A = O 22) a)Determine si la siguiente matriz es invertible y, en caso de ser factible, calcule su inversa:

𝐴 =1 2 10 1 10 0 1

b)Resuelva la siguiente ecuación matricial: AX + B = C, donde: Bt = (2, 2, 0), Ct = (4, 2, 1)

»»»

¼

º

«««

¬

ª �

14130121

xA»»»

¼

º

«««

¬

ª

51100111

xB

21

21 BBAt �

»»»

¼

º

«««

¬

ª

315118002

A»»»

¼

º

«««

¬

ª

200540321

B

RESPUESTAS - Trabajo Práctico Nº 1: Matrices y Determinantes Asignatura: Matemática II (Lic. Economía) - U.N.R.N. Año: 2017

Respuestas TP 1 - Matemática II - Licenciatura en Economía 2017 Pág. 1

1) a)A=

−1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 −4

b)A=5 −2 1−2 6 31 3 −1

; B=0 −2 2−2 0 22 −2 0

donde tr(B)=0 y de todas las Matrices

Antisimétricas

c)0 3 30 0 20 0 0

ó también: 4 4 40 1 10 0 0

d)−1 0 0−1 8 0−1 8 3

2)

a)A= 2 3 43 4 5 b)B=

1 03 25 4

c)C=1 0 00 1 00 0 1

d)D= −3 −8−8 −15

3) a), b), c): A es cuadrada, tamaño 2x2, tr(A)=-1; B rectangular, 2x3; C es columna, 3x1; D es cuadrada, 3x3, tr(D)=6; E es rectangular, 2x3; F es cuadrada, 2x2, tr(F)=-2; G es fila, 1x2; H es fila, 1x3

I . A = ( 1 0−1 −2) ; 2 . D =

( 2 4 00 2 4−2 6 8) ;

A + B = no se puede por ser de diferente tamaño

A – F = (4 −2−2 −3) ; 2 . B + 3 E = (

10 9 −10 11 4 ) ;

C + 2 . H t = ( 3−24 )

; B . C = (63) ;

Bt . C = no se puede; G . A t = (4 −6) ;

H . D . C = ( 9 ); D.E = no se puede; E . D = (3 2 −2−2 −1 6 )

4) a)S=10 20 2030 60 3025 35 25

, donde

b) i) sij es la cantidad de determinado articulo j que posee la sucursal i ii) La cantidad de artículos en total que posee las sucursal 1 (V.La Angostura). iii) El total de radios que posee la firma entre todas sus sucursales. iv) La cantidad total de artículos que posee la firma, es decir, el stock total.



5)

a) ∑j=1

4

aij; s1=600+300+500+700=2100; s2=300+400+250+200=1150

b) ∑i=1

2

aij, ∑i=1

2

a3j

c) ∑i=1

2

∑j=1

4

aij=2100+1150=3250

d) B=1200 600 1000 1400

900 1200 750 600; A+B=

1800 900 1500 2100

1200 1600 1000 800

6) 645000

7) a)Ventas=(1000 600 1200); Precio de venta=151010

; Costo=1058

b)Ingreso luego de ventas=V x P=33000

c)Beneficio unitario=P – C=552

d)Beneficio total=V x B=10400 8)

a) (0 03 −2)

b) (9 −11 7 )

c) (−14 346 −14)

9)

D−1=( 015

25

−1 35

15

−1 15

25)

E−1=( 23 −1 13

−13

0 13

0 1 0) F−1=(2 2 1

1 2 11 1 1) G−1=( 2 0 −1

−1 0 10 1 0 )



10)

X=(−3 1 3 −113 −3 −10 4 )

11)

X=(−2 0 11 0 −10 −1 0 )

12) |A|= 1 |B| = 1 |C|= - 1/2 |G|=-4 |H|= 0 |J| = -108

13) Invertible, inversa=

A−1=( 1 0 −2−1 1 20 0 1 )

14) k distinto de cero 15)

i) 0 ii) 1

16) |C| = 0

17) a)24 b)1

18) AxB=1 − 𝑥 0 −2

4𝑥 3 + 𝑥 15 + 𝑥1 + 𝑥 2 10

; det(A.B)= -6(x2–1);

(2xB)t =2 0 2𝑥2 0 22 2 10

; det(2xB) t = 8. (x–1)

Rta: x= –1

19) 6k + (6k)2 + 1/(6k).0 = 0 => 6k + 36k2 = 0 => k = –1/6

20)

21)

A−1=(−18

0 15

0 15

−18

15

−18

0 )

C−1=(34

12

−94

−12−1 5

214

12

−34)

D−1=(−49

19

13

−109

79

−23

119

−59

13)

a) k≠0; k≠2

b) −2 −1

7 3

22) a) A-1 = 1 −2 10 1 −10 0 1

; b) X = 3

−11

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