Structuri discrete - Curs5: Calculul propozițional

Logica s, i calculul propozit, ionalStructuri discrete (F.02.O.13)

Radu Dumbraveanu

Universitatea de Stat “A. Russo” din Balt, iFacultatea de S, tiint,e Reale

Aceasta prezentare este pusa la dispozitie sub Licenta Atribuire -Distribuire-ın-conditii-identice 3.0 Ne-adaptata (CC BY-SA 3.0)

2013

R. Dumbraveanu (USARB) Logica s, i calculul propozit,ional 2013 1 / 36

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.ro

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.ro

Ce este (sau ce studiza) logica?

Logica poate fi definita ca stiinta a evaluarii argumentelor(rat, ionamentelor).

Un argument, ın logica, este un s, ir de enunt, uri (sau judecat, i) ın careultimul enunt, , numit concluzie, rezulta din celelate enunt, uri, numitepremize.



Logica poate fi definita ca stiinta a evaluarii argumentelor(rat, ionamentelor).

Un argument, ın logica, este un s, ir de enunt, uri (sau judecat, i) ın careultimul enunt, , numit concluzie, rezulta din celelate enunt, uri, numitepremize.



Exemplu (de argument)Socrate este om. Toti oamenii sunt muritori. Deci Socrate este muritor.

Exemplu (de argument)Zapada este alba. Alb este adjectiv. Deci zapada este adjectiv.

[Deci ]Argumentele (rat, ionamentele) pot fi adevarate sau false (valide sauinvalide, corecte sau incorecte ...).

[Iar ]Logica ne ofera cadrul teoretic pentru a evalua corectitudineaargumentelor.




















Logica formala

In literatura de specialitate deseori este utilizeaza sinonimul “logicaformala”.

Logica este o s, tiint, a formala ıntrucıt se face abstract, ie de cont, inutulrationamentelor; acestea sınt cercetate ın general.

Exemplux este y. y este z. Deci x este z.

Daca acest argument este adevarat, este adevarat s, i argumentul cuSocrate.


Logica formala






Logica formala






Logica formala






Propozit, ii

Definit, ieSe numeste propozitie un enunt al limbajului natural sau al unui limbajsimbolic despre care se poate spune ca este adevarat sau fals.

I “Vlad T, epes, este fiul predecesorului sau”;I “«Sarmanul Dionis» este o carte scrisa de Mircea Eliade”;I “Zapada este alba”;I “3 < 7”;


Propozit, ii

Definit, ieSe numeste propozitie un enunt al limbajului natural sau al unui limbajsimbolic despre care se poate spune ca este adevarat sau fals.

I “Vlad T, epes, este fiul predecesorului sau”;I “«Sarmanul Dionis» este o carte scrisa de Mircea Eliade”;I “Zapada este alba”;I “3 < 7”;


Propozit, ii

Exprimarile care nu sunt propozitii includ adesea ıntrebari si comenzi –acestea nu pot fi adevarate sau false, desi pot fi inteligibile sau absurde.[G.M.Panaitescu]

I “Stinge lumina.”;I “Tu es, ti Mircea?”;I “Es, ti catolic?”;I “x:=2” (Limbajul Pascal).


Propozit, ii

Exprimarile care nu sunt propozitii includ adesea ıntrebari si comenzi –acestea nu pot fi adevarate sau false, desi pot fi inteligibile sau absurde.[G.M.Panaitescu]

I “Stinge lumina.”;I “Tu es, ti Mircea?”;I “Es, ti catolic?”;I “x:=2” (Limbajul Pascal).


Valoare de adevar a unei propozit, ii

Este foarte important a observa ca fiecare propozitie este adevarata saufalsa ın raport cu o lume posibila (sau universul discursului).[G.M.Panaitescu]

De exemplu propozit, ia “orice fiint, a vie nu poate exista mult timp faraapa” este adevarata ın lumea nostra; cine s, tie cum stau lucrurile ın altesisteme solare.

Sau, de exemplu, afirmat, ia “printr-un punct la o dreapta putem duce doaro singura paralela” este adevarata doar ın geometria lui Euclid, dar nu s, i ıngeometriile Bolyai-Lobacevski s, i Riemann.












Notat, ii

Vom utiliza minusculile alfabetului latin (p, q, r , s...) pentru a notapropozit, iile.

Valorile de adevar le vom nota prin “1” pentru adevar s, i “0” pentru fals.

Simbolul “:” imediat dupa simbolul unei propozit, ii va fi utilizat cu sens dea explica care este cont, inutul propozit, iei.

p : “Londra este capitala Marii Britanii”.


Notat, ii






Notat, ii






Notat, ii






Conectori/operatori logici

Conector unar:

I Negat, ia.

Conectori binari:

I Conjuct, ia;I Disjunct, ia;I Echivalent, a;I Disjunct, ia exclusiva;I Conectorul lui Sheffer;I Conectorul lui Pierce.I Implicat, ia;


Conectori logici: Negat, ia

p ¬p0 11 0

Posibile simboluri: non p, p, ˜p.

In Pascal este operatorul “NOT”.

In C++ s, i Java este operatorul “!”.

¬p : “Cursul «Structuri discrete» nu este destinat student, ilor de laspecialitat, ile socioumane.

p : ???



p ¬p0 11 0





p : ???



p ¬p0 11 0





p : ???



p ¬p0 11 0





p : ???



p ¬p0 11 0





p : ???



p ¬p0 11 0





p : ???


Conectori logici: Conjuct, ia

p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1

Posibile simboluri: p AND q, p&q.

In Pascal este operatorul “AND”.

In C++ s, i Java este operatorul “&&”.

p ∧ q : “Orele de curs la SD sınt Luni s, i Joi”

p : ???; q : ???



p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1





p : ???; q : ???



p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1





p : ???; q : ???



p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1





p : ???; q : ???



p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1





p : ???; q : ???



p q p ∧ q0 0 00 1 01 0 01 1 1





p : ???; q : ???


Conectori logici: Disjunct, ia

p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1

Posibile simboluri: p OR q, p + q.

In Pascal este operatorul “OR”.

In C++ s, i Java este operatorul “||”.

p ∨ q : “Pentru a ridica diploma de absolvent avet, i nevoie de buletinul deidentitate sau de permisul de conducere”

p : ???; q : ???



p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1





p : ???; q : ???



p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1





p : ???; q : ???



p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1





p : ???; q : ???



p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1





p : ???; q : ???



p q p ∨ q0 0 00 1 11 0 11 1 1





p : ???; q : ???


Conectori logici: Echivalent, a

p q p ↔ q0 0 10 1 01 0 01 1 1

In Pascal este operatorul “=”.

In C++ s, i Java este operatorul “==”.



p q p ↔ q0 0 10 1 01 0 01 1 1





p q p ↔ q0 0 10 1 01 0 01 1 1




Conectori logici: Disjunct, ia exclusiva

Este negat, ia echivalent, ei.

p q p ⊕ q0 0 00 1 11 0 11 1 0

In Pascal: “XOR”.

XOR - eXclusive OR

In Java: “ˆ”.

In C++ “ˆ” este disjunct, ia exclusiva la nivel de bit.




p q p ⊕ q0 0 00 1 11 0 11 1 0


XOR - eXclusive OR

In Java: “ˆ”.





p q p ⊕ q0 0 00 1 11 0 11 1 0


XOR - eXclusive OR

In Java: “ˆ”.





p q p ⊕ q0 0 00 1 11 0 11 1 0


XOR - eXclusive OR

In Java: “ˆ”.





p q p ⊕ q0 0 00 1 11 0 11 1 0


XOR - eXclusive OR

In Java: “ˆ”.





p q p ⊕ q0 0 00 1 11 0 11 1 0


XOR - eXclusive OR

In Java: “ˆ”.



Conectori logici: conectorul lui Pierce

Este negat, ia disjunct, iei.

p q p ↓ q0 0 10 1 01 0 01 1 0

Simboluri: p NOR q

NOR - Not OR




p q p ↓ q0 0 10 1 01 0 01 1 0

Simboluri: p NOR q

NOR - Not OR




p q p ↓ q0 0 10 1 01 0 01 1 0

Simboluri: p NOR q

NOR - Not OR




p q p ↓ q0 0 10 1 01 0 01 1 0

Simboluri: p NOR q

NOR - Not OR


Conectori logici: conectorul lui Sheffer

Este negat, ia conjunct, iei.

p q p|q0 0 10 1 11 0 11 1 0

Simboluri: “↑”, p NAND q

NAND - Not AND




p q p|q0 0 10 1 11 0 11 1 0


NAND - Not AND




p q p|q0 0 10 1 11 0 11 1 0


NAND - Not AND




p q p|q0 0 10 1 11 0 11 1 0


NAND - Not AND


Conectori logici: Implicat, ia

p q p → q0 0 10 1 11 0 01 1 1

Analogie: p → q este adevarata daca numai daca p ≤ q

p → q : “Daca p atunci q”


Conectori logici: Implicat, ia

p q p → q0 0 10 1 11 0 01 1 1

Analogie: p → q este adevarata daca numai daca p ≤ q

p → q : “Daca p atunci q”


Implicat, ia

Implicat, ia este mai put, in intuitiva decıt ceilalt, i conectori logici.

Sa consideram doua calculatoare, A s, i B, izolate de Internet s, i de oriceret, ea locala. Ele sınt conectate doar ıntre ele. Se s, tie ca daca A devineinfectat de virus, i de calculator atunci ın scurt timp s, i B va fi infectat.

Cazuri:p q p → q0 0 A nu este infectat B nu este infectat Adevarat0 1 A nu este infectat B este infectat Adevarat1 0 A este infectat B nu este infectat Fals1 1 A este infectat B este infectat Adevarat


Implicat, ia





Implicat, ia



Cazuri:

p q p → q0 0 A nu este infectat B nu este infectat Adevarat0 1 A nu este infectat B este infectat Adevarat1 0 A este infectat B nu este infectat Fals1 1 A este infectat B este infectat Adevarat


Implicat, ia





Implicat, ia: Condit, ii suficiente s, i necesare

Implicat, ia (p → q) consta din premisa s, i concluzie.

Concluzia se mai numes, te condit, ie necesara pentru ipoteza.

Ipoteza la rındul sau se numes, te condit, ie suficienta pentru concluzie.

Ele sınt legate ın felul urmator:

I Daca nu se ındeplines, te condit, ia necesara atunci nu-i ipoteza;I Daca este ipoteza atunci este concluzia.

ExempluDin expresia “Nu-i fum fara foc” reiese ca fumul este o condit, ie necesarapentru foc.S, i de aici reiese ca “Daca este foc atunci este fum”.








































ExempluDin expresia “Nu-i fum fara foc” reiese ca fumul este o condit, ie necesarapentru foc.

S, i de aici reiese ca “Daca este foc atunci este fum”.










Conectori logici

p q p ∧ q p ∨ q p ↔ q0 0 0 0 10 1 0 1 01 0 0 1 01 1 1 1 1

p q p ↑ q p ↓ q p ⊕ q0 0 1 1 00 1 1 0 11 0 1 0 11 1 0 0 0


Conectori logici ın cadrul limbajului natural

Limbaj natural Conector logic Expresia logicanon p; nu p negat, ia p sau ¬pp este falsp s, i q; simultan conjunct, ie p ∧ qp sau q disjunct, ie p ∨ qfie p fie qp daca s, i numa daca q; echivalenta p ↔ qnecesar s, i suficientp implica q implicat, ie p → qdaca p, atunci qp este necesar pentru q implicat, ie q → p


Negat, ie corecta (absoluta)

Enunt, : LibreOffice este un program liber s, i gratuit.

Negat, ie incorecta: LibreOffice este un program neliber s, i contra cost.

Legile lui DeMorgan:

¬(p ∧ q) = (¬p) ∨ (¬q)

¬(p ∨ q) = (¬p) ∧ (¬q)

Negat, ie corecta: LibreOffice este un program neliber sau contra cost.






¬(p ∧ q) = (¬p) ∨ (¬q)

¬(p ∨ q) = (¬p) ∧ (¬q)







¬(p ∧ q) = (¬p) ∨ (¬q)

¬(p ∨ q) = (¬p) ∧ (¬q)







¬(p ∧ q) = (¬p) ∨ (¬q)

¬(p ∨ q) = (¬p) ∧ (¬q)



Ierarhia conectorilor logici

Lista conectorilor logici ın ordinea descres, terii prioritat, ii: ¬, ∧, ∨, →, ↔.

Astfel formula

p ∨ q ∧ ¬r ↔ p → q

este echivalenta cu

(p ∨ (q ∧ (¬r)))↔ (p → q)




Astfel formula

p ∨ q ∧ ¬r ↔ p → q

este echivalenta cu

(p ∨ (q ∧ (¬r)))↔ (p → q)




Astfel formula

p ∨ q ∧ ¬r ↔ p → q

este echivalenta cu

(p ∨ (q ∧ (¬r)))↔ (p → q)


Aplicat, ii ale conectorilor logici

I Filtrarea rezultatelor cautarilor (Google, MS Access, SQL etc);I Expresii logice ın algoritmi.


Formule propozit, ionale

Orice propozit, ie obt, inuta din alte propozit, ii prin intermediul conectorilorlogici se numes, te formula propozit, ionala.

Ramura logicii care se ocupa cu formule propozit, ionale, operat, iile cu eleetc. se numes, te “logica propozit, iilor” sau “calculul propozit, ional”.


Formule propozit, ionale

Orice propozit, ie obt, inuta din alte propozit, ii prin intermediul conectorilorlogici se numes, te formula propozit, ionala.

Ramura logicii care se ocupa cu formule propozit, ionale, operat, iile cu eleetc. se numes, te “logica propozit, iilor” sau “calculul propozit, ional”.


Tautologii

O tautologie este o expresie care ıntotdeauna este adevarata.

De exemplu, p ∨ ¬p sau (p ∧ ¬p)→ q.

p q ¬p p ∨ ¬p0 0 1 10 1 1 11 0 0 11 1 0 1

p q ¬p p ∧ ¬p (p ∧ ¬p)→ q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 0 0 1


Tautologii



p q ¬p p ∨ ¬p0 0 1 10 1 1 11 0 0 11 1 0 1

p q ¬p p ∧ ¬p (p ∧ ¬p)→ q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 0 0 1


Tautologii



p q ¬p p ∨ ¬p0 0 1 10 1 1 11 0 0 11 1 0 1

p q ¬p p ∧ ¬p (p ∧ ¬p)→ q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 0 0 1


Tautologii



p q ¬p p ∨ ¬p0 0 1 10 1 1 11 0 0 11 1 0 1

p q ¬p p ∧ ¬p (p ∧ ¬p)→ q0 0 1 0 10 1 1 0 11 0 0 0 11 1 0 0 1


Tautologii: Notat, ii

p ⇔ q ınseamna ca p ↔ q este o tautologie

p ⇒ q ınseamna ca p → q este o tautologie


Identitat, i remarcabile

Comutativitatea

I p ∧ q ≡ q ∧ pI p ∨ q ≡ q ∨ p

Asociativitatea

I p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ rI p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

Distributivitatea

I p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)I p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)



Comutativitatea

I p ∧ q ≡ q ∧ pI p ∨ q ≡ q ∨ p

Asociativitatea

I p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ rI p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

Distributivitatea




Comutativitatea

I p ∧ q ≡ q ∧ pI p ∨ q ≡ q ∨ p

Asociativitatea

I p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ rI p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

Distributivitatea




Regulile lui De Morgan

I ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qI ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

Absorbt, ia

I p ∧ (p ∨ q) ≡ pI p ∨ (p ∧ q) ≡ p

Idempotent, a

I p ∧ p ≡ pI p ∨ p ≡ p




I ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qI ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

Absorbt, ia

I p ∧ (p ∨ q) ≡ pI p ∨ (p ∧ q) ≡ p

Idempotent, a

I p ∧ p ≡ pI p ∨ p ≡ p




I ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬qI ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

Absorbt, ia

I p ∧ (p ∨ q) ≡ pI p ∨ (p ∧ q) ≡ p

Idempotent, a

I p ∧ p ≡ pI p ∨ p ≡ p



I p ∧ 0 ≡ 0I p ∨ 0 ≡ p

I p ∧ 1 ≡ pI p ∨ 1 ≡ 1



I p ∧ 0 ≡ 0I p ∨ 0 ≡ p

I p ∧ 1 ≡ pI p ∨ 1 ≡ 1


Problema (logica): Pentru sau anti colonizare?

Aurel nu era de parere ca nu trebuia sa se opuna din rasputeri adversarilormiscarii contra luptei ımpotriva necolonizarii altor planete ın viitoarea sutade ani.

Care era atitudinea lui Aurel ın privinta colonizarii altor planete?

[http://www.logicus.ro/index.php/rationament/355-pentru-sau-anti-colonizare, 2.01.2013]


http://www.logicus.ro/index.php/rationament/355-pentru-sau-anti-colonizare
















Rezolvarea problemei logice “Pentru sau anti colonizare?”


¬¬¬¬¬¬¬︸︷︷︸7

“colonizarii altor planete ın viitoarea suta de ani”.

Un numar impar de negat, ii se reduce la o singura negat, ie.

Respectiv ıntreaga expresie “Aurel ... ” se reduce la “nu colonizarii altorplanete ın viitoarea suta de ani”.

Adica Aurel este ımpotriva colonizarii altor planete ın viitoarea sutade ani.




¬¬¬¬¬¬¬︸︷︷︸7








¬¬¬¬¬¬¬︸︷︷︸7








¬¬¬¬¬¬¬︸︷︷︸7








¬¬¬¬¬¬¬︸︷︷︸7






Problema (logica): Doua auditorii

Intr-o scoala noua, ın fiecare dintre doua auditorii libere poate sa se afle

”Laboratorul de Fizica” sau ”Cabinetul de Informatica”. Pe usileauditoriilor a fost instalata cate o placuta glumeata: pe prima usa, placutacu inscriptia ”Cel putin ın una din aceste doua auditorii este plasatCabinetul de Informatica”; pe a doua usa, ”Laboratorul de Fizica se afla ınalt auditoriu”. Intre timp, apare o inspectie din exterior, care cunoaste doarca inscriptiile de pe placute sunt sau ambele adevarate, sau ambele false.Va propunem sa-l ajutati pe inspector sa gaseasca, pe cale logica, undeeste ”Cabinetul de Informatica”.

[http://www.agir.ro/buletine/249.pdf, 2.01.2013]


http://www.agir.ro/buletine/249.pdf

Rezolvarea problemei logice “Doua auditorii”

p : “In primul auditoriu se afla Cabinetul de Informatica”.

q : “In al doilea auditoriu se afla Cabinetul de Informatica”.

¬p : “In primul auditoriu se afla Laboratorul de Fizica”.

¬q : “In al doilea auditoriu se afla Laboratorul de Fizica”.

Afirmatiei de pe placuta unui auditoriu (primului) ıi corespunde expresialogica: p ∨ q.

Afirmatiei de pe placuta celuilalt (al doilea) ıi corespunde expresia logica:¬p.










































Rezolvarea problemei logice “Doua auditorii”; Continuare

Faptul ca inscriptiile de pe placute sunt sau ambele adevarate, sau ambelefalse ınseamna ca: p ∨ q ↔ ¬p.

p q p ∨ q ¬p p ∨ q ↔ ¬p0 0 0 1 00 1 1 1 11 0 1 0 01 1 1 0 0

Unicul caz cınd echivalenta este adevarata este atunci cınd p este 0 s, i q -1.

Astfel, ın primul auditoriu se afla Laboratorul de Fizica, iar ın aldoilea auditoriu se afla Cabinetul de Informatica.




p q p ∨ q ¬p p ∨ q ↔ ¬p0 0 0 1 00 1 1 1 11 0 1 0 01 1 1 0 0






p q p ∨ q ¬p p ∨ q ↔ ¬p0 0 0 1 00 1 1 1 11 0 1 0 01 1 1 0 0






p q p ∨ q ¬p p ∨ q ↔ ¬p0 0 0 1 00 1 1 1 11 0 1 0 01 1 1 0 0




Legaturi utile

List of logic symbols, articol de pe Wikipedia, accesibil la adresahttp://en.wikipedia.org/wiki/List_of_logic_symbols, consultatala 2.01.2013.

Logical connective, articol de pe Wikipedia, accesibil la adresahttp://en.wikipedia.org/wiki/Logical_connective, consultata la2.01.2013.

The Comprehensive LATEXSymbol List, accesibil la adresahttp://www.tex.ac.uk/tex-archive/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf, consultata la 2.01.2013.


http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_logic_symbols

http://en.wikipedia.org/wiki/Logical_connective

http://www.tex.ac.uk/tex-archive/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf

http://www.tex.ac.uk/tex-archive/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf

Basic logic, accesibil la adresahttp://philosophy.hku.hk/think/logic/, consultata la 2.01.2013.

Probleme de logica, accesibil la adresa http://www.invatasingur.ro/logica/index.php/Pagina_principal%C4%83, consultata la 2.01.2013.

Eating at Quonk: A tough puzzle, accesibil la adresahttp://www.cs4fn.org/quonk.html, consultata la 2.01.2013.

Mihai Jalobeanu, Note la cursul de Logica Computationala, accesibil laadresahttp://www.itim-cj.ro/˜jalobean/Cursuri/LogComp/note.html,consultata la 2.01.2013.


http://philosophy.hku.hk/think/logic/

http://www.invatasingur.ro/logica/index.php/Pagina_principal%C4%83

http://www.invatasingur.ro/logica/index.php/Pagina_principal%C4%83

http://www.cs4fn.org/quonk.html

http://www.itim-cj.ro/~jalobean/Cursuri/LogComp/note.html

Education

Structuri discrete - Curs5: Calculul propozițional