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UNIDAD 3 3.1.- Análisis Nodal
Circuitos que contienen solo fuentes independientes de Corriente.
Circuitos que contienen fuentes controladas de Corriente. Circuitos que contienen solo fuentes independientes de
Voltaje. Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje.
3.2.- Análisis de Malla. Circuitos que contienen fuentes controladas de Corriente. Circuitos que contienen solo fuentes independientes de
Voltaje. Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje. Circuitos que contienen fuentes controladas de Voltaje.
Análisis Nodal
Debemos considerar los siguientes aspectos:
1.- En el análisis nodal las variables de los circuitos se eligen como voltajes de los nodos.
2.- Los voltajes de los nodos se definen con respecto a un punto común en el circuito.
3.- Un nodo se selecciona como referencia y con frecuencia este nodo es aquel al que está conectado el mayor número de ramas y se denomina tierra debido a que su potencial es igual a cero y algunas veces es el chasis en el circuito práctico.
4.- Seleccionaremos nuestras variables( voltajes en los nodos) como positivas con respecto al nodo de referencia.
5.- Es recomendable que los elementos pasivos tengan como unidades el siemens (conductancia).
6.- Cuando se conoce los voltajes de los nodos podemos calcular inmediatamente cualquier corriente en una rama y la potencia suministrada o absorbida por cualquier elemento.
7.- De preferencia la respuesta deberá presentarse de forma matricial:
corrientede
fuenteslasde
ColumnaVector
mètododel
Variables
Columna
Vector
ciaConduc
Matriz
_
___
_
_
tan
IGV
8.- Si en el circuito existiera solamente fuentes independientes de corriente debemos entonces observar que la matriz conductancia es simétrica a la diagonal principal. Basta con la presencia de fuentes de voltaje sean estas independientes o controladas, o la presencia de fuentes controladas de corriente en el circuito para que en la matriz conductancia se pierda la simetría con respecto a la diagonal principal.
Ejemplo # 1:
aI1I 3I
bI
2I1N1V 2N
2V
1G 3G
2G
# de ecuaciones que se encuentran:
n – 1=3-1, donde n es el número de nodos en total.
n – 1 =2
En cada ecuación debemos usar LCK, LVK
LCK N1:21 III a
Ohm :
111
3111 )(
VGI
VVGI
GVI
22122
2122 )(
VGVGI
VVGI
)()( 22211
221211
GVGGVI
VGVGVGI
a
a
CON SOLO FUENTES INDEPENDIENTES DE CORRIENTE
3V
1
EXPRESE LA RESPUESTA EN FORMA MARICIAL
LCK N2:
23
32
III
III
b
b
Ohm :
233
3233 )(
VGI
VVGI
GVI
)()( 32221
221223
GGVGVI
VGVGVGI
b
b
b
a
I
I
V
V
GGG
GGG
2
1
322
221
2
Ejemplo # 2:
02I
k6
1
k12
1k
3
1 mA2
02I
k6
k12 k3 mA2
1I 2I
Ohm:
210
210
2
02
III
III
LCK N1:
20
212
11
3
66
12
VI
VVI
VI
1V1N 2N
2V
3V3N
0I
0I
CON FUENTES CONTROLADAS DE CORRIENTE1N 2N
21
221
2112
12180
66180
6612)3(2
VV
VVV
VVVV
LCK N2:
20
02
2
2
II
II
21
212
9)6(2
6632
VV
VVV
2
0
96
1218
2
1
V
V
1
2
Método para escribir en forma directa las ecuaciones en el análisis nodal.
Una vez identificado los nodos principales y escogido el nodo de referencia, se escriben las ecuaciones en cada uno de los nodos principales con excepción del nodo de referencia de la siguiente forma:
1.- De un lado de la ecuación la suma algebraica de las fuentes de corriente (independiente ó controlada) conectadas al nodo en que estamos trabajando respetando el signo de aquellas que estén dirigidas hacia el nodo y cambiándole el signo a aquellas que se estén alejando del nodo.
2.- Del otro lado de la ecuación vamos a distinguir dos clases de términos:
a) El término llamado propio o mutuo que es igual al producto de la tensión asignada al nodo en que estamos trabajando por la suma de las conductancias de los ramales conectados a dicho nodo. Este término lleva signo positivo.
b) Los términos llamados neutros que son iguales al producto de la tensión asignada al otro nodo (adyacente) por la conductancia del ramal que une directamente al nodo en que estamos trabajando y al nodo adyacente. Estos términos llevan el signo negativo.
3.- Cuando entre dos nodos activos (ninguno de los dos es tierra) se encuentra una fuente de voltaje (independiente ó controlada), se forma lo que se conoce con el nombre de súper nodo que para este caso específico se necesitan dos ecuaciones para resolverlo.
a) Ecuación del súper nodo
b) Ecuación Auxiliar
Se obtiene haciendo cero a la fuente de voltaje es decir cortocircuitándola y luego se procede a seguir lo que está escrito en los literales 1, 2 de este procedimiento.
2V
3V
4V
5V
V10 XV33210 VV
)_var__(
3 54
métododeliableslasdefV
VVV
X
X
2V
3V
V10
4V
5V
XV3
Por cada par de nodos activos vamos a tener siempre dos términos propios (es decir con signo positivo).
4.- Para el literal anterior cuando uno de los nodos es tierra sólo va a existir la ecuación del súper nodo.
2V 5V
V10 VV 102 XV3 53 VVX
VX=f(variables del método)
Ejemplo # 1:
Nodo 1:)()( 22211 GVGGVIa
Término propio
Término Neutro
)()( 22211 GVGGVI a
Nodo 2:
)()(
)()(0
32221
21322
GGVGVI
GVGGVI
b
b
Del Ejemplo # 2:
Nodo 1:
21
212
20
210
12180
618)3(2
3:
)6()126(2
VV
VVV
VIpero
kVkkVI
Nodo 2:
)9()6(2
)6()36(2
21
12
VV
VV
Ejemplo # 3.
1 3
1
2
11
A20
A30
4
13
1
a) Exprese la respuesta en forma matricial
b) La potencia entregada o consumida por las fuentes independientes
a) Matriz Conductancia
Ejemplo # 3.
1 3
1
2
11
A20
A30
4
13
1
1 3
21
A20
A30
43
1N1V
2N 2V
4N4V
3N3V
31
31
420
)1()31(20
VV
VV
Nodo 1
Nodo 2
42
42
3420
)3()13(20
VV
VV
Nodo 3
13
13
330
)1()12(30
VV
VV
Nodo 4
24
24
3730
)3()43(30
VV
VV
30
30
20
20
7030
0301
3040
0104
4
3
2
1
V
V
V
V
Matriz Conductancia
Al resolver la matriz anterior nos queda:
VV
VV
631.2
727.2
2
1
VV
VV
157.3
090.9
4
3
Suministra
b) Potencia en las fuentes independientes.
WP
P
A
A
16.107
)20(358.5
20
20
VV
VVV
VVV
f
f
f
247.12
)157.3(090.9
2
2
432
WP
P
A
A
41.367
)30(247.12
30
30
VV
V
VVV
f
f
f
358.5
)727.2(631.2
1
1
121
Suministra
Suministra
Ejemplo # 4.
V6
k2 k2
V12k2
k1 k1
V12
0I
Determinar I0=?
V2
V1
V3
V4
SOLUCION Ejemplo # 4.
V6
k2 k2
V12k2
k1 k1
V12
0I
Determinar I0=?
V2
V1
V3
V4
12
6
0
12
1000
0010
3434
0101
4
3
2
1
V
V
V
V
mAI 5.70
V1=8.25 VV2= -6 VV3= -3.75 VV4= 12 V
Al resolver la matriz nos queda:
Ejemplo # 5.
V10
2 2
23V
A63
312V
2
1V
2V
Todos los elementos pasivos están en mhos. CALCULAR
a) V1 , V2
b) Potencia en la fuente de 10V indicando si suministra o consume.
Nota: Respete los nodos marcados.
Vb
Va
Vc
Vd
10
6
0
0
0100
5442
1013
2225
D
C
B
A
V
V
V
V
VV
VV
VV
VV
D
C
B
A
93.7
10
48.2
81.1
VVVVV
VVVVVV
A
DC
81.1081.10
07.293.710
2
1
b)
WP V 8.19110
SOLUCION Ejemplo # 5.
XV22
4 3
3XI2
4 A25
3 2XI
A30
5
a) Expresar la respuesta en forma matricial
b) Calcular la potencia asociada a cada una de las fuentes controladas.
XV
Ejemplo # 6.
Análisis de Malla
Utiliza la LVK para determinar las corrientes en el circuito y una vez que se conocen estas, se puede utilizar la ley de Ohm para calcular el voltaje en cualquier elemento pasivo, como también es posible calcular la potencia suministrada o consumida por cualquier elemento del circuito.
Si el circuito tiene n mallas independientes se requerirá n ecuaciones simultáneas independientes para describir el comportamiento del circuito.
Vamos a suponer que los circuitos son planos, es decir, que ningún conductor se cruce con otro conductor.
1V
1R 2V
4R3R
5R2R
2I1I
Malla 1
LVK:
3211
3211 0
RRR
RRR
VVVV
VVVV
Ohm:
32133
212
111
)( RIIIRV
RIV
RIV
R
R
R
)()( 3232111
323121111
RIRRRIV
RIRIRIRIV
1)
Malla 2
LVK:
02354 VVVV RRR
Ohm:
525
424
RIV
RIV
R
R
3154322
323132422
2354
)(
0
RIRRRIV
RIRIRIRIV
VVVV RRR
2)
En forma matricial:
VIR
MatrizResistencia
Vector Columna de las variables del método
Vector Columna de las fuentes de voltaje
2
1
2
1
5433
3321
V
V
I
I
RRRR
RRRR
Si solo existieran fuentes independientes de voltaje existirá simetría con respecto a la diagonal principal en la matriz resistencia.
En forma Directa
Una vez asignadas las corrientes a las mallas se plantean en cada una de las ecuaciones de voltaje de acuerdo a la siguiente regla:
1.- De un lado de la ecuación escribimos la suma algebraica de las fuentes de voltaje conectadas a la malla en que estamos trabajando respetando el signo de la fuente si la corriente de la malla atraviesa de negativo a positivo y cambiándole el signo si la atraviesa de positivo a negativo.
2.- Del otro lado de la ecuación hay dos clases de términos:
a) El término llamado propio es igual al producto de la corriente asignada a la malla que estamos trabajando por la suma de las resistencias conectadas a dicha malla. Este término lleva signo positivo.
b) Los términos mutuos que son iguales al producto de corriente asignada a otra malla adjunta (vecina) y la malla en que estamos trabajando. Este término lleva signo negativo si las dos corrientes que la atraviesan son de direcciones opuestas y lleva signo positivo si las dos corrientes que la atraviesan son de direcciones iguales.
Del problema anterior:
)()(
)()(
3154322
3232111
RIRRRIV
RIRRRIV
2
1
2
1
5433
3321
V
V
I
I
RRRR
RRRR
Si existiera una fuente de corriente ( independiente ó controlada) en medio de dos mallas se forma lo que se conoce con el nombre de súper malla la cual necesita dos ecuaciones para resolver.
1.- Ecuación de la súper malla
Es igual a la diferencia de corrientes con la que está involucrada la fuente de corriente.
2.- Ecuación Auxiliar
Se forma haciendo cero a la fuente de corriente, es decir poniéndola en circuito abierto y luego se trabaja de acuerdo al procedimiento descrito en la regla anterior.
Todos los elementos pasivos deben estar en ohmios.
1I 2I1R
3R 4R
2R 6R
A30
5R
2V
Ecuación de súper malla
1230 II
Ecuación Auxiliar
)()( 654232112 RRRIRRRIV
EJERCICIO 7:
A3
2R 1R 1V
4R 5R1I 2I
Cuando está la fuente en la periferia sólo se hace la ecuación de la súper malla
Ecuación de súper malla AI 31
V1= -I1(R4) + I2 (R1+R4+R5)MALLA 2
12
1
5414
003
VI
I
RRRR
Ejercicio 8 :
Ejm:
V160
2 5
32
4
A20
V100
1I
2I3I
Ejercicio 9:
a) Representar la respuesta en forma matricial.
b) Ejercicio 9:
Ejm:
V160
2 5
32
4
A20
V100
1I
2I3I
SOLUCION Ejercicio 9:
a) Representar la respuesta en forma matricial.
b) Potencia en los elementos activos
160
20
100
766
110
249
3
2
1
I
I
I I1= -8 AI2= -2 AI3= 18 A
consumeWP V 320160 WP V 800100 WP A 280020
Ejm:
A20
V140
2 4
V80
345
XI2 2
XV2
3
1I 2I
3I 4I 5I
Respetando las corrientes de mallas asignadas.
Determinar:
a) Potencias asociadas con las fuentes controladas.
b) Potencia en la resistencia de 5 ohmios.
Nota: Todos los elementos pasivos están en ohmios.
Ix
+ Vx -
Ejercicio 10: