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Jonathan Suarez 26.447.083

ASIGNACIÒN DE EJERCICIOS UNIDAD III.

ENTREGAR HASTA EL DÌA Miércoles: 29-06-2016. HASTA LAS 11:30 PM. VALOR: 10%

Prof.: Franklin Díaz

Encuentre las siguientes integrales. Valor: 1.5pto c/u el b) y c) tienen un valor de 2

ptos

𝒂) ∫𝟏𝟐𝒅𝒙

(𝟐𝒙 − 𝟏)√(𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟖)𝟑

U = 4X2 – 4X – 8

du = 8X – 4

du = 4(2X – 1)

𝒅𝒖

𝟒 = (2X – 1)dx

Dx = 𝒅𝒖

𝟒(𝟐𝑿−𝟏)

Pero como (2X -1) = U nos quedaría así

∫𝟏𝟐𝒅𝒖

𝟒(𝑼)√(𝒖)𝟑

Simplificando y sacando de la integral lo que no pertenece al

diferencial nos quedaría así

3∫𝑑𝑢

𝑢√𝑢3

Transformando la raíz en potencia y multiplicando los

términos del denominador nos quedaría así

3∫𝑑𝑢

𝑢.𝑢13

= 3∫ 𝑢−4

3𝑑𝑢


Al integrar obtenemos lo siguiente

3𝑢1/3

1

3

C

Aplicando la doble C quedaría así:

9𝑢1/3+ C

Devolviendo el cambio nos quedaría así…

9(4X2 – 4X – 8)1/3

+ C

Que es lo mismo que decir que….

9√(𝟒𝑿𝟐 − 𝟒𝑿 − 𝟖)𝟑 + C


b) ∫𝒆𝒂𝒓𝒄𝒐𝒕𝒈𝑿

(𝟏+ 𝑿𝟐)𝒅𝒙

U = arctangx

Du = 𝒅𝒙

𝟏+𝒙𝟐

∫ 𝒆𝒖𝒅𝒖

eu + c

Devolviendo el cambio

𝒆𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒈𝒙 + 𝒄


c) ∫𝟏

𝒄𝒐𝒔𝒙+𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙+𝟑𝒅𝒙

Subimos el denominador y automáticamente cambia de signo

el exponente

∫(𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝟑)−𝟏𝒅𝒙

Aplicamos la propiedad distributiva con el -1 a cada uno de

los términos del trinomio

∫(𝒄𝒐𝒔−𝟏𝒙 + 𝟐𝒔𝒆𝒏−𝟏𝒙 + 𝟑−𝟏)𝒅𝒙

∫ 𝒄𝒐𝒔−𝟏𝒙𝒅𝒙 + 𝟐 ∫ 𝒔𝒆𝒏−𝟏𝒙𝒅𝒙 + 1/3∫ 𝒅𝒙

Luego de integrar obtenemos el siguiente resultado

xco𝒔−𝟏𝒙 − √𝟏 − 𝒙𝟐+2(xse𝒏−𝟏𝒙 + √𝟏 − 𝑿𝟐) + 1/3X + C


𝒅) ∫√𝒙

𝒙 + 𝒙𝟒𝟓

𝒅𝒙


el exponente

∫(𝒙 + 𝒙𝟒

𝟓)−𝟏(𝒙𝟏

𝟐)𝒅𝒙


los términos del binomio

∫ (𝒙−𝟏 + 𝒙−𝟒

𝟓) (𝒙𝟏

𝟐) 𝒅𝒙

Aplicamos la propiedad distributiva del producto (𝒙−𝟏 +

𝒙−𝟒

𝟓) (𝒙𝟏

𝟐) y tenemos el siguiente resultado

∫(𝒙−𝟏

𝟐 + 𝒙−𝟑

𝟏𝟎)𝒅𝒙

Al aplicar la fórmula general de integración ∫ 𝒙𝒏𝒅𝒙 = 𝒙𝒏+𝟏

𝒏+𝟏 + C

nos quedaría de la siguiente manera…

𝒙𝟏/𝟐

𝟏/𝟐+

𝒙𝟕/𝟏𝟎

𝟕/𝟏𝟎 + C

Aplicando la doble c nos quedaría así…

2𝒙𝟏/𝟐 +𝟏𝟎𝒙𝟕/𝟏𝟎

𝟕 + C


e) ∫𝒙𝟑−𝟑𝒙+𝟑

𝒙𝟐+𝒙−𝟐dx


el exponente

∫( 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐)−𝟏(𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟑)𝒅𝒙


los términos del binomio

∫( 𝒙−𝟐 + 𝒙−𝟏 − 𝟐−𝟏)−𝟏(𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟑)𝒅𝒙

Aplicamos la propiedad distributiva del producto (𝒙−𝟐 +

𝒙−𝟏 − 𝟐−𝟏)−𝟏(𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟑)y tenemos el siguiente resultado

∫(𝒙 −𝟑

𝒙+ 𝟑𝒙−𝟐 − 𝒙𝟐 + 𝟑 −

𝟑

𝒙−

𝟏

𝟐𝒙𝟑 +

𝟑

𝟐𝒙 −

𝟑

𝟐)dx

Al realizar una suma algebraica tendremos el siguiente

resultado…

∫(𝟓

𝟐𝒙 −

𝟔

𝒙 +3𝒙−𝟐 −

𝒙𝟑

𝟐−

𝟑

𝟐)𝒅𝒙

𝟓

𝟐∫ 𝒙𝒅𝒙 − 𝟔 ∫

𝒅𝒙

𝒙+ 𝟑 ∫ 𝒙−𝟐𝒅𝒙 −

𝟏

𝟐∫ 𝒙𝟑𝒅𝒙 −

𝟑

𝟐∫ 𝒅𝒙


𝒏+𝟏 + C


𝟓

𝟐(

𝒙𝟐

𝟐) – 6ln(x) -3𝒙−𝟏 −

𝟏

𝟐(

𝒙𝟒

𝟒) −

𝟑

𝟐𝒙 + 𝑪


Al multiplicar y simplificar cada uno de sus coeficientes

tenemos lo siguiente

𝟓𝒙𝟐

𝟒− 𝟔𝒍𝒏(𝒙) −

𝟑

𝒙−

𝒙𝟒

𝟖−

𝟑𝒙

𝟐 + C


f) ∫𝒕𝒂𝒏−𝟏𝒙

𝒙𝟐+𝟏𝒅𝒙

∞

𝟎

u = 𝒕𝒂𝒏−𝟏𝒙

du = 𝒅𝒙

𝟏+ 𝒙𝟐

dx = (1 + x2)du

∫𝒖(𝟏 + 𝐱𝟐)𝐝𝐮

𝟏 + 𝐱𝟐

∞

𝟎

Se elimina 𝟏 + 𝐱𝟐 tanto del numerador como del

denominador a causa de una simplificación y tenemos el

resultado que aparecerá a continuación…

∫ 𝒖𝒅𝒖∞

𝟎


𝒏+𝟏 + C


𝑢2

2 +C

Devolviendo el cambio tendremos el siguiente resultado

(𝒕𝒂𝒏−𝟏𝒙)𝟐

𝟐 + C

𝒕𝒂𝒏−𝟐𝒙

𝟐 + C

𝟏

𝟐𝒕𝒂𝒏𝟐𝒙+ 𝒄


Al evaluar el resultado desde 0 hasta ∞ tenemos lo siguiente

2(tang-1∞)2 – 2(tang-10)2

2(𝝅

𝟐)𝟐 – 2(0)

𝟐 (𝝅𝟐

𝟒) - 0

𝝅𝟐

𝟐

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