Aproximacion normal a la binomial

APROXIMACIÓN NORMAL A LA BINOMIAL

FCC BUAPLuis Alfredo Moctezuma

4/16/2016 1Aprox. normal a la binomial, distribución gamma-exponencial

Introducción,I

• Conocerémos la relación entre la distribución binomial y la normal– Se sabe que algunas distribuciones convergen a la normal a

medida que sus parámetros se aproximan a ciertos límites.• Cuando n es considerablemente grande

4/16/2016 Aprox. normal a la binomial, distribución gamma-exponencial

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Introducción,~

• Distribución binomial– dos resultados posibles: éxito,fracaso– n: tamaño de muestra– p: probabilidad de éxito– q=1-p: probabilidad de fracaso

• Distribución normal– μ: media de la población μ=np– σ: desviacion estandar de la población σ=√(n.p.q)


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Introducción,~

- Si n=5 p=0.3 q=0.7


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- Si n=10 p=0.3 q=0.7

Ejemplo de distribución binomial: p=0.3 q=0.7

Introducción,~

• Si n=30 p=0.3 q=0.7


5

Introducción,~

• Si n=100 p=0.3 q=0.7


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Introducción,~

• Si n=150 p=0.3 q=0.7


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Introducción,~

• Ejemplo 1: n=5 p=0.3 q=0.7 • Ejemplo 2: n=5 p=0.5 q=0.5


8

Introducción,~



9

Introducción,~



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Aproximación normal a la binomial,I

• La distribución normal con μ=np y σ2= npq ofrece una muy buena aproximación cuando:

– n es grande y p no esta extremadamente cerca de 0 o 1

– n es pequeña pero p esta razonablemente cerca de 1/2


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Aprox. normal a la binomial,II

Teorema 6.3:Si X es una variable aleatoria binomial con media μ = np y desviación estandar σ= √(npq), entonces la forma limitante de la distribución de

conforme n--> ∞, es la distribución normal estandar

Permitirá uti l izar áreas bajo la curva normal para aproximar propiedades binomiales cuando n es suficientemente grande.


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Aprox. normal a la binomial,III

• Estadístico Z – Mide la distancia entre un valor especificado de X y la media

aritmética, en las unidades de la desviación estándar(normaliza)– Al determinar el valor Z, se puede encontrar el área de

probabilidad bajo cualquier curva normal


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Aprox. normal a la binomial,IV

• La probabilidad exacta de que la variable aleatoria binomial X tome un valor determinado x es igual al área de la barra cuya base se centra en x. – Por ejemplo, la probabilidad exacta de que X tome el valor 4 es

igual al área del rectángulo con base centrada en x = 4.

P (X = 4) = b(4; 15, 0.4) = 0.1268

μ=0.4*15= 6ϭ=√(15*0.4*0.6)=1.8974


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Aprox. normal a la binomial,IV,~

• Que es aproximadamente igual al área de la región sombreada ba jo la curva normal ent re las dos ordenadas x1= 3.5 y x2= 4.5

P (X = 4 ) = b(4; 15, 0.4) ≈ P (−1.32 < Z < −0.79) = P (Z <−0.79) − P (Z < −1.32) = 0.2148 − 0.0934

= 0.1214

0.1268 ≈ 0.1214


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• La probabilidad de que X tome un valor de 7 a 9 es dada por:

= 0.9662 − 0.6098 = 0.3564

– Que es igual a la sumatoria de las áreas de los rectángulos cuyas bases están centradas en x = 7, 8 y 9


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• Para la aproximación normal calculamos el área de la región sombreada bajo la curva entre las ordenadas x1=6.5 y x2=9.5

• P (7 ≤ X ≤ 9) ≈ P ( 0.26 < Z < 1.85) = P (Z < 1.85) − P (Z < 0.26) = 0.9678 − 0.6026 = 0.3652


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Aprox. normal a la binomial,V

• En los ejemplos anteriores se vio que si buscamos el área bajo la curva normal hacia la izquierda de, digamos x, es más preciso uti l izar x + 0.5(corrección de continuidad)

P (X = 4) = b(4; 15, 0.4) = 0.1268 P (−1.32 < Z < −0.79) = 0.1214


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Aprox. normal a la binomial,VI

• Sea X una variable aleatoria binomial con parámetros n y p. Para una n grande, X tiene aproximadamente una distribución normal con μ= np y σ= √(npq)

» ≈ área bajo la curva normal a la izq de x+0.5

y la aproximación será buena si np y nq son mayores que o iguales a 5


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Aprox. normal a la binomial,VII,Ejemplo1

• Un paciente que padece una rara enfermedad de la sangre tiene 0.4 de probabilidad de recuperarse. S i se sabe que 100 personas cont ra jeron esta enfermedad, ¿cuál es la probabilidad de que sobrevivan menos de 30?

– n es grande – p esta relativamente cerca de 1/2

μ=100*0.4= 40σ=√(100*0.4*0.6)=4.899


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Aprox. normal a la binomial,VII,Ejemplo1,~

• Para obtener la probabilidad que se desea, tenemos que calcular el área a la izquierda de x = 29.5

• P (X < 30) ≈ P (Z <−2.14) = 0.0162


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• Un examen de opción múltiple tiene 200 preguntas, cada una con 4 respuestas posibles, de las que sólo una es la correcta. ¿Cuál es la probabi l idad de que so lamente ad iv inando se obtengan de 25 a 30 respuestas correctas para 80 de los 200 problemas sobre los que el estudiante no tiene conocimientos?

μ=80*1/4= 20σ=√(80*1/4*3/4)=3.873


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• Se necesita el área entre x1 = 24.5 y x2 = 30.5. Los valores z correspondientes son

≈ P (1.16 < Z < 2.71)

= P (Z < 2.71) − P (Z < 1.16) = 0.9966 − 0.8770 = 0.1196


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• La probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a una prueba de choque es de 3/4. Calcule la probabilidad de que sobrevivan exactamente 2 de los siguientes 4 componentes que se prueben.

μ=4*3/4= 3σ=√(4*3/4*1/4)=0.75


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• Se necesita el área entre x1 = 1.5 y x2 = 2.5. Los valores z correspondientes son

=0.2109

• ≈ P (-2 < Z < -0.66) = P (Z < -0.66) − P (Z < -2) = 0.2877- 0.0228 = 0.2649


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