Détection des droites par la transformée de Hough

Réalisé Par :

Yosra HASNAOUI Balkiss HAMAD Khaled FAYALA

2012-2013

Détection des droites par la transformée

de Hough

Ecole Supérieur des Sciences

et Techniques de Tunis

الجمهورية التونسية

وزارة التعليم العالي والبحث العلمي

جامعة تونس

المدرسة العليـا للعلـوم والتقنيـات بتونـس

Plan

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Introduction1

Transformée de Hough2

Principe de Système polaire3

Algorithme4

Les différentes variantes5

Conclusion 6

Introduction

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Une image est vue comme une succession de pixels qui représentent

une forme, un objets, etc.

La vision par ordinateur et le traitement d'images sont deux domaines

qui tentent d'analyser ces images et d'en tirer des informations.

Pour extraire ces informations, il existe plusieurs approches qui se

base sur la détection des éléments spécifiques dans l’image.

Transformée de Hough

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Introduction1


Plan


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La transformée de Hough est une technique de reconnaissance de

formes inventée en 1962 par Paul Hough et breveté par IBM.

Cette technique est devenu un outil standard dans le domaine de la

vision artificielle.

Elle permet de détecter des objets bien précis dans les images:

des droites

des cercles, des ellipses…


Représentation d’une droite

La formule la plus simple représentant une droite est :

• a est la pente de droite

• b est l’interception de cette droite sur l’axe y

a= b = y1 - a x1

Équation cartésienne : y = a x + b

Comment caractériser une droite ?

y2 – y1

x2 – x1

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Pour un point de coordonnés (x1,y1) de l’image, toutes les droites

passant par ce point ont la forme y1=a x1 + b pour différentes valeurs de

a et b.

(x1,y1)

Représentation d’une droite


Chaque droite dans l'espace (x,y), espace image, sera transformée en un

point dans l'espace de (a,b), espace de Hough (espace des paramètres).

Principe

Espace image Espace de Hough


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Chaque point dans l'espace (x,y) sera transformée en une droite d'équation

b = -a x + y dans l'espace de Hough.

Principe



9

10

Pour chaque point B, toutes les droites passant par ce point correspondent

à une seule droite d dans l’espace (a,b).

Principe



11

Pour chaque point A, toutes les droites passant par ce point correspondent à

une seule droite d dans l’espace (a,b).

Principe



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Ces deux faisceaux de droites dans l’espace (x, y) ont en commun la droite

qui relie les points A et B.

L'intersection de deux droites d1 et d2 donne le point contenant les

paramètres de la droite recherchée.

Principe


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Principe

Tous les points situés sur la même droite D sont représentés par des droites

qui passent toutes par le même point dans l’espace (a,b).

Ce point (a’, b’) donne les paramètres recherchés de l’équation de la droite

D : y = a’x+b’


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Principe de vote

Pour détecter la droite qui traverse deux points , on utilise un

accumulateur appelé aussi Matrice (a,b).

On construit une image des votes où chaque point permet de voter

pour une droite particulière.

Les droites recevant le plus de votes sont conservées



Principe de vote

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Principe de vote : remplissage de l’accumulateur

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Chaque ligne correspond à une valeur possible du paramètre a.

chaque colonne correspond à une valeur possible du paramètre b.

Chaque «case» du tableau représente une droite de paramètres a et b.


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la valeur d'une «case» va s'incrémenter lorsque la droite correspondante

traversera le point concerné.



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À la fin du processus (d'accumulation), la «case» ayant obtenu la valeur la

plus élevée correspond à la droite qui traverse le plus nombres grand nombre

de point.


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La représentation y = ax + b pose un problème pour les droites verticales.


Problème

Espace non borné (a ∞, b ∞ )

Une représentation polaire

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Introduction1



Plan

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Système polaire

Une droite est représentée par la formule suivante :

sin(θ) y + cos (θ) x = r

r est la distance entre l’origine à cette ligne

θ est l’angle entre l’axe x et le vecteur r

L’espace paramétré (p-) ici est borné par :

r -d,d avec d est la taille de la diagonale de l'image

-/2,/2 (± 90°)


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Une droite s’exprime comme un point dans l’espace (r, )

Système polaire

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Chaque point (x,y) devient une courbe (une sinusoïde) dans l’espace (r, )

Chaque point de l'image correspond une sinusoïde dans l’espace de paramètre.

Système polaire

Les points d’intersection dans l’espace de paramètre sont utilisés pour trouver les

droites dans l’espace image.

Plan

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Introduction1



Algorithme4

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Pour appliquer la transformée de Hough à une image de largeur L et de

hauteur H , il faut créer un espace de Hough.

Il faut discrétiser l'espace, en abscisse de -π/2 à π/2, en ordonnée de -d à +d

(où d est la taille de la diagonale de l'image).

Créer un accumulateur, et initialiser tous ses cases à 0.

Parcourir les pixels des images, on opère de la manière suivante:

On fixe θ et on calcule r=x.cos(θ) + y.sin(θ)

Ajout de vote pour [r][θ]

Incrémentation du valeur de la case correspondante

Algorithme

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L’algorithme selon le système polaire est le suivant :

(1) Début

(2) Quantifier l'espace des paramètres avec un maximum et un minimum

pour les 2 paramètres.

(3) Initialiser un accumulateur ( dim (r), dim (θ) ) à 0.

(4) Pour chaque point (x , y) de l’image

(5) Pour chaque valeur de θ (-π/2 à π/2)

(6) Calcul de p=x*cos(θ)+y*sin(θ)

(7) Ajout d’un vote pour (p , θ)

(8) Vote[p][θ]++;

(9) Fin

Algorithme

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À la fin de l'exécution, les valeurs des cases de l’accumulateur correspondent

au nombre de points «les votes ».

La «case» ayant obtenu la valeur la plus élevée correspond à la droite qui

traverse le plus nombres grand nombre de point.

Algorithme

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Introduction1



Algorithme4


Plan

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Les différentes variantes

Il existe différentes variantes de transformée de Hough :

Transformation de Hough Probabiliste

Transformation de Hough Par tirage aléatoire

Transformation de Hough Hiérarchique

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Transformation de Hough Probabiliste

Contrairement a l'approche standard qui applique la transformée de Hough a

tous les pixels de l'image, la TH probabiliste l'applique qu'a une

proportion des pixels de l'image.

Un pourcentage entre 10% et 20% suffirait statistiquement à obtenir de bons

résultats. (Travail de Kiryati et al. )

La transformée probabiliste a un avantage qui est la faible charge de calcul

et de son temps d'exécution.

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Transformation de Hough par tirage aléatoire

La THA propose de sélectionner aléatoirement et plusieurs fois un

couple de points caractéristiques.

D'incrémenter le seul accumulateur qui correspond à la droite passant par

ces 2 points.

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Un des problèmes majeur de la transformé de Haugh réside dans la

quantification de l'espace des paramètres (la taille des accumulateurs).

La transformée hiérarchique apporte une réponse a ce problème.

Cette méthode propose de commencer a effectuer une transformée de

Hough avec un pas de quantification de l'espace des paramètres large.

Elle subdivise les accumulateurs qui ont reçu de nombreux votes.

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Elle procède a une autre pas de la transformée de Hough sur cette partie de

l'espace des paramètres avec cette quantification plus fine.

Ces opérations sont itérées jusqu'a obtenir une précision désirée.

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Plan

Introduction1



Algorithme4


Conclusion 6

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Conclusion

La transformée de Hough est un outil efficace pour trouver les droites dans

une image.

Il existe d'autres transformées de Hough, dites transformées de Hough

généralisées pour extraire d‘autres formes.

Elle est utilisée dans plusieurs applications :

Détection des routes dans les images prises par satellite.

Lecture de code barre

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Bibliographie

http://www.tsi.telecomparistech.fr/pages/enseignement/ressources/beti/ellipses/Hough.html

http://elynxsdk.free.fr/ext-docs/Demosaicing/more/news1/article-graf-espic.pdf

http://gepasud.upf.pf/images/documents/Letouzey/perso/hough.pdf

http://igm.univ-mlv.fr/~vnozick/teaching/projetsMath/hough/line.pdf

https://cours.etsmtl.ca/sys844/Documents/imp6-5-ElementsSymboliques.pdf

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Merci Pour Votre Attention

Engineering

Détection des droites par la transformée de Hough