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elasticite lineaire anisotrope
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Master MSE 2004-2005C. Berdin
ELASTICITE LINEAIRE ANISOTROPE
MATERIAUX COMPOSITES
• Introduction
• Généralisation de la loi de Hooke
• Stratifiés
– Homogénéisation –comportement du pli
– Comportement de l’empilement (quelques éléments)
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Master MSE 2004-2005C. Berdin
INTRODUCTIONLes matériaux composites
• Rigidité orientée dans les directions sollicitées
• Renfort rigide discontinu dans une phase continue :
– Composites à particules (équiaxes ou non)
– Composites à fibres courtes
– Composites à fibres longues
– Composites à tissus
• matériaux à structure
(Pascal, 2002)
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Master MSE 2004-2005C. Berdin
Anisotropie et hétérogénéité
Matériaux composites : plusieurs constituants
⇒ Anisotropie :
- anisotropie des constituants (fibres de C :E�/E�=10)
- Forme des renforts
- Structures des constituants
thermo-élasticité anisotrope
⇒ Hétérogénéité : définition d’un comportement homogène équivalent
homogénéisation
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Master MSE 2004-2005C. Berdin
GENERALISATION DE LA LOI DE HOOKETenseur des raideurs
• Elasticité linéaire isotrope
– 2 paramètres E et ν (λ et µ, Κ) et α– Conditions énergétiques E>0 -1<ν<0.5
• Elasticité linéaire anisotrope
– C 81 => 21 composantes (symétries)σ ε= C11 11
2
3
4
5
6
1
22 22
33 33
32 32
31 31
21 21
2
2
2
.
.
.
.
σ εσ εσ εσ ε
σ
σ εσ
σσ
σσ ε
σ
= =
x x x x x x
x x
Notation de Voigt
CIJ=Cijkl
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Master MSE 2004-2005C. Berdin
Tenseur des complaisances
σ ε= C
11 11
22 22
33 33
32 3
1
2
3
4 2
31 31
21 1
5
6 2
2
2
2
.
.
.
.
ε σε σε σε σε σε σ
εεεγγγ
= =
Notation de Voigt : CIJ=Cijkl matrice des raideurs
[SIJ] matrice de complaisance associée
2Sijkl
2Sijkl 4Sijkl
Sijkl
ε σ= S
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Master MSE 2004-2005C. Berdin
Symétries matérielles
S � symétrie du matériau :
S invariant par l’opérateur de symétrie A : Sijkl=AipAiqAkrAlsSpqrs
• Symétrie / 1 plan : 13 composantes indépendantes
• Symétrie/2plans (=3plans) : orthotropie
11 12 13
12 22 23
13 23 33
44
55
66
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
S S S
S S S
S S S
S
S
S
Tenseur des souplesses
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Master MSE 2004-2005C. Berdin
Matériau isotrope transverse
11
22
33
32
31
21
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
2
2
02
' '
''
σεσεσεσεσ
ε ν νε ν νε ν νγγε
ε γ σ
− − − − − −
= =
� � � �
�
�
�� �
�
�
� �
� �
t t t t
t t t
t
t t t
t t t t t
tt t
t t
t t
tt
t
t
E E E
E E E
E E E
G
G
G
1 2 1( )ν= +t t tG E
Symétrie de révolution dans 1 plan : Isotrope transverse
Ex: (2,3) : S22=S33 S12=S13
S55=S66 S44= 2(S22-S23)Directions privilégiées � et �
1 2,3
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Master MSE 2004-2005C. Berdin
STRATIFIESDéfinition
Composant de base : pli = 1 nappe de fibre dans matrice
=> couche : empilement de plis1 orientation – 1 couple fibre/matrice
=> stratifié : empilement de couches
[0/45/90]s [0/45/90]s
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Master MSE 2004-2005C. Berdin
Traction longitudinale (E�, �)
Comportement du pliHomogénéisation
• Cas du matériau isotrope transverse :
⇒ Matrice isotrope (Em et νm)
et Vf fibres unidirectionnelles (Ef et νf)
5 composantes indépendantes
Traction transverse (E� , ν�� , ν� )
�����
�����
�
Cisaillement G�
Cisaillement G��
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Master MSE 2004-2005C. Berdin
Comportement du pliHomogénéisation
�����
������
Traction longitudinale (E�, �)
E�=Vf Ef + (1-Vf) Em
ν��=Vf νf + (1-Vf) νm
ε homogènes : Borne supérieure (Voigt)=> Loi des mélanges
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Master MSE 2004-2005C. Berdin
Comportement du pliHomogénéisation
�����
������ σ homogènes : Borne inférieure (Reuss)
1( )m f
tf m f f
E EE
V E V E=
+ −
1( )f m
t t f ff m
E V VE E
ν νν
= + −
Traction transverse (E�, ν�� , ν�)
E E
ν ν=�� ��
� �
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Master MSE 2004-2005C. Berdin
Comportement du pliHomogénéisation
�����
������
cisaillement transverse (G��)
σ homogènes : Borne inférieure de Reuss
(1 )m f
f f f m
G GG
V G V G=
− +��
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Master MSE 2004-2005C. Berdin
Comportement du pliHomogénéisation
�����
������
chargement thermique (α� et α�)
(1 )
(1 )f m m f f f
f m f f
V E V E
V E V E
α αα
− +=
− +�
( )(1 )
1
f m m ff m f f f m
fm
f f
E EV V
EE
V V
ν να α α α α
−= − + + −
+−
�
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Comportement du pliHomogénéisation
Ex : Fibres de verre /epoxy Vf=0.66
Verre Epoxy calcul expérience
E (GPa) 70 2.85 �� 47.16 49.4
��������7.77 18
ν 0.17 0.33 �� 0.224 0.22
G (GPa) �� 2.95 7.8
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Comportement du pli - Sollicitation plane
Sollicitations planes (��) matériau isotrope transverse
1 0
1 0
010 0
l
tl
l tl
ltt t
l t
lt
t
E E
TE E
G
νε σ α
νε σ αγ σ
− − = + ∆
�
��
�
't tε ε=
Pli : état de contraintes planes
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Comportement du pli - Sollicitation plane
Calcul des modules apparents
0,15
0,17
0,19
0,21
0,23
0,25
0 15 30 45 60 75 90
angle de désorientation
G12
/El
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 15 30 45 60 75 90
angle de désorientation
E1/
El
E�/E�=3 E�/G��=6 �=0.2
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Comportement du pli - Sollicitation plane
Hors axesθ
1
2
σ
2116
1 21 1
1226 2 2
1 2
6 616 26
2
1
1
21
SE E
S TE E
S S G
νε σ α
νε σ αγ σ α
− − = + ∆
�
�
�
3 0ε ≠
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Comportement du stratifiéSection hétérogène - Homogénéisation
εii
h/20-h/2 σii
ω3
22 3 32
1 3 1
d u M d
dx EI dx
ω= =
Ε[ ] [ ] [ ]k
Cσ ε= Couche k
Bernouilli-EulerPour les poutres
Flexion simple : 311 2
1
dx
dx
ωε = −
M3
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Comportement du stratifiéthéorie des plaques de Kirchoff Love
00 1 2 3
11 2 3
01 2 3 0 1 2 3
21 2 3
0 1 2
( , )
( , , )
( , , ) ( , )
( , , )( , )
wu x x x
xu x x x
wv x x x v x x x
xw x x x
w x x
∂ − ∂∂ = − ∂
KL (1er dégré et σ3i négligé) :
x3
Plan moyen0
1 1 30
2 2 30
01
6 6 30
02
62
x
x
x
κε
ε εκκ
ε εε
+= − − Courbures κ
x2 x1
[ ] 0 03xε ε κ = +
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Comportement du stratifié
3
1 2
N22
N11 N12
Sollicitations en membrane
Éléments de réduction (/u. de longueur)
[ ]
11 11 3
22 22 3
12 12 3
h
h
h
N dx
N N dx
N dx
σ
σ
σ
=
= = =
∫
∫
∫
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Comportement du stratifié
3
1 2
M12
M21M22
Sollicitations en flexion
M11
(T2) (T1)
Éléments de réduction (/u. de longueur)
[ ]
11 3 11 3
22 3 22 3
21 3 12 3
h
h
h
M x dx
M M x dx
M x dx
σ
σ
σ
=
= = − = −
∫
∫
∫
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Comportement du stratifié
[ ] [ ] [ ]kCσ ε=
( )0 2 21 11 3 1 3( ) 3( 1)
1
2k
j j k j k kkcouches kcouches je
N dx C e x xσ ε κ − = = + −
∑ ∑ ∑∫
[ ] [ ] [ ]0 0N A Bε κ = +
[ ] k kk
A C e = ∑ [ ] ( )2 2
3( ) 3( 1)1
2 k k kk
B C x x − = −
∑
[ ] [ ] [ ]0 0M B Dε κ = + [ ] ( )3 33( ) 3( 1)
13 k k k
k
D C x x − = −
∑
3 0iσ ≈
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Comportement du stratifié
kσ kε
kC =
N
M
0
0
k
k
εκ
A B
B D
=
local
global
Cas général : couplage membrane/courbureflexion/déformation dans le plan moyen
Pas de couplage : [B]=[0] <=> symétrie miroir
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Comportement du stratifiéEffets de bord
• Traction [0/90]s selon 0
2
3
ν��ε1b
Si => σ22 non nulles
ν��ε1b
ν��ε1b ν��ε1b=
Incompatible avec les conditions aux limites
=> Cisaillement interlaminaire aux bords
σ22 σ23
σ33
+ contrainte d’ouverture
centre bord
liée à l’équilibre local
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Bibliographie
• Gay Daniel, Matériaux composites, Traité des nouvelles Technologies, série mécanique, Hermès, 1991
• Berthelot J.M., Matériaux composites, Eds Tec&Doc,1999
• Callister W.D., Materials Science and Engineering – an introduction, Wiley, 1996
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